GEOMETRÍA 3D

Plano Cartesiano y Vectores

Docente: Susana M. Hueicha Hernández

Cursos: Tercero Medio-Cuarto Medio

Temuco, Mayo de 2020

Plano Cartesiano

Elementos del PlanoDefinición

Un sistema de coordenadas consiste en dos rectas

perpendiculares llamadas ejes que se intersectan en

un punto llamado origen.

Características

La recta horizontal es llamada: eje de x o abscisa.

La recta vertical es llamada: eje de y u ordenada.

El plano de coordenadas se divide en cuadrantes

(I, II, III, IV)

Los puntos en el plano de coordenadas se llaman

pares ordenados P(x, y)

El par ordenado que corresponde al origen tiene

las coordenadas (0,0).

Plano Cartesiano

Elementos del Plano La coordenada X, indica si me muevo a la izquierda o

a la derecha dependiendo del signo.

La coordenada Y, indica si me muevo hacia arriba o

hacia abajo dependiendo del signo.

Según el signo del par ordenado, las coordenadas

pueden estar localizadas de las siguientes formas.

En el cuadrante I se localizan todos los puntos

positivos.

En el cuadrante II la coordenada x es negativa,

pero la coordenada y continua positiva.

En el cuadrante III ambas coordenadas están

negativas.

En el cuadrante IV la coordenada x es positiva,

pero la coordenada y se convierte en negativa.

(-,+)

(-,-)

(+,+)

(+,-)

Características

¿Cómo ubico el punto (2, 4)?

Como X es positivo, indica movimiento hacia la

derecha y como Y es positivo indica

movimiento hacia arriba. Por lo tanto, el punto

se ubica 2 unidades hacia la derecha y 4

unidades hacia arriba. En el cuadrante I.

¿Cómo determino el punto P(x,y)?

Como en el eje X el punto está ubicado 6

unidades a la izquierda y en el eje Y está

ubicado 4 unidades hacia abajo, podemos

deducir que el punto coordenado corresponde

a P(-6,-4). En el cuadrante III.

Ubicar y determinar puntos en el plano

III

III IV

EJEMPLO

Calcular la distancia entre P1 (2,1) y P2 (6,4)

d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

d = (6 – 2)2 + (4 – 1)2

d = (4)2 + (3)2

d = 16 + 9

d = 25

d = 5

Por lo tanto, la distancia entre los puntos P1 (2,1) y

P2 (6,4) es 5

Distancia entre dos puntos

(x2 – x1)

Según el teorema de Pitágoras, ¿Cuál es la distancia

entre el punto P1 y el punto P2?

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

(y2 – y1)d

Eje de abscisas (X)

Eje de ordenadas (Y)

x2

y2

y1

x1

La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano,

se puede establecer por medio del teorema de

Pitágoras.

d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

(x2, y2)(x1, y1)

Vectores

Suma de vectoresSe realiza sumando componente acomponente

Resta de vectoresSe realiza sumando el 1er componentecon el opuesto del 2do componente

Producto de un vector por un escalarSe realiza multiplicando un número real porcada componente del vector.

AnalíticamenteSi y son dos vectores, entonces:

AnalíticamenteSi y son dos vectores, entonces:

AnalíticamenteSi y Entonces:

Gráficamente Gráficamente Gráficamente

Operatoria Vectores

v)(u,b

y)(x,a

v) yu,(xba

ba

v)(u,b

y)(x,a

v)– yu,–(xb–a

y)· x,· (a ·

b–a

0 con IR, y)(x,a

Suma de VectoresEjemplo Analíticamente Ejemplo Geométricamente

AnalíticamenteSi y son dos vectores, entonces:

Por ejemplo:

Si Ԧs = (3,-2) y Ԧt = (3,3) entonces:

Ԧs + Ԧt = (3 + 3 , -2 + 3)

Ԧs + Ԧt = (6, 1)

v)(u,b

y)(x,a

v) yu,(xba

Si Ԧs = (3,-2) y Ԧt = (3,3)

entonces:

Para representar

gráficamente la

suma de vectores,

se dibujan uno a

continuación del

otro

Luego, se une el origen

de Ԧs con el extremo

final de Ԧt

Ejemplo Analíticamente Ejemplo Geométricamente

AnalíticamenteSi y son dos vectores, entonces:

Por ejemplo:

Si Ԧs = (3,-2) y Ԧt = (3,3) entonces:

Ԧs - Ԧt = (3 - 3, -2 - 3)

Ԧs - Ԧt = (0, -5)

Resta de Vectores

v)(u,b

y)(x,a Si Ԧs = (3,-2) y Ԧt = (3,3)

Entonces, - Ԧt = (-3,-3)

Para representar

gráficamente la

suma de vectores,

se dibujan uno a

continuación del

otro

Luego, se une el origen

de Ԧs con el extremo

final de −Ԧt

a − b = ( x - u) , y - v)

Ԧs − Ԧt

Ejemplo Analíticamente Ejemplo Geométricamente

AnalíticamenteSi y Entonces:

Por ejemplo:Caso 1 Caso 2

Si a = (1,-2) y 𝛼 = 2 Si a = (1,-2) y 𝛼 = -2 entonces: entonces:

𝛼 ∙ a = (2 ∙ 1 , 2 ∙ -2) 𝛼 ∙ a = (-2 ∙ 1 , -2 ∙ -2)

𝛼 ∙ a = (2, -4) 𝛼 ∙ a = (-2, 4)

Producto de un vector por un escalar

Si a = (1,-2) Caso 1 𝛼 = 2 entonces: Caso 𝛼 = -2 entonces:

Para representar gráficamente, se dibuja el vector a continuación del otro

según la cantidad de veces que indica el escalar

y)· x,· (a ·

0 con IR, y)(x,a

• Si 𝛼 > 0, mantiene dirección y sentido del vector original.

• Si 𝛼 < 0, mantiene dirección pero sentido contrario

𝛼