FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Profa. Carmen Batiz     UGHS

FUNCIONES EXPONENCIALES

La forma standard es: y = abx, donde a es la constante , a ≠ 0,

b es la base , b >0 b ≠ -1 y x es el exponente, x = Reales.

GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES 

Si a > 0 y b > 1

y = 2x

y = 4x

y = 7x

La función crece

xaby =

GRÁFICA Y COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Si a > 0 y 0 < b < 1

y = 1/2x

y = 1/4x

y = 1/7x

La función decrece

xaby =

DOMINIO Y CAMPO DE VALORES

Dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos y el campo de valore también será el conjunto de todos los números reales positivos. Se requiere que b sea positiva para evitar números imaginarios  (­2)1/2

PROPIEDADES BÁSICAS DE F(X) = BX   B > 0 , B ≠ 1  

Todas las gráficas que pasan por el punto (0,1).   b0 = 1 Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos. El eje x es una asíntota horizontal. Si b > 1, entonces bx aumenta conforme aumenta x. Si  0 < b< 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. La función de f es uno a uno.

OTRAS PROPIEDADES

x

xx

b

a

b

a =

yxx

x

aa

a −=

Para a y b positivos, a ≠ 1 , b ≠ 1 y x y y reales: Leyes de exponentes

1. ax ∙ ay = ax + y 2. (ax)y = axy

3. (ab)x = axbx

4.

5.

6. ax = ay si y sólo si x = y7. Para x ≠ 0 , entonces ax = bx si y sólo sí a = b

EJEMPLO

             4x­3 = 8                        22(x­3)= 23        se expresa el 4 y el 8 como potencia de 2

    2(x – 3)   = 23            Propiedad 6

         2x – 6 = 8   eliminación de paréntesis y exponentes

               2x = 14       P. suma de igualdad

                 x = 7         P. multiplicación de la igualdad       

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

La forma standard es: logby = x, si y = bx

Y se lee:

log de b y como “log base b de y”

EJEMPLO:25 = 52

y = bx función exponencial

x = log by función logarítmica2 = log 525 función logarítmica

ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA.

• ½ 3 = 1/8

• 32 = 9

ESCRIBE EN FORMA LOGARÍTMICA.

• ½ 3 = 1/8

• 32 = 9

Log ½ 1/8 = 3

Log 3 9 = 2

ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL

• log264 = 6

• log 61296 = 4

ESCRIBE EN FORMA EXPONENCIAL

• log264 = 6

• log 61296 = 4

26 = 64

64= 1296

Ejercicios de práctica 7. 3Examples ExercisesMixed Exercises

EVALÚA LOG 816

Sea x = log 816 entonces:

8x = 16(23)x = 24

23x = 24

3x = 4

3 3

3x = 4

x = 4

3

Por lo tanto log 816 =4/3

EVALÚA LOG 5125

EVALÚA LOG 5125

Sea x = log 5125 entonces:

5x = 125 5x = 53

x = 3

Por lo tanto log 5125 =3

EJERCICIOS DE PRÁCTICA:

7.3 Examples ExercisesMixed Exercises

PARA TODO NÚMERO POSITIVO                         ; SE ESTABLECE QUE:

1. logbMN = logb M + logbNPropiedad de productos

2. logbM = logb M - logbN N

Propiedad de cocientes

1 b b,y NM, =

CONTINUACIÓN...

3. logbMk = k logb M

Propiedad de potencia

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo.

• log3 20 – log 3 4

• 3log2 x + log 2 y

3. log 8 – 2 log 2+ log 3

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. • log3 20 – log 3 4

log 3 20 4log 3 5

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo.

• 3log2 x + log 2 y

log 2 x3y

log (8 ) 3 22log 6

EJEMPLOS:Escribe cada expresión logarítmica como un simple logarítmo. 3. log 8 – 2 log 2+ log 3

log (8 ) 3 22

log 6

EXPANDE CADA LOGARÍTMO

• log 5 x y

• log 3r4

EXPANDE CADA LOGARÍTMO

• log 5 x y

• log 3r4

log 5 x – log5 y

log 3 + 4log r

EJERCICIOS DE PRÁCTICA:

7.4 Examples ExercisesMixed Exercises

RESUELVE 4 + X3/2 = 31

4 + x3/2 = 31

x3/2 = 31 -4 x3/2 = 27

x = 2723

x = ( )33 23 x = 9

323/2

23

7=

x

RESUELVE 3Y4/3=768

RESUELVE 3Y4/3=768

3y4/3=768

y = 64

y4/3=768 3

y4/3=256

y =2563/4

y = 25634

y = ( )28 34

y = 26

RESUELVE 73X = 20

RESUELVE 73X = 20

73x = 20log 73x = log 20

3xlog 7 = log 20x = log 20 3log 7

Utilizando la calculadora x = 0.513

RESUELVE LOG (3X + 1) = 5

RESUELVE LOG (3X + 1) = 5

log (3x + 1) = 5

3x + 1 = 105

3x + 1 = 100,000

3x = 99,999x = 33,333

RESUELVE 2LOG X­ LOG 3  = 2

RESUELVE 2LOG X­ LOG 3  = 2

2log x- log 3 = 2

log x 2 = 2 3

x 2 = 102

3x 2 = 1003

x2 = 300

x = 300

x = ±10 3

EJERCICIOS

7.5

Examples Exercises

Mixed Exercises