Alumno:

José Mogollón

CDI: 23.852.228

Materia: Matemática I

Carrera: Informática (78) (Mañana)

Profesor: Domingo Méndez

FORMAS

INDETERMINADAS

Formas indeterminada

Las formas indeterminadas involucran los límites del tipo: es decir, cuando una variable que tiende a ese valor parece no existir o no estar definida.

Si una función toma para ciertos valores de la variable una de las formas siguientes_

.

Interpretación

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado

La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0, o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.

Ejemplos:

Indeterminado no cocientes

A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla.

Tipo

La forma ∞/∞

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • ∞

Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es , no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma ideterminada del tipo . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada

La forma 00

La forma ∞0

La forma 1∞

Ejemplo: el siguiente límite1

, es de la forma ; considerando

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene

de manera que el límite sería

Forma indeterm

inadaCondiciones Transformación a 0/0 Transformación a ∞/∞

—

—

Tabla de formas indeterminadas

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Ejemplos

Ejemplo #1

forma indeterminada:

Usando L'Hospital:

Ejemplo # 2

forma indeterminada:

Usando L'Hospital:

forma indeterminada:

Usando L'Hospital:

Ejemplo # 3

forma indeterminada:

Usando L'Hospital:

Ejemplo # 4

forma indeterminada:

forma:

Ejemplo # 5

forma indeterminada:

Usando L'Hospital:

Regla de L'Hôpital para límites. 

  La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así:

  Un límite indeterminado de la forma:

valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:

De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0. Veamos un ejemplo.

  EJEMPLO  Hallar el límite:

este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital:

límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a aplicar la regla de L'Hôpital:

que es en definitiva el valor del límite.

  Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones:  / , 0× , - .

 

Por ejemplo, una indeterminación del tipo / , provendrá de un límite de la forma:

en donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:

y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación / no es diferente de la 0/0.