Gantt Pert Cpm

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Temas 13: Gantt, PERT, CPM y ROY

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TEMA 13: GANTT, PERT, CPM y ROY

INDICE

1 2 3 4 5

Antecedentes histricos ...............................................................................2 Conceptos bsicos: actividad y suceso .....................................................3 Prelaciones entre actividades ......................................................................3 Cuadro de prelaciones y matriz de encadenamiento ................................4 Construccin del grafo..................................................................................55.1 Clasificacin en niveles .......................................................................................5 5.2 Numeracin de nudos ..........................................................................................7

6

Tiempo PERT..................................................................................................86.1 Asignacin de tiempo: tiempo optimista, ms probable y pesimista .............8 6.2 Matriz de Zaderenko ...........................................................................................12

7 8 9

Concepto y clculo de holguras ................................................................13 Camino crtico ..............................................................................................14 Calendario de ejecucin .............................................................................15

10 Planificacin y programacin de proyectos a coste mnimo .................17 11 Aplicaciones informticas ..........................................................................19

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1 Antecedentes histricosLa planificacin y programacin de proyectos complejos, sobre todo grandes proyectos unitarios no repetitivos, comenz a ser motivo de especial atencin al final de la Segunda Guerra Mundial, utilizndose el Grfico de Gantt desde 1913, siendo sta la nica herramienta disponible hasta finales de los aos cincuenta. Estos diagramas fueron ideados con el objeto de representar las tres variables que intervienen en toda fabricacin: Pedidos Medios de produccin (Hombres y mquinas) Tiempos

Como el estudio de estas tres variables requera un diagrama en tres dimensiones, Gantt toma dos de ellas en una representacin plana, haciendo algunas anotaciones sobre los mismos, de manera que los ms frecuentes son:

Diagrama de carga de operarios Diagrama de carga de mquinas Diagrama de pedidos (programacin de pedidos para piezas) Diagrama de coordinacin y progreso del trabajo (control de avance del trabajo)

Para el proyecto de construccin de submarinos atmicos, armados con proyectiles "Polaris", se desarrolla un nuevo mtodo para solucionar el problema de la planificacin, donde se tendra que coordinar y controlar, durante un plazo de cinco aos a 250 empresas, 9000 subcontratas y numerosas agencias gubernamentales. Este mtodo denominado PERT (Program Evaluation and Research Task), Evaluacin de Programas y Revisin Tcnica, consigui adelantarlo dos aos sobre los cinco previstos. Por la misma poca, la compaa Du Pont crea una tcnica similar al PERT, a la que denominan CPM (Critical Path Method), Mtodo del Camino Crtico. Este mtodo es muy parecido al PERT, su diferencia fundamental es la nomenclatura y la relacin existente entre el coste y la duracin de las actividades, cosa que el PERT no tena en cuenta, al estimar la duracin de las actividades para un nivel de coste dado. Por un lado el CPM trabaja con duraciones estimadas por experiencia para las tareas, mientras que el PERT utiliza estimaciones probabilsticas. En Europa y paralelamente a las investigaciones mencionadas, B. Roy desarrollo el Mtodo de los Potenciales, conocido como mtodo ROY, donde la idea fundamental es la interdependencia entre las distintas actividades que componen el proyecto y la determinacin del camino crtico. A diferencia del PERT y del CPM ste mtodo tiene mayor flexibilidad para simular interrelaciones entre actividades.

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2 Conceptos bsicos: actividad y sucesoSe comenzar descomponiendo el proyecto en una serie de actividades, entendiendo por actividad: la ejecucin de una tarea que necesita para su realizacin la utilizacin de uno o varios recursos (mano de obra, maquinaria, materiales, etc.) considerando como caracterstica fundamental su duracin. As, por ejemplo, la cimentacin, la instalacin elctrica, etc., son actividades de un proyecto de construccin de un edificio. La representacin grfica de las tareas se realizar mediante arcos.ACTIVIDAD

Otro concepto fundamental es el suceso (tambin conocido como etapa, nudo o acontecimiento), que representa un punto en el tiempo; no consume recursos y slo indica el principio o fin de una actividad o actividades. Se suele representar con un crculo.

3 Prelaciones entre actividadesEn el caso del grafo PERT, los vrtices sern sucesos y los arcos las actividades, debiendo cumplirse una serie de condiciones: Cada actividad real ha de tener un suceso que la preceda y otro en el que finalice Cada suceso tendr, al menos una actividad que le preceda y otra que le siga, a

excepcin de los sucesos inicial y final. El uso de actividades ficticias (de duracin nula), tiles en la prctica, obliga a introducir la palabra real en estos criterios. Ninguna actividad puede comenzar hasta que se haya producido el suceso que la precede; en consecuencia ningn suceso puede considerarse realizado hasta que todas las actividades que en l terminan se hayan acabado de realizar. Si existen actividades paralelas, con sucesos inicial y final comunes, se sustituyen por una red parcial, con los mismos sucesos inicial y final, pero con la introduccin de actividades ficticias y sucesos intermedios, eliminando las actividades paralelas. Cuando la concurrencia de distintas actividades en un mismo suceso produzca confusas relaciones de dependencia, se utilizarn actividades ficticias y sucesos intermedios a fin de que las relaciones de dependencia queden completamente establecidas. Ningn suceso puede ser a la vez suceso inicial y final de un camino formado por actividades de la red, es decir, la red no puede tener circuitos ni bucles.

Algunas veces, el cumplimiento de las citadas reglas puede impedir el plantear las relaciones de prelacin de algunas actividades. Cuando esto sucede, se recurre al empleo de actividades ficticias; stas no consumen tiempo ni ningn tipo de recurso, siendo su nica finalidad resolver los problemas de dependencia mencionados. Ejemplo:Para la realizacin de un determinado proyecto es necesaria la ejecucin de 14 actividades ( A, B, ..., M y N), que tienen las siguientes relaciones de prelacin inmediata:

Para que comience D tienen que estar finalizadas A y B Slo una vez finalizada B podrn comenzar E y F C es inmediatamente anterior a G Para comenzar las actividades H, I, J, K, L y M se tendr que haber finalizado la D Slo cuando se terminen E, F y G se podr dar comienzo a J y K

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Para la realizacin de I es totalmente imprescindible la finalizacin de E La ejecucin de N no se lleva a cabo mientras no se hayan terminado H, I, J, K y L

4 Cuadro de prelaciones y matriz de encadenamientoPara comenzar a construir el grafo se parte del conocimiento de todas las actividades que componen el proyecto, as como de sus relaciones de prelacin. Es muy conveniente recoger esta informacin de una forma sistematizada, ya que ello ayudar en gran medida a construir el grafo. Existen, bsicamente, dos formatos para esto: La matriz de encadenamiento: Consiste en una matriz cuadrada cuya dimensin es igual

al nmero de actividades en que se ha descompuesto el proyecto. Cuando un elemento de dicha matriz aparece marcado con una X, esto nos indica que para poder iniciar la actividad correspondiente a la columna ser necesario que haya finalizado previamente la actividad de la fila correspondiente. La tabla de precedencias: Esta compuesto por tres filas, en la fila central colocamos las distintas actividades del proyecto. En la fila superior las actividades inmediatamente anteriores y en la ltima fila las inmediatamente siguientes de cada tarea. Ejemplo:Continuando con el ejemplo anterior, determinaremos la matriz de encadenamiento y la tabla de precedencias: Matriz de encadenamiento:

A A B C D E F G H I J K L M N

B

C

D X X

E X

F X

G

H

I

J

K

L

M

N

X X X X X X X X X X X X X X

X X X X X

Realizamos la tabla de precedencias:Tareas inmediatamente anteriores Tareas Tareas inmediatamente siguientes A B D, E, F C A, B B B C D D, E D, E, F, G J D, E, F, G K D D I, J, K, L, H N

D H, I, J, K, L, M

E

F

G

H

I

L

M

D

G

I, J, K

J, K

J, K

N

N

N

N

N

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5 Construccin del grafo5.1 Clasificacin en niveles

Con objeto de que los nudos estn ordenados y faciliten la representacin del grafo, se les clasifica en niveles, de acuerdo con el siguiente criterio: Para llegar en una red a un nodo de un nivel determinado es preciso que se hayan pasado los nudos de niveles inferiores. Como existen proyectos cuyas redes pueden ser dibujadas antes de conocer el nivel de nudos, vamos a explicar su clculo, tanto para el supuesto que estn dibujadas como que no lo estn. Si la red est dibujada provisionalmente. Para saber si es correcto el dibujo de la red:

Se asigna el nivel 1, al nudo origen. Se elimina el nudo origen y las actividades que salen de l: Se miran los nudos que no reciben ninguna actividad: Forman el nivel 2. Se eliminan los nudos que pertenecen al nivel 2 y las actividades que salen de l. Se miran los nudos que no reciben ninguna actividad: Forman el nivel 3. Se sigue as, hasta llegar al ltimo nodo de la red.

Si la red no est dibujada, se opera con el cuadro de secuencias de la siguiente manera: Se considera la lnea horizontal inferior (indicada con una flecha) que seala el nmero de

X correspondiente a cada columna. Se miran los 0 que existen en dicho nivel. El origen de esas actividades corresponde al nudo origen del grafo que es el nivel 1. En nuestro ejemplo corresponden a las actividades A, B y C.

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ACTIVIDADES DESTINO

A A B C D E ACTIVIDADES ORIGEN F G H I J K L M N 0

B

C

D X X

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

X

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

0

0

2 0

1 0

1 0

1 0

1 1 0

2 2 0

4 4 0

4 4 0

1 1 0

1 1 0

5 5 5 0

Nivel 1 2 3 4

Eliminamos las filas correspondientes a las actividades anteriores: A, B y C Se hace la suma por columnas del nmero de X, en el nivel 2 Continuamos con el procedimiento hasta que todas las sumas sean nulas.

Con la secuencia de las actividades y el nivel de los nodos es fcil dibujar la red teniendo experiencia y aplicando las reglas anteriormente expuestas. (Ver en pizarra)

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Para dibujar el grafo se comenzar por aquellas actividades que no tienen precedentes y que, por tanto, saldrn del nudo inicial. A partir de ah, se deben colocar los sucesos y actividades que siguen a los anteriores, definindose, si es preciso, actividades ficticias para facilitar la construccin del grafo. Ejemplo: b A f1 B a C G c F E f f3 g J f5 K j f2 I i D e f4 H h L N Mk

d

5.2

Numeracin de nudos

Una vez construido el grafo, se debern numerar los distintos sucesos, para ello, primero se denominarn con letras siguiendo un orden aleatorio, para a continuacin aplicar el mtodo de la matriz asociada. Este mtodo consiste en una matriz con una fila y una columna por cada suceso del grafo. Si de un suceso i sale una actividad hacia el suceso j, el elemento aij ser 1, siendo cero en caso contrario.Ejemplo: Aplicando esto ltimo al ejemplo anterior obtendremos la siguiente matriz asociada al grafo:

a b c d e f g h i j k

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

b 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

c 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

d 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

e 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

DESTINO f 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

g 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0

h 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

i 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0

j 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

k 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

Se puede observar que la columna a no tiene ningn 1, debido a que el suceso a no es fin de ninguna actividad; este ser el suceso inicial y se le asigna el 1. A continuacin se eliminar la columna y la fila correspondiente al suceso a, quedando una matriz de 10x10 a la que aplicamos el mismo criterio. Ahora son las columnas c y d las que no contienen ningn 1, luego podemos asignar 2 y 3 indistintamente. Seguiremos el mismo proceso hasta el final, obteniendo el siguiente resultado:

ORIGEN

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a b c d e f g h i j k Nodos

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

b 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4

c 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

d 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

e 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

DESTINO f 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 6

g 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 8

h 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7

i 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 10

j 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 9

k 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 11

Y por tanto, la representacin del grafo quedar de la siguiente forma:

ORIGEN

4 A f1 1 B C 2

D

5 f2

f4 H I f3 J

7 L10

M N11

E F

6

f5 K9

3

G

8

6 Tiempo PERT6.1 Asignacin de tiempo: tiempo optimista, ms probable y pesimista

Una vez elaborado el grafo con las secuencias de las actividades podemos pasar a la programacin de las mismas. Para ello, es necesario conocer las duraciones de las distintas actividades. Generalmente, stas no se pueden fijar con exactitud, ya que son muchos los factores de carcter aleatorio que estn relacionados con ellas. El PERT resuelve este problema evaluando la duracin de una actividad a partir de tres estimaciones: Tiempo optimista (a), representa el tiempo mnimo en que podra ejecutarse la actividad si todo marchara bien, no producindose ningn contratiempo durante la fase de ejecucin. Se considera que la probabilidad de poder finalizar la actividad en esta duracin no es superior al 1 por 100. Tiempo probable (m), es el tiempo que, normalmente, se emplear en ejecutar la actividad; en caso de que dicha tarea se hubiera realizado varias veces, sera el tiempo con mayor frecuencia de aparicin.

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Tiempo pesimista (b), representa el tiempo mximo en que se podra ejecutar la actividad si todas las circunstancias que influyen en su duracin fueran totalmente desfavorables. La probabilidad es de 1 por 100.

Una vez establecidas las tres estimaciones se calcula la duracin de la actividad, tambin llamado tiempo PERT, dij, mediante la expresin:

dij =

a + 4m + b 6

A partir de la duracin media estimada (o valor estimado por la experiencia en el CPM) se puede comenzar a determinar en que fecha ocurrir cada uno de los sucesos del grafo. Para ello se empezar por el suceso inicial, el cual ser el instante cero (t1=0); a continuacin se calcular el suceso 2, que ser la fecha del suceso 1 ms la duracin de la actividad 1-2

t 2 = t1 + d12Despus el suceso 3, etc. Si suponemos que a este ltimo llegan dos actividades, una del suceso 1 (A13) y otra del 2 (A23), la ocurrencia de este suceso significara que han finalizado ambas, por lo que su fecha sera el mximo entre t1+d13 y t2+d23. Generalizando, se podra decir que

t j = mx(t i + dij )Siendo j el suceso cuya fecha hay que calcular e i cada una de las etapas origen de actividades que llegan a l. Estas fechas son las ms tempranas en las que se puede dar un suceso, tiempos earlys, as pues, la fecha ms temprana del suceso final nos indicar la duracin del proyecto o tiempo mnimo en el que se puede acabar el proyecto (en condiciones normales sin acelerar la ejecucin de las distintas actividades). No todos los sucesos sern igualmente vitales, en relacin al cumplimiento de fechas, para que el proyecto finalice en el tiempo calculado anteriormente. Por ello, es interesante y til calcular en que momento se pueden producir, como muy tarde, cada uno de los sucesos para que el proyecto se pueda acabar en el plazo previsto o acordado. Estas fechas se denominan fechas ms tardas, Ti, del suceso, tiempos last. El clculo es anlogo al anterior pero empezando por el suceso final. Se hace coincidir la duracin del proyecto con Tn, fecha ms tarda del ltimo suceso, a continuacin se calcula la del suceso inmediatamente anterior (n-1), que ser igual a:

T(n1) = Tn d(n1)nDe forma genrica podemos expresar el tiempo last como:

Ti = mn(Tj dij )Este proceso se sigue de forma similar hasta T1. Este mtodo es bastante engorroso cuando el grafo est formado por muchos sucesos, por lo que resulta ms cmodo resolverlo mediante la matriz de Zaderenko que se ver ms adelante. Las fechas calculadas y el orden del suceso se anotan en el grafo de la siguiente forma:i ti Ti dij tj j Tj

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Aquellos sucesos cuya fecha ms temprana coincida con la ms tarda se denominan sucesos crticos, ya que, al no tener ningn margen de tiempo entre ambas, cualquier retraso en su ocurrencia provocara el retraso en el proyecto, por lo que stos debern ser vigilados con ms inters. Ejemplo:A partir del grafo anterior y con la duracin de las actividades que aparecen sobre cada uno de los arcos, se han calculado las fechas ms tempranas y tardas, de acuerdo con lo expuesto anteriormente. Duracin de las actividades: A=9 B=9 C=8 D=8 E=5 F = 10 G=9 H = 14 I = 10 J = 12 K=7 L=3 M = 10 N = 10

4 9 d1,4=9 d2,4=0 1 0 0 d1,2=9 9 2 9 d2,8=10 d1,3=8 3 810

d4,5=8 9 17 d5,6=0

5 17

d5,7=0 17 d5,10=14

728

d7,10=3 10

d7,11=10

d2,6=517

619

d6,10=10 31

d10,11=10 41

1141

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d6,8=0 d8,10=12 819 19

d9,10=0 9

d3,8=9

d8,9=726

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Clculo de los tiempos earlys: t1 = 0 t2 = mx(0+9) = 9 t3 = mx(0+8) = 8

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t4 = mx(0+9, 9+0) = 9 ...... t10 = mx(17+14, 17+10, 19+12, 26+0) = 31 t11 = mx(17+10, 31+10) = 41

Clculo de los tiempos last: T11 = 41 T10 = mn(41-10) = 31 T9 = mn(31-0) = 31 T8 = mn(31-12, 31-7) = 19 ...... T2 = mn(19-5, 19-10) = 9 T1 = mn(9-9, 10-8, 9-9) = 0

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Matriz de Zaderenko

El procedimiento de clculo para los tiempos early y last que hemos descrito anteriormente son fciles de aplicar cuando se trata de un grafo PERT sencillo. En grafos de gran complejidad se puede resolver mediante el uso del procedimiento matricial desarrollado por Zaderenko. A continuacin pasamos a describir sta forma de clculo apoyndonos en el ejemplo.4 9 d1,4=9 d2,4=0 1 0 0 d1,2=9 9 2 9 d2,6=5 17 9 d4,5=8 17 5 17 7 17 d5,10=14 28 d7,11=10

d5,7=0

d5,6=0 6 19 d6,8=0

d7,10=3 10

d6,10=10 31

d10,11=10 41

1141

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d2,8=10 d1,3=8 3 8 10 d3,8=9 19 8

d8,10=12 d8,9=7 19 26 9

d9,10=0

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Ejemplo: Se comienza por construir una matriz cuadrada cuya dimensin sea igual al nmero de nudos del grafo, del que estamos calculando los tiempos, para nuestro ejemplo ser de 11. Los elementos de esta matriz indican los tiempos PERT de las actividades que nacen en el suceso que corresponde a la fila que cruza ese elemento y finalizan en el suceso correspondiente a la columna que cruza dicho elemento. A continuacin representamos la matriz correspondiente al grafo de nuestro ejemplo.

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ti 0 9 8 9 17 17 17 19 26 31 41

i\j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tj

1

2 9

3 8

4 9 0

5

6

7

8

9

10

11

5

10 9

8 0 0 0 14 10 3 7 12 0 10 10

0

9

10

9

17

19

28

19

31

31

41

7 Concepto y clculo de holgurasLa informacin que proporciona al responsable del control de un proyecto, el conocimiento de los tiempos last y early, de un determinado suceso, no es en s, demasiado importante, exceptuando los tiempos last y early del ltimo suceso del proyecto, ya que estos indicarn el tiempo mximo que se puede emplear en la realizacin del proyecto. La verdadera importancia de los tiempos last y early, es que estos constituyen el fundamento para el clculo de las holguras, que son pieza fundamental en todo proceso de anlisis del mtodo PERT. Se define holgura de un cierto suceso i, que se representa por hi, como la diferencia entre los tiempos last y early de dicho suceso, es decir:

hi = Ti t iLa holgura de un suceso nos define el tiempo el tiempo que puede retrasarse la realizacin del mismo, de manera que el tiempo estipulado para la finalizacin del proyecto no sufra ningn aumento. A continuacin pasamos a calcular las holguras correspondientes a los sucesos de nuestro ejemploEjemplo:

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h1 = 0 h2 = 0 h3 = 2 ........

La holgura total de una cierta actividad ij, que representaremos por Hij, se define como el tiempo que resulta de restar al tiempo last del suceso final el tiempo early del suceso inicial y la duracin de la actividad, es decir:

H ij = T j t i d ijLas holguras correspondientes a las actividades de nuestro ejemplo sern las que se exponen a continuacin:

H1,2 = T2-t1-d1,2 = 9-0-9 = 0 H1,3 = T3-t1-d1,3 = 10-0-8 = 2 H1,4 = T4-t1-d1,4 = 9-0-9 = 0 H2,4 = T4-t2-d2,4 = 9-9-0 = 0 H2,6 = T6-t2-d2,6 = 19-9-5 = 5 H2,8 = T8-t2-d2,8 = 19-9-10 = 0 H3,8 = T8-t3-d3,8 = 19-8-9 = 2 H4,5 = T5-t4-d4,5 = 19-9-8 = 0 H5,6 = T6-t5-d5,6 = 19-17-0 = 2 .......

Es muy importante tener en cuenta que si una actividad consume la totalidad o parte de su holgura puede producir una disminucin en la holgura de la actividad siguiente.

8 Camino crticoAquellas actividades cuya holgura total sea cero reciben el nombre de actividades crticas. Uniendo todas las actividades crticas se obtiene un camino que recibe el nombre de camino crtico y es esencial en el control del proyecto, ya que cualquier retraso en la ejecucin de las actividades crticas supondr un retraso en la terminacin del proyecto.

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Ejemplo:

4 9 d1,4=9 d2,4=0 1 0 0 d1,2=9 9 2 9 9

d4,5=8 17

5 17

d5,7=0 17 d5,10=14

7 28 d7,11=10

d5,6=0 6 17 19 d6,8=0

d7,10=3 10

d2,6=5

d6,10=10 31

d10,11=10 41

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d2,8=10 d1,3=8 3 8 10 d3,8=9 19 8

d8,10=12 d8,9=7 19 26 9

d9,10=0

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Resumiendo podemos fijar las fases de ejecucin de un grafo PERT: 1. Elaboramos la tabla de prelaciones o la matriz de encadenamiento 2. Con el cuadro de secuencias clasificamos los distintos niveles 3. Dibujamos la red con los niveles anteriormente fijados 4. Numeramos los sucesos con la matriz asociada al grafo 5. Determinamos los tiempos early y last de cada suceso con la ayuda de la matriz de Zaderenko. 6. Hallamos las holguras y el camino crtico.

9 Calendario de ejecucinEl proceso de clculo que hemos desarrollado en los apartados anteriores, proporciona una informacin de gran utilidad para el responsable encargado de la ejecucin del proyecto. Por otra parte, de esta informacin puede deducirse fcilmente un calendario de ejecucin del proyecto, que ser la pieza bsica en el control de la ejecucin del mismo. En este calendario se establecen cuatro fechas para cada actividad, que son las siguientes:

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Fecha de comienzo ms temprana: La fecha de comienzo ms temprana de una cierta actividad ij, que representamos por un tringulo con subndice ij nos indica lo ms pronto que puede comenzarse la actividad ij. Obviamente dicha fecha vendr dada por el tiempo early del suceso inicial de la actividad mencionada.

? ij = t i Fecha de comienzo ms tarda: La fecha de comienzo ms tarda de una actividad ij, que representamos de la misma forma que la anterior aadiendo como superndice un asterisco, nos indica lo ms tarde que puede iniciarse dicha actividad, de manera que la finalizacin del proyecto no se retrase en ninguna unidad de tiempo. Dicha fecha vendr dada por la suma del tiempo early del suceso inicial y la holgura total de la actividad, es decir:

? ij = t i + Hij*

Teniendo en cuenta la frmula de la holgura total:

? ij = Tj dij*

Fecha de finalizacin ms temprana: La fecha de finalizacin ms temprana de una cierta actividad ij, que representamos por incremento, con subndice ij, nos indica lo antes que puede finalizarse la actividad ij. Dicha fecha ser dada por la suma del tiempo early del suceso inicial y el tiempo PERT correspondiente a dicha actividad, es decir:

ij = t i + dij Fecha de finalizacin ms tarda: La fecha de finalizacin ms tarda de una cierta actividad ij, que representamos igual que la anterior pero con un asterisco como superndice, nos indica la fecha tope para la finalizacin de la actividad. Obviamente dicha fecha vendr dada por el tiempo last del suceso fin de la actividad.

ij = Tj*

Otro de los mtodos utilizados es el ROY, que difiere bastante de los grafos estudiados, pues en esta tcnica los nudos representan las actividades y los arcos que los unen tienen un significado exclusivamente de prelacin (AON: actividades en nudos). Para construir el grafo se comienza por el nudo de inicio del proyecto, de duracin nula, al que seguirn todas las actividades iniciales. A continuacin se colocan las siguientes actividades, cumplindose las prelaciones establecidas llegando al final una serie de actividades que no tienen siguientes. De todas ellas tendr que salir una flecha hacia un suceso ficticio que representa el nudo final del proyecto, el cual no tendr como es lgico duracin.

Los nudos de ste mtodo se representan de la siguiente forma:

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tci

di i

tti

Tci

HTi

Tti

Donde: i: Actividad i di: Duracin de la actividad i Hti: Holgura total de la actividad i tci: Fecha ms temprana de comienzo de la actividad i tti: Fecha ms temprana de terminacin de la actividad i (tti = tci + di) Tci: Fecha ms tarda de comienzo de la actividad i (Tci = Tti - di) Tti: Fecha ms tarda de terminacin de la actividad i Una de las ventajas que este mtodo presenta frente al PERT, es permitir la utilizacin de nuevos tipos de relaciones que pueden resultar de gran utilidad. Otra de las ventajas es que no utiliza actividades ficticias facilitando la construccin del grafo.

10 Planificacin y programacin de proyectos a coste mnimoLa realizacin de cualquier proyecto trae consigo la aparicin de dos tipos de costes: directos, que provienen de factores directamente imputables a cada tarea (materias primas, mano de obra, horas mquina, etc.), e indirectos, que son imputables mediante claves de distribucin (gastos generales, supervisin, etc.). Los costes directos de una actividad suelen estar relacionados inversamente con su duracin por una funcin del tipo representado en la figura. En ella se puede apreciar un mnimo en el punto N, que corresponde al denominado coste normal de la actividad para una duracin normal, que se utiliza para una primera programacin. Se puede acortar hasta una duracin rcord, la cual est ligada al coste rcord de la actividad.

Costes directos

Coste rcord

Coste normal Duracin del proyecto rcord normal

Cuando es necesario acortar la duracin de un proyecto, uno de los factores ser el intentar hacerlo con el mnimo incremento de coste, para lo cual se deber seleccionar

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las actividades crticas que se intentan reducir en su duracin. Con objeto de facilitar este proceso, la curva de costes suele simplificarse por una recta que pasa por los puntos rcord y normal o bien por una poligonal de un nmero conveniente de lados.

Costes directos

Coste rcord

Coste normal Duracin del proyecto rcord normal

La mayora de los procedimientos empleados para acelerar un proyecto, consiguiendo el mnimo incremento de coste, utiliza el concepto de pendiente de coste, entendiendo por tal al incremento producido en este ltimo al reducir la duracin de la tarea en una unidad de tiempo. Partiendo de una situacin en que todas las tareas estn en duracin normal (punto normal del proyecto, DNP) y siguiendo un procedimiento, se podr reducir la duracin del proyecto hasta que un camino crtico tenga todas sus actividades en duracin rcord, instante a partir del cual es intil cualquier intento de acortamiento. Se puede decir que dicho camino crtico est bloqueado y que el proyecto se encuentra en un punto rcord, DRP. El coste normal del proyecto, CNP, es igual a la suma de los costes normales de todas sus tareas, y el coste rcord del proyecto, CRP, ser igual a CNP ms los incrementos de coste producidos por la reduccin de las duraciones de las actividades crticas. Si tenemos en cuenta los costes indirectos, que son proporcionales a las duraciones de las tareas, y que se incluyen posibles primas y penalizaciones, obtendremos la curva de costes totales, donde el mnimo seala la duracin ptima del proyecto, DOP.Costes Totales

Costes

Costes indirectos

Costes directos Duracin del proyecto DRP DOP DNP

Oficina Tcnica


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11 Aplicaciones informticasEl clculo de redes es fcil cuando se tienen pocas actividades y sucesos que programar. Cuando el nmero aumenta, el trabajo de clculo es ms pesado y repetitivo, y propicio a la aparicin de errores. Aunque el clculo manual permite una mejor visin del proyecto y una mayor familiarizacin con las tcnicas de programacin, es justificado el uso de ordenadores en proyectos con un alto nmero de tareas. La mayora de los programas utilizan el mtodo AON, actividades sobre nudos, a fin de evitar actividades ficticias. Las ventajas derivadas del empleo de mtodos informticos son claras y entre ellas pueden citarse: El equipo de proyecto dispone de ms tiempo para dedicarse a problemas

fundamentales. Una clara mejora en la programacin y el control. La actualizacin del proyecto requiere menos tiempo y personal. Los errores derivados del trabajo normal son prcticamente eliminados. Se disminuye el riesgo asociado al retraso del proyecto, pues al existir la capacidad de simulacin de sus consecuencias, stas pueden ser previstas. Los equipos del proyecto disponen de un mtodo claro para pensar y tomar decisiones sobre el proyecto.

Uno de los programas con mayor difusin es el Microsoft Project, que permite la generacin de diagramas e informes de diferentes tipos. A continuacin se muestran algunos diagramas generados por dicho programa basados en el ejemplo seguido en el tema:

Gantt Pert Cpm

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