Geometría ángular

1

Guía Nº 3

Geometría Angular

Elementos de Geometría

Geometría: es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de las figuras.

Ideas fundamentales:

Punto: elemento fundamental de la geometría, no tiene dimensiones, se le asigna una letra

mayúscula.

Recta: conjunto infinito de puntos alineados, no tiene principio ni fin, tiene una dimensión.

A B AB

Semirrecta o rayo: es un subconjunto de una recta que tiene principio y no-fin.

A B AB

Segmento o trazo: subconjunto de una recta que tiene principio y fin.

A B AB

Plano: conjunto infinito de puntos que forman una superficie que no tiene espesor, tiene dos

dimensiones.

Espacio: es el conjunto de todos los puntos, tiene tres dimensiones.

Postulados importantes:

i) Dos rectas sé intersectan en un solo punto.

A A es el punto de intersección

2

ii) La intersección entre dos planos es una recta.

Ángulo: es la unión entre dos rayos de origen común.

AOB : ángulo AOB.

O: vértice

OA y OB : lados del ángulo

Medida de un ángulo: es la cuantificación de la mayor o menor abertura que existe entre los

lados del ángulo, la unidad más usada son los grados sexagesimales.

Ej. AOB = 30º

Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida:

Ángulo agudo: tiene su medida entre 0º y 90º.

Ángulo recto: mide 90º.

Ángulo obtuso: tiene su medida entre 90º y 180º.

Ángulo extendido: mide 180º.

Ángulo completo: mide 360º.

Los ángulos cuyas medidas están entre 0º y 180º reciben el nombre de convexos y los que

tienen por medidas superiores a 180º y menores a 360º se llaman cóncavos.

Posición relativa de rectas:

i) Dos rectas distintas en un plano si no sé intersectan se dicen paralelas.

L1

L1 // L2

L2

ii) Dos rectas que al intersectarse forman ángulos rectos, se dicen perpendiculares.

L2

L1 L1 L2

O A

B

3

180º

180º

180º

180º

O

A

B

T

Bisectriz de un ángulo: es la recta que divide en dos ángulos de igual medida a un ángulo.

OT es bisectriz AOT = TOB

Relaciones entre ángulos:

i) Si las medidas de dos ángulos suman 90º entonces se dicen complementarios. El

complemento de un ángulo es igual a 90º menos el ángulo.

ii) Si las medidas de dos ángulos suman 180º entonces se dicen suplementarios. El

suplemento de un ángulo es igual a 180º menos el ángulo.

iii) Dos ángulos se dicen contiguos o consecutivos, si comparten el vértice y un lado y sus

interiores no se intersectan.

AOB es consecutivo a BOC

iv) Dos ángulos se dicen adyacentes si son consecutivos y suplementarios.

AOB y BOC son suplementarios

Teorema: sí dos rectas sé intersectan, entonces:

i)

O

A

B

C

O A

B

C

4

ii)

Teorema: dos paralelas que son cortadas por una transversal o secante forman 8 ángulos que

cumplen con:

Nombres de los ángulos:

Ángulos alternos internos Ángulos alternos internos Ángulos correspondientes

1 con 7 3 con 5 1 con 5

2 con 8 4 con 6 2 con 6

3 con 7

4 con 8

Los ángulos que tienen igual medida son:

Ángulos alternos internos Ángulos alternos internos Ángulos correspondientes

1 = 7 3 = 5 1 = 5

2 = 8 4 = 6 2 = 6

3 = 7

4 = 8

Teoremas adicionales:

i) Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces tendrán igual

medida si tienen la misma clasificación y serán suplementarios si tienen distinta

clasificación.

ii) Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares, entonces tendrán

igual medida si tienen igual clasificación y serán suplementarios si tienen distinta

clasificación.

123 4

56

7 8

L1

L2

L1 // L2

5

A B

C

ab

c

Polígono: es una figura plana cerrada formada por la unión de tres o más segmentos.

Polígono convexo Polígono cóncavo

Triángulo: es un polígono de tres lados.

A, B y C son vértices

, y son ángulos interiores

AB c, BC a y CA b son lados del triángulo

Relaciones entre lados y ángulos interiores:

i) La suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercero; a + b > c.

ii) La diferencia positiva de dos lados de un triángulo es menor que el tercero; b c a .

iii) A ángulo interior mayor se opone el lado mayor.

iv) A ángulo interior menor se opone el lado menor.

v) A ángulos interiores iguales se oponen lados iguales.

Clasificación de los triángulos:

i) Según sus lados:

i-1) Equilátero: sus tres lados iguales y sus ángulos interiores iguales (60º)

i-2) Isósceles: a lo menos dos lados iguales y si tiene uno distinto este se llama base.

i.3) Escaleno: sus tres lados distintos.

6

A B

C

A

B

C

ii) Según sus ángulos interiores:

ii-1) Acutángulo: sus tres ángulos interiores agudos.

ii.2) Rectángulo: tiene un ángulo interior recto.

ii-3) Obtusángulo: tiene un ángulo interior obtuso.

Teorema: Las medidas de los ángulos interiores suman 180º.

180º

Ángulo exterior: es aquel que está formado por un lado y la prolongación del lado consecutivo a

él.

'

', ' y ' son ángulos exteriores

'

'

Teorema: la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los interiores no adyacentes a él.

' ' '

Teorema: la suma de las medidas de los ángulos exteriores es 360º

' ' ' 360º

Puntos y rectas notables de un triángulo.

Altura: es la recta que pasando por un vértice intersecta al lado opuesto o a su prolongación de

manera perpendicular, la intersección de las alturas se llama ortocentro.

Bisectriz: es la recta que dimidia a un ángulo interior, la intersección de las bisectrices se llama

incentro.

Simetral: es la perpendicular que divide a un lado en dos partes iguales, la intersección de las

simetrales se llama circuncentro.

7

A B

C

A’ B’

C’

b a

c

b’ a’

c’

Transversal de gravedad: es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado

opuesto, la intersección de las simetrales se llama centro de

gravedad o baricentro.

Mediana: es el segmento que une los puntos medios de un par de lados del triángulo.

Observaciones:

i) En un triángulo equilátero todas las rectas notables y los puntos notables coinciden.

ii) En un triángulo isósceles, las rectas notables coinciden solo cuando intersectan el lado distinto.

iii) En un triángulo escaleno nada coincide.

iv) Las medianas son paralelas al lado opuesto y miden la mitad del lado al cual es paralela.

Congruencia de triángulos

Dos triángulos se dicen congruentes cuando son iguales en medidas y forma.

'

' '

'

'

'

ABC A 'B 'C '

a a'

b b '

c c '

Para determinar si dos triángulos son congruentes, no es necesario probar que todos los

elementos correspondientes son iguales, si no basta con probar un grupo de elementos, estos

grupos de elementos se llaman postulados de congruencia.

i) (l, l, l) lado, lado, lado; si los tres lados correspondientes en dos triángulos son iguales,

entonces los triángulos son congruentes.

ii) (l, a, l) lado, ángulo, lado: si dos de lados son iguales y el ángulo comprendido por ellos son

iguales, entonces los triángulos son congruentes.

iii) (a, l, a) ángulo, lado ángulo: si dos ángulos son iguales y el lado que forma parte de los dos

ángulos también lo es, entonces los triángulos son congruentes.

8

Paralelogramos

Rectángulos Rombos

Cuadriláteros y Polígonos

Cuadriláteros: son polígonos de cuatro lados, la suma de los ángulos interiores es 360º. En todo

cuadrilátero se verifica que:

i) La suma de los ángulos interiores es 360º.

ii) La suma de los ángulos exteriores es 360º.

Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

Clasificación

Paralelogramos: tiene sus lados opuestos son paralelos.

i) Cuadrado: sus lados iguales y sus ángulos interiores rectos.

ii) Rectángulo: sus ángulos interiores rectos.

iii) Rombo: sus cuatro lados iguales.

iv) Romboide: sus lados opuestos paralelos.

Trapecios: tiene un par de lados paralelos, llamados bases.

i) Trapecio isósceles: tiene sus lados no paralelos iguales.

ii) Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos interiores rectos.

iii) Trapecio escaleno: tiene sus lados no paralelos distintos.

Trapezoides: no tienen lados paralelos.

Paralelogramos

Propiedades: estas propiedades son de todos los paralelogramos.

i) Sus ángulos interiores opuestos son iguales.

ii) Sus pares de ángulos consecutivos son suplementarios.

iii) Sus lados opuestos son iguales.

iv) Sus diagonales sé intersectan dimidiándose.

9

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

Diagonales

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

IGUALES BISECTRICES PERPENDICULARES

SI SI SI

SI NO NO

NO SI SI

NO NO NO

A B

D C

Trapecio Trapecio TrapecioIsósceles Rectángulo Escaleno

CAB BDC y ABD DCA

AB DC y BD CA

AE ED y BE EC

Trapecios

AB //CD (son bases del trapecio)

180º y 180º

Sólo en el Trapecio Isósceles las diagonales son iguales.

A B

C D

E

10

Trapezoides

Los trapezoides solo tienen las propiedades de todo cuadrilátero, pero existe un

trapezoide simétrico que tiene varias propiedades, lo que lo hace motivante para ejercicios, es

más varias veces a aparecido en pruebas reales de selección Universitaria, por tanto lo

estudiaremos, este trapezoide se llama Deltoide.

Propiedades:

i) AD = DC y CB = BA

ii) DAB BCD

iii) AC BD

iv) DB es bisectriz

v) DB dimidia a AC

Propiedades de polígonos en general:

Sea n el número de lados (n además es igual al número de; vértices, ángulos interiores y

exteriores), luego:

i) La suma de los ángulos interiores es 180º · (n – 2), n – 2 es el número de

triángulos que se genera al trazar todas las diagonales desde un mismo vértice.

ii) La suma de los ángulos exteriores es siempre 360º, independiente del número de

lados.

iii) El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono es n (n 3)

2

,

donde n – 3 es el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice.

Polígono regular es aquel que tiene; lados iguales, ángulos interiores iguales y ángulos

exteriores iguales.

iv) La medida de un ángulo interior de un polígono regular es 180º (n 2)

n

.

v) La medida de un ángulo exterior de un polígono regular es 360º

n

A

B

C

D

11

Circunferencia

Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro.

O: centro de la circunferencia.

r: radio, segmento que une el centro con un punto

cualquiera de la circunferencia.

c: cuerda, segmento que une dos puntos de la

circunferencia.

D: diámetro, es la cuerda que pasa por el centro, luego es

la cuerda mayor de una circunferencia y D = 2r.

T: tangente, es la recta que intersecta a la circunferencia

en un solo punto, llamado punto e tangencia.

S: secante, es la recta que intersecta a la circunferencia en

dos puntos.

AB : arco, es una parte de la circunferencia.

Ángulos en una circunferencia:

AOB ; ángulo del centro, está formado por dos radios.

CDE , ángulo inscrito, está formado por dos cuerdas de

origen común.

HGF , ángulo semi inscrito, está formado por un

tangente y una cuerda que llega al punto de tangencia.

Teoremas:

1. Un ángulo del centro es igual equivalente al arco que encierra.

AOB AB

O

A

B

c

D

S

T

r

A

B

O

O

A

B

CD

E

FG

H

12

2. Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo inscrito, entonces el del

centro mide el doble del inscrito.

AOB 2 ACB

Corolario:

ABACB

2

3. Dos o más ángulos inscritos que encierran el mismo arco tienen igual medida.

ABACB ADB

2

4. Una radio que llega el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

r T

5. Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo semi inscrito, entonces el del

centro mide el doble del semi-inscrito.

AOB 2 ABC

Corolario

ABABC

2

O

B

A

C

A

B

C

D

r

T

A

B

O

C

13

AB

CD

A

BC

D

A

B

C

D

6. Todo triángulo rectángulo está inscrito en una semicircunferencia.

ABC es rectángulo en C.

7. Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, entonces sus ángulos opuestos son

suplementarios.

180º

180º

8. La medida de un ángulo interior es iguala a semisuma de los arcos que encierra.

AB CD

2

9. La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia positiva de los arcos que

encierra.

CD AB

2

A B

C

O

14

A

C

I

r

r

B

r

8. Si dos tangentes se intersectan entonces se generan dos segmentos congruentes.

AB AC

Corolario:

De la demostración del teorema anterior, se desprende

que CAO OAB , por tanto AO es bisectriz, de esto

derivamos en que la intersección de las bisectrices e

un triángulo es el incentro, centro de la circunferencia

inscrita. Por lo tanto el incentro equidista de los lados

del triángulo.

9. Un radio es perpendicular a una cuerda sí y solo sí dimidia a la cuerda.

r AB AE EB , además si el radio es perpendicular a la

cuerda, entonces AF FB .

A

B

C

A

B

C

O

r

r

ABE

O

r

F

15

Podemos decir que la simetral de una cuerda debe pasar por el centro, lo cual nos permite decir

que la intersección de la simetrales en un triángulo, se llama circuncentro, centro de la

circunferencia circunscrita al triángulo. El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.

10. Si dos cuerdas son iguales, entonces los arcos encerrados por ellas son iguales.

AB CD AB CD

De este teorema se deriva que todo polígono regular es

inscriptible en una circunferencia.

Al triángulo FOA se le llama triángulo fundamental.

A

B

O

C

r

rr

AB

C

D

A B

C

E

F

O

rr

r

rr

16

Ejercicios

1. La suma de dos ángulos es 78º y uno de ellos mide los 3

5 del complemento del otro, luego

las medidas de ambos ángulos es:

2. La medida del ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos consecutivos cuyas

medidas son 32º y 52º es:

3. Las medidas de dos ángulos adyacentes son; 7x – 54º y 5x + 18º, luego x =

4. Las medidas de dos ángulos opuestos por el vértice son; 8x + 2º y 3x + 12º, luego x =

5. Dos rectas AB y CD se cortan en el punto O, talque el ángulo AOC es el cuádruplo de la

medida del ángulo COB. Calcular las medidas del los ángulo de vértice O.

6. Sobre los lados de un ángulo se trazan perpendiculares a sus lados, demuestre que el

ángulo formado por las rectas perpendiculares y el ángulo original son suplementarios.

7. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos y complementarios forman un ángulo de

medida igual a:

8. Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo son números pares consecutivos,

¿cuánto mide el menor ángulo interior?

9. Las medidas de dos ángulos exteriores suman 270º y el mayor ángulo exterior mide 150º,

luego el triángulo es:

10. Sobre los lados de un triángulo ABC cualquiera, se construyen triángulos equiláteros

externamente; BCD, CAE y ABF, demostrar que AD = BE = CF, demostrar que AD = BE =

CF.

11. Si se prolonga la transversal de gravedad AM del triángulo ABC hasta que D de manera tal

que MD = MD y luego se une B con D, demostrar que BD = AC.

12. Al prolongar los lados iguales BA y CA de un triángulo ABC, de manera que AD = AE,

probar que BE = CD.

17

3yºxº -2yº

m

n

x

L1

L2

x

L1

L2

70º

Ejercicios de alternativas

1. Sobre una línea recta se ubican los puntos A, B, C y D consecutivamente. Si M y N son los

puntos medios de AB y CD respectivamente, y AC + BD = 50, entonces MN =

A) 20

B) 25

C) 30

D) 40

E) 50

2. En la figura 1, ¿cuál es el mayor valor de y?

A) 45º

B) 50º

C) 60º

D) 59º

E) 58º fig. 1

3. Si las rectas L1 y L2 (figura 2) son paralelas y m es el complemento de n, entonces x =

A) 15º

B) 30º

C) 20º

D) 40º

E) 60º fig. 2

4. En la figura 3, L1 // L2, luego x =

A) 100º

B) 105º

C) 110º

D) 115º

E) 120º fig. 3

18

L1

L2

L3 L4

2x

5x

11x

L1

L2

L3 L4

m

a

n

b

20º

25º35º

x

5. En la figura 4, L1 // L2 y L3 // L4, luego 3x – 12º =

A) 15º

B) 16º

C) 17º

D) 18º fig. 4

E) 10º

6. En la figura 5, L1 // L2 y L3 // L4. Si m – n = 25º, entonces a – b =

A) 10º

B) 15º

C) 20º

D) 25º

E) 30º fig. 5

7. ¿Cuál es la medida del ángulo x en la figura 6?

A) 50º

B) 60º

C) 65º

D) 70º

E) 80º fig. 6

19

x

75º

E F

GH

A

B

C

D

E 25º

30º

25º

8. En la figura 7, EFGH es cuadrado, luego la medida de x es

A) 60º

B) 50º

C) 45º

D) 30º

E) 20º fig. 7

9. En un triángulo ABC, el ángulo en el vértice A mide 58º. ¿Cuánto mide el ángulo BDC

donde D es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos de los vértices B y C?

A) 125º

B) 119º

C) 110º

D) 102º

E) 29º

10. ¿Cuánto mide el ángulo formado por las bisectrices de los dos ángulos exteriores obtusos

de un triángulo rectángulo?

A) 30º

B) 45º

C) 60º

D) 75º

E) 90º

11. En la figura 8; AB = BE y BD = DC, luego el triángulo ABD es

A) acutángulo

B) obtusángulo

C) rectángulo

D) equilátero

E) isósceles rectángulo fig. 8

20

A M P B

A B

C D

E

40º

A B

C

D

x

A F C

D

E

B

12. En la figura 9; AB = AE, AF = FE, FD = DC y EC = FC, si el ángulo FDC mide 40º, entonces

la medida del ángulo BAC es

A) 45º

B) 55º

C) 65º

D) 70º

E) 80º fig. 9

13. En la figura 10, M es el punto medio del segmento AB y P es un punto cualquiera entre M y

B, ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta?

A) MP = PB

B) AM = 2·PB

C) PM = PA PB

2

fig. 10

D) MP = AB

2

E) BP = 2·MP

14. El triángulo ABC de la figura 11 es isósceles de base AB, CD es paralelo a AB y AD es

bisectriz del ángulo CAB, luego ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) AC = CD

II) CE = EB

III) AD BC

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) Todas fig. 11

15. En el triángulo ABC de la figura 12, las líneas punteadas son bisectrices de los ángulos

respectivos, ¿cuánto mide x?

A) 40º

B) 30º

C) 20º

D) 10º

E) No se puede determinar fig. 12

21

U P

A

M

L

30º

15º

A B

C

D

E

T

50º

70º

60º

A B

C

D

E

F

A

BC

D

16. En el triángulo UPA se han trazado las alturas AM y AL, figura 13, ¿cuánto mide el ángulo

APL?

A) 10º

B) 15º

C) 30º

D) 45º fig. 13

E) 75º

17. En la figura anterior (figura 4), ¿cuánto mide el mayor ángulo formado por las alturas AM y

PL?

A) 30º

B) 60º

C) 120º

D) 145º

E) 150º

18. Los triángulos ABC y ADE son congruentes, si el ángulo BAE mide 90º, entonces el ángulo

TAB mide

A) 20º

B) 30º

C) 45º

D) 60º fig. 14

E) 80º

19. En la figura 15, BD, DF, EF y AE son bisectrices, luego DFE

A) 80º

B) 100º

C) 120º

D) 140º


20. En el triángulo de la figura 16, DA = AB, si ABC - ACB = 30º, entonces DBC =

A) 10º

B) 15º

C) 30º

D) 45º

E) 60º fig. 16

22

B C

A

D

E

m3m

2m

m 7m

A C

B

D

A B

C

E

D

F

GH

A B

C

D

aº

x

21. Los triángulos de la figura 17, son isósceles con AB = AC = BD, si BD AC entonces los

ángulos ACB y ADB suman

A) 115º

B) 120º

C) 130º

D) 135º

E) no tiene solución única fig. 17

22. En la figura 18, AB = CD, luego m =

A) 10º

B) 15º

C) 18º

D) 20º

E) 9º fig. 18

23. El triángulo ABC de la figura 19 es equilátero, si los ángulos EDF y FHG son iguales,

entonces la medida del ángulo GED es

A) 30º

B) 40º

C) 50º

D) 60º

E) Falta información fig. 19

24. En la figura 20, CD y BD son bisectrices de los ángulos exteriores, luego x =

A) 1

(90º aº)2

B) 90º - aº

C) 180º - aº

D) 180º - 2aº

E) 1

(180º aº)2

fig. 20

23

A C

D

B EL1

L2

x

A M N

R

Q

P

55º

125º

aº

bº

A B

C

D

EF

40º

G

60º

D C

B

A

10

9

19

5

25. En la figura 21, aº + bº =

A) 55º

B) 70º

C) 75º

D) 80º

E) 90º fig. 21

26. En la figura 22, L1 // L2, el ángulo CAE mide 18º, si DE = 2·AB, entonces ¿cuánto mide el

ángulo x?

A) 18º

B) 36º

C) 42º

D) 54º

E) 72º fig. 22

26. Los triángulo ABC y DEF de la figura 23 no son congruentes, D y G son puntos medios de

los lados AB y BC respectivamente, si AB // EF, entonces FDE =

A) 80º

B) 70º

C) 60º

D) 65º

E) no se puede determinar fig. 23

27. En el cuadrilátero de la figura 24, una medida posible de la diagonal AC es

A) 9

B) 10

C) 13

D) 15

E) 20 fig. 24

24

50ºx

A B

C

I

30º

30ºV A

N

E

S

P

QR

A

CB

X

D

Y

28. En la figura 25, I es el incentro del triángulo ABC, ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 30º

B) 40º

C) 50º

D) 60º


29. El triángulo VAN de la figura 26 es equilátero, si el ángulo ENS mide 15º, entonces el

ángulo EAS mide

A) 15º

B) 25º

C) 30º

D) 45º

E) 50º fig.26

30. En la figura 27, todos los lados interiores al ángulo PQR son iguales, si dicho ángulo mide

18º, ¿cuántos triángulos isósceles se pueden formar?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) infinitos fig. 27

31. El triángulo ABC de la figura 28 es rectángulo en B, AX = AD y CY = CD, la medida del

ángulo XDY es

A) 35º

B) 40

C) 45º

D) 50º

E) 60º fig. 28

25

bº

aº

xº

A

B

C

D

E

A B

CD

E

F

G

A B

CD

P

Q xº

32. En el cuadrilátero de la figura 29, AE y CE son bisectrices, si aº > bº entonces xº =

A) aº - bº

B) aº bº

2

C) aº

bº2

D) bº

aº2

E) aº bº

2

fig. 29

33. En el rectángulo de la figura 30, AE es bisectriz del BAD , EF es perpendicular a la

diagonal BD, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) Si EAC 15º , entonces BCG es equilátero

II) CAB BCF

III) ACE es isósceles

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III fig. 30

34. En la figura 31, ABCD es cuadrado, DAPQ es rombo, si P está en la prolongación de la

diagonal CA, entonces xº =

A) 17,5º

B) 22,5º

C) 45º

D) 90º

E) 135º fig. 31

26

D

C

B

A

EP

120º

80º

x

D C

A B

R

35. En el polígono de la figura 32, AB // PC, AP // BC, si AP y CP son bisectrices de los ángulos

interiores respectivos, entonces el ángulo x mide

A) 60º

B) 100º

C) 120º

D) 140º

E) 160º fig. 32

36. Las bisectrices de los ángulos en A y en B en la base menor de un trapecio se cortan en el

punto R (figura 33). La razón entre la medida del ángulo R y la suma de las medidas de los

ángulos en C y D de la base mayor es

A) 2 : 1

B) 1 : 2

C) 3 : 1

D) 1 : 4

E) 2 : 3 fig. 33

37. En el triángulo de la figura 34, CAB = 50º, ABC = 30º y BCA = 100º, si CH es altura

y AT es transversal de gravedad, entonces THB =

A) 15º

B) 22,5º

C) 30º

D) 40º fig. 34

E) 45º

A H B

T

C

27

x

L1

L2

2

A B

C

D

78º

81º 39º

A

B

CD

x

38. En la figura 35, L1 // L2, luego x =

A) 160º

B) 150º

C) 135º

D) 130º

E) 120º fig. 35

39. El triángulo ABC de la figura 36 es isósceles de base AB, BC = CD, si BC CD, entonces el

ángulo BAD mide

A) 15º

B) 30º

C) 40º

D) 45º

E) 60º fig. 36

40. ¿Cuánto mide el ángulo x (figura 37), si AB = BC?

A) 7º

B) 9º

C) 10º

D) 12º

E) 18º fig. 37

28

BC

D

E

A

3

A B

C

D

E

F

A B

C

D

E

F

x

z

y

41. Si AB = AE y BC = BD (figura 38), entonces ¿cuánto mide ?

A) 20º

B) 30º

C) 45º

D) 50º

E) 53º fig. 38

42. El triángulo ABC de la figura 39 es equilátero, si AD = 1

3AC, CE =

1

3AB, entonces el ángulo

BFC mide

A) 60°

B) 75°

C) 90°

D) 100°

E) 120° fig. 39

43. Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces se forman dos

triángulos

A) isósceles rectángulos congruentes.

B) acutángulos escalenos congruentes.

C) acutángulos congruentes.

D) escalenos rectángulos congruentes.

E) equiláteros congruentes.

44. En la figura 40, si ABC y BEC son triángulos equiláteros y BFEC es un rombo, entonces

¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s) ?

I) x = z

II) x + y = EBD

III) x + y – z = 60°

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

fig. 40

29

x

y

z

a

b

x

4

A E D

C

B

x

2x

45. Sobre una recta se ubican los puntos O, A, B, C de manera consecutiva, si 1 1 1

OC OB OA y

AB AC 289 , entonces OA =

A) 11

B) 13

C) 15

D) 17

E) 19

46. En la figura 41, a // b, luego x + y + z =

A) 120º

B) 135º

C) 150º

D) 165º

E) 180º fig. 41

47. En la figura 42, ED

AB BC2

, luego x =

A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 60º


48. En la circunferencia de la figura 43, ¿cuál es la medida de x?

A) 15º

B) 20º

C) 22,5º

D) 30º

E) 36º fig. 43

30

30º 15º

x

A M B

C

2

6

A D C

B

A D C

B

E

2

S

T

U

V

49. En la figura 44, CD = 2·AD, luego =

A) 15º

B) 20º

C) 25º

D) 30º

E) 35º fig. 44

50. En el triángulo ABC de la figura 45, AM = MB, luego el ángulo x mide

A) 75º

B) 60º

C) 45º

D) 30º

E) 15º fig. 45

51. En el triángulo ABC de la figura 46, AD = BC, ¿cuál es la medida de ?

A) 10º

B) 12º

C) 15º

D) 18º

E) 20º fig. 46

52. En la figura 47, S, T, U y V son puntos de tangencia, luego =

A) 160º

B) 170º

C) 180º

D) 200º

E) 240º fig. 47

31

O D C

B

8

2

x + yy

A

B CD

E

a

a

b

b

c

a + c

2x

x

53. En la figura 48, la semicircunferencia tiene centro en D, el arco BD tiene centro en O, si la

medida del arco BC es 100º, entonces el arco BD mide

A) 10º

B) 20º

C) 30º

D) 40º

E) 50º fig. 48

54. ¿Cuánto mide x en la figura 49, si AE = DC y EB = BD?

A) 8

B) 6

C) 5

D) 4

E) 2 fig. 49

55. En la figura 50, ¿cuál es la medida del ángulo x?

A) 30º

B) 22,5º

C) 18º

D) 15º

E) 12º fig. 50

32

M

N

P

Q

R S

T

30º

x

A

B C

D

O

x

A B

C

D

E

56. Si AB = 60º y BC = 120º son arcos consecutivos de una circunferencia, entonces el mayor

ángulo interior del triángulo ABC mide:

A) 30º

B) 60º

C) 90º

D) 100º

E) 120º

57. En la figura 51, el cuadrilátero NTPS está inscrito en la circunferencia, si el arco QM mide

60º, entonces el ángulo x mide:

A) 60º

B) 100º

C) 120º

D) 140º

E) 240º fig. 51

58. En la circunferencia de la figura 52, AB // CD, si el arco AB mide 70º, entonces x =

A) 45º

B) 55º

C) 60º

D) 110º


59. El pentágono ABCDE de la figura 53 es regular, luego =

A) 36º

B) 54º

C) 72º

D) 108º

E) 144º fig. 53

33

A

B C D

E

x

A B

CD

M

N

80º

60. Si BC = CD = DE = AB

2, entonces el ángulo x =

A) 60º

B) 80º

C) 90º

D) 120º

E) 207º

2 fig. 54

61. En un trapecio rectángulo la diferencia entre los ángulos interiores distintos es 36º, luego

la medida del menor ángulo interior es:

A) 36º

B) 72º

C) 90º

D) 108º

E) ninguna de las anteriores

62. ABCDE es un pentágono regular y ABPQ es un cuadrado interior al pentágono, luego el

ángulo DBQ mide

A) 27º

B) 30º

C) 36º

D) 45º

E) 18º

63. En el cuadrado ABCD de la figura 55, ¿cuánto mide el ángulo ANC?

A) 35º

B) 45º

C) 55º

D) 125º

E) 145º fig. 55

34

H I J

K

L

A B

CD

64. Dos ángulos consecutivos de un cuadrilátero miden 100º y 120º, ¿Cuánto mide el mayor

ángulo formado por las bisectrices de los otros dos ángulos interiores?

A) 60º

B) 70º

C) 110º

D) 120º

E) 140º

65. En la figura 56, HL = LI = IK = KJ, si el ángulo JLH es el doble del ángulo LHJ, entonces el

menor de los ángulos interiores del triángulo HJL mide

A) 18º

B) 20º

C) 24º

D) 36º

E) 54º fig. 56

66. El triángulo ABC es rectángulo en C, si el ángulo en el vértice en B mide 24º, entonces la

medida del ángulo formado por la altura y la transversal de gravedad trazadas desde el

vértice C, mide:

A) 16º

B) 24º

C) 45º

D) 42º

E) 48º

67. El cuadrilátero de la figura 57 es un trapecio, los arcos AB y CD suman 140º, ¿cuánto mide

el ángulo BAC?

A) 55º

B) 60º

C) 70º

D) 110º fig. 57

E) No se puede determinar pues no se sabe que tipo de trapecio es

35

L1 L2

L3

L4

125º

A B

C

D

EF

40º

G

60º

68. El complemento del triple de un ángulo es 30º, luego el ángulo mide

A) 10º

B) 20º

C) 30º

D) 50º

E) 60º

69. En una semicircunferencia de diámetro AB, se traza una cuerda AC, tal que el ángulo BAC

= 20º, si la tangente PDQ (D punto de tangencia) es paralela a la cuerda AC, entonces las

medida del ángulo PDQ mide:

A) 20º

B) 30º

C) 35º

D) 40º

E) 70º

70. En la figura 58, L1 // L2 y L3 // L4, ¿cuánto mide el menor ángulo formado por L2 y L4?

A) 125º

B) 75º

C) 65º

D) 55º

E) 45º fig. 58

71. Los triángulo ABC y DEF de la figura 59 no son congruentes, D y G son puntos medios de

los lados AB y BC respectivamente, si AB // EF, entonces FDE =

A) 80º

B) 70º

C) 60º

D) 65º


36

M N

P

R

E F

GH

A

B

C

D

32º

50º

72. El triángulo MNP de la figura 60 es rectángulo en P, si MR = RN, entonces ¿cuál(es de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) NR = RP

II) PR es bisectriz de NPM .

III) Si NRP 50º , entonces MPR 25º .

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III fig. 60

73. En el trapecio isósceles de la figura 61, EH = HG, si EGF 111º , entonces EHG

A) falta información

B) 134º

C) 99º

D) 77º

E) 33º fig. 61

74. En el cuadrilátero de la figura 62 (deltoide), AB = BC y CD = DA, ¿cuánto mide el BCD ?

A) 40º

B) 58º

C) 82º

D) 98º

E) 108º fig. 62

37

A

B C

E

F

G

O

A B

C

D

75. El pentágono de la figura 63 es regular, luego AGF

A) 36º

B) 44º

C) 54º

D) 72º

E) 108º fig. 63

76. El triángulo achurado de la figura 64, está inscrito en un octógono regular, ¿qué tipo de

triángulo lo representa mejor?

A) equilátero

B) isósceles

C) isósceles acutángulo

D) isósceles rectángulo

E) rectángulo fig. 64

77. En la figura 65, AB BC CA y OD BC , entonces AOD

A) 60º

B) 90º

C) 120º

D) 150º

E) 180º fig. 65

78. ¿Cuál de los siguientes cuadriláteros no se puede inscribir en una circunferencia?

A) cuadrado

B) rectángulo

C) trapecio isósceles

D) un cuadrilátero cuyos ángulos interiores opuestos son suplementarios

E) un rombo de diagonales distintas

38

O

A

B

C

D

E

F

V

A

S

I

M

25º

79. La medida del ángulo EAO es 55º (figura 66), si F es punto medio de DB, entonces

EOD

A) 40º

B) 55º

C) 60º

D) 70º

E) 110º fig. 66

80. En el cuadrilátero VASI de la figura 67, el ángulo exterior SIM mide lo mismo que el ángulo

VAS, luego =

A) 25º

B) 45º

C) 50º

D) 55º


Sixto Maulén y Savane Emegu

2014

VSI

Geometría ángular

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