FRACTALESUNA PRESENTACION SOBRE LA

GENERACION DE LOS FRACTALES TOMADA DE LA WEB.

Aproximación fractal de objetos

Rep. de objetos tridimensionales en animación y realidad virtualESCET – URJCCurso 2004-05

Índice Sistemas de Funciones Iteradas (SFI) Obtención de un fractal a partir de un SFI

Aproximación (práctica) de objetos El continente fractal: rutas turísticas Bibliografía

La semana pasado vimos un método sencillo para crearfractales autosemejantes empleando semejanzas.

Si tenemos unas semejanzas contractivas f1, f2 ,.., fm, es deciraplicaciones fi :Rn Rn tales que

d( fi(x), fi(y) )=r d(x,y),

con 0 < r < 1, y para un conjunto B compacto tomamos

,)()(1

m

ii BfBS

FBSSBSBSSBSB ...)()()()( 22

.)(lim)(lim)( 1 FBSBSSFS n

n

n

n

Por ejemplo, si tomamos las semejanzas del plano w1, w2 y w3

y tomamos B comoun cuadrado…

Usando semejanzas contractivas se pueden obtener (casi) todos los fractales clásicos que hemos visto...

¿se pueden generar otros objetos más complejos?

Para ello debemos afinar nuestras herramientas definiendoalgo más general que las semejanzas contractivas.

(Barnsley, 1985)

…en la práctica, serán aplicaciones de la forma

,),(

f

e

y

x

dc

bayxf

Aplicaciones contractivas

Una aplicación f:Rn Rn es una semejanza contractiva si d( f(x) , f(y) )=r d( x , y ),

con d(·,·) la distancia y 0 < r < 1 (razón de la semejanza).

Una aplicación f:Rn Rn es una aplicación contractiva si d( f(x) , f(y)) r d( x, y ),

con d(·,·) la distancia y 0 < r < 1 (razón de la contracción).

Aplicación contractiva = transformación que acerca puntos

Todas las semejanzas contractivas son apl. contractivas Hay muchas más aplicaciones contractivas, como por ejemplo,

Las aplicaciones afines

Una aplicación f:Rn Rn es una aplicación contractiva si d( f(x) , f(y)) r d( x, y ),

con d(·,·) la distancia y 0 < r < 1 (razón de la contracción).

.1

,1

),(22

21

2

22

21

121

xx

x

xx

xxxf

,),(

f

e

y

x

dc

bayxf

son contractivas si .;max Aii depropiovalor

Si tomamos unas funciones contractivas S={ g1 ,g2 ,…, gm},

(un sistema de funciones iteradas o SFI), siempre existe un único conjunto F tal que

F se llama atractor del sistema S.

m

ii FgF

1

)(

Sistema de funciones iteradas

F es “autosemejante” según las transformaciones S

Idea de la demostración

Si ,;)( 22 RBRH decompactoconjunto

Un conjunto que contiene su frontera y está contenido en un cubo

Consideramos S: H(R2) H(R2 ) definida como

m

ii BgBS

1

).()(

Partimos de unas funciones contractivas S={ g1 ,g2 , …, gm }.

S: H(R2) H(R2 ) es una aplicación contractiva, es decir

),,()(),( BAdrBSASd HH

para cualesquiera A,B en H(R2). Por el teorema del punto fijo, existe F (único) tal que F=S(F).

Obtención del atractor de un SFI

Si tenemos un sistema de funciones iteradasS={ g1 ,g2 , …, gm }.

¿cómo calcular el conjunto F tal que ? m

ii FgFSF

1

)()(

Método Determinista: Tomamos un compacto B y construimos

...)()()()()( 322 BSBSSBSBSSBSB

Tomando límites cuando n tiende a infinito,

)())(lim()(lim)(lim FSBSSBSSBSF n

n

n

n

n

n

Es decir partiendo de cualquier B, llegamos al atractor F

Obtención del atractor de un SFI

Método Aleatorio: Si S={g1, g2, …, gm}, tomamos xo (cualquiera).

Elegimos al azar

.)(),...,(),( 211 omoo xgxgxgx

A continuación, elegimos al azar

,)(),...,(),( 112112 xgxgxgx m

...)(),...,(),( 222213 xgxgxgx m

construyendo una sucesión de puntos (xn) que cumple que

.lim Fxxnn

Repitiendo con otros (muchos) xo, obtenemos una aproximación de F

Aproximación de Objetos mediante SFISi C es un objeto, ¿existe un fractal F que se parezca a C?

Matemáticamente, si C es un compacto,

¿existe fractal F tal que dH(C,F) es pequeña?

Sabemos crear fractales (con SFI), ¿podemos adivinar si se parecerán a C?

Teorema del CollageSi tenemos un compacto C y aplicaciones contractivas S={ g1 ,g2 ,…, gm}, de razones de contraccion r1,r2,..rm,de forma que

entonces,

donde F es el fractal asociado a S (el atractor) y

,)(,)(,1

m

iiHH CgCdCSCd

,1

,r

FCdH

....,,,max 21 mrrrr

Si C se parece a S(C), entonces C se parece a F

Idea de la demostración

Si tenemos S={g1, g2, …, gm} y C es un compacto construimos

,CX o ),()(1 CSXSX o ),....()()( 2

12 CSCSSXSX

)(...)( 1 CSXSX nnn

Entonces, .))(,(),( 1 nH

nnnH rCSCdrXXd

.1

),(lim)lim,(),(0

00 rrXXdXXdFCd

i

inH

nn

nHH

Si n tiende a infinito,

.),(),(1

0

1

010

n

i

in

iiiHnH rXXdXXd

¿cómo emplear este resultado?

.1

),()(,1 r

FCdCgCd H

m

iiH

Si queremos aproximar un compacto C empleando que

En la práctica buscamos S={g1, g2, …, gm} tales que

C se parezca a S(C).

g1, g2, …, gm sean de razón pequeña.

g1, g2, …, gm sean contracciones afines.

…veamos algún ejemplo…

Ejemplo: Aproximación de una hoja

¿podemos aproximar la siguiente imagen?

Ejemplo: Aproximación de una hoja

Ejemplo: Aproximación de una hoja

..construyendo contracciones afines…

,),(

f

e

y

x

dc

bayxf

con la siguiente tabla de datos…

a b c d e f0.14 0.01 0 0.51 -0.08 -1.31

0.43 0.52 -0.45 0.50 1.49 -0.75

0.45 -0.49 0.47 0.47 -1.62 -0.74

0.49 0 0 0.51 0.02 1.62

…ya podemos generar resultados con Maple, por ejemplo…

Esta misma situación se puede repetir con muchos objetos…

Excursiones Fractales

Lo que hemos visto no es mas que una pequeña toma de contacto con la geometría fractal, que tiene múltiples posiblescontinuaciones, como por ejemplo

La compresión fractal de imágenes basado en SFI. Los fractales basados en algoritmos de escape (conjuntos de

Mandelbrot, Julia, sistemas dinámicos…). Los L-sistemas y los lenguajes fractales. El modelado de terrenos y nubes con fractales plasma. …

Resumiendo:

Los sistemas de funciones iteradas dan un método fácil para generar una gran variedad de fractales.

Mediante SFIs se pueden aproximar muchos objetos (no necesariamente fractales) de forma simple.

La geometría fractal es un campo abierto repleto de potenciales aplicaciones.

M.Barnsley. “Fractals Everywhere” Academic Press (Muy exaustivo) M. de Guzmán, M.A.Martín, M.Morán y M.Reyes. “Estructuras fractales y sus

aplicaciones”. Editorial Labor(Muy claro, completo y con lenguaje divulgativo). Falconer “Fractal Geometry” (Profundo, pero muy matemático).

Fundamentos Matemáticos de los fractales

Un poco de bibliografía

Otros libros y enlaces sobre fractales

J.Barrallo Calonge “Geometría fractal: algoritmica y representación”. Anaya Multimedia (Con pocos requisitos matemáticos, presenta algoritmos y programas en C, bastante completo).

http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/ Curso sobre geometría fractal http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/ Colección de recursos fractales