Geometría Análitica (LHCastro)

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 11

GEOMETRÍA

ANALÍTICA

CONCEPTOS PRELIMINARESPágina 12

2.1 GRÁFICAS Y TABULACIONES

En Matemáticas, para toda operación existe su inversa, la cual permite "ir en sentido con-trario", o sea "permite regresar" a los valores originales.

La figura 2.1 es un recordatorio gráfico dealgunas operaciones que llevan a otro númeroy su inversa que "permite regresar" a los valo-res originales. Por ejemplo, si el origen es elnúmero 30, o lo que es lo mismo, inicialmentese tiene el número 30, con la operación seno se"traslada" al número 0.5; para regresar del 0.5al 30 original existe el camino de regreso, lla-mada operación inversa, arco seno de 0.5 conel que se cae nuevamente al 30 original.

De la misma forma, si el origen es, porejemplo, el número 7, o lo que es lo mismo,inicialmente se tiene el número 7, con la ope-ración “al cuadrado" se "traslada" al número 49. Para regresar del 49 al 7 existe el camino deregreso, llamada operación inversa, raíz cuadrada de 49 con el que se cae nuevamente al nú-mero 7 original.

Un proceso matemático conocido es el de graficar una ecuación. O sea, dada la ecuaciónencontrar su gráfica. Por ejemplo, graficar la ecuación y = 3x - 9. Los pasos a seguir son:

1) Tabular: Se dan valores arbitrarios a la x y se calcula el correspondiente de y. Enuna tabla se van colocando los valores.

2) Graficar: Cada punto tabulado se localiza en el plano cartesiano. Se unen los puntospara obtener la gráfica correspondiente.

2 CONCEPTOSPRELIMINARES

origen

camino de regreso

final

camino de ida

30

seno

arc seno0.5

figura 2.1


El problema directo es:conocida la ecuación, lle-gar a la gráfica que le co-rresponde (tabulando), co-mo lo muestra la figura 2.2.

El problema inverso es:conocida la gráfica llegar ala ecuación que le corres-ponde. Ver figura 2.3. Enesto último consiste la par-te principal de lo que seocupa la Geometría Analíti-ca, con algunas limitacio-nes especiales que más a-delante se detallarán.

Es decir, la geometríaanalítica investiga las ecua-ciones que pertenecen aciertas gráficas, no a todas.Estas gráficas son las quecorresponden a las figurasque se pueden obtener al cortar dos conos con un plano endiferentes posiciones, tal como lo muestra la figura 2.4. Deallí que a tales figuras se les llame cónicas.

PROBLEMA DIRECTO

Dada la ecuación,

tabulando

xy

0 2 4- 9 - 3 3

se llega a la gráfica

y x = 3 - 9

figura 2.2

PROBLEMA INVERSO:

Dada la gráfica

llegar a la ecuación

y x = 3 - 9

figura 2.3

elipse parábola hipérbola circunferencia

figura 2.4


Las cónicas tienen dos cosas en común:

1) Las cinco se derivan de los cortes a dos conos.

2) A partir de una misma ecuación, se pueden obtener las cinco cónicas,dependiendo nada más del valor de los coeficientes.

Las cónicas son:

v la recta (corte tangencial);v la circunferencia (corte horizontal);v la parábola (corte oblicuo paralelo al lado opuesto);v la elipse (corte oblicuo sin tapa);v la hipérbola (corte vertical).

Así, pues, debe entenderse que al estudiar geometría analítica lo que se hace en realidad esinvestigar las características de cada una de las cónicas para, a partir de ellas, llegar a laecuación que le corresponde, es decir, aquella que al tabularla y graficarla coincida con lagráfica original. Inclusive, los problemas de geometría analítica no solamente se refieren aencontrar la ecuación de una cierta cónica, sino a veces a alguna de sus propiedades.

Esa ecuación, llamada ecuación general de las cónicas, es

(2.1)2 2A B D E F 0x y x y+ + + + =

Si se grafica la ecuación (2.1) anterior, dependiendo de los valores que se les den a loscoeficientes A, B, C, D, E y F, la gráfica que se obtiene solamente puede ser una recta, ouna circunferencia, o una parábola, o una elipse o una hipérbola. Ninguna otra cosa. Por esoa dicha ecuación se le llama ecuación general.

Puede verse que las características de esta ecuación son:

* Existen solamente dos variables: La x y la y.

* Ambas aparecen al cuadrado, independientemente una de la otra.

* Después aparecen en forma lineal, es decir, con exponente 1, independientementeuna de la otra.

* Finalmente aparece un "numerito" solo, sin x y sin y, llamado término independien-te.


2.2 ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN GENERAL

El análisis de la ecuación general de las cónicas consiste en investigar los valores que de-ben darse a los coeficientes A, B, C, D, E y F para que la gráfica que se obtenga de ella seauna recta; o bien una circunferencia; o bien una parábola, etc.

El análisis principal se realiza respecto de los términos al cuadrado, o dicho en terminolo-gía sencilla, de "los cuadrados" (de los términos Ax 2 y/o By 2

), de lo cual hay solamente tresposibilidades:

Posibilidad 1: Que no exista ninguno de los dos “cuadrados”, o sea que . EnA = B = 0este caso lo que se obtiene es una recta. Por ejemplo, . 3 5 9 0x y+ − =

Posibilidad 2: Que exista solamente uno de los dos "cuadrados". Entonces hay a su vezdos opciones: que exista x 2 o que exista y 2. O sea

Que (para garantizar la no existencia del cuadrado )A = 0 2x

(para garantizar la existencia del otro cuadrado )B 0≠ 2yy (para garantizar la existencia de la variable x).D 0≠

o que (para garantizar la no existencia del cuadrado )B = 0 2y

(para garantizar la existencia del otro cuadrado )A 0≠ 2xy (para garantizar la existencia de la variable y ).E 0≠

En este caso, la gráfica correspondiente es una parábola, la cual abre haciael eje del término lineal que carece de su cuadrado.

Ejemplo 1:

27 3 5 0x x y− + =

El término lineal que carece decuadrado es ; por lo tanto, la5y+parábola abre sobre el eje de las Y.Como no se tiene mayor informa-ción, debe tener la forma de algunade las dos parábolas mostradas enla figura 2.5.

Parábolas que abren hacia el eje y

figura 2.5


Ejemplo 2:

26 2 9 0y x y+ + =

El término lineal que carece de cuadrado es ;2x+por lo tanto, la parábola abre sobre el eje de las X.Como no se tiene mayor información, debe tener laforma de alguna de las dos parábolas mostradas en lafigura 2.6.

En estos dos ejemplos nada se ha mencionado de laubicación de los ejes, ya que el análisis de la ecua-ción no proporciona información para saber en dón-de quedan éstos.

Posibilidad 3: Que existan los dos "cuadrados". Entonces haya su vez tres opciones:

a) que los coeficientes de los "dos cuadrados" sean iguales, por lotanto con el mismo signo también, es decir, que . Se tra-A = Bta entonces de una circunferencia. Por ejemplo,

2 23 3 5 25 0x y x+ − − =

b) que los coeficientes de los "dos cuadrados" sean diferentes, perocon el mismo signo, es decir que (los dos negati-A B < 0≠vos) o que (ambos positivos). Se trata entonces deA B > 0≠una elipse. Por ejemplo,

2 23 5 6 20 25 0x y x y+ − − + =

2 22 7 11 25 0x y x y− − + + − =

ambas son elipses.

c) que los coeficientes de los "dos cuadrados" sean de signos con-trarios, es decir que (positivo) y (negativo), oA > 0 B < 0bien que (negativo) y (positivo). Se trata enton-A < 0 B > 0ces de una hipérbola. Por ejemplo,

Parábolas que abrenhacia el eje x

figura 2.6


2 24 3 9 11 7 0x y x y− − − + =2 23 11 8 9 1 0x y x y− − + − − =

ambas son hipérbolas.

2.3 ANÁLISIS SECUNDARIO

Un análisis o información secundaria se obtiene de los términos lineales que tienen su co-rrespondiente cuadrático. Recordar que término lineal es aquel que tiene exponente 1 la va-riable (por ejemplo, , o bien ). Si el término lineal no tiene su correspondiente térmi-9x 11yno cuadrático, lo siguiente no tiene validez, es decir, no hay información:

a) Si existe el término x significa que la figura se desplazó sobre el eje de las X. Es im-portante señalar que el coeficiente no dice cuánto fue el desplazamiento, simplementeque se desplazó, y ya. Si no existe el término x significa que la figura no se desplazósobre el eje de las X.

b) Si existe el término y significa que la figura se desplazó sobre el eje de las Y. Es im-portante señalar que el coeficiente no dice cuánto fue el desplazamiento, simplementeque se desplazó, y ya. Si no existe el término y significa que la figura no se desplazósobre el eje de las Y.

Ejemplos:

ecuación: análisis:

3x 2 - 4y 2 - 5x - 20y - 25 = 0 a) Como existen los dos "cuadrados" con signoscontrarios (+3 y -4), se trata de una hipérbola.

b) Como aparece el término lineal en x existiendosu correspondiente "cuadrado" ( ), significa23xque el centro se desplazó sobre el eje de las X.

c) Como aparece el término lineal en y existiendosu correspondiente "cuadrado" ( ), significa24y−que el centro se desplazó sobre el eje de las Y.

d) Conclusión: se trata de una hipérbola con centrodesplazado sobre los dos ejes.

5x 2 + 4y 2 - 5x + 25 = 0 a) Como existen los dos "cuadrados" con signosiguales, pero diferentes los coeficientes (5 y 4), setrata de una elipse.

b) Como aparece el término lineal en x, existiendo


su correspondiente "cuadrado" ( ), significa25xque el centro se desplazó sobre el eje de las X.

c) Como no aparece el término lineal en y, existien-do su correspondiente "cuadrado" ( ), signifi-24yca que el centro no se desplazó sobre el eje de lasY.

d) Conclusión: se trata de una elipse con centro des-plazado sobre el eje de las X solamente.

8x 2 - 5x + 9y - 25 = 0 a) Como existe un sólo "cuadrado" ( ), se trata28xde una parábola.

b) Como aparece el término lineal en x , existiendosu correspondiente "cuadrado" ( ), significa28xque el centro se desplazó sobre el eje de las X.

c) Como no existe "el cuadrado" en y, entonces elcorrespondiente término lineal en y no da infor-mación si hubo desplazamiento sobre ese eje.

d) Como el término lineal que no tiene su correspon-diente "cuadrado" es en y, significa que la pará-bola abre hacia el eje de las Y.

e) Conclusión: se trata de una parábola con centrodesplazado sobre el eje de las X; mientras quesobre el eje de las Y nada se puede afirmar.

5x + 9y - 25 = 0 a) Como no existe ninguno de los dos "cuadrados",se trata de una recta.

b) Como no existe "el cuadrado" en x, entonces elcorrespondiente término lineal en x no da infor-mación sobre desplazamiento sobre ese eje; de lamisma forma, como no existe "el cuadrado" en y,entonces el correspondiente término lineal en yno da información sobre desplazamiento sobre eseeje. De hecho, no tiene sentido hablar de despla-zamientos cuando se trata de una recta.

- 9x 2 - 9y 2 + 5y + 25 = 0 a) Como existen los dos "cuadrados" iguales y conel mismo signo, se trata de una circunferencia.

b) Como aparece el término lineal en y, existiendosu correspondiente "cuadrado" ( ), significa29y−que el centro se desplazó sobre el eje de las Y.

c) Como no aparece el término lineal en x, existien-do su correspondiente cuadrado ( ), significa29x−que el centro no se desplazó sobre el eje de las X.


d) Conclusión: se trata de una circunferencia concentro desplazado sobre el eje de las Y solamente.

EJERCICIO 1

Analizar cada una de las siguientes ecuaciones e identificar cuáles pertenecen a la forma general de las cónicasy cuáles no. Para aquellas que sí lo sean, mencionar el tipo de gráfica que le corresponde, los desplazamientos queexisten y en caso de ser parábola indicar para qué eje abre.

1) 3x2 + 5y2 - 9x - 11y - 14 = 0 2) 4x2 - 5y2 - x + 16y - 1 = 03) 7x2 + 7y2 - 3x - 12y - 10 = 0 4) 4x2 - x + 16y - 41 = 05) x3 + 25y2 - 8x - 13y + 4 = 0 6) 5y2 - x + 16y - 1 = 07) x2 + y2 - 10 = 0 8) 4x3 - x2 + 16y - 34 = 09) 3x2 - 3y2 + 2x + 14y + 24 = 0 10) - x + 6y - 21 = 011) 5y2 - 3x - 12y + 10 = 0 12) 4x2 + 16y - 41 = 013) - 7x2 - 7y2 - 13y + 4 = 0 14) - 67x + 16y - 1 = 015) 5x2 + y2 + 10 = 0 16) 84x3 - 8xy2 + 16y - 34 = 017) - 7y2 + x - 13y + 4 = 0 18) 7xy + 16y - 1 = 019) 6x2 + 5y2 - 100 = 0 20) 44x2 - 8y2 + 16y - 34 = 021) 3x - y + 1 = 0 22) x2 - 16y2 - 41 = 023) - 7x2 + 7y2 - 13y + 4 = 0 24) - 67x + 16y - 1 = 025) 5xy2 + x2y + 10x = 0 26) 8x2 + 8y2 + 16y = 027) x2 + 17y2 + 10x = 0 28) 4x3 + x2 + 36y = 029) 3x2 + 2x + 14y = 0 30) -34x + 26y = 0


3 A esta ecuación la mayoría de los autores suelen llamarla forma ordinaria en los libros de Geometría Analítica. Sinembargo, como en el presente texto se ha tomado el criterio de evitar la terminología complicada que acaba, a ve-ces, por confundir al alumno, se ha sustituido por una palabra más representativa, empleando un lenguaje más acce-sible.

2.4 ECUACIÓN GENERAL Y ECUACIÓN PARTICULAR

Como ya se dijo, la ecuación es la que rige de manera2 2A B D E F 0x y x y+ + + + =general a todas las cónicas. Sin embargo, de esta ecuación general la información que se ob-tiene es muy limitada, pues sólo se puede llegar a conocer a partir de ella, de qué figura setrata y si está o no desplazada, y en el caso de la parábola, hacia dónde abre. Pero esto no essuficiente; es necesario saber también cuánto se desplazó y hacia dónde, con toda exactitud.Además, en cada caso particular, deben ser conocidas todas las características de cada figurapara tener la información completa. Por ejemplo, en el caso de la circunferencia, debe cono-cerse la posición del centro y del valor del radio para ubicar perfectamente a dicha figura. Yeso no se obtiene de la ecuación general.

Entonces, como cada figura en particular posee sus propias características, cada una deellas tiene también una ecuación propia que proporciona toda la información sobre ella. Poresa razón, a esa ecuación se le llama ecuación particular o ecuación en forma particular

3.De tal manera que se hace necesario estudiar independiente a cada una de las cónicas.


3.1 DEFINICIONES Y CONCEPTOS PRELIMINARES

1) abscisa (del latín, abscissa = cortada, que corta. Se refiere a que corta a la vertical): Esel valor numérico de la coordenada x en el plano cartesiano.

2) ordenada (del latín, lineae ordinatae = líneas paralelas. Se refiere a paralelas a la verti-cal): Es el valor numérico de la coordenada y en el plano cartesiano.

3) recta: Es el conjunto de puntos que siguen la misma dirección.4) segmento de recta: Es un pedazo determinado de toda una recta perfectamente determi-

nado su inicio y su final.

Es muy importante distinguir entre una recta y lo que es un segmento de recta. La rectano tiene principio ni fin, aunque en el papel aparezca un pedacito nada más. Una cosa esque se dibuje solamente una parte de la recta y otra cosa es que la recta sea nada más esepedacito dibujado. Lo que sucede es que como no tiene principio ni fin, es imposible di-bujarla así, sin principio ni fin.

Si de toda esa recta infinita en longitud, se selecciona un pedacito determinado, señalan-do claramente en dónde empieza y en dónde termina, lo que se tiene es un segmento deesa recta.

5) pendiente: La pendiente de una recta, representada conla letra m , es la inclinación de dicha recta. Una pen-diente puede ser positiva o negativa. Es positiva si tras-ladada la recta al origen atraviesa el primero y tercercuadrantes; es negativa si trasladada al origen, atravie-sa el segundo y cuarto cuadrantes.

Para medir la pendiente de una recta, o sea su inclina-ción, se mide cuánto subió verticalmente en qué distri-bución horizontal. Por ejemplo, se construye una ram-pa como lo muestra la figura 3.1; la inclinación quetiene es de 2 unidades hacia arriba distribuidos en 3

3 LARECTA

2

3

figura 3.1

LA RECTAPágina 22

unidades horizontales, lo cual se indica con la fracción . Se dice entonces que su23

pendiente es .23

m =

Pero esa forma de medir la inclinación coincide con la función trigonométrica tangentedel ángulo con la horizontal (cateto opuesto entre el cateto adyacente = ), por lo que2

3

la pendiente es lo mismo que la tangente de ese ángulo, o sea que

m tanθ=

Por ejemplo, si una recta r forma un ángulo con la horizontal de 45o, como y ade-45m tan=más , se dice que esa recta tiene una pendiente de .45 1tan = 1m =

Si una recta tiene una pendiente de , como , significa que , de2m = m tanθ= 2 tanθ=donde , es decir, forma un ángulo, respecto de la horizontal, de 63.43o.2arc tanθ =

3.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sean dos puntos A y B, cuyas coorde-nadas son conocidas. Un nombre genéri-co para esas coordenadas es ( )1 1x , y

para el punto A, mientras que ( )2 2x , ypara el punto B. Lo anterior se escribe

; y está represen-( )1 1A x , y ( )2 2B x , ytado en la figura 3.2. La distancia queexiste entre esos dos puntos se puedededucir de la siguiente manera:

Trazando una línea horizontal quepase por el punto A y una línea verticalque pase por el punto B se forma eltriángulo ABC (ver figura 3.2). Obsér-vese que la distancia horizontal AC es ladiferencia de x2 menos x1, mientras quela distancia vertical BC es la diferenciade y2 menos y1. Entonces, por el teorema de pitágoras aplicado sobre el triángulo ABC, seobtiene que la distancia buscada AB es:

x1

y1

x2

y2 A

B

X

Y

distancia

Cx x2 1 -

y y2 1-

figura 3.2


en donde es muy importante aclarar que cualquiera de los dos puntos conocidos puede tomarel nombre de A y cualquiera el de B, sin que se modifique el valor de su distancia calculadocon la fórmula anterior.

Ejemplo: Un punto tiene por coordenadas (9, 6) y otro punto se localiza en (3, 14). Hallar la distanciaentre ellos.

Solución: Llamando A al punto de coordenadas (9, 6) y B al otro, se tiene que

x1 = 9 ; y1 = 6x2 = 3 ; y2 = 14

utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos, se tiene que

( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + −

( ) ( )2 23 9 6 14 6d = − + −

( ) ( )2 26 8d = − +

100d =

10d =

3.3 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA:

Sean los puntos A y B cuyas coordenadas son conocidas, los que determinan el inicio y elfinal de un segmento de recta. Un nombre genérico para esas coordenadas conocidas es x1 , y1

para el punto A, y x2 , y2 para el punto B. Lo anterior se escribe ; . ( )1 1A ,x y ( )2 2B x , y

La distancia d entre los puntos A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ) es

( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + −

LA RECTAPágina 24

Las coordenadas del punto medio Pm de dicho segmento se deducen fácilmente a partir de lafigura 3.3:

Es obvio que la abscisa de Pm (la medidahorizontal a partir del origen de coordena-das) está a la mitad de los puntos A y B; ycomo la distancia horizontal entre esos dospuntos es (ver figura 3.3), entonces2 1x x−a la mitad está la abscisa de Pm, o sea en

2 1

2x x−

Pero no perder de vista que esa medidaestá dada a partir del punto A y como tieneque estar dada a partir del eje de las Y, en-tonces le hace falta sumarle la distancia x1,con lo que se obtiene:

2 1 2 1 11

22 2

x x x x xx− − ++ =

2 1

2x x+=

Ésta es la abscisa del punto medio Pm. Exactamente igual se deduce la ordenada de dichopunto medio. En conclusión:

y1

y2

x1

x2

A

B

X

Y

C

x x2 1 -

Pm

x x2 1 - 2

figura 3.3

Las coordenadas (xm , ym ) del punto medio Pm del segmento derecta comprendido entre los puntos A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ), son

1 2

2mx xx +=

1 2

2my yy +=


en donde es muy importante aclarar que cualquiera de los dos puntos conocidos puede tomar elnombre de A y cualquiera el de B, sin que se modifiquen los valores de las coordenadas delpunto medio.

Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento de recta que está delimitado por lospuntos (9, 4) y (7, 14).

Solución: Llamando A al punto de coordenadas (9, 4) y B al otro, se tiene que

x1 = 9 ; y1 = 4x2 = 7 ; y2 = 14

utilizando la fórmula de las coordenadas del punto medio, se tiene que

1 2

2mx xx +

= 1 2

2my yy +

=

9 72mx += 4 14

2my +=

8mx = 9my =

Las coordenadas de ese punto medio son: Pm(8, 9).

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y COORDENA-DAS DEL PUNTO MEDIO

Ejemplo 1: Las coordenadas de un triángulo son: ; y ( )A 2 4,− ( )B 8 4, ( )C 8 12,−

(ver figura 3.4). Investigar analítica-mente si se trata de un triángulo equi-látero, isósceles o escaleno.

Solución: Cuando se pide una investigación ana-lítica quiere decir que se haga analiza-do a través de cuentas, no a lo que lavista dicta, es decir, no se vale ningu-na afirmación basada en que “es queahí se ve en la figura”.

Si se calcula la distancia entre lospuntos A y B lo que realmente se

C

A B

figura 3.4

LA RECTAPágina 26

está obteniendo es la medida del lado AB. Lo mismo sucede entre A y C y entre los pun-tos B y C.

Entonces calculando la distancia entre los puntos A y B con la fórmula de distancia entredos puntos:

( ) ( )2 22 1 2 1ABd x x y y= − + −

( ) ( )2 28 2 4 4ABd = − − + −

2 210 0ABd = +

10ABd =

La distancia entre los puntos A y C con la fórmula de distancia entre dos puntos:

( ) ( )2 22 1 2 1ACd x x y y= − + −

( ) ( )2 28 2 12 4ACd = − − − + −

( )2 26 8ACd = − +

10ACd =

La distancia entre los puntos B y C con la fórmula de distancia entre dos puntos:

( ) ( )2 22 1 2 1BCd x x y y= − + −

( ) ( )2 28 8 12 4BCd = − − + −

320BCd =

17 88BCd .=

Como las medidas de los lados del triánguloson AB = 10; AC = 10 y BC = 17.88, se tra-ta de un triángulo isósceles.

Ejemplo 2: Las coordenadas de un hexágono regular son: ; ;( )A 7 2 3. ; ( )B 4 6 ; 7 5. .

; ;( )C 0 6 ; 7 5. .− ( )D 3 2 ; 3.−

; .( )E 0 6 ; 1 5. .− − ( )F 4 6 ; 1 5. .−

A

BC

D

E F

figura 3.5


Comprobar que las diagonales AE y CE son iguales (ver figura 3.5).

Solución: La distancia entre los dos puntos A y E es la longitud de la diagonal AE, de manera queempleando la fórmula de distancia entre dos puntos:

( ) ( )2 22 1 2 1AEd x x y y= − + −

( ) ( )2 20 6 7 2 1 5 3AEd . . .= − − + − −

( )227 2 4 5AEd . .= + −

81 09AEd .=

9 00AEd .=

La distancia entre los dos puntos C y E es la longitud de la diagonal CE, de manera queempleando la fórmula de distancia entre dos puntos:

( ) ( )2 22 1 2 1CEd x x y y= − + −

( ) ( )2 20 6 0 6 1 5 7 5CEd . . . .= − − − + − −

( )220 9CEd = + −

9 00CEd .=

Comparando los resultados obtenidos se ve que AE = CE.

Ejemplo 3: Hallar las coordenadas del centro del hexágo-no del ejemplo anterior.

Solución: El punto medio de la diagonal AD es el centrodel hexágono (ver figura 3.6). Utilizando lafórmula de punto medio:

1 2

2mx xx +

=

( )7 2 3 22m

. .x

+ −=

4 22mx = =

A

BC

D

E F

figura 3.6

LA RECTAPágina 28

4 Bisecar viene del latín, bi = dos veces, doble; y secare = cortar. Significa cortar en dos partes iguales.

1 2

2my yy +

=

3 3 62my += =

Las coordenadas del punto medio de la diagonal AD son . Allí está el centro del( )mP 2 3,hexágono regular.

Ejemplo 4: Las coordenadas de un cuadrilátero son: ; ;( )A 2 1, ( )B 3 9,

y .( )C 10 11, ( )D 9 3,Comprobar que las diagonales AC y BD se bise-can4 mutuamente.

Solución: Si las diagonales se bisecan mutuamente, es decirque se cortan entre sí por su punto medio una a laotra, entonces el punto medio de la diagonal BDdebe coincidir con el punto medio de la diagonalAC.

Las coordenadas del punto medio de AC son:

1 2

2mx xx +

= 1 2

2my yy +

=

2 10 62mx += = 1 11 6

2my += =

Dichas coordenadas son (6, 6).

Las coordenadas del punto medio de BD son:

1 2

2mx xx +

= 1 2

2my yy +

=

3 9 62mx += =

9 3 62my += =

A

B

C

D

figura 3.7


Dichas coordenadas son (6, 6).

Como efectivamente es el mismo punto, eso demuestra que se bisecan mutuamente.

Ejemplo 5: Las coordenadas de un triángulo son:; y .( )A 3 2, ( )B 13 4, ( )C 9 9,

Hallar la longitud de la mediana allado AB (ver figura 3.8).

Solución: Lo primero que debe hacerse esrecordar que una mediana es larecta que va del punto medio de unlado hasta el vértice opuesto. Por lotanto, se requieren calcular lascoordenadas del punto medio mdel lado AC. Una vez conocidasestas coordenadas, la longitud de lamediana Cm se obtiene calculan-do la distancia entre los puntos C y m.

Las coordenadas del punto mediom entre A y B se obtienen em-pleando las respectivas fórmulas depunto medio:

1 2

2mx xx +

= 1 2

2my yy +

=

3 132mx += 2 4

2my +=

8mx = 3my =

Dichas coordenadas son: m (8, 3).

La distancia entre los puntos C y m se obtiene utilizando la fórmula de distancia entredos puntos:

( ) ( )2 22 1 2 1Cmd x x y y= − + −

( ) ( )2 28 9 3 9Cmd = − + −

( ) ( )2 21 6Cmd = − + −

A

C

B

m

mediana

figura 3.8

LA RECTAPágina 30

1 36Cmd = +

6 08Cmd .=

La longitud de la mediana al lado AB es 6.08.

Ejemplo 6: Las coordenadas de un cuadrilátero son: ; ; y ( )A 1 3, ( )B 3 10, ( )C 11 8, ( )D 9 1,Investigar analíticamente si se trata de un cuadra-do, un rectángulo, un rombo, un romboide, untrapecio o un trapezoide (ver figura 3.9).

Solución: La longitud de los lados dará la primera pistapara saber de qué tipo de cuadrilátero se trata,pero ¡cuidado!, será una pista, pero no la defini-tiva. Porque, por ejemplo, si tiene los cuatro la-dos iguales puede ser un cuadrado, pero tambiénpodría ser un rombo; si tiene por pares los ladosopuestos iguales y desiguales los contiguos, pue-de ser un rectángulo, pero también podría ser unromboide.

Calculando las longitudes de cada uno de suslados con la fórmula de distancia entre dos puntos

:( ) ( )2 22 1 2 1d x x y y= − + −

( ) ( )2 23 1 10 3ABd = − + −

2 22 7ABd = +

53ABd =

7 28ABd .=

( ) ( )2 211 3 8 10BCd = − + −

( )228 2BCd = + −

68BCd =

8 24BCd .=

A

B

C

D

figura 3.9


( ) ( )2 211 9 8 1CDd = − + −

2 22 7CDd = +

53CDd =

7 28CDd .=

( ) ( )2 29 1 1 3DAd = − + −

( )228 2DAd = + −

68DAd =

8 24DAd .=

Primera conclusión: Como por una parte y por otra , puede ser unAB CDd d= BC DAd d=rectángulo o un romboide solamente. Las demás figuras quedan descartadas. Para sabercuál de éstas dos figuras es, hay que recurrir a las propiedades de cada figura. Recordarque el rectángulo tiene las diagonales iguales y el romboide no. Entonces analizando laslongitudes de sus diagonales se podrá saber si es rectángulo o romboide:

( ) ( )2 211 1 8 3ACd = − + − ( ) ( )2 29 3 1 10BDd = − + −

2 210 5ACd = + ( )226 9BDd = + −

125ACd = 117BDd =

11 18ACd .= 10 81BDd .=

Las diagonales son diferentes. Por lo tanto se trata de un romboide. Este ejemplo muestraclaramente que no se vale “hacer deducciones” basados en que “ahí se ve”. En el papel, lafigura 3.9 parece un rectángulo o un cuadrado y simple vista jamás se hubiera sospechadoque no son ni uno ni otro, sino un romboide.

LA RECTAPágina 32

EJERCICIO 2

Resolver los siguientes problemas, conforme a las definiciones y reglas establecidas en las páginas 21 a 23.

1) Una recta tiene una pendiente de 2.5; deducir el ángulo que forma con la horizontal.

2) Una recta tiene una pendiente de 0.35; deducir el ángulo que forma con la horizontal.

3) Las coordenadas de un trapecio son: A(- 5, 2); B(7, 2); C(5, 8) y D(- 3, 8). Hallar las pendientes de sus la-dos no paralelos AD y BC.

4) En el trapecio del problema anterior, hallar la pendiente de la diagonal BD.

5) Una circunferencia tiene su centro en C(2, 4). ¿Cuál es la pendientedel radio CP, sabiendo que las coordenadas del punto P son (6, 1).Ver figura 3.10.

6) En la circunferencia del problema anterior, ¿Cuánto mide el radiode dicha circunferencia?

7) ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio Q del radio CP de lacircunferencia de la figura 3.10?

8) ¿Cuál es la pendiente de la recta trazada en la figura 3.10 desde elorigen de coordenadas hasta el punto medio Q?

9) Una recta forma un ángulo de 17o con la horizontal; ¿Cuál es supendiente?

10) Una recta forma un ángulo de 15o con la horizontal; ¿Cuál es supendiente?

11) Una recta forma un ángulo de 9o con la vertical; ¿Cuál es su pendiente?

12) Una recta forma un ángulo de 65o con la vertical; ¿Cuál es su pendiente?

13) Una recta forma un ángulo de 77.65o con la vertical; ¿Cuál es su pendiente?

14) Las coordenadas de un punto son (2, -1) y las de otro son (0, 8); hallar la distancia entre ambos puntos.

15) Las coordenadas de un punto son (-6, -7) y las de otro son (2, -1); hallar la distancia entre ambos puntos.

16) Las coordenadas de un punto son (2, 0) y las de otro son (0, 0); hallar la distancia entre ambos puntos.

17) Las coordenadas de un punto son (5, 5) y las de otro son (9, 9); hallar la distancia entre ambos puntos.

18) Las coordenadas del extremo de un segmento de recta son (1, -4) y las del otro extremo son (3, 6); hallar lascoordenadas de su punto medio.

19) Las coordenadas del extremo de un segmento de recta son (11, -2) y las del otro extremo son (-3, 1); hallarlas coordenadas de su punto medio.

20) Un segmento de recta está delimitado por los puntos A y C. Las coordenadas del extremo A son (- 2, 3) y

C

P

Q

figura 3.10


las coordenadas del punto medio de dicho segmento son . Hallar las coordenadas del otro extre-( )mP 3 5,mo C del segmento.

21) Un segmento de recta de longitud d = 13 comienza en el punto A(- 4, 2) y termina en el punto .( )B 1, yHallar el valor de la ordenada y de dicho punto B.

22) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(4, 5) ; B(-3, 2) y C(1, - 2) ; investigar si se trata deun triángulo equilátero, isósceles o escaleno.

23) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(5, 8) ; B(-3, 2) y C(1, -6) ; Hallar las coordenadas delos punto medios de cada una de sus medianas.

24) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(2, 11) ; B(8, 9) y C(-4, -1) ; Hallar las coordenadasde los punto medios de cada una de sus medianas.

25) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(2, 12) ; B(-8, 0) y C(-6, -10) ; Hallar las coordena-das de los punto medios de cada una de sus medianas.

26) Las coordenadas de los vértices de un cuadrilátero son: A(2, 12) ; B(6, 12) ; C(2, -1) y D(6, -1) ; investigaranalíticamente el tipo de cuadrilátero de que se trata. SUGERENCIA: Recordar las propiedades de los cua-driláteros mencionadas en la página 8, para que, en base en ellas, hacer la deducción pedida.

27) Las coordenadas de los vértices de un paralelogramo son: A(1, 3) ; B(4, 7) ; C(4, -1) y D(7, 3) ; investigaranalíticamente el tipo de paralelogramo de que se trata. SUGERENCIA: Recordar las propiedades de loscuadriláteros mencionadas en la página 8, para que, en base en ellas, hacer la deducción pedida.

28) Las coordenadas de los vértices de un paralelogramo son: A(2, 2) ; B(7, 15) ; C(12, 2) y D(7, -11) ; investi-gar analíticamente el tipo de paralelogramo de que se trata. SUGERENCIA: Recordar las propiedades delos cuadriláteros mencionadas en la página 8, para que, en base en ellas, hacer la deducción pedida.

29) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(2, 2) ; B(8, 16) y C(12, 2) . Hallar la longitud decada una de las medianas.

30) Las coordenadas de los vértices de un paralelogramo son: A(2, 2) ; B(7, 15) ; C(12, 2) y D(7, -11) . Hallaranalíticamente las coordenadas del punto de intersección de sus diagonales.

31) Comprobar que las diagonales del paralelogramo del problema anterior se bisecan mutuamente.

LA RECTAPágina 34

La ecuación en forma general de la recta es

Dx + Ey + F = 0

La ecuación particular de la recta es

y = mx + b

en donde: * m es la pendiente de la recta;* b es la ordenada al origen.

3.4 ECUACIÓN EN FORMA GENERAL Y EN FORMA PARTICULAR

La ecuación de la recta en forma general es la que se obtiene de la ecuación general de lascónicas, eliminando "los cuadrados", como se mencionó en la posibilidad 1 del análisis de laecuación general, en la página 15, la cual es la siguiente:

A esta ecuación se le llama ecuación en forma general o simplemente forma general de larecta.

Pero, como ya se explicó anteriormente, la ecuación en forma general proporciona una in-formación bastante limitada acerca de la gráfica que le corresponde, en este caso, al de la recta.Para saber más de ella, es necesario pasar esa ecuación de la forma general a la forma particu-lar, ya que la ecuación en forma particular es la que proporciona toda la información de lascaracterísticas de la figura.

Como la ecuación particular es la que da la información completa de la figura correspon-diente, en el caso particular de la recta se tiene la siguiente regla:

Pendiente significa la inclinación de la recta, conforme a ladefinición dada en la página 22. Una pendiente puede ser po-sitiva o negativa. Es positiva si trasladada la recta al origenatraviesa el primero y tercer cuadrantes; es negativa si trasla-dada al origen, atraviesa el segundo y cuarto cuadrantes.

Ordenada al origen significa la distancia sobre el eje de lasY en que la recta corta a dicho eje, como se muestra en la fi-gura 3.11.

ordenadaal origen

figura 3.11


1) Para transformar la ecuación de una recta de la forma general a la formaparticular:

* Se despeja la variable Y;* El lado derecho se parte en dos fracciones, en caso de que resulte con

denominador, hasta obtener los dos términos mx y b.

2) Para transformar la ecuación de una recta de la forma particular a laforma general:

* Se quitan los denominadores, multiplicando toda la igualdad por elcomún denominador de todos los denominadores que aparezcan;

* se escriben todos los términos del lado izquierdo para que quede igua-lado a cero.

* si resulta negativo el primer término Dx, se le cambia de signo a todala igualdad.

Por ejemplo, si se tiene la ecuación particular de unarecta , en este caso, como y2 3y x= + 2m =

, entonces por el significado que tienen estos3b =números, la pendiente es 2 y la recta corta al eje de lasY a tres unidades a partir del origen (ver figura 3.12).

3.5 TRANSFORMACIONES

Debe quedar claro que tanto la ecuación general comola particular son realmente la misma ecuación, solamenteque escritas de diferente manera, por lo que es posiblehacer transformaciones de una forma a la otra.

Ejemplo 1: Transformar la ecuación 12x - 3y + 7 = 0, de la forma general a la particular y deducir losvalores de b y de m.

Solución: Como para pasar de la forma general a la particular, simplemente debe despejarse la varia-ble y, entonces, despejándola se obtiene:

12 3 7 0x y− + =

b = 3

2

1pendiente = 2

1

figura 3.12

LA RECTAPágina 36

12 7 3x y+ =

que es exactamente lo mismo que escribirlo al revés:

3 12 7y x= +

12 73

xy +=

12 73 3

xy = +

743

y x= +

de donde, y .4m =73

b =

Ejemplo 2: Transformar la ecuación , de la forma particular a la forma general y de-1175

y x= − +

ducir los valores que corresponden a D, E y F .

Solución: El primer paso es quitar los denominadores que aparezcan. El denominador 5 puede elimi-narse multiplicando por cinco la fracción en la que aparece, pero como es una igualdad,debe aplicarse la propiedad de las igualdades: Lo que se haga de un lado debe hacerse delotro lado también para que la igualdad se conserve, de lo que resulta:

( ) 115 5 75

y x = − +

5 35 11y x= − +

El segundo paso es escribir del lado izquierdo todos los términos, dejando la expresiónigualada a cero:

35 5 11 0x y+ − =

de donde:

D = 35 ; E = 5 ; F = - 11


EJERCICIO 3

Encontrar la pendiente m y la ordenada al origen b de cada una de las siguientes rectas:

1) 12x + 3y - 6 = 0 8) 8x + 2y + 11 = 02) 8x + 2y + 16 = 0 9) 15x + 5y + 21 = 03) 15x + 5y + 10 = 0 10) 5x - 2y + 33 = 04) 5x - y + 61 = 0 11) 9x + 7y - 19 = 05) 9x + y = 0 12) 3x + 2y = 06) 19x + y = 0 13) x + y = 07) 13x - y = 0 14) 83x - 2y - 51 = 0

Encontrar los valores de las constantes D , E y F en las siguientes rectas:

15) 16)3 8y x= + 7 1y x= − +

17) 18)5 13y x= − 15 23y x= − −

19) 20)5 2

7xy += 4 12

9xy −=

21) 22)11 2

14xy − += 29

24xy − −=

23) 24)25

33xy − += 17 1

14 7xy = +

25) 26)5 12 4

xy −= + 1011

xy =

27) 28)65 53 6

xy −= − 17 54 2

xy = −

LA RECTAPágina 38

3.6 OBTENCIÓN RÁPIDA DE LA GRÁFICA

Dado que la ecuación particular proporciona todos los detalles para definir perfectamentela gráfica correspondiente, se pueden obtener las gráficas de las rectas con los datos de m yde b. Simplemente se localiza primero la ordenada al origen y luego, a partir de ese punto, sehace una especie de escalón que marcará la pendiente m, en donde hay que recordar que elnumerador es la elevación vertical (sobre el eje de las Y) y el denominador su distribuciónhorizontal (sobre el eje de las X ), y poner atención en el signo de la pendiente.

Ejemplo 1: Obtener la gráfica de 5x - 15y+60 = 0

Solución: Pasando la ecuación de la forma general a la forma particular, para lo cual basta despejarla variable y:

5 60 15x y+ =que es exactamente lo mismo que escribirla al revés:

15 5 60y x= +dividiendo ambos lados entre 15 para despejar y:

15 5 6015 15 15

y x= +

simplificando:1 43

y x= +

de aquí se obtiene que la pendiente es y que13

m =

.4b =

PRIMER PASO: Se localiza la ordenada al origen, que es la distancia sobre el eje de las Y a partir4b =

del origen, como se muestra en el primer paso de la figu-ra 3.13.

SEGUNDO PASO: A partir de ese punto, se “pone elescalón” que da la pendiente. En este caso, como

, el numerador 1 indica que debe tener una ele-13

m =

vación vertical de una unidad; y el denominador 3 señala que esa elevación debe estardistribuida en 3 unidades horizontales. Haciéndolo se obtiene el segundo paso de la figu-ra 3.13.

b = 4

3

3

1

1

figura 3.13


Finalmente se traza la recta, haciéndola que pase por el punto señalado en el primer pasoy que se apoye en la parte final del escalón, quedando la recta como la tercera parte de lafigura 3.13.

Ejemplo 2: Obtener la gráfica de 3x + 2y - 4 = 0

Solución: Pasando la ecuación a su forma particular para deducir los

valores de m y de b, se obtiene: , de don-3 22

y x= − +

de se ve que ; .32

m = − 2b =

PRIMER PASO: Se localiza la ordenada al origen ,2b =que es la distancia sobre el eje de las Y a partir del origenpor donde pasa la recta, como se muestra en el primer pasode la figura 3.14.

SEGUNDO PASO: A partir de ese punto, se "pone el esca-

lón" que da la pendiente. En este caso, como , el32

m = −

signo negativo indica que va del segundo al cuarto cuadran-te, el numerador 3 indica que debe tener una elevación ver-tical de tres unidades y el denominador 2 señala que esaelevación debe estar distribuida en dos unidades horizonta-les. Haciéndolo se obtiene el paso 2 de la figura 3.14. Fi-nalmente se traza la recta, haciéndola que pase por el puntoseñalado y que "se apoye en el escalón" que le dará la pen-diente 3/2, quedando como en la tercera parte de la figura3.14.

EJERCICIO 4

Obtener la gráfica con el procedimiento del ejemplo anterior de las ecuaciones #1 al #14 del ejercicio 3.

b = 2

2

3

b = 22

3

figura 3.14

LA RECTAPágina 40

3.7 DEFINICIÓN DE UNA RECTA

Existen dos formas para dejar bien definida a una recta, pero antes de señalarlas es indis-pensable comprender bien el significado de la frase quedar bien definido.

Un objeto queda mal definido cuando la descripción que se hace de él es insuficiente, demanera que admite otros objetos que cumplen con la descripción y que no son el definido.

Por ejemplo, se desea definir un hombre de la siguientemanera: Es un ser viviente. Esta descripción hecha de unhombre, aunque cierta, es insuficiente, ya que admite a ani-males y vegetales que no son hombres, como los perros,gatos, peces, duraznos, bacterias, etc., que cumplen con ladescripción, es decir que son "seres vivos". Por lo tanto, sedice que está mal definido.

En el caso particular de la recta, si se desea definir unarecta determinada diciendo únicamente que "pasa por elpunto ", está mal definida ya que admite a otras( )A 2 1,rectas que cumplen con la descripción y no son la que sepretende definir, como lo muestra la parte superior de lafigura 3.15.

O bien, si se dice nada más que tiene una inclinación de45o, también queda mal definida por admitir muchas rectasque cumplen esa descripción, tal como se ve en la parte in-ferior de la figura 3.15.

En cambio, un objeto queda bien definido cuando la des-cripción que se hace de él no admite a otros objetos que nosea el definido.

Por ejemplo, se desea definir un hombre de la siguientemanera: Es un ser viviente y pensante. Esta descripción he-cha de un hombre ya no admite a animales y vegetales co-mo a los perros, gatos, peces, duraznos, bacterias, etc., puesninguno de ellos cumple con la descripción de "ser pensan-te". Por lo tanto, se dice que está bien definido.

En el caso particular de la recta, si se define una recta determinada diciendo que pasa porlos puntos y , está bien definida ya que no admite a otras rectas que cum-( )A 2 1, ( )B 3 7,plan con la descripción; solamente hay una recta que pasa por esos dos puntos.

O bien, si se dice que tiene una inclinación de 45o y además pasa por el punto ,( )A 0 4,también de esta manera queda bien definida por no admitir a ninguna otra recta que cumpla

¿Cuál es, si todaspasan por A(2, 1)?

A(2, 1)

¿Cuál es, si todasestán a 45 grados?

figura 3.15


esa descripción; solamente existe una recta que pueda pasar por el punto mencionado y conesa inclinación.

De manera que las dos formas para dejar bien definida a una recta son:

1) Conociendo las coordenadas de dos puntos por los que pasa; y2) conociendo un punto por el que pasa y su pendiente.

En ambos casos se tiene una fórmula respectiva para calcular la ecuación de la recta quecumple con una de las dos condiciones, las cuales se dan en el siguiente recuadro:

De las dos fórmulas anteriores, por comparación se infiere que la pendiente de una rectade la que se conocen las coordenadas de dos puntos por la que pasa y( )1 1A x , y

, es( )2 2B x , y

1 2

1 2

y ymx x

−=−

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 4) y B(0, - 2).

Solución: En este caso:x1 = 1 ; x2 = 0y1 = 4 ; y2 = - 2

Utilizando la fórmula de "dos puntos" y sustituyendo valores:

1) La ecuación de la recta que pasa por dos puntos conocidos y es( )1 1A ,x y ( )2 2B , x y

( )1 21 1

1 2

y yy y x xx x

−− = −−

2) La ecuación de la recta que pasa por un punto conocido y( )1 1A , x yde pendiente m conocida, es

( )1 1y y m x x− = −

LA RECTAPágina 42

( )1 21 1

1 2

y yy y x xx x

−− = −

−

( ) ( )4 24 1

1 0y x

− −− = −

−

( )4 24 11

y x+− = −

( )4 6 1y x− = −

4 6 6y x− = −

6 6 4y x= − +

6 2y x= −

Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3, 2) y tiene pendiente .4m =

Solución: En este caso:x1 = - 3y1 = 2m = 4

Utilizando la fórmula de "punto y pendiente" de la página 41 y sustituyendo valores:

( )1 1y y m x x− = −

( )2 4 3y x− = − −

( )2 4 3y x− = +

2 4 12y x− = +4 12 2y x= + +

4 14y x= +

3.8 COORDENADAS DE UN PUNTO DE INTERSECCIÓN

Una herramienta muy práctica en la resolución de problemas es la localización de lascoordenadas del punto de intersección de dos rectas, las cuales se obtienen resolviendo "porsimultáneas" las ecuaciones respectivas de cada una de las rectas que se cortan entre sí.


Ejemplo 3: Hallar el punto de intersección de las rectas 3x + 5y - 2 = 0 y 2x - 3y + 5 = 0 (ver figura3.16).

Solución: Resolviendo por simultáneas ambas ecuaciones:

(1) 3 5 2 0x y+ − =

(2) 2 3 5 0x y− + =

multiplicando por 3 la ecuación (1) y por5 la ecuación (2) se obtiene:

(1) 9x + 15y - 6 = 0(2) 10x - 15y + 25 = 0

S)))))))))))))))))))Qsumando: 19x + 19 = 0despejando: 19x = - 19

x = - 1

sustituyendo este valor en la ecuación (1):

(1) 3(- 1) + 5y - 2 = 0 - 3 + 5y - 2 = 0

5y = 2 + 3 y = 1

de manera que las coordenadas donde se cortan estas dos rectas son .( )P 1 1,−

3.9 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

La condición obvia para que dos rectas sean paralelas es que tengan exactamente el mismoángulo y, por lo tanto, la misma inclinación o pendiente.

La condición para que dos rectas sean perpendiculares no es tan obvia; sin embargo, sepueden resumir en la siguiente regla:

3x + 5y - 2 = 0

2x - 3y +

5 = 0

punto deintersección

figura 3.16

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, es decir que

1 2m m=

LA RECTAPágina 44

3.10 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA

Cuando se conocen las coordenadas de un punto P y la ecuación de una recta, es posiblecalcular la distancia que hay entre ese punto de coordenadas y la recta de ecua-( )1 1P x , y

ción .D E F 0x y+ + =

Aquí una cosa muy importante es definir de quémanera debe medirse esa distancia desde el puntohasta la recta, porque, dentro de las múltiples opcio-nes que existen, puede hacerse la medición de dife-rentes formas.

En la figura 3.17 se ve que efectivamente, la dis-tancia 1 tiene diferente medida que la distancia 2. Yconforme se mide con diferente inclinación, la dis-tancia será cada vez diferente. Surge necesariamen-te la pregunta: ¿Cuál de todas las medidas es la co-rrecta? ¿Y por qué?

Se puede ver fácilmente que cada medición esmayor cuando la inclinación aumenta y menorcuando disminuye la inclinación. Esto implica queno hay límite en cuanto a la medida más grande po-sible, pero en cambio sí hay una, entre todas, que es la más pequeña. Esa es exactamente laque se hace en forma perpendicular a la recta. Por lo tanto, para evitar confusiones, se definela distancia de un punto a una recta como la medida más pequeña que es posible realizar; enotras palabras, es la medida perpendicular a la recta.

De manera que cada vez que se haga referencia a una distancia, debe darse por hecho quese refiere, por definición, a la medida perpendicular.

Tal distancia se puede calcular por medio de la siguiente relación:

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas yde signos opuestos, o sea que

12

1mm

= −

recta

d = 52d = 41

¿Cuál de todas lasdistancias es la buena?

figura 3.17


en donde D, E y F son las constantes de la ecuación de la recta en la forma general, mien-tras que x1 , y1 son los valores de las coordenadas del punto conocido. Las dos lineas vertica-les que abarcan al numerador significan "valor absoluto", es decir, que si alguna vez da ne-gativo, no debe tomarse en cuenta ese signo negativo.

Ejemplo 4: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por elpunto A(7, 4) y que es también paralela a la rec-ta (ver figura 3.18).2 5 0x y− − =

Solución: Como las dos rectas son paralelas, deben tener lamisma pendiente; de manera que debe obtenersela pendiente de la recta que se conoce su ecua-ción y "pasársela" a la otra: Para obtener la pen-diente de la recta debe escribir-2 5 0x y− − =se en la forma particular, es decir, debe despejar-se la variable y. Haciéndolo, se obtiene:

2x - y - 5 = 0 2x - 5 = y

y = 2x - 5

la pendiente de esta recta es m = 2. De manera que esta pendiente es la misma que la de larecta pedida. Como además ya se sabe que la recta pedida pasa por el punto , uti-( )A 7 4,lizando la fórmula de "punto y pendiente" de la página 41 y sustituyendo valores:

( )1 1y y m x x− = −

( )4 2 7y x− = −

4 2 14y x− = −

La distancia entre el punto conocido y la recta de( )1 1P x , y

ecuación esD E F 0x y+ + =

1 1

2 2

D E F

D E

x yd

+ +=

+

2x -

y - 5

= 0

rect

a bu

scad

a

A

7

4

2

6

1 3 9

figura 3.18

LA RECTAPágina 46

2 14 4y x= − +

2 10y x= −

Ejemplo 5: Encontrar la ecuación de la recta que pasa porel punto P(- 3, 1) y que es perpendicular a larecta 4x + 2y - 5 = 0 (figura 3.19).

Solución: Como las dos rectas son perpendiculares, suspendientes deben ser recíprocas y de signoscontrarios; de manera que debe obtenerse lapendiente de la recta que se conoce su ecua-ción y "pasársela" a la otra por medio de lacondición de perpendicularidad. Para obtenerla pendiente de la recta ,4 2 5 0x y+ − =tiene que escribirse en la forma particular, esdecir, debe despejarse la variable y. Hacién-dolo, se obtiene:

4x + 2y - 5 = 0 2y = - 4x + 5

y = - 2x + 5/2

la pendiente de la recta dada es m = - 2. De manera que la pendiente de la perpendicular es

. Como además ya se sabe que la recta pedida pasa por el punto , utili-212

m = ( )P 3 1,−

zando la fórmula de punto y pendiente de la página 41 y sustituyendo valores:

( )1 1y y m x x− = −

( )11 32

y x− = − −

( )11 32

y x− = +

( )2 1 3y x− = +

2 2 3y x− = +2 2 3 0x y− + − − =

2 5 0x y− + =

recta

pedida

P(- 3, 1)

4 + 2

- 5 = 0

xy

figura 3.19


Ejemplo 6: Encontrar la ecuación de la recta que esparalela a otra recta que tiene porecuación y que ade-6 5 30 0x y− − =más pasa por el punto de intersecciónde las rectas y3 7 6 0x y+ − =

(ver figura 3.20).9 2 0x y− − =Solución: Como la recta pedida es paralela a otra

cuya ecuación es ,6 5 30 0x y− − =deben tener la misma pendiente; demanera que despejando la variable y deesta última ecuación para obtener supendiente y pasársela a la otra:

6 5 30 0x y− − = 5 6 30y x− = − + 5 6 30y x= −

6 305

xy −=

6 65

y x= −

de donde se ve que m1 = 6/5.

El punto de intersección de las rectas y se obtie-3 7 6 0x y+ − = 9 2 0x y− − =ne resolviendo por simultáneas ambas ecuaciones:

(1) 3x + 7y - 6 = 0(2) x - 9y - 2 = 0

multiplicando por - 3 la ecuación (2) se obtiene:

(1) 3x + 7y - 6 = 0(2) - 3x + 27y + 6 = 0

S))))))))))))))))Qsumando: + 34y = 0despejando: y = 0/34

0y =

sustituyendo este valor en la ecuación (2) original:

3x + 7y - 6 = 0

x - 9y - 2 = 0

6x -

5y -

30 =

0

recta

pedid

a

paralelas

figura 3.20

LA RECTAPágina 48

(2) x - 9(0) - 2 = 0 x - 0 - 2 = 0

2x =

de manera que las coordenadas del punto P donde se intersecan estas dos rectas son. Se tienen ya la pendiente y un punto conocido de la recta que se pide su( )P 2 0,

ecuación, por lo que, en este caso:

x1 = 2y1 = 0

65

m =

Utilizando la fórmula de "punto y pendiente" de la página 41 y sustituyendo valores:

( )1 1y y m x x− = −

( )60 25

y x− = −

( )5 6 2y x= −

5 6 12y x= − 6 5 12 0x y− + + =

6 5 12 0x y− − =

Ejemplo 7: Los vértices de un cuadrilátero son: ;( )A 2 2,−

; y . Investi-( )B 1 1, − ( )C 2 5,− − ( )D 5 2,− −gar si es cuadrado, rectángulo, rombo, romboideo trapecio.

Solución: Graficando los puntos en el plano para ir efec-tuando las deducciones y razonamientos en baseal dibujo previo se obtiene la figura 3.21.

Lo primero que hay que investigar es si hay ladosparalelos, para saber si se trata de un paralelogra-mo o no. Para eso deben obtenerse las pendientesde los cuatro lados.

A

B

C

D

figura 3.21


Con la fórmula de la pendiente descrita en la página 41, se obtiene:1 2

1 2

y ymx x

−=

−

pendiente mAB :

( )AB

2 12 1

m− −

=− −

AB33

m =−

AB 1m = −

pendiente mDC :

( )( )DC

2 55 2

m− − −

=− − −

DC33

m =−

DC 1m = −

pendiente mBC :

( )( )BC

1 51 2

m− − −

=− −

BC1 5

1 2m − +=

+

BC43

m =

pendiente mAD :

( )( )AD

2 22 5

m− −

=− − −

AD2 22 5

m +=− +

AD43

m =

Como mAB = mDC y además mBC = mAD , se puede ya obtener la primera conclusión: Setrata de un paralelogramo. El siguiente paso es investigar si los lados forman ángulos rec-tos o no. Para ello se requiere, por la condición de perpendicularidad, que las pendientessean recíprocas y de signos contrarios y en este caso no lo son, lo que significa que los la-dos no son perpendiculares. Por lo tanto no es cuadrado ni tampoco rectángulo.

Quedan solamente dos posibilidades: que sea rombo o que sea romboide. Para investigarlohay dos opciones, de acuerdo con las propiedades de los paralelogramos vistas en la página8: Primera, por el tamaño de sus lados, sabiendo que el rombo tiene sus cuatro lados igua-les; segunda, por sus diagonales, sabiendo que las diagonales del rombo son perpendicula-res.

Por el tamaño de sus lados: obteniendo la distancia entre los puntos A y B y luego entrelos puntos B y C , utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos.

Para la distancia A-B se tiene que

LA RECTAPágina 50

( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −

en donde:x1 = - 2 ; y1 = 2x2 = 1 ; y2 = - 1

sustituyendo valores

[ ] ( )2 2AB 2 1 2 1d = − − + − −

( ) ( )2 2AB 3 3d = − +

AB 9 9d = +

AB 18d =

Para la distancia B-C se tiene que

( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −

en dondex1 = 1 ; y1 = - 1x2 = - 2 ; y2 = - 5

sustituyendo valores

( ) ( )2 2BC 1 2 1 5d = − − + − − −

( ) ( )2 2BC 3 4d = + −

BC 9 16d = +

BC 25d =

BC 5d =

Se ve que el lado AB es diferente al lado BC . Por lo tanto, se trata de un romboide.

Otro método: Por sus diagonales. Deben sacarse las pendientes de las rectas (las diagona-les) AC y BD y verificar si son o no perpendiculares. Recordar que las diagonales del


rombo son perpendiculares mientras que las del romboide no.

Con la fórmula de la pendiente (ver página 41), se obtiene:1 2

1 2

y ymx x

−=

−

pendiente mAC :

( )( )AC

2 52 2

m− −

=− −

AC2 52 2

m +=− +

AC70

m = = ∞

pendiente mBC :

( )( )BD

1 21 5

m− − −

=− −

BD1 2

1 5m − +=

+

BD16

m =

Como las pendientes no son recíprocas y de signo contrario, las diagonales no son perpen-diculares; por lo tanto, no es un rombo. Conclusión: se trata de un romboide.

Ejemplo 8: Hallar la distancia entre las rectas paralelas y .8 3 21 0x y− − = 8 3 18 0x y− + =

Solución: Se localizan las coordenadas de cualquier pun-to P que pertenezca a cualquiera de las dosrectas y se calcula la distancia de ese punto a laotra recta, con la fórmula de la página 45. Demanera que tabulando un punto cualquiera dela recta , por ejemplo, para8 3 21 0x y− − =

, se obtiene3x =

x 3y 1

La distancia entre ese punto y la recta está da-da por la fórmula de la página 45:

1 1

2 2

D E F

D E

x yd

+ +=

+

En donde , y (son las constantes de la ecuación de la recta), mien-D 8= E 3= − F 18=tras que y (son las coordenadas del punto). Sustituyendo valores en la1 3x = 1 1y =fórmula se obtiene:

8x -

3y +

18

= 0

distanciaP(3, - 1)

figura 3.22

LA RECTAPágina 52

( ) ( ) ( ) ( )( )22

8 3 3 1 18

8 3d

+ − +=

+ −

24 3 1864 9

d− +

=+

3973

d =

¡Cuidado!: Un error muy frecuente quesuele cometer el alumno es el de tabularun punto en cada una de las rectas y lue-go calcular la distancia entre esos dospuntos. Por ejemplo, el punto

y el punto ,( )A 2 1 6; .− ( )B 2; 0 6.−como se muestra en la figura 3.23.

El error está en que una distancia debeser medida perpendicularmente por lasrazones expuestas en la página 44, y elhecho de localizar dos puntos, uno encada recta, no garantiza de ninguna for-ma que queden en ángulo recto con lasrectas a las que pertenecen. Por lo tanto,la distancia obtenida entre esos dos pun-tos no es, en la mayoría de los casos, laque hay realmente entre uno de esospuntos y la otra recta.

¿ distancia ?

figura 3.23


EJERCICIO 5

1) Una recta pasa por los puntos A(2, 2) y B(1, 9) . Hallar su ecuación en forma general.

2) Una recta pasa por los puntos A(4, - 2) y B(3, - 8) . Hallar su ecuación particular.

3) Una recta pasa por los puntos A(0, - 6) y B(3, 0) . Hallar su ecuación en cualquier forma.

4) Una recta pasa por el punto A(7, - 2) y tiene una pendiente m = 2 . Hallar su ecuación en forma particular.

5) Una recta pasa por el punto A(- 10, - 7) y tiene una pendiente m = - 1 . Hallar su ecuación en forma parti-cular.

6) Una recta pasa por el punto A(- 5, 5) y tiene una pendiente m = 1/3 . Hallar su ecuación particular.

7) Una recta pasa por el punto A( 0, 0) y tiene una pendiente m = - 2/3 . Hallar su ecuación en forma general.

8) Una recta pasa por el punto A( 1, - 11) y tiene una pendiente m = 3/7 . Hallar su ecuación en forma gene-ral.

9) Una recta pasa por el punto A( - 3, - 1) y tiene una pendiente m = - 9/5 . Hallar su ecuación en cualquierade sus dos formas.

10) Los vértices de un triángulo son: A(1, 1) ; B(- 4, 5) y C(- 3, 0) . Hallar la ecuación de cada uno de sus la-dos.

11) Los vértices de un triángulo son: A(11, 8) ; B( 0, 4) y C( 1, - 3) . Hallar la ecuación de cada uno de suslados.

12) Los vértices de un triángulo son: A(1, 1) ; B(- 4, 5) y. Hallar la ecuación de la mediatriz al lado AB.C(-3, 0)

13) Los vértices de un triángulo son: A(11, 8) ; B( 0, 4) y. Hallar la ecuación de la mediatriz al lado BC.C(1, - 3)

14) Los vértices de un triángulo son: A(1, 1) ; B(- 4, 5) y. Hallar la ecuación de la mediana al lado AB.C(-3, 0)

15) Los vértices de un triángulo son: A(11, 8) ; B( 0, 4) y. Hallar la ecuación de la mediana al lado BC.C(1, -3)

16) Los vértices de un triángulo son: A(1, 1) ; B(- 4, 5) y. Hallar la ecuación de la altura al lado AB.C(-3, 0)

17) Los vértices de un triángulo son: A(11, 8) ; B( 0, 4) y. Hallar la ecuación de la altura al lado BC.C(1, -3)

18) Las ecuaciones de los lados del triángulo de la figura 3.24son: ; y . Hallar las coordenadas del vértice C.5 16 0x y+ − = 3 8 0x y+ + = 2 2 0x y− + =

19) Hallar la ecuación de la mediana al lado AC del triángulo de la figura 3.24.

2x -

y +

2 =

0 5x + y - 16 = 0

x + 3y + 8 = 0

A

B

C

figura 3.24

LA RECTAPágina 54

20) Hallar la ecuación de la mediana al lado AB del triángulo de la figura 3.24.

21) Hallar la ecuación de la mediatriz al lado BC del triángulo de la figura 3.24.

22) Hallar la ecuación de la mediatriz al lado AB del triángulo de la figura 3.24.

23) Hallar la ecuación de la altura al lado AB del triángulo de la figura 3.24.

24) Hallar la ecuación de la altura al lado AC del triángulo de la figura 3.24.

25) Hallar las coordenadas del circuncentro del triángulo de la figura 3.24. Es suficiente con hallar la ecua-ción de dos mediatrices y luego su intersección.

26) Hallar las coordenadas del baricentro del triángulo de la figura 3.24. Es suficiente con hallar la ecuaciónde dos medianas y luego su intersección.

27) Hallar la distancia entre las rectas paralelas y .3 7 5 0x y− + = 3 7 31 0x y− − =

28) Hallar la distancia entre las rectas paralelas y .5 9 1 0x y− + = 5 9 57 0x y− − =

3.11 CASOS ESPECIALES

1) La gráfica de la ecuación , en donde c es cualquier constante (cualquier número),cy =es una recta horizontal. Por ejemplo, la gráfica de y = 3 es la de la figura 3.25.

3y =2) La gráfica de la ecuación , en donde c es cualquier constante (cualquier número),cx =

es una recta vertical. Por ejemplo, la gráfica de es la de la figura 3.26.3x =

y = 3

12

456

3

figura 3.25

x = 3

1 2 4 5 63

figura 3.26


4.1 INTRODUCCIÓN

Aunque no requiere ser presentada por conocida que es, la circunferencia es el lugar geomé-trico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado centro.

A partir de este momento, las cónicas que restan por analizar tienen por lo menos "un cua-drado". Para todas ellas existe, como un primer paso, el mismo procedimiento para transfor-mar su ecuación de la forma general a la forma particular, el cual consiste en dividir toda laecuación general entre el número, o números, que dejen con coeficiente 1 a todas las variables"al cuadrado".

En el caso de la circunferencia, su ecuación en forma general es

2 2A B D E F 0x y x y+ + + + =

pero como se mencionó en las páginas 17 y 18 al hablar del análisis de la ecuación general,para que sea circunferencia se requiere que "los cuadrados sean iguales", es decir, que .A B=Por lo tanto, cuando se trata de una circunferencia, su ecuación general puede escribirse como

2 2A A D E F 0x y x y+ + + + =

Si se le aplica el primer paso general señalado en el primer párrafo de este nuevo tema, estaecuación queda dividida entre A , de la siguiente forma:

2 2A A D E F 0A A A A A

x y x y+ + + + =

que simplificada resulta

4 LACIRCUNFERENCIA

LA CIRCUNFERENCIAPágina 56

La ecuación general de la circunferencia es

x 2 + y

2 + Dx + Ey + F = 0 (3.1)

La ecuación particular de la circunferencia es

(x - h) 2 + (y - k)

2 = r 2 (3.2)

En donde:

(h , k ) indican las coordenadas del centro;r indica el valor del radio.

2 2 D E F 0A A A

x y x y+ + + + =

Al final de cuentas, los coeficientes , , y son números también, por lo que,DA

EA

FA

para simplificar la escritura, se renombran de la siguiente manera:

se renombra como D ;DA

se renombra como E ; EA

se renombra como F ;FA

por lo que la ecuación en forma general de la circunferencia se acostumbra escribir de la si-guiente manera:

Recordando lo que ya se dijo, la ecuación general proporciona una información bastantelimitada acerca de las características de la figura; en cambio, con la ecuación particular se ob-tienen los datos necesarios para identificar plenamente a la cónica respectiva. En el caso de lacircunferencia, sus características principales son la ubicación del centro y la medida del ra-dio. La ecuación en forma particular proporciona esa información.


En esta ecuación, h indica el valor de la abs-cisa del centro, es decir, el valor en x del des-plazamiento del centro, mientras que k indicael valor de la ordenada del centro, es decir, elvalor en y del desplazamiento del centro. Verfigura 4.1.

Debe tenerse mucho cuidado en que los va-lores de las coordenadas del desplazamientodel centro, ya que cambian de signo al momen-to de reemplazarse en la ecuación particulardebido al signo negativo que tiene su ecuaciónparticular.

Por ejemplo, si una circunferencia tiene ra-dio y su centro en , le corres-4r = ( )C 2 3, −

ponden en este caso los valores de y de2h =; sin embargo, en la ecuación particu-3k = −

lar, por el signo menos que ésta tiene, los hace cambiar de signos, quedando

( ) ( )2 22 3 16x y− + + =


Debe quedar claro que tanto la ecuación general como la particular son realmente la mismaecuación, solamente que escritas de diferente manera, por lo que es posible hacer transforma-ciones de una forma a la otra.

Para transformar la ecuación de una circunferencia de su forma general a la particular esconveniente practicar antes un proceso algebraico consistente en que teniendo el polinomiocuadrático , en donde D y G son números cualesquiera, pasarlo a la forma2 D Gx x+ +

, en donde también m y k son números cualesquiera. A éste último se le llama-( )2x m k+ +rá binomio al cuadrado más un residuo, en el que m es el segundo término del binomio y k esel residuo.

Para comprender el proceso perfectamente conviene analizar primero el procedimiento in-verso, es decir, pasar de un binomio al cuadrado más un residuo a un polinomio cuadrático.

Por ejemplo, si se tiene el polinomio para convertirlo en un polinomio cuadráti-( )27 3x + +co es suficiente elevar al cuadrado el binomio y luego sumar términos semejantes. Recordarque un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble productodel primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

k

h

x

y

(h, k)

figura 4.1


De manera que

( )2 2

cuadrado doble cuadradodel primero producto del segundo

del primeropor el segundo

7 3 14 49 3x x x+ + = + + +

y sumando se llega a que49 3+

( )2 27 3 14 52x x x+ + = + +

El proceso inverso consiste en que dado el trinomio cuadrático , transfor-2 14 52x x+ +

marlo en el binomio al cuadrado más su residuo . Analizando el procedimiento( )27 3x + +hecho renglones arriba, se deduce que:

a) es el cuadrado del primer término del binomio buscado. Por lo tanto, dicho2xprimer término es su raíz cuadrada, es decir .x

b) es el doble producto del primer término por el segundo, del binomio buscado.14xPor lo tanto, si se divide entre 2 se le quita “lo doble” y así se obtiene el segun-14do término del binomio. En este ejemplo, es 7 dicho segundo término del binomiobuscado.

Hasta este momento se podría escribir que

( )22 14 52 7x x x+ + = +

lo cual no es cierto porque lo escrito del lado izquierdo no es igual a lo escrito del lado dere-cho, debido a que el proceso no está completo todavía. Hace falta verificar que lo que está es-crito del lado izquierdo realmente sea igual a lo que está escrito del lado derecho:

( )22

lado izquierdo lado derecho

?14 52 7x x x+ + = +

En el lado derecho existe un término de más y otro de menos respecto de lo que está escritoen el lado izquierdo para que ambos lados realmente sean iguales. Si se desarrolla mentalmen-te el binomio al cuadrado que está indicado en el lado derecho, lo que se tiene allí es:


a) : que es el cuadrado del primer término del binomio. Esto está también en el2xlado izquierdo.

b) : que es el doble producto del primer término por el segundo del binomio. Ob-14xsérvese que también está en el lado izquierdo.

c) : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este no49+ 49+aparece en el lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debequitarse restándolo.

Ahora bien, el que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto,52para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese que52le falta y quitarse el que le sobra, de la siguiente manera:49

( )22 14 52 7 49 52x x x+ + = + − +

Finalmente, sumando se llega a que49 52− +

( )22 14 52 7 3x x x+ + = + +

Ejemplo 1: Transformar a un binomio al cuadrado más un residuo el siguiente trinomio cuadrático:2 8 9x x− −

Solución: Se sabe que del trinomio cuadrático , es el cuadrado del primer término2 8 9x x− − 2xdel binomio buscado y es el doble producto del primer término por el segundo del8x−mismo binomio. Por lo tanto, el primer término de ese binomio buscado es mientrasxque el segundo término es (se obtiene de dividir ). Provisionalmente se co-4− 8 2− ÷mienza escribiendo que

( )22?

8 9 4x x x− − = −

en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito dellado derecho. Desarrollando mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se veque allí hay lo siguiente:

a) : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo.2x

b) : que es el doble producto del primer término del binomio por el segundo. Obsérvese8x−que también está en el lado izquierdo.


c) : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este no aparece en16+ 16+el lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo.

Ahora bien, el que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto,9−para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese 9−que le falta y quitarse el 16 que le sobra, de la siguiente manera:

( )22 8 9 4 16 9x x x− − = − − −

( )22 8 9 4 25x x x− − = − −

Ejemplo 2: Transformar a un binomio al cuadrado más un residuo el siguiente trinomio cuadrático:.2 5 1x x+ −

Solución: Se sabe que del trinomio cuadrático , es el cuadrado del primer término del2 5 1x x+ − 2xbinomio buscado y es el doble producto del primer término por el segundo del mismo5xbinomio. Por lo tanto, el primer término de ese binomio buscado es mientras que el se-x

gundo término es (se obtiene de dividir ). Provisionalmente se comienza escri-52

5 2÷

biendo que

22

? 55 12

x x x + − = +

en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito dellado derecho. Desarrollando mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se veque allí hay lo siguiente:

a) : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo.2x

b) : que es el doble producto del primer término del binomio por el segundo. Obsérvese5x+que también está en el lado izquierdo.

c) : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este no aparece254

+ 254

+

en el lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo.

Ahora bien, el que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto,1−para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese 1−


que le falta y quitarse el que le sobra, de la siguiente manera:254

22 5 255 1 1

2 4x x x + − = + − −

2

2 5 25 45 12 4

x x x − − + − = + +

22 5 295 1

2 4x x x + − = + −

EJERCICIO ADICIONAL

Convertir a un binomio al cuadrado más un residuo los siguientes trinomios cuadráticos:

1) 2)2 12 3x x+ + 2 10 7x x+ −3) 4)2 2 21x x− − 2 14 11x x− +5) 6)2 22 8x x+ + 2 16 32x x− −7) 8)2 11x x+ + 2 3 13x x− +9) 10)2 9x x− 2 7x x+


1) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la forma generala la forma particular:

* Se divide toda la ecuación entre el coeficiente de x2.

* Con los términos x2 + Dx se obtiene un binomio al cuadrado más su resi-duo.

* Con los términos y2 + Ey se obtiene un binomio al cuadrado más su resi-duo.

* Se escriben en el lado derecho todas las constantes y se suman.

Nota: No olvidar que inicialmente la ecuación original estaba igualada a cero.

2) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la forma particu-lar a la forma general:

* Se desarrollan los dos binomios: (x - h)2 y (y - k)2 .

* Se escriben todos los términos en el lado izquierdo para que quede igua-lado a cero.

* Se suman los términos semejantes, si resultan algunos y se ordenan.

4.3 REGLAS PARA LAS TRANSFORMACIONES

Ejemplo 1: Transformar a la forma particular la ecuación 2 2 6 4 12 0x y x y+ − + − =

Solución: Se juntan, en primer lugar, los términos con las mismas variables, es decir, por un lado losque contienen a la variable x y por otro a los que contienen a la y. Esto pueden hacersementalmente o en caso necesario escribirlo de la forma

2 26 4 12 0x x y y− + + − =

Con los términos en , es decir, con se obtiene un binomio al cuadrado más sux 2 6x x−


residuo; luego, con los términos en , es decir, con se obtiene también un bino-y 2 4y y+mio al cuadrado más su residuo:

( ) ( )2 22 26 4 12 3 9 2 4 12x x y y x y− + + − = − − + + − −

Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, signi-fica que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que

( ) ( )2 23 9 2 4 12 0x y− − + + − − =

Al sumar las constantes se9 4 12 25− − − = −reduce a

( ) ( )2 23 2 25 0x y− + + − =

Y finalmente escribiendo esa constante en el ladoderecho, la ecuación particular buscada es

( ) ( )2 23 2 25x y− + + =

Se trata de una circunferencia que tiene por centro y cuyo radio es . Su gráfica( )C 3 2, − 5r =

está mostrada en la figura 4.2.

Ejemplo 2: Transformar a la forma particular la ecuación .2 2 2 35 0x y x+ + − =

Solución: Obsérvese, conforme se estudió en el análisis de la ecuación general de las cónicas, que setrata de una circunferencia por tener los dos términos cuadráticos; que está desplazado elcentro sobre el eje por existir término lineal en ; y que no está desplazado el centrox xsobre el eje por no existir término lineal en .y y

Se juntan, en primer lugar, los términos con las mismas variables, es decir, por un lado los

1 3 5

-2

-4

-6

-8

C

7

figura 4.2


que contienen a la variable x y por otro a los que contienen a la y. Esto pueden hacersementalmente o en caso necesario escribirlo de la forma

2 22 35 0x x y+ + − =

Con los términos en , es decir, con se obtiene un binomio al cuadrado más sux 2 2x x+residuo; luego, con los términos en , en este caso solamente con se obtiene tambiény 2yun binomio al cuadrado más su residuo:

( ) ( )2 22 22 35 1 1 0 35x x y x y+ + − = + − + + −

Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, sig-nifica que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que

( ) ( )2 21 1 0 35 0x y+ − + + − =

Al sumar las constantes se reduce a1 35 36− − = −

( ) ( )2 21 0 36 0x y+ + + − =

Y finalmente escribiendo esa constante enel lado derecho, la ecuación particular bus-cada es

( ) ( )2 21 0 36x y+ + + =

que también puede escribirse, si se desea,como

( )2 21 36x y+ + =figura 4.3


Se trata de una circunferencia cuyo centro tiene por coordenadas y que tiene( )C 1 0,−

por radio . Su gráfica corresponde a la figura 4.3.6r =

Ejemplo 5: Transformar a la forma general la ecuación .( ) ( )2 21 2 16x y− + − =

Solución: Se trata de la circunferencia cuyo centro tienepor coordenadas y radio ,( )C 1 2, 4r =mostrada en la figura 4.4.

Elevando al cuadrado ambos binomios, seobtiene:

2 22 1 4 4 16x x y y− + + − + =

igualando a cero:

2 22 1 4 4 16 0x x y y− + + − + − =

sumando los términos semejantes y ordenando conforme a la1 4 16 11+ − =

ecuación general de las cónicas, se reduce a:

2 2 2 4 11 0x y x y+ − − + =

Ejemplo 6: Encontrar las coordenadas del centro y el valor del radio de la circunferencia cuya ecuaciónes .2 22 2 20 192 0x y x+ − − =

Solución: En este caso se tiene que ; ; ; ; . El análisis de laA 2= B 2= D 20= − E 0= F 192= −ecuación general lleva a que se trata de una circunferencia por ser ; que está despla-A B=zado el centro sobre el eje por existir término lineal en ; y que no está desplazado elx xcentro sobre el eje por no existir término lineal en .y y

Lo primero que debe hacerse en toda cónica que tenga términos al cuadrado, es "quitarles elnumerito a los cuadrados", o sea dividir toda la ecuación entre los coeficientes de y de2x

. En este caso, dividir entre a toda la ecuación. Haciéndolo se obtiene:2y 2

2 2 10 96 0x y x+ − − =

1

2

figura 4.4


Después debe pasarse la ecuación a la forma particular:

( ) ( )2 22 210 96 5 25 0 96x x y x y− + − = − − + + −

Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, signi-fica que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que

( ) ( )2 25 25 0 96 0x y− − + + − =

Al sumar las constantes 25 96 121− − = −se reduce a

( ) ( )2 25 0 121 0x y− + + − =

Y finalmente escribiendo esa constante en ellado derecho, la ecuación particular buscadaes

( ) ( )2 25 0 121x y− + + =

que también puede escribirse, si se desea,como

( )2 25 121x y− + =

de donde se deduce que y ,por lo que las coordenadas del centro son 5h = 0k = ( )C 5 0,

y el radio es (figura 4.5). Como , el centro no está desplazado sobre el eje 11r = 0k = ytal como se había previsto al analizar la ecuación general.

figura 4.5


EJERCICIO 6

Transformar a la forma particular las siguientes ecuaciones y deducir las coordenadas del centro y el radio de cadacircunferencia:

1) 2 2 2 4 1 0x y x y+ + + + =

2) 2 2 2 10 17 0x y x y+ + + + =

3) 2 2 4 4 1 0x y x y+ − − − =

4) 2 2 2 2 1 0x y x y+ − + + =

5) 2 2 10 6 2 0x y x y+ − − − =

6) 2 2 6 4 36 0x y x y+ − + − =

7) 2 24 4 56 8 196 0x y x y+ − + + =

8) 2 23 3 60 30 300 0x y x y+ + − + =

9) 2 2 16 48 0x y y+ − − =

10) 2 2 18 65 0x y x+ + + =

Transformar a la forma general las siguientes ecuaciones de circunferencias:

11) (x + 1)2 + (y + 9)2 = 912) (x + 7)2 + (y - 2)2 = 4913) (x - 3)2 + (y + 12)2 = 16914) (x + 10)2 + (y + 9)2 = 8115) (x + 11)2 + (y - 1)2 = 2516) (x + 13)2 + (y - 8)2 = 417) (x - 4)2 + (y + 3)2 = 118) (x - 2)2 + (y - 9)2 = 3619) x2 + (y - 5)2 = 1620) (x + 6)2 + y2 = 400

Hallar los valores de las constantes D , E y F de las circunferencias que se describen:

21) las coordenadas del centro son C(2, 0) y su radio es r = 3 .22) las coordenadas del centro son C(5, - 1) y su radio es r = 2 .23) las coordenadas del centro son C(- 6, 10) y su radio es r = 7 .24) las coordenadas del centro son C(0, - 7) y su radio es r = 12 .25) las coordenadas del centro son C(3, - 4) y su radio es r = 4 .26) las coordenadas del centro son C(- 8, - 3) y su radio es r = 9 .27) las coordenadas del centro son C(- 9, 1) y su radio es r = 14 .28) las coordenadas del centro son C(0, 0) y su radio es r = 8 .29) las coordenadas del centro son C(11, 4) y su radio es r = 13 .30) las coordenadas del centro son C(7, 7) y su radio es r = 7 .


4.4 CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS CONOCIDOS

Para que una circunferencia quede bien definida deben cono-cerse mínimo tres puntos por los que pasa. Con dos puntosnada más no queda bien definida, pues por allí pueden pasarun sinnúmero de circunferencias. La figura 4.6 muestra trescircunferencias que pasan por los puntos P y Q.

Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos por losque pasa una circunferencia, para hallar su ecuación existentres opciones:

Primera opción: se sustituyen los valores de x y de y decada punto en la ecuación general de la circunferencia,con lo que se obtienen tres ecuaciones con las tres in-cógnitas D, E y F, sistema que se resuelve por cualquie-ra de los métodos conocidos. Una vez encontrados losvalores de esas constantes D , E y F , se reemplazan enla ecuación general.

Segunda opción: se sustituyen los valores de x y de y de cada punto en la ecuación par-ticular de la circunferencia, con lo que se obtienen tres ecuaciones con las tres incógnitash, k y r , sistema que se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos. Una vezencontrados los valores de esas constantes h , k y r, se reemplazan en la ecuación parti-cular.

Tercera opción: Se trazan dos cuerdas uniendo los puntos conocidos; luego se calculanlas ecuaciones de sus mediatrices y se obtienen las coordenadas del punto de intersec-ción de dichas mediatrices. Como éstas pasan por el centro (ver propiedad 2 de la cir-cunferencia, página 9), ese punto es el centro de la circunferencia. Finalmente se calculadistancia entre el centro y cualquiera de los puntos conocidos, obteniéndose así el radio.

En general, cualquier razonamiento, mientras no sea falso, es válido. Simplemente hay quetener presente la regla del Álgebra que dice que se deben tener igual número de ecuaciones co-mo de incógnitas, para poder resolver el sistema . O sea que si se tienen dos incógnitas, debentenerse dos ecuaciones; si se tienen tres incógnitas, deben tenerse tres ecuaciones. De otra for-ma no se puede solucionar el sistema.

Ejemplo 1: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 8) ; Q(5, 1) y R(- 2, 0) . Hallar su ecuación em-pleando la primera opción.

NOTA: La C no se emplea para nombrar a algún punto, ya que esta letra se reserva mejor para de-nominar así al centro.

Solución: La ecuación general de la circunferencia es

Q

P

figura 4.6


(A)2 2 D E F 0x y x y+ + + + =

Para el punto P se tiene que x = 4 y y = 8 . Sustituyendo esos valores en la ecuación (A)se obtiene la primera ecuación con tres incógnitas:

( ) ( ) ( ) ( )2 24 8 4 8 0D E F+ + + + =

Haciendo las operaciones indicadas y ordenando se obtiene que

16 64 4 8 0D E F+ + + + =(1)4 8 80D E F+ + = −

Para el punto Q se tiene que x = 5 y y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) seobtiene la segunda ecuación con tres incógnitas:

( ) ( ) ( ) ( )2 25 1 5 1 0D E F+ + + + =Efectuando las operaciones indicadas y ordenando se llega a

25 1 5 0D E F+ + + + =(2)5 26D E F+ + = −

Para el punto R se tiene que x = - 2 y y = 0. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A)se obtiene la tercera ecuación con tres incógnitas:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 0 2 0 0D E F− + + − + + =Realizando las operaciones indicadas y ordenando se obtiene

4 0 2 0 0D E F+ − + + =(3)2 4D F− + = −

Juntando y resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que resultó:

( )( )( )

4 8 80 1

5 26 2

2 4 3

D E F

D E F

D F

+ + = −

+ + = −

− + = −

Este sistema se puede resolver directamente con la calculadora, o bien cambiándole de signoa toda la primera ecuación y luego sumándola con la ecuación (2) y con la (3), para eliminarla variable F , se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:


( )

4 8 805 26

47 54

D E FD E FD E

− − − =+ + = −− =

( )

4 8 802 4

56 8 76

D E FD FD E

− − − =− + = −− − =

Debe ahora resolverse este nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (4) y (5), yasea por el método de suma y resta, por igualación, por sustitución o por determinantes, aun-que se aconseja que se haga mejor con la calculadora:

( )( )

7 54 4

6 8 76 5

D E

D E

− =

− − =

Con la calculadora se obtiene que

288

DEF

= −= −= −

Teniendo ya los valores de las tres variables D, E y F , se reemplazan en la ecuación gene-ral de la circunferencia (A) , para obtener finalmente la ecuación de la circunferencia pedi-da:

2 2 2 8 8 0x y x y+ − − − =

Ejemplo 2: Una circunferencia pasa por los puntos P(2, 4) ; Q(1, - 3) y R(- 7, 1). Hallar su ecuaciónempleando la segunda opción.

Solución: La ecuación particular de la circunferencia es

(B)( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

Para el punto P se tiene que x = 2 y y = 4. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) seobtiene la primera ecuación con tres incógnitas:


(6)( ) ( )2 2 22 4h k r− + − =

Para el punto Q se tiene que x = 1 y y = - 3. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) seobtiene la segunda ecuación con tres incógnitas:

(7)( ) ( )2 2 21 3h k r− + − − =

Para el punto R se tiene que x = - 7 y y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) seobtiene la tercera ecuación con tres incógnitas:

(8)( ) ( )2 2 27 1h k r− − + − =

Juntando las tres ecuaciones y resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitasque resultó:

(6)( ) ( )2 2 22 4h k r− + − =

(7)( ) ( )2 2 21 3h k r− + − − =

(8)( ) ( )2 2 27 1h k r− − + − =

Como todas están igualadas a r 2 , significa que todos los lados izquierdos son iguales entre

sí. De manera que igualando la ecuación (6) con la (7) y luego la (6) con la (8), se reduce elsistema a dos ecuaciones con dos incógnitas.

Igualando entonces la ecuación (6) con la (7) :

(2 - h)2 + (4 - k)2 = (1 - h)2 + (- 3 - k)2

desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los términos en el lado izquierdoy eliminando términos semejantes, se obtiene que:

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 1 - 2h + h2 + 9 + 6k + k2

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 - 1 + 2h - h2 - 9 - 6k - k2 = 0

- 2h - 14k + 10 = 0 (9)

Igualando ahora la ecuación (6) con la (8) :

(2 - h)2 + (4 - k)2 = (- 7 - h)2 + (1 - k)2

desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los términos en el lado izquierdoy eliminando términos semejantes:

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 49 + 14h + h2 + 1 - 2k + k2

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 - 49 - 14h - h2 - 1 + 2k - k2 = 0


- 18h - 6k - 30 = 0 (10)

Juntando la ecuación (9) y la (10) se tiene ahora el siguiente nuevo sistema de dos ecuacio-nes con dos incógnitas:

- 2h - 14k + 10 = 0 (9)- 18h - 6k - 30 = 0 (10)

Resolviendo el sistema con la calculadora se llega a que

2h = −

1k =

sustituyendo estos valores en la ecuación (6) :

( ) ( )2 2 22 2 4 1 r− − + − =

( )2 2 22 2 3 r+ + = 16 + 9 = r

2

5r =

Teniendo ya los valores de las tres variables h , k y r , se reemplazan en la ecuación particu-lar (3.2) de la circunferencia (página 56), para obtener finalmente la ecuación de la circunfe-rencia pedida:

( ) ( )2 22 1 25x y+ + − =

Ejemplo 3: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 7) ; Q(6, - 7) y R(- 10, 5) . Hallar su ecuaciónempleando la tercera opción.

Solución: Se trazan las cuerdas RP y PQ uniendo los puntos conocidos (paso 1, figura 4.7). Sobre es-tas cuerdas se trazan las mediatrices (paso 2, figura 4.7) y su intersección es el centro de lacircunferencia buscada. finalmente, la distancia del centro a cualquiera de los puntos dadoses el radio de la circunferencia (paso 3, figura 4.7).


El procedimiento analítico es:

a) Calcular la pendiente de la cuerda RP:

1 2

1 2

y ym

x x−

=−

( )7 5

4 10RPm −=− −

2 114 7RPm = =

b) Obtener la pendiente de la mediatriz a RP. Por el resultado anterior, significa que la pen-diente de la mediatriz a RP, por la condición de perpendicularidad, es - 7 .

c) Calcular las coordenadas del punto medio s de la cuerda RP :

;1 2

2mx x

x+

= 1 2

2my y

y+

=

;4 10

2mx −= 7 52my +=

;6 3

2mx −= = − 12 62my = =

Paso 3: La distancia del punto de intersección de las mediatr ices con cualquiera de los puntos dados es el radio. .

Paso 1: Se trazan dos cuerdas uniendo los puntosd a d o s . .

Paso : 2 Se trazan lasmediatrices a las cuerdasanteriores: El punto deintersección entre ellas esel centro de la circun-ferencia.

cuerdaR

P

Q

cuerda

RP

Q

mediatrizcentro

s

n

radio

RP

Q

s

n

figura 4.7


Las coordenadas de ese punto medio son: s(- 3, 6).

d) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a RP y su pendiente, suecuación (de la mediatriz) es, utilizando la fórmula de punto y pendiente de la página41:

( )1 1y y m x x− = −

que en este caso se tienen los valores:

1 3x = −

1 6y =7m = −

sustituyendo valores:

( )6 7 3y x− = − − −

( )6 7 3y x− = − +

6 7 21y x− = − −7 21 6y x= − − +7 15y x= − −

(11)7 15 0x y+ + =

e) Se repiten todos los pasos anteriores ahora con la cuerda PQ. La pendiente de la cuerdaPQ es:

1 2

1 2

y ym

x x−

=−

( )7 74 6PQm− −

=−

14 72PQm = = −

−

f) Obtener la pendiente de la mediatriz a PQ. Por el resultado anterior, significa que la

pendiente de la mediatriz a PQ, por la condición de perpendicularidad, es .17

g) Calcular las coordenadas del punto medio n de la cuerda PQ :


;1 2

2mx x

x+

= 1 2

2my y

y+

=

;4 6

2mx += 7 72my −=

;10 52mx = = 0 0

2my = =

Las coordenadas de ese punto medio son: n(5, 0).

h) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a PQ y su pendiente, suecuación (de la mediatriz) es, utilizando la fórmula de punto y pendiente de la página41:

( )1 1y y m x x− = −

que en este caso se tienen los valores:

1

1

5coordenadas del punto medio .

0xy

= =

n

17

m =

sustituyendo valores:

( )10 57

y x− = −

7 5y x= −(12)7 5 0x y− − =

i) Obtener el punto de intersección de las dos mediatrices. Recordar que dicho punto seobtiene resolviendo por simultáneas las ecuaciones que se intersecan. En este caso elsistema de ecuaciones que debe resolverse es la (11) y (12), o sea

7 15 07 5 0

x yx y

+ + =− − =

Con la calculadora se llega a que

2x = −1y = −


de manera que las coordenadas del punto donde se cortan estas dos mediatrices son, que son las coordenadas del centro de la circunferencia.( )C 2 1,− −

j) Calcular el valor del radio, que es la distancia entre el centro y cualquiera de los puntosconocidos, por ejemplo P, utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos de la pági-na 23:

( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −

( ) ( )2 24 2 7 1r = − − + − −

( ) ( )2 24 2 7 1r = + + +

2 26 8r = +

36 64r = +

100 10r = =

k) Teniendo las coordenadas del centro y el valor del radio, se sustituyen en la ecuaciónparticular de la circunferencia, para llegar a:

( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

( ) ( )2 22 1 100x y+ + + =

Ejemplo 4: Las coordenadas de un rombo son P(- 5, 2); Q(3, 8), R(11, 2) y S(3, - 4). Hallar la ecuaciónde la circunferencia inscrita a dicho rombo.

Solución: La figura 4.8 muestra gráficamente lo que pideel enunciado de este problema. Para que la cir-cunferencia sea inscrita al rombo debe tocar enun solo punto a cada uno de sus lados, es decir,cada lado del rombo es tangente a la circunfe-rencia.

Por lo tanto, la clave para solucionar este proble-ma será recordar la propiedad 1 de la circunfe-rencia vista en la página 9: Toda tangente a unacircunferencia es perpendicular al radio trazadodesde el punto de tangencia.

P

Q

R

S

C

F

figura 4.8


En la figura 4.8, el punto C representa el centro de la circunferencia (que lo es también delrombo) y el punto F representa el punto de tangencia entre la circunferencia y el lado RS,por lo que el radio CF y el lado RS son perpendiculares.

En este caso, las coordenadas del centro C se pueden deducir a simple vista, lo cual es válidoya que se tiene la seguridad de que los puntos P y R están a la misma altura horizontal mien-tras que los puntos Q y S están alineados verticalmente. Por lo tanto, las coordenadas delcentro son . De tal manera que para encontrar la ecuación de la circunferencia ya( )C 3 2,solamente hace falta saber la medida del radio y para poder calcular la medida del radio hacefalta conocer las coordenadas del punto de tangencia F. Todo el proceso siguiente estará en-caminado a obtener dicha medida.

Cuando un problema como el actual requiere de más de dos cálculos previos para llegar alresultado pedido, es común que al estudiante novato se le dificulte encontrar la secuenciaque debe seguir. Entonces el manejo de un cuadro de procedimiento resulta una herramientamuy eficaz.

Para elaborar y manejar un cuadro de procedimiento se forma una tabla con cuatro columnasencabezadas con los títulos: CALCULAR, DATOS, FÓRMULA y RESULTADO. En elprimer renglón de la tabla y en la columna correspondiente a CALCULAR se anota lo que sepide en el problema; en la columna DATOS se ponen los datos requeridos para el cálculoanterior; en la columna FÓRMULA se escribe la fórmula que debe emplearse y finalmenteen la columna RESULTADO se anota el resultado obtenido.

Para el problema de este ejemplo, el cuadro de procedimiento iniciaría así:

CALCULAR DATOS FÓRMULA RESULTADO

ecuación de lacircunferencia.

coordenadas delcentro (h, k) ylongitud r del

radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

A continuación, se analiza en la columna de DATOS cuáles ya se conocen y cuáles no. Esobvio que si ya se conocen todos, ya se puede utilizar la fórmula y ya se está en condicionesde llegar al resultado buscado. Pero si se desconoce alguno de los datos, significa que debecalcularse. Entonces se agrega un segundo renglón a la tabla en donde se anota en la colum-na CALCULAR ese dato desconocido en el renglón anterior y se llenan las demás columnascon lo que le corresponde.

Para el ejemplo presente, ya se conocen las coordenadas del centro que son , es de-( )C 3 2,

cir que y , mientras que se desconoce la magnitud del radio. Se analiza qué se3h = 2k =requiere para poder calcular tal magnitud y se llega a que conociendo las coordenadas delcentro de la circunferencia (ya se conocen) y las coordenadas del punto de tangencia, con lafórmula de distancia entre dos puntos se obtiene el valor del radio. Agregándolo a la tabla,queda de la siguiente manera:




coordenadasdel centro (h, k)y longitud r del

radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

radio

coordenadasdel centro (h, k)y coordenadasdel punto detangencia F.

( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −

Se repite el procedimiento: Al analizar la columna DATOS se ve que se desconocen lascoordenadas del punto de tangencia F, lo que indica que deben calcularse. Éstas se obtie-nen resolviendo por ecuaciones simultáneas la ecuación del radio CF con la ecuación dellado RS. Lo anterior se agrega en una nueva fila de la tabla:




radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

radio


( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −

coordenadasdel punto detangencia F.

ecuación de RSy ecuación de

CF.Por ecuaciones simultáneas.

Repitiendo el procedimiento, analizando la columna DATOS se ve que se desconocen lasdos ecuaciones allí anotadas. Entonces deben agregarse una fila más para cada una:

(La tabla se inserta en la página siguiente para que no aparezca cortada)





radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

radio


( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −




ecuación deCF.

coordenadas deun punto por elque pasa y supendiente mr.

( )1 1y y m x x− = −

pendiente deCF.

pendiente deRS. 1

2

1mm

= −

ecuación deRS.

coordenadas dedos puntos por

los que pasa(ya se cono-

cen).

( )1 21 1

1 2

y yy y x x

x x−

− = −−

La ecuación de RS ya se puede calcular porque se tienen todos los datos. Esto quiere decirque el cuadro de procedimiento está concluido y que debe procederse a realizar los cálculosde abajo hacia arriba de la tabla. Comenzando con la ecuación de RS:

; o sea que ( )R 11 2, 1 111 2x ; y= =

; o sea que ( )S 3 4, − 2 23 4x ; y= = −

( )1 21 1

1 2

y yy y x x

x x−

− = −−

( ) ( )2 42 11

11 3y x

− −− = −

−

( )62 118

y x− = −


Nótese que la pendiente de RS es ( )32 114

y x− = − 34RSm =

( ) ( )4 2 3 11y x− = −

4 8 3 33y x− = −

ecuación de RS.3 4 25x y− =

A partir de la pendiente de RS que resultó , por la regla de perpendicularidad en-34RSm =

tre dos rectas, se deduce que la pendiente del radio CF es . Conociendo ya las43CFm = −

coordenadas de un punto por el que pasa el radio CF y su pendiente, se calcula su ecuación(ver tabla, renglón 4):

; o sea que ( )C 3 2, 1 13 ; 2x y= =

43CFm = −

( )1 1y y m x x− = −

( )42 33

y x− = − −

( ) ( )3 2 4 3y x− = − −

3 6 4 12y x− = − +

ecuación de CF.4 3 18x y+ =

Con este resultado se puede ya calcular lo establecido en el renglón 3 de la tabla, esto es,resolver por simultáneas las ecuaciones de RS y de CF, o sea el sistema

3 4 254 3 18

x yx y

− =+ =

que haciéndolo con la calculadora se llega a que

5 88x .=1 84y .= −

La tabla del cuadro de procedimiento en este momento debe estar llena así:





radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

radio


( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −




5 881 84

x .y .

== −

ecuación deCF.


( )1 1y y m x x− = − 4 3 18x y+ =

pendiente deCF.

pendiente deRS. 1

2

1mm

= − 43CFm = −

ecuación deRS.



cen).

( )1 21 1

1 2

y yy y x x

x x−

− = −−

3 4 25x y− =

Con esto se puede pasar al renglón 2 a calcular la longitud del radio con la fórmula de dis-tancia entre dos puntos, ya que se tiene que

, o sea que ( )C 3 2, 1 13 ; 2x y= =

, o sea que ( )F 5 88 ; 1 84. .− 2 25 88 ; 1 84x . y .= = −

( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −

( ) ( ) 22CF 3 5 88 2 1 84. .= − + − −

( )2 2CF 2 88 3 84. .= − +

CF 8 2944 14 7456. .= +

CF 23 04.=


CF 4 8.=

La tabla del cuadro de procedimiento en este momento debe estar llena así:




radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

radio


( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + − CF = 4.8




5 881 84

x .y .

== −

ecuación deCF.


( )1 1y y m x x− = − 4 3 18x y+ =

pendiente deCF.

pendiente deRS. 1

2

1mm

= − 43CFm = −

ecuación deRS.



cen).

( )1 21 1

1 2

y yy y x x

x x−

− = −−

3 4 25x y− =

Finalmente se tiene toda la información para proceder a efectuar el primer renglón de la tabladel cuadro de procedimiento. Teniendo las coordenadas del centro de la circunferencia

y la magnitud del radio , con la ecuación particular de la circunferencia se( )C 3 2, 4 8r .=llega a que

( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

( ) ( )2 2 23 2 4 8x y .− + − =

( ) ( )2 23 2 23 04x y .− + − =


Este problema también se pudo haber resuelto calculando la longitud del radio por medio dela fórmula de distancia entre un punto y una recta.

Ejemplo 5: Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo radio es , que además pasa por el pun-8r =to y que tiene su centro sobre la recta (ver figura 4.9).( )P 7 1, − 5 11 42 0x y− + =

Solución: Sabiendo las coordenadas del centro y la longi-tud del radio, con la ecuación particular se ob-tiene la ecuación de cualquier circunferencia.En este caso ya se sabe la longitud del radio,pero no las coordenadas del centro. Por lo tan-to, todos los cálculos deben enfocarse a encon-trar tales coordenadas.

Las coordenadas del centro de la circunferen-cia se representan por h y por k . Son dos in-cógnitas a encontrar y por lo tanto deben plan-tearse dos ecuaciones simultáneas que tengancomo incógnitas precisamente a h y a k .

Primera ecuación: Como la recta pasa por elcentro de la circunferencia, significa que enese punto C la x de la recta es la misma quela x del centro de la circunferencia (que es h ); y de manera semejante, la y de la recta es lamisma que la y del centro de la circunferencia (que es k ). Por lo tanto, la ecuación de larecta se convierte en el centro C de la circunferencia en 5 11 42 0x y− + =

(1)5 11 42 0h k− + =

Segunda ecuación: La ecuación particular de la circunferencia, recordando que el radio es

, es . Como en el punto P que pertenece a la misma circun-8r = ( ) ( )2 2 64x h y k− + − =

ferencia, allí y , entonces la ecuación particular se convierte en7x = 1y = −

(2)( ) ( )2 27 1 64h k− + − − =

De manera que el sistema de ecuaciones que debe resolverse es [juntando la ecuación (1)con la ecuación (2)]:

(1)5 11 42 0h k− + =

(2)( ) ( )2 27 1 64h k− + − − =

Cuando se tienen sistemas de ecuaciones como éste, muchas veces el método más prácticoes el de sustitución, que consiste en despejar una de las incógnitas en una de las dos ecuacio-

P(7, - 1)

C

5x - 11y + 42 = 0

figura 4.9


nes (en la que se vea más fácil de hacerlo) y sustituirla en la otra. En este caso, es más fácildespejar la h de la ecuación (1). Haciéndolo resulta:

5 11 42 0h k− + =5 11 42 11 42 0 11 42h k k k− + + − = + −

5 11 42h k= −

5 11 425 5h k −=

11 425

kh −=

Este valor se sustituye en la ecuación (2), de lo que se obtiene:

( )2

211 427 1 645

k k− − + − − =

Sacando común denominador en el primer paréntesis:

( )2

235 11 42 1 645k k− + + − − =

( )2

277 11 1 645

k k− + − − =

Elevando al cuadrado ambos paréntesis:

225929 1694 121 1 2 64

25k k k k− + + + + =

Recordar que es falso que el “pase” al otro lado su-11k−

mando. Lo que realmente sehace para eliminarlo del ladoizquierdo es sumar en amboslados de la igualdad . Lo11k+mismo puede decirse del .42+

Ahora, para eliminar el 5 quemultiplica a la incógnita h de-ben dividirse ambos lados de laigualdad entre 5:


Multiplicando toda la igualdad por 25 para quitar el denominador:

2 25929 1694 121 25 50 25 1600k k k k− + + + + =

Reduciendo términos semejantes e igualando a cero:

2146 1644 4354 0k k− + =

De donde se obtiene, revolviendo con la calculadora, que

1

2

74 26

kk .

==

Como hay dos valores de k, debe haber dos valores de h que correspondan a los primeros.Éstos se obtienen simplemente sustituyendo en la ecuación (1):

(1)5 11 42 0h k− + =

Para k = 7:

( )5 11 7 42 0h − + =

5 35 0h − =5 35h =

353

h =

7h =

Para k = 4.26:

( )5 11 4 26 42 0h .− + =

5 4 86 0h .− =5 4 86h .=

4 865.h =

0 972h .=

Significa que en realidad existen dos circunferencias que cumplen con las condiciones delenunciado: Tener radio , que pasan por el punto y que además tienen su8r = ( )P 7 1, −

centro sobre la recta . Las coordenadas de los centros de estas dos cir-5 11 42 0x y− + =cunferencias son

y( )1 7 7C , ( )2 0 972 4 26C . ; .

Por lo tanto, las ecuaciones de estas dos circunferencias son:


Para y :( )1C 7 7, 8r =

( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

( ) ( )2 27 7 64x y− + − =

Para y :( )2C 0 972 4 26. ; . 8r =

( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

( ) ( )2 20 972 4 26 64x . y .− + − =

La figura 4.10 muestra estas dos circunferencias que cumplen con las condiciones del enun-ciado de este problema de tener su centro sobre la recta y además pasar por el punto

.( )P 7 1, −

CASOS ESPECIALES

1) Si , la gráfica es un punto.0r =

Por ejemplo, . 2 2 4 6 13 0x y x y+ + − + =

C1

C2

P(7, - 1)

rr

figura 4.10


Pasándola a la forma particular se obtiene .( ) ( )2 22 3 0x y+ + − =

2) Si , no existe gráfica.0r <

Por ejemplo, .2 2 2 6 14 0x y x y+ − − + =

Pasándola a la forma particular se obtiene . ( ) ( )2 21 3 4x y− + − = −

EJERCICIO 7

1) Una circunferencia pasa por los puntos P(7, 16) ; Q(- 11, 4) y R(- 10, - 1). Por cualquiera de los tres métodosexplicados, encontrar su ecuación.

2) Una circunferencia pasa por los puntos P(11, 7) ; Q(4, - 10) y R(- 6, - 10). Por cualquiera de los tres métodosexplicados, encontrar su ecuación.

3) Una circunferencia pasa por los puntos P(10, - 12) ; Q(- 14, 0) y R(- 11, 9). Por cualquiera de los tres méto-dos explicados, encontrar su ecuación.

4) Una circunferencia pasa por los puntos P(- 3, - 8) ; Q(- 2, - 1) y R(- 9, 0). Por cualquiera de los tres métodosexplicados, encontrar su ecuación.

5) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: ;( )P 7, 8

y . Hallar las coordenadas del centro( )Q 5, - 6 ( )R - 11, 2de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Sugerencia:Ver propiedades de los triángulos, página 6.

6) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son:; y . Hallar las coorde-( )P 5, 12 ( )Q 5, - 12 ( )R -13, 0

nadas del centro de la circunferencia circunscrita a dicho trián-gulo. Sugerencia: Ver propiedades de los triángulos, página 6.

7) L a e c u a c i ó n d e u n a c i r c u n f e r e n c i a

es . Hallar la ecuación de la recta tan-( ) ( )2 2x - 2 + y - 6 = 25

gente a dicha circunferencia en el punto . Ver figura( )P 5, 24.11.

P(5, 2)

C

figura 4.11


8) La ecuación de una circunferencia es x2 + (y + 2)2 = 100. Encontrarla ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferencia en elpunto P(- 8, 4).

9) La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 - 4x - 12y + 15 = 0 .Encontrar la ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferen-cia en el punto P(- 2, 9).

10) La ecuación de una circunferencia es .2 2x + y - 2x - 168 = 0Calcular la ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferen-cia en el punto .( )P 11, -5

11) Los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia sonlos puntos y . Hallar la ecuación de( )P -12, 14 ( )Q 6, -10dicha circunferencia (ver figura 4.12).

12) Los extremos de uno de sus diámetros de una circunferencia sonlos puntos y . Hallar la ecuación de( )P -8, 11 ( )Q -2, -3dicha circunferencia.

13) Las coordenadas de los tres vértices de un triángulo son:; y . Hallar la ecuación de la( )P 2, 5 ( )Q -12, 7 ( )R -3, -5

circunferencia que tiene su centro en el vértice P y es tangente allado QR (ver figura 4.13).

14) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: ;( )P 4, 0

y . Hallar la ecuación de la circunferen-( )Q -3, 17 ( )R -13, -7

cia que tiene su centro en el vértice P y es tangente al lado .QR

15) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el ejeY y pasa por los puntos y . Ver figura( )P 9, -9 ( )Q 12, 124.14.

16) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje

X y pasa por los puntos y .( )P 0, 3 ( )Q 7, -4

17) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto y que es tangente a la recta en( )Q 9, -5 5x + 12y + 184 = 0

el punto P(- 8, - 12) (ver figura 4.15).

18) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto y que es tangente a la recta en el( )Q 2, 7 4x - 3y + 38 = 0

punto P(- 5, 6).

P(-12, 14)

Q(6, -10)

figura 4.12

Q(-12, 7)P(2, 5)

R(-3, -5)

figura 4.13

C

P(9, -9)

Q(12, 12)

figura 4.14

Q(9, -5)P(-8, -12)5x + 12y + 184 = 0

figura 4.15


19) Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente alas rectas y y tie-3x - 4y + 61 = 0 3x + 4y - 31 = 0ne por radio r = 10, (ver figura 4.16).

20) Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente alas dos rectas y y3x - 4y - 18 = 0 3x + 4y + 24 = 0cuyo radio es r = 5.

21) Comprobar que la circunferencia cuya ecuación es es tangente exterior con2 2x + y + 18x - 6y + 65 = 0

la circunferencia de ecuación .2 2x + y - 30y + 125 = 0Ver figura 4.17.

22) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo radio esy que es tangente interior en el puntor = 25

a otra circunferencia cuya ecuación es( )P -57, 29

. Ver figura 4.18.( ) ( )2 2x - 3 + y - 4 = 4225

23) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son, y . Hallar la ecuación( )P -2, - 2 ( )Q - 5, 2 ( )R 4, 6

de la circunferencia que tiene por diámetro al lado AC.

24) En el triángulo del problema anterior, hallar la ecuación dela circunferencia que tiene por diámetro a la mediana allado AC.

3x - 4y +

61 = 0 3x + 4y - 31 = 0

r = 10

figura 4.16

figura 4.17

P(-57, 29)r = 25

r = 65

C(3, 4)

figura 4.18

LA PARÁBOLAPágina 90

4 Lugar Geométrico significa “la figura que se forma”, o sea, la gráfica que se forma con los puntos que se definen alhablar del lugar Geométrico.

5.1 DEFINICIONES

La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, lla-

mada directriz , y a un punto fijo, llamado foco , son iguales entre sí.

Hay cuatro posibilidades de obtener una parábola:

5 LAPARÁBOLA

Parábola

1) para la parte positiva:

2) para la parte negativa:

3) para la parte positiva:

4) para la parte negativa:

a) que abrasobre eleje X:

b) que abrasobre eleje Y:


Cualquiera que sea su posición, la distancia de cualquier punto de la parábola a la recta1d

llamada directriz es igual a la distancia de ese mismo punto de la parábola al punto lla-2d

mado foco. En la figura 5.1, 1 2d d=

Las partes principales de una parábola, mostradas en la figura 5.2, son las siguientes:

Eje focal: Es la recta que divide a la parábola simétricamente y que pasa por el foco. Verfigura 5.2.

Vértice: Es el punto donde se intersecanla parábola con el eje focal.

Distancia focal: Es la distancia que existedel foco al vértice y se le asigna la letra p,la cual aparecerá en la ecuación particularde la parábola. Sin embargo, de acuerdocon la definición de la parábola, la distancia p del foco al vértice es igual a la distanciadel vértice a la directriz por estar en la mis-ma línea recta perpendicular a dicha direc-triz.

Las coordenadas del vértice, igual que enla circunferencia, se designan con las letras h y k.

Lado recto: Es la cuerda perpendicular aleje focal y que pasa por el foco. Su longitudes una de las características importantes dela parábola y es igual a 4p. Ver figura 5.2.

En todas las cónicas que tienen por lo me-nos un término al cuadrado, un primer paso,como ya se dijo, en el procedimiento paratransformar su ecuación de la forma generala la forma particular consiste en dividir todala ecuación general entre el número, o nú-meros, que dejen con coeficiente 1 a todaslas variables "al cuadrado".

En el caso de la parábola, su ecuación enforma general es

Ax2 + Dx + Ey + F = 0 (a)

foco

directriz

d1

d2

figura 5.1

foco

directriz

lado recto

eje focal

p

pvértice

figura 5.2


o bienBy2 + Dx + Ey + F = 0 (b)

ya que, como se mencionó en las páginas 17,18 y 19 al hablar del análisis de la ecuación ge-neral, para que sea parábola se requiere que exista un solo término al cuadrado; además, laparábola abre hacia la variable que carece de cuadrado, por lo que la ecuación (a) abre haciael eje Y y la ecuación (b) abre hacia el eje X.

Si se les aplica el primer paso general, la ecuación (a) queda dividida entre A:

2A D E F 0A A A A

x x y+ + + =

que simplificada resulta

2 D E F 0A A A

x x y+ + + =

Al final de cuentas, los coeficientes ; y son números también, por lo que,DA

EA

FA

para simplificar la escritura, se renombran de la siguiente manera:

se renombra como D ;DA

se renombra como E ;EA

se renombra como F ;FA

por lo que esa ecuación suele escribirse en forma abreviada como

x2 + Dx + Ey + F = 0

mientras que la ecuación (b) , al quedar dividida entre B y aplicando las mismas considera-ciones que a la ecuación (a), puede reducirse y escribirse como:

y2 + Dx + Ey + F = 0

Por estas razones, se acostumbran escribir de la siguiente manera:


La ecuación general de la parábola es

x2 + Dx + Ey + F = 0 si abre hacia el eje Y.

o bien

y2 + Dx + Ey + F = 0 si abre hacia el eje X.

La ecuación particular de la parábola es

(y - k)2 = 4p(x - h) si abre hacia el eje X.

O bien

(x - h)2 = 4p(y - k) si abre hacia el eje Y.

Las características principales de la parábola son:

1) coordenadas del vértice V;2) coordenadas del foco;3) la distancia focal p;4) dirección en que abre la parábola;5) longitud del lado recto.

La ecuación en forma particular proporciona esas características.

En donde h es el desplazamiento del vértice sobre el eje X, mientras que k es el despla-zamiento del vértice sobre el eje Y. Una relación importante es que la longitud del lado rectoes igual a 4p.

* Si la parábola abre hacia el eje X positivo, el valor de p es positivo.* Si la parábola abre hacia el eje X negativo, el valor de p es negativo.* Si la parábola abre hacia el eje Y positivo, el valor de p es positivo.* Si la parábola abre hacia el eje Y negativo, el valor de p es negativo.


Para transformar la ecuación de una parábola de la forma particular a laforma general:

* Se desarrolla el binomio (x - h)2 ó (y - k)2 , según el que aparezca.

* Se hacen las multiplicaciones indicadas en el lado derecho.

* Se escriben todos los términos en el lado izquierdo para que quede igua-lado a cero.

* Se suman los términos semejantes, si resultan algunos.


Mucha similitud tiene el proceso algebraico de hacer transformaciones entre la circunfe-rencia y las demás cónicas que tienen al menos un término al cuadrado, puesto que en todasellas volverán a presentarse los binomios y , en los que h y k representan( )x h− ( )y k−las coordenadas del centro (o del vértice).

Ejemplo 1: Transformar a la forma general la ecuación (x - 3)2 = 12(y + 1)

Solución: Elevando al cuadrado el binomio del lado izquierdo y multiplicando por 12 el del ladoderecho, se obtiene:

2 6 9 12 12x x y+ + = +

Escribiendo todos los términos en el lado izquierdo:

2 6 9 12 12 0x x y− + − − =

2 6 12 3 0x x y− − − =


5 ESBOZAR significa hacer un trazo no acabado, aproximado, sin detalles finos, apenas con suscaracterísticas básicas. El dibujo hecho así se llama esbozo.

Para transformar la ecuación de una parábola de la forma general a laforma particular:

* Se divide toda la ecuación entre el coeficiente de x2 ó de y2, según eltérmino cuadrático que aparezca;

* Se escriben en el lado izquierdo la variable que aparezca al cuadrado consu respectiva lineal.

* Se escriben en el lado derecho la variable lineal que carezca de su res-pectivo cuadrado y el término F.

* Con los términos x2 + Dx se completa un trinomio cuadrado perfecto yse factorizan en la forma (x - h)2 , o bien con los términos y2 + Ey secompleta un trinomio cuadrado perfecto y se factorizan en la forma

.( )2y - k

* Se factoriza el lado derecho, de manera que la variable lineal quede concoeficiente 1.

* Se escribe el factor anterior de la forma 4p.

Ejemplo 2: Transformar a la forma particular la ecuación y esbozar5 su2 2 16 65 0x x y− − + =gráfica.

Solución: Escribiendo del lado izquierdo el término al cuadrado con su respectiva variable lineal ydel lado derecho la variable lineal que carece de cuadrado junto con la constante, queda:

2 2 16 65x x y− = −

completando un trinomio cuadrado del lado izquierdo y agregando la misma cantidad allado derecho para que la igualdad no se altere:

2 2 1 16 65 1x x y− + = − +


factorizando el lado izquierdo y sumando términos semejantes en el lado derecho, se ob-tiene que

( )21 16 64x y− = −

y finalmente, factorizando el lado derecho se llega a:

2

1 16 4x y

− = −

- h 4 p k−

De aquí se deduce que ; ; , de donde . Se trata entonces de1h = 4k = 4 16p = 4p =una parábola que abre hacia la parte positiva del eje Y (porque no hay y2 y porque presultó positivo), y cuyo vértice tiene por coordenadas . El esbozo de la parábo-( )V 1 4,la se muestra en dos pasos en las figuras 5.3a y 5.3b:

a) Sabiendo que y que son las coordenadas del vértice, lo primero que se1h = 4k =hace es ubicar el vértice con dichas coordenadas (ver figura 5.3a).

b) A partir de que se dedujo que la parábola abre hacia arriba y que , se cuentan4p =cuatro unidades verticalmente hacia arriba a partir de la ubicación del vértice paralocalizar la ubicación del foco, que es este caso resulta .( )f 1 8,

p = 4

p = 4

2p = 82p = 8

4p = 16

V(1, 4)

directriz

ejefocal

extremodel lado

recto

extremodel lado

rectof(1,8)

directrizV(1, 4)

a) b)

9-7

4

8 f(1,8)

figura 5.3


c) Sabiendo que del vértice hacia la directriz, pero en sentido contrario al foco, tam-bién existe la distancia , se cuentan cuatro unidades hacia abajo para localizar4p =a la directriz. En este caso coincide con el eje de las X y su ecuación es .0y =

d) Sabiendo que el lado recto mide de extremo a extremo una longitud igual a , se4 pdeduce fácilmente que del eje focal o de simetría hacia cada lado de la parábola mi-de la mitad, o sea . Como en este caso , significa que hay 8 unidades ha-2 p 4p =cia la izquierda hasta donde termina el lado recto; lo mismo pasa hacia la derecha.Se localizan esos dos punto porque por allí pasa también la parábola. En la figura5.3a se ha señalado con el comentario “extremo del lado recto”.

e) Finalmente se unen los principales puntos de la parábola y así se ha obtenido un es-bozo de ella. La figura 5.3b lo muestra.

Ejemplo 3: La ecuación de una parábola es . Hallar las coordenadas del22 16 20 98 0y x y+ − + =vértice y del foco y esbozar su gráfica.

Solución: Se trata de una parábola que abre hacia el eje de las X , ya que solamente tienen un tér-mino cuadrado y en X nada más hay término lineal. Debe transformarse esta ecuación ala particular para obtener toda la información requerida.

El primer paso en el procedimiento general para transformar la ecuación de cualquiercónica que contenga términos al cuadrados, es dividir entre el coeficiente de éstos. Asíque, en este caso, dividiendo entre 2 ambos miembros de la ecuación dada, se reduce a:

2 8 10 49 0y x y+ − + =

Escribiendo del lado izquierdo el término cuadrático con su respectiva variable lineal ydel lado derecho la variable lineal que carece de cuadrado junto con la constante, queda:

2 10 8 49y y x− = − −

Completando un trinomio cuadrado del lado izquierdo y agregando la misma cantidad allado derecho para que la igualdad no se altere:

2 10 25 8 49 25y y x− + = − − +

Factorizando el lado izquierdo y sumando términos semejantes en el lado derecho, seobtiene que

( )25 8 24y x− = − −

finalmente, factorizando el lado derecho hasta dejar a la x con coeficiente 1 se llega a:


2

5 8 3y x

− = − +

k− 4 p h−

De aquí se deduce que:

si , entonces 5k− = − 5k =si , entonces 3h− = 3h = −si , entonces 4 8p = − 2p = −

Se trata de una parábola que abre hacia la parte negativa del eje de las X (porque no haytérmino y porque p resultó negativo), con vértice .2x ( )V 3 5,−

Nótese que si , ver figura 5.4, como ésta es la distancia del vértice al foco, en2p = −

consecuencia las coordenadas del foco son .( )f 5 5,− −

b)a)

p =

- 2

p =

- 2

2p = 4

2p = 4

ejefocal

extremo superiorde lado recto

V

extremo inferiorde lado recto

dire

ctri

z

1

5

9

-1-3-5

f f V

dire

ctriz

figura 5.4


Ejemplo 4: Hallar la ecuación de la parábola cuyo focotiene por coordenadas y la ecuación( )f 3 5,

de la directriz es .3y = −

Solución: Si se hace el esquema gráfico de los datosdel enunciado del problema, se obtiene ini-cialmente la figura 5.5. La recta es3y = −paralela al eje de las X ya que al no interve-nir la variable x en la ecuación, significa queen cualquier lugar de equis la ye vale menostres. Y eso es lo que resulta. Ver figura 5.5.

Si entre el foco y la directriz existen 8 unida-des de distancia, sabiendo que el vértice estásituado a la mitad de la distancia entre el fo-co y la directriz (ya que la distancia del focoal vértice es la misma que del vértice a la directriz), se deduce fácilmente que el vérticeestá situado en , que son los valores de h y de k. Es decir, del foco al vértice( )V 3 1,hay 4 unidades y eso es el valor de p.

Por otra parte, el eje focal es paralelo al eje Y, es decir, la parábola abre sobre el eje Y, yademás, por la colocación del vértice y del foco, abre hacia la parte positiva. Esto signifi-ca que el valor de p debe ser positivo y que la variable que no tiene término cuadráticoes la y.

De manera que se tienen los siguientes datos: ; ; . Con eso es sufi-3h = 1k = 4p =ciente para obtener la ecuación particular que le corresponde:

( ) ( )2 4x h p y k− = −

( ) ( ) ( )23 4 4 1x y− = −

( ) ( )23 16 1x y− = −

Ejemplo 5: El lado recto de una parábola mide 12 unidades y la ecuación de su directriz es .2y =Sabiendo que abre hacia abajo y que el eje focal está sobre la recta , encontrar la3x =ecuación de dicha parábola.

Solución: Conviene comenzar haciendo un esbozo de gráfica con los datos iniciales que se tienendel enunciado. Entonces lo primero que debe ubicarse en la gráfica es la directriz y el ejefocal, los cuales se muestran en la figura 5.6.

directriz

f

1

3

5

7

9

1 3 5 7 9y = -3

figura 5.5


Si el lado recto mide 12 unidades,significa que , de donde4 12p =

. A partir de la directriz y con-3p =tando hacia abajo 3 unidades sobre eleje focal se localiza y se marca elvértice. Luego, otras tres unidadeshacia abajo se marca el foco. A con-tinuación se traza el lado recto con-tando seis unidades hacia la izquier-da del foco (2p) y seis hacia la dere-cha.

Con los trazos anteriores se deduceque las coordenadas del vértice son

y las del foco son( )V 3 1, −

, es decir que y que( )f 3 4, − 3h =

. 1k = −

Ya se tiene toda la información parti-cular de esta parábola; solamente hayque recordar que como la parábolaabre hacia abajo, el valor de sepconsidera negativo, es decir que

. De manera que la ecuación3p = −buscada es

( ) ( ) ( )23 4 3 1x y− = − +

( ) ( )23 12 1x y− = − +

Y la gráfica correspondiente se mues-tra en la figura 5.7.

5.3 APLICACIONES

En la Física de ondas, una parábola tiene la interesante propiedad que todo rayo que salgadel foco se refleja paralelamente al eje focal; e inversamente, todo rayo que incida en la pa-rábola con dirección paralela al eje focal, se refleja pasando por el foco.

directriz

ejefocal

p = 3

p = 3

V

f lado recto

2p = 62p = 6

figura 5.6

directriz

V

lado recto

f

figura 5.7


En la figura 5.8 se representa un espejo en for-ma parabólica y tres rayos saliendo del foco yreflejándose en la superficie de la parábola. To-dos los rayos reflejados salen en dirección para-lela al eje focal. Un caso muy típico son los re-flectores de luz: éstos tienen su filamento exacta-mente en la posición del foco con lo que se con-sigue que casi todos los rayos luminosos salganen dirección paralela al eje focal, lográndose unailuminación más concentrada.

En la figura 5.9 se representa una antena parabó-lica. Los rayos que llegan a ella por provenir dedistancias muy grandes prácticamente llegan endirección paralela al eje focal. Al reflejarse, to-dos los rayos reflejados van hacia el foco, endonde se coloca el receptor y de esta maneracapta más cantidad de ondas.

eje focal

rayo reflejado

rayo reflejado

foco

figura 5.8

rayo in

cidente

rayo in

cidentereceptor

figura 5.9


EJERCICIO 8

Transformar las siguientes ecuaciones de parábolas a su ecuación particular y deducir las coordenadas del vértice,las coordenadas del foco, el valor de p , hacia dónde abre y esbozar su gráfica:

1) x2 + 6x - 4y + 5 = 0 6) y2 + 24x - 6y + 33 = 02) x2 - 4x - 12y - 56 = 0 7) y2 - 8x + 8 = 03) x2 - 6x + 8y + 25 = 0 8) y2 + 16x + 4y + 4 = 04) y2 - 20x + 16y + 44 = 0 9) x2 + 12y + 60 = 05) y2 + 4x - 12y + 24 = 0 10) x2 - 14x - 20y + 49 = 0

Transformar las siguientes ecuaciones de parábolas a su ecuación general y esbozar su gráfica:

11) (x + 3)2 = 24(y - 1) 16) (y - 6)2 = - 16(x + 6)12) (x + 7)2 = 4(y - 11) 17) (y - 8)2 = - 20(x + 1)13) (x + 9)2 = - 8(y + 10) 18) (y - 12)2 = - 4(x - 2)14) (x - 1)2 = 12(y - 4) 19) y2 = - 28(x + 1)15) x2 = - 8(y + 10) 20) (y + 4)2 = - 40x

21) Las coordenadas del vértice de una parábola son V(2, 2) y las del foco f(6, 2). Hallar su ecuación.

22) Las coordenadas del vértice de una parábola son V(2, - 2) y las del foco f(2, - 5). Hallar su ecuación.

23) Las coordenadas del vértice de una parábola son V(- 3, - 1) y las del foco f(0, - 1). Hallar su ecuación.

24) Las coordenadas del vértice de una parábola son V(5, 3) y las del foco f(- 1, 3). Hallar su ecuación.

25) Las coordenadas del vértice de una parábola son V(- 4, - 2) y las del foco f(- 4, 4). Hallar su ecuación.

26) Las coordenadas del vértice de una parábola son V(9, 1) y las del foco f(9, - 5). Hallar su ecuación.

27) Las coordenadas del vértice de una parábola son V(3, 1) y las del foco f(- 1, 1). Hallar su ecuación.

28) Las coordenadas del vértice de una parábola son V(2, 5) y la ecuación de la directriz es x = 4. Hallar suecuación.

29) Las coordenadas del vértice de una parábola son V(- 3, 0) y la ecuación de la directriz es y = 4. Hallar suecuación.

30) Las coordenadas del vértice de una parábola son V(- 2, - 2) y la ecuación de la directriz es y = - 3. Hallarsu ecuación.

31) Las coordenadas del vértice de una parábola son V(7, 3) y la ecuación de la directriz es x = 5. Hallar suecuación.

32) Las coordenadas del foco de una parábola son f(0, - 2) y la ecuación de la directriz es x = 6. Hallar suecuación.

33) Las coordenadas del foco de una parábola son f(0, 3) y la ecuación de la directriz es x = - 8. Hallar suecuación.

34) Las coordenadas del foco de una parábola son f(1, 2) y la ecuación de la directriz es y = 8. Hallar suecuación.


35) Las coordenadas del foco de una parábola son f(3, 7) y la ecuación de la directriz es x = - 3. Hallar suecuación.

36) Las coordenadas del foco de una parábola son f(0, 7) y la longitud del lado recto es 8. Hallar su ecua-ción, sabiendo que abre hacia la parte positiva del eje de las X.

37) Las coordenadas del foco de una parábola son f(1, 1) y la longitud del lado recto es 12. Hallar su ecua-ción, sabiendo que abre hacia la parte negativa del eje de las X.

38) Las coordenadas del foco de una parábola son f(- 3, - 1) y la longitud del lado recto es 16. Hallar suecuación, sabiendo que abre hacia la parte positiva del eje de las Y.

39) Las coordenadas del foco de una parábola son f(11, 0) y la longitud del lado recto es 4. Hallar su ecua-ción, sabiendo que abre hacia la parte negativa del eje de las Y.

40) Considérense dos parábolas P1 y P2. La ecuación de la parábola P1 es . Hallar la2 4 8 12 0x x y+ − + =ecuación de la parábola P2 sabiendo que el foco de la parábola P1 es el vértice de la parábola P2; y el vérticede la parábola P1 es el foco de la parábola P2.

41) Considérense dos parábolas P1 y P2. La ecuación de la parábola P1 es . Hallar2 12 2 25 0y x y+ − + =la ecuación de la parábola P2 sabiendo que el vértice de la parábola P1 es el vértice de la parábola P2; elvalor de p es el mismo para ambas parábolas y la parábola P2 abre hacia el eje Y-.

42) El centro de la circunferencia (x + 5)2 + (y - 4)2 = 9 es el vértice de una parábola que abre hacia el eje X+.Hallar la ecuación de dicha parábola sabiendo que su foco está sobre la misma circunferencia.

43) El diámetro horizontal de la circunferencia (x - 1)2 + (y + 4)2 = 100 es el lado recto de una parábola que abrehacia el eje Y+. Hallar la ecuación de dicha parábola.

44) El centro de la circunferencia (x + 5)2 + (y + 9)2 = 45 es el vértice de una parábola. Dicha circunferenciapasa exactamente por los punto B(1, - 6) y C(- 11, - 6). El segmento de recta BC que une a dichos puntos esel lado recto de la parábola. Encontrar la ecuación de tal parábola.

45) Hallar la ecuación de la parábola de vértice V(1, 5), abre sobre Y+ y que pasa por el punto P(5, 9).

46) Hallar la ecuación de la parábola de vértice V(5, - 1), abre sobre Y+ y que pasa por el punto P(13, 7).

47) Hallar la ecuación de la parábola que abre hacia Y-, que pasa por los puntos P(8, - 4) y Q(0, - 20) y cuyolado recto mide lr = 2.


5.4 INSTRUCCIONES PARA CONSTRUIR UNA PARÁBOLA CON PAPEL

1) En una hoja tamaño carta de papel albanene, trazaruna línea horizontal en la parte inferior de la hoja, a 3centímetros (la directriz) del extremo (ver figura5.10).

2) Dibujar un punto 2 centímetros arriba de la línea ante-rior y en el centro de la hoja (ver figura 5.10).

3) Doblar la hoja por la parte posterior, de manera que lalínea trazada en el paso 1 coincida con el punto delpaso 2 (ver figura 5.11). Marcar bien el doblez.

4) Repetir el paso anterior haciendo coincidir ahora otropunto de la recta del paso 1 con el punto del paso 2(ver figura 5.12).

5) Continuar así hasta llenar de dobleces la hoja.

3 cms.

2 cms.

figura 5.10

Hacer coincidir lalínea con el punto

figura 5.11

Repetir haciendocoincidir la línea

con el punto

figura 5.12


6.1 DEFINICIONES

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos,llamados focos , es constante.

En la figura 6.1, los focos están representados por lospuntos y . En una elipse, si se suman las distancias1f 2f

se obtiene un valor constante sin importar la1 2d d+ubicación del punto p.

Por esa razón es fácil trazar una elipse: se clavan unpar de alfileres en el sitio de los focos, se amarra uncordel que pase por esos dos alfileres y que quede untanto flojo. Luego con un lápiz, como lo muestra lafigura 6.2, se tensa el cordel y se va desplazando dicholápiz sobre el papel.

Se obtiene una elipse porque la longitud del cordelamarrado es siempre la misma, no importa en dónde seencuentre el lápiz. Si a dicha longitud se le resta ladistancia también constante que hay entre ambos focos, seobtiene un segmento de cordel de longitud constante, quees la suma de las longitudes de cada foco al lápiz. Con-cuerda justamente con la definición de elipse.

La simbología que se utiliza para representar las partesfundamentales de la elipse es la siguiente:

* La letra a representa la distancia que hay desde elcentro hasta el extremo de la elipse por su parte másalargada. Ver la figura 6.3.

6 LAELIPSE

f1 f2

p

d1 d2

figura 6.1

f1 f2

mover el lápiz

figura 6.2

LA ELIPSEPágina 106

* La letra b representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse porsu parte más achatada o corta.

* La letra c representa la distancia que hay desde el centro hasta cada foco.

Las características o partes principales de una elipse son (ver figura 6.3):

* Vértices: Son los puntos extremos más alejados del centro.

* Eje mayor: Es la distancia de un vértice hasta el otro y equivale a 2a.

* Eje menor: Es la distancia de extremo a extremo medida por su parte más angosta yequivale a 2b.

Distancia focal: Es la distancia que hay de un foco al otro foco y equivale a 2c.

* La posición del centro, cuyas coordenadas son . Para evitar confusiones con la( )h, kdistancia del centro al foco a la que se le nombró con la letra c minúscula, al centro de laelipse se le asigna la letra O (mayúscula).

* Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el foco.

Hay dos posibilidades de obtener una elipse: horizontal o vertical.

a c

b

ejemenor

eje mayor

lado recto

V1 V2

f1f2

figura 6.3


A partir de las coordenadas del centro , de la longitud del semieje mayor a y de la( )h, klongitud del semieje menor b se pueden obtener o deducir todas las características anteriores,las cuales están dadas en la ecuación particular de la elipse, que de hecho son dos, según se tratede una elipse horizontal o de una elipse vertical.

Para saber si se trata de una elipse horizontal o una elipse vertical, basta comparar los dosdenominadores de la ecuación particular. Como , el denominador mayor debe ser a2. Ela b>eje mayor es paralelo al eje de la variable en donde está a.

Igual que en las anteriores cónicas que tienen términos al cuadrado, h significa eldesplazamiento horizontal del centro y k el desplazamiento vertical del centro. El significadode las letras a y b de los denominadores están definidos en la figura 6.3.

Existe una relación entre las tres constantes a, b y c, que a partir del teorema de Pitágorasestá dada por la fórmula

2 2 2a b c= +

de donde, despejando cada literal, se obtiene:

2 2a b c= +2 2b a c= −2 2c a b= −

La ecuación particular de la elipse es:

si el eje focal es horizontal( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b− −

+ =

o bien

si el eje focal es vertical( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

b a− −

+ =

en donde debe cumplirse que a > b


Otra característica interesante de la elipse es que la longitud del lado recto mide

22blra

=

en donde las letras a y b que aparecen, son las mismas definidas anteriormente.

Finalmente, una medida interesante es la llamada excentricidad, denotada por la letra e.Excéntrico en este caso significa fuera del centro. Se refiere a qué tan lejos del centro de la elipsese encuentran los focos en proporción al tamaño de dicha elipse. Para comprender mejor esteconcepto basta darse cuenta que en una elipse mientras más se alejen los focos del centro, laforma de dicha elipse es más alargada (ver figura 6.4, inciso a); conforme los focos se acercanal centro, es decir, conforme el calor de c se hace más pequeño, la elipse se aproxima a unacircunferencia (ver figura 6.4, inciso b); y finalmente, cuando los focos coinciden con el centro,o sea que , la elipse se convierte en una circunferencia (ver figura 6.4, inciso c).c = 0

Analíticamente puede verse a través de la relación de las constantes a, b y c. Si los focoscoinciden con el centro, significa que . Entonces0c =

2 2 2a b c= +2 2 0a b= +2 2a b=

de donde

a b=

Si a es el semieje mayor y b es el semieje menor, al ser iguales cuando los focos coincidencon el centro, se convierten ambos semiejes en el radio de una circunferencia.

a) b) c)

figura 6.4


La excentricidad se mide a través de la proporción . La escala posible de medicióncea

=

de la excentricidad va de cero a uno, es decir, . Si se trata de una circunferen-0 1e≤ < 0e =cia. Mientras más cercano esté el valor de e al cero, más cercana estará la elipse de unacircunferencia; por el contrario, mientras más se aproxime e al valor de 1, más alargada estará.


Dar, por medio de una regla, como se hizo en el caso de la circunferencia y de la parábola,el procedimiento para transformar de la ecuación general a la particular, en el caso de la elipseresulta muy extenso; de manera que, por esa razón, se va a mostrar dicho proceso a través deun ejemplo.

Ejemplo 1: La ecuación general de una elipse es . Transformarla a su2 24 9 16 18 11 0x y x y+ − + − =ecuación particular y esbozar su gráfica.

Solución: Para tratar de dar claridad a la explicación, se hará por pasos la transformación pedida.

PASO 1: Se agrupan en el lado izquierdo los términos que contengan a las mismas variablesy se escribe en el lado derecho la constante sola:

( ) ( )2 24 16 9 18 11x x y y− + + =

PASO 2: Se factoriza en cada grupo el coeficiente del término al cuadrado:

( ) ( )2 24 4 9 2 11x x y y− + + =

PASO 3: Se completa un trinomio cuadrado perfecto en cada grupo, añadiendo al ladoderecho la misma cantidad agregada en el izquierdo:

( ) ( )2 24 4 4 9 2 1 11 16 9x x y y− + + + + = + +

( ) ( )2 24 4 4 9 2 1 36x x y y− + + + + =

NOTA: Se agregó 16 en el lado derecho porque es el 4 que se agregó adentro del primerparéntesis, el cual está multiplicado todo por 4; de la misma forma, en el segundoparéntesis se agregó adentro un 1, pero como está multiplicado por 9, en realidadfue 9 en total lo que se agregó.

PASO 4: Se factorizan los dos paréntesis:

( ) ( )2 24 2 9 1 36x y− + + =


PASO 5: Se dividen ambos lados de la igualdad entre 36 (para que quede igual a 1 en el ladoderecho, ya que así es la forma de la ecuación particular) y se simplifica:

( ) ( )2 24 2 9 1 3636 36 36

x y− ++ =

( ) ( )2 22 11

9 4x y− +

+ =

donde (por ser el denominador mayor) y ; por lo tanto, se trata de una elipse2 9a = 2 4b =horizontal, ya que el denominador mayor está bajo la variable x.

De esta ecuación se deducen los valores de:

x : Se obtiene del binomio de la ecuación particular;2h = ( )22x −

x : Se obtiene del binomio de la ecuación particular;1k = − ( )21y +

x El centro está en ;( )2 1O , −

x Si y obtenidos a partir de los denominadores en la ecuación particular,2 9a = 2 4b =se deduce que y . Y por la relación de las constantes a, b y c, se calcula3a = 2b =que la distancia semifocal es

2 2c a b= −

(aproximadamente)9 4 2 23c .= − ≈

x La longitud del lado recto de esta elipse se calcula con la relación

22blra

=

(aproximadamente)( )22 2

2 63

lr .= ≈

x La excentricidad es

cea

=

2 233.e =


0 743e .=

La figura 6.5 muestra los detalles de la elipse.

Si es la distancia del centro a los vértices, a partir del centro deben contarse tres3a =unidades a la izquierda y tres a la derecha para obtener las coordenadas de los vértices. Son:

( ) ( )1 1V 2 3 1 V 1 1, ,− − = − −

( ) ( )2 2V 2 3 1 V 5 1, ,+ − = −

La longitud del eje mayor es ; la del eje menor es .2 6a = 2 4b =

Para obtener las coordenadas de cada foco, de manera semejante a los vértices, como es la distancia del centro a cada foco, a partir del centro deben contarse 2.232 23c .=

unidades a la izquierda y 2.23 a la derecha, esto significa que para el foco f1 debe restarse mientras que para el foco f2 debe sumarse . Por lo tanto, las coordenadas2 2 23.− 2 2 23.+

de los focos son

( ) ( )1 1f 2 2 23 1 f 0 23 1. , . ,− − = − −

c = 2.2

V1 V2

f1 f2

a = 3a = 3

b = 2

b = 2

O(2, - 1)ladorecto

c = 2.2

XX

Y

Y

1 2 3 4 5

1

- 2

- 3

- 4

- 1

figura 6.5


( ) ( )2 2f 2 2 23 1 f 4 23 1. , . ,+ − = −

Ejemplo 2: Transformar a su ecuación general la ecuación particular de la elipse

( ) ( )2 24 21

49 4x y+ −

+ =

Solución: Para eliminar los denominadores debe multiplicarse toda la igualdad por el producto de losdos denominadores, es decir, por 196. Haciéndolo, se obtiene:

( ) ( ) ( )2 24 2

196 196 149 4

x y + − + =

( ) ( )2 24 4 49 2 196x y+ + − =

elevando al cuadrado los binomios indicados:

( ) ( )2 24 8 16 49 4 4 196x x y y+ + + − + =

haciendo las multiplicaciones indicadas:

2 24 32 64 49 196 196 196x x y y+ + + − + =

finalmente, escribiendo todo al lazo izquierdo y reduciendo términos semejantes se llega a:

2 24 32 64 49 196 196 196 0x x y y+ + + − + − =

2 24 49 32 196 64 0x y x y+ + − + =

Ejemplo 3: De la siguiente elipse, hallar las coordenadas de sus vértices y sus focos, las longitudes de susejes mayor y menor, las coordenadas del centro, la longitud del lado recto, la excentricidady esbozar su gráfica:

( ) ( )2 21 21

9 25x y− +

+ =

Solución: El denominador mayor es 25 y como está bajo el numerador que contiene a la variable y,significa que se trata de una elipse vertical. Así que en este caso se tiene que


, de donde2 25a = 5a =, de donde2 9b = 3b =

por lo tanto, la semidistancia focal es

2 2c a b= −

25 9 4c = − =

y además y .1h = 2k = −

La figura 6.6 es un esbozo de la gráfica, la cual es muy útil para ayudarse con ella a sacar losvalores de las coordenadas solicitadas. Para obtener dicha gráfica se marca primero el puntocorrespondiente al centro de la elipse cuyas coordenadas son h y k, es decir, . A( )1 2O , −

continuación, a las ordenada del centro se le agrega para arriba y para abajo (ya que2k = −se trata de una elipse vertical) el valor calculado de , en virtud de que la distancia del4c =centro a los focos está dada por c, obteniéndose así las coordenadas de los focos, o sea

y . Igualmente, sumándole y restándole a la ordenada del centro el valor( )1f 1 2, ( )2f 1 6, −

de , se obtienen las coordenadas de los vértices, o sea y .5a = ( )1V 1 3, ( )2V 1 7, −Finalmente, como el eje mayor es igual a 2a, entonces su longitud es 10 y como el eje menores igual a 2b, su longitud es 6.

V2

f1

f2

V1

b = 3 b = 3

c = 4

c = 4a = 5

a = 5

O(1, - 2)

X

Y

2 3 4 5-2-3

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

1

figura 6.6


Ejemplo 4: La longitud del lado recto de una elipse mide 16/3. Hallar su ecuación sabiendo que lascoordenadas de sus vértices son V1 (- 3, 6) y V2 (- 3, - 6). Calcular las coordenadas de susfocos y esbozar la gráfica.

Solución: El centro tiene que estar ubicado a la mitad de los dosvértices. Haciendo una gráfica con las coordenadas delos vértices (ver figura 6.7), se deduce fácilmente que elcentro está en , es decir que y( )3 0O ,− 3h = −

; además, se trata de una elipse vertical. 0k =

Por otra parte, basta medir la distancia que hay entre losdos vértices y la mitad será el valor correspondiente dea. Como desde hasta hay una distan-1 6y = 2 6y = −cia de 12, entonces .6a =

Con el valor del lado recto dado desde el enunciado delproblema y con el de , se puede establecer que6a =

, donde 22 16

3blra

= = 6a =

sustituyendo y despejando, se obtiene:

22 166 3b =

( )

( )2 16 6

3 2b =

2 16b = 4b =

Sustituyendo los valores en la ecuación particular, se llega a la ecuación pedida:

( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

b a− −

+ =

( ) ( )2 2

2 2

3 01

4 6x y+ +

+ =

( )2 231

16 36x y+

+ =

V1

V2

1 2 3-1-2-3-4

123456

-2

-3-4

-5-6-7

7

centro

figura 6.7


La semidistancia focal es , o sea2 2c a b= −

36 16c = −(aproximadamente)4 47c .≈

De donde se deduce, agregando para arriba y para abajo esta cantidad a partir del centro, quelas coordenadas de los focos son y . Finalmente, su( )1f 3 ; 4 47.− ( )2f 3 ; 4 47.− −excentricidad es

cea

=

4 47 0 7456.e .= ≈

La figura 6.8 muestra la gráfica de esta elipse.

b = 4 b = 4

a = 6

a = 6

c = 4. 47

c = 4. 47

f1

f2

V2

(-3, 0) 1

2

2

3

-8

4

6

-1-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4-5-6

-7

7

1

V1

-6

5

-5

-7

figura 6.8


Ejemplo 5: Una elipse horizontal con centro en el origen tiene una excentricidad y las0 866e .=coordenadas de sus focos son y . Hallar la ecuación de dicha( )1f 3 464 ; 0.− ( )2f 3 464 ; 0.elipse y esbozar su gráfica.

Solución: Inicialmente conviene graficar los datos delenunciado, en este caso los focos y el cen-tro, los cuales se muestran en la figura 6.9.Recordando que la distancia del centro deuna elipse a cualquiera de los focos es c, setiene entonces que . Además,3 464c .=como el centro está en el origen, se despren-de que y .0h = 0k =

Por otra parte, sabiendo que la excentrici-dad está dada por la relación

cea

=

conociendo los valores de y de see cobtiene que

3 4640 866 ..a

=

de donde

.3 464 40 866

.a

.= =

Conociendo los valores de las constantes y se calcula el de b:4a = 3 464c .=

2 2b a c= −2 24 3 464b .= −

2b =

Por lo tanto, su ecuación es

( ) ( )2 2

2 2

0 01

4 2x y− −

+ =

f1 (-3.46; 0) f2(0; -3.46)

centro

figura 6.9


2 2

116 4x y+ =

La gráfica se muestra en la figura 6.10:

f1 f2

1 2 3 4-1-2- 3- 4

1

2

3

-1

- 2

- 3

b = 2

b = 2

a = 4a = 4

X X

Y

Y

figura 6.10


EJERCICIO 9

Transformar a la forma particular las siguientes ecuaciones de elipses:

1) 4x2 + y2 + 8x + 6y - 3 = 0 2) 25x2 + 4y2 - 150x + 8y + 129 = 03) x2 + 4y2 + 4x + 32y + 32 = 0 4) 25x2 + 64y2 - 350x + 1024y + 3721 = 05) 9x2 + 16y2 + 162x - 32y + 601 = 0 6) x2 + 25y2 - 22x + 150y + 321 = 07) 25x2 + 36y2 + 100x + 72y - 764 = 0 8) 16x2 + y2 - 192x + 14y + 545 = 0

Transformar a su ecuación general las siguientes elipses:

9) 10)( ) ( )2 25 2

116 4

x y+ ++ = ( ) ( )2 21 8

116 9

x y+ −+ =

11) 12)( ) ( )2 24 7

136 4

x y− ++ = ( ) ( )2 29 1

125 49

x y+ −+ =

13) 14)( ) ( )2 28 4

19 4

x y+ −+ = ( ) ( )2 211 1

19 4

x y− −+ =

15) 16)( ) ( )2 26 2

164 1

x y+ ++ = ( ) ( )2 25 12

181 9

x y+ −+ =

17) Las coordenadas de los vértices de una elipse son V1 (1, 11) y V2 (1, - 15) y las coordenadas de sus focos sonf1 (1, 10) y f2 (1, - 14). Hallar su ecuación.

18) Las coordenadas de los vértices de una elipse son V1 (- 10, 2) y V2 (16, 2) y las coordenadas de sus focos sonf1 (- 2, 2) y f2 (8, 2). Hallar su ecuación.

19) Las coordenadas de los vértices de una elipse son V1 (- 4, 0) y V2 (16, 0) y las coordenadas de sus focos sonf1 (0, 0) y f2 (12, 0). Hallar su ecuación.

20) Las coordenadas de los vértices de una elipse son V1 (- 2, 8) y V2 (- 2, - 2) y las coordenadas de sus focos sonf1 (- 2, 7) y f2 (- 2, - 1). Hallar su ecuación.

21) Las coordenadas de los vértices de una elipse son V1 (13, 0) y V2 (- 17, 0) y la longitud de su lado recto es288/15 . Hallar su ecuación.

22) Las coordenadas de los vértices de una elipse son V1 (- 9, 1) y V2 (17, 1) y la longitud de su lado recto es288/13 . Hallar su ecuación.

23) Las coordenadas de los vértices de una elipse son V1 (4, 15) y V2 (4, - 25) y la longitud de su lado recto es128/5 . Hallar su ecuación.

24) Las coordenadas de los focos de una elipse son f1 (1, 5) y f2 (1, - 3) y la longitud de su eje menor es 6. Hallarsu ecuación.

25) Las coordenadas de los focos de una elipse son f1 (- 10, - 2) y f2 (0, - 2) y la longitud de su eje menor es 24.Hallar su ecuación.


26) Las coordenadas de los focos de una elipse son f1 (- 5, 0) y f2 (5, 0) y la longitud de su eje menor es 8. Hallarsu ecuación.

27) Las coordenadas del centro de una elipse son O (3, - 1) y la de uno de sus focos es f2 (15, - 1). Si la longitudde su eje menor es 10. Hallar su ecuación.

28) Las coordenadas del centro de una elipse son O (0, 2) y la de uno de sus focos es f2 (5, 2). Si la longitud de sueje menor es 24. Hallar su ecuación.

29) Las coordenadas de los focos de una elipse son f1 (1, 5) y f2 (1, - 3) y la longitud de su eje menor es 6. Hallarlas coordenadas de sus vértices.

30) Las coordenadas de los focos de una elipse son f1 (- 10, - 2) y f2 (0, - 2) y la longitud de su eje menor es 24.Hallar las coordenadas de sus vértices.

31) Las coordenadas de los focos de una elipse son f1 (- 3, 21) y f2 (- 3, - 27) y la longitud de su eje menor es 20.Hallar las coordenadas de sus vértices.

32) Las coordenadas del centro de una elipse son O (3, - 1) y la de uno de sus focos es f2 (15, - 1). Si la longitudde su eje menor es 10. Hallar las coordenadas de sus vértices.

33) Las coordenadas del centro de una elipse son O (3, 5) y la de uno de sus focos es f2 (8, 5). Si la longitud de sueje menor es 24. Hallar las coordenadas de sus vértices.

34) Una elipse vertical tiene sus focos sobre la circunferencia y las coordenadas de uno( ) ( )2 23 2 49x y− + − =

de sus vértices son V1(3, 10). Hallar la ecuación de dicha elipse.

35) Una elipse horizontal tiene sus vértices sobre la circunferencia y las coordenadas( ) ( )2 21 4 81x y+ + − =

de uno de sus focos son f1(5, 4) . Hallar la ecuación de dicha elipse.

36) La longitud del eje mayor de una elipse es 78 y su excentricidad es . Sabiendo que se trata de un elipse1213

e =

horizontal con centro en el origen, hallar su ecuación.

37) Una elipse vertical tiene sus focos sobre la circunferencia . Si su excentricidad es ,( )22 2 16x y+ + = 12

e =

hallar la ecuación de dicha elipse.

38) Las coordenadas del centro de una elipse son O(-3, -4) , la longitud de su eje menor es 40, su excentricidad es 35

e =

y la longitud de su lado recto es lr = 32. Hallar la ecuación de tal elipse si ésta es horizontal.

39) Hallar la ecuación de la elipse de centro (3, 8), uno de los focos f1(8, 8) y que pasa por el punto P(6, 4).


6.3 INSTRUCCIONES PARA CONSTRUIR UNA ELIPSE CON PAPEL

1) En una hoja tamaño carta de papel albanene, trazar unacircunferencia que abarque al máximo la hoja. Marcarel centro de dicha circunferencia (ver figura 6.11).

2) Dibujar un punto entre 1.5 cm y 2 cm por adentro de lacircunferencia (ver figura 6.11).

3) Doblar la hoja por la parte posterior, de manera que lalínea de la circunferencia trazada en el paso1 coincidacon el punto del paso 2 (ver figura 6.12). Marcar bienel doblez.

4) Repetir el proceso anterior haciendo coincidir ahoraotro punto de la circunferencia del paso 1 con el puntodel paso 2.

5) Continuar así hasta llenar de dobleces la hoja.

6) Una vez concluida la construcción de la elipse abase de dobleces, el alumno deberá de maneraintuitiva deducir cuáles son los dos focos de dichaelipse.

1.5 a 2 cms

figura 6.11

Hacer coincidir lalínea con el punto

figura 6.12


7.1 DEFINICIONES

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dospuntos fijos, llamados focos , es constante e igual a 2a.

La simbología que se utiliza para representar las partes fundamentales de la hipérbola es lasiguiente:

* La letra a representa la distancia que haydesde el centro hasta cada extremo centralde cada rama de la hipérbola. Ver la figura7.1.

* La letra b representa una distancia imagina-ria, la cual está regida por la relación de lasconstantes a, b y c, que un poco más ade-lante se definirá.

* La letra c representa la distancia que haydesde el centro hasta cada foco.

Las características de una hipérbola mostradasen la figura 7.1 son:

* La distancia de su centro a los focos, llama-da c (minúscula).

* La distancia de su centro a los vértices, lla-mada a.

* Eje real: Es la distancia de un vértice hastael otro.

* Distancia focal: Es la distancia de un foco hasta el otro.

7 LAHIPÉRBOLA

f1

f2V1 V2

a c

b

bejereal

ejeimaginario

lado

rect

o

centro

figura 7.1

LA HIPÉRBOLAPágina 122

* Eje imaginario: Es la distancia 2b. El valor de b sale de una relación pitagórica entrelas constantes a y c, dada más adelante.

* La posición del centro dada, como en todas las cónicas anteriores que poseen al menosun término al cuadrado, por ( h, k ).

* Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje real y que pasa por lo focos.

* Eje focal: Es el eje por donde pasan los dos focos y los dos vértices.

Hay dos posibilidades de obtener una hipérbola: horizontal o vertical.

Todas esas características están dadas en la ecuación particular de la hipérbola, que dehecho son dos, según se trate de una hipérbola horizontal o de una hipérbola vertical.

Podrá verse que hay varios aspectos que son muy semejantes a la elipse, inclusive en laecuación particular existen muchas similitudes.

Existe una relación entre las tres constantes a, b y c, que por el teorema de Pitágoras estádada por la relación

2 2 2c a b= +

de donde, despejando cada literal, se obtiene:

2 2c a b= +2 2a c b= −

2 2b c a= −

A partir de las coordenadas del centro , de la longitud del semieje real a y de la( )h, klongitud del semieje imaginario b se pueden obtener o deducir todas las características ante-riores, las cuales están dadas en la ecuación particular de la hipérbola, que de hecho son dos,según se trate de una hipérbola horizontal o de una hipérbola vertical.

Para saber si se trata de una hipérbola horizontal o vertical, basta observar las dos fraccio-nes de la ecuación particular, las cuales una debe ser positiva y la otra negativa. La que que-da positiva indica la variable sobre la que está el eje focal.


5 Asíntota viene del griego asumptutoz, que significa “que no coincide”.

Como en las anteriores cónicas con términos al cuadrado, hsignifica el desplazamiento horizontal del centro y k el despla-zamiento vertical del centro. El significado de las letras a y bde los denominadores están definidos en la figura 7.1.

La hipérbola tiene asociadas dos líneas rectas a las cualesparece irse pegando más y más la curva, sin llegar jamás a cru-zarse. A esas rectas, mostradas en la figura 7.2, se les llamaasíntotas.

En general, se le da el nombre de asíntota 5 a toda línea recta

que, prolongada, se acerca continuamente a una curva sin llegarjamás a encontrarla.

Las asíntotas tienen por ecuaciones:

si el eje real es paralelo al eje X. Obsérvese que la( )by k x ha

− = ± −

pendiente es bma

=

si el eje real es paralelo al eje Y. Obsérvese que la( )ay k x hb

− = ± −

pendiente es amb

=

La ecuación particular de la hipérbola es:

si el eje focal es horizontal( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b− −

− =

o bien

si el eje focal es vertical( ) ( )2 2

2 2 1y k x h

a b− −

− =

figura 7.2


Otra característica interesante de la hipérbola es la longitud de su lado recto, el cual mide,igual que en la elipse,

22blra

=

en donde las letras a y b que aparecen, son las mismas definidas anteriormente.


Dar, por medio de una regla, como se hizo en el caso de la circunferencia y de la parábola,el procedimiento para transformar de la ecuación general a la particular, en el caso de la hi-pérbola resulta muy extenso; de manera que, por esa razón, se va a mostrar dicho proceso através de un ejemplo.

Ejemplo 1: La ecuación general de una hipérbola es 4x2 - 9y2 - 16x - 18y - 29 = 0. Transformarla a suecuación particular.

Solución: Para tratar de dar claridad a la explicación, se hará por pasos la transformación pedida.

PASO 1: Se agrupan en el lado izquierdo los términos que contengan a las misma variablesy se escribe en el lado derecho la constante sola:

( ) ( )2 24 16 9 18 29x x y y− − + =

PASO 2: Se factoriza en cada grupo el coeficiente del término al cuadrado:

( ) ( )2 24 4 9 2 29x x y y− − + =

PASO 3: Se completa un trinomio cuadrado perfecto en cada grupo, añadiendo al ladoderecho la misma cantidad agregada en el izquierdo:

( ) ( )2 24 4 4 9 2 1 29 16 9x x y y− + − + + = + −

( ) ( )2 24 4 4 9 2 1 36x x y y− + − + + =

NOTA: Se agregó 16 en el lado derecho porque es el 4 que se agregó adentro del pri-mer paréntesis, el cual está multiplicado todo por 4; de la misma forma, en elsegundo paréntesis se agregó adentro un 1, pero como está multiplicado por - 9,en realidad fue - 9 en total lo que se agregó.

PASO 4: Se factorizan los dos paréntesis:


( ) ( )2 24 2 9 1 36x y− − + =

PASO 5: Se dividen ambos lados de la igualdad entre 36 ( para obtener del lado derechoigual a 1 como está en la ecuación particular ) y se simplifica:

( ) ( )2 24 2 9 1 3636 36 36

x y− +− =

( ) ( )2 22 11

9 4x y− +

− =

donde (por ser el primer denominador) y (por ser el segundo denomina-2 9a = 2 4b =dor); por lo tanto, se trata de una hipérbola horizontal, ya que la fracción positiva contienea la variable X.

De esta ecuación se obtienen los valores de: ; ; ; . Y por la re-2h = 1k = − 3a = 2b =lación de las constantes a, b y c, se obtiene que

2 2c a b= +

9 4c = +3 6c .≈

Es decir, se trata de una hipérbola cuyo centro está en , como lo muestra la figu-( )2 1O , −ra 7.3 de la página siguiente.

Si es la distancia del centro a los vértices, las coordenadas de los vértices se obtie-3a =nen contando tres unidades a la izquierda y tres a la derecha a partir del centro:

( ) ( )1 1V 2 3 1 V 1 1, ,− − = − −

( ) ( )2 2V 2 3 1 V 5 1, ,+ − = −

La longitud del eje real es igual a ; la del eje imaginario es .( )2 2 3 6a = = 2 4b =

Si es la distancia del centro a los focos, las coordenadas de los focos se obtienen3 6c .≈contando 3.6 unidades a la izquierda y 3.6 a la derecha a partir del centro:

( ) ( )1 1f 2 3 6 ; 1 f 1 6 ; 1. .− − = − −


( ) ( )2 2f 2 3 6 ; 1 f 5 6 ; 1. .+ − = −

Ejemplo 2: Transformar a su ecuación general la siguiente ecuación particular de una hipérbola:

( ) ( )2 24 21

49 4x y+ −

− =

Solución: Para eliminar los denominadores, debe multiplicarse toda la igualdad por el producto de losdos denominadores, es decir, por 196. Haciéndolo, se obtiene:

( ) ( ) ( )2 24 2

196 196 196 149 4

x y + − − =

( ) ( )2 24 4 49 2 196x y+ − − =

elevando al cuadrado los binomios indicados:

4( ) ( )2 24 8 16 49 4 4 196x x y y+ + − − + =

haciendo las multiplicaciones indicadas:

b = 2

a = 3 c = 3.6

ejeimaginario

1

2

3

4

5

-2

-3

-4

-5

1 3 4 5 7 8-3-4-5-6

f1 f2

-1-2 6

figura 7.3


2 24 32 64 49 196 196 196x x y y+ + − + − =

finalmente, escribiendo todo en el lazo izquierdo, reduciendo términos semejantes y orde-nando conforme a la forma de la ecuación general, se llega a:

2 24 32 64 49 196 196 196 0x x y y+ + − + − − =

2 24 49 32 196 328 0x y x y− + + − =

Ejemplo 3: Hallar las coordenadas de los vértices y los focos, las ecuaciones de sus asíntotas, así comola longitud de sus ejes real e imaginario de la siguiente hipérbola. Esbozar su gráfica.

( ) ( )2 21 21

9 25y x− +

− =

Solución: La fracción positiva contiene a la variable Y, lo que significa que el eje focal es paralelo aleje Y. Por los denominadores, se tiene que

,2 9a =2 25b =

de donde

a = 3b = 5

por lo tanto

2 2c a b= +

9 25 5 83c .= + ≈

además;2h = −

1k =

Si las coordenadas del centro son , sumándole y restándole a su ordenada (por-( )2 1O ,−

que se trata de una hipérbola vertical) el valor de , se obtienen las coordenadas5 83c .=de los focos, o sea


( ) ( )1 1f 2 ; 1 5 83 f 2 ; 6 83. .− + = −

( ) ( )2 1f 2 ; 1 5 83 f 2 ; 4 83. .− − = − −

De la misma forma, si las coordenadas del centro son , sumándole y restándole a( )2 1O ,−

su ordenada (porque se trata de una hipérbola vertical) el valor de , se obtienen las3a =coordenadas de los vértices, o sea

( ) ( )1 1V 2 1 3 V 2 4, ,− + = −

( ) ( )2 2V 2 1 3 V 2 2, ,− − = − −

La longitud del eje real es ; mientras que la longitud del eje imaginario es( )2 2 3 6a = =

.( )2 2 5 10b = =

Las ecuaciones de sus asíntotas se calculan con por ser el eje real( )ay k x hb

− = ± −

es paralelo al eje Y.

Para la primera asíntota se tiene que

( )31 25

y x− = +

( ) ( )5 1 3 2y x− = +

5 5 3 6y x− = +

3 5 11 0x y− + =

Para la segunda asíntota se tiene que

( )31 25

y x− = − +

( ) ( )5 1 3 2y x− = − +

5 5 3 6y x− = − −

3 5 1 0x y+ + =


La gráfica correspondiente se muestra en la figura 7.4:

Ejemplo 4: Una hipérbola con eje focal horizontal tiene por asíntotas a las rectas y7 6 6 0x y− + =. Hallar su ecuación.7 6 6 0x y+ − =

Solución: Como el punto de intersección de las asíntotas es el centro de la hipérbola, entonces resol-viendo por simultáneas las ecuaciones de dichas asíntotas se obtienen los valores de yhde .k

7 6 6 0por simultáneas

7 6 6 0x yx y

− + = + − =

Resolviendo el sistema con la calculadora se obtiene que y ; pero esta equis0x = 1y =

es realmente el valor de y esta ye es el valor de por ser las coordenadas del centro,h kasí que y .0h = 1k =

Pasando a su ecuación particular la primera de las asíntotas:

7 6 6 0x y− + =6 7 6y x− = − −

c = 5.83

a = 3

b = 5

f1

f2

V2

asíntotaasíntota

eje imaginario

X

Y

X

Y

3 5 6-7 -1-2-3-6 42-8-9 -5 -4

3

5

6

7

1

8

-4

-5

-6

4

2

-1

-3

-2

V1

figura 7.4


6 7 66 6 6y x− −= −

− − −

7 16

y x= +

Como la pendiente de las asíntotas es (una es positiva y la otra negativa), en este casoba

por tratarse de una hipérbola horizontal se deduce que y que . Por lo tanto,7b = 6a =la ecuación de esta hipérbola es

( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b− −

− =

( ) ( )2 2

2 2

0 11

6 7x y− −

− =

( )22 11

36 49yx −

− =


EJERCICIO 10

Transformar a la forma particular las siguientes ecuaciones de hipérbolas:

1) 4x2 - y2 + 8x - 6y - 21 = 0 2) 25x2 - 4y2 - 150x - 8y + 121 = 03) x2 - 4y2 + 4x - 32y - 24 = 0 4) 25x2 - 64y2 - 350x - 1024y - 1271 = 05) 9x2 - 16y2 + 162x + 32y + 569 = 0 6) x2 - 25y2 - 22x - 150y - 79 = 07) 25x2 - 36y2 + 100x - 72y + 964 = 0 8) x2 - 4y2 - 2x - 48y - 147 = 0

Transformar a su ecuación general las siguientes hipérbolas:

9) 10)( ) ( )2 25 2

116 4

x y+ +− = ( ) ( )2 21 8

116 9

x y+ −− =

11) 12)( ) ( )2 24 7

136 4

x y− +− = ( ) ( )2 29 1

125 49

x y+ −− =

13) 14)( ) ( )2 28 4

19 4

y x+ −− = ( ) ( )2 211 1

19 4

y x− −− =

15) 16)( )22 7

1100 49

xy +− = ( )22 3

124 10

yx +− =

17) Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son V1 (1, 11) y V2 (1, - 15) y las coordenadas de sus fo-cos son f1 (1, 12) y f2 (1, - 16). Hallar su ecuación.

18) Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son V1 (- 10, 2) y V2 (16, 2) y las coordenadas de sus fo-cos son f1 (- 12, 2) y f2 (18, 2). Hallar su ecuación.

19) Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son V1 (- 4, 0) y V2 (16, 0) y las coordenadas de sus focosson f1 (- 7, 0) y f2 (19, 0). Hallar su ecuación.

20) Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son V1 (- 2, 8) y V2 (- 2, - 2) y las coordenadas de susfocos son f1 (- 2, 11) y f2 (- 2, - 5). Hallar su ecuación.

21) Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son V1 (13, 0) y V2 (- 17, 0) y la longitud de su eje imagi-nario es 8. Hallar su ecuación.

22) Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son V1 (- 9, 1) y V2 (17, 1) y la longitud de su eje imagi-nario es 2. Hallar su ecuación.

23) Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son V1 (4, 15) y V2 (4, - 25) y la longitud de su eje imagi-nario es 6. Hallar su ecuación.

24) Las coordenadas de los focos de una hipérbola son f1 (1, 5) y f2 (1, - 5) y la longitud de su eje imaginario es 8. Hallar su ecuación.

25) Las coordenadas de los focos de una hipérbola son f1 (- 10, - 2) y f2 (0, - 2) y la longitud de su eje imagina-rio es 6. Hallar su ecuación.


26) Las coordenadas de los focos de una hipérbola son f1 (- 5, 0) y f2 (5, 0) y la longitud de su eje imaginario es8. Hallar su ecuación.

27) Las coordenadas del centro de una hipérbola son O (3, - 1) y la de uno de sus focos es f2 (16, - 1). Si la lon-gitud de su eje imaginario es 24. Hallar su ecuación.

28) Las coordenadas del centro de una hipérbola son O (0, 2) y la de uno de sus focos es f2 (5, 2). Si la longitudde su eje imaginario es 6. Hallar su ecuación.

29) Las coordenadas de los focos de una hipérbola son f1 (1, 10) y f2 (1, - 16) y la longitud de su eje imaginarioes 24. Hallar las coordenadas de sus vértices.

30) Las coordenadas de los focos de una hipérbola son f1 (- 10, - 2) y f2 (0, - 2) y la longitud de su eje imagina-rio es 6. Hallar las coordenadas de sus vértices.

31) Las coordenadas de los focos de una hipérbola son f1 (- 5, 0) y f2 (- 31, 0) y la longitud de su eje imaginarioes 10. Hallar las coordenadas de sus vértices.

32) Las coordenadas del centro de una hipérbola son O (1, - 1) y la de uno de sus focos es f2 (14, - 1). Si la lon-gitud de su eje imaginario es 10, hallar las coordenadas de sus vértices.

33) Las coordenadas del centro de una hipérbola son O (0, 2) y la de uno de sus focos es f2 (15, 2). Si la longi-tud de su eje imaginario es 18, hallar las coordenadas de sus vértices.

34) Las coordenadas de los focos de una hipérbola son f1 (- 2, - 10) y f2 (- 2, 0) y la longitud de su eje imagina-rio es 8. Hallar la ecuación de sus asíntotas.

35) Las coordenadas de los focos de una hipérbola son f1 (0, - 5) y f2 (0, 5) y la longitud de su eje imaginario es8. Hallar la ecuación de sus asíntotas.

36) Las coordenadas del centro de una hipérbola son O (3, - 1) y la de uno de sus focos es f2 (16, - 1). Si la lon-gitud de su eje imaginario es 10, hallar la ecuación de sus asíntotas.

37) Las coordenadas del centro de una hipérbola son O (0, 2) y la de uno de sus focos es f2 (5, 2). Si la longitudde su eje imaginario es 6, hallar la ecuación de sus asíntotas.

SOLUCIONES Página 133

SOLUCIONES

Ejercicio 1, página 19.

1) elipse, desplazada sobre el eje X y sobre el eje Y.2) hipérbola, desplazada sobre el eje X y sobre el eje Y.3) circunferencia, desplazada sobre el eje X y sobre el eje Y.4) parábola , desplazada sobre el eje X, sobre el eje Y nada se puede decir y abre hacia el eje Y.5) no es cónica.6) parábola, desplazada sobre el eje Y, sobre el eje X nada se puede decir y abre hacia el eje X.7) circunferencia, no está desplazada sobre ningún eje.8) no es cónica.9) hipérbola, desplazada sobre el eje X y sobre el eje Y.10) recta.11) parábola, desplazada sobre el eje Y, sobre el eje X nada se puede decir y abre hacia el eje X.12) parábola, sin desplazar sobre el eje X, sobre el eje Y nada se puede decir y abre hacia el eje Y.13) circunferencia, desplazada sobre el eje Y y no deplazada sobre el eje X.14) recta.15) elipse, sin desplazamiento sobre ningún eje.16) no es cónica.17) parábola, desplazada sobre el eje Y, sobre el eje X nada se puede decir y abre hacia el eje X.18) no es cónica.19) elipse, sin desplazamiento sobre ningún eje.20) hipérbola, sin desplazamiento sobre eje X, desplazada sobre el eje Y.21) recta.22) hipérbola, sin desplazamiento sobre ningún eje.23) hipérbola, sin desplazamiento sobre eje X, desplazada sobre el eje Y.24) recta.25) no es cónica.26) circunferencia, desplazada sobre el eje Y y no deplazada sobre el eje X.27) elipse, desplazada sobre el eje X y no desplazada sobre el eje Y.28) no es cónica.29) parábola, desplazada sobre el eje X, sobre el eje Y nada se puede decir y abre hacia el eje Y.30) recta.

Ejercicio 2, páginas 32 y 33.

1) 2) 3)68 19.θ = 19 29.θ =3

3AD

BC

mm

== −

4) 5) 6) CP = 535BDm = − 3

4CPm = −

7) Q(4.03 ; 2.5) 8) 9)0 62m .= 0 30.θ =10) m = 0.267 11) m = 6.313 12) m = 0.46613) m = 0.218 14) d = 9.21 15) d = 1016) d = 2 17) d = 5.65 18) (2, 1)

SOLUCIONESPágina 134

19) 20) C(8, 7) 21) y = 14142

, −

22) 7 617 61 Se trata de untriángulo isósceles5 65

AB .AC .BC .

= = =

23) mediana al lado AB: 24) mediana al lado AB: 112

, −

1 92 2

,

mediana al lado BC: mediana al lado BC: ( )2 3, 1522

,

mediana al lado AC: mediana al lado AC: 302

,

7 72

,

25) mediana al lado AB: 9 22

, − −

mediana al lado BC: 5 72 2

, −

mediana al lado AC: 152

, −

26) 413

longitud de sus lados413

AB

BD

CD

AC

dddd

= = = =

13 6longitud de sus diagonales

13 6AD

BC

d .d .

= =

Por lo tanto, es un rectángulo

27) .55

longitud de sus lados55

AB

BC

CD

AD

dddd

= = = =

6longitud de sus diagonales

8AC

BD

dd

= =

Por lo tanto, es un rombo.

28) 13 9213 92

longitud de sus lados13 9213 92

AB

BC

CD

AD

d .d .d .d .

= = = =

10longitud de sus diagonales

26AC

BD

dd

= =

Por lo tanto, es un rombo


29) 30) (7, 2)mediana al lado AC 14 03mediana al lado AB = 9 89mediana al lado BC 10 63

...

=

=

31) Se calcula la distancia del punto de intersección de las diagonales a cada uno de los vértices y por comparacióndebe verse que las distancias son iguales en cada diagonal.


1) m = - 4 ; b = 2 2) m = - 4 ; b = - 83) m = - 3 ; b = - 2 4) m = 5 ; b = 615) m = - 9 ; b = 0 6) m = - 19 ; b = 07) m = 13 ; b = 0 8) m = - 4 ; b = - 11/29) m = - 3 ; b = - 21/5 10) m = 5/2 ; b = 33/211) m = -9/7; b = 19/7 12) m = - 3/2; b = 013) m = - 1 ; b = 0 14) m = 83/2; b = - 51/2

15) D = 3 ; E = - 1 ; F = 8 16) D = 7 ; E = 1 ; F = - 117) D = 5 ; E = - 1 ; F = - 13 18) D = 15 ; E = 1 ; F = 2319) D = 5 ; E = - 7 ; F = 2 20) D = 4 ; E = - 9 ; F = - 1221) D = 11 ; E = 14 ; F = - 2 22) D = 1 ; E = 24 ; F = 2923) D = 1 ; E = 33 ; F = - 25 24) D = 17 ; E = - 14 ; F = 225) D = 10 ; E = 4 ; F = - 1 26) D = 10 ; E = - 11 ; F = 027) D = 130 ; E = 6 ; F = 5 28) D = 51 ; E = - 12 ; F = - 5


1) 7x + y - 16 = 0 2) y = 6x - 26 3) 2x - y - 6 = 0

4) y = 2x - 16 5) y = - x - 17 6)1 203 3

y x= +

7) 2x + 3y = 0 8) 3x - 7y - 80 = 0 9) 9x + 5y + 32 = 0

10) AB: 4x + 5y - 9 = 0 11) AB: 4x - 11y + 44 = 0BC: 5x + y + 15 = 0 BC: 7x + y - 4 = 0AC: x - 4y + 3 = 0 AC: 11x - 10y - 41 = 0

12) 10x - 8y + 39 = 0 Se obtienen las coordenadas del punto medio de AB. Se calcula la pendiente dellado AB y se traslada a la mediatriz por la condición de perpendicularidad. Conpunto y pendiente se obtiene la ecuación pedida.

13) x - 7y + 3 = 0

14) 2x - y + 6 = 0 Se obtienen las coordenadas del punto medio de AB. Con ese punto y las coorde-nadas del vértice C, con dos puntos se obtiene la ecuación pedida.

15) 5x - 7y + 1 = 0

16) 5x - 4y + 15 = 0 Se calcula la pendiente del lado AB y se traslada a la altura por la condición deperpendicularidad. Con el punto C y la pendiente se obtiene la ecuación pedida.


17) x - 7y + 45 = 0

18) C(- 2, - 2) Se resuelven por simultáneas las ecuaciones de los lados AC y BC.

19) 3x + 2y - 4 = 0 Se calculan las coordenadas de los vértices resolviendo por simultáneas las ecua-ciones de sus lados y luego se repite el proceso de los problemas 12 a 17.

20) 3x - 5y - 4 = 0 21) 3x - y - 6 = 0 22) x - 5y + 2 = 023) x - 5y - 8 = 0 24) x + 2y + 4 = 0

25) C( 16/7; 6/7) Se calculan las coordenadas de los vértices resolviendo por simultáneas las ecua-ciones de sus lados. Se obtienen las ecuaciones de dos mediatrices con el proce-dimiento de los problemas 12 y 13. Se resuelven por simultáneas éstas ecuacio-nes.

26) B(4/3; 0) Se calculan las coordenadas de los vértices resolviendo por simultáneas las ecua-ciones de sus lados. Se obtienen las ecuaciones de dos medianas con el procedi-miento de los problemas 14 y 15. Se resuelven por simultáneas éstas ecuaciones.

27) d = 4.72 28) d = 5.63

Ejercicio adicional, página 61.

1) 2)( )26 33x + − ( )25 32x + −

3) 4)( )21 22x − − ( )27 38x − −

5) 6)( )211 113x + − ( )28 96x − −

7) 8)21 43

2 3x + +

23 432 4

x − +

9) 10)29 81

2 4x − −

27 492 4

x + −


1) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 4 ; C(- 1; - 2) ; r = 22) (x + 1)2 + (y + 5)2 = 9 ; C(- 1; - 5) ; r = 33) (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9 ; C( 2; 2) ; r = 34) (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1 ; C( 1; - 1) ; r = 15) (x - 5)2 + (y - 3)2 = 36 ; C( 5; 3) ; r = 66) (x - 3)2 + (y + 2)2 = 49 ; C( 3; - 2) ; r = 77) (x - 7)2 + (y + 1)2 = 1 ; C( 7; - 1) ; r = 18) (x + 10)2 + (y - 5)2 = 25 ; C( - 10; 5) ; r = 59) x2 + (y - 8)2 = 112 ; C( 0; 8) ; r = 10.58


10) (x + 9)2 + y2 = 16 ; C( - 9; 0) ; r = 4

11) x2 + y2 + 2x + 18y + 73 = 0 12) x2 + y2 + 14x - 4y + 4 = 013) x2 + y2 - 6x + 24y - 16 = 0 14) x2 + y2 + 20x + 18y + 100 = 015) x2 + y2 + 22x - 2y + 97 = 0 16) x2 + y2 + 26x - 16y + 229 = 017) x2 + y2 - 8x + 6y + 24 = 0 18) x2 + y2 - 4x - 18y + 49 = 019) x2 + y2 - 10y + 9 = 0 20) x2 + y2 + 12x - 364 = 0

21) D = - 4 ; E = 0 ; F = - 5 22) D = - 10 ; E = 2 ; F = 2223) D = 12 ; E = - 20 ; F = 87 24) D = 0 ; E = 14 ; F = - 9525) D = - 6 ; E = 8 ; F = 9 26) D = 16 ; E = 6 ; F = - 827) D = 18 ; E = - 2 ; F = - 114 28) D = 0 ; E = 0 ; F = - 6429) D = - 22 ; E = - 8 ; F = - 32 30) D = - 14 ; E = - 14 ; F = 49

Ejercicio 7, página 87, 88 y 89.

1) x2 + y2 - 4x - 8y - 149 = 0 2) x2 + y2 + 2x - 4y - 164 = 03) x2 + y2 - 2x - 224 = 0 4) x2 + y2 + 12x + 8y + 27 = 0

5) C(- 1 ; 2) Se obtienen las ecuaciones de dos mediatrices cualesquiera y se resuelvenpor simultáneas.

6) C(0 ; 0)

7) 3x - 4y - 7 = 0 Se calcula la pendiente del radio CP y se traslada a la tangente por la con-dición de perpendicularidad. Con punto C y pendiente se obtiene la ecua-ción pedida.

8) 4x - 3y + 44 = 0 9) 4x - 3y + 35 = 0 10) 2x - y - 27 = 0

11) (x + 3)2 + (y - 2)2 = 225 Se obtienen las coordenadas del punto medio del diámetro, que es el cen-tro C. Con las coordenadas del centro y de uno de los puntos dados se cal-cula la longitud del radio. Con centro y radio se deduce la ecuación parti-cular de la circunferencia.

12) (x + 5)2 + (y + 7)2 = 25

13) (x - 2)2 + (y - 5)2 = 100 Se obtiene la ecuación del lado QR con la fórmula de dos puntos. La dis-tancia del lado QR al centro es el radio. Esa distancia se calcula con lafórmula de distancia entre un punto y una recta. Con centro (P) y radio sededuce la ecuación particular de la circunferencia.

14) (x - 4)2 + y2 = 169

15) x2 + (y - 3)2 = 225 Se calcula la ecuación de la mediatriz al segmento PQ. Esta mediatriz pasapor el centro (ver propiedad 2, página 8). Las coordenadas del centro de lacircunferencia son C(0, k) y como por allí pasa la mediatriz, se sustituyenlas coordenadas del centro en la ecuación de la mediatriz para obtener k.Con las coordenadas del centro y de uno cualquiera de los dos puntos da-dos se abtiene el radio. Con centro y radio se deduce la ecuación particularde la circunferencia.


16) (x - 4)2 + y2 = 25

17) (x + 3)2 + y2 = 169 Se obtiene la ecuación del radio que pasa por P con la ecuación de punto-pendiente (pendiente perpendicular a la tangente dada). Se obtiene laecuación de la mediatriz al segmento PQ. Resolviendo por simultáneasestas dos ecuaciones se obtienen las coordenadas del centro. Se calcula elradio con la distancia del centro a uno de los dos puntos dados. Con centroy radio se deduce la ecuación particular de la circunferencia pedida.

18) (x + 1)2 + (y - 3)2 = 25

19) 36x2 + 36y2 - 840x -828y + 5008 = 0 o bien 2 235 23 100

3 2x y − + − =

Con el radio y la ecuación de una de las rectas se emplea la fórmula de distancia entre un punto y una recta,resultando una ecuación con dos incógnitas h y k. Se repite lo anterior con la otra recta para obtener así dosecuaciones con dos incógnitas. Se resuelven por simultáneas para obtener h y k. Con centro y radio se dedu-ce la ecuación particular de la circunferencia.

20)2 222 21 25

3 4x y − + + =

21) Para que sean tangentes exteriores debe cumplirse que la suma de sus radios sea igual a la distancia entre suscentros.


1) (x + 3)2 = 4(y + 1) V(- 3; - 1) p = 1 f(- 3 ; 0)2) (x - 2)2 = 12(y + 5) V( 2; - 5) p = 3 f( 2 ; - 2)3) (x - 3)2 = - 8(y + 2) V( 3; - 2) p = - 2 f( 3 ; - 4)4) (y + 8)2 = 20(x + 1) V( - 1; - 8) p = 5 f( 4 ; - 8)5) (y - 6)2 = - 4(x - 3) V( 3; 6) p = - 1 f( 2 ; 6)6) (y - 3)2 = - 24(x + 1) V( - 1; 3) p = - 6 f( - 7 ; 3)7) y2 = 8(x - 1) V( 1; 0) p = 2 f( 3 ; 0)8) (y + 2)2 = - 16x V( 0; - 2) p = - 4 f( - 4 ; - 2)9) x2 = - 12(y + 5) V( 0; - 5) p = - 3 f( 0 ; - 8)10) (x - 7)2 = 20y V( 7; 0) p = 5 f( 7 ; 5)

11) x2 + 6x - 24y + 33 = 0 12) x2 + 14x - 4y + 93 = 013) x2 + 18x + 8y + 161 = 0 14) x2 - 2x - 12y + 49 = 015) x2 + 8y + 80 = 0 16) y2 + 16x - 12y + 132 = 017) y2 + 20x - 16y + 84 = 0 18) y2 + 4x - 24y + 136 = 019) y2 + 28x + 28 = 0 20) y2 + 40x + 8y + 16 = 0

21) (y - 2)2 = 16(x - 2) 22) (x - 2)2 = - 12(y + 2)23) (y + 1)2 = 12(x + 3) 24) (y - 3)2 = - 24(x - 5)


25) (x + 4)2 = 24(y + 2) 26) (x - 9)2 = - 24(y - 1)27) (y - 1)2 = - 16(x - 3) 28) (y - 5)2 = - 8(x - 2)29) (x + 3)2 = - 16y 30) (x + 2)2 = 4(y + 2)31) (y - 3)2 = 8(x - 7) 32) (y + 2)2 = - 12(x - 3)33) (y - 3)2 = 16(x + 4) 34) (x - 1)2 = - 12(y - 5)35) (y - 7)2 = 3x 36) (y - 7)2 = 8(x + 2)37) (y - 1)2 = - 12(x - 4) 38) (x + 3)2 = 16(y + 5)39) (x - 11)2 = - 4(y - 1) 40) (x + 2)2 = - 8(y - 3)41) (x + 2)2 = - 12(y - 1) 42) (y - 4)2 = 12(x + 5)43) (x - 1)2 = 20(y + 9) 44) (x + 5)2 = 12(y + 9)45) (x - 1)2 = 4(y - 5) 46) (x - 5)2 = 8(y + 1)47) (x - 6)2 = - 2(y + 2)


1) 2)( ) ( )2 21 3

14 16

x y+ ++ = ( ) ( )2 23 1

14 25

x y− ++ =

3) 4)( ) ( )2 22 4

136 9

x y+ ++ = ( ) ( )2 27 8

164 25

x y− ++ =

5) 6)( ) ( )2 29 1

116 9

x y+ −+ = ( ) ( )2 211 3

125 1

x y− ++ =

7) 8)( ) ( )2 22 1

136 25

x y+ ++ = ( ) ( )2 26 7

15 80

x y− ++ =

9) x2 + 4y2 + 10x + 16y + 25 = 0 10) 9x2 + 16y2 + 18x - 256y + 889 = 011) x2 + 9y2 - 8x + 126y + 421 = 0 12) 49x2 + 25y2 + 882x - 50y + 2769 = 013) 4x2 + 9y2 + 64x - 72y + 364 = 0 14) 4x2 + 9y2 - 88x - 18y + 457 = 015) x2 + 64y2 + 12x + 256y + 228 = 0 16) x2 + 9y2 + 10x - 216y + 1240 = 0

17) 18)( ) ( )2 21 2

125 169

x y− ++ = ( ) ( )2 23 2

1169 144

x y− −+ =

19) 20)( )2 26

1100 64

x y−+ = ( ) ( )2 22 3

19 25

x y+ −+ =

21) 22)( )2 22

1225 144

x y++ = ( ) ( )2 24 1

1169 144

x y− −+ =

23) 24)( ) ( )2 24 5

1256 400

x y− ++ = ( ) ( )2 21 1

19 25

x y− −+ =


25) 26)( ) ( )2 25 2

1169 144

x y+ ++ =

2 2

141 16x y+ =

27) 28)( ) ( )2 23 1

1169 25

x y− ++ = ( )2 2

1169 144

yx −+ =

29) V1(1 ; 6) ; V2(1 ; - 4) 30) V1(- 18 ; - 2) ; V2(8 ; - 2)31) V1(- 3 ; 23) ; V2(- 3 ; - 29) 32) V1(- 10 ; - 1) ; V2(16 ; - 1)

33) V1(- 10 ; 5) ; V2( 16 ; 5) 34)( ) ( )2 23 2

115 64

x y− −+ =

35) 36)( ) ( )2 21 4

181 45

x y+ −+ =

2 2

11521 225

x y+ =

37) 38)( )22 2

148 64

yx ++ = ( ) ( )2 23 4

1625 400

x y− −+ =

39)( ) ( )2 23 8

145 20

x y− −+ =


1) 2)( ) ( )2 21 3

14 16

x y+ +− = ( ) ( )2 23 1

14 25

x y− +− =

3) 4)( ) ( )2 24 2

19 36

y x+ +− = ( ) ( )2 28 7

125 64

y x+ −− =

5) 6)( ) ( )2 29 1

116 9

x y+ −− = ( ) ( )2 23 11

11 25

y x+ −− =

7) 8)( ) ( )2 21 2

125 36

y x+ +− = ( ) ( )2 21 6

14 1

x y− +− =

9) x2 - 4y2 + 10x - 16y - 7 = 0 10) 9x2 - 16y2 + 18x + 256y - 1159 = 011) x2 - 9y2 - 8x - 126y - 461 = 0 12) 49x2 - 25y2 + 882x + 50y + 2719 = 013) 9x2 - 4y2 - 72x - 64y - 76 = 0 14) 9x2 - 4y2 - 18x + 88y - 439 = 015) 100x2 - 49y2 + 1400x - 9800 = 0 16) 10x2 - 24y2 - 144y - 456 = 0

17) 18)( ) ( )2 22 1

1169 27

y x+ −− = ( ) ( )2 23 2

1169 56

x y− −− =


19) 20)( )2 26

1100 69

x y−− = ( ) ( )2 23 2

125 39

y x− +− =

21) 22)( )2 22

1225 16

x y+− = ( ) ( )2 24 1

1169 1

x y− −− =

23) 24)( ) ( )2 25 4

1400 9

y x+ −− = ( )22 1

19 16

xy −− =

25) 26)( ) ( )2 25 2

116 9

x y+ +− =

2 2

19 16x y− =

27) 28)( ) ( )2 23 1

125 144

x y− +− = ( )22 2

116 9

yx −− =

29) V1(1 ; 2) ; V2(1 ; - 8) 30) V1(- 9 ; - 2) ; V2(- 1 ; - 2)31) V1(- 30 ; 0) ; V2(- 6 ; 0) 32) V1(13 ; - 1) ; V2(- 11 ; - 1)33) V1( 12 ; 2) ; V2(- 12 ; 2)

34) 35)( )35 24

y x+ = ± + 34

y x= ±

36) 37)( )51 312

y x+ = ± − 324

y x− = ±

Geometría Análitica (LHCastro)

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