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CONSTRUCCIÓN DE FUNCIONES LINEALES

SITUACIÓN PROBLEMA Hemos conocido a través de nuestros estudios previos que existen varios sistemas de medición de temperaturas, una de ellas se denomina escala Fahrenheit y otra la escala Celsius o Centígrada. En ambas escalas se pueden representar las propiedades de cuerpos y sustancias, una de ellas es el agua y se dice que se congela a 0 ºC o a 32º F y que hierve a 100 ºC o a 212 ºF. En los textos nos indican que la conversión de un valor de temperatura de una de las escalas citadas a la otra se realiza mediante una de las siguientes funciones y debemos saber cómo se obtienen:

Si graficamos en un plano cartesiano los datos de congelación y ebullición se obtiene: Recordemos que la ecuación de la línea recta definida a partir de las coordenadas de dos puntos es:

Para construir las ecuaciones de conversión entonces analizaremos: 1. El caso donde los valores de los grados centígrados constituyen la variable

independiente sea cuando:

O sea:

Donde una función de la temperatura Fahrenheit se puede expresar como:

Grafica 1 Grafica 2

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2. Nuestro segundo caso se refiere al momento donde la temperatura Celsius depende de la temperatura Fahrenheit, cuando: . Aunque la podemos obtener si despejamos x en la ecuación del apartado anterior.

O sea

La función en grados Celsius que dependen de la cantidad de grados Fahrenheit está

dada por:

APLICACIÓN DE LO APRENDIDO 1. Empleando las graficas 1 y 2 o empleando las ecuaciones sintetizadas para convertir

temperaturas, llenar la siguiente tabla que corresponde a diferentes ciudades de la tierra:

CIUDAD TEMP. FAHREHEIT

TEMP. CELSIUS

Medellín 20

Santafé de Bogotá 14

Ottawa (Canadá) 42

Berlín(Alemania) 48

Camberra (Australia) 14

Lima (Perú) 33

Rio de janeiro (Brasil) 25

Barranquilla 82

Múnich(Alemania) 8

Barcelona (España) 62

Moscú (Rusia) 40

Tokio (Japón) 60

2. Construya la función y realice un gráfico para la siguiente situación: Una empresa que

publica revistas de computadores obtuvo en el año 2003, $ 2.9 millones de dólares de ganancia y dos años después su ganancia fue de $ 4.5 millones de dólares. Si sus ingresos han permanecido y permanecerán constantes ¿Cuánto fue la ganancia el año pasado? ¿Cual será la ganancia en el año 2010?

3. En economía la oferta se refiere a la cantidad de artículos que un comerciante ofrece al público a p € cada artículo, por otro lado la demanda del articulo es la cantidad que los compradores solicitan al productor. La situación ideal se presenta cuando la oferta es igual a la demanda. Veamos la siguiente situación: la demanda de pizzas está dada por la función

y la oferta la representa la función . ¿Cuál es el precio de equilibrio? Cuándo el precio de cada pizza es de 20€, ¿Cuántos pizzas

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comprarán los consumidores y cuantas pizzas suministrarán los vendedores? Analice la misma situación cuando la pizza cuesta 10€.

4. Cierto estudio comprobó que cuando se deposita un líquido que contamina en un lago donde se crían peces, la producción disminuye de tal manera que al vaciar 5000 kg del líquido se han contado 24x103 unidades. Cuando el estanque contiene 10x103 peces se estableció que al estanque se han vaciado 15 toneladas del químico. Determinar la tasa promedio de cambio de la cantidad de peces por cada variación de kg del contaminante. ¿Cuál es la expresión que determina la función?

5. La depreciación es el mecanismo mediante el cual se reconoce el desgaste que sufre un bien por el uso que se haga de él y se expresa en dinero. Uno de los métodos empleados para su cálculo es la línea recta. Según un decreto, los inmuebles tienen una vida útil de 240 meses, los bienes muebles, maquinaria y equipo, trenes, aviones y barcos, tienen una vida útil de 120 meses, y los vehículos y computadores tienen una vida útil de 60 meses, esto para efectos contables.

a. Establecer la expresión que refleje la situación donde un carro que costó $ 60`000.000 y a los 6 meses valía $ 58`000.000

b. ¿Cumple la situación con la reglamentación? c. ¿A los cuantos años el valor del carro es de 30`000.000?

6. Una empresa de alquiler de autos cobra $ 5000 por cada kilometro recorrido que el cliente utilice el auto. Otra empresa de la competencia cobra $ 150000 más $ 2000 por cada kilometro recorrido por el cliente. Establecer las expresiones de cada empresa y graficar dichas funciones lineales. ¿Cuál es el kilometraje que indica que es indiferente alquilar un carro con cualquiera de las dos empresas?

7. Una empresa de confecciones produce camisas. La propaganda que la empresa

contrata tiene un costo $ 20`000.000, el costo de producir cada camisa es de $ 22000 y la empresa vende cada una de ellas por $ 32000. Expresar mediante en función del número de camisas: a) Los costos de la empresa b) El ingreso de la empresa c) ¿Cuánto dinero gana la empresa cuando vende 300 camisas? d) Determinar la cantidad de camisas que la empresa debe producir y vender para no

perder ni ganar ni un peso. e) Grafique las funciones de los numerales a y b

8. El presupuesto de investigación para determinado equipo durante 10 años se comporta de manera lineal. Al final del primer año se han gastado $ 20.000`000.000 y se prevé que para cuando finalice el decimo año se hayan invertido $ 50.000`000.000. Determinar: a) La función del presupuesto b) Con cuánto dinero se inició el centro de investigación c) Determinar cuánto dinero se ha invertido a los 30 meses de iniciado el proyecto. d) Determinar cuánto tiempo le falta al proyecto cuando se han invertido

$42.000`000.000.

9. Servicio de impresión. Un negocio de fotocopiado y afines en el ITM plantea a sus clientes tres formas de utilizar sus servicios:

a) $ 50 por cada fotocopia realizada b) $ 40 por cada fotocopia realizada si paga una cuota de $ 2000 por el semestre c) $ 25 por cada fotocopia si paga una cuota semestral de $ 4000

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a. Determine la expresión que refleja cada una de las opciones b. Determine la situación más favorable para los usuarios.

10. Un objeto que se mueve a velocidad constante es observado por alguien construye la

siguiente tabla de valores, donde t representa el tiempo transcurrido de una posición a otra y, la distancia en metros es representada por la variable y:

t 0 60 s 240 360 s 480 s 600 s 720 s 840 s

y 15 m 20 m 25 m 30 m 35 m 40 m 45 m 50 m

Se puede observar que el primer valor, cuando la distancia es de 15 metros es el punto de partida para los posteriores tiempos cronometrados.

a. Establezca la función que define la distancia dependiente del tiempo b. Verifique mediante el concepto de pendiente de una recta si el comportamiento

es lineal c. Establecer la distancia cuando el cronometro ha marcado 3.05 segundos,

18.55 segundos y 400 segundos d. Determinar el tiempo en minutos cuando el móvil ha recorrido 22 metros, 41

metros y 200 metros.

11. En una entrevista para un empleo se le ofrece al candidato dos planes para su sueldo: a) Opción 1: $ 200000 mensualmente más el 30% de todo lo que venda en

su labor b) Opción 2: $ 400000 mensualmente más el 15% de todo lo que venda.

Determinar: a. Establezca las expresiones que satisfacen dichas propuestas b. ¿Cuánto debería vender para obtener el mismo salario con cualquiera de los

dos ofrecimientos? c. ¿En el punto de equilibrio supera el salario mínimo del estado que es de $

461500 pesos?

12. Una empresa produce artículos para damas y tiene unos costos fijos de $ 87`000000 y el costo de producir cada objeto cuesta $ 12000. ¿Cuántos artículos debe vender a un precio de $ 20850 para:

a. No perder ni ganar un solo peso b. Para obtener una ganancia del 120% de los costos de producción