FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Profa. Carmen Batiz UGHS

FUNCIONES EXPONENCIALES

La forma standard es: y = abx, donde a es la constante , a ≠ 0,

b es la base , b >0 b ≠ -1 y x es el exponente, x = Reales.

GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Si a > 0 y b > 1

y = 2x

y = 4x

y = 7x

La función crece

xaby

GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Si a > 0 y 0 < b < 1

y = 1/2x

y = 1/4x

y = 1/7x

La función decrece

xaby

DOMINIO Y CAMPO DE VALORES

Dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos y el campo de valore también será el conjunto de todos los números reales positivos. Se requiere que b sea positiva para evitar números imaginarios (-2)1/2

PROPIEDADES BÁSICAS DE f(x) = bX b > 0 , b ≠ 1

Todas las gráficas que pasan por el punto (0,1). b0 = 1 Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos. El eje x es una asíntota horizontal. Si b > 1, entonces bx aumenta conforme aumenta x. Si 0 < b< 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. La función de f es uno a uno.

OTRAS PROPIEDADES

x

xx

b

a

b

a

yxy

x

aa

a

Para a y b positivos, a ≠ 1 , b ≠ 1 y x y y reales: Leyes de exponentes 1. ax ∙ ay = ax + y 2. (ax)y = axy

3. (ab)x = axbx

4.

5.

6. ax = ay si y sólo si x = y7. Para x ≠ 0 , entonces ax = bx si y sólo sí

a = b

EJEMPLO

4x-3 = 8 22(x-3)= 23 se expresa el 4 y el 8 como

potencia de 2

2(x – 3) = 23 Propiedad 6

2x – 6 = 3 eliminación de paréntesis y

exponentes

2x = 9 P. suma de igualdad

x = 4 ½ P. multiplicación de la

igualdad

Aplicación – Crecimiento demográfico

La bacteria Escherichia coli ( E. coli) se encuentra naturalmente en los intestinos de muchos mamíferos. En un experimento de laboratorio, se encuentra que el tiempo de duplicación para la E. coli es de 25 minutos. Si el experimento comienza con una población de 1000 E. coli y no hay ningún cambio en el tiempo de duplicación, ¿cuántas bacterias estarán presentes:

a. en 10 minutos ? b. en 5 horas? = 300 minutos

P = población en el tiempo tP0 = población en el tiempo t = 0

d = tiempo de duplicación

P = P02t/d

Si t = d P = P02

P0 = 1,000 d = 25 minutos

a. P = (1,000) (210/25) = 1,320 E. colí

b. P = (1,000) (2300/25) = 4,096,000 = 4.1 x 106 E.

colí

Decaimiento radiactivo

El oro radiactivo 198(198Au) que se usa en las radiografías del hígado tiene una vida media de 2.67 días. Si se empieza con 50 miligramos del isótopo, ¿Cuántos miligramos quedarán después de: a. ½ día? b. una semana?

Decaimiento radiactivoA = cantidad al tiempo tA0 = cantidad al tiempo t = 0h = vida media

A = A02-t/h

Cuando t = h A = A02

Decaimiento radiactivoA0 = 50 mg h = 2.67 días

a. A = 50(2 -.5/2.67) = 50 = 43.9

mg 2.5/2.67

b. A = 50(2 -7/2.67) = 50 = 8.12 mg

2 7/2.67

Interés compuesto

Si se invierten $1,000 en una cuenta que paga el 10% de interés compuesto mensualmente, ¿cuánto habrá en la cuenta después de 10 años? Redondea a la centésima más cercana.

Interés compuesto

A = cuenta al final del año t añosP = capitalr = interés compueston = cantidad al año

nt

n

rPA )1(

Interés compuesto

P = $1,000 r = .10 n = 12 t = 10 años

= $2,707.04 nt

n

rPA )1(

Ejercicios

Sección 4.1 Pre-Cálculo Funciones y Gráficas-Barnett

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

La forma standard es: logby = x, si y = bx

Y se lee:

log de b y como “log base b de y”

EJEMPLO:

25 = 52 y = bx función exponencial

x = log by función logarítmica2 = log 525 función logarítmica

ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA.

1.½ 3 = 1/8

2. 32 = 9

ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA.

1.½ 3 = 1/8

2. 32 = 9

Log ½ 1/8 = 3

Log 3 9 = 2

ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL

1. log264 = 6

2. log 61296 = 4

ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL

1. log264 = 6

2. log 61296 = 4

26 = 64

64= 1296

Práctica

Cambia a forma exponencial.1. log327=3

2. log366 = ½

3. log3 (1/9) = -2

Cambia a forma logarítmica.1. 64 = 43

2. 2 = 3.

3 8

2416

1

Práctica

Cambia a forma exponencial.

1. log327=3

2. log366 = ½

3. log3 (1/9) = -2

Cambia a forma logarítmica.

1. 64 = 43

2. 2 =

3.

3 824

16

1

1. 33=27

2.

3. 3-2 = 1/9

636

1. Log4 64 = 3

2. log 8 2 = 1/3

3. Log 4 1/16 = -2

EVALÚA LOG 816

Sea x = log 816 entonces:

8x = 16(23)x = 24

23x = 24

3x = 4

3 3

3x = 4

x = 4

3

Por lo tanto log 816 =4/3

EVALÚA LOG 5125

EVALÚA LOG 5125

Sea x = log 5125 entonces:

5x = 125 5x = 53

x = 3

Por lo tanto log 5125 =3

PARA TODO NÚMERO POSITIVO ; SE ESTABLECE QUE:

1. logbMN = logb M + logbNPropiedad de productos

2. logbM = logb M - logbN N

Propiedad de cocientes

1 b b,y NM,

CONTINUACIÓN...

3. logbMk = k logb M

Propiedad de potencia

Prueba que log3 27 = 3

Prueba que log3 27 = 3

log3 27 = 3

log3 27 = log3 (3)(9) = log3 3 + log39

log33 = x por lo tanto 3x = 3 x = 1

log3 9 = y por lo tanto 3y = 9 3y = 32

y = 2

1 + 2 = 3

Escribe en forma logarítmica más simple.

1. log b r uv

2. logb

3. logb

5

3

n

m

5

31

v

u

Escribe en forma logarítmica más simple.

1. log b r uv

2. logb

3. logb

5

3

n

m

5

31

v

u

1. logb r – (logb u + logb v)

2. 3/5 ( logbm – logb n)

3. 1/3 logb u – 5logb v

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo.

1. log3 20 – log 3 4

2. 3log2 x + log 2 y

3. log 8 – 2 log 2+ log 3

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. 1. log3 20 – log 3 4

log 3 20 4log 3 5

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo.

2. 3log2 x + log 2 y

log 2 x3y

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. 3. log 8 – 2 log 2+ log 3

log (8 ) 3 22

log 6

EXPANDE CADA LOGARÍTMO

1. log 5 x y

2. log 3r4

EXPANDE CADA LOGARÍTMO

1. log 5 x y

2. log 3r4

log 5 x – log5 y

log 3 + 4log r

EJERCICIOS

Sección 4.3 Pre-Cálculo Funciones y Gráficas-Barnett

Definición:

f(x) = ex x es un número real

Gráfica:y = ex y = e-x

Aplicación

1. Medicina -Crecimiento bacteriano El cólera es una enfermedad intestinal causada

por la bacteria del cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por la fórmula presentada. Si se empieza con una bacteria , ¿cuántas bacterias habrá en a. 5 horas? b. 12 horas?

Calcule sus respuestas con tres dígitos

significativos.

N= número de bacterias presentes después de t horas

N0 = número de bacterias presentes cuando t = 0

t = tiempo de duplicaciónN = N0e1.386t

Aplicación

1. Medicina -Crecimiento bacteriano El cólera es una enfermedad intestinal causada por la

bacteria del cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por la fórmula presentada. Si se empieza con una bacteria , ¿cuántas bacterias habrá en a. 5 horas? b. 12 horas?

Calcule sus respuestas con tres dígitos significativos. N0 = 1 t = 5 horas a. N = 1 e (1.386) (5) = 1,020

t = 12 horas b. N = 1 e(1.386) (12) = e(1.386) (12) = 16,700,000 .

RESUELVE 4 + x3/2 = 31

4 + x3/2 = 31

x3/2 = 31 -4 x3/2 = 27

x 2723

x ( )33 23 x = 9

323/2

23

7

x

RESUELVE 3y4/3=768

RESUELVE 3y4/3=768

3y4/3=768

y = 64

y4/3=768 3

y4/3=256

y =2563/4

y 25634

y ( )28 34

y 26

RESUELVE 73X = 20

RESUELVE 73X = 20

73x = 20log 73x = log 20

3xlog 7 = log 20x = log 20 3log 7

Utilizando la calculadora x = 0.513

RESUELVE LOG (3X + 1) = 5

RESUELVE LOG (3X + 1) = 5

log (3x + 1) = 5

3x + 1 = 105

3x + 1 = 100,000

3x = 99,999x = 33,333

RESUELVE 2LOG X- LOG 3 = 2

RESUELVE 2LOG X- LOG 3 = 2

2log x- log 3 = 2

log x2 = 2 3

x2 = 102

3x2 = 1003

x2 = 300

x 300

x 10 3

EJERCICIOS

7.5

Examples Exercises

Mixed Exercises