Tema 2. Funciones Lgicas

Algebra de Conmutacin. Representacin de circuitos digitales. Minimizacin de funciones lgicas.

lgebra de conmutacin

Algebra de Conmutacin: Postulados y Teoremas. Representacin de problemas lgicos. Definicin de

funciones lgicas. Puertas lgicas y Circuitoslgicos. Simplificacin de Funciones Lgicas y deCircuitos lgicos.

Representacin de problemas lgicos. Tabla deverdad. Paso de una tabla de verdad a una funcinlgica: formas cannicas. Funciones lgicasincompletamente especificadas.

lgebra de Commutacin

lgebra de Boole. Definicin y Postulados. lgebra de conmutacin. Operadores

lgicos. Teoremas del lgebra de Boole.

Sistema algebraico formado por un conjunto B = {0, a, b, , 1}finito, y dos operaciones [+, ], que cumplen los siguientespostulados para cualesquiera elementos X, Y, Z B,

P1. X + Y B; X Y B

P2. Propiedades conmutativa => X + Y = Y + X; X Y = Y X

P3. Propiedades distributivas =>X ( Y + Z ) = (X Y) + (X Z)X + ( Y Z ) = (X + Y) (X + Z)

P4. Elemento identidad => X + 0 = X; X 1 = X

P5. Elemento complementado => Para X existe X B, tal queX X = 0 y X + X = 1.

lgebra de Boole

Sistema algebraico formado por un conjunto B = {0, 1}, con lassiguientes operaciones [+, ]

lgebra de Commutacin

X Y X + Y0 0 00 1 11 0 11 1 1

X Y X Y0 0 00 1 01 0 01 1 1

El lgebra de conmutacin cumple los postulados del lgebra deBoole:P1: Los resultados de X + Y y X Y son 0 1P2: 0 + 1 = 1 + 0 = 1; 0 1 = 1 0 = 0P4: 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1; 0 1 = 0, 1 1 = 1P5: 0 + 1 = 1, 0 1 = 0 => 0 = 1; 1 + 0 = 1, 1 0 = 0 => 1 = 0

X X0 11 0

La propiedad distributiva se comprueba por perfecta induccin o prueba de todas las posibilidades en tres variables booleanas X, Y y Z.

X Y Z Y + Z X ( Y + Z) X Y X Z XY + XZ0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 01 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 1 1

X Y Z Y Z X + Y Z X + Y X + Z (X + Y) (X + Z)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

El lgebra de conmutacin guarda correspondenciacon la lgica de proposiciones donde se estudianrazonamientos en funcin de los valores verdadero (V)y falso (F) y las operaciones entre ellos AND (Y lgico),OR ( lgico) y NOT (No lgico) mediante la siguientetransformacin:0 F, 1 V, + OR, AND, NOT

Tambin guarda relacin con la teora de conjuntosusando la siguiente transformacin:

0 {}, 1 {U}, +, , {A} {U} - {A} Por tanto, especificaciones lgicas basadas en

conjuntos pueden resolverse mediante el lgebra deconmutacin.

Operacin AND

Funciones lgicas bsicas

X Y X + Y0 0 00 1 11 0 11 1 1

X Y X AND YF F FF V FV F FV V V

X Y X Y0 0 00 1 01 0 01 1 1

Operacin OR X Y X OR YF F FF V VV F VV V V

Operacin NOTX NOT XF VV F

X X0 11 0

X

YX Y

X

Y

X + Y

X X

Estos teoremas se demuestran a partir de los postuladosdel lgebra de boole y se aplican a cualquier lgebra deBoole, incluido el lgebra de conmutacin.La aplicacin de estos teoremas permite la modificacino la simplificacin de expresiones lgicas por otrasequivalentes.

Principio de dualidad: los postulados presentan dosversiones intercambiando (1 0), y (+ ).Esto implica que demostrado un teorema determinado,haciendo los intercambios anteriores en la definicin delteorema queda determinado un nuevo teorema.Por ejemplo: si demuestro que X + 1 = 1 X 0 = 0queda demostrado por dualidad.

Teoremas del lgebra de Boole

T1. Teorema de la doble complementacin: X = X

T2. Teorema de la idempotencia: X + X = X; X X = X.

T3. Teorema de la identidad: X + 1 = 1; X 0 = 0.

T4. Teorema de absorcin:X + X Y = X; X (X + Y) = X

T5. Propiedad asociativa:X + (Y + Z) = (X + Y) + Z; X (Y Z) = (X Y) ZEste teorema indica que se pueden utilizar puertaslgicas de 3, 4, entradas.

T6. Teorema de DeMorgan:X + Y = X Y; X Y = X + Y

T7. Teorema de adyacencia:X Y + X Y = X; (X + Y) (X + Y) = X.

T8. Teorema del consenso: X Y + X Z + Y Z = X Y + X Z

(X + Y) (X + Z) (Y + Z) = (X + Y) (X + Z)

T9. Teorema de simplificacin: X + X Y = X + Y; X ( X + Y ) = X Y.

Demostraciones de teoremas Teorema T3: X + 1 = 1

X + 1 = (X + 1) 1; Postulado P4(X + 1) 1 = (X + 1) (X + X); Postulado P5(X + 1) (X + X) = X + 1 X; Postulado P3X + 1 X = X + X 1; Postulado P2X + X 1 = X + X; Postulado P4X + X = 1; Postulado P5

Teorema T4; X + X Y = XX + X Y = X 1 + X Y; Postulado P4X 1 + X Y = X (1 + Y); Postulado P3X (1 + Y) = X (Y + 1); Postulado P2X (Y + 1) = X 1; Teorema T3X 1 = X; Postulado P4

Representacin de problemas lgicos Un problema lgico se corresponde con un enunciado

en el que se puede describir el problema medianterelaciones entre variables que se pueden definirmediante los valores verdadero y falso (variableslgicas).

La alarma de un coche se enciende cuando se cierranlas puertas sin ajustar los cinturones de seguridad, cuando se enciende el motor estando las puertasabiertas.

Al (alarma encendida) => Encendida (V), Apagada (F)Pu (puertas cerradas) => Cerrada (V), Abierta (F)Ci (cinturn ajustado) => Ajustado (V), Suelto (F)Mo (motor encendido) => Encendido (V), Apagado (F)

Para la resolucin del problema hay que plasmar elenunciado de forma que se pueda expresar comouna serie de entradas y salidas de tipo lgico. Haydos representaciones de los problemas:

- Funciones Lgicas => Circuitos Lgicos

Al = F (Pu, Ci, Mo) = Pu Ci + Mo Pu

- Tabla de verdad: Pu Ci Mo Al0 0 0 0 0 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 0

Funciones lgicas Una funcin lgica es una expresin matemtica que

evala cuando una variable lgica toma el valor lgicoVerdadero en funcin de los valores (Verdadero o Falso)de otras variables lgicas operados mediante lasoperaciones AND, OR y NOT. Normalmente, paraescribir las funciones lgicas se usan los valores (0, 1) ylos operadores tpicos ( , , +) del lgebra deconmutacin (de mayor a menor proridad, se puedenalterar mediante parntesis).

Z = F1(X, Y, Z) = X + Y Z; K = F2(X, Y, Z) = X + Y Z

T = F3(X, Y, Z) = (X + Y) Z; R = F4(X, Y, Z) = X + Y Z

X Y X Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

Adems, en circuitos digitales se usatambin el operador (EXOR), conesta tabla de operacin y la mismaprioridad que el operador +.

Puertas Lgicas Para una representacin circuital de las funciones

lgicas se utilizan puertas lgicas. Los circuitoslgicos se generan como una conexin de puertaslgicas.

Al = F (Pu, Ci, Mo) = Pu Ci + Mo Pu

Pu

Ci

Mo

Al

L1

Puerta Buffer: 1 entrada

X Z X Z0 01 1

Z = F(X) = X

Puerta AND: 2 ms entradas.La salida es 0 si alguna entradaes 0, si no es 1.

X Y Z0 0 00 1 01 0 01 1 1

X

YZ X

Y

Z

X Y Z0 0 10 1 11 0 11 1 0

Z = F(X, Y) = X Y Z = F(X, Y) = X Y

Puerta NAND: 2 ms entradas. La salida es 1 si alguna entrada es 0, si no es 0.

X Z

Puerta NOT Inversor:1 entrada

X Z0 11 0

Z = F(X) = X

Puerta EXOR: 2 ms entradas.La salida es 1 si el n de 1s esimpar, si no es 0.

X Y Z0 0 00 1 11 0 11 1 0

X

YZ

X

Y

Z

X Y Z0 0 10 1 01 0 01 1 1

Z = F(X, Y) = X Y = X Y + X Y Z = F(X, Y) = X Y = X Y + X Y

Puerta EXNOR: 2 ms entradas. La salida es 1 si el n de 1s es 0 par, si no es 0.

Puerta OR: 2 ms entradas. Lasalida es 1 si alguna entrada es 1,si no es 0. X Y Z

0 0 00 1 11 0 11 1 1

X

YZ

X

Y

Z

X Y Z0 0 10 1 01 0 01 1 0

Z = F(X, Y) = X + Y Z = F(X, Y) = X + Y

Puerta NOR: 2 ms entradas. La salida es 0 si alguna entrada es 1, si no es 0.

Operaciones bsicas en puertas lgicas

X

XXX

1

X X

00 X

X0

X

X

X

1

X

01 X 1

X

XX

X

XXX

11 X

0X X

X1

X

X

X

1

X

0

0 X 0X

XX

1

1

0

0

Operaciones bsicas en puertas lgicas

X

X0X

1

X

0X X 1

X

X

X1X

1X X

0

X 0X

X

X

X

Y

YX

Y

X

Y

Y

X X

Y

X

Y

X X

Y

X Y = X Y + X Y X Y = X Y + X Y

Simplificacin de Funciones Lgicas

Una misma especificacin lgica puede expresarsepor muchas funciones lgicas diferentes,sustituyendo trminos con ayuda de los teoremas ypostulados del lgebra de Boole.

Funciones lgicas distintas dan lugar a circuitoslgicos distintos. Normalmente nos interesa uncircuito lo ms pequeo posible => una funcinlgica con el menor nmero de trminos yoperaciones.

Las expresiones y los teoremas del lgebra deconmutacin muestran ejemplos de reducciones decircuitos digitales.

(AB + C + D) ( C + D ) ( C + D + E ) =

= (AB + C + D) ( C + D ) =

= D + C ( C + AB) =

= D + ABC

Ejemplos de simplificaciones

T.de absorcin: X (X+Y) = X X = C + D; Y = E

P. Distributiva: (X+Y)(X+Z)= X+YZX = D; Y = AB+C; Z = C

T. De simplificacin: X(X+Y) = XYX = C; X = C = C; Y = AB

Ejemplos de simplificaciones

A + B C + A B ( A + C ) =

= A + B C A B ( A + C ) =

= (A + B C) (A + B) (A + C) =

= A + B C B C =

= A + 0 B = A

L. de DeMorgan: X+Y = X Y X = A + B C; Y = A B

L. de DeMorgan: XY = X + Y;X = A; Y = B

P. Distributiva: (X+K)(X+Y)(X+Z)= X+KYZX = A; K = BC; Y = B; Z = C

P. de complemento: X X = 0; X = CT. de idempotencia: X X = X; X = B

T. de identidad: X 0 = 0; X = BP. Elem. Neutro X + 0 = X; X = A

X = X

Tabla de verdad

La tabla de verdad es una representacin de unproblema lgico mediante una tabla en la que seindica el valor lgico que toma la salida(s) en funcindel valor lgico que toman las entradas.

Existen problemas que no pueden pasarse de formadirecta a una funcin lgica:

Una sociedad est formada por 5 socios A, B, C, D y E quetienen respectivamente el 25%, 25%, 25%, 15% y 10% de lasacciones. Los estatutos de la sociedad indican que una toma dedecisin es positiva si el tanto por ciento a favor es mayor del65%, o si estando entre el 35% y el 65% (ambos inclusive) haymayora de votos a favor entre los tres socios ms antiguos C,D y E (sin contar su porcentaje respectivo). En caso contrario, ladecisin es negativa.

Este enunciado no puede convertirse fcilmente en una funcinlgica. Una paso intermedio para llegar al circuito lgico es expresarel problema en una tabla de verdad.

A B C D E % n votos Z0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 10 1 00 0 0 1 0 15 1 00 0 0 1 1 25 2 00 0 1 0 0 25 1 00 0 1 0 1 35 2 10 0 1 1 0 40 2 10 0 1 1 1 50 3 10 1 0 0 0 25 0 00 1 0 0 1 35 1 00 1 0 1 0 40 1 00 1 0 1 1 50 2 10 1 1 0 0 50 1 00 1 1 0 1 60 2 10 1 1 1 0 65 2 10 1 1 1 1 75 3 1

A B C D E % n votos Z1 0 0 0 0 25 0 01 0 0 0 1 30 1 01 0 0 1 0 40 1 01 0 0 1 1 50 2 11 0 1 0 0 50 1 01 0 1 0 1 60 2 11 0 1 1 0 65 2 11 0 1 1 1 75 3 11 1 0 0 0 50 0 01 1 0 0 1 60 1 01 1 0 1 0 65 1 01 1 0 1 1 75 2 11 1 1 0 0 75 1 11 1 1 0 1 85 2 11 1 1 1 0 90 2 11 1 1 1 1 100 3 1

La tabla de verdad de un problema lgico es nica. Sinembargo un problema lgico puede expresarse pormuchas funciones lgicas diferentes (aunqueequivalentes).

De una funcin lgica se puede obtener la tabla deverdad operando.Al = F (Pu, Ci, Mo) = Pu Ci + Mo Pu

Pu Ci Mo Ci Pu Pu Ci Mo Pu Al0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0

Pu Ci Mo

De una tabla de verdad se puede obtener una funcin lgicasiguiendo este razonamiento:La funcin es 1 si los valores de las entradas coinciden con los deuna otra (OR) de las filas de la tabla de verdad que producen 1.Coincidir con una fila significa que todas las entradas (AND) tienen elvalor de la entrada en la fila, donde 1 es la entrada y 0 la entradacomplementada.

Pu Ci Mo Al0 0 0 0 0 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 0

Pu Ci MoPu Ci Mo

Pu Ci Mo

F(Pu, Ci, Mo) = Pu Ci Mo + Pu Ci Mo + Pu Ci Mo + Pu Ci Mo

Forma cannica SOP (suma de minterms)

Reduciendo la funcin por T. de Adyacencia

F (Pu, Ci, Mo) = Pu Mo + Pu Ci

Forma estndar SOP (suma de productos)

minterms

Otro razonamiento posible es:La funcin es 1 si los valores de las entradas no coinciden conninguna (AND) de las filas de la tabla de verdad que producen 0.No coincidir con una fila significa que el valor de una otra (OR) delas entradas es distinto del valor en la fila, para lo que 1 es la entradacomplementada y 0 sin complementar.

F(Pu, Ci, Mo) = (Pu + Ci + Mo) (Pu + Ci + Mo) (Pu + Ci + Mo) (Pu + Ci + Mo)

Pu + Ci + MoPu + Ci + Mo

Pu + Ci + Mo

Pu Ci Mo Al0 0 0 0 0 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 0

Pu + Ci + Mo

Forma cannica POS (producto de Maxterms)

Reduciendo la funcin por T. de Adyacencia

F (Pu, Ci, Mo) = (Pu + Mo) (Pu + Ci)

Forma estndar POS (producto de sumas)

Maxterms

Notacin decimal de una tabla de verdad Para indicar una funcin lgica mediante su tabla de

verdad se suele usar una notacin decimal. Se suponeque las entradas forman un cdigo binario con pesos dederecha a izquierda 1, 2, 4, 8, . Se indica la funcincomo un sumatorio de combinaciones que producen 1 como un productorio de las combinaciones queproducen 0.

F(Pu, Ci, Mo) = (1, 3, 4, 5) = (0, 2, 6, 7) F(Pu, Ci, Mo) = (0, 2, 6, 7) = (1, 3, 4, 5)

Pu Ci Mo Al0 0 0 0 0 1 0 0 1 12 0 1 0 03 0 1 1 14 1 0 0 15 1 0 1 16 1 1 0 07 1 1 1 0

Funciones incompletamente especificadas Existen problemas en los que no estn definidas todos

las combinaciones de las entradas.

Indicar si una palabra de un cdigo NBCD es mltiplo de3.

De las 16 combinaciones slo tienen sentido de 0 (0000)a 9 (1001). Las combinaciones 10-15 no tienen sentido,para ellas la salida no est definida, puede ser 0 1segn convenga. Se dice que la salida es dont care(no importa): .Para el ejemplo:F(a3, a2, a1, a0) = (3, 6, 9) + (10, 11, 12, 13, 14, 15)F(a3, a2, a1, a0) = (0, 1, 2, 4, 5, 7, 8) (10, 11, 12, 13, 14, 15)