Geometría Diferencial Parte 2 - Palmas

7/26/2019 Geometra Diferencial Parte 2 - Palmas

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Esta es la continuacin de la Obra Curso de geo-

metra diferencial. Parte 1. Curvas y superficies.

En esta parte se estudian conceptos como: super_

ficie abstracta diferenciable, espacio tangente, m-tricas riemannianas y modelos de superficies con

curvatura constante, entre muchos otros.


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SCARA. PALMASVELASCOJ. GUADALUPE REYESVICTORIA

CURSO DE GEOMETRADIFERENCIAL

PARTE 2. GEOMETRA INTRNSECA DE LAS SUPERFICIES

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM


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Curso de geometra diferencial

Parte 2. Geometra intrnseca de las superficies1 edicin,29 de julio de 2012

Diseo de portada: Laura Uribe

Universidad Nacional Autnoma de Mxico

,

Facultad de Ciencias

ISBN:978-607-02-3487-3

Impreso y hecho en Mxico


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Prefacio

Este libro es la continuacin de la obra [16], y como aquella, esresultado de cursos impartidos a lo largo de varios aos, a estudiantes

de las licenciaturas de Matemticas y Fsica, tanto en la Facultad deCiencias de la UNAM, como en la Universidad Autnoma Metropo-litana Iztapalapa. Esta parte puede emplearse para un segundo cursode Geometra Diferencial impartido a lo largo de un periodo semestralo bien de uno trimestral.

En el captulo 1 se introduce el concepto de superficie abstractadiferenciable, su parametrizacin y los objetos geomtricos asociadosa sta al proveerla de una mtrica. Se introduce el concepto de espaciotangente a una superficie diferenciable y el concepto de orientacin.Adems, se definen los conceptos de mtricas riemannianas y semi-riemannianas (de Minkowski) y en particular se estudian los modelosde superficies con curvatura constante, que son los modelos bsicos delas geometras euclidiana, esfrica e hiperblica.

En el captulo 2 se estudia la geometra intrnseca de una super-ficie diferenciable, desarrollando para ello los conceptos de derivada

covariante de un campo vectorial, la curvatura geodsica y el trans-porte paralelo de un campo vectorial. Se estudian adems las curvasgeodsicas en una superficie como la generalizacin de las rectas en elplano. Se obtienen resultados geomtricos como el Lema de Liouvilley el Teorema de Clairaut.

En el captulo 3 se estudian las propiedades locales y globales de

iii


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iv

una superficie, utilizando los conceptos de aplicacin exponencial, lascoordenadas normales y polares, as como los crculos y rayos geodsi-cos. Adems se demuestra el teorema de completez de Hopf-Rinow

como un primer resultado global en una superficie completa.En el captulo 4 se estudian los grupos de isometras de las super-

ficies con curvatura constante.

Finalmente, en el captulo 5 se demuestra el Teorema de Gauss-Bonnet, estudiando para ello las propiedades topolgicas de una super-ficie, su triangulacin y su caracterstica de Euler-Poincar, as comola clasificacin de superficies cerradas y el ndice de un campo vecto-

rial. Este teorema muestra la relacin que hay entre las propiedadesdinmicas (geodsicas) y geomtricas (curvatura) de una superficie consus propiedades topolgicas (caracterstica de Euler) y es, sin duda,uno de los resultados principales de la Geometra Diferencial.

Al final de la obra se incluyen dos apndices con algunos elementosde la teora de funciones analticas, la topologa y la teora de espaciosmtricos necesarios para la lectura de este libro.

La notacin utilizada en esta obra es la misma que se utiliz enla primera parte. Nuevamente, al discutir algn ejemplo, el proceso seconcluye con el smbolo , mientras que cada demostracin terminacon .

La primera versin de esta obra fue realizada mientras el primerautor disfrut de una estancia sabtica en la Universidad Autno-ma Metropolitana, Unidad Iztapalapa. Agradecemos el apoyo del Dr.Carlos Signoret, jefe del Departamento de Matemticas, para la reali-

zacin de este proyecto. Igualmente, agradecemos al Comit Editorialy la Coordinacin de Servicios Editoriales de la Facultad de Cienciasde la UNAM, por el apoyo brindado para la publicacin de la obra.Por ltimo, agradecemos tambin a Daniel Espinosa, Guillermo Ruizy Vctor Cruz Barriguete su apoyo tcnico.

Los autores


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ndice general

Prefacio iii

ndice general v

1. Superficies abstractas 11.1. Superficies diferenciables abstractas . . . . . . . . . . . 11.2. El espacio tangente a una superficie . . . . . . . . . . . 141.3. Clculo diferencial en superficies . . . . . . . . . . . . . 231.4. Mtricas riemannianas e isometras . . . . . . . . . . . 31

1.5. El plano de Lobachevsky . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.6. El punto de vista conforme . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2. Transporte paralelo 552.1. Derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3. Orientacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4. Geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3. Superficies completas 1013.1. La aplicacin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.2. El Teorema de Minding . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.3. Geodsicas y curvas minimizantes . . . . . . . . . . . . 1183.4. Las superficies como espacios mtricos . . . . . . . . . 121

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vi ndice general

4. Isometras de formas espaciales 1294.1. Difeomorfismos de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.2. Isometras de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.3. Isometras de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.4. Isometras de la esfera S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.5. Isometras del plano de Lobachevsky . . . . . . . . . . 157

5. El Teorema de Gauss-Bonnet 1715.1. La caracterstica de Euler-Poincar . . . . . . . . . . . 1725.2. ndice y nmero de vueltas . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.3. Algunos aspectos histricos . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.4. Gauss-Bonnet I: La versin local . . . . . . . . . . . . . 1885.5. Gauss-Bonnet II: La versin global . . . . . . . . . . . 1915.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

A. Funciones complejas analticas 201

B. Topologa y espacios mtricos 207

Bibliografa 211ndice alfabtico 213


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Captulo 1

Superficies abstractas

En este captulo estudiamos el objeto conocido como superficiediferenciable abstracta1, generalizando el concepto de superficie dife-renciable en R3.

1.1. Superficies diferenciables abstractas

Iniciamos definiendo el concepto de superficie topolgica, con base

en el de espacio topolgico, que puede consultarse en el apndice B alfinal de este trabajo.

DEFINICIN 1.1. Un espacio topolgico Ses unasuperficie to-polgica si y slo si para cualquier punto p Sexiste una pareja(U, ), donde U es una vecindad de p en S y : U es unhomeomorfismo de una regin R2 en U.

Asociando coordenadas(u, v)en, las funcionesy1 se pueden

escribir como

(u, v) =q 1(q) = (u(q), v(q)), qU.Decimos tambin que provee a la superficie topolgica Sde un

sistema de coordenadas (u, v)alrededor del punto p.

1Tambin llamada variedad bidimensional o2-variedad en la literatura clsica.

1


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2 1.1. Superficies diferenciables abstractas

En otras palabras y de igual manera que para las superficies en R3,se dice que una superficie topolgica eslocalmente homeomorfaalplano. La figura 1.1 ilustra la definicin de superficie topolgica.

Figura 1.1: Superficie topolgica.

Consecuentemente, para demostrar que un espacio topolgico esuna superficie topolgica, es suficiente con definir en una vecindad decada punto una transformacin como en la definicin, o su transfor-macin inversa1.

DEFINICIN 1.2. Con la notacin de la definicin 1.1, decimosque

1. La pareja (U, )es unaparametrizacinde Salrededor de p.

2. La pareja (U, 1)es unacartade Salrededor de p.

3. Una familia de parametrizacionesU ={(Ui, i)}iIes una es-tructura topolgicaparaSsiS= i Ui.

4. Un conjunto de cartasA={(Ui, 1i )}iIes unatlasparaSsiS=

i Ui.

En este texto estableceremos la mayora de los conceptos, ejemplosy resultados en trminos de parametrizaciones, aunque el lector podrfcilmente realizar la interpretacin correspondiente a travs de cartas.


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Captulo 1. Superficies abstractas 3

EJEMPLO 1.3. Es fcil ver que todas las superficies diferenciablesen R3 obtenidas en [16] son superficies topolgicas.

EJEMPLO 1.4(Plano proyectivo real de dimensin dos). Definimoselplano proyectivo, denotado por RP2, como el conjunto de rectasque pasan por el origen en R3. Es decir, cada una de estas rectas es unpunto en RP2. Si se define la distancia entre dos puntos de RP2 como elmenor ngulo positivo entre las rectas correspondientes, entonces esteconjunto, con esta distancia, resulta ser un espacio mtrico. Damos aRP

2 la topologa definida mediante esta mtrica.Existe otra manera de definir el espacio proyectivo: Decimos que

una pareja de puntos pyqenR3

estn relacionados si y slo si estnsobre una misma recta que pasa por el origen; es decir, si y slo si existeun escalar = 0 tal que p = q. RP2 tambin se suele definir comoun conjunto de clases de equivalencia R3/bajo la relacin anterior.No es difcil comprobar que las topologas de espacio mtrico y deespacio cociente dadas a RP2 coinciden. Aclaramos esta afirmacin acontinuacin.

Sea : R3 RP2 la aplicacin que a cada punto p R3 \ {0}le asocia su clase de equivalencia [p] RP

2

. Afirmamos que es unafuncin continua.De la propiedad de la imagen inversa de los conjuntos abiertos bajo

aplicaciones continuas, ser suficiente con demostrar que la imageninversa bajo1 de una bola en RP2 es un abierto en R3 \ {0}.

Sean[p] RP2, >0 y

B([p]) ={[q] RP2 | d([p], [q])< }

la bola de radiocon centro en [p]. Entonces 1(B([p]))es un conoabierto en R3 \ {0}cuya generatriz es la recta{tp | t= 0}con ngulo en el vrtice, como se muestra en la figura 1.2. Esto demuestra laafirmacin y consecuentemente es continua.

Por otro lado, del hecho (1(B([p]))) = B([p]) y de la con-tinuidad de se sigue que un conjunto U RP2 es abierto si y slo


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Figura 1.2: Continuidad de la proyeccin .

si 1(U) R3 \ {0} es abierto. Esto dice que la topologa de RP2con la distancia dada es precisamente la topologa de espacio cociente(vase [4]).

Afirmamos que RP2 tiene una estructura de superficie topolgica.Para demostrar esto, utilizaremos el sistema de coordenadas euclidia-nas x, y, z en R3 para dotar a RP2 de coordenadas.

Observemos que

1. Si x= 0entonces

(x,y,z ) =x

1,y

x,z

x

es decir, los puntos(x,y,z )y(1,y/x,z/x)estn sobre una mismarecta que pasa por el origen.

2. Siy= 0, entonces los puntos (x,y,z )y(x/y, 1,z/y)estn sobreuna misma recta que pasa por el origen.3. De manera anloga, si z= 0, entonces los puntos (x,y,z ) y

(x/z,y/z, 1)estn sobre una misma recta que pasa por el origen.

La anterior discusin nos dice que podemos representar a los puntosde RP2 usando coordenadashomogneas(x: y :z), donde x, y, z R


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Figura 1.3: AbiertoU1 para el espacio proyectivo RP2.

y los elementos(x: y :z)y (x: y :z)representan el mismo puntocuando= 0.

De esta forma, podemos definir los conjuntos

U1 = { (x: y :z) RP2 | x= 0 }U2 = { (x: y :z) RP2 | y= 0 }U3 = { (x: y :z) RP2 | z= 0 }

y ya que

1(U1) = R3 \ {plano(y, z)}1(U2) = R3 \ {plano(x, z)}1(U3) = R3 \ {plano(x, y)}

entonces tales subconjuntos de RP2 resultan ser abiertos. Por ejemplo,U1es el conjunto de rectas que forman un ngulo positivo con el plano

yz(vase la figura 1.3).Construimos adems las aplicaciones i : i = R2 Ui mediantelas reglas de correspondencia

1(u1, v1) = (1 :u1:v1),

2(u2, v2) = (u2: 1 :v2),

3(u3, v3) = (u3:v3: 1).


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y las inclusiones Ji : i R3 mediante las reglas

J1(u1, v1) = (1, u1, v1),

J2(u2, v2) = (u2, 1, v2),

J3(u3, v3) = (u3, v3, 1).

Entonces para cada i = 1, 2, 3 se tiene Ji =i, lo que demuestraque cada i es una funcin continua.

Las inversasi :Ui R2 de estas parametrizaciones vienen dadaspor

(u1, v1) = 1(x: y :z) = yx

,zx ,

(u2, v2) = 2(x: y :z) =

x

y,z

y

,

(u3, v3) = 3(x: y :z) =x

z,y

z

.

Si se definen en los abiertos respectivos de R3 las aplicaciones continuas

Pi: 1

(Ui) R2

mediante

P1(x,y,z ) =y

x,z

x

,

P2(x,y,z ) =

x

y,z

y

,

P3(x,y,z ) =x

z,y

z

,

entonces Pi = i. De esta forma, al tomar un conjunto abiertoi, se tiene que P1i ()es abierto, pues P1i () = 1(1i ())es abierto si y slo si 1i () es abierto. Esto prueba la continuidadde las inversas i.

Se tiene entonces que{(Ui, i)} es una estructura topolgica (obien que{(Ui, i)}es un atlas) para RP2, lo que le hace una superficietopolgica llamada elplano proyectivo realde dimensin dos.


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Figura 1.4: Representante de una funcin f :S Rn.

En la definicin de superficie topolgica hemos establecido quecada punto en ella debe contar con una vecindad homeomorfa a unabierto de R2, pero ahora distinguiremos aquellas superficies cuyas

cartas y sus inversas sean diferenciables.Despus de parametrizar una porcin de una superficieS, podemos

estudiar cualquier objeto definido en tal porcin; por ejemplo, unaaplicacin f :S Rn. Sean pun punto arbitrario de Sy (U, ) unaparametrizacin alrededor dep, con : R2 Ucon coordenadas(u, v). Sea (u0, v0) de modo que (u0, v0) = p. Podemos definiruna funcin h: Rn de tal forma que

h(u, v) = (f )(u, v) =f(q),conq=(u, v)U. Decimos queh(u, v)representa localmente af(q)en las coordenadas (u, v), como se muestra en la figura 1.4.

Con esta notacin, diremos que la funcin f esdiferenciable enel puntopSsi h= f es diferenciable2 en el punto (u0, v0).

2En esta obra usamos la palabra diferenciablecomo sinnimo de C.


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Puesto que esta definicin est dada en trminos de una parame-trizacin, debemos mostrar que tal definicin es correcta, en el sentidode que no depende de la parametrizacin elegida. Si(U , )es otra pa-rametrizacin alrededor dep, de modo queftenga una representacin

h(u, v) =f (u, v),en trminos del cambio de coordenadas, tenemos

h= f = f ( 1) = (f ) (1 ) =h (1 ).Por lo tanto, para que la funcin representanteh en las coordenadas

(u, v) sea diferenciable es suficiente que la composicin 1 seadiferenciable. Anlogamente, se tiene

h=h (1 ),de modo que si hy 1 son diferenciables, entonces htambin loes.

A las funciones de cambio de coordenadas

1 : 1(U U)1(U U)y

1 : 1(U U) 1(U U)se les llamafunciones de transicinentre las coordenadas (u, v)ylas coordenadas (u, v)(vase la figura 1.5).

Esta discusin muestra la necesidad de la diferenciabilidad de los

cambios de coordenadas para definir la diferenciabilidad de una fun-cin, por medio de la propiedad correspondiente de una funcin re-presentante. Las propiedades del cambio de coordenadas hacen que ladiferenciabilidad no dependa del representante de la funcin, lo cualnos lleva a definir una estructura diferenciable en S.

DEFINICIN 1.5.SeaSuna superficie topolgica con la estructuraU={(Ui, i)}iI. Entonces


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Figura 1.5: Funciones de transicin en una superficie.

1. Dos parametrizaciones(U, )y (U , )enUsoncompatiblessiy slo si cada vez que U

U= se tiene que las funciones detransicin1 y 1 son diferenciables.

2.U es una estructura diferenciable para S si y slo si cua-lesquiera dos parametrizaciones deUson compatibles.

3. Ses una superficie diferenciable (abstracta) si y slo si Sadmite una estructura diferenciable.

El lector puede traducir la anterior definicin al lenguaje de lascartas; en particular, unatlas diferenciablees un atlas cuyas cartasson compatibles entre s.

Tambin existe el concepto de Cr-compatibilidad, donde se exigeque las funciones de transicin sean de clase Cr (r N{0}). Dejamosal lector los detalles de esta definicin.


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EJEMPLO 1.6. No es difcil comprobar que cualquier superficie di-ferenciableS R3 (vase, por ejemplo, [16]) es una superficie diferen-ciable en el contexto de la definicin 1.5.

Por cuestiones tcnicas, a veces conviene suponer que la estruc-tura diferenciable contiene a la mayor cantidad de parametrizacionesposibles (por ejemplo, todas las restricciones de una parametrizacindada). Formalizamos esta idea como sigue.

DEFINICIN 1.7. Sea Suna superficie diferenciable conU comoestructura diferenciable. Decimos queU esmaximalsi y slo si todaparametrizacin compatible con las parametrizaciones en

Upertenece

aU.PROPOSICIN 1.8. Toda estructura diferenciable est contenidaen una estructura diferenciable maximal.

Demostracin. SeaUuna estructura diferenciable paraSy definamosU como el conjunto de parametrizaciones compatibles con todas lasparametrizaciones deU. Es fcil ver que todos los elementos de Usoncompatibles entre s y que

Ues un atlas maximal (vase el ejercicio 1

de este captulo).

Damos otros ejemplos de superficies diferenciables.

EJEMPLO 1.9. Consideremos a la superficie S = R2 provista delatlas

A={(R2, ), (R2, )}donde (u, v) = (u, v) y (u, v) = (u, v3). Entonces las funciones de

transicin tienen reglas de correspondencia

(u, v) = 1(u, v) = (u, v3), (u, v) = 1(u, v) = (u, v1/3).Esto nos dice que con este atlas la superficie topolgica S = R2

no es diferenciable (ni siquiera de clase C1), pues la segunda funcincoordenada v = v1/3 no es diferenciable en 0; as, no se cumple ladefinicin 1.5.


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En el ejemplo 1.9 observamos que las cartas dadas correspondena estructuras diferenciables diferentes las cuales tienen tambin dife-rentes clases de diferenciabilidad.

En realidad, calcular el nmero de estructuras diferenciables dife-rentes (no compatibles entre s) que puede tener una superficie abs-tracta es un problema muy complicado y abierto hasta la fecha. Porejemplo, para el caso de una esfera de dimensin 7, Milnor demostrque existen 28 estructuras diferenciables distintas entre s; vase [15].La demostracin de esta afirmacin sale del alcance de este trabajo. Enlugar de eso, continuamos dando ejemplos de superficies diferenciables.

EJEMPLO 1.10. Consideremos el plano proyectivo RP2 del ejemplo1.4 con las parametrizaciones (Ui, i) all obtenidas. Para demostrarque RP2 es una superficie diferenciable es necesario comprobar quetodas las composiciones 1j iestn definidas en abiertos del planoR

2 y que son diferenciables.Veamos primero qu ocurre con 11 2. Observe que para poder

evaluar esta expresin, 2(u2, v2) debe estar en U1, por lo que dichacomposicin est definida en

{ (u2, v2)|u2= 0},que es un conjunto abierto en R2. La regla de correspondencia es

11 2(u2, v2) =11 (u2: 1 :v2) =

1

u2,v2u2

,

que es diferenciable. Las otras composiciones se analizan de mane-ra anloga. Esto hace del plano proyectivo real RP2 una superficie

diferenciable.Esta superficie se puede visualizar en R3 de la siguiente manera:

Cada punto de RP2 interseca dos veces a una esfera S2 en los puntosantpodaspy p. Dicho de otra forma, al realizar el espacio proyectivoRP

2, tales puntos se identifican (pegan) en el punto mencionado (vasela figura 1.6 a).


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Figura 1.6: RP2 obtenido:a.de una esfera S2 b.de un disco D2.

As, al identificar los puntos del hemisferio norte (z > 0) con susantpodas del hemisferio sur (z < 0), se obtiene una semiesfera cuyafrontera es el ecuador(z= 0). Topolgicamente, esta semiesfera es undisco cerradoD2 con su frontera, de modo que RP2 se obtiene tambin

de identificar los puntos antpodas de la frontera de un disco cerrado(vase la figura 1.6 b).

Claramente, al realizar las identificaciones antpodas de la fronterade D2 en R3, la superficie obtenida tendr autointersecciones.

No obstante, RP2 se puede realizar en R3 con una forma llamadagorro cruzado. Primeramente observamos que un disco D2 con sufrontera es topolgicamente equivalente a un cuadrado y que RP2 se

obtiene al identificar los lados de un cuadrado como se ilustra en lafigura 1.7. Tal identificacin es la misma que la que se efecta enla frontera del disco como se ilustra en la misma figura. Los puntosobtenidos A y B son puntos singulares y la evolucin de las curvasobtenidas por las intersecciones con planos horizontales se muestra enla misma figura.

Discutiremos ms adelante el problema de meter una superficie


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Figura 1.7: RP2 como un gorro cruzado en R3.

general en Rn (n3) sin autointersecciones. Aunque ya hemos dado la discusin sobre el concepto de diferen-

ciabilidad de una aplicacin definida en una superficie, enunciaremosformalmente este concepto para una fcil referencia.

DEFINICIN 1.11. Sea Suna superficie diferenciable con estruc-tura diferenciableU. Una funcin f :S Rn esdiferenciableen elpuntopSsi y slo si existe una parametrizacin (U, ) Ualrede-dor deptal que la funcin representanteh = f

es diferenciable en

el punto(u0, v0) =1(p). Se dice que la funcin f esdiferenciableenSsi lo es en cada punto pS.

El ejemplo a continuacin es una generalizacin del ejemplo 2.25de la primera parte de esta obra [16].

EJEMPLO 1.12. SeanSuna superficie diferenciable y(U, 1)una


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14 1.2. El espacio tangente a una superficie

carta alrededor de un punto pS. Entonces 1 :U es diferen-ciable enp, en el sentido de la definicin 1.11.

Consideremos una funcin diferenciable f : S Rn, n 1, unpunto p S y una parametrizacin (U, ) alrededor de p tal que

p= (u0, v0).

Si h = f es la funcin representante de f en = 1(U),se define el rango de f en p como el rango de la matriz Jacobiana(h/x)en(u0, v0), es decir, como el rango de la funcin representantehen el punto(u0, v0); esto es,

rango(f)p= rangohi

xj

(u0,v0)

= rango(h)(u0,v0)

donde h= (h1, h2, , hn)en las coordenadas u= x1, v=x2.Observamos que rango(f)p no depende de la parametrizacin ele-

gida, pues si(

U ,

)es otra parametrizacin alrededor dep y

h= f

es la funcin representante de f, al realizar el cambio de coordenadas

se tiene h= h (1 )lo que implica que

rangoh(

u0, v0) = rango h (1 )( u0, v0) = rango h(u0,v0)debido a que 1 tiene rango mximo por ser un difeomorfismo.

1.2. El espacio tangente a una superficie

En esta seccin definimos el espacio tangente a una superficie di-ferenciable abstracta. Primeramente definimos lo que es una curvadiferenciable en una superficie diferenciable abstracta utilizando lo es-tablecido en la seccin anterior.


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t0

U

(t)

1

Figura 1.8: Curva diferenciable en una superficie.

DEFINICIN 1.13. Una curvadiferenciableen una superficie Ses una aplicacin : J S continua, J = (, ), de tal forma quepara todo tJexiste una parametrizacin (U, ) de Salrededor de(t)Sde modo que la composicin : J (U)es una curvadiferenciable en el plano (vase la figura 1.8).

Como en la seccin anterior, no es difcil ver que esta definicin nodepende de la parametrizacin escogida.

Para una superficie S en R3, se define el espacio tangente TpSa S en p como el conjunto de vectores tangentes a todas las curvasdiferenciables que pasan porp. Sin embargo, esta propiedad no puedetraducirse directamente a las superficies abstractas. Para este caso,seguiremos un camino indirecto: Como cada curva en Sque pasa por

p puede verse como la imagen de una curva en R2 bajo una

parametrizacin, podemos decir que dos curvas en Stienen el mismovector tangente si y slo si las curvas correspondientes en R2 tienen elmismo vector tangente. A continuacin formalizamos esta idea.

DEFINICIN 1.14. Sean1, 2: (, )Sdos curvas diferencia-bles en una superficieSde tal forma que1(0) =2(0) =p. Se dice que1 y 2 sontangentes en psi y slo si para alguna parametrizacin


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(U, )de una vecindad depse tiene que

(1

1)

(0) = (1

2)

(0).

Es fcil ver que esta definicin no depende de la parametrizacin.Con base en esto, establecemos una relacin entre dos curvas. Di-remos que 12 si y slo si 1 y 2 son tangentes en p. Es fcil verquees una relacin de equivalencia.DEFINICIN 1.15. Dada una curva diferenciable : (, )Stal que(0) =p, la clase de equivalencia de bajo la relacin arribadefinida se llama el vector tangente a en p y se denota (0). El

espacio tangentea Senp, denotadoTpS, es el conjunto de vectorestangentes a todas las curvas : (, )Stales que (0) =p.

Como en [16], usaremos letras griegas , , para denotar vectorestangentes.

Una caracterstica fundamental del espacio tangenteTpSa una su-perficie en R3 es su estructura de espacio vectorial. Es posible dotarde dicha estructura al espacio tangente arriba definido, aunque de una

manera tediosa. En vez de esto, veremos de otra forma a los vectorestangentes, que nos ser de mayor utilidad. Primero definiremos el con-cepto de derivada direccional.

DEFINICIN 1.16. SeanSuna superficie diferenciable,pun puntoen Sy TpSun vector tangente asociado a una curva : (, )Stal que (0) = p; es decir, = (0). Sea f : S R una funcindiferenciable en p. Laderivada direccional de fen la direccin de

enp, denotada(f)p, se define mediante la igualdad(f)p= (f )(0).

Geomtricamente, esta derivada direccional se obtiene aplicandofa los puntos(t)de la curvay derivando la expresin resultante. Elsiguiente resultado nos dice que (f)p no depende de la curva en lacorrespondiente clase de equivalencia.


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PROPOSICIN 1.17. Seanf :S R una funcin diferenciable y1, 2: (, )Sdos curvas diferenciables en una superficieS talesque1(0) =2(0) =p y

1(0) =

2(0) =. Entonces

(f 1)(0) = (f 2)(0).

Demostracin. Puesto que slo interesa el comportamiento cerca dep, podemos considerar una parametrizacin(U, )de una vecindad deeste punto. Entonces

(f 1)(0) = (f 1 1)(0).

Aplicando la regla de la cadena usual a las funciones f : Ry1 1: (, ) (definidas en abiertos adecuados), se tiene

(f 1 1)(0) =d(f )1(p)(1 1)(0).

Pero como1 y2 son equivalentes,

d(f )1(p)(1 1)(0) = d(f )1(p)(1 2)(0)= (f

1

2)(0)= (f 2)(0),

lo que concluye la demostracin.

La derivada direccional satisface las siguientes propiedades, cuyademostracin es un buen ejercicio para el lector.

PROPOSICIN 1.18. Sif, g:S

R son funciones diferenciables

enpS yes un vector tangente aS enp, entonces:1. Si, R son escalares, entonces

(f+ g)p=(f)p+ (g)p

esto es, la operacin de derivada direccional es lineal.


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2. Se cumple la frmula de Leibniz,

(fg)p=f(p)(g)p+ (f)pg(p)

Las propiedades de linealidad y de la regla de Leibniz enunciadasen la proposicin 1.18 son caractersticas de cierto tipo de operacionesque definimos a continuacin.

DEFINICIN 1.19. Sean S una superficie diferenciable y p S.Una operacinD que aplica una funcin f :S

Rdiferenciable enp

en un nmero real D(f)pse llama unaderivacinen psi se satisfacelo siguiente:

1. Es lineal; es decir, si , R y f, g son dos funciones suaves,entonces

D(f+ g)p=D(f)p+ D(g)p

2. Dsatisface la regla de Leibniz

D(f g)p=f(p)D(g)p+ D(f)pg(p)

Por la proposicin 1.18, la operacin de derivada direccional esuna derivacin en p. Ms an, el siguiente resultado prueba que cadaderivacin enp es precisamente la derivada direccional en la direccinde un vector tangente.

PROPOSICIN 1.20. SiD es una derivacin enpS, entoncesexiste un nico vector TpS tal que para toda funcinf : S Rdiferenciable enp se cumple

D(f)p=(f)p.


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Pospondremos la demostracin por un momento. Este resultadomuestra la correspondencia biyectiva que existe entre los vectores tan-gentes a S en p y las derivaciones en el mismo punto. La primera

ventaja de esta correspondencia proviene del siguiente hecho.PROPOSICIN 1.21. El conjunto de derivaciones en p tiene laestructura de un espacio vectorial real.

Demostracin. Las operaciones se definen de manera natural: Si D1yD2 son derivaciones y R, entonces

(D1+ D2)(f) :=D1(f) + D2(f).

Es fcil ver que estas operaciones dan al conjunto de derivaciones laestructura de espacio vectorial real.

Ahora procedemos a dar una base para el espacio de derivacionesenp. Sea(U, )una parametrizacin de una vecindad de p, con coor-denadas x1, x2. Podemos suponer, sin prdida de generalidad, que(0, 0) =p. Definimos

1(t) =(t, 0), 2(t) =(0, t). (1.1)

Observemos que si fes una funcin diferenciable en p,

(f i)(0) = (f )xi

(0,0)

parai= 1, 2;

de modo que es natural3 denotar por x

i a las derivaciones correspon-dientes a cadai, i= 1, 2.

PROPOSICIN 1.22.

xi

i=1,2

es una base del espacio de deriva-ciones enp.

3Formalmente debemos escribir xi

(p), pero preferimos no complicar ms lanotacin.


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Demostracin. Mostraremos primero que los vectores xi

son lineal-mente independientes. Si

D=2

i=1

i

xi = 0,

esto quiere decir que D(f)p = 0para toda funcin fdiferenciable enp. Podemos aplicar la operacin Da la funcin j-sima coordenadadefinida paraqU como

j(q) =xj

, donde(x1

, x2

) =q;

observe que j (x1, x2) =xj. Entonces

0 =D(j)p=2

i=1

i (j )

xi

(0,0)

=j ,

lo que dice que los vectores son linealmente independientes.Ahora, para mostrar que los vectores /xi generan al espacio de

derivaciones, seguiremos un procedimiento anlogo. Sea D una deri-vacin arbitraria y definamos

D=2

i=1

D(i)p

xi, (1.2)

Para ver que D=D, basta verificar que las derivaciones coinciden enla base formada por las funciones j, j = 1, 2, lo cual se sigue de lasigualdades

D(j) =2

i=1

D(i)p

xi(j) =D(j).

Esto concluye la demostracin.


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La expresin (1.2) obtenida al final de la demostracin se conocecon frecuencia como elteorema de la base.

Ahora podemos analizar la proposicin 1.20. Recordemos que debe-

mos mostrar que cada derivacin D se puede ver como la derivadadireccional en la direccin de un vector tangente (0) a una curva : (, ) S con (0) = p. Por ejemplo, si D =

x1, podemos

considerar la curva 1(t) =(t, 0)como en la demostracin anterior.Esto da una idea de la manera de construir el vector tangente.

Demostracin de la proposicin 1.20. Sea D una derivacin. Supon-gamos que

D=

2i=1

i xi

y definamos (t) =(1t, 2t). Si=(0), entonces

(f)p= (f )(0) = (f 1 )(0)= d(f )(0,0)(1, 2)=

i d(f )(0,0)(ei)

= i d(f )(0,0)(1 i)(0)=

i (f i)(0)

=

i

xi

(f)p=D(f)p.

Aqu,{ei}es la base cannica de R2 y i son las curvas definidas en(1.1).

COROLARIO 1.23. Existe una biyeccin entre el espacio tangenteaS enp y el espacio vectorial de derivaciones enp.

Esta biyeccin nos permite dotar a TpSde una estructura de es-pacio vectorial. De hecho, como podemos identificar ambos conjuntos,podemos hacer un abuso de notacin, estableciendo por ejemplo que


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TpSes generado por

x1

, x2

. Esta identificacin no trae mayores

problemas; por el contrario, es de gran utilidad.

Para finalizar esta seccin, veamos qu ocurre con la expresin localde una derivacin D al cambiar de coordenadas. Ms precisamente,sea (U, ) una parametrizacin con coordenadas x1, x2 y (U , ) otraparametrizacin de S en p con coordenadas y1, y2. Si llamamos j alas proyecciones

j(q) =yj, j = 1, 2,

similares a las utilizadas en la demostracin de la proposicin 1.22,tenemos que Dse puede escribir como

D=2

j=1

D(j)p

yj.

(vase la ecuacin (1.2)). En particular, si D= xi

,

xi =

2

j=1

xi(j)p

yj.

Esto adquiere la forma familiar

xi =

2j=1

yj

xi(p)

yj. (1.3)

En general, dada una derivacin asociada a un vector con coordena-das(1, 2)y (1,2)en los sistemas de coordenadas(x1, x2)y(y1, y2),

respectivamente, se cumple la siguiente ecuacin matricial12

=

y1

x1y1

x2

y2

x1y2

x2

12

, (1.4)

todo evaluado en p.


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OBSERVACIN 1.24. Con frecuencia, la notacin de Einsteinsimplifica muchas de las expresiones vectoriales y matriciales relativasa los vectores tangentes. Con esta notacin, se omite el smbolo de

la suma, entendiendo que dicha operacin se realiza sobre los ndicesrepetidos superior e inferiormente en una expresin. As, por ejemplo,la ecuacin (1.3) se escribe

xi =

yj

xi(p)

yj.

OBSERVACIN 1.25. En algunos textos, sobre todo relacionados

con la Fsica, se utiliza la ecuacin (1.4) como definicinde un vec-tor tangente; ms precisamente, si p S y x1, x2 es un sistema decoordenadas alrededor de p, se define un vector tangente a S en pcomo una pareja de nmeros (1, 2) tal que si y1, y2 es otro sistemade coordenadas con la pareja asociada de nmeros (1, 2), entoncesse debe cumplir la ecuacin (1.4).

1.3. Clculo diferencial en superficiesSean S1 y S2 dos superficies diferenciables y sea f: S1 S2 una

aplicacin entre tales superficies de tal forma que f(p) =q.

DEFINICIN 1.26. Se dice que la aplicacin f es diferenciableen el punto pS1, si existen dos parametrizaciones: (U, )alrededorde p S1 y (U ,) alrededor de f(p) en S2, de tal forma que lacomposicin

f= 1 f : 1(U) 1(U)es diferenciable en 1(p) (vase la figura 1.9). f: S1 S2 es dife-renciablesi lo es en cada punto pS1.

No es difcil ver que la definicin dada no depende de la eleccin delas parametrizaciones compatibles con(U, )y(U , )respectivamente.


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24 1.3. Clculo diferencial en superficies

p

U

f Uq

1(U) 1(U)

f= 1 f

Figura 1.9: Funcin diferenciable entre superficies.

Ahora tenemos los elementos para extender el clculo diferenciala las superficies abstractas. En particular, dada una funcin entresuperficies f : S1 S2 diferenciable en p S1, queremos definir ladiferencial de f enp, que denotaremos por dfp.

Recordemos que dfp debe ser una transformacin lineal. En par-

ticular, su dominio y contradominio deben ser espacios vectoriales.Podemos aprovechar lo visto en la seccin anterior y tratar de definiruna transformacin dfp:TpS1TqS2, donde q=f(p).

Supongamos queTpS1; es decir,=(0), donde: (, )S1 y (0) =p. Puesto que dfp()debe ser un vector tangente a S2 enq, la definicin geomtrica natural es la siguiente.

DEFINICIN 1.27 (La diferencial desde un punto de vista geom-trico). Sean S

1, S

2, f , p , q como arriba. Entonces ladiferencial de f

enpes la transformacin dfp:TpS1TqS2 dada por

dfp() = (f )(0).

Note la analoga de esta definicin con la de las derivadas direc-cionales. Ahora, para mostrar que dfp es en realidad una transfor-macin lineal, recurrimos de nuevo a la identificacin de TpS1 con el


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espacio vectorial de derivaciones en p. En este sentido, correspondea una derivada direccional que se aplica a funciones definidas en S1,mientras que su imagen dfp() debe corresponder a una derivada di-

reccional aplicada a funciones definidas enS2. Esto sugiere la siguientedefinicin alternativa:

DEFINICIN 1.28 (La diferencial para derivaciones). Dado TpS1, dfp() es la operacin definida como sigue: Si g : S2 R esuna funcin diferenciable en q= f(p), entonces se aplica bajo dfp()mediante la regla

[dfp()](g)q =(g

f)p.

(vase la figura 1.10).

Figura 1.10: La diferencial en trminos de derivaciones.

PROPOSICIN 1.29. La operacin dfp() definida arriba es unaderivacin enq.

Demostracin. Hay que mostrar que =dfp()es lineal y que satisfacela regla de Leibniz. Slo mostraremos la segunda parte y dejaremos laprimera como ejercicio.


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Si g, hson funciones diferenciables en q, entonces

(g

h)q = [dfp()](g

h)q =((g

h)

f)p=((g

f)

(h

f))p

= (g f)(p)(h f)p+ (h f)(p)(g f)p= g(q)(h)q+ h(q)(g)q.

lo que prueba la afirmacin.

El resultado anterior nos dice que dfp : TpS1 TqS2 est biendefinida; el siguiente, cuya prueba se omite, nos dice que dfpes lineal.

PROPOSICIN 1.30. Si, TpS1 y R, entoncesdfp(+ ) =dfp() + dfp().

Como en el caso de los vectores tangentes, es importante trabajarcon la diferencial dfp en trminos de coordenadas. Ms precisamente,sean(U, )y (U , )parametrizaciones de vecindades de py q=f(p)con coordenadas (x1, x2)y(y1, y2), respectivamente.

Sabemos que xi

y

yj

son bases de los respectivos espacios tangentes. Como dfp

xi

es un

vector en TqS2, existen escalares aik tales que

dfp

xi=

2

k=1aik

yk, i= 1, 2.

Para determinar los coeficientes aij en estas ecuaciones, evaluamoscada expresin en una funcin adecuada. Si j es la funcin j-simacoordenada en S2, j((y1, y2)) =yj, entonces

dfp

xi

(j) =

2k=1

aik

yk(j) =aij;


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por otro lado, usando la definicin de la diferencial,

dfp

xi (j) =

xi(j

f) =

fj

xi

,

donde fj denota (por abuso de notacin) la j-sima coordenada de1 f : (vase la figura 1.11). As,

dfp

xi

=

2j=1

fj

xi

yj.

lo que podemos escribir en forma conocida, usando la notacin deEinstein, como

f

xi =

fj

xi

yj.

Figura 1.11: Diagrama para la expresin de dfp en coordenadas.


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Esto nos dice que la transformacin dfpqueda representada por lamatriz (evaluada en p)

f1x1

f1x2

f2

x1f2

x2

con respecto de las bases{

xi}y{

yj}de los espacios tangentes TpS1

y TqS2, respectivamente; es decir, si (1, 2) son las coordenadas deun vector

TpS1 con respecto de la primera base y (1, 2) son las

coordenadas del vectordfp()TqS2con respecto de la segunda base,entonces

1

2

=

f1

x1f1

x2

f2

x1f2

x2

12

.

Al tener la diferencial de una funcin suave entre superficies en

un punto, podemos extender la teora del clculo diferencial de variasvariables para este tipo de aplicaciones. Por ejemplo, definir los con-ceptos de punto (valor) regular y punto (valor) crtico de una funcin.

DEFINICIN 1.31. Sean S1, S2 superficies diferenciables, p S1,qS2 yf :S1S2 diferenciable en p. Entonces

1. p es un punto regular de fsi y slo si dfp : TpS1 TqS2 essuprayectiva.

2. pes unpunto crticode f sipno es regular.

3. q es un valor regular de f si para todo p f1(q), p es unpunto regular de f.

4. qes unvalor crticode fsi no es un valor regular.


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Un ejemplo de que los resultados del clculo pueden extenderse aeste caso es la siguiente versin del teorema de la funcin inversa paralas aplicaciones entre superficies.

TEOREMA 1.32(Teorema de la funcin inversa). Seanf :S1S2una funcin suave yqS2 un valor regular def. Entonces, para cada

pf1(q) existen una vecindadUp dep enS1 y una vecindadVq deqenS2 de tal forma quef :UpVq es un difeomorfismo.

En el ejemplo 1.10 se plante la idea de incluir una superficie dife-renciable abstracta en algn espacio euclidiano.

Distinguimos dos maneras de incluir alguna superficie en un espacio

euclidiano: mediante unainmersino mediante unencaje.

DEFINICIN 1.33. Una aplicacin f : S Rn (n 3) es unainmersinsi y slo si para todo punto pSse tiene que la diferencialdfp :TpS Rn es inyectiva. Si adems la aplicacin f :Sf(S)esun homeomorfismo, entonces fes unencajede Sen Rn.

En el primer caso se dice que la superficieSestinmersaen Rn y

puede tener autointersecciones. En el segundo caso, se dice queSestencajadaen Rn y no tiene autointersecciones.

EJEMPLO 1.34. El espacio RP2 se pudo meter en el espacio R3

visualizndolo como un gorro cruzado que tena autointerseccionescon dos puntos singulares (vase el ejemplo 1.10). Una prueba de queexiste una inmersin de RP2 en el espacio euclidiano de dimensin 3es el siguiente resultado, el cual se ilustra en la figura 1.12.

LEMA 1.35. Si al espacio proyectivo RP2 se le separa una reginhomeomorfa a un disco D2 el espacio resultante es una banda deMbiusM2 (vase el ejemplo 3.10 de [16]).

En la misma figura 1.12 se ilustra el procedimiento de ciruga paraobtener el espacio RP2 a partir de la unin del disco y de la banda deMbius.


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Figura 1.12: Espacio proyectivo RP2 =D2 M2.

COROLARIO 1.36. Si a una esferaS2 se le retira un disco y se le

pega en la frontera una banda de Mbius, el resultado es un espacioproyectivo RP2.

EJEMPLO 1.37. Consideremos el toro T2 visto como el productocartesiano de dos circunferencias: T2 = S1 S1 R2 R2 = R4.

Definimos una aplicacinf : R2 R4 mediante la regla

f(1, 2) = (cos 1, sen 1, cos 2, sen 2).

Es claro que la imagen de fes el toro T2. Por otro lado,

Df(1,2) =

sen 1 0

cos 1 00 sen 20 cos 2

.


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Puesto que sen y cos no pueden anularse en forma simultnea,Df(1,2) tiene rango 2, lo que nos dice que df(1,2) : R

2 R4 esinyectiva.

Es fcil ver quef((0, 2)(0, 2))es homeomorfo a(0, 2)(0, 2)bajo f, por lo que obtenemos un encaje del toro T2 en R4.

Observemos que si identificamos R2 con C de la manera usual, fadquiere la forma f(1, 2) = (ei1, ei2). Ms adelante analizaremoscon mayor detalle nuestros objetos desde el punto de vista complejo.4

Enunciaremos ahora un resultado sobre la inmersin de una su-perficie en un espacio euclidiano. Omitimos su demostracin, pero ellector interesado puede consultar el enunciado y la prueba para varie-dades diferenciables de dimensin arbitraria en [12].

TEOREMA 1.38(Whitney). Para toda superficie diferenciable abs-tracta existe una inmersin en el espacio euclidiano R3 y un encajeenR4.

De esta forma, cuando se estudia una superficie diferenciable abs-tracta, se puede suponer que est inmersa en algn espacio euclidiano.

1.4. Mtricas riemannianas e isometras

En esta seccin definimos el concepto de mtrica riemanniana parauna superficie diferenciable abstracta. De la misma forma que en la

seccin 2.4 de [16], podemos definir un producto escalar en cada espa-cio tangenteTpSy utilizarlo para introducir la geometra en S.

DEFINICIN 1.39. SeaSuna superficie diferenciable. Unamtri-ca riemannianaenSconsiste en la eleccin de un producto escalar

4En un apndice hemos incluido algunos conceptos bsicos de la teora de lasfunciones analticas necesarios para tal anlisis.


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32 1.4. Mtricas riemannianas e isometras

,pen cada espacio tangenteTpS, que vare de manera diferenciableen el siguiente sentido: Dada una parametrizacin (U, )de una vecin-dad de p

S con coordenadas xi, los coeficientes de la mtrica

dados por

gij(q) =

xi,

xj

q

, qU,

son funciones diferenciables en U. Una superficie riemanniana esuna pareja (S, ,) donde Ses una superficie diferenciable y ,esuna mtrica riemanniana. Cuando el contexto indique claramente lamtrica utilizada, abreviaremos diciendo simplemente que S es una

superficie riemanniana.EJEMPLO 1.40. Sea Suna superficie diferenciable en R3. Si encada espacio tangente TpSse escoge un producto escalar , comola restriccin a TpSdel producto escalar en R3, entonces (S, ,) esuna superficie riemanniana. Tambin decimos que la mtrica en S esinducida por la mtrica del espacio ambiente R3.

Una vez dada una mtrica en S, se pueden definir varios conceptosgeomtricos, como la longitud de una curva, el rea de una regin yel ngulo entre dos curvas, de la misma forma que en el caso de lassuperficies en R3. Recordamos estas definiciones a continuacin.

DEFINICIN 1.41. Dada una superficie riemanniana (S, ,),definimos los siguientes objetos.

1. Lalongitud de arcode una curva: [a, b]Sest dada por

() = ba

(t), (t) dt=

ba

(t) dt,

donde (t)es el vector tangente a la curva en el punto(t).

2. Sean 1 : [a, b] S, 2 : [c, d] Sdos curvas en S, que secortan en un punto p = 1(t0) = 2(s0). Entonces el ngulo


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entre 1 y 2 en p se define como el menor ngulo 0 quesatisface

cos = 1(t0), 2(s0)

1(t0)2(s0),

donde 1(t0)y 2(s0)son los vectores tangentes a las curvas enel puntop.

3. Sea R una regin en Scontenida en la imagen de una parame-trizacin (U, ) con coordenadas (u, v). Elrea de R se definecomo

rea(R) = 1(R) [u, v]dudv= 1(R)det(gij) du dv.OBSERVACIN 1.42. En algunos textos se acostumbra describira la mtrica en forma diferencial como sigue: Sea (U, ) una pa-rametrizacin de una vecindad de p S con coordenadas (u, v) y(t) =(u(t), v(t))una curva contenida en U. Entonces

d

dt =

du

dtu+

dv

dtv,

de modo que la longitud de arco de esta curva est dada por

() =

ba

d

dt, d

dt

dt

=

ba

g11

du

dt

2+ 2g12

du

dt

dv

dt+ g22

dv

dt

2dt,

donde hemos usado la notacin gij para los coeficientes de la mtrica.Podemos denotar la expresin que aparece dentro de la raz por

g11 du2 + 2g12 dudv+ g22 dv

2.

Esta expresin se llama elelemento de longitudde la mtrica en lasuperficie S.


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EJEMPLO 1.43. Procedemos a calcular el rea y el permetro deun crculo en la esfera S2R de radio R, parametrizada mediante coor-denadas co-geogrficas (, ). Los coeficientes de la mtrica en estascoordenadas es

(gij(, )) =

R2 sen2 0

0 R2

de modo que la forma diferencial de la mtrica es

ds2 =R2 sen2 d2 + R2 d2.

Un crculo esfrico de radior >0 con centro en el polo nortePN(vase la figura 1.13) est definido por

D=

(, ) 02, 0 < r

R

.

La frontera de este crculo, la circunferencia esfrica de radio r >0con centro en el polo norte, est definida por las relaciones

0< 2, =0= rR

.

A lo largo de esta circunferencia, =0, de modo que la mtricacumple ds2 =R2 sen2

rR

d2 y la longitud de esta curva es

P =

20

R sen r

R

d= 2R sen

rR

.

Recordemos que el permetroPde un crculo de radioren el planoest dado porP = 2r. Como

sen r

R

r

R,

concluimos que el permetro de un crculo de radio r en la esfera S2Res menor que el permetro de un crculo de radio r en el plano.


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Figura 1.13: Permetro y rea de un crculo de radio ren S2R.

Por otro lado,det(gij) =R4 sen2 , de modo que el rea del crculoest dada por

A=

r/R0

20

R2 sen dd= 2R2

1 cos r

R

.

Usando la desigualdad

1 cos xx2

12

.

se tiene queel rea de un crculo de radio r en la esfera es menor queel rea de un crculo de radio r en el plano.

No obstante, sir es pequeo(0), el teorema de Taylor alrededorde r= 0implica que

2R sen rR = 2R rR r36R3 + O(r4) 2r2R2

1 cos

rR

= 2R2

r2

2R2+ O(r3)

r2

lo que nos dice que si r es pequeo, los permetros y las reas de loscrculos de radioren el plano y la esfera son muy parecidos.


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Desde el punto de vista de la geometra diferencial, dos superfi-cies sern indistinguibles si tienen la misma mtrica. En la siguientedefinicin formalizamos esta idea.

DEFINICIN 1.44. Sean (S1, , ) y (S2, , ) dos superficiesriemannianas. Una transformacin f : S1 S2 es una isometraentre S1 y S2 si y slo si f es un difeomorfismo tal que para todo

pS1 y cualquier pareja de vectores , en el espacio tangente TpS1es vlida la igualdad

dfp(), dfp()f(p)=, p.

Las superficies S1 y S2 son (globalmente) isomtricas si y slo siexiste una isometra f :S1S2.

Definimos ahora el concepto de isometra local.

DEFINICIN 1.45. Sean (S1, , ) y (S2, , ) dos superficiesriemannianas. Una transformacin f : S1 S2 es una isometralocalenp

S1, si existe una vecindadUdepen S1 de tal forma que

la restriccin f|U: U f(U) es una isometra. Se dice que fes unaisometra local, si y slo si lo es en cada punto pS1.

Es fcil ver que el concepto de isometra local no conduce, en ge-neral, a una relacin de equivalencia. Por otro lado, en la seccin3.2 de este trabajo mostraremos que cualesquiera dos superficies conla misma curvatura gaussiana constante son localmente isomtricas(teorema de Minding).

OBSERVACIN 1.46. Los conceptos mtricos establecidos en ladefinicin 1.41 son invariantes bajo isometras. En el ejercicio 6 deeste captulo se pide enunciar formalmente y demostrar tal invarianza.

OBSERVACIN 1.47. Si(U, )es una parametrizacin de un con-junto abierto U en una superficie diferenciable S1 y f : S1 S2es un difeomorfismo con otra superficie S2, entonces es fcil ver que


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(f(U), f ) es una parametrizacin de un abierto en S2. Si ademsS1, S2son riemannianas yfes una isometra, entonces los coeficientesde las mtricas correspondientesgij y gij satisfacen gij = gij.

De este modo, la expresin de un concepto geomtrico en S1 uti-lizando los coeficientes de la mtrica puede traducirse en un conceptogeomtrico en S2. Podemos usar esta idea para definirel concepto decurvatura en las superficies abstractas.

Recordemos que el concepto de curvatura para superficies en R3 sedefini en trminos de la variacin del vector normal a dicha superficie(vase [16]). No obstante, para el caso de una superficie abstracta no se

puede hablar de vectores normales, pues no hay un ambiente dondedefinirlos. Adems, aunque se construyera una inmersin o un encajeen algn espacio euclidiano (de acuerdo con el Teorema de Whitney1.38), la dimensin complementaria de la superficie puede ser mayorque 1, lo que complica la definicin de los campos normales.

Para obtener una expresin local de este concepto, usamos unaparametrizacin (U, ) de un abierto de una superficie S con coor-denadas (u, v), obteniendo as los coeficientes de la mtrica gij. En

trminos de estos coeficientes se definieron las funciones kij llamadassmbolos de Christoffelasociados a la superficieS. Los sistemas deecuaciones lineales que expresan los smbolos de Christoffel en trmi-nos de los coeficientes de la mtrica y sus derivadas aparecen en laproposicin 3.32 de [16]. Los incluimos ahora para fcil referencia:

g11

111+ g12

211 =

12

(g11)u,g12

111+ g22

211 = (g12)u

12

(g11)v, g11112+ g12212 = 12(g11)v,g12

112+ g22

212 =

12

(g22)u, g11

122+ g12

222 = (g12)v 12(g22)u,

g12122+ g22

222 =

12

(g22)v.

(1.5)

Utilizando tales smbolos, obtuvimos la siguiente expresin para la


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curvatura gaussianaKde la superficie:

K=111

211+ (

221)v+

211

222 112211 (212)u (212)2

g11.

Podemos usar esta expresin para definir la curvatura gaussiana deuna superficie abstracta.

Ya que las superficies en R3 son nuestro principal punto de refe-rencia, es importante saber cundo podemos meter una superficieabstracta en ste u otro espacio euclidiano, respetando su mtrica.Formalizamos esta idea a continuacin.

DEFINICIN 1.48. Si f : S

Rn es una inmersin de una su-perficie riemanniana (S, ,) en Rn tal que para todo p Sy paracualesquiera, TpSse cumple que

dfp(), dfp()f(p)=, p,donde el lado izquierdo se refiere a la mtrica usual de Rn, diremosque fes una inmersinisomtricade Sen Rn.

EJEMPLO 1.49. Consideremos el encaje f : R2 R4 del ejemplo1.37 dado por

f(1, 2) = (cos 1, sen 1, cos 2, sen 2).

Comodf(1,2)(e1) = ( sen 1, cos 1, 0, 0)

ydf(1,2)(e2) = (0, 0, sen 2, cos 2),

donde

{e1, e2

}es la base cannica de R2, tenemos que

df(1,2)(ei), df(1,2)(ej)=ei, ej= ij,de donde es fcil ver que fes una inmersin isomtrica de R2 en R4,cuya imagen es un toro T2. Una simple inspeccin de los sistemas deecuaciones que definen a los smbolos de Christoffel nos muestra questos se anulan: kij = 0, lo que prueba que la curvatura de este torotambin se anula, por lo que recibe el nombre del toro plano.


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1.5. El plano de Lobachevsky

Las superficies inmersas en R3 adoptan una mtrica heredada por el

producto escalar euclidiano deR

3

. Tal producto escalar viene inducidopor la forma cuadrtica definida positiva

(ij) =

1 0 00 1 00 0 1

Consideraremos ahora un producto escalar en R3 dado por una for-

ma cuadrtica que no es definida positiva. No obstante, le seguiremos

llamando mtrica por fines prcticos.

DEFINICIN 1.50. A la mtrica inducida en R3 por

G= (gij) =

1 0 00 1 00 0 1

se le llamar la mtrica de Minkowski. Al espacio tridimensional

con esta mtrica se le llamar elespacio de Minkowski. Para evitarconfusiones con el caso euclidiano, lo denotaremos por R31.

En las coordenadas cartesianas x0, x1, x2, el elemento de longitudcorrespondiente a la mtrica de Minkowski viene dado por

ds2 =d(x0)2 + d(x1)2 + d(x2)2.Dados los vectores , R31 con coordenadas cartesianas =

(0, 1, 2)y = (0, 1, 2), su producto escalar (asociado a la mtricade Minkowski) se define como

, G=TG=00 + 11 + 22.Es evidente que para un vector arbitrario R31, el escalar, G

puede ser positivo, cero o negativo.


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40 1.5. El plano de Lobachevsky

DEFINICIN 1.51. Un vector R31 es:1. unvector espacial, si

,

G >0.

2. unvector nulo, si, G= 0.3. unvector temporal, si, G


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donde R >0. Un clculo directo prueba que los vectores tangentes

(t) = (R cosh t, 0, R senh t)

son temporales, pues

(t),(t)G=R2 cosh2 t + R2 senh2 t=R2


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42 1.5. El plano de Lobachevsky

Figura 1.14: Caracterizacin de los vectores en R31.

si denotamosG = (gij) y A = xiuj, podemos escribir lo anteriormatricialmente como

G= ATGA.DEFINICIN 1.54. Una mtricaG de R31 obtenida de G por uncambio de coordenadas, se llamar tambinmtrica de Minkowski.

De igual forma que en las superficies regulares de R3, podemosheredar la mtrica de Minkowski a cualquier superficie S R31. Sinembargo, debemos observar que dado que la mtrica de Minkowski noes definida positiva, podramos obtener superficies donde la mtrica

inducida fuese degenerada (el propio cono de luz es un ejemplo deesta situacin). Describimos a continuacin un ejemplo importante desuperficie en R31.

EJEMPLO 1.55 (El plano de Lobachevsky L2). Consideremos lahoja superior L2 del hiperboloide circular en R31 definido por

(x0)2 + (x1)2 + (x2)2 =R2,


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llamada tambin la esfera de radio Ren R31.Tal superficie tiene una parametrizacin local mediante el sistema

de coordenadaspseudoesfricas(hiperblicas)(, )dada por las

ecuacionesx0 = R cosh ,

x1 = R senh cos ,

x2 = R senh sen ,

de modo que al calcular las diferenciales tenemos

dx0 = R senh d

dx1 = R(cosh cos d senh sen d)dx2 = R(cosh sen d+ senh cos d)

de modo que el elemento de longitud es

ds2 =d(x0)2 + d(x1)2 + d(x2)2 =R2(d2 + senh2 d2) (1.6)As, esta mtrica se escribe en coordenadas pseudoesfricas(, )como

(gij(, )) = R2 0

0 R2 senh2

y es conocida como lamtrica de Lobachevskyen L2. En captulosposteriores estudiaremos con ms detalle este espacio.

1.6. El punto de vista conforme

El concepto de isometra es central en la geometra diferencial. Unconcepto ms dbil, pero igualmente importante, es el de las transfor-maciones que preservan ngulos.

DEFINICIN 1.56. Sean(S1, ,)y(S2, ,)dos superficies rie-mannianas.


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44 1.6. El punto de vista conforme

1. Una transformacin f :S1 S2 es una aplicacin conformeentre las superficies S1 yS2 si y slo si fes un difeomorfismo yexiste una funcin : S1

Rpositiva y diferenciable tal que

dfp(1), dfp(2)f(p)=(p)1, 2ppara todopS1 y cualesquiera 1, 2TpS1.

2. Las superficies S1 y S2 son(globalmente) conformes ocon-formemente equivalentes si y slo si existe una aplicacinconformef :S1S2.

3. Una transformacin f :S1 S2 es una aplicacin conformelocal en p S1 si y slo si existe una vecindad U de p enS1 tal que f|U : U f(U) es una aplicacin conforme. f esunaaplicacin conforme localsi y slo sifes una aplicacinconforme local en ppara todo pS1.

4. Las superficies S1 y S2 son localmente conformes o local-

mente conformemente equivalentessi y slo si existen apli-caciones conformes locales f :S1S2 y g:S2S1.Nuevamente, la relacin de conformidad global es una relacin de

equivalencia entre superficies.De igual forma que para el caso de isometras, si (U, ) es una

parametrizacin de un abierto Umediante las coordenadas (u, v) deuna superficie diferenciable S1 y f : S1 S2 es un difeomorfismocon otra superficie S2, entonces, nuevamente usamos el hecho de que(f(U), f ) es una parametrizacin de un abierto en S2. Si ademsS1, S2 son riemannianas y fes una aplicacin conforme, entonces loscoeficientes de las mtricas correspondientes gij y gij satisfacen:

gij(u, v) =(u, v) gij(u, v).

como se muestra en el Lema 2.48 en [16].


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De entre todas las formas de conformidad entre mtricas, la msimportante es aquella en la cual la mtrica de una superficie S esconforme con la mtrica plana:

gij(u, v) =(u, v) ij,

en notacin diferencial,

ds2 =(u, v)(du2 + dv2). (1.7)

En tal caso, se dice que la superficie Sest provista de coorde-nadas isotermas(vase [16]).

Siguiendo paso a paso la demostracin del Teorema 3.37 (Bers-Beltrami) en [16], podemos concluir que para una superficie abstractaarbitraria se puede construir un sistema de coordenadas isotermas.

En un sistema de coordenadas isotermas, la curvatura gaussianase escribe como (ejercicio 13):

K(u, v) = 12(u, v)

ln (u, v). (1.8)

Para ciertos clculos usaremos tambin la forma compleja de lacurvatura. Si sustituimos en (1.7) las identificaciones z=u+iv, z=u iv, podemos escribir la mtrica en la forma compleja

ds2 =g(z,z)dzdz=(x(z,z), y(z,z)) dzdz.

Y la expresin para la curvatura de una superficie en coordenadas(z,z)es

K(z,z) = 12g(z,z)

42 ln g

z z(z, z) = 2

g(z,z)

2 ln g

zz(z,z), (1.9)

ya que el Laplaciano en las coordenadas (z,z)se escribe

= 2

x2+

2

y2 = 4

2

zz.


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Desde el punto de vista complejo, el problema interesante consisteen determinar las transformaciones (w, w) (z,z) definidas en unaregin

C que preservan la forma conforme de la mtrica en C,

esto es, que mantienen la forma

ds2 =h(w, w)dw dw.

Tenemos el siguiente resultado que caracteriza a tales transforma-ciones.

PROPOSICIN 1.57. Un cambio de coordenadas (w, w)

(z,z)

en Cpreserva la forma conforme de la mtrica si y slo si es unatransformacin analtica, compuesta con la operacin de conjugacin.

Demostracin. Supngase que la forma conforme de la mtrica en C en coordenadas z,z es ds2 = g(z,z)dz dz y que z = z(w, w), esanaltica en w, esto es,

dz

dw0

Entonces,

dz= dz

dwdw y dz=

dz

dwdw

de donde

d2 = g(z, z)dzdz=g(z(w, w),z(w, w))dz

dwdw

dz

dwdw

= g(z(w, w),z(w, w)) dzdw 2

dwdw=h(w, w)dw dw

donde h(w, w) =g(z(w, w), z(w, w)) dzdw

2 y dzdw

= dzdw

.

En forma anloga, si zes analtica en w, entonces se conserva laforma conforme de la mtrica en C.

Dejaremos la afirmacin recproca como ejercicio.


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Por la proposicin 1.57, los nicos cambios de coordenadas com-plejas que preservan la forma conforme de una mtrica son los analti-cos, compuestos con la operacin de conjugacin. As que al considerar

cambios de coordenadas complejos, supondremos que todos estos cam-bios son analticos.

EJEMPLO 1.58. Al utilizar la proyeccin estereogrfica en S2, esposible introducir coordenadas conformes (u, v)en la esfera (vase elejemplo 2.51 de [16]). La forma de la mtrica en estas coordenadas es

ds2 = 4R4

(R2

+ u2

+ v2

)2 du

2 + dv2 .Al pasar a las coordenadas complejas (z,z), la mtrica se escribe

como

ds2 = 4R4

(R2 + u2 + v2)2(du2 + dv2) =

4R4

(R2 + zz)2dzdz

Por un clculo directo se tiene que

ln g= ln(4R4) 2 ln(R2 + zz)

de donde,

z(ln g) = 2z

R2 + zz,

zln g

z = 2R

2

(R2 + zz)2

lo que muestra que la curvatura de la esfera en el punto (z,z)es

K(z,z) = 2g(z,z)

2 ln g(z,z)

z z =2(R

2 + zz)2

4R42R2

(R2 + zz)2 =

1

R2.


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EJEMPLO 1.59. Introducimos una nueva superficie definiendo unaproyeccin estereogrfica del plano de Lobachevsky L2 en R2(u,v)de la forma siguiente.

Consideremos la proyeccin desde el punto PS = (R, 0, 0) con-tenido en la hoja inferior de L2: Para cada punto(x0, x1, x2)de la hojasuperior tracemos la recta que lo une conPS(vase la figura 1.15). Yaque esta recta interseca al plano en un punto con coordenadas (u, v),se tienen las relaciones de semejanza entre las variables (x0, x1, x2) y(u, v)dadas por

(u, v) = Rx1

x0 + R,

Rx2

x0 + R .

Figura 1.15: Proyeccin estereogrfica de L2 en R2.

De esta pareja de ecuaciones se tiene que

x1 =(x0 + R)

R u, x2 =

(x0 + R)

R v

lo que implica

(x1)2 + (x2)2 =

u2 + v2

(x0 + R)2

R2 .


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De esta manera, de la relacin(x0)2 + (x1)2 + (x2)2 =R2 seobtiene la igualdad

(x0)2 R2 = (u2 + v2)(x0 + R)2

R2

de la cual, al despejar x0, se obtiene

x0 =RR2 + u2 + v2

R2 u2 v2 .

Sustituyendo este valor de x0 en las expresiones para x1 y x2 se

obtienen las relaciones inversas

x0 = RR2 + u2 + v2

R2 u2 v2 ,

x1 = 2R2u

R2 u2 v2 ,

x2 = 2R2v

R2 u2 v2 .

Un clculo simple nos muestra que la imagen de L2 en R2 bajo estaproyeccin es el subconjunto del plano

D2 ={(u, v)|u2 + v2 < R2}.

Otro clculo directo implica que el elemento de longitud en D2 es

ds

2

=d(x0

)

2

+ d(x

1

)

2

+ d(x

2

)

2

=

4R4

(R2 u2 v2)2(du2

+ dv

2

).

Esto es, obtenemos una mtrica para D2 conforme con la mtricaeuclidiana, con la funcin de conformidad dada por

(u, v) = 4R4

(R2 u2 v2)2 .


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Con esta mtrica llamaremos a D2 eldisco de Poincar.La curvatura de D2 se obtiene mediante la frmula de Gauss (1.8) y

clculos anlogos a los realizados en el caso de la esfera S2. Obtenemosque

K(u, v) = 1R2

es la curvatura del disco de Poincar en cada punto.

Ejercicios

1. Complete la prueba de la proposicin 1.8 mostrando que todoslos elementos de Uson compatibles entre s y que por lo tantoUes un atlas maximal.Sugerencia: Utilice el Lema de Zorn o elaxioma de eleccin; vase [1], p. 9495.

2. Demuestre que la definicin 1.14 no depende de la parametriza-cin escogida alrededor del punto en la superficie.

3. Demuestre que la relacin obtenida de la definicin 1.14 esuna relacin de equivalencia.

4. Demuestre las propiedades de la derivada direccional dadas enla proposicin 1.18.

5. Demuestre que las operaciones en la proposicin 1.21 dan alconjunto de derivaciones la estructura de espacio vectorial real.

6. Demuestre la primera parte de la proposicin 1.29.

7. Demuestre la proposicin 1.30.

8. Con base en el teorema de la funcin inversa para abiertos deR2, demuestre el teorema 1.32.


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9. Enuncie y demuestre la invarianza bajo isometras de los siguien-tes conceptos mtricos: longitud de arco, ngulo entre curvas,rea, smbolos de Christoffel y curvatura.

10. Considere la aplicacin : R2 R4, = (, t)definida porx= (r cos t + a)cos , y= (r cos t + a)sen ,

z=r sen t cos2

, w=r sen t sen

2

,

donde 0< r < a.

a) Demuestre que es una inmersin.b) Demuestre que (, t) = ( +2k, 2l t)para cualquier

pareja de enterosk, l. Concluya queinduce una aplicacin: [0, 2] [0, 2] R4 tal que su imagen coincide con lade .

c) Por el inciso anterior, la superficie K2 R4 que se obtieneal aplicar

es la misma que se obtiene del rectngulo

={ (, t)|02, 0< t


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Figura 1.16: Botella de Klein K2.

13. Demuestre que en un sistema de coordenadas isotermas, los sm-bolos de Christoffel son

1

22= 1

11= 2

12=

u2,

2

22=2

11= 1

12=

v2

y que la curvatura gaussiana se escribe como

K(u, v) = 12(u, v)

ln (u, v).

14. Demuestre la afirmacin recproca de la proposicin 1.57.

Sea f : C2 C una funcin holomorfa en las variables (z, w).El conjunto de puntos en C2 tales quef(z, w) = 0se llama unasuperficie topolgica de Riemann. El teorema de la funcinimplcita para este caso afirma que si en el punto (z0, w0) setiene que

f(z0, w0) = 0, f

w(z0, w0)= 0


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entonces existe una vecindadVz0en C de tal forma que alrededorde w0, la variable wes una funcin holomorfa de zVz0 y

0 =f(z, w(z))

En otras palabras, la superficie f0 alrededor de(z0, w0)es lagrfica de una funcin holomorfa y la coordenada zsirve paraparametrizarla localmente alrededor del punto. Ya quew =w(z)es holomorfa, se dice que la superficie f 0 es unasuperficieanaltica.

15. Seaf(z, w) =w2

Pn(z), dondePn(z)es un polinomio complejo

de grado n. Demuestre que f(z, w) = 0 define una superficiediferenciable inmersa en C2 = R4. Adems, demuestre que siPn(z)no tiene races mltiples entonces tal superficie es analticay orientable.

Consideremos el espacio complejo C2 con las coordenadas com-plejas(z, w)y el conjunto de rectas por el origen. A cada lnea leasociamos a un punto y a este conjunto de puntos le llamamos el

espacio proyectivo complejode dimensin uno, denotndolopor CP1. De esta manera, este espacio se obtiene de identificarlos puntos que estn en una misma recta de la misma forma quepara el espacio proyectivo real de dimensin dos RP2, como sehizo en el ejemplo 1.4.

16. Defina coordenadas homogneas para CP1 como en el ejemplo1.4, sabiendo que siz= 0, los puntos(z, w)y(1,w/z)estn en lamisma clase, y que, anlogamente, los puntos (z, w) y (z/w, 1)estn en la misma clase cuando w= 0. Construya las cartascorrespondientes a cada clase.

17. Demuestre que CP1 es difeomorfo a la esfera S2 utilizando loscambios de coordenadas de las cartas encontradas al escribirlasen coordenadas reales.


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18. Considere la esfera de dimensin 3 en C2 con las coordenadascomplejas (z, w), definida por la ecuacin|z|2 +|w|2 = 1. De-muestre que una recta compleja en C2 por el origen interseca a talesfera en una circunferencia real de dimensin uno S1, mostran-do el hecho de que dos puntos p y q de CP1 que estn en lamisma clase son mltiplos por un elemento en S1. Concluya queexiste una aplicacin cubrientef : S3 CP1 ( S2)tal que paratodo valorc CP1 su preimagen es un conjunto que es topolgi-camente S1. Esta cubriente se llama aplicacin de Hopf. Enotras palabras, la esfera se puede dividir (fibrar) mediante laaplicacinfpor conjuntos que topolgicamente equivalen a unacircunferencia.


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Captulo 2

Transporte paralelo

En este captulo iniciamos el estudio de las propiedades dinmicasasociadas a la geometra intrnseca de una superficie, determinadasmediante la mtrica de la misma. Por ejemplo, definiremos un conceptoanlogo al de aceleracin de una curva, lo que nos permitir a su vezdeterminar las curvas de aceleracin nula con respecto de la superficie,similares a las rectas en el plano. Para esto requerimos un conceptoanlogo al de segunda derivada: la derivada covariante, que definimos

a continuacin, primero para superficies enR3

y posteriormente parasuperficies abstractas.

2.1. Derivada covariante

Sea S R3 una superficie diferenciable y =(t), t(a, b), unacurva diferenciable en S. Si = (t) es un campo vectorial tangente

a Sa lo largo de = (t), queremos definir la derivada del campo vista desde la superficie S.Puesto que el campoes diferenciable, la derivadad/dtest bien

definida y sabemos que esta derivada mide la variacin del campo .Si observamos con detenimiento, esta variacin puede deberse a dosfactores: Como el campo vectorial tiene la restriccin de ser tangentea S en todo punto, entonces deber variar o curvearse siguiendo

55


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56 2.1. Derivada covariante

a S. Por otro lado, aunque el campo sea tangente a S, habr algunoscampos que varen ms que otros (vase la figura 2.1).

Figura 2.1: Dos campos definidos a lo largo de una curva en la super-ficie S. El campo2 parece curvearse ms que 1.

Podemos analizar formalmente estos dos comportamientos, des-componiendo d/dt en dos partes, una tangente a S en p y la otranormal a S en p. Primero analizaremos la parte tangente, a la quedamos un nombre especial.

DEFINICIN 2.1. Seaun campo vectorial tangente aSa lo largo

de una curva en S. Se define la derivada covariante (D/dt)(0)de ent= 0como la proyeccin de la derivada(d/dt)(0)del campovectorialen el plano tangente TpS; es decir,

D

dt(0) = ProyTpS

d

dt(0)

como lo muestra la figura 2.2.

Veamos la expresin de la derivada covariante de un campo en unsistema de coordenadas. Si(U, )es una parametrizacin local deSenuna vecindad de pcon coordenadas (u,v), entonces la curva puedeescribirse como (t) = (u(t), v(t)) y el plano tangente a Sen cadapunto de la curva es generado por los vectores u, v, de modo que elcampo vectorial se puede escribir como

(t) =1(t)u(u(t), v(t)) + 2(t)v(u(t), v(t)),


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Captulo 2. Transporte paralelo 57

Figura 2.2: Derivada covariante de un campo vectorial.

donde las funciones 1(t)y2(t)son diferenciables.La derivada de est dada por lo siguiente, donde omitimos los

puntos donde se evala cada expresin.

d

dt = 1u+

1u+ 2v+ 2v

= 1u+ 1(uuu+ uvv) + 2v+

2(uvu+ vvv)

donde el punto denota la derivada respecto al parmetro t.Sines el campo unitario

n= [u, v]

[u, v] ,

donde [ , ] denota el producto vectorial, tenemos que{

u, v, n

} es

una base de R3 para cada punto en la imagen de la parametrizacin,de modo que podemos escribir

uu = 111u+

211v+ Ln,

uv = 112u+

212v+ Mn,

vv = 122u+

222v+ Nn,

(2.1)


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58 2.1. Derivada covariante

aqu usamos la notacin de la seccin 3.5 de [16]. Entonces

d

dt

= 1u+ 2v

+1 111u+ 211v+ Ln u + 112u+ 212v+ Mnv+2

112u+ 212v+ M n

u +

122u+ 222v+ Nn

v

.

Reagrupando en trminos de u, v y n, nos fijamos en la parte tan-gente aS; as, la derivada covariante de tiene la siguiente expresinen las coordenadas dadas con respecto de la base{u, v}del espaciotangente:

Ddt

(0) = (1 + 1111u+ 1112v+

2112u + 2122v)u

+(2 + 1211u + 1212v+

2212u + 2222v)v

(2.2)

donde cada funcin se evala en t= 0.

EJEMPLO 2.2. Sean Sun plano en R3, = (t) una curva con-tenida en Sy un campo tangente a Sdefinido a lo largo de . Sepuede mostrar que d/dt se mantiene tangente a S, de modo que la

proyeccin de este vector en el plano tangente coincide con el propiovector.Veamos lo anterior en trminos de coordenadas. En el ejemplo 2.32

de [16] se demostr que existe una parametrizacin tal que la mtricaenStoma la forma

(gij(p)) =

1 00 1

=

E FF G

.

Al sustituir estos valores en el sistema de ecuaciones (1.5) paralos smbolos de Christoffel kij, se sigue que stos se anulan para todai,j,k, y en consecuencia,

D

dt = 1u+

2v,

lo cual indica que si la superficie es un plano, la derivada covariantecoincide con la derivada ordinaria.


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OBSERVACIN 2.3. Supongamos que una curva : [0, ]Sesla restriccin de una curva suave : (, + )Spara un nmero >0. En este caso, si =(t)es un campo diferenciable a lo largo de

y es una extensin de a , se define la derivada covariante de enpcomo la derivada covariante de enp. Se puede mostrar que

esta derivada covariante no depende de la extensin .

Un ejemplo importante de un campo vectorial definido a lo largode una curva = (t) contenida en una superficie Ses el campo devectores tangentes (t) = (t). En tal caso, la derivada covariante dees

Ddt

= Ddt

.

Puesto que la derivada usual d/dt de una curva en R3 es su ace-leracin, podemos interpretar a la derivada covariante del campo devectores tangentes como la aceleracin de la curva vista desde la su-perficie.

EJEMPLO 2.4. Sean S = S2 la esfera unitaria en R3 y S

2 un

meridiano parametrizado por la longitud de arco s. Si (s) =(s)esel campo de vectores tangentes a lo largo del meridiano, sabemos que(s)es normal a S2, por lo que su proyeccin en el plano tangente seanula:

D

ds(s) = 0.

En trminos de la interpretacin anterior a este ejemplo, es una

curva con aceleracin nula.

2.2. Transporte paralelo

Iniciamos la discusin deltransporte paralelode un vector a lolargo de una curva parametrizada.


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60 2.2. Transporte paralelo

El quinto postulado de Euclides nos dice que dados una rectaLyun puntopfuera de ella, existe una nica recta paralela aLpasandopor p.

En este caso, se puede construir un campo constante (t) = 0 alo largo de toda la rectaLy los puntos extremos conforman la rectaparalela pasando por p, como lo muestra la figura 2.3 a. Es evidenteque la derivada covariante de este campo se anula a lo largo de todala rectaL.

Figura 2.3: Quinto postulado de Euclides y transporte paralelo.

De igual manera, si p y q son dos puntos arbitrarios de R3 y: [0, 1] R3 es una curva diferenciable arbitraria tal que (0) = py (1) =q, al llevar paralelamente un vector 0 posicionado en pme-diante un campo vectorial constante(t) =0, el proceso nos conformaunacurva paralelaa(Figura 2.3 b). En tal caso, el campo vectorial(t)construido a lo largo de se llama paralelo a lo largo de tal curva.

Observemos que en este caso, no hay una distincin entre un vector0TpR3 y su traslacin enTqR3. Observamos adems que la derivadadel campo se anula:

d

dt(t)

t=0

0.

Ahora, seanS R3 una superficie diferenciable y p, qSdos puntosarbitrarios. Al tratar de comparar a los vectores posicionados en pcon


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los vectores posicionados en q, un proceso anlogo al realizado en ladiscusin precedente nos lleva a la construccin de campos vectorialesparalelosa lo largo de las curvas que unen a tales puntos.

Si p, q S y = (t), t [0, 1] es una curva diferenciable queune a p = (0) con q = (1), al considerar un vector 0 TpS, yrealizar su transporte paralelo de manera ordinaria en R3 a lo largo de, obtenemos un vector posicionado en q, pero no necesariamente enTqS. Para obtener un vector tangente a Senqproyectamos tal vectorenTqS, obteniendo1TqS .

Claramente, este mtodo puede generar que al trasladar un vector0= 0hasta un vector 1, ste ltimo se anule, como ocurre al trasladarde esta manera un vector 0 tangente a la esfera S

2

en el polo nortep a lo largo de un meridiano, como lo muestra la figura 2.4. En estecaso, el vector1es nulo. En general, esto podra ocurrir si los puntos

pyqen una superficie estn muy alejados.

Figura 2.4: Intento de construccin de un campo paralelo en S2.

El concepto de paralelismo para un campo vectorial (t)a lo largo


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de una curvapuede definirse mediante el proceso mencionado, si serealiza de manera infinitesimal, es decir, si se supone que la proyeccindel vector d

dt(t)en el espacio tangente T(t)Sse anule. De este modo,

el campo se considera como constante a lo largo de , visto desdela superficie S. En otras palabras, para que esto suceda, es necesarioque la derivada covariante del campo dado se anule.

Esto da la pauta para la siguiente definicin de transporte paraleloa lo largo de una curva parametrizada contenida en una superficie.

DEFINICIN 2.5. Sea = (t) una curva en una superficie SR

3. Un campo vectorial(t) = (1(t), 2(t))definido a lo largo de esparalelosi y slo si se cumple la igualdad

D

dt0.

OBSERVACIN 2.6. La definicin de derivada covariante implicaque un campo vectorial=(t)a lo largo de=(t)es paralelo si yslo si la derivada d/dtes un vector normal a la superficie S.

EJEMPLO 2.7. En el ejemplo 2.4 mostramos que la derivada delcampo de tangentes (s) = (s) a lo largo de un meridiano (s) dela esfera unitaria S2 R3 se anula; por lo tanto, (s) es un campoparalelo a lo largo de .

Ahora veremos algunas propiedades generales de los campos para-

lelos a lo largo de una curva.Sean = (t), = (t) dos campos vectoriales tangentes a una

superficie S R3 a lo largo de una curva (t). Si es paralelo a lolargo de , entonces d/dtes normal a Sy por lo tanto

d

dt, (t)

= 0.


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Anlogamente, si (t) es paralelo a lo largo de una curva (t), sesigue que

(t),d

dt = 0.De esta manera, si ambos campos son paralelos, entonces

d

dt(t), (t)=

d

dt, (t)

+

(t),

d

dt

.

As, si ambos campos son paralelos a lo largo de =(t), entoncesel producto escalar entre ellos se preserva. Esto implica con facilidadlos dos ltimos incisos del siguiente lema.

LEMA 2.8. Si(t), (t) son campos vectoriales paralelos a lo largode una curva = (t) contenida en una superficie inmersa en R3,entonces

1.(t), (t) es constante a lo largo de(t).2.(t),(t) son constantes a lo largo de(t).

3. El ngulo (t) entre y es constante a lo largo de(t).

PROPOSICIN 2.9. Sean : [0, ] S una curva diferenciable,(0) = p y 0 un vector en TpS. Entonces existe un nico campovectorial=(t) paralelo a lo largo de tal que(0) =0.

Demostracin. Consideremos una parametrizacin de una vecindad depen Scon coordenadas(u, v). Las ecuaciones que definen a un campo

paralelo= (1

,

2

)a lo largo de la curva (t) = (u(t), v(t))son1 + 1111u +

1112v+ 2112u+

2122v = 0,

2 + 1211u + 1212v+

2212u+ 2222v = 0.

(2.3)

ste es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden enlas variables 1 y 2 sujeto a la condicin inicial (0) = 0. Por el


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teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferen-ciales de primer orden con la condicin inicial dada (vase [5]), existeun campo vectorial (t)que es solucin del sistema.

DEFINICIN 2.10. Sean : [0, ]Suna curva diferenciable enS, p=(0)y 0 un vector tangente en p. Entonces el vector (t1)en(t1)obtenido mediante el campo vectorial paralelo de la proposicin2.9 se llama el transporte paralelode 0 a (t1) a lo largo de (t)(vase la figura 2.5).

Figura 2.5: Transporte paralelo de un vector.

EJEMPLO 2.11.Debido a que en un planoS=Ppuede escogerse lamtrica comogij =ij, se sigue que todos los coeficientes de Christoffelse anulan y las ecuaciones del transporte paralelo son

1= 0, 2= 0,

lo que nos dice que el campo paralelo es constante (t) =0a lo largode cualquier curva.

EJEMPLO 2.12. Consideremos un cono circular vertical recto Scon ngulo en el vrtice igual a , al cual se le quita tal vrtice para


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hacerlo una superficie diferenciable. Sea pSun punto arbitrario yconsideremos la curva circular porp obtenida al intersecar a Scon unplano horizontal. Denotemos portal curva, a la cual parametrizamos

por longitud de arco. Sea un vector tangente a S en p apuntandoen la direccin del vrtice. Calculemos el ngulo de rotacin de altransportarlo paralelamente a lo largo de (vase la figura 2.6 a).

Denotemos por r la distancia de pal vrtice. Entonces, si Res elradio de en R3 se tiene que sen(/2) =R/r, es decir

R= r sen(/2)

lo que nos dice que long () = 2R = 2r sen(/2).

Cortando por la lnea que une apcon el vrtice tenemos una regindel cono isomtrica a una regin del plano complementaria a un sectorcon ngulo , como se muestra en la figura 2.6 b.

Figura 2.6:a. Regin en el cono.b. Regin del cono isomtrica a unaregin plana.

Al transportar paralelamente el vector a lo largo de se obtieneel vectorque forma un ngulo con la lnea que une al punto qconel vrtice (vase la figura 2.7). Procedamos a calcular el ngulo, quees el ngulo de rotacin buscado.


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Figura 2.7: Transporte paralelo del vectora lo largo de un meridiano

del cono.

Si los puntos p y qse obtienen al cortar el cono y es el crculocon centro en el vrtice que pasa por py q, entonces

long (de pa q)=

Geometría Diferencial Parte 2 - Palmas

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