FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES UNI 2.ppt

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTESRn Una funcin real de n variables es una correspondencia:que asigna a todo punto P Rn un nico valor z R de tal manera que:Z = f (P) P= (x1, x2, x3, x4 , xn)

Luego:f(P) z = f (x1, x2, x3, x4 , xn)

*Dominio, Rango y Grfico de Funciones Realesde Varias Variables.-

Dominio de f : Df = { P Rn / z R z = f (P) }

Rango de f : Rf = { z R / P Rn z = f (P) }

Grfico : Gf = { (x1, x2, , xn, f(x1, x2, , xn)) / (x1, x2, , xn) Df }

PARA EL CASO DE FUNCIONES DE R2 R:

Su grfico ser en el espacio R3

.

_1187154768.unknown

_1187155137.unknown

_1187155168.unknown

_1451669858.unknown

_1187154955.unknown

_1187105521.unknown

Dominio , Rango y GrficoRang(f)

Im(f)

Dom(f)

x

y

z

Ejemplo

CURVA DE NIVEL.-

Sea la funcin f : R2 R, tal que z = f(x, y)

Se llaman curvas de nivel a las grficas descritas para valores constantes de z y proyectados en el plano XY.

NOTA.-

El conjunto de las curvas de nivel se denomina mapeo de contorno.

SUPERFICIE DE NIVEL .-

Sea la funcin f : R3 R, tal que w = f(x, y,z) a las grficas descritas para valores constantes de w.

Curvas de nivelMapa de contornoCurvas de nivel

Ejemplo

Obtener las curvas de nivel de

.

Haciendo z = c

c2 = 100-x2-y2

x2+y2 = 100-c2, que son circunferencias de centro el origen para c10 no tienen significado geomtrico.

_1187278201.unknown

_1187278368.unknown

_1187277676.unknown

OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Sean 2 funciones f y g ambas de R2 R , con dominios Df y Dg respectivamente, entonces se define:

Suma o diferencia:

Producto:

Cociente:

Composicin:

, siendo g una funcin de dos variables y f de una sola variable.

_1187158077.unknown

_1187158186.unknown

_1193583341.unknown

_1187157677.unknown

CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS

Recordando: distancia entre dos puntos P(x, y) y Q(a, b) es

d(P, Q) =

Definimos bola o disco bidimensional de centro Q y radio

como el conjunto de puntos contenidos en el circulo de centro Q y radio

Disco cerrado

Disco abierto

Luego el disco cerrado incluye la circunferencia o frontera y el abierto no. Estos conceptos son anlogos a los de entorno cerrado o abierto para una variable.

_1187323879.unknown

_1187324545.unknown

_1187324704.unknown

_1187323606.unknown

Lmites

d

(a, b)

(c, d)

d

Disco abierto:no incluye la frontera

Disco cerrado:incluye la frontera

z

x

y

LMITES (INTRODUCCIN)

Para una variable, la expresin

.

En este caso x se puede aproximar a a de dos formas distintas: por la izquierda o por la derecha de a.

En el caso de dos variables el significado de la expresin

, siendo a, b y L nmeros reales, es anlogo, es decir, cuando (x, y) se aproxima a (a, b) entonces

f(x, y) se aproxima a L, pero en este caso dicha aproximacin se puede hacer de infinitas formas.

_1187950299.unknown

_1187950344.unknown

a

x

a-

x

a+

Lmites

DEFINICIN.-

Si f es una funcin de dos variables definida en un disco abierto de centro (a, b), excepto posiblemente en (a, b), y L es un nmero real, entonces se dice que L es el lmite de

f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) y se escribe

Si para todo

, debe existir otro nmero

tal que

si

, entonces

_1187328664.unknown

_1187329295.unknown

_1187950386.unknown

_1187950397.unknown

_1187329372.unknown

_1187328753.unknown

_1187328551.unknown

Lmites

L

L+

L-

(a, b)

(x, y)

Disco de radio d

z

x

y

Lmite para una funcin de dos variables

z = f(x, y)

Continuidad

CONTINUIDAD

Propiedades de las funciones continuas:

Si c es un nmero real y f, g son funciones continuas en (a, b), entonces las funciones : c.f ; f.g ; f +/- g ; f/g siendo g(a, b)

son continuas en (a, b).

Continuidad de una funcin compuesta .-

Si f es una funcin de dos variables, continua en (a, b) y, g es una funcin de una variable continua en f(a, b), entonces la funcin compuesta (g

f)(a, b) = g(f(a, b)) es continua en (a, b).

_1187624543.unknown

_1187625229.unknown

_1187624452.unknown

*DERIVADAS PARCIALES

Sea la funcin f de 2 variables independientes en un conjunto abierto D :

z = f(x, y); entonces se define:

La derivada parcial de f con respecto de x, en el punto (x, y) al lmite:

para todos los puntos (x, y) donde este lmite exista.

La derivada parcial de f con respecto de y, en el punto (x, y) al lmite:


Otras notaciones usuales para las derivadas parciales son:

fx(x, y) = zx =

fy(x, y) = zy =

_1187712095.unknown

_1187713201.unknown

_1187713437.unknown

_1187711864.unknown

*Interpretacin geomtrica de la derivada parcial

y=b

z=f(x, y)

y

x

z

z=f(x, b)

P(a, b, f(a, b))

Corte de z = f(x, y) con y = b

b

x = a

x

z

z=f(x, b)

Proyeccin del corte de z=f(x, y) con y = b sobre el plano ZX

tg b = fx(a, b)

Si consideramos la superficie que tiene por ecuacin z = f(x, y), el plano y = b, corta a la superficie en la curva z = f(x, b), que tiene por pendiente en el punto x = a, el valor de su derivada en dicho punto, que es precisamente:

fx(a, b) =

_1187710507.unknown

*Derivadas parciales

Sea z = f(x, y) una funcin de dos variables con dominio D. Si mantenemos la variable y fija: y = b, siendo b una constante, y suponemos que solo la x vara, la funcin f se convierte entonces en funcin de solo la variable x: g(x) = f(x, b). Si g tiene derivada en a, entonces esta se llama derivada parcial de f respecto de x en(a, b), que denotamos por fx(a, b). Luego por definicin se tiene:

fx(a, b) = g(a) =

, por tanto

fx(a, b) =

Anlogamente se define la derivada parcial de f respecta de y en (a, b), y que denotamos por fy(a, b), que se obtiene fijando x = a, y obteniendo la derivada en b de la funcin h(y) = f(a, y)

_1187710507.unknown

_1187711059.unknown

_1187710232.unknown

*Interpretacin geomtrica de la derivada parcial

Anlogamente, si cortamos la superficie por el plano x = a, se obtiene la curva z =f(a,y), que tiene por pendiente en el punto y = b, el valor de su derivada en dicho punto:

.

_1187711059.unknown

z=f(a, y)

x=a

y=b

z=f(x,y)

z

x

y

P(a, b, f(a,b))

Corte de z=f(x, y) con x=a

z

y

a

fy (a, b)=tg a

y=b

Proyeccin del corte de z = f(x, y) con x = a sobre el plano ZY

*Plano tangente

Suponiendo que el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, f(a, b)) existe obtengamos su ecuacin. Dicho plano debe contener a las rectas tangentes a la curvas contenidas en la superficie y que pasan por P(a, b, f(a, b)); en particular contendr a las rectas tangentes a las curvas que resultan de cortar a la superficie por los planos x = a, y = b.

Al cortar por x = a, se obtiene la curva z = f(a, y) en el plano ZY, y cuya recta tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente fy(a, b), luego un vector director de esta recta ser de la forma (0, u, v) , siendo

, tomando u = 1, se obtiene: v = fy(a, b)

es decir, un vector en la direccin de la recta tangente es (0, 1, fy(a, b)).

_1188745395.unknown

*Plano tangente

x=a

y=b

z=f(a, y)

z=f(x,y)

z

x

y

P(a, b, f(a,b))

Corte de z=f(x, y) con x=a

a

Vector director = (1, fy(a, b))

Vector director = (0, 1, fy(a, b))

tg a = fy(a, b)

*Plano tangente

y=b

z=f(x, y)

y

x

z

z=f(x, y)

P(a, b, f(a, b))

Corte de z = f(x, y) con y = b

b

tg b = fx(a, b)

Vector director = (1, 0, fx(a, b))

Vector director = (1, fx(a, b))

z = f(x, b)

Anlogamente, al cortar por y = b, se obtiene la curva z = f(x, b) en el plano ZX, y cuya recta tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente fx(a, b), luego un vector director de esta recta ser de la forma (u, 0, v), siendo

, tomando u = 1, se obtiene v = fx(a, b), es decir, un vector en la direccin de la recta tangente es (1, 0, fx(a, b)).

_1188746269.unknown

*Plano tangente y recta normal

En consecuencia dos vectores directores del plano tangente en el punto :

P(a ,b, f(a, b)) son

= (0, 1, fy(a, b)) y

= (1, 0, fx(a, b), luego un vector perpendicular al plano se obtendr multiplicndolos vectorialmente

=

=

EMBED Equation.DSMT4


Por lo tanto el plano tangente queda definido por el punto P(a ,b, f(a, b)) y tiene por vector caracterstico

, por lo que su ecuacin ser:

fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) (z f(a, b)) = 0.

La recta perpendicular al plano tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) se llama recta normal a la superficie en dicho punto, por lo que su ecuacin, en forma paramtrica, ser

_1188747537.unknown

_1188747971.unknown

_1188748422.unknown

_1188826061.unknown

_1188748354.unknown

_1188747929.unknown

_1188747214.unknown

_1188747345.unknown

_1188747187.unknown


Ejemplo

Obtener la ecuacin del plano tangente a la superficie z = 3x2-y2, en el punto

P(1, 1, 2),as como la ecuacin de la recta normal en dicho punto.

En este caso:

fx(x, y) = 6x, fy(x, y) = -2y, (a, b) = (1, 1)

fx(1, 1) = 6, fy(1, 1) = -2, f(1, 1) = 2.

Luego la ecuacin del plano tangente es:

6(x-1)-2(y-1)-(z-2) = 0

6x-2y z = 2.

La recta normal tiene por ecuacin:

_1188792924.unknown

_1188826694.unknown

_1188792639.unknown


Plano tangenteen P(a, b, f(a, b))

x = a

y = b

Recta normal

P(a, b, f(a, b))

*DERIVADAS PARCIALES

Sea la funcin f de 2 variables independientes en un conjunto abierto D :

z = f(x, y); entonces se define:

La derivada parcial de f con respecto de x, en el punto (x, y) al lmite:


La derivada parcial de f con respecto de y, en el punto (x, y) al lmite:


Otras notaciones usuales para las derivadas parciales son:

fx(x, y) = zx =

fy(x, y) = zy =

_1187712095.unknown

_1187713201.unknown

_1187713437.unknown

_1187711864.unknown


Como en el clculo de derivadas parciales una de las variables se mantiene constante, se podrn aplicar las reglas de derivacin para funciones de una variable, siempre que est clara la existencia de esta derivada.

Ejemplo

Siendo f(x, y) = (x2 + y)exy, calcular sus derivadas parciales y evaluarlas en el punto (1,1):

fx(x, y) = 2xexy + (x2 + y)yexy

fx(1, 1) = 2e + 2e = 4e

fy(x, y) = exy + (x2 + y)xexy

fy(1, 1) = e + 2e = 3e

Se han aplicado directamente las reglas de derivacin de funciones de una variable, ya que al fijar una variable la funcin se convierte en una funcin derivable por ser el resultado de operar funciones derivables. Esta funcin admite derivadas parciales en todo punto de R2.

_1187715097.unknown

_1187715177.unknown


Ejemplo

Estudiar la existencia de derivadas parciales, para cualquier punto, de la funcin

f(x, y) = |x+y|=

calculndolas en su caso

Si x+y

0, existen ambas derivadas parciales, ya que al fijar una variable se obtiene un polinomio que siempre es derivable, siendo

fx(x, y) = 1, fy(x, y) = 1, si x+y>0

fx(x, y) = -1, fy(x, y) = -1, si x+y

0

Queda por estudiar cuando el punto P(a, b) si x+y = 0, es decir, b = -a

P(a, -a)

, que no existe, ya que vale 1 o -1 segn que h tienda acero por la derecha o por la izquierda.

, que no existe, ya que vale 1 o -1 segn que h tienda acero por la derecha o por la izquierda.

Luego la funcin admite derivadas parciales en todos los puntos, salvo en la recta

x + y = 0.

_1187789485.unknown

_1187790194.unknown

_1187790886.unknown

_1187792854.unknown

_1187790553.unknown

_1187789561.unknown

_1187789261.unknown


Ejercicio

Estudiar la existencia de derivadas parciales, para cualquier punto, de la funcin:

_1187792329.unknown

*Derivadas parciales sucesivas

Al calcular las derivadas parciales de una funcin de dos variables se obtienen tambin funciones de dos variables, a las que se les puede calcular sus derivadas parciales, a las que llamamos derivadas parciales segundas. Este proceso puede seguir obtenindose las derivadas sucesivas (o de orden superior). Las notaciones mas usuales son:

Derivadas parciales segundas:

1) derivando dos veces respecto de x

2) derivando dos veces respecto d

e y

3) derivando primero respecto de x y luego respecto de y

4) derivando primero respecto de y y luego respecto de x

En las dos notaciones utilizadas se deriva primero respecto a la variable ms cercana a f.

_1194882275.unknown

_1194882326.unknown

_1194882357.unknown

_1194882306.unknown

_1187848272.unknown


Ejemplo

Calcular las derivadas parciales segundas de:

f(x, y) =

_1187847802.unknown

_1187848418.unknown

_1187848725.unknown

_1194933327.unknown

_1187848445.unknown

_1187848068.unknown

_1187847606.unknown


Ejercicio

Calcular las derivadas parciales segundas de:

.

_1194943357.unknown


En el ltimo ejemplo se verificaba que

, igualdad que en general no es cierta, aunque si lo ser para la mayora de funciones que manejemos.

Una condicin suficiente para que

, la da el:

Teorema (de Schwarz, sobre la permutabilidad de orden de derivacin)

Si f est definida en un entorno U de (a, b), y si existen las derivadas parciales fx, fy, fxy en el mismo U, siendo tambin fxy continua en (a, b) , entonces existe fyx(a, b) y se cumple

.

Para ms de dos variables el concepto de derivada parcial es anlogo. Veamos un ejemplo para tres variables

Ejemplo

Calcular la derivadas parciales primeras de

f(x, y, z) = x2+y2+z2+exyz

_1187851318.unknown

_1187852255.unknown

_1187849956.unknown

*Diferenciabilidad

Diferenciabilidad. Diferencial.

Recordemos el concepto para una funcin de una variable:

Sea y = f(x),una tal funcin, y a un punto de su dominio, se quiere establecer una relacin entre el incremento de la variable x, al tomar valores prximos a a, y que representamos por

= x-a, con el correspondiente incremento de la funcin , y que simbolizamos por

.

Supongamos que f est definida en un cierto intervalo I, si a es un punto fijo de I, decimos que f es diferenciable en a, si su incremento en a, es decir, si

,

se puede escribir en la forma:

.

Si esto se verifica, entonces se llama diferencial de f en a, a la funcin de

, que representamos por

, y que abreviadamente ponemos

. Luego se tiene:

, donde

siendo o(

) un infinitsimo de orden superior a

cuando

EMBED Equation.DSMT4 .

_1187884230.unknown

_1187884881.unknown

_1187885086.unknown

_1187885137.unknown

_1187933531.unknown

_1187885124.unknown

_1187884942.unknown

_1187884487.unknown

_1187884548.unknown

_1187884306.unknown

_1187882429.unknown

_1187883201.unknown

_1187882221.unknown

*Diferenciabilidad

Ejemplo

Comprobar que la funcin f(x) = x2+3x-1 es diferenciable en cualquier punto x = a.

Calculemos el incremento de la funcin en dicho punto:

Luego se cumple la definicin de diferenciabilidad tomando k = 2a+3,

.

Ntese que k = f(a), veremos que esto es un resultado cierto en general.

_1189100900.unknown

_1194942362.unknown

*Diferenciabilidad

Para una funcin de una variable los conceptos de diferenciabilidad y derivabilidad en un punto son equivalentes. Precisando, se verifica el:

Teorema

La funcin f es derivable en a si y solo si es diferenciable en a.

Demostrmoslo en un sentido:

Suponiendo que f es derivable en a

existe

es un infinitsimo para

EMBED Equation.DSMT4 , luego

, por tanto f es diferenciable en a, siendo k = f(a).

En sentido contrario la demostracin es anloga.

Si consideramos la funcin y = x

, por lo que la diferencial de f se suele escribir dy = f(a)dx,

, que es otra notacin para la derivada.

_1187933471.unknown

_1187933589.unknown

_1187934040.unknown

_1187934505.unknown

_1187933515.unknown

_1187933308.unknown

_1187933365.unknown

_1187932915.unknown

*Interpretacin geometrica de la diferencial

a

a+

P

M

N

Q

f(a)

f(a+ Dx)

a

tg a = f(a) =

MN = f(a)PM = f(a)dx = dy

y = f(x)

dy

Dy = MQ

y

x

*Diferenciabilidad

Ejemplo

Calcular la diferencial de f(x) = x3-x2, en un punto arbitrario x, y luego en el punto x = 1:

Se tiene f(x) = 3x2-2x, luego dy = (3x2-2x)dx.

Tomando x = 1

dy = dx.

Ejercicio

Estudiar la diferenciabilidad de la funcin f(x) = log (x2+x), calculando su diferencial para todos los valores posibles.

_1188048846.unknown

*Diferenciabilidad

Estudiemos ahora la diferenciabilidad para una funcin de dos variables.

Sea z = f(x, y) definida en un cierto entorno del punto P(a , b); si incrementamos la abscisa en

, y la ordenada en

, se obtiene el punto Q(a +

, b +

), a la diferencia entre el valor de la funcin en Q y el valor de la funcin en P le llamamos incremento de la funcin al pasar del punto P al Q, que puede ser positivo o negativo y que representamos por

.

Se quiere establecer una relacin entre los incrementos de las variables x, y en los valores a y b, con el incremento de la funcin.

Si P y Q pertenecen al dominio de f, la funcin se dice diferenciable en P(a, b), si existen dos nmeros M y N, tales que

siendo

, dos funciones de las variables

e

, e infinitsimos cuando

(

,

)

, es decir se cumple

EMBED Equation.DSMT4 0

_1188050033.unknown

_1188051121.unknown

_1188051484.unknown

_1188051652.unknown

_1188051403.unknown

_1188050904.unknown

_1188049471.unknown

_1188049482.unknown

_1188049306.unknown

*Diferenciabilidad

Se puede demostrar que la anterior definicin de diferenciabilidad es equivalente a esta otra:

La funcin se dice diferenciable en P(a, b), si existen dos nmeros M y N, tales que

siendo

, funcin de las variables

e

, e infinitsimo cuando (

,

)

,

es decir se cumple

0

En el caso en que f sea diferenciable en (a, b), se llama diferencial de f en el punto (a, b) a la funcin lineal respecto de las variables

e

:

, que se designa as: dz =

.

_1188049471.unknown

_1188052504.unknown

_1188052951.unknown

_1188053520.unknown

_1188052696.unknown

_1188051403.unknown

_1188049306.unknown

*Diferenciabilidad

Ejemplo

Dada la funcin z = f(x, y) = x2-xy+y, y el punto (a, b), calculemos su incremento, para incrementos

e

de a y b:

=

=

=

=

.

Como

,

luego

=

, siendo

, y

,

cumplindose que:

EMBED Equation.DSMT4 0.

Como consecuencia se cumple la definicin de diferenciabilidad en el punto (a, b), poniendo M = fx(a, b) y N = fy(a, b). Las relaciones obtenidas en el ejemplo, para M y N, son ciertas en general, aunque el procedimiento aqu empleado, de clculo directo, se hace complicado en la mayora de los casos.

_1188051484.unknown

_1188055001.unknown

_1188055764.unknown

_1188055999.unknown

_1188056043.unknown

_1188055960.unknown

_1188055547.unknown

_1188054466.unknown

_1188054692.unknown

_1188051652.unknown

_1188049471.unknown

_1188050033.unknown

_1188049306.unknown

*Diferenciabilidad

Se verifica el siguiente:

Teorema

Si f es diferenciable en (a, b) y

es su diferencial en ese punto, entonces existen la derivadas parciales zx(a, b), zy(a, b) y coinciden con M y N respectivamente:

M = zx(a, b), N = zy(a, b)

Considerando la funcin z = x

.

Anlogamente si z = y

.

Por lo tanto dz se puede escribir en la forma

dz =

_1188102727.unknown

_1188103018.unknown

_1188103224.unknown

_1188102186.unknown

*Diferenciabilidad

Ejercicio

Obtener la diferencial de la funcin z = f(x, y) = x2y2+xy-3y en el punto (a, b), por dos procedimientos:

1) Aplicando la frmula anterior.

2) Calculando el incremento de la funcin

*Diferenciabilidad

Como en el caso de una variable: diferenciabilidad implica continuidad.

Teorema

Si f es diferenciable en (a, b) entonces es continua en (a, b).

Para una variable los conceptos de derivabilidad y diferenciabilidad son equivalentes.

Para ms de una variable esto, en general no es cierto.

*Diferenciabilidad

Ejemplo

La funcin

Estudiemos sus derivadas parciales en (0, 0)

Luego las dos derivadas parciales existen y valen 0. Que ocurre para el resto de los puntos ?

Estudiemos la continuidad en (0, 0):

Como los lmites direccionales calculados dependen de m, se deduce que no existe el lmite en el origen, luego la funcin no es continua en (0, 0).

_1188105017.unknown

_1188105409.unknown

_1188105662.unknown

_1188104890.unknown

*Diferenciabilidad

Ejemplo

La funcin

es continua en R2 (por qu ?)

Estudiemos la diferenciabilidad en (0, 0).

Calculamos las derivadas parciales

Si fuese diferenciable se tendria



Comprobemos si

es un infinitsimo

, este lmite no existe (ya visto en un ejemplo anterior, poniendo x ,y en lugar de

).

Luego

no es un infinitsimo y, por lo tanto la funcin no es diferenciable.


_1188109074.unknown

_1188109457.unknown

_1188111491.unknown

_1194883393.unknown

_1194883413.unknown

_1194883193.unknown

_1188111107.unknown

_1188109267.unknown

_1188108595.unknown

_1188108921.unknown

_1188108107.unknown

*Diferenciabilidad

Con estos ejemplos se ha comprobado que la continuidad o la existencia de derivadas parciales no son condiciones suficientes para la diferenciabilidad (aunque los resultados tericos confirman que si son condiciones necesarias).

Ejemplo

Estudiar la continuidad y diferenciabilidad en el origen de la funcin

Estudiemos la existencia de derivadas parciales

Por existir las derivadas parciales es posible que sea diferenciable. Intentamos demostrarlo aplicando la definicin. Despejando

de la condicin de diferenciabilidad

_1188135345.unknown

_1188135946.unknown

_1188139456.unknown

_1188135698.unknown

_1188113534.unknown

*Diferenciabilidad

EMBED Equation.DSMT4 =

, para ver si existe este lmite calculemos los lmites segn las direcciones

Se tiene evidentemente

.

El otro lmite es una indeterminacin de la forma

, para calcularlo, y como interviene un valor absoluto, se debe estudiar, por separado, a la izquierda y a la derecha de 0.

, analogamente se obtendra el mismo resultado para

, luego los lmites direccionales existen y valen todos 0, por tanto es posible que el lmite que estudiamos valga 0.

_1188138080.unknown

_1188138352.unknown

_1188139031.unknown

_1188139085.unknown

_1188139352.unknown

_1188138630.unknown

_1188138270.unknown

_1188136549.unknown

_1188137277.unknown

_1188136023.unknown

*Diferenciabilidad

Intentemos probarlo aplicando el criterio de la funcin mayorante, para lo cual pasamos a polares

, llamando F(

) =

, queda por probar que

.

Se ha probado que

es un infinitsimo, por tanto la funcin estudiada es diferenciable en el origen y, como consecuencia continua en el mismo punto.

_1188140530.unknown

_1188140678.unknown

_1188141330.unknown

_1194883614.unknown

_1188140795.unknown

_1188140597.unknown

_1188140374.unknown

*Diferenciabilidad

Ejercicio

Estudiar la diferenciabilidad en el origen de la funcin:

_1188228015.unknown

*Condicin suficiente de diferenciabilidad

El comprobar la diferenciabilidad de una funcin a partir de la definicin es, en general, complicado, sin embargo existen condiciones suficientes que garantizan la diferenciabilidad y pueden simplificar el trabajo. La ms usual la da el siguiente

Teorema

Sea z = f(x, y) definida en un cierto entorno del punto (a, b) y, al menos una de sus derivadas parciales: zx o zy es continua en (a, b), entonces la funcin es diferenciable en (a,b)

*Condicin suficiente de diferenciabilidad

Ejemplo.

Estudiar la continuidad y diferenciabilidad en cualquier punto de la funcin

En el ejemplo anterior se comprob que esta funcin es diferenciable en (0, 0).

Para los puntos (x, y) distintos del (0, 0), se pueden calcular las derivadas parciales utilizando las formulas de derivacin para una variable, pues al fijar una variable resulta una funcin de una variable que es derivable por estar compuesta de funciones derivables.

Estas derivadas parciales son continuas para cualquier (x, y)

(0, 0), por estar compuestas de funciones continuas.

Concluimos que la funcin estudiada es diferenciable en todo punto de R2 y, por lo tanto continua en R2.

_1188230382.unknown

_1188230849.unknown

_1188231044.unknown

_1188113534.unknown

*Plano tangente y diferenciabilidad

Para una variable, la existencia de derivada en un punto, equivale a la existencia de recta tangente en el mismo punto.

Veremos que para dos variables, la diferenciabilidad en un punto, equivale a la existencia de plano tangente, a la superficie que representa la funcin, en el mismo punto.

En general, la existencia de derivadas parciales no garantiza la existencia de plano tangente.

Se tiene el siguiente resultado fundamental:

Teorema

La superficie z = f(x, y) admite plano tangente en el punto P(a, b, f(a, b)) si y solo si la funcin f es diferenciable en el punto (a, b), y en este caso su ecuacin es

fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) (z f(a, b)) = 0

*Plano tangente y diferenciabilidad

Supongamos ahora que f es diferenciable en el punto P(a, b), y llamemos

x = a+

x, y = b+

y, c = f(a, b) por lo que debe verificarse, por definicin de diferenciabilidad:

f(x,y) = c + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) +

El plano que tiene por ecuacin z = c + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) , tiene la propiedad de que la diferencia entre la z de la funcin y la z del plano es un infinitsimo de orden superior a

cuando (

x,

y)

(0, 0), ya que se tiene

f(x,y) ( c + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)) =

luego z(de la funcin)-z(del plano) =

, adems se cumple:

, siendo

, con lo que se prueba lo afirmado anteriormente.

El plano considerado antes es el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P(a ,b, f(a, b)), y la condicin que verifica se toma como definicin de plano tangente a una superficie en un punto.

_1188827234.unknown

_1188827957.unknown

_1188828626.unknown

_1188828838.unknown

_1188828061.unknown

_1188827472.unknown

_1188827187.unknown

*Interpretacin geomtrica de la diferencial

P

(a, b)

M

N

Q

(x, y)

MN = z( del plano) - f(a, b) = fx(a, b)(x-a) + fy(a, b)(y-b)=dz

dz

z

x

y

z = f(x, y)

MQ = Dz

*Regla de la cadena

Estudiemos ahora la regla de la cadena o la derivada de la funcin compuesta para funciones de dos variables.

Regla de la cadena para el caso: z = f(x, y), x = g(t), y = h(t).

Teorema

Sea z = f(x, y) diferenciable en (x, y). Si x = g(t), y = h(t), siendo g y h funciones derivables en t, entonces f es derivable en t, y su derivada es

z(t) = zxx(t) + zyy(t).

Ejemplo

Siendo z = xy2 x2, con x = cos t, y = sen t verificamos el resultado anterior calculando z(t) de dos formas distintas: directamente sustituyendo x, y en funcin de t y, aplicando el teorema anterior:

z = cos t sen2 t cos2 t

z = -sen t sen2 t + 2cos t cos t sen t + 2sen t cos t =

= -sen3 t + 2cos2 t sen t + 2sen t cos t

z(t) = zxx(t) + zyy(t) = (y2 2x)(- sen t) + 2xy cos t = (sen2 t 2 cos t)(- sen t) +

+ 2 cos2 t sen t, que coincide con el resultado anterior.

_1189572384.unknown

*Regla de la cadenaz = f(x, y), x = g(t), y = h(t). z(t) = zxx(t) + zyy(t)

z

zx

zy

x

y

t

t

x(t)

y(t)

*Regla de la cadena

Regla de la cadena para el caso: z = f(x, y), x = g(u, v), y = h(u, v)):

Teorema

Si f es diferenciable en (x, y), existen las derivadas parciales xu, xv, yu, yv en (u, v), entonces existen zu, zv en (u, v) y se verifica:

zu = zxxu + zyyu

zv = zxxv + zyyv

Para funciones de mas de dos variables se obtienen resultados anlogos.

Ejercicio

Siendo

, x = u + v, y = u-v, calcular zu, zv de dos formas distintas:

a) Sustituyendo x e y en funcin de u y v.

b) Aplicando el teorema anterior.

_1189574168.unknown

*Regla de la cadena z = f(x, y), x = g(u, v), y = h(u, v)) zu = zxxu + zyyu zv = zxxv + zyyv

x

y

z

zx

zy

u

v

u

v

xu

xv

yu

yv

*Derivacin en forma implicita

El modo de escribir la funcin de dos variables, hasta ahora, ha sido z = f(x, y), y decimos que z est dada en forma explicita, es decir, despejada en funcin de x, y.

Otra forma, mas general, de definir z como funcin de x, y es F(x, y, z) = 0, que se llama forma implcita de definir z como funcin de x, y (la z no est despejada).

El pasar de la forma explicita a la implcita es inmediato:

z = f(x, y)

z f(x, y) = 0, llamando F(x, y, z) = z f(x, y)

F(x, y, z) = 0

El pasar de la forma implcita a la explicita, en general, es mas complicado, y a veces, es imposible como se ve con el ejemplo z5x2 + z3y sen xy = 0.

_1189576050.unknown


Supongamos que z est definida implcitamente como funcin de x e y:

F(x, y, z) = 0, considerando F como una funcin de tres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la igualdad F(x, y, z) = 0 , se obtiene:

derivando respecto de x :

Fxxx+Fyyx+Fzzx = 0, siendo xx=1, yx=0

derivando respecto de y :

Fxxy+Fyyy+Fzzy = 0, siendo yy=1, xy=0

Ejemplo

Siendo z3sen x + zexy xy = 0, obtener zx, zy aplicando el resultado anterior.

En este caso F(x, y, z) = z3sen x + zexy xy, luego

Fx = z3cos x + zyexy y, Fy = zxexy x, Fz = 3z2sen x + exy.

Por lo que sustituyendo queda:

,

_1189577782.unknown

_1195840764.unknown

_1195840793.unknown

_1189577529.unknown


Ejercicio

Con el mismo dato del ejemplo anterior, obtener zx, zy derivando directamente la igualdad z3sen x + zexy xy = 0 , y considerando que z es funcin de x e y. Comprobar que el resultado obtenido coincide con el anterior.


Como otra aplicacin de la derivacin implcita, obtengamos la ecuacin de plano tangente a al superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, c) cuando esta viene dada en forma implcita F(x, y, z) = 0.

Se obtuvo que esta es:

zx(a, b)(x-a)+zy(a, b)(y-b)-(z-c) = 0

y siendo

,

sustituyendo queda:

Luego la recta normal en el punto P(a, b, c) tiene como vector director

(Fx(a, b, c), Fy(a, b, c), Fz(a, b, c)), por lo que su ecuacin en forma paramtrica es

_1189577782.unknown

_1189580925.unknown

_1189606551.unknown

_1189577529.unknown


Ejemplo

Obtener la ecuacin del plano tangente y de la normal a la superficie

, en el punto P(2, 2, 1).

En este caso es F(x, y, z) =

, calculamos las derivadas parciales:

.

Tomando valores en P:

.

Como consecuencia la ecuacin del plano tangente en P es

4log2(x-2)+4log2(y-2)-16log2(z-1) = 0

x-2+y-2-4z+4 = 0

x+y-4z = 0.

La ecuacin de la recta normal es

_1189607202.unknown

_1189607952.unknown

_1189609836.unknown

_1189609914.unknown

_1189609772.unknown

_1189607793.unknown

_1189606973.unknown

*Derivacin en forma implcita

Ejercicio

Obtener las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

z2+4z+x2 = 0, en los puntos de interseccin con el eje OZ.

*Derivada segn un vector

Estudiemos ahora un concepto ms general que el de derivada parcial: la derivada segn un vector.

Al definir la derivada parcial en un punto una coordenada permanece fija y la otra vara siguiendo la direccin de uno de los ejes coordenados, con el nuevo concepto podrn variar las dos coordenadas siguiendo una direccin arbitraria.

Consideremos la funcin z = f(x, y), cuyo dominio es una regin abierta y P(a, b) un punto de su dominio.

Sea

EMBED Equation.DSMT4 , un vector arbitrario no nulo, se define la derivada segn el vector

, en el punto (a, b), de la funcin f, como el siguiente lmite, si existe y es finito

Ntese que Q(a+hu1, b+hu2) es un punto de la recta que pasa por el punto P, y tiene como direccin el vector

.

_1189697753.unknown

_1190005515.unknown

_1189697258.unknown

*Derivada segn un vector

Ejemplo

Obtener la derivada de z = f(x, y) = x+2xy-3y2 en el punto (1, 2) segn el vector (-1, 1).

Sustituyendo queda

.

_1190004837.unknown

_1190004929.unknown

_1196001821.unknown

_1190004652.unknown

*Derivada direccional

En el caso en que

sea unitario, |

|=1, la derivada se llama direccional, y tiene particular inters terico.

Las derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales:

fx se obtiene tomando

= (1, 0).

fy se obtiene tomando

= (0, 1).

Para dar un significado geomtrico a la derivada direccional, definimos primero el concepto de pendiente en un punto de una superficie segn la direccin definida por un vector unitario

.

_1189697258.unknown

*Interpretacin geomtrica de la derivada direccional

P

Q

M

N

A

Plano

z = f(x, y)


Consideremos la superficie z = f(x, y), P(a, b) un punto del dominio de f y

un vector unitario; tomemos un plano vertical ( que pase por P y sea paralelo a

, que cortar a la superficie en una curva C, que contendr al punto M(a, b, f(a, b)) cuya proyeccin sobre el plano OXY es P; entonces definimos la pendiente en el punto M, segn la direccin

, como la pendiente de la curva C en M, es decir como la pendiente de la tangente a la curva en M segn la direccin

.

El plano ( corta al plano OXY segn una recta r cuyas ecuaciones paramtricas son:

Si Q es un punto arbitrario de la recta r tendr la forma Q(a+tu1, b+tu2), que es la proyeccin del punto N(a+tu1, b+tu2, f(a+tu1, b+tu2)) de la superficie sobre el plano OXY. La recta MN es una secante a la curva C, cuya pendiente segn la direccin

es:

_1189954136.unknown

_1192202191.unknown

_1189697258.unknown

*Interpretacin geometrica de la derivada direccional

Cuando t tiende a 0, el punto N tiende al punto M, por lo que la secante tiende a la recta tangente en M, que tiene por pendiente, segn la direccin

:

, que es precisamente la derivada direccional de la funcin f, en el punto P(a, b), segn el vector

.

La expresin

se puede interpretar como el cociente entre el incremento de la funcin f al pasar del punto P al punto Q, y la distancia entre dichos puntos; que tambin se suele expresar como la razn del cambio de la funcin respecto a la distancia entre los puntos; por este motivo a la derivada direccional se le llama tambin razn o ritmo instantneo del cambio.

_1189954490.unknown

_1189956153.unknown

_1192291621.unknown

_1189697258.unknown


Si f es diferenciable en (a, b) existe una forma alternativa para calcular la derivada direccional, pues se verifica el:

Teorema

Si f es diferenciable en (a,b) y

=

un vector unitario cualquiera, entonces existe la derivada direccional en el punto (a, b) segn el vector

y se verifica

El anterior teorema permite, si f es diferenciable, el clculo de la derivada direccional a partir de las derivadas parciales.

_1190006304.unknown

_1190177823.unknown

_1190178576.unknown

_1190005896.unknown


Comprobemos el resultado anterior con un:

Ejemplo

Obtener la derivada direccional de

en el punto (1, 0) segn la direccin (1, 1), aplicando la definicin. Estudiar si es posible la aplicacin del teorema anterior, aplicndolo en su caso.

Como el vector (1, 1) no es unitario, hay que covertirlo en unitario conservando el sentido y la direccin, es decir, hay que dividirlo por su mdulo: |(1, 1)| =

,obtenindose

=

.

Apliquemos la definicin

_1190007257.unknown

_1190008955.unknown

_1190011642.unknown

_1190007765.unknown

_1190005896.unknown


Las derivadas parciales de

son:

que son continuas en (1, 0), por ser cociente de funciones continuas y no anularse el denominador en el punto; luego f es diferenciable en (1, 0).

Se puede aplicar, por tanto, el teorema anterior:

.

_1190011767.unknown

_1190012047.unknown

_1190007257.unknown


Ejercicio

Estudiar la existencia de derivadas direccionales en el punto (0, 0), en los casos:

a)

b)

_1190177100.unknown

_1192250192.unknown

*Derivada direccionalVector gradiente

Segn el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tiene infinitas derivadas direccionales en (a, b), es decir, una derivada direccional para cada vector unitario

= (u1, u2), y su valor es

, que se puede escribir como un producto escalar de dos vectores:

.

Al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b) y se simboliza por

=

.

Por lo tanto se verifica el siguiente:

Teorema

Si f es diferenciable en (x, y), y

= (u1, u2) es un vector unitario cualquiera, entonces

_1190177836.unknown

_1190178917.unknown

_1190178944.unknown

_1190179540.unknown

_1190178791.unknown

_1190006275.unknown


Fijando un punto (x, y), y haciendo variar el vector unitario

, se obtienen valores distintos para la derivada direccional, verificndose el siguiente

Teorema

Si f es una funcin, diferenciable en (a,b), entonces:

1) La derivada direccional (tambin llamada velocidad o ritmo de cambio) de f en (a, b), toma el valor mximo en la direccin del gradiente, siendo su valor

, y el vector


2) La derivada direccional (tambin llamada velocidad o ritmo de cambio) de f en (a, b), toma el valor mnimo en la direccin opuesta a la del gradiente, siendo su valor -

, y el vector


La demostracin se basa en la expresin del producto escalar de dos vectores como el producto de sus mdulos por el coseno del ngulo que forman, y se propone como ejercicio.

_1191991475.unknown

_1191991843.unknown

_1191992131.unknown

_1191991675.unknown

_1191990748.unknown


Ejemplo

Obtener las direcciones de mximo ritmo de crecimiento y de decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funcin f(x, y) = x2+y2-3, en el punto P(1, 2).

Calculemos el gradiente en el punto P:

fx = 2x, fy = 2y


Lo que se pide son las direcciones donde la derivada direccional toma los valores mximos o mnimos.

Luego para el valor mximo se tiene

EMBED Equation.DSMT4 , siendo el valor mximo en esta direccin


La direccin de mayor ritmo de decrecimiento ser la opuesta, es decir

, siendo su valor -

.

_1191994602.unknown

_1191994853.unknown

_1191994918.unknown

_1191994931.unknown

_1191994800.unknown

_1191993352.unknown

_1191993612.unknown

_1191991843.unknown

*Frmula de Taylor para funciones de dos variables

Estudiemos ahora la frmula de Taylor para funciones de dos variables.

Se verifica el siguiente

Teorema

Sea z = f(x, y) definida en un entorno de P(a, b), con derivadas parciales continuas hasta el orden n en el mismo entorno y, existiendo todas las derivadas parciales de orden n+1 en dicho entorno. Entonces f(x, y) se puede escribir en la forma

f(x, y) = Pn(x, y) + Rn(x, y), (frmula de Taylor)

siendo Pn(x, y) un polinomio de grado n en (x-a) e (y-b). Rn(x, y) representa un infinitsimo de orden superior a

cuando (x, y)

(a, b).

La expresin concreta de Pn(x, y) es

donde las potencias se entienden de manera simblica, es decir, al actuar el exponente sobre los smbolos de derivada parcial representarn derivacin sucesiva, y al actuar sobre (x-a) o (y-b) representarn potencias.

_1192078281.unknown

_1192079876.unknown

_1192078118.unknown


Aclaremos esto obteniendo Pn(x, y) para algunos valores de n:

n = 1, P1(x,y) = f(a, b)+(x-a)fx(a, b)+(y-b)fy(a, b)

n = 2, P2(x, y) = f(a, b)+(x-a)fx(a, b)+(y-b)fy(a, b)+

((x-a)2fxx(a, b)+

+2(x-a)(y-b)fxy(a, b)+(y-b)2fyy(a, b))

n = 3, P3(x, y) = f(a, b)+(x-a)fx(a, b)+(y-b)fy(a, b)+

((x-a)2fxx(a, b)+

+2(x-a)(y-b)fxy(a, b)+(y-b)2fyy(a, b))+

((x-a)3fxxx(a, b)+3(x-a)2(y-b)fxxy(a, b)+

+3(x-a)(y-b)2fxyy(a, b)+(y-b)3fyyy(a, b)).

Pn(x, y) recibe el nombre de polinomio de Taylor de la funcin f, de grado n, en el punto (a, b).

Cuando a=b=0, la frmula de Taylor se llama de McLaurin.

_1196091118.unknown

_1196091231.unknown

_1196091054.unknown


Ejemplo

Obtener la frmula de McLaurin de orden dos para la funcin f(x, y) = excos y.

En este caso a = b = 0. Necesitamos calcular las derivadas parciales primeras y segundas:

fx(x, y) = excos y, fy(x, y) = -exsen y, fxx(x, y) = excos y, fyy(x, y) = -excos y

fxy(x, y) = -exsen y. Sus valores en el punto (0, 0) son:

fx(0, 0) = 1, fy(0,0) = 0, fxx(0, 0) = 1, fyy(0, 0) = -1, fxy(0, 0) = 0, f(0, 0) = 1.

Por lo tanto

excos y = 1+x+

(x2-y2)+R2(x, y)

donde R2(x, y) es un infinitsimo de orden superior a

, para

(x, y)

(a, b).

_1192110059.unknown

_1196090378.unknown

_1192109955.unknown


Ejemplo

Obtener el desarrollo de Taylor de orden dos de la funcin f(x, y) = yx, en un entorno del punto (1,1).

Calculemos las derivadas parciales de primer y segundo orden.

Sus valores en el punto (1, 1) son

.Adems f(1,1) = 1 .

Luego se tiene

Donde R2(x, y) es un infinitsimo de orden superior a

_1196004033.unknown

_1196004937.unknown

_1196005459.unknown

_1196005589.unknown

_1196004340.unknown

_1196003424.unknown

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTASRegla de la Cadena.-Sea z = f(x,y) es una funcin diferenciable de x e y.Adems: x = g(t) e y = h(t) ; ambas funciones diferenciables en t. Entonces: Si fuera el caso: x = g(s,t) e y = h(s,t). Entonces:

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTASEn Forma General:Suponga que u es una funcin diferenciable de las n variables x1, x2,, xn y que cada xj es una funcin diferenciables de las m variables t1, t2,,tm. Entonces u es una funcin diferenciable de t1, t2, , tm.

DERIVACIN IMPLICITASea la funcin z =f(x, y); diferenciable en x e y, el cual es expresado implcitamente como una ecuacin: F(x,y,z)=0. Entonces por la regla de la cadena:peroentoncesSiempre que F/z0 Luego tenemos que:

GRADIENTE DE UNA FUNCIN

Sea f: D c Rn R una funcin definida en un conjunto abierto D tal que:

Entonces se define el VECTOR GRADIENTE de f en el punto P, como:

_1190178917.unknown

_1190179540.unknown

_1452280453.unknown

_1452280576.unknown

_1190178944.unknown

_1190177836.unknown

_1190178791.unknown

_1190006275.unknown

GRADIENTExyz



x = a

y = b

Recta normal

P(a, b, f(a, b))


En el caso en que

sea unitario, |

|=1, la derivada se llama direccional, y tiene particular inters terico.

Las derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales:

fx se obtiene tomando

= (1, 0).

fy se obtiene tomando

= (0, 1).

Para dar un significado geomtrico a la derivada direccional, definimos primero el concepto de pendiente en un punto de una superficie segn la direccin definida por un vector unitario

.

_1189697258.unknown


P

Q

M

N

A

Plano

z = f(x, y)


Consideremos la superficie z = f(x, y), P(a, b) un punto del dominio de f y

un vector unitario; tomemos un plano vertical ( que pase por P y sea paralelo a

, que cortar a la superficie en una curva C, que contendr al punto M(a, b, f(a, b)) cuya proyeccin sobre el plano OXY es P; entonces definimos la pendiente en el punto M, segn la direccin

, como la pendiente de la curva C en M, es decir como la pendiente de la tangente a la curva en M segn la direccin

.

El plano ( corta al plano OXY segn una recta r cuyas ecuaciones paramtricas son:

Si Q es un punto arbitrario de la recta r tendr la forma Q(a+tu1, b+tu2), que es la proyeccin del punto N(a+tu1, b+tu2, f(a+tu1, b+tu2)) de la superficie sobre el plano OXY. La recta MN es una secante a la curva C, cuya pendiente segn la direccin

es:

_1189954136.unknown

_1192202191.unknown

_1189697258.unknown

*Interpretacin geometrica de la derivada direccional

Cuando t tiende a 0, el punto N tiende al punto M, por lo que la secante tiende a la recta tangente en M, que tiene por pendiente, segn la direccin

:

, que es precisamente la derivada direccional de la funcin f, en el punto P(a, b), segn el vector

.

La expresin

se puede interpretar como el cociente entre el incremento de la funcin f al pasar del punto P al punto Q, y la distancia entre dichos puntos; que tambin se suele expresar como la razn del cambio de la funcin respecto a la distancia entre los puntos; por este motivo a la derivada direccional se le llama tambin razn o ritmo instantneo del cambio.

_1189954490.unknown

_1189956153.unknown

_1192291621.unknown

_1189697258.unknown


Si f es diferenciable en (a, b) existe una forma alternativa para calcular la derivada direccional, pues se verifica el:

Teorema

Si f es diferenciable en (a,b) y

=

un vector unitario cualquiera, entonces existe la derivada direccional en el punto (a, b) segn el vector

y se verifica

El anterior teorema permite, si f es diferenciable, el clculo de la derivada direccional a partir de las derivadas parciales.

_1190006304.unknown

_1190177823.unknown

_1190178576.unknown

_1190005896.unknown


Comprobemos el resultado anterior con un:

Ejemplo

Obtener la derivada direccional de

en el punto (1, 0) segn la direccin (1, 1), aplicando la definicin. Estudiar si es posible la aplicacin del teorema anterior, aplicndolo en su caso.

Como el vector (1, 1) no es unitario, hay que covertirlo en unitario conservando el sentido y la direccin, es decir, hay que dividirlo por su mdulo: |(1, 1)| =

,obtenindose

=

.

Apliquemos la definicin

_1190007257.unknown

_1190008955.unknown

_1190011642.unknown

_1190007765.unknown

_1190005896.unknown


Las derivadas parciales de

son:

que son continuas en (1, 0), por ser cociente de funciones continuas y no anularse el denominador en el punto; luego f es diferenciable en (1, 0).

Se puede aplicar, por tanto, el teorema anterior:

.

_1190011767.unknown

_1190012047.unknown

_1190007257.unknown


Ejercicio

Estudiar la existencia de derivadas direccionales en el punto (0, 0), en los casos:

a)

b)

_1190177100.unknown

_1192250192.unknown

*Derivada direccionalVector gradiente

Segn el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tiene infinitas derivadas direccionales en (a, b), es decir, una derivada direccional para cada vector unitario

= (u1, u2), y su valor es

, que se puede escribir como un producto escalar de dos vectores:

.

Al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b) y se simboliza por

=

.

Por lo tanto se verifica el siguiente:

Teorema

Si f es diferenciable en (x, y), y

= (u1, u2) es un vector unitario cualquiera, entonces

_1190177836.unknown

_1190178917.unknown

_1190178944.unknown

_1190179540.unknown

_1190178791.unknown

_1190006275.unknown




Teorema



, y el vector



, y el vector



_1191991475.unknown

_1191991843.unknown

_1191992131.unknown

_1191991675.unknown

_1191990748.unknown


Ejemplo



fx = 2x, fy = 2y







, siendo su valor -

.

_1191994602.unknown

_1191994853.unknown

_1191994918.unknown

_1191994931.unknown

_1191994800.unknown

_1191993352.unknown

_1191993612.unknown

_1191991843.unknown


Estudiemos ahora la frmula de Taylor para funciones de dos variables.

Se verifica el siguiente

Teorema

Sea z = f(x, y) definida en un entorno de P(a, b), con derivadas parciales continuas hasta el orden n en el mismo entorno y, existiendo todas las derivadas parciales de orden n+1 en dicho entorno. Entonces f(x, y) se puede escribir en la forma

f(x, y) = Pn(x, y) + Rn(x, y), (frmula de Taylor)

siendo Pn(x, y) un polinomio de grado n en (x-a) e (y-b). Rn(x, y) representa un infinitsimo de orden superior a

cuando (x, y)

(a, b).

La expresin concreta de Pn(x, y) es

donde las potencias se entienden de manera simblica, es decir, al actuar el exponente sobre los smbolos de derivada parcial representarn derivacin sucesiva, y al actuar sobre (x-a) o (y-b) representarn potencias.

_1192078281.unknown

_1192079876.unknown

_1192078118.unknown




Teorema



, y el vector



, y el vector



_1191991475.unknown

_1191991843.unknown

_1191992131.unknown

_1191991675.unknown

_1191990748.unknown


Ejemplo



fx = 2x, fy = 2y







, siendo su valor -

.

_1191994602.unknown

_1191994853.unknown

_1191994918.unknown

_1191994931.unknown

_1191994800.unknown

_1191993352.unknown

_1191993612.unknown

_1191991843.unknown

DERIVADAS PARCIALESDerivadas direccionales y su vector gradienteDerivas parciales en la direccin en x y y.Derivas parciales en la direccin de u.

DERIVADAS PARCIALES

DERIVADAS PARCIALESMaximizacin de la derivada direccionalTeorema: Suponga que f es una funcin diferenciable de dos o tres variables. El valor mximo de la derivada direccional Duf(x) es y se presenta cuando u tiene la misma direccin que el vector gradiente Demostracin:El valor mximo de cos es 1 y sucede cuando =0. Por lo tanto, el valor mximo de Duf(x) es y se presenta cuando =0, es decir cuando u tiene la misma direccin de .

DERIVADAS PARCIALESPlanos tangentes a superficies de nivelSuponga que S es una superficie cuya ecuacin es F(x,y,z) = k, es decir una superficie de nivel de una funcin F de tres variables, y sea P(x0,y0,z0) un punto en S. Sea C una curva que queda en la superficie de S y pasa por el punto P. Recuerde que la curva C se describe mediante una funcin vectorial r(t) = . Sea t0 el valor del parmetro que corresponde a P; es decir r(t0) = . Puesto que C est en S, cualquier punto (x(t),y(t),z(t)) debe cumplir con la ecuacin de S, es decir

Si x,y,z son funciones diferenciables de t y F es tambin diferenciable, entonces se aplica la regla de la cadena para derivar ambos miembros de la anterior ecuacin, dando:

DERIVADAS PARCIALESPero como entonces se puede escribir

En particular, cuando t = t0 se tiene de modo que

Esta ecuacin establece que el vector gradiente en P, es perpendicular al vector tangente a cualquier curva C en S que pasa por P. Sies por lo tanto natural definir el plano tangente a la superficie de nivelen como el plano que pasa por P y tiene vector normalPor lo que se puede escribir la ecuacin del plano tangente

DERIVADAS PARCIALESLa recta normal a S en P es la recta que pasa por P y es perpendicular al plano tangente. La direccin de la recta normal est definida por lo tanto por el vector gradiente y por lo tanto sus ecuaciones simtricas son

En el caso especial en el cual la ecuacin de la superficie S sea de la forma z =f(x,y); es decir , S es la grfica de una funcin f de dos variables, puede volverse a escribir la ecuacin como

y considerar a S como una superficie de nivel F con k = 0. Entonces

y su ecuacin del plano sera

DERIVADAS PARCIALESImportancia del vector tangenteConsidere una funcin de tres variables y un punto en su dominio:El vector indica la direccin del incremento ms rpido en f.Se sabe que es ortogonal a la superficie de nivel S que pasa por P.

De manera similar para una funcin de dos variables y un punto : El vector indica la direccin del incremento ms rpido en f.Se sabe que es perpendicular a la curva de nivel que pasa por P.

DERIVADAS PARCIALESCampo de gradiente de la funcinCurvas de nivel

DERIVADAS PARCIALESValores mximos y mnimosUna funcin de dos variables tiene un mximo relativo en (a,b) si f(x,y) f(a,b) cuando (x,y) est cerca de (a,b). El nmero f(a,b) recibe el nombre de valor mximo relativo. Si f(x,y) f(a,b) cuando (x,y) est cerca de (a,b), entonces f(a,b) es un mnimo relativo en (a,b) y f(a,b) es un valor mnimo relativo.

Teorema: Si f tiene un mximo relativo o un mnimo relativo en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden existen all, entonces fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0.

DERIVADAS PARCIALESValores mximos y mnimosPrueba de la segunda derivada. Suponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco de centro (a,b), y suponga que fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0, es decir f(a,b) es un punto crtico de f. Sea

Si D > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) es un mnimo relativo.Si D > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) es un mximo relativo.Si D < 0, entonces f(a,b) no es ni un mximo relativo ni un mnimo relativo.

DERIVADAS PARCIALESNota 1: En el caso de c) el punto (a,b) se llama punto de silla de f y la grfica de f cruza el plano tangente en (a,b).Nota 2: Si D = 0, la prueba no proporciona informacin: f podra tener en (a,b) un mximo relativo o un mnimo relativo o podra ser un punto de silla.Nota 3: Para recordar la frmula de D es til escribirla como como un determinante

DERIVADAS PARCIALES

DERIVADAS PARCIALESValores mximos y mnimos absolutosUn conjunto cerrado en R2 es aquel que contiene todos los puntos lmite o frontera. (Un punto lmite de D es un punto (a,b) tal que todo disco centrado en (a,b) contiene puntos en D y tambin puntos que no estn en D).Un conjunto acotado en R2 es aquel que est contenido dentro de un disco. En otras palabras su extensin es finita.

Teorema del valor extremo para funciones de dos variables. Si f es continua en un conjunto D cerrado y acotado en R2, entonces f alcanza un valor mximo absoluto f(x1,y1) y un valor mnimo absoluto f(x2,y2) en algunos punto (x1,y1) y (x2,y2).

DERIVADAS PARCIALESPara encontrar los mximos y mnimos absolutos de una funcin continua f en un conjunto D cerrado y acotado:Encontrar los valores crticos de f en D.Encontrar los valores extremos de f en los lmites de D.El valor ms grande de los pasos 1 y 2 es el valor mximo absoluto; el ms pequeo de estos valores es el mnimo absoluto.Revisar prueba del teorema de la prueba de la segunda derivada

Para calcular los valores extremos de f(x,y) sujeta a una restriccin g(x,y)=k, es decir, buscar los valores extremos de f(x,y) cuando el punto (x,y) est restringido a quedar en la curva de nivel g(x,y) = k. Lo anterior sucede cuando las curvas de nivel se tocan, es decir cuando tienen una recta tangente comn en el punto (x0,y0), lo que representa que las rectas normales en el punto (x0,y0) son paralelas :

para un escalar .Multiplicadores de LagrangeDERIVADAS PARCIALESRevisar multiplicadores de Lagrange para dos restricciones.

DERIVADAS PARCIALESMtodo de los multiplicadores de Lagrange: Para determinar los valores mximos y mnimos de f(x,y,z) sujeta a la restriccin g(x,y,z) = k [suponiendo que estos valores existan y que se encuentra en la superficie g(x,y,z) = k]:Determinar los valores de x,y,z y tal que

Evale f en todos los punto (x,y,z) que resulten de a). El ms grande de estos valores es el valor mximo de f; el ms pequeo es el valor mnimo de f.

DERIVADAS PARCIALESMaximizar V (f(x,y,z)) sujeto a la restriccin 2xz+2yz+xy=12 (g(x,y,z)=k).

Se tienen 4 ecuaciones con 4 incgnitas: x, y, z, .

DERIVADAS PARCIALES

DERIVADAS PARCIALESDos restricciones

DERIVACIN IMPLICITASuponga una ecuacin de la forma F(x,y) = 0 define a y en forma implcita como una funcin diferenciable de x, es decir, y =f(x), donde F(x,f(x))=0 para toda x en el dominio de f. Si F es diferenciable se aplica la regla de la cadena a ambos lados y se obtiene:Peros dx/dx = 1, de este modo si F/ y0 se obtiene

DERIVADA DIRECCIONALxyz

Interpretacin Geomtrica:

La derivada direccional de una superficie determinada por la funcin z= f(x, y) representa la pendiente de la recta tangente LT a la superficie en el punto P (x0, y0, z0) en una direccin arbitraria definida por el vector unitario u=(u1, u2).

Definicin Matemtica: La derivada direccional de f(x, y) en el punto P0 (x0, y0) en la direccin del vector unitario u=(u1, u2) est dada por:si el lmite existe.

Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la direccin de cualquier vector unitario u y:

Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la direccin del vector v = (1,2).

GRADIENTExyz

Teoremaa) El valor mximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la direccin f(x0,y0).b) La tasa mxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.

Corolarioa) El valor mnimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la direccin de - f(x0,y0)b) La tasa mnima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) || .

DERIVADAS PARCIALESValores mximos y mnimosPrueba de la segunda derivada. Suponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco de centro (a,b), y suponga que fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0, es decir f(a,b) es un punto crtico de f. Sea

Si D > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) es un mnimo relativo.Si D > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) es un mximo relativo.Si D < 0, entonces f(a,b) no es ni un mximo relativo ni un mnimo relativo.

DERIVADAS PARCIALESNota 1: En el caso de c) el punto (a,b) se llama punto de silla de f y la grfica de f cruza el plano tangente en (a,b).Nota 2: Si D = 0, la prueba no proporciona informacin: f podra tener en (a,b) un mximo relativo o un mnimo relativo o podra ser un punto de silla.Nota 3: Para recordar la frmula de D es til escribirla como como un determinante

DERIVADAS PARCIALES

DERIVADAS PARCIALESValores mximos y mnimos absolutosUn conjunto cerrado en R2 es aquel que contiene todos los puntos lmite o frontera. (Un punto lmite de D es un punto (a,b) tal que todo disco centrado en (a,b) contiene puntos en D y tambin puntos que no estn en D).Un conjunto acotado en R2 es aquel que est contenido dentro de un disco. En otras palabras su extensin es finita.

Teorema del valor extremo para funciones de dos variables. Si f es continua en un conjunto D cerrado y acotado en R2, entonces f alcanza un valor mximo absoluto f(x1,y1) y un valor mnimo absoluto f(x2,y2) en algunos punto (x1,y1) y (x2,y2).

DERIVADAS PARCIALESPara encontrar los mximos y mnimos absolutos de una funcin continua f en un conjunto D cerrado y acotado:Encontrar los valores crticos de f en D.Encontrar los valores extremos de f en los lmites de D.El valor ms grande de los pasos 1 y 2 es el valor mximo absoluto; el ms pequeo de estos valores es el mnimo absoluto.Revisar prueba del teorema de la prueba de la segunda derivada

Para calcular los valores extremos de f(x,y) sujeta a una restriccin g(x,y)=k, es decir, buscar los valores extremos de f(x,y) cuando el punto (x,y) est restringido a quedar en la curva de nivel g(x,y) = k. Lo anterior sucede cuando las curvas de nivel se tocan, es decir cuando tienen una recta tangente comn en el punto (x0,y0), lo que representa que las rectas normales en el punto (x0,y0) son paralelas :

para un escalar .Multiplicadores de LagrangeDERIVADAS PARCIALESRevisar multiplicadores de Lagrange para dos restricciones.

DERIVADAS PARCIALESMtodo de los multiplicadores de Lagrange: Para determinar los valores mximos y mnimos de f(x,y,z) sujeta a la restriccin g(x,y,z) = k [suponiendo que estos valores existan y que se encuentra en la superficie g(x,y,z) = k]:Determinar los valores de x,y,z y tal que

Evale f en todos los punto (x,y,z) que resulten de a). El ms grande de estos valores es el valor mximo de f; el ms pequeo es el valor mnimo de f.

DERIVADAS PARCIALESMaximizar V (f(x,y,z)) sujeto a la restriccin 2xz+2yz+xy=12 (g(x,y,z)=k).

Se tienen 4 ecuaciones con 4 incgnitas: x, y, z, .

DERIVADAS PARCIALES

DERIVADAS PARCIALESDos restricciones

Prof. Ing. Manuel Kurokawa Guerreros

OBJETIVOS:Conocer y aplicar la definicin de la integral doble como lmite de una suma de Riemann.Conocer y aplicar las propiedades de la integral doble. Saber determinar los lmites de integracin segn las regiones establecidas. Saber cambiar el orden de integracin para facilitar los clculos de estas integrales.

Repaso de la situacin en una variableSea f, funcin continua sobre [a,b] que se divide en n subintervalos de igual longitud x. Si xj es el extremo izquierdo del j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define:

Grficamente representa el rea bajo la grfica de f en [a,b]

El lmite o integral doble es el volumen del slido sobre la base R.

Cuando n crece, las sumas de Riemman se aproximan al volumen del slido

Lmites de integracinSecciones transversales verticales: La regin R est limitada por las grficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por R: a x b , g1(x) y g2(x)

VOLUMEN =

Lmites de integracinSecciones transversales horizontales: La regin R est limitada por las grficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por R: c y d , h1(y) x h2(y)

O BIEN:VOLUMEN =

PROBLEMA 1Cambiar el orden de integracin de la siguiente integral doble:Punto de interseccin en x:

Cambiar el orden de integracin:Punto de interseccin en y:

PROBLEMA 2

PROBLEMA 3

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTASRegla de la Cadena.-Sea z = f(x,y) es una funcin diferenciable de x e y.Adems: x = g(t) e y = h(t) ; ambas funciones diferenciables en t. Entonces: Si fuera el caso: x = g(s,t) e y = h(s,t). Entonces:

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTASEn Forma General:Suponga que u es una funcin diferenciable de las n variables x1, x2,, xn y que cada xj es una funcin diferenciables de las m variables t1, t2,,tm. Entonces u es una funcin diferenciable de t1, t2, , tm.

DERIVACIN IMPLICITASea la funcin z =f(x, y); diferenciable en x e y, el cual es expresado implcitamente como una ecuacin: F(x,y,z)=0. Entonces por la regla de la cadena:peroentoncesSiempre que F/z0 Luego tenemos que:

GRADIENTE DE UNA FUNCIN

Sea f: D c Rn R una funcin definida en un conjunto abierto D tal que:

Entonces se define el VECTOR GRADIENTE de f en el punto P, como:

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_1190179540.unknown

_1452280453.unknown

_1452280576.unknown

_1190178944.unknown

_1190177836.unknown

_1190178791.unknown

_1190006275.unknown

GRADIENTExyz



x = a

y = b

Recta normal

P(a, b, f(a, b))

DERIVADA DIRECCIONALxyz

Interpretacin Geomtrica:

La derivada direccional de una superficie determinada por la funcin z= f(x, y) representa la pendiente de la recta tangente LT a la superficie en el punto P (x0, y0, z0) en una direccin arbitraria definida por el vector unitario u=(u1, u2).

Definicin Matemtica: La derivada direccional de f(x, y) en el punto P0 (x0, y0) en la direccin del vector unitario u=(u1, u2) est dada por:si el lmite existe.

MXIMOS Y MNIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Definicin 1.- Sea f: D c R2 R, definida en un conjunto abierto D, entonces f tiene un valor mximo absoluto en Po = (xo, yo) , si:

Definicin 2.- Sea f: D c R2 R, definida en un conjunto abierto D, entonces f tiene un valor mnimo absoluto en Po = (xo, yo) , si:

Definicin 3.- Sea f: D c R2 R, continua en un conjunto cerrado y acotado D; entonces existe al menos un punto P D donde f tiene un valor mximo absoluto y al menos un punto Q D donde f tiene un valor mnimo absoluto.

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_1190179540.unknown

_1452280576.unknown

_1452611627.unknown

_1452612574.unknown

_1452611508.unknown

_1452280453.unknown

_1190178944.unknown

_1190177836.unknown

_1190178791.unknown

_1190006275.unknown

Definicin 4.- Sea f: D c R2 R, definida en un conjunto abierto D, entonces f tiene un valor mximo relativo en Po = (xo, yo) , si existe una bola abierta

B(Po, r) c D, tal que:

B(Po, r) : centro en Po y radio r

Definicin 5.- Sea f: D c R2 R, definida en un conjunto abierto D, entonces f tiene un valor mnimo relativo en Po = (xo, yo) , si existe una bola abierta

B(Po, r) c D, tal que:

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_1452280576.unknown

_1452611627.unknown

_1452613300.unknown

_1452613482.unknown

_1452612574.unknown

_1452611508.unknown

_1190179540.unknown

_1452280453.unknown

_1190178944.unknown

_1190177836.unknown

_1190178791.unknown

_1190006275.unknown

TEOREMA .- (De los valores extremos)

Sea la funcin z = f(x, y); entonces si existe un valor extremo en Po (mximo o mnimo relativo) y las derivadas parciales en ese punto existen, entonces se cumple que:

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_1190179540.unknown

_1452280576.unknown

_1452614072.unknown

_1452614489.unknown

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_1190178944.unknown

_1190177836.unknown

_1190178791.unknown

_1190006275.unknown

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Sea f: D c R2 R, una funcin definida en un conjunto abierto D, tal que sus primeras y segundas derivadas de f existan y sean continuas en un punto (a, b); tal que:

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_1452280576.unknown

_1452611627.unknown

_1452614489.unknown

_1452615353.unknown

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_1190006275.unknown

Punto silla

_1190178917.unknown

_1452280576.unknown

_1452611627.unknown

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_1452612574.unknown

_1452611508.unknown

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_1190178791.unknown

_1190006275.unknown

INTEGRALES DOBLES

Sea f: una funcin acotada en la regin cerrada R y sea

Si se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados, entonces dividiremos a R en una particin de r rectngulos.

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_1452622579.unknown

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_1190178791.unknown

_1190006275.unknown

DEFINICIN DE INTEGRAL DOBLE:La integral doble de f en R se define como el siguiente lmite de la suma de Riemann:

Luego definimos la suma de Riemann de la funcin f(x, y) asociada a la particin descrita como:

Geomtricamente la suma de Riemann representa el volumen aproximado del slido bajo la superficie z = f(x,y) y que tiene como base la regin cerrada R.

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INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA INTEGRAL DOBLE.-La integral doble de una funcin en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x, y) y sobre la regin R que se encuentra en el plano z = 0. Nota.- Si f(x, y) = 1 ; para todo (x, y) R, entonces la integral doble representa el rea de la regin R.

Lmites de integracinCASO 1: Si D es un rectngulo D= { (x, y) /a x b; c y d } Sea f: D c R R una funcin continua sobre D

Lmites de integracinCASO 2.- D: a x b , g1(x) y g2(x)

Lmites de integracinCASO 3: D: c y d , h1(y) x h2(y)

Transformacin de coordenadas rectangulares a coordenadas polares:

La integral doble de f sobre la regin R, est dada por el valor comn de las dos integrales iteradas.

Donde a, b, c y d son los lmites de integracin de la regin R. Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable.Clculo de integrales dobles

Propiedades de la Integral Doble:

That is, where D is the projection of E onto the xy-plane.TYPE 1 REGIONEquation 5

REAS DE SUPERFICIES CURVAS Sea una funcin z = f(x, y) y sus derivadas parciales continuas en una regin cerrada D del plano XY, entonces el rea de la superficie S sobre D ser:SD

Si se busca el rea de la ecuacin de la superficie y = f(x, z) sobre el plano XOZ entonces: D : proyeccin del rea sobre el plano XZ

Anlogamente si la ecuacin de la superficie es x = f(y, z) sobre el plano YOZ el rea buscada ser: D : proyeccin del rea sobre el plano YZ

INTEGRALES TRIPLES

Sea f: una funcin acotada en la regin cerrada R y sea

Si se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados, entonces dividiremos a R en una particin de r rectngulos.

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DEFINICIN DE INTEGRAL DOBLE:La integral doble de f en R se define como el siguiente lmite de la suma de Riemann:

Luego definimos la suma de Riemann de la funcin f(x, y) asociada a la particin descrita como:

Geomtricamente la suma de Riemann representa el volumen aproximado del slido bajo la superficie z = f(x,y) y que tiene como base la regin cerrada R.

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Integral Triple de Tipo 1.IINTEGRALES MULTIPLESIntegral Triple de Tipo 1Integral Triple de Tipo 1.II

INTEGRALES MULTIPLESLas coordenadas cilndricas son tiles en problemas que implican simetra alrededor de un eje, y el eje-z se elige para coincidir con este eje de simetra. Por ejemplo, el eje del cilindro circular con ecuacin cartesiana x2+y2=c2 es el eje-z. En coordenadas cilndricas este cilindro tiene un ecuacin muy simple r = c. Esta es la razn para el nombre de coordenadas cilndricas.INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILNDRICAS

INTEGRALES MULTIPLESEvaluacin de integrales triples en coordenadas cilndricas

INTEGRALES MULTIPLESIntegrales triples en coordenadas esfricas

INTEGRALES MULTIPLES

In particular, if the projection D of E onto the xy-plane is a type I plane region, thenTYPE 1 REGIONS

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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES UNI 2.ppt

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