G3

SOLUCIONARIO DE:

BALOTARIO DE MATEMTICA AVANZADA 2015 A

Universidad Nacional del Callao (UNAC)

Facultad de Ingeniera Elctrica y Electrnica

(FIEE)

Escuela Profesional de Ingeniera Electrnica PROFESOR:

Lic. Ral Castro Vidal GRUPO: N 3 INTEGRANTES:

Miranda ahui Jorge Orlando 1313220436 Manza Chvez Herber 1223220544 Torres Trujillano Javier 1313220204 Espinoza Huancas Alexander 1313220329 Snchez Casas Javier 1313210198

Vizarres Valentn Erick 1313210073 Sanchez Remigio Banner 1313210215 Paredes Vaca Jos Luis 1313210135

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELECTRNICA

Matemtica Avanzada Balotario Resuelto 1

BALOTARIO DE MATEMTICA AVANZADA 2015 A PROBLEMA 01

Si y son nmeros complejos demuestre que: a) | | || | | ||

b) | | | | (| | | | ).

c) | | | | ( | | )( | | ). Solucin 1 Nociones bsicas:

| | ( ) ( ) Solucin:

| | ( )( ) ( )( )

| | | | | | ( )

| | ( )( ) ( )( )

| | | | | | ( )

Restando ( ) de ( ): | | | | (| | | | )

| | | | | | | |

| | | | ( | | )

( | | )( | | )

| | | | ( | | )( | | ) Solucin 2

Recordando: ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

,( ) ( ) - ,( ) ( ) -

, - , -

( )

( )( )

( )( )

( ( ))( ( ))




( ) De lo cual vemos que (1) es igual (2) de lo cual se puede demostrar la igualdad.

PROBLEMA 02 Resuelva:

Sea ( ) * | | +. Calcula y representa grficamente ( ) para las funciones: a) ( )

b) ( ) ( )

En forma polar

| |

( ) .

/

( ) .

/

Esto se interpreta como una ampliacin y rotacin de los puntos de

( ) .

/

( ) .

/

( ) .

/

( ) .

/

( )

c) ( ) | | | |

El circulo | | Por | |

|

|

|

|

Elevando al cuadrado

.

/

.

/

( )

La transformacin del crculo | | es otro crculo pero de radio

Estudia la continuidad en el disco ( ) * | | + de las funciones.




) ( )

) ( )

PROBLEMA 03 Sea la funcin: Si es un subconjunto abierto de y es una funcin armnica, se llama armnica conjugada a toda funcin que cumpla que la nueva funcin ( ) ( ) ( ) es derivable en . Prueba que las siguientes funciones son armnicas y halla una armnica conjugada.

) ( ) ( )

a) ( ) ( )

Para encontrar su cannica utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann ya que si f es

analtica y son analticas.

( )

( )

( )

( )

( )

b) ( )

Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann

( )

( )

( )

( )

( )

( )

c) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )




( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

PROBLEMA 04

Calcular el valor de la integral

, siendo el camino indicado en la figura siguiente:

PROBLEMA 05

Sea ( ) , , -. Calcular en funcin del parmetro el valor de las siguientes integrales:

)

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

)

( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )




( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

)

)

PROBLEMA 06 Demuestre:

Sea ( )

un polinomio con coeficientes reales, esto es, para . Se pide:

a) Comprobar que para todo se cumple la igualdad ( ) ( ) .

b) Usando el apartado anterior, probar que si es solucin compleja de ( ) , entonces su conjugada tambin es solucin.

c) Calcular todas las soluciones de .


Una funcin se dice que es armnica en el conjunto abierto si es de clase ( ) (existen sus derivadas parciales de orden dos y son funciones continuas) y verifica la relacin

( )

( )

Dada una funcin derivable , comprueba que las funciones parte real ( ) ( ) y parte imaginaria ( ) ( ) son armnicas en . Nota: Supn aunque posteriormente veremos que esta suposicin es superflua, que las funciones parte

real y parte imaginaria de f son de clase ( ).

PROBLEMA 08

Dada la curva ( ) , , - calcular la integral:




Donde ( )

Sea ( ) es analtica para todo

, -

(

)

( )

PROBLEMA 09 Calcular el valor de la integral:

( )

( )

, -

Sea:

( ) (

)

, -

( ) , es analtica en ya que est fuera de

( )

( )

( )

PROBLEMA 10

PROBLEMA 11 Estudie la convergencia de las series:

En qu vector se transforma al girarlo ?.

Sea el vector

( )




( )

Girando ( )

(

)

( )

Qu ngulo es necesario girarlo para que el resultado sea ? Teniendo que:

[ ] [

]

[ ] [

]

PROBLEMA 12

Sea una funcin de variable compleja. Demuestra que la parte real ( )y la parte imaginaria ( ) son simultneamente derivables si y solo si ( ) es constante. Solucin Consideremos la funcin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La parte real ( ) es derivable y la parte imaginaria ( ) es derivable Se cumple la ecuacin de Cauchy-Riemann y son continuas las funciones:

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) es analtica en una curva Comprobamos que ( ) Por la ecuacin de Cauchy-Riemann:

( ) ( ) ( )

PROBLEMA 13




PROBLEMA 14 Calcular la integral de la funcin conjugacin ( ) a lo largo de la siguiente curva.

Orientacin negativa

( ) ;

( )

, -

( )

( )( )

( )

0 . /1

( )

( )

( )

PROBLEMA 15 Calcular la integral | |

, siendo el camino del ejercicio anterior.

| | | |

( )

( )

| |

PROBLEMA 16

PROBLEMA 17 Represente grficamente:

PROBLEMA 18 Determina los puntos singulares de las siguientes funciones:

a) ( )

( )

Definicin de puntos singulares donde ( ) deja de ser analtica ( ) Tenemos dos puntos singulares:




b) ( ) .

)/

c) ( ) .

( )( )/

( )( ) ( ) ( ) ( )

PROBLEMA 19 Calcula a partir de las condiciones de Cauchy-Riemann, las derivadas de las funciones: a) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) b) ( )

( ) ( ) ( )

( ) c) ( )

( )

( )

d) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

PROBLEMA 20

PROBLEMA 21 Calcule las siguientes integrales:

a)

b)

, - ( )

( )

( (

)( (

))

)




(

)

(

)

( (

) (

))

(

)

PROBLEMA 22


( )

Pero

PROBLEMA 24

es una funcin analtica, demuestre que es derivable y se verifica la ecuacin de Gauchy-Riemann.

Sea la funcin f(x+iy) =U(x,y)+iv(x,y) analtica suponemos U(x,y) y v(x,y) funciones de clase c2 siendo analtica se satisface las

ecuaciones de cauchy-rieman.

( )

( )

.Derivando (1)respecto de y:

( )




.Derivando (2) respecto de x:

( )

.Derivando (1) respecto de x:

( )

.Derivando (2) respecto de y:

( )

Igualando (3) y (4)

( )

Igualando (5) y (6)

( )

Por () y ()

U(x,y) y v(x,y) son armnicas

PROBLEMA 25

Sea :F S C C una funcin analtica en el interior de una curva de Jordan C y sobre

C, excepto en nmero finito de puntos singulares 1 2 3, , ,..............., na a a a del interior de C=C.

Demuestre que 1

( ) 2 Re ( )n

j

jC

F z dz i sF a

.




Demostracin Resolucin por el Teorema de Residuos

Resolucin: Sea ( ) =

( ) ( )

F(z) es funcin Compleja

Del teorema de los conjuntos mltiplemente conexas

Sabemos :

n

j cj

dzzd1c

)(F(z)dz ; siendo F(z) analtica

Y que : c

F(z)dz= ( )

; para un punto en

c

F(z)dz; )es(.2)(11

j

n

j

n

j cj

aRidzzF

)es(.2F(z)dzc

jaRi Siendo , puntos singulares

SIN NUMERO

+

+

+

( )

+

+

+

2

+

2

0

| +

0

|

2+

( - )

2+

( )=2

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