Flujo turbulento
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Universidad Politécnica del Valle de Toluca
Ingeniería en Biotecnología
Fenómenos de transporte de Momento y Calor
Demostración: Flujo a través de una tubería circular
Nimsi Keren Martínez Alvarez
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Explicación del FenómenoObjetivo:
Determinar todas las ecuaciones que nos ayudan para obtener las velocidades de un fluido que circula a través de un tubo circular con radio exterior e interior.
Familiarizarnos con el uso de coordenadas cilíndricas que son las coordenadas naturales para describir las posiciones de la tubería circular.
Analizar el balance de cantidad de movimiento.
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IntroducciónTenemos que tener en
cuenta que la distribución de velocidad , velocidad media de un
fluido que esta circulando a través de una corona circular de
radio exterior e interior r son más complicadas que en una película
descendente
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Consideraciones a tomarLa fuerza de cizalla actúa sobre un fluido de las siguientes formas: Una de ellas es la resistencia sobre su superficie
exterior que se puede expresar en función de la viscosidad del fluido y el gradiente de velocidad para dicho radio.
La resistencia que tiene lugar en el límite interior de la corona circular que se representa por por u de longitud de tubo.
La presión como consecuencia de la fricción en una longitud del diámetro 1 del anillo se puede igualar a la fuerza resultante con la fuerza de cizalla que actúa sobre el fluido
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Distribución de velocidad en el flujo turbulento
Los esfuerzos cortantes dentro del fluido son los responsables de la fuerza de fricción en las paredes y la distribución de velocidad sobre la sección transversal del tubo.
En este caso se considera a otro problema de flujo viscoso pero ahora con coordenadas cilíndricas , y con condiciones límite muy diferentes.
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Primero hacemos el balance Entrada de cantidad de movimiento x . Transporte conectivo.(2 Salida de cantidad de movimiento x . Transporte conectivo. (2
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Balance Entrada de cantidad de movimiento x . Transporte molecular. Salida de cantidad de movimiento x . Transporte molecular.
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Balance Fuerza de gravedad:
Presión a la entrada:
Presión a la salida:
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Demostración Primero vamos a igualar todo nuestro
balance general(2 - (2+ - ++ -= 0
Aquí podemos notar que se suma todo lo que entra y se restan todas las salidas del sistema.
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Demostración Posteriormente todas las Vz se hacen constantes porque se
supone que el fluido es incomprensible y obtenemos únicamente la siguiente notación:
- ++ -= 0
Donde posteriormente dividiremos toda la notación entre los términos constantes(2*pi*r*)
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Demostración Posteriormente obtendremos una
notación más simplificada: ++= 0 La cual se va a multiplicar por un -1 para tener
positivo a la ecuación que nos ayudará a calcular
-= 0
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Demostración Se evalúan límites para obtener las
velocidades de salida:
= 0Todo lo que no tiene se mantiene constante , así que nos queda una notación más sim simplificada =
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Demostración Posteriormente vamos a pasar el
diferencial respecto a r para poder simplificar e integrar :
= Como ya sabemos se integra respecto a
r y todo lo que no lleve r se mantiene constante , dicho lo anterior obtenemos:
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Demostración = De lo que obtenemos la misma ecución
más una constante. = * + C1 Donde despejaremos r , para que
cuando volvamos a integrar sea más fácil
= * +
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DemostraciónDadas las siguientes condiciones límite r=0 Por lo que podemos concluir que la C1 será igual a 0Posteriormente sustituimos nuestra C1:)r
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Demostración Para la presión dinámica tenemos que
tener en cuenta las dos siguientes consideraciones
Para asumimos a la gravedad como 0 ya que esta no afecta al fluido porque esta subiendo no bajando
Por lo tanto - A diferencia de , la gravedad si afecta ya que esta
presión es la total de toda la longitud del tubo por el que pasa nuestro fluido
=+ Por lo tanto =
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Demostración Dadas condiciones , podemos sustituir los
valores de presión dinámica en la ecuación de densidad de flujo de cantidad de movimiento:
)r Como podemos observar se hace 0 y podemos
obtener aún más simplificada la ecuación de cantidad de movimiento
)r
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Demostración Ya obtenida la ecuación de cantidad de
movimiento podemos aplicarle la ley de la viscosidad de Newton:
La ley de Newton nos dice:
Sustituyendo en la E .Cantidad de Movimiento
=)r
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Demostración Donde primero despejamos a la viscosidad:
=)r Obteniendo esa ecuación podemos integrar respecto
al radio manteniendo todo lo demás constante = -* Donde obtenemos:
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Demostración
Aplicando condiciones limites
Sustituyendo en la ecuación original el valor de
Reordenando términos
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Demostración Finalmente gracias a la aplicación de la doble integral
obtenemos de la ecuación de cantidad de movimiento la velocidad máxima :
Velocidad Máxima
Para so aplicamos de nuevo condiciones límites y sustituimos por lo tanto,
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Demostración Para calcular la velocidad media = = En donde se resuelve por jerarquía la
primera ecuación
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DemostraciónDe la cual obtenemos:
Donde cancelamos términos semejantes
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Demostración
Integrando obtenemos = * Por lo que finalmente obtenemos: = Vmedia
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Demostración Flujo másico
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Conclución Este tipo de fenómeno es aún más complicado
que el de una placa , ya que depende de condiciones cilíndricas. También pudimos observar que en la vida cotidiana podemos aplicarlo ya que nos da una noción de que variables afectan al sistema y de allí poder solucionar problemas o diseñar mejores tuberías.