FACULTAD DE EDUCACIÓNDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y

FÍSICA

FLEXIÓN EN VIGAS MODELADO EN ECUACIONES

DIFERENCIALES

ESTUDIANTES:

JENNY CÁRDENAS RALS LOZANO SÁNCHEZ

2008

PRELIMINARES

Las vigas son elementos estructurales muy usados en las construcciones para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas; para diseñarlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares a los ejes x , y que se ejercen a lo largo de su longitud.

INTRODUCCIÓN A DEFLEXIÓN EN VIGAS

Cuando es importante estudiar las deflexiones:

• En estructuras metálicas.• Sistemas de tuberías.• Ejes/ arboles para maquinas.

En el estudio de una viga, ella podrá flectar de acuerdo a ciertos factores tales como:

Distancia entre apoyos. Materiales de la viga. La carga aplicada. Propiedades geométricas de las vigas. Tipos de vinculación (apoyos).

DEFLEXIÓN EN VIGAS

En elemento de la viga mostrado en la figura, se deforma de tal manera que cualquier punto en una sección transversal entre apoyos se desplaza prácticamente paralelo a las cargas.

Estos desplazamientos se denomina las deflexiones o flechas del momento.

Al estar las cargas ubicadas en el Eje Principal de Inercia, hace que las secciones transversales se desplacen verticalmente.

La figura muestra una viga con perpendiculares al eje y ubicada en el plano de simetría de la sección

Por lo tanto, el desplazamiento de la Superficie Neutra permite representar el desplazamiento de todo el elemento.

El desplazamiento , por lo que no existe movimiento horizontal dentro de una sección transversal.

Podemos elegir una curva dentro de la superficie neutra que represente la deformación de la viga.

Matemáticamente, la Línea Elástica se representa por su ecuación en el Plano Principal.

Para obtener las ecuaciones, definimos ciertas hipótesis :

Viga perfectamente recta. Material homogéneo. Comportamiento elástico (ley de Hooke)

Tenemos:

Esfuerzo: Es la intensidad de las fuerzas que causan el cambio de forma, generalmente con base en la “fuerza por unidad de área”

Deformación: Describe el cambio de forma resultante. Si el esfuerzo y la deformación son pequeñas, es común que sean directamente proporcionales y llamamos a la constante de proporcionalidad modulo de elasticidad.

De la geometría del problema tenemos

Si designa la fuerza infinitesimal, responsable de la fracción o compresión del tramo de barra, y por la ley de Hooke tenemos:

) = Es modulo de Elasticidad. )= Es la deformación de una fibra de área del corte

transversal

)= Área transversal del elemento paralelo a la zona neutra.

)= Distancia desde la zona neutra hasta el elemento infinitesimal de la barra.

)= Radio de cobertura hasta la zona neutra.

) = Longitud natural del elemento de barra, del arco a lo

largo de la zona neutra.

El momento de esta fuerza infinitesimal relativa a la línea neutra será:

por lo tanto el momento flector de la barra será:

Donde se ha definido el momento de inercia de la sección transversal como:

de donde se deduce

En esta parte E representa el módulo de rigidez o módulo de Young del materia.

El producto se conoce como el coeficiente de rigidez a la flexión de la barra.

Ahora por calculo elemental, la curvatura de una curva plana es un punto de esta:

Como la curvatura de la viga es muy ligera la pendiente

de la primera derivada es pequeña por lo tanto

Por ende la ecuación diferencial de la Curva Elástica

es:

RELACION ENTRE CARGAS Y ESFUERZOS

Si se escoge arbitrariamente un trozo diferencial de viga , se puede obtener:

De lo que se deduce que es siempre un grado mayor que la carga transversal . Además , si , entonces .

De lo que se deduce que es siempre un grado mayor que el esfuerzo de corte .

En detalle : Cuando el corte es por la derecha :

Cuando el corte es por la izquierda:

Si se deriva la ecuación diferencial de la Curva Elástica se tiene:

Resultando al final lo siguiente:

Al integrar sucesivamente estas ecuaciones, van apareciendo constantes que deben calcular con las condiciones de borde del problema.

EJEMPLO VIGA SIMPLE Para la viga indicada en la figura, se pide determinar la

ecuación de la línea elástica, la flecha máxima y el giro en los apoyos.

Solución:

Tenemos 4 constantes de integración por lo que necesitamos 4 Condiciones de Borde para encontrar el valor de dicha constante.

Condiciones de Borde:

1. Desplazamiento vertical en el Apoyo A cale cero.

2. Momento flector en el Apoyo A vale cero (rótula).

3. Desplazamiento vertical en el apoyo B vale cero.

4. Momento flector en el Apoyo B vale cero (rótula)

De 1.

De 2.

De 4.

De 3.

Ecuación de la Línea Elástica de una viga

simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.

Flecha Máxima

Para encontrar el máximo desplazamiento de la viga debemos derivar la ecuación de la Línea Elástica e igualar a cero.

Con lo anterior estaríamos encontrando un máximo o un mínimo, es decir, la derivada representa a la tangente a la curva y al hacerla cero encontramos el punto donde la recta tangente es horizontal.

Flecha máxima al centro de la viga

Giro en los apoyos

El Giro de la viga, con respecto a su plano horizontal, queda representado por la derivada de la ecuación de la Línea Elástica. Es decir:

Giro en al apoyo “A”

Giro en al apoyo “B”

EJEMPLO VIGA VOLADIZA

Para la viga indicada en la figura, se pide determinar la ecuación de la línea elástica, máxima y el giro en los apoyos.

Solución

Tenemos 2 constantes de integración, por lo que necesitamos 2 Condiciones de Borde para encontrar el valor de dichas constantes.

Condiciones de Borde:

1. Desplazamiento vertical en el empotramiento A.

2. Giro en el empotramiento A.

De 2. De 1.

Ecuación de la Línea Elástica de una viga empotrada y en voladizo con carga uniformemente repartida.

Flecha Máxima:

Flecha Máxima en el Extremo Libre

Giro en los Apoyos:

El Giro de la Viga, con respecto a su plano Horizontal, queda representado por la derivada de la ecuación de la Línea elástica, es decir:

Giro en al apoyo “A”

Giro en al apoyo “B”

GRACIAS POR SU ATENCIÓN