158 CAPTULO 5 Aplicacin de las leyes de Newton

5.4 Dinmica del movimiento circular

Vimos el movimiento circular uniforme en la seccin 3.4, mostrando que, cuando unapartcula se mueve en un crculo con rapidez constante, su aceleracin siempre es ha-cia el centro del crculo (perpendicular a la velocidad instantnea). La magnitud aradde la aceleracin es constante y est dada en trminos de la rapidez v y el radio R delcrculo por

(movimiento circular uniforme) (5.14)

El subndice rad nos recuerda que en cada punto la aceleracin siempre es radialhacia el centro del crculo, perpendicular a la velocidad instantnea. En la seccin 3.4explicamos por qu se le denomina aceleracin centrpeta.

Tambin podemos expresar la aceleracin centrpeta arad en trminos del periodo T,el tiempo que tarda una revolucin:

(5.15)

En trminos del periodo, arad es

(movimiento circular uniforme) (5.16)

El movimiento circular uniforme, como todos los movimientos de una partcula,se rige por la segunda ley de Newton. Para hacer que la partcula acelere hacia elcentro del crculo, la fuerza neta sobre la partcula debe estar dirigida siemprehacia el centro (figura 5.28). La magnitud de la aceleracin es constante, as que la magnitud Fnet de la fuerza neta tambin debe ser constante. Si deja de actuar lafuerza neta hacia adentro, la partcula saldr disparada en una lnea recta tangente al crculo (figura 5.29).

La magnitud de la aceleracin radial est dada por arad 5 v2>R, as que la magnitudFnet de la fuerza neta sobre una partcula de masa m, en movimiento circular unifor-me, debe ser

(movimiento circular uniforme) (5.17)Fnet 5 marad 5 m v

2

R

gFS

arad 54p2RT2

T 52pR

v

arad 5v

2

R

EVALUAR: La rapidez terminal es proporcional a la raz cuadrada de lamasa del paracaidista, de manera que un paracaidista ms robusto, conel mismo coeficiente de arrastre D, pero el doble de masa, tendra unarapidez terminal veces mayor, o bien, 63 m>s. (Un para-caidista con mayor masa tambin tendra mayor rea frontal y, por lotanto, un coeficiente de arrastre ms grande, por lo que su rapidez ter-minal sera un poco menor que 63 m>s.) Incluso la rapidez terminal de

"2 5 1.41

un paracaidista ligero es bastante alta y su fase de cada no dura mu-cho. Una cada de 2800 m (9200 ft) hasta la superficie a rapidez termi-nal slo tarda (2800 m)>(44 m>s) 5 64 s.

Cuando el paracaidista abre su paracadas, el valor de D aumentaconsiderablemente y la rapidez terminal del hombre y el paracadas sereduce drsticamente, a un valor mucho menor.

Evale su comprensin de la seccin 5.3 Considere una caja que se coloca sobre superficies distintas. a) En qu situacin(es) no hay fuerza de friccin actuando sobre la caja? b) En qu situacin(es) hay una fuerza de friccin esttica actuandosobre la caja? c) En qu situacin(es) hay una fuerza de friccin cintica sobre la caja? i) La caja est en reposo sobre una superficie horizontal spera. ii) La caja est en reposo enuna superficie inclinada spera. iii) La caja est sobre la plataforma horizontal y spera de uncamin, el cual se mueve a velocidad constante en una carretera recta y horizontal, en tantoque la caja permanece en el mismo lugar a la mitad de la plataforma. iv) La caja est sobre la plataforma horizontal y spera de un camin, el cual acelera en una carretera recta y horizontal, en tanto que la caja permanece en el mismo lugar a la mitad de la plataforma. v) La caja est sobre la plataforma horizontal y spera de un camin, el cual sube una pendiente y la caja se desliza hacia la parte trasera del camin.

En el movimientocircular uniforme,

tanto la aceleracincomo la fuerza netaestn dirigidas haciael centro del crculo.

vS

aS

vS

aS

vS

aS

SFSF

SF

5.28 En el movimiento circular uniforme,la aceleracin y la fuerza neta estn dirigidas hacia el centro del crculo.

De repente,la cuerdase rompe.

SFS

SFS

Ninguna fuerza neta acta sobre lapelota, por lo que ahora se rige porla primera ley de Newton: se mueveen lnea recta a velocidad constante.

Una pelota unida a una cuerda girasobre una superficie sin friccin.

vS

vS

vS

aS

aS

vS

5.29 Qu sucede si la fuerza radial haciaadentro repentinamente deja de actuar so-bre un cuerpo en movimiento circular?

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5 .4 Dinmica del movimiento circular 159

El movimiento circular uniforme puede ser resultado de cualquier combinacin defuerzas que produzca una fuerza neta de magnitud constante y siempre dirigidahacia el centro del crculo. Observe que el cuerpo necesita moverse alrededor de uncrculo completo: la ecuacin (5.17) es vlida para cualquier trayectoria que se consi-dere parte de un arco circular.

CUIDADO Evite usar fuerza centrfuga La figura 5.30 muestra tanto un diagrama decuerpo libre correcto para el movimiento circular uniforme (figura 5.30a) como un diagramacomn incorrecto (figura 5.30b). La figura 5.30b es incorrecta porque incluye una fuerza adicio-nal hacia afuera de magnitud m(v2>R) para mantener el cuerpo en equilibrio. Hay tres razonespara no incluir tal fuerza hacia fuera, que solemos llamar fuerza centrfuga (centrfuga sig-nifica que se aleja del centro). En primer lugar, el cuerpo no est en equilibrio; est en movi-miento constante con trayectoria circular. Puesto que su velocidad est cambiando constante-mente de direccin, el cuerpo est acelerado. En segundo lugar, si hubiera una fuerza adicionalhacia afuera para equilibrar la fuerza hacia adentro, no habra fuerza neta y el cuerpo se move-ra en lnea recta, no en un crculo (figura 5.29). Y, en tercer lugar, la cantidad m(v2>R) no es unafuerza; corresponde al lado de , y no aparece en (figura 5.30a). Es cierto queun pasajero en un automvil que sigue una curva en un camino horizontal tiende a deslizarsehacia fuera de la curva, como si respondiera a una fuerza centrfuga pero, como vimos en laseccin 4.2, lo que realmente sucede es que el pasajero tiende a seguir movindose en lnea recta, y el costado del auto choca contra el pasajero cuando el auto da vuelta (figura 4.11c).En un marco de referencia inercial no existe ninguna fuerza centrfuga. No volveremos amencionar este trmino, y le recomendamos no usarlo nunca.

gFS

gFS

5 maS

maS

gFS

a) Diagrama de cuerpo libre correcto

b) Diagrama de cuerpo libre incorrecto

Si incluye la aceleracin, dibjela a un ladodel cuerpo para indicar que no es una fuerza.

La cantidad mv2/R no es una fuerza;no debe incluirse en un diagrama decuerpo libre.

aradF

F

mv2

R INCORRECTO

CORRECTO!

5.30 Diagramas de cuerpo libre a) correcto y b) incorrecto para un cuerpoen movimiento circular uniforme.

Ejemplo 5.20 Fuerza en movimiento circular uniforme

Un trineo con masa de 25.0 kg descansa en una plataforma horizontalde hielo prcticamente sin friccin. Est unido con una cuerda de 5.00 ma un poste clavado en el hielo. Una vez que se le da un empujn, el trineo da vueltas uniformemente alrededor del poste (figura 5.31a). Si el trineo efecta cinco revoluciones completas cada minuto, calculela fuerza F que la cuerda ejerce sobre l.SOLUCIN

IDENTIFICAR: El trineo est en movimiento circular uniforme, asque tiene una aceleracin radial. Aplicaremos al trineo la segunda leyde Newton para determinar la magnitud F de la fuerza que la cuerdaejerce (nuestra incgnita).PLANTEAR: La figura 5.31b muestra el diagrama de cuerpo libre del trineo. La aceleracin slo tiene componente x: hacia el centro delcrculo; por lo tanto, la denotamos con arad. No nos dan la aceleracin,as que tendremos que determinar su valor con la ecuacin (5.14) o con la ecuacin (5.16).

EJECUTAR: No hay aceleracin en la direccin y, as que la fuerza ne-ta en esa direccin es cero y la fuerza normal y el peso tienen la mismamagnitud. Para la direccin x, la segunda ley de Newton da

Podemos obtener la aceleracin centrpeta arad con la ecuacin (5.16).El trineo se mueve en un crculo de radio R 5 5.00 m, con un periodoT5 (60.0 s)>(5 rev) 5 12.0 s, as que

O bien, podemos usar primero la ecuacin (5.15) para calcular la rapi-dez v:

Luego, usando la ecuacin (5.14),

Por lo tanto, la magnitud F de la fuerza ejercida por la cuerda es

EVALUAR: Se necesitara una fuerza mayor si el trineo diera vueltas alcrculo con mayor rapidez. De hecho, si v aumentara al doble sin cam-biar R, F sera cuatro veces mayor. Puede usted demostrarlo? Cmocambiara F si v no cambiara pero el radio R aumentara al doble?

5 34.3 kg # m/s2 5 34.3 N F 5 marad 5 125.0 kg 2 11.37 m/s2 2

arad 5v

2

R512.62 m/s 2 2

5.00 m 5 1.37 m/s2

v 52pRT

52p 15.00 m 2

12.0 s5 2.62 m/s

arad 54p2RT 2

54p2 15.00 m 2112.0 s 2 2 5 1.37 m/s2

aFx 5 F 5 marad

La direccin +xapunta hacia el centrodel crculo.

a) Trineo en movimientocircular uniforme

b) Diagrama de cuerpolibre del trineo

R

5.31 a) La situacin. b) Nuestro diagrama de cuerpo libre.

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160 CAPTULO 5 Aplicacin de las leyes de Newton

Ejemplo 5.21 El pndulo cnico

Un inventor propone fabricar un reloj de pndulo usando una lentejade masa m en el extremo de un alambre delgado de longitud L. En vez de oscilar, la lenteja se mueve en un crculo horizontal con rapidezconstante v, con el alambre formando un ngulo constante b con lavertical (figura 5.32a). Este sistema se llama pndulo cnico porque elalambre suspendido forma un cono. Calcule la tensin FT en el alam-bre y el periodo T (el tiempo de una revolucin de la lenteja) en tr-minos de b.

SOLUCIN

IDENTIFICAR: Para obtener las dos incgnitas la tensin F y el periodo T necesitamos dos ecuaciones, que sern las componenteshorizontal y vertical de la segunda ley de Newton aplicada a la lenteja.Obtendremos la aceleracin de la lenteja hacia el centro del crculo uti-lizando una de las ecuaciones para movimiento circular.

PLANTEAR: La figura. 5.32b muestra el diagrama de cuerpo libre dela lenteja como un sistema de coordenadas. Las fuerzas sobre la lente-ja en la posicin que se muestra son el peso mg y la tensin F en elalambre. Observe que el centro de la trayectoria circular est en el mis-

mo plano horizontal que la lenteja, no el extremo superior del alambre.La componente horizontal de la tensin es la fuerza que produce laaceleracin horizontal arad hacia el centro del crculo.

EJECUTAR: La lenteja no tiene aceleracin vertical; la aceleracin ho-rizontal est dirigida al centro del crculo, as que usamos el smboloarad. Las ecuaciones son

Tenemos dos ecuaciones simultneas para las incgnitas F y b. Laecuacin para gFy da F 5 mg>cos b; si sustituimos esto en la ecuacinde gFx y usando senb>cos b 5 tan b, tendremos

Para relacionar b con el periodo T, usamos la ecuacin (5.16) para arad.El radio del crculo es R5 L sen b, as que

Sustituyendo esto en tan b 5 arad>g, tenemos

que podemos reescribir as:

EVALUAR: Para una longitud L dada, al aumentar el ngulo b, cos bdisminuye, el periodo T se vuelve ms pequeo y la tensin F 5 mg>cos b aumenta. Sin embargo, el ngulo nunca puede ser 908; pues ello requerira T 5 0, F 5 ` y v 5 `. Un pndulo cnico no sera muy buen reloj porque el periodo depende de forma demasiado directade b.

T 5 2pL cos bg

tan b 54p2L sen b

gT 2

arad 54p2RT 2

54p2L sen b

T 2

tan b 5arad

g

aFy 5 F cos b 1 12mg 2 5 0 aFx 5 F sen b 5 marad

gFS

5 maS

Consideramos la direccin+x hacia el centro delcrculo.

b

a) La situacin b) Diagrama de cuerpolibre de la lenteja

R

v

Lsen

5.32 a) La situacin. b) Nuestro diagrama de cuerpo libre.

Ejemplo 5.22 Vuelta a una curva plana

El automvil deportivo del ejemplo 3.11 (seccin 3.4) va por una curvasin peralte de radio R (figura 5.33a). Si el coeficiente de friccin estticaentre los neumticos y la carretera es ms, cul es la rapidez mximavmx con que el conductor puede tomarse la curva sin derrapar?

SOLUCIN

IDENTIFICAR: La aceleracin del automvil al tomar la curva tienemagnitud arad 5 v2>R, as que la rapidez mxima vmx (nuestra incg-nita) corresponde a la aceleracin mxima arad, y a la fuerza horizon-tal mxima sobre el auto hacia el centro del camino circular. La nicafuerza horizontal que acta sobre el auto es la fuerza de friccin ejer-cida por la carretera. Por lo tanto, tendremos que usar la segunda leyde Newton y lo que aprendimos acerca de la fuerza de friccin en laseccin 5.3.

PLANTEAR: El diagrama de cuerpo libre de la figura. 5.33b incluye elpeso del auto, w 5 mg y dos fuerzas ejercidas por la carretera: la fuer-za normal n y la fuerza de friccin horizontal f. La fuerza de friccin

a) El auto toma una curvade un camino plano

b) Diagrama decuerpo libre del auto

R

5.33 a) La situacin. b) Nuestro diagrama de cuerpo libre.

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5 .4 Dinmica del movimiento circular 161

debe apuntar hacia el centro de la trayectoria circular para causar laaceleracin radial. Puesto que el auto no se mueve en la direccin ra-dial (es decir, no se desliza hacia el centro del crculo ni en la direccinopuesta), la fuerza de friccin es esttica con una magnitud mximafmx 5 msn [vase la ecuacin (5.6)].

EJECUTAR: La aceleracin hacia el centro de la trayectoria circular esarad 5 v

2>R y no hay aceleracin vertical. Entonces,

La segunda ecuacin muestra que n 5 mg. La primera ecuacin mues-tra que la fuerza de friccin necesaria para mantener el auto en su tra-yectoria circular aumenta con la rapidez del auto. No obstante, lafuerza mxima de friccin disponible es fmx 5 msn5 msmg, y esto de-termina la rapidez mxima del auto. Si sustituimos fmx por f y vmx porv en la ecuacin gFx tenemos

ms mg 5 m vmx

2

R

aFy 5 n 1 12mg 2 5 0 aFx 5 f 5 marad 5 m

v2

R

as que la rapidez mxima es

Por ejemplo, si ms 5 0.96 y R 5 230 m, entonces

lo que equivale a casi 170 km>h (100 mi>h). sta es la rapidez mximapara el radio.

EVALUAR: Si la rapidez del auto es menor que la fuerza defriccin requerida es menor que el valor mximo fmx 5 msmg y el autopuede tomar la curva fcilmente. Si tratamos de tomar la curva con unarapidez mayor que la mxima, el auto an podr describir un crculosin derrapar, pero el radio ser mayor y el auto se saldr de la carretera.

Cabe sealar que la aceleracin centrpeta mxima (la acelera-cin lateral del ejemplo 3.11) es msg. Si se reduce el coeficiente defriccin, la aceleracin centrpeta mxima y vmx tambin se reducen.Por ello, es mejor tomar las curvas a menor rapidez si el camino estmojado o cubierto de hielo (pues ambas cuestiones reducen el valorde ms).

"ms gR ,

vmx 5" 1 0.96 2 19.8 m/s2 2 1230 m 2 5 47 m/s

vmx 5"ms gR

Ejemplo 5.23 Tomar una curva peraltada

Para un automvil que viaja a cierta rapidez, es posible peraltar unacurva con un ngulo tal que los autos que viajan con cierta rapidez nonecesiten friccin para mantener el radio con que dan vuelta. El autopodra tomar la curva aun sobre hielo hmedo. (Las carreras de trineosse basan en la misma idea.) Un ingeniero propone reconstruir la curvadel ejemplo 5.22 de modo que un auto con rapidez v pueda dar la vuel-ta sin peligro aunque no haya friccin (figura 5.34a). Qu ngulo deperalte b debera tener la curva?

SOLUCIN

IDENTIFICAR: Al no haber friccin, las nicas dos fuerzas que actansobre el auto son su peso y la fuerza normal. Puesto que el camino tie-ne peralte, la fuerza normal (que acta perpendicular a la superficie delcamino) tiene una componente horizontal. Esta componente es la queproduce la aceleracin horizontal hacia el centro de la trayectoria circu-lar que el auto sigue). Puesto que intervienen fuerzas y aceleracin,usaremos la segunda ley de Newton para obtener la incgnita b.

PLANTEAR: Nuestro diagrama de cuerpo libre (figura 5.34b) es muysimilar al diagrama del pndulo cnico del ejemplo 5.21 (figura5.32b). La fuerza normal que acta sobre el auto desempea el papelde la tensin que acta sobre la lenteja del pndulo.

EJECUTAR: La fuerza normal es perpendicular a la carretera y formaun ngulo b con respecto a la vertical; por lo tanto, tiene una compo-nente vertical n cos b y una componente horizontal n sen b, como seindica en la figura 5.34b. La aceleracin en la direccin x es la acelera-cin centrpeta, arad 5 v2>R; no hay aceleracin en la direccin y. En-tonces, las ecuaciones de la segunda ley de Newton

aFy 5 n cos b 1 12mg 2 5 0 aFx 5 n sen b 5 marad

nS

R

b

a) Un auto toma una curva peraltada b) Diagrama decuerpo libre del auto

sen

5.34 a) La situacin. b) Nuestro diagrama de cuerpo libre.

contina

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162 CAPTULO 5 Aplicacin de las leyes de Newton

Curvas peraltadas y el vuelo de avionesLos resultados del ejemplo 5.23 tambin son vlidos para un avin cuando da vueltamientras vuela horizontalmente (figura 5.35). Cuando un avin vuela en lnea rectacon rapidez constante y sin variar su altitud, su peso se equilibra exactamente con lafuerza de sustentacin ejercida por el aire. (La fuerza de sustentacin hacia arribaque el aire ejerce sobre las alas es una reaccin al empuje hacia abajo que las alasejercen sobre el aire, al moverse las alas a travs de ste.) Para hacer que el avin dvuelta, el piloto lo inclina hacia un lado para que la fuerza de sustentacin tenga unacomponente horizontal, como en la figura 5.35. (El piloto tambin altera el ngulocon que las alas muerden el aire, de modo que la componente vertical de la susten-tacin siga equilibrando el peso.) El ngulo de ladeo est relacionado con la rapidez vdel avin y con el radio R de la vuelta por la misma expresin que vimos en el ejem-plo 5.23: tan b 5 v2>gR. Si se quiere que el avin d una vuelta cerrada (R pequeo)con gran rapidez (v grande), tan b deber ser grande, as que el ngulo de ladeo re-querido b se acercar a 908.

Tambin podemos aplicar los resultados del ejemplo 5.23 al piloto de un avin. Eldiagrama de cuerpo libre del piloto es idntico al de la figura 5.34b; el asiento ejercela fuerza normal n 5 mg>cos b sobre el piloto. Al igual que en el ejemplo 5.9, n esigual al peso aparente del piloto, que es mucho mayor que su peso real mg. En unavuelta cerrada con ngulo de ladeo b grande, el peso aparente del piloto puede serenorme: n 5 5.8mg con b 5 808 y n 5 9.6mg con b 5 848. Los pilotos llegan a des-mayarse en tales vueltas porque el peso aparente de su sangre aumenta en la mismaproporcin, y el corazn no es lo bastante fuerte como para bombear al cerebro unasangre aparentemente tan pesada.

Movimiento en un crculo verticalEn los ejemplos 5.20, 5.21, 5.22 y 5.23 el cuerpo se mova en un crculo horizontal.El movimiento en un crculo vertical no es diferente en principio; no obstante, hayque tratar con cuidado el peso del cuerpo. El ejemplo que sigue ilustra esa necesidad.

LS

De la ecuacin gFy, n 5 mg>cos b. Si sustituimos esto en la ecuacingFx, obtenemos una expresin para el ngulo de peralte:

que es la misma expresin que obtuvimos en el ejemplo 5.21. Por lti-mo, si sustituimos la expresin arad 5 v2>R, obtenemos

EVALUAR: El ngulo de peralte depende de la rapidez y el radio. Paraun radio dado, no hay un ngulo correcto para todas las rapideces. Al

tan b 5v

2

gR

tan b 5arad

g

disear autopistas y ferrocarriles, lo usual es peraltar las curvas para larapidez media del trfico. Si R 5 230 m y v 5 25 m>s (correspondien-te a una rapidez de autopista de 90 km>h o 56 mi>h), entonces,

Este resultado est dentro del intervalo de ngulos de peralte usados en autopistas reales. Con el mismo radio y v 5 47 m>s, como en elejemplo 5.22, b 5 44; hay curvas con tanto peralte en las pistas de carreras.

b 5 arctan 125 m/s 2 2

19.8 m/s2 2 1 230 m 2 5 15

w 5 mg

L cos b

b

L

L sen b

5.35 Un avin se inclina hacia un lado para dar un giro en esa direccin. La componente vertical de la fuerza de sustentacin equilibra la fuerza degravedad; la componente horizontal de causa la aceleracin v2>R.L

S

LS

Ejemplo 5.24 Movimiento circular uniforme en un crculo vertical

Un pasajero en una rueda de la fortuna se mueve en un crculo verticalde radio R con rapidez constante v. El asiento permanece vertical du-rante su movimiento. Deduzca expresiones para la fuerza que el asientoejerce sobre el pasajero en la parte superior e inferior del crculo.SOLUCIN

IDENTIFICAR: Tanto en la parte superior como inferior del crculo,la incgnita es la magnitud n de la fuerza normal que el asiento ejercesobre el pasajero. Obtendremos dicha fuerza en cada posicin apli-cando la segunda ley de Newton y las ecuaciones del movimiento circular uniforme.

PLANTEAR: La figura 5.36a muestra la velocidad y aceleracin delpasajero en las dos posiciones. Observe que la aceleracin est dirigidahacia abajo cuando se encuentra en la parte superior del crculo; y ha-cia arriba cuando est en la parte inferior. En ambas posiciones, lasnicas fuerzas que actan son verticales: la fuerza normal hacia arri-ba y la fuerza de gravedad hacia abajo. Por lo tanto, slo necesitamosla componente vertical de la segunda ley de Newton.

EJECUTAR: Las figuras 5.36b y 5.36c son los diagramas de cuerpo libre para las dos posiciones. Tomamos la direccin 1y hacia arriba en ambos casos. Sea nT la fuerza normal hacia arriba que el asiento

4.2 Resolucin de problemas de movimiento circular

4.3 Carrito que viaja en una trayectoria circular

4.4 Pelota que se balancea en una cuerda

4.5 Automvil que describe crculos en una pista

O N L I N E

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5 .5 Fuerzas fundamentales de la naturaleza 163

Si atamos un cordn a un objeto y lo hacemos girar en un crculo vertical, no po-dremos aplicar directamente el anlisis del ejemplo 5.24, porque en este caso v no es constante; en todos los puntos del crculo salvo en la parte superior e inferior, lafuerza neta (y por ende la aceleracin) no apunta al centro del crculo (figura 5.37).As, y tienen una componente tangente al crculo, lo cual significa que la velo-cidad cambia. Por ello, tenemos un caso de movimiento circular no uniforme (vasela seccin 3.4). Es ms, no podemos usar las frmulas de aceleracin constante pararelacionar las rapideces en distintos puntos porque ni la magnitud ni la direccin de la aceleracin son constantes. La mejor forma de obtener dichas relaciones consisteen usar el concepto de energa.

aSgF

S

*5.5 Fuerzas fundamentales de la naturaleza

Hemos visto fuerzas de varios tipos peso, tensin, friccin, resistencia de fluidos yla fuerza normal y veremos otras ms al seguir estudiando fsica. Pero, cuntasclases distintas de fuerzas hay? Actualmente, se considera que todas las fuerzas sonexpresiones de tan slo cuatro clases de fuerzas o interacciones fundamentales entre laspartculas (figura 5.38). Dos de ellas las conocemos por la experiencia cotidiana; las otras dos implican interacciones entre partculas subatmicas que no podemos ob-servar directamente con nuestros sentidos.

Las interacciones gravitacionales incluyen la fuerza familiar del peso, que se de-be a la accin de la atraccin gravitacional terrestre sobre un cuerpo. La mutua atrac-cin gravitacional entre las diferentes partes de la Tierra mantienen a nuestro planeta

c) Diagrama de cuerpolibre del pasajero en laparte inferior del crculo

b) Diagrama de cuerpo libredel pasajero en la partesuperior del crculo

a) Esquema de lasdos posiciones

5.36 Nuestros esquemas para este problema.

aplica al pasajero en la parte superior del crculo, y nB la fuerza normalen la parte inferior. En la parte superior, la aceleracin tiene magnitudv2>R, pero su componente vertical es negativa porque su direccin es

hacia abajo. Por lo tanto, ay 5 2v2>R y la segunda ley de Newton nosindica que

Superior: , es decir,

En la parte inferior, la aceleracin es hacia arriba, as que ay 5 1v2>Ry la segunda ley de Newton es

Inferior: , es decir,

EVALUAR: El resultado obtenido para nT nos dice que, en la parte su-

perior de la rueda de la fortuna, la fuerza hacia arriba que el asientoaplica al pasajero es menor en magnitud que el peso de ste, w 5 mg.Si la rueda gira con tal rapidez que g 2 v2>R 5 0, el asiento no aplicafuerza, y el pasajero est a punto de salir disparado. Si v aumenta an

nB 5 m 1g 1 v2R 2aFy 5 nB 1 12mg 2 5 1m v2R

nT 5 m 1g 2 v2R 2aFy 5 nT 1 12mg 2 5 2m v2R

ms, nT se har negativa, y se requerir una fuerza hacia abajo (comola de un cinturn de seguridad) para mantener al pasajero en el asien-to. En cambio, en la parte inferior, la fuerza normal nB siempre es ma-yor que el peso del pasajero. Se siente que el asiento empuja msfirmemente que en reposo. Se observa que nT y nB son los valores delpeso aparente del pasajero en la parte superior e inferior del crculo(vase la seccin 5.2).

Cuando una pelota se mueveen un crculo vertical ...... la fuerza neta sobre la pelotatiene una componente hacia elcentro del crculo ...

... pero tambin unacomponente tangenteal crculo ...

... as que la aceleracinneta no es simplementeradial.

T

a

w 5 mg

5.37 Pelota que se mueve en un crculovertical.

Evale su comprensin de la seccin 5.4 La atraccin gravitacional de nuestro planeta mantiene los satlites en rbita. Un satlite en una rbita de radio pequeo se mueve con mayor rapidez que uno en una rbita amplia. Con base en estainformacin, qu puede usted concluir acerca de la atraccin gravitacional de la Tierra sobreel satlite? i) Se incrementa al aumentar la distancia hacia la Tierra. ii) Es la misma en todoslos puntos desde la Tierra. iii) Disminuye al aumentar la distancia con respecto al planeta. iv) Por s misma, esta informacin no es suficiente para contestar la pregunta.

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