6 CONDUCCIN DE FLUJO TURBULENTO EN TUBERAS

M10 139

FUNDAMENTOS DE DINAMICA DE FLUIDOS FLUJO TURBULENTO

6 Conduccin de Flujo Turbulento en Tuberas

6.1 Anlisis de flujo turbulento:

Ya vimos que a partir de la ecuacin general de la energa ordenada convenientemente para flujo compresible, nos daba:

)

1

2

(

)

(

)

2

(

)

(

1

2

2

1

2

2

q

i

e

i

e

z

z

g

V

V

p

p

W

i

a

eje

-

-

+

-

+

-

+

-

=

r

6.1.1

donde Weje y q eran las cantidades de trabajo y calor respectivamente, intercambiadas por unidad de masa, o sea: Weje= dWeje/dm y q = dQ/dm.

Si consideramos solamente el flujo en tubera horizontal de dimetro constante, sin extraccin de trabajo, la expresin anterior se reduce a:

L

h

q

i

e

i

e

p

p

p

=

-

-

=

D

=

-

)

1

2

(

)

(

2

1

r

r

6.1.2

la cantidad hL es denominada prdida de carga, y a veces puede expresarse en funcin de una altura piezomtrica indicada en metros como g.hf = hL ( hf = hL/g.

Es evidente que el resultado de la ecuacin (6.1.2) para tubera horizontal debe ser vlido tanto para flujos laminares Re < 2.300, como para flujos definidamente turbulentos Re > 4.000.

Por otra parte sabemos que el flujo turbulento en caera depende de los siguientes parmetros:

a- Dimetro de la tubera D

b- Longitud de la tubera entre las mediciones de presin L

c- Coeficiente de viscosidad

m

d- Velocidad media del flujo en la seccin recta

A

Q

V

/

=

e- Densidad

f- Rugosidad media de la tubera e (es la altura media de las crestas o los valles respecto del dimetro tomado como lnea central).

Es decir que los cambios de presin a lo largo de una tubera con flujo turbulento va a depender de ellos en la forma funcional siguiente:

)

,

,

,

,

,

(

e

V

L

D

p

p

r

m

=

Si aplicamos a esta relacin funcional los resultados del teorema

p

de Buckingham , vemos que n = 7 y

r = 3, o sea: n r = 4; y habr por tanto cuatro grupos adimensionales vinculados. Haciendo el trabajo de encontrarlos, veramos que stas relaciones son en funcin del nmero de Euler:

)

;

;

(

)

(

2

2

2

2

D

e

D

L

D

V

g

V

P

V

P

D

V

F

E

U

m

r

r

r

r

=

D

D

=

=

O bien:

)

;

(Re;

D

e

D

L

g

E

U

=

Como es lgico que

p

D

sea directamente proporcional a la longitud de la tubera, e inversamente proporcional a su dimetro; el grupo (L / D) puede formar parte de una constante de proporcionalidad, y salir fuera de la funcin, o sea:

)

;

(

2

D

e

D

V

h

D

L

V

p

m

r

r

=

D

Porque la nica relacin funcional es de proporcionalidad. Expresin que tambin podemos escribir en funcin de una nueva relacin funcional k de la siguiente manera:

)

;

(

2

1

2

D

e

D

V

k

D

L

V

p

h

L

m

r

r

=

D

=

6.1.3

En la prctica, a esta funcin desconocida

)

(Re;

D

e

k

se la llama coeficiente de friccin, y se la representa con la letra f , con lo cual podemos escribir finalmente:

f

D

L

V

h

L

2

2

1

=

6.1.4

Para flujo laminar, habamos obtenido como expresin de caudal para tubera cilndrica:

L

P

D

Q

D

=

m

p

128

4

por tanto, despejando p:

128

p

128

4

4

r

p

m

r

p

m

D

LQ

D

LQ

p

=

D

=

D

igualando a la expresin general (6.1.4) quedara:

f

D

L

V

D

LQ

P

h

L

2

4

2

1

128

=

=

D

=

r

p

m

r

y como

4

2

D

V

Q

p

=

queda:

Re

64

2

4

128

2

4

2

=

=

f

D

Lf

V

D

D

V

L

r

p

p

m

6.1.4 b

O sea que para flujo laminar, podemos utilizar la expresin (6.1.4) con f = 64/Re , siendo el flujo laminar un caso particular de flujo general. Por otra parte, vemos que f solamente depende para flujo laminar de Re , y no de la rugosidad, como ya habamos expresado.

Al coeficiente f se lo llama coeficiente o factor de friccin y tambin , coeficiente de resistencia de

Darey -Weisbach. La teora indica que la expresin de f para flujo laminar, en funcin de Re tiene la forma de una hiprbola equiltera, ( y = k/x) la cual resulta una lnea recta sobre un papel logartmico en el rango de n Re laminares.

Para el resto del rango del n Re, y tomando como parmetros los ndices de rugosidad e / D , se confeccionan las curvas Nikuradse en las que se grafica n Re en abscisa; f o factor de friccin en ordenadas con e / D como parmetro de rugosidad, por ejemplo e / D = 1/120 significa que si el dimetro es 120 mm la variacin media del radio de la tubera es 1 mm.

Las curvas Nikuradse se dan en la grfica siguiente,

Fig.6.1.1

Se observar que para Re > 2.300 todas las curvas de rugosidad son asintticas con la curva de tubera lisa, y cada curva se aparta para Re altos a valores asintticos horizontales donde ya la friccin no aumenta ms a pesar de incrementar Re , estas zonas rectas son zonas de diseo para tubera rugosa.

6.2. Distribucin de velocidades y tensin de corte para flujo turbulento en tuberas:

Los estudios experimentales sobre distribucin de velocidades en tubera cilndrica han demostrado que el patrn de velocidades del perfil turbulento viene dado por la siguiente frmula:

7

/

1

)

2

/

(

D

y

V

V

mx

=

6.2.1

El patrn es aproximadamente vlido para Re comprendidas entre 4.000 y 3.240.000, y se mide desde la periferia interior de la tubera hacia el centro, como se indica en la figura siguiente:

Fig.6.1.2

La distribucin turbulenta es ms pareja en la distribucin de velocidades, disminuyendo el valor de la componente al aproximarnos a la periferia. Adems deben tomarse en cuenta la discusin sobre promedios de velocidades en flujo turbulento permanente del prrafo 5.1.

Asimismo, para tuberas lisas con n Re hasta 3.106 , ha de aplicarse la frmula de Blassius para el clculo de la tensin constante en la pared.

4

/

1

2

)

(

0225

,

0

V

R

V

C

J

r

t

=

6.2.2

Siendo

r

m

J

=

la viscosidad cinemtica, siendo R el radio interior de la tubera

Cabe destacar que la velocidad media

V

se calcula por los mtodos ya explicados, por ejemplo practicando un estrechamiento en la tubera a travs de un tubo venturi, primero se calcula el caudal Q y luego la velocidad media con

A

Q

V

/

=

; con la

V

obtenida se calcula el n Re.:

m

r

D

V

=

Re

,

aqu la rayita sobre el smbolo de la velocidad, no indica un vector, sino un valor medio; luego, en la frmula (6.2.1) si bien V y Vmx son desconocidas pero conociendo

V

y a travs de la funcin pueden determinarse V y Vmx,; luego con la frmula (6.2.2) puede calcularse a partir de los datos la tensin de corte c.

Conociendo el material o la rugosidad relativa (e/D) puede obtenerse de los diagramas el valor f, y con ste, calcular el valor:

f

D

L

V

p

h

L

)

(

2

1

)

(

2

=

D

=

r

expresado en:

)

(

2

2

seg

m

o bien:

)

(

kg

m

N

y la prdida de energa mecnica o prdida de altura piezomtrica:

f

D

L

V

g

p

g

p

hf

)

(

2

1

)

(

)

(

2

=

D

=

D

=

g

r

expresado en

kg

kgm

o en m.

6.3. Diagrama de Moody:

Los diagramas de Nikuradse se han desarrollado para condiciones de rugosidad artificiales, en las que se pegaba arena de distintas granulometra a superficies interiores de tubos de vidrio, se presenta la cuestin de saber en qu grado se aproxima esto a las condiciones de las tuberas reales.

El prof. Moody ha efectuado un estudio extenso en tuberas comerciales para modificar el diagrama Nikuradse y aproximarlo ms a las condiciones reales. Los diagramas Moody se dan por lo general separados en 2 grficos, se dan al final de este mdulo.

En el primero se obtiene la rugosidad relativa e / D entrando con el dimetro de la tubera (dimetro interior) hasta las rectas parametrizadas por tipo de material.

Con el dato obtenido de e/D se entra en el segundo diagrama, de las curvas de Moody modificadas, se entra ubicando el n Re de operacin en abscisas hasta la curva correspondiente parametrizada de rugosidad e/D hallada antes y, finalmente, se saca el valor del factor de friccin f de la tubera, con el cual se calcula el valor de la prdida de carga.

4. Prdidas menores en accesorios:

En el desarrollo de tuberas pueden aparecer accesorios tales como empalmes, codos, vlvulas, curvas, etc. Esto obliga a tomar en cuenta las prdidas en stos artefactos. Estas prdidas se calculan a travs de resultados experimentales y se obtiene en tablas para el tipo de accesorios definidos por el valor k, llamado prdida menor de accesorio. El resultado es de la forma:

g

V

k

hf

V

k

h

L

2

2

2

2

=

=

o bien:

No se hace diferencia entre flujo laminar o turbulento, y la velocidad

V

se establece como la velocidad media aguas arriba o aguas abajo del accesorio.

6.5. Prdida por ensanchamiento brusco de tubera:

Un ensanchamiento brusco se indica en la figura siguiente, el flujo se estagniza en la zona sombreada, dando lugar a prdidas por formacin de remolinos en la misma:

Fig.6.5.1

Puede demostrarse analticamente que la prdida por el ensanchamiento viene dado por:

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

)

1

(

2

)

1

(

2

A

A

g

V

h

A

A

V

h

f

L

-

=

-

=

o bien:

6.6. Pautas para la resolucin de problemas con tuberas:

Para la resolucin de problemas donde se pide la obtencin general de prdida en tuberas y accesorios, debemos tomar en cuenta nuevamente la ecuacin general de Bernuolli, que incluye prdidas de energa:

)

(

)

(

)

2

(

)

(

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

q

z

z

g

V

V

p

p

W

i

i

eje

-

-

+

-

+

-

+

-

=

-

r

r

r

6.6.1

O bien:

L

eje

h

z

z

g

V

V

p

p

W

+

-

+

-

+

-

=

-

)

(

2

)

(

1

2

2

1

2

2

1

2

r

6.6.1b

La unidad de hL es

)

(

2

2

2

2

kg

m

N

kg

kg

seg

m

seg

m

=

=

o sea es una prdida especfica de energa. Si en la expresin (6.6.1b) dividimos m.a.m. por g, la aceleracin de la gravedad, nos queda:

f

eje

h

z

z

g

V

V

p

p

g

W

+

-

+

-

+

-

=

-

)

(

2

)

(

1

2

2

1

2

2

1

2

g

donde hf es la altura de prdida piezomtrica

g

h

h

f

1

=

y se expresa en

m

m

seg

seg

m

=

)

(

2

2

2

. La altura piezomtrica permite trabajar como si el problema fuese de conduccin de fluido ideal, pero considerando que en la tubera haya un desnivel adicional de hf metros.

Problema Propuesto 1:

Determinar la prdida de energa del flujo de 8.000 lit/min de un aceite de viscosidad cinemtica

seg

m

/

10

1

2

5

-

=

J

a travs de una tubera de fundicin de 300 m. de longitud y de dimetro int. D=200mm

a) Determinamos la velocidad media a partir del caudal dado .

seg

m

4,23

4

2

,

0

14

,

3

60

8

V

4

/

60seg

min

1

min

8m

/

V

2

2

3

=

=

=

=

=

=

pf

A

Q

A

V

Q

b) Clculo de n Re:

600

.

84

10

1

2

,

0

23

,

4

Re

5

=

=

=

=

-

J

m

r

D

V

D

V

Del diagrama de Moody, entrando con D = 20cm = 200mm, hasta la recta del material de la tubera: fundicin, sacamos para e/D = 0,0013.

Luego en la segunda grfica de Moody, entrando con el valor de Re=84.000, interpolando con la curva e/D=0,0013, obtenemos f = 0,024.

c) Calculamos la prdida de carga:

kg

m

N

seg

m

f

D

L

V

h

L

=

=

=

=

322

322

024

,

0

2

,

0

300

2

23

,

4

)

(

2

1

2

2

2

2

O bien la prdida expresada en altura piezomtrica:

m

m

seg

seg

m

g

h

h

f

82

,

32

82

,

32

81

,

9

322

2

2

2

1

=

=

=

=

Problema propuesto 2:

Se bombea agua desde un depsito a un dispositivo a travs de un sistema de tuberas, como se indica en la figura siguiente, la bomba desarrolla 200 HP sobre el flujo La tubera es de acero de 20.3 cm de dimetro interior, con 2 codos a 90, de k = 0,9 La boca de entrada A abocinada tiene un coeficiente de prdidas

k = 0.05 De qu presin se dispondr a la entrada del dispositivo si se mantiene un flujo de 283 lit/seg ?

Resolucin:

Se elige como volumen de control uno que abarca toda la tubera interior y la bomba desde la entrada redondeada hasta el dispositivo.

a) Aplicamos la ecuacin general de Bernuolli:

A

T

h

h

W

gz

p

V

gz

p

V

eje

B

B

B

A

A

A

1

1

2

2

2

2

+

+

+

+

+

=

+

+

r

r

Siendo

T

h

1

la prdida de carga en tubera, y

A

h

1

la prdida de carga en accesorios.

Sobre la lnea de corriente

DA

podemos escribir la ecuacin de Bernuolli para obtener la presin a la entrada PA.

r

r

r

r

r

a

A

h

at

A

A

A

p

V

g

p

P

z

V

P

z

V

P

+

=

+

=

+

+

=

+

+

2

)

(

2

2

2

0

0

2

0

2

0

0

y la presin manomtrica en A sera:

[

]

=

-

=

-

=

-

=

+

=

2

75

,

45

81

,

9

2

)

(

2

2

2

0

0

A

A

h

at

a

A

MoN

at

V

m

seg

m

V

g

p

p

P

gh

p

p

r

r

r

Para la estimacin de la presin manomtrica en A, o sea PA , requerimos el valor de VA . ste lo podemos calcular conociendo el caudal:

A

Q

V

V

seg

lit

Q

A

A

A

/

/

283

=

=

=

Operando queda:

seg

m

m

m

dm

m

seg

dm

V

A

76

,

8

4

)

203

,

0

(

10

283

2

2

3

3

3

3

=

=

-

p

Entonces, reemplazando:

UTM

m

kgF

kg

m

N

seg

m

P

A

MON

.

4

,

410

.

4

,

410

4

,

410

2

76

,

8

75

.

45

81

,

9

)

(

2

2

=

=

=

-

=

r

b) Calculamos el n Re:

Para el agua

seg

m

2

4

10

0113

,

0

-

=

J

:

6

4

10

57

,

1

10

0113

,

0

203

,

0

76

,

8

Re

=

=

=

=

-

J

m

r

D

V

VD

Este valor obtenido, nos indica que estamos en flujo turbulento

c) Prdida de carga de tubera:

Como dato del problema sabemos que se trata de tubera lisa de acero, entonces:

)

(

2

1

2

f

D

L

V

h

T

L

=

con f = 0,0147 extrado del diagrama de Moody, entonces:

kg

m

N

h

T

L

=

=

25

.

393

)

203

,

0

143

(

2

76

.

8

0147

,

0

2

d) Prdidas en accesorios:

kg

m

N

V

k

h

A

A

L

A

=

+

+

=

=

49

.

70

2

73

.

8

)

9

,

0

9

,

0

05

,

0

(

2

)

(

2

2

e) Trabajo mecnico cedido por la bomba al fluido:

Podemos expresar el trabajo mecnico por unidad de masa en funcin de la potencia de la siguiente manera:

Kg

m

530

283

,

0

10

000

.

150

283

,

0

10

)

/

(

750

200

3

3

3

3

N

W

kg

Joule

seg

m

m

kg

HP

Watt

HP

Q

Pot

dm

dW

W

ejes

ejes

=

=

=

=

=

r

f) Reemplazando valores en la ecuacin del tpico a), despejamos PB , la presin a la entrada del dispositivo.

A

T

L

L

A

B

A

B

eje

h

h

Z

Z

g

C

P

P

W

+

+

-

+

-

=

-

)

(

)

(

tomando en cuenta que: q = 0 VA = VB

En nuestro caso, respecto a la frmula general:

We es cedido al volumen de control y no extrado, por lo tanto, debe entrar con signo (-). Adems, el balance de energas internas es:

LA

LT

A

B

h

h

i

e

i

e

+

=

-

)

(

,

entonces queda:

)

(

)

(

e

LA

LT

A

B

A

B

W

h

h

Z

Z

g

P

P

-

-

-

-

-

-

=

r

r

Reemplazando valores tenemos:

BAR

cm

kgF

cm

m

N

kgF

m

N

P

m

N

m

kg

kg

m

N

P

kg

m

N

P

B

B

B

75

,

2

75

,

2

10

1

81

.

9

1

500

270

500

270

10

5

270

5

,

270

530

25

,

393

49

,

70

)

21

(

81

,

9

4

,

410

2

2

2

4

2

2

3

3

=

=

=

=

=

=

+

-

-

-

=

r

Nota:

Como las bombas se definen por su potencia nominal en (HP), y por su presin de salida y caudal entregado de acuerdo a:

450

)

.

.

1

(

)

(

)

(

m

p

caudal

BAR

presin

HP

P

=

en este caso sera:

HP

seg

seg

lit

BAR

HP

P

103

450

)

min

60

283

(

)

(

75

,

2

)

(

=

=

Esto significa que si fuera flujo ideal sin prdidas, solamente seran necesaria 103HP para lograr la presin y el caudal definidos por el problema. Como son necesarios 200 HP, hay 200 - 103 = 97HP perdidos en resistencia del fluido.

Diagramas de Moody.

Diagrama 1.

Diagrama 2.

Bibliografa complementaria para consulta:

FRANK M. WHITE, Mecnica de Fluidos, Ed. Mc Graw Hill

WILLIAM F. HUGES, Dinmica de los fluidos, Ed Mc Graw Hill

ROBERT FOX ALAN MAC DONALD, Introduccin a la Mecnica de Fluidos, 4ta Edicin, Mc Graw Hill

IRWIN SHAMES, Mecnica de Fluidos, 6ta Ed. Editorial Mc Graw Hill

RONALD GILES, Mecnica de los fluidos e Hidrulica, Ed. Mc Graw Hill

STREETER Y WEELER, Mecnica de los fluidos, Ed. Mc Graw Hill

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_1199981490.unknown

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_1200150996.unknown

_1200150750.unknown

_1199983362.unknown

_1199981639.unknown

_1199981856.unknown

_1199981597.unknown

_1199981334.unknown

_1199981361.unknown

_1199980609.unknown

_1197736153.unknown

_1197794567.unknown

_1197794828.unknown

_1197795023.unknown

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_1197735873.unknown

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