Formas Cuadraticas

Formas Cuaticas

Veronica Briceno V.

octubre 2012

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

En esta Presentacion...

En esta Presentacion veremos:

Formas Cuadraticas

Obtencion de Forma Canonica de Formas CuadraticasSecciones Conicas Rotadas.

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

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Formas CuadraticasObtencion de Forma Canonica de Formas Cuadraticas

Secciones Conicas Rotadas.

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Formas CuadraticasObtencion de Forma Canonica de Formas CuadraticasSecciones Conicas Rotadas.

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Formas Cuadraticas

Definicion

Sea A una matriz real de orden n × n. La funcin:

FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R

se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).

Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:

1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.

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Formas Cuadraticas

Definicion

Sea A una matriz real de orden n × n. La funcin:

FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R

se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).

Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:

1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.

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Formas Cuadraticas

DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:

FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R

se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).

Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:

1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.

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Formas Cuadraticas

DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:

FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R

se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).

Clasificacion:

Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:

1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.

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Formas Cuadraticas

DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:

FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R

se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).

Clasificacion:

Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:

1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.

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Formas Cuadraticas

DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:

FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R

se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).

Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:

1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 0

2 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.

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Formas Cuadraticas

DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:

FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R

se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).

Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:

1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 0

3 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.

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Formas Cuadraticas

DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:

FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R

se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).

Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:

1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 0

4 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.

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Formas Cuadraticas

DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:

FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R

se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).

Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:

1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 0

5 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores tomavalores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.

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DefinicionSea A una matriz real de orden n × n. La funcin:

FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R

se llama una forma cuadratica en las variables (x1, x2, ..., xn).

Clasificacion:Sea A una matriz real de orden n × n, entonces FA(~x), es:

1 Definida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) > 02 Definida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) < 03 Semidefinida positiva si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≥ 04 Semidefinida negativa si: ∀x ∈ Rn : FA(~x) ≤ 05 Si FA cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valorespositivos), entonces FA es indefinida.

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Ejemplos

Escribir forma cuadratica asociada a las matrices siguientes:

1 A =

(1 00 1

)

2 B =

(−1 00 −1

)3 C =

(1 00 −1

)4 D =

(1 00 0

)5 E =

(0 00 −1

)

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Ejemplos

Escribir forma cuadratica asociada a las matrices siguientes:

1 A =

(1 00 1

)2 B =

(−1 00 −1

)

3 C =

(1 00 −1

)4 D =

(1 00 0

)5 E =

(0 00 −1

)

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Ejemplos

Escribir forma cuadratica asociada a las matrices siguientes:

1 A =

(1 00 1

)2 B =

(−1 00 −1

)3 C =

(1 00 −1

)

4 D =

(1 00 0

)5 E =

(0 00 −1

)

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Ejemplos

Escribir forma cuadratica asociada a las matrices siguientes:

1 A =

(1 00 1

)2 B =

(−1 00 −1

)3 C =

(1 00 −1

)4 D =

(1 00 0

)

5 E =

(0 00 −1

)

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Ejemplos

Escribir forma cuadratica asociada a las matrices siguientes:

1 A =

(1 00 1

)2 B =

(−1 00 −1

)3 C =

(1 00 −1

)4 D =

(1 00 0

)5 E =

(0 00 −1

)

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Formas Cuadraticas en R2

Sea A =

(a bc d

)

Escribir su forma cuadratica asociada...

FA(x , y) = ax2 + (b + c)xy + dy2

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Formas Cuadraticas en R2

Sea A =

(a bc d

)Escribir su forma cuadratica asociada...

FA(x , y) = ax2 + (b + c)xy + dy2

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Sea A =

(a bc d

)Escribir su forma cuadratica asociada...

FA(x , y) = ax2 + (b + c)xy + dy2

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Formas Cuadraticas en R2

Teorema

Sea A una matriz real de orden n × n.Si B = A+AT

2 , entonces FA = FB.

Demostracion en la pizarra...

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Teorema

Sea A una matriz real de orden n × n.Si B = A+AT

2 , entonces FA = FB.

Demostracion en la pizarra...

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TeoremaSea A una matriz real de orden n × n.Si B = A+AT

2 , entonces FA = FB.

Demostracion en la pizarra...

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TeoremaSea A una matriz real de orden n × n.Si B = A+AT

2 , entonces FA = FB.

Demostracion en la pizarra...

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Ejemplos

Escribir en forma matricial:

1 x21 + 3x1x2 − 2x1x3 + x2

2 + x2x3 + 2x33

2 x2 − 4xy + 3y2

3 −5x2 + 2xy − 5y2

4 −5x2 − 2xy + 5y2

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Ejemplos

Escribir en forma matricial:

1 x21 + 3x1x2 − 2x1x3 + x2

2 + x2x3 + 2x33

2 x2 − 4xy + 3y2

3 −5x2 + 2xy − 5y2

4 −5x2 − 2xy + 5y2

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Ejemplos

Escribir en forma matricial:

1 x21 + 3x1x2 − 2x1x3 + x2

2 + x2x3 + 2x33

2 x2 − 4xy + 3y2

3 −5x2 + 2xy − 5y2

4 −5x2 − 2xy + 5y2

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Ejemplos

Escribir en forma matricial:

1 x21 + 3x1x2 − 2x1x3 + x2

2 + x2x3 + 2x33

2 x2 − 4xy + 3y2

3 −5x2 + 2xy − 5y2

4 −5x2 − 2xy + 5y2

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Formas Cuadraticas

Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:

Teorema

Sea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:

FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑

i=1

λiy2i

donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT

2 .

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Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:

Teorema

Sea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:

FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑

i=1

λiy2i

donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT

2 .

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Formas Cuadraticas

Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:

TeoremaSea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.

Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:

FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑

i=1

λiy2i

donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT

2 .

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Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:

TeoremaSea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:

FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑

i=1

λiy2i

donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT

2 .

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Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:

TeoremaSea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:

FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑

i=1

λiy2i

donde y = Vx .

La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT

2 .

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Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:

TeoremaSea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:

FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑

i=1

λiy2i

donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.

Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT

2 .

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Formas Cuadraticas

Como toda matriz simetrica es diagonalizable, se tiene:

TeoremaSea A una matriz real de orden n × n y consideramos su formacuadratica asociada FA : Rn → R,FA(~x) = xT Ax ∈ R.Entonces existe una matriz ortonormal V (de orden n × n) demanera que:

FA(~x) = FA(y1, y2, ...yn) =n∑

i=1

λiy2i

donde y = Vx .La forma cuadraticaF se llama la forma canonica asociada aFA.Los valores λ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolossegun la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de lamatriz simetrica A+AT

2 .

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Formas Cuadraticas

Observacion: Haciendo uso de la forma canonica es facilanalizar si es definida positiva, negativa, indefinida etc.

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Ecuacion Cuadratica

Definicion

Una Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:

ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0

donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:

X T AX + KX + f = 0

donde: A =

(a bb c

), X =

(xy

), K = (de)

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Ecuacion Cuadratica

Definicion

Una Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:

ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0

donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:

X T AX + KX + f = 0

donde: A =

(a bb c

), X =

(xy

), K = (de)

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Ecuacion Cuadratica

DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:

ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0

donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:

X T AX + KX + f = 0

donde: A =

(a bb c

), X =

(xy

), K = (de)

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Ecuacion Cuadratica

DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:

ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0

donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:

X T AX + KX + f = 0

donde: A =

(a bb c

), X =

(xy

), K = (de)

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Ecuacion Cuadratica

DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:

ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0

donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.

En forma matricial escribimos:

X T AX + KX + f = 0

donde: A =

(a bb c

), X =

(xy

), K = (de)

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Ecuacion Cuadratica

DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:

ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0

donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:

X T AX + KX + f = 0

donde: A =

(a bb c

)

, X =

(xy

), K = (de)

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Ecuacion Cuadratica

DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:

ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0

donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:

X T AX + KX + f = 0

donde: A =

(a bb c

), X =

(xy

)

, K = (de)

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Ecuacion Cuadratica

DefinicionUna Ecuacion Cuadratica en las variables x e y , es de la forma:

ax2 + 2bxy + cy2 + dy + ex + f = 0

donde a,b, c,d ,e, f son numeros reales y al menos uno de loscoeficientes a,b, c es no nulo.En forma matricial escribimos:

X T AX + KX + f = 0

donde: A =

(a bb c

), X =

(xy

), K = (de)

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Secciones Conicas

Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .

Procedimiento

1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los

~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.

3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(

xy

)= V

(uv

)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema

uv .

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Secciones Conicas

Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .

Procedimiento

1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los

~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.

3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(

xy

)= V

(uv

)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema

uv .

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Secciones Conicas

Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .

Procedimiento

1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los

~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.

3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(

xy

)= V

(uv

)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema

uv .

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Secciones Conicas

Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .

Procedimiento1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.

2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.

3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(

xy

)= V

(uv

)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema

uv .

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Secciones Conicas

Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .

Procedimiento1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los

~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.

3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(

xy

)= V

(uv

)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema

uv .

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Secciones Conicas

Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .

Procedimiento1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los

~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.

3 V es tal que |V | = 1

4 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(xy

)= V

(uv

)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema

uv .

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Secciones Conicas

Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .

Procedimiento1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los

~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.

3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(

xy

)= V

(uv

)

5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistemauv .

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Secciones Conicas

Utilizando diagonalizacion para matrices simetricas, siempre esposible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que laecuacion con respecto al nuevo sistema no tenga terminos enxy .

Procedimiento1 Escribir en forma matricial la ecuacion cuadratica.2 Buscamos una matriz ortonormal V (las columnas son los

~vp ortonormales) que diagonalice A, es decir, V T AV = D,conD diagonal.

3 V es tal que |V | = 14 Utilizamos la transformacin de coordenadas:(

xy

)= V

(uv

)5 Encontramos la ecuacion de la conica en el nuevo sistema

uv .Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.

x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14

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Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.

x2 − 4xy + 3y2 = 6

−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.

x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4

−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.

x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 4

2x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.

x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0

x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.

x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 0

5x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.

x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 9

9x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.

x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 5

3x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.

x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 0

2x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una baseortonormal de R2 y las ecuaciones de rotacioncorrespondientes que permiten escribirla en la forma canonicae identifique la conica que representa.

x2 − 4xy + 3y2 = 6−5x2 + 2xy − 5y2 = 4−5x2 − 2xy + 5y2 = 42x2 − 4xy − y2 + 8 = 0x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 05x2 + 4xy + 5y2 = 99x2 − 4xy + 6y2 − 10x − 20y = 53x2 − 8xy − 12y2 + 30x − 64y = 02x2 − 4xy − y2 − 4x − 8y = −14

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Por otra parte

Veronica Briceno V. Formas Cuaticas

Por otra parte

Observamos que X ′Y ′ son los nuevos ejes verifican:X ′ = rcos(θ)Y ′ = rsen(θ)Formulas de Rotacion de Ejes:

X ′ = Xcos(θ)− Ysen(θ)

Y ′ = Xsen(θ) + Ycos(θ)

X = X ′cos(θ) + Y ′sen(θ)

Y = −X ′sen(θ) + Y ′cos(θ)

En forma matrcial se escribe:

X = VX ′

donde: X =

(xy

); X ′ =

(x ′

y ′

); V =

(cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)

)Evidentemente, |V | = 1

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