GESTIÓN DE PROYECTOS: REDES PERT - CPMGESTIÓN DE PROYECTOS: REDES PERT‐CPM • Estructura y...

GESTIÓN DE PROYECTOS: REDES PERT‐CPM

• Estructura y análisis de una red de actividades• Algoritmos para el análisis de una red PERT‐CPM.

Algoritmo matricial de Zaderenko.• Técnica PERT: Probabilidad de terminación del

proyecto en plazo.• Diagrama de Gantt. Diagrama de red.• Técnica CPM• Algoritmo de Ackoff ‐ Sasieni

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Portal Estadística Aplicada: Gestión de Proyectos: REDES PERT ‐ CPM 2


PERT ‐ TÉCNICA DE EVALUACIÓN Y REVISIÓN DE PROYECTOS

El desarrollo del método PERT se inició en 1957 cuando la Marina de los EstadosUnidos se enfrentó a la problemática de coordinación y control que surgió en larealización del proyecto de submarinos atómicos armados con proyectiles Polaris(proyecto Polaris), teniendo que mantener relacón con 250 contratistas directos ymás de 9000 subcontratistas, además de un número elevado de agenciasgubernamentales.

El método PERT, igual que su predecesor, el diagrama de Gantt, parte de ladescomposición del proyecto en una serie de actividades u obras parciales, dondela actividad se entiende como la ejecución de una tarea, que exige para surealización la utilización de recursos (mano de obra, maquinaría, materiales, etc.)

Definido el concepto de actividad, se establece el concepto de suceso. Un suceso esun acontecimiento, un punto en el tiempo, una fecha en el calendario. El suceso noconsume recursos, sólo indica el principio o el fin de una actividad o de un conjuntode actividades.

Para representar las diferentes actividades en que se descompone un proyecto, asícomo sus correspondientes sucesos, se utiliza una estructura de grafo. Los arcos delgrafo representan las actividades, y los vértices, los sucesos. Hay que familiarizarsecon la idea de que la longitud del arco no tiene por qué guardar relación con eltiempo previsto para ejecutar la actividad que representa.

Si las actividades son A, B, C, y D. Para poder iniciar las actividades B, C y D esnecesario que se haya finalizado la actividad A. El vértice que representa el fin de laactividad A, a su vez, es el comienzo de la actividad B.

Una vez descompuesto el proyecto en actividades, la fase siguiente del métodoPERT consiste en establecer las prelaciones existentes entre las diferentesactividades. Estas prelaciones indican el orden en que deben ejecutarse dichasactividades. Por razones de tipo técnico, económico o jurídico, las diferentesactividades que constituyen un proyecto deben ejecutarse según un cierto orden.

El método PERT (Proyect Evaluation and Review Techniques) es un algoritmobasado en la teoría de redes diseñado para facilitar la planificación de proyectos.

El resultado final de la aplicación del algoritmo PERT será un cronograma para elproyecto, donde se podrá conocer la duración total del mismo y la clasificación deactividades según su criticidad.

El algoritmo PERT se desarrolla mediante intervalos probabilisticos, considerandotiempos optimistas, probables y pesimistas, lo que lo diferencia del método CPM(método de la ruta crítica) que supone tiempos determinísticos.


En sus inicios la técnica PERT se aplicó para evaluar la programación de proyectosde investigación y desarrollo, actualmente también se utiliza para controlar elavance de otros proyectos como: programas de construcción, preparación depresupuestos, campañas políticas, lanzamientos de nuevos productos, etc.

Los objetivos de la técnica PERT son:

Ayudar a la planeación y control de un proyecto.

Determinar la probabilidad de cumplir con fechas de entrega específicas.

Identificar aquellas actividades que es más probable que se conviertan encuellos de botella.

Calificación de actividades y análisis de tiempos.

Evaluación del efecto de los cambios en el proyecto.

Evaluación del efecto al desviarse de lo programado.

Ventajas método PERT:Método sencillo, idóneo para proyectos complejos.

Proporciona varios planes de ejecución.

Desventajas método PERT:

Solo admite relaciones de tipo final/comienzo, condemora nula.

Conviene utilizar un método de representación gráficacomo complemento.

REGLAS DE LA ESTRUCTURA DE LA RED PERT

♦ Cada actividad se debe repesentar sí y sólo sí por unramal o arco.

♦ Los vértices del grafo, representados por circunferenciastambién llamados nodos, son los sucesos o eventos, puntos enel tiempo que marca la terminación de una o más actividades yel comienzo de otras u otras.


A estos nodos se incorporan números que indican las fechas en términos relativos.Las fechas en los nodos son:

Número asignado a cada nodo o número de identificación de la actividad.

1T = Ocurrencia temprana (Early), momento o punto en el tiempo donde se puede dar la actividad.

2T = Ocurrencia tardía o más lejana (Last), momento o punto en el tiempo más tardío que puede ocurrir la actividad.

tH = Holgura total de que se dispone para la ocurrencia de una actividad.

♦ Cada actividad debe estar identificada por dos nodosdistintos. En el caso de existir actividades concurrentes(que se inicien al mismo tiempo, o bien que el inicio deuna actividad dependa de la finalización de dos o másactividades distintas) se debe recurrir a actividadesficticias (representadas por arcos punteados que noconsumen ni tiempo ni recursos).

♦ Al no ser un procedimiento de tipo gráfico no es necesario representar los arcoscon longitud proporcional a la duración de las actividades a que se asocian.

♦ Existen dos tipos de actividades: Reales o Ficticias.

ACTIVIDADES REALES: Consume recursos, indicando una relación deprecedencia. Se representa por una flecha de línea continua.

ACTIVIDADES FICTICIAS: No consume recursos pero si indica una relaciónde precedencia. Se representa por una línea discontinua.

♦ Toda Red PERT/CPM tiene un nodo de inicio y un nodo de finalización.

♦ Un nodo marca dos eventos: finalización de una(s) actividad(es) y comienzo dela actividad(es) siguiente(s).

♦ Ninguna actividad puede comenzar hasta que hayan terminado las que lepreceden.

♦ Una red no puede duplicar el número de identificación de los nodos,exceptuando casos especiales donde se manejen sub‐proyectos.

♦ El número de identifiación de un nodo sucesor no puede ser inferior al númerode identificación del nodo predecesor. En consecuencia, la númeración de losnodos del proyecto se hacen de izquierda a derecha en orden ascendente.


REGLAS DE CONSTRUCCIÓN DE LA RED PERT

• Cuando existe más de unaactividad entre los mismossucesos.

• Cuando dos o más actividades tengan algunas precedentes comunes pero notodas:

A y B preceden a C

B precede a D⎧⎨⎩

• Restricciones de tipo potencial, sesuponen para el que las fechas mástemprana y más tardía coinciden y soniguales a la fecha mencionada que unaactividad o más no pueden comenzarantes de una determinada fecha, lo quese indica con un suceso ficticio.

Este suceso ficticio se liga a las actividades correspondientes mediante actividadesficticias.


FASES PARA PLANIFICAR UN PROYECTO CON PERT

PASO 1: Identificar todas las actividades que intervienen en el proyecto, susinterrelaciones, sucesiones, reglas de precedencia.

Con la inclusión de cada actividad al proyecto se debe cuestionar respecto a queactividades preceden a esta y cuales siguen inmediatamente, además, deberánrelacionarse los tiempos estimados para el desarrollo de cada actividad.

PASO 2: ASIGNACIÓN DE TIEMPOS A LAS ACTIVIDADESEn esta fase se produce la principal diferencia con el método CPM. La duración deuna actividad no puede fijarse con exactitud. Depende de circunstancias aleatorias.

Este problema es abordado por el método PERT considerando tres estimaciones detiempo para cada actividad:

Tiempo optimista (a): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividadtranscurre de forma perfecta.En la práctica suele acudirse al tiempo récord de desarrollo de una actividad, esdecir, el mínimo tiempo en que una actividad de esas características haya sidoejecutada.

Tiempo más probable (m): Duración que ocurre cuando el desarrollo de laactividad transcurre de forma normal.En la práctica suele tomarse como el tiempo más frecuente de ejecución de unaactividad de iguales características.

Tiempo pesimista (b): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividadtranscurre de forma deficiente, o cuando se materializan los riesgos de ejecución dela actividad.

Utilizando estas tres estimaciones, para determinar la ruta crítica del proyecto seacude al tiempo de duración promedio, también conocido como tiempo esperado otiempo Pert.

Para una determinada actividad A será: e

a 4m bt (A)

6+ +

=

Además de calcular el tiempo estimado para una actividad, deberá calcularse lavarianza de cada actividad. El cálculo de esta medida de dispersión se utiliza paradeterminar la incertidumbre de que finalize el proyecto de acuerdo con elprograma.

En el algoritmo PERT el cálculo de la varianza de laactividad A viene dado por la expresión:

22A

(b a)Var(A)

36−

σ = =

Determinado el tiempo esperado de todas las actividades, es posible realizar elcálculo de los tres indicadores básicos para cada actividad iA


• Tiempo más temprano (Early) de un suceso 1T (i‐ésimo nodo)

Para calcular este indicador debe recorrerse la red de izquierda a derecha, con lassiguientes consideraciones:

1

1 1 e

T (primer nodo) 0

T (nodo i‐ésimo) T (nodo anterior i 1) t (actividad anterior)

== − +

Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad

con mayor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

• Tiempo más tardío (Last) de un suceso 2T (i‐ésimo nodo)

Para calcular este indicador debe recorrerse la red de derecha a izquierda, con lassiguientes consideraciones:

2 1

2 2 e

T (primer nodo, de derecha a izquierda) T (de este nodo)


Si en

== − −

un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad

con menor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Cuando el grafo PERT es muy grande (muchas actividades) el cálculo de los tiempos

1T o Early y 2T o Last puede ser muy engorroso.

Zaderenko (1968) propuso un método matricial de cálculo de tiempos 1T y 2T conaplicación para grafos grandes y pequeños.

• Tiempo de Holgura 2 1H T T= −

El tiempo de holgura es la diferencia entre el tiempo más tardío y el tiempo mástemprano de un suceso. En unidades de tiempo corresponde al valor que puedetardar la ocurrencia de un suceso.

Las actividades críticas constituyen la ruta más larga que abarca el proyecto, estoes, la suma de las actividades críticas de una ruta crítica determinará la duraciónestimada del proyecto.

• CAMINO CRÍTICO: Es el que determina la duración del proyecto y esta formadopor el conjunto de actividades que determinan el camino más largo. Estasactividades tienen como característica que su holgura total es cero, se llamanactividades y sucesos críticos.

Considerando las actividades o sucesos (1, 2, 3, ... ,k):

La longitud o duración del proyecto, de derecha a izquierda en el camino crítico,

e 2 2t (b) T (b) T (a) en [a b]= − −


Duración del proyecto: PROYECTO e e e et (1) t (2) t (3) . . . t (k)μ = + + + +

Desviación estándar del proyecto:

2 2 2 2 2PROYECTO 1 2 3 k. . .σ = σ + σ + σ + + σ 2

PROYECTO PROYECTOσ = σ

Puede darse el caso en el que se encuentren más de una ruta crítica. En caso de queexistiesen dos o más caminos críticos, se deberá utilizar la distribución con tiemposde finalización con mayor varianza.

La distribución del tiempo de finalización del proyecto, de acuerdo con el TeoremaCentral del Límite (TCL), sigue una distribución normal μ σPROYECTO PROYECTON( , )

Con la información obtenida se pueden efectuar cálculos probabilísticos determinación del proyecto.

El camino crítico es el camino de longitud máxima que va desde el vértice inicio delproyecto al vértice fin del proyecto. En consecuencia, para calcular el camino críticose pueden aplicar los algoritmos de teoría de grafos que permiten calcular elcamino de máxima longitud.

Construida la red PERT cada actividad no crítica tiene asociada dos números entreparéntesis (margen libre, margen total), es decir,

1j 1i e 2 j 1i e(Ml T T t ,Mt T T t )= − − = − − .

Las actividades críticas no llevan nada porque sus márgenes son nulos

Las actividades que se pueden retrasar sin que se vea afectada la duración de unproyecto serán aquellas cuya margen total sea igual o menor que el retrasoindicado.

♦ Si la actividad B se retrasa 3 meses y su margen total es 3 meses, la finalizacióndel proyecto no se ve modificado.

♦ Si la actividad C se retrasa 4 meses y su margen total es 3 meses, el proyecto seencuentra modificado en 1 mes.

Las actividades críticas (camino crítico) tienen margen total 0, con lo cual no sepueden retrasar.

♦ Si una actividad crítica se retrasa 3 meses, el proyecto se retrasa 3 meses. Enesta línea, el camino crítico puede cambiar, hay que realizar nuevos cálculos y otronuevo grafo de Pert.


Plantear la red del proyecto y calcular su duración.

ID ActividadActividadPrecedente

Tiempo (semanas)Pert

1 A 52 B 33 C A 24 D B 35 E A , B 4

Solución:

Se observa la necesidad de añadir una nueva actividad ficticia F1 para mantener lasrelaciones de precedencia. Las actividades ficticias no consumen recursos.

Se representa la ocurrencia temprana 1T (Early) momento o punto en el tiempodonse comienza la actividad.

De otra parte, toda Red tiene un nodo de inicio y un nodo de finalización, teniendoque plantearse de nuevo.


Camino crítico: 0 ‐ 1 ‐ 3Acrividades críticas: A , ELongitud del proyecto o Duración del proyecto: 9 semanas

Dibujar la red del proyecto y calcular su duración.

ActividadActividadPrecedente

Tiempo (días)Pert

A 6B 8C A , B 12D C 4E C 6F D , E 15G E 12H F , G 8

Solución:

Se observa la necesidad de añadir tres actividades ficticias F1 , F2 y F3 paramantener las relaciones de precedencia

Camino crítico: 0 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 5 ‐ 6 ‐ 8Actividades: B , C , E , F , HDuración Proyecto: 49 días


En el cuadro adjunto figuran las actividades en que se descompone ellanzamiento de un nuevo producto, así como sus correspondientes tiempos deejecución (en semanas), y las prelaciones existentes.

ActividadActividadesPrecedentes

TiempoPert

A ‐‐‐‐ 2B A 4C B , H 1D ‐‐‐‐ 6E G 3F E 5G D 2H G 2I D 3J I 4K D 3L J , K 5M C , L 2

Construir el correspondiente grafo

Solución:

Red del proyecto:


Camino crítico: 1 ‐ 3 ‐ 5 ‐ 6 ‐ 11 ‐ 12Actividades críticas: D , I , J , L , MDuración del proyecto: 20 semanas

Actividad

Tiempooptimista

(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b)

ActividadPrecedente

A 3 5,5 11B 1 1,5 5C 1,5 3 4,5 AD 1,2 3,2 4 BE 2 3,5 8 CF 1,8 2,8 5 DG 3 6,5 7 EH 2 4,2 5,2 FI 0,5 0,8 2,3 G ‐ HJ 0,8 2,1 2,8 I

Se calcula el tiempo esperado y varianza de cada actividad:

22

e A

22

e B

22

e F

e

x

x

x

a 4m b 3 4 5,5 11 (11 3)t (A) 6 Var(A) 1,78

6 6 36a 4m b 1 4 1,5 5 (5 1)

t (B) 2 Var(B) 0,44 6 6 36

a 4m b 1,8 4 2,8 5 (5 1,8)t (F) 3 Var(F) 0,28

6 6 36a 4m b 0,

t (J)6

+ + + + −= = = σ = = =

+ + + + −= = = σ = = =

+ + + + −= = = σ = = =

+ += =

22J

x8 4 2,1 2,8 (2,8 0,8)2 Var(J) 0,11

6 36+ + −

= σ = = =


ActividadTiempooptimista

(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b)

Tiempoesperado

Te

VarianzaVar

A 3 5,5 11 6 1,78B 1 1,5 5 2 0,44C 1,5 3 4,5 3 0,25D 1,2 3,2 4 3 0,22E 2 3,5 8 4 1F 1,8 2,8 5 3 0,28G 3 6,5 7 6 0,44H 2 4,2 5,2 4 0,28I 0,5 0,8 2,3 1 0,09J 0,8 2,1 2,8 2 0,11

GRAFO DEL PROYECTO

Con la información obtenida en el paso anterior, haciendo uso de conceptos básicospara diagramar una red, se obtiene el gráfico del proyecto.

CÁLCULO DE LA RED PERT

En el cálculo de la red se consideran tres indicadores:

• Tiempo más temprano de un suceso 1T (i‐ésimo nodo)Para calcular este indicador debe recorrerse la red de izquierda a derecha, con lassiguientes consideraciones:

1

1 1 e

T (primer nodo) 0


== − +


con mayor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


1 1 1 e 1 1 e

1 1 e 1 1 e

1 1 e 1 1 e

1 1 e 1 1 e

1

T (1) 0 T (2) T (1) t (A) 0 6 6 T (3) T (1) t (B) 0 2 2

T (4) T (2) t (C) 6 3 9 T (6) T (4) t (E) 9 4 13

T (5) T (3) t (D) 2 3 5 T (7) T (5) t (F) 5 3 8

T (8) T (6) t (G) 13 6 19 T (8) T (7) t (H) 8 4 12

T (9)

= = + = + = = + = + == + = + = = + = + == + = + = = + = + == + = + = = + = + =

1 e 1 1 eT (8) t (I) 19 1 20 T (10) T (9) t (J) 20 2 22= + = + = = + = + =

Para el cálculo de 1T en el nodo 8, donde concurren la finalización de dosactividades (E y F), se debe tomar el mayor valor de los 1T resultantes.

• Tiempo más tardío de realización de un suceso 2T (i‐ésimo nodo)Para calcular este indicador debe recorrerse la red de derecha a izquierda, con lassiguientes consideraciones:

2 1

2 2 e



Si en

== − −


con menor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2 1

2 2 e 2 2 e

2 2 e 2 2 e

2 2 e 2 2 e

2 2 e 2 2

T (10) T (10) 22

T (9) T (10) t (J) 22 2 20 T (8) T (9) t (I) 20 1 19

T (7) T (8) t (H) 19 4 15 T (6) T (8) t (G) 19 6 13

T (4) T (6) t (E) 13 4 9 T (2) T (4) t (C) 9 3 6

T (5) T (7) t (F) 15 3 12 T (3) T (5)

= == − = − = = − = − == − = − = = − = − == − = − = = − = − == − = − = = e

2 2 e 2 2 e

t (D) 12 3 9

T (1) T (2) t (A) 6 6 0 T (1) T (3) t (B) 9 2 4

− = − == − = − = = − = − =

Para el cálculo de 2T en el nodo 1, donde concurren el inicio de dos actividades (A yB), se debe tomar el menor valor de los 2T resultantes.


• Tiempo de Holgura 2 1H T T= −El tiempo de holgura es la diferencia entre el tiempo más tardío y el tiempo mástemprano de un suceso. En unidades de tiempo corresponde al valor que puedetardar la ocurrencia de un suceso.

La ruta crítica corresponde a los sucesos con holgura cero, es decir, la ruta críticaestá formada por la ocurrencia de sucesos en los que no puede retrarse una solaunidad de tiempo respecto al cronograma establecido, en otro caso se retrasaría lafinalización del proyecto.

Las actividades críticas constituyen la ruta más larga que abarca el proyecto, estoes, la suma de las actividades críticas de una ruta crítica determinará la duraciónestimada del proyecto.

Puede darse el caso en el que se encuentren más de una ruta crítica.

La ruta crítica se encuentra compuesta por las actividades críticas A, C, E, G, I, J conholgura total cero.


CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y PROBABILIDADES

Considerando las actividades que comprende la ruta crítica:

Duración del proyecto:

μ = + + + + + = + + + + + =PROYECTO e e e e e et (2) t (4) t (6) t (8) t (9) t (10) 6 3 4 6 1 2 22 semanas


σ = σ + σ + σ + σ + σ + σ = + + + + + =2 2 2 2 2 2 2PROYECTO 2 4 6 8 9 10 1,78 0,25 1 0,44 0,09 0,11 3,67

PROYECTO 3,67 1,92σ = =

En caso de que existiesen dos o más caminos críticos, se deberá utilizar ladistribución con tiempos de finalización con mayor varianza.

La distribución del tiempo de finalización del proyecto, de acuerdo con el TeoremaCentral del Límite (TCL), sigue una distribución normal N(22, 1,92)

Con la información obtenida se pueden efectuar cálculos probabilísticos determinación del proyecto. Por ejemplo, si se desea calcular la probabilidad de queel proyecto culmine antes de 26 semanas, bastaría con proceder:

X 22 26 22P(X 26) P P(z 2,08) 0,9612

1,92 1,92− −⎡ ⎤≤ = ≤ = ≤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Finaliza el proyecto en 26 semanas a lo sumo el 96,12% de las veces.

ALGORITMO DE ZADERENKO: CÁLCULO DE TIEMPOS Early / Last

Por medio de la matriz se pueden calcular los tiempos más temprano y mástardío de un proyecto, sin necesidad del diseño.

Para aplicar este procedimiento se construye una matriz cuadrada con tantasfilas/columnas como vértices tenga el grafo. Los elementos de la matriz tomaráncomo valor numérico las duraciones de las actividades que corresponden al suceso


inicial indicado por el número de fila y suceso final indicado por el número decolumna correspondiente a dicho elemento.

A la matriz así construida, se agrega una fila en la parte inferior, donde seanotarán los tiempos Last de cada suceso identificado por la columnacorrespondiente, y una columna en la parte izquierda donde se registran lostiempos Early correspondiente a los sucesos indicados por las respectivas filas.

DIAGRAMA DE GANTT

El cronograma de barras o gráficos de Gantt es una herramienta gráfica cuyoobjetivo es exponer el tiempo de dedicación previsto para diferentes tareas oactividades a lo largo de un tiempo total determinado.

El diagrama permite seguir el curso de cada actividad, al porporcionar informacióndel porcentaje ejecutado en cada una de ellas, así como el grado de adelanto oretraso con respecto al plazo previsto. A pesar de esto, no indica las relacionesexistentes entre actividades.

El diagrama de Gantt consiste en una representación gráfica sobre dos ejes, en elvértical se disponen las actividades del proyecto y en el horizontal se representa eltiempo, con las siguientes características:

Cada actividad se representa mediante un bloque rectangular cuya longitudindica su duración, la altura carece de significado.

La posición de cada bloque en el diagrama indica los instantes de inicio yfinalización de las actividades a que corresponden.

Los bloques correspondientes a las actividades del camino crítico acostumbran arellenarse en otro color diferente.

La construcción del Diagrama de Gantt tiene los siguientes pasos:

Se dibujan los ejes horizontal y vertical.

Se anotan los nombres de las actividades sobre el eje vertical.

En primer lugar se dibujan los bloques correspondientes a las actividades que notienen predecesoras, situandolas demanera qe el lado izquierdo de los bloquescoincida eon el instante cero del proyecto (su inicio).

A continuación, se dibujan los bloques correspondientes a lasactividades que solo dependen de las actividades ya introducidasen el diagrama.


El proceso se repite hasta haber dibujado todas las actividades, teniendo en cuentalas consideraciones siguientes:

Dependencia final‐inicio: Se representan alineando el final del bloque de laactividad predecesora con el inicio del bloque de la actividad dependiente.

Dependencia final‐final: Se representan alineando los finales decada bloque de las actividades predecesora y dependiente.

Dependencia inicio‐inicio: Se representan alineando los inicios delos bloques de las actividades predecesora y dependiente.

Retardos: Los retardos se representan desplazando la actividaddependiente hacia la derecha en el caso de retardos positivos yhacia la izquierda cuando los retardos son negativos.

DIAGRAMA DE GANTT: Construida la red PERT cada actividad no crítica tieneasociada dos números entre paréntesis (margen libre, margen total), es decir,

1j 1i e 2 j 1i e(Ml T T t ,Mt T T t )= − − = − − .

Las actividades críticas no llevan nada porque sus márgenes son nulos.

Se denomina margen de una actividad alexceso de tiempo disponible para realizardicha actividad con relación al tiempoprevisto de ejecución para la misma.

En el gráfico de Gantt cada actividad lleva asociada una barra de longitud igual a suduración, representando al final de cada una de ellas dos barritas que representanel margen libre de la actividad 1j 1i eMl T T t= − − (barrita superior) y el margen total

de la actividad 2j 1i eMt T T t= − − (barrita inferior). Las actividades críticas no tienen

estas dos barritas.


Una cadena de tiendas desea adquirir un ordenador que permita llevar lacontabilidad y realizar el control de inventarios. Una firma informática presenta unproyecto en días con el correspondiente grafo al Jefe de Markenting de las tiendas.


(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b) (A) Selección del modelo 4 6 8 (B) Sistema de entrada/salida 5 7 15 (C) Diseño del sistema 4 8 12 (D) Montaje 15 20 25 (E) Programas 10 18 26 (F) Rutinas de entrada/salida 8 9 16 (G) Bases de datos 4 8 12 (H) Instalación 1 2 3 (I) Test 6 7 8

Red del proyecto:

a) Calcular el camino crítico y duración esperada del proyecto.b) Determinar la probabilidad de finalizar el proyecto a lo sumo en 55 días.

Solución:

a) Se calcula el tiempo esperado y varianza de cada actividad:

22

e A

22

e B

22

e F

x

x

x

a 4m b 4 4 6 8 (8 4)t (A) 6 Var(A) 0,44

6 6 36a 4m b 5 4 7 15 (15 5)

t (B) 8 Var(B) 2,786 6 36

a 4m b 8 4 9 16 (16 8)t (F) 10 Var(F) 1,78

6 6 36

+ + + + −= = = σ = = =

+ + + + −= = = σ = = =

+ + + + −= = = σ = = =



(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b)

Tiempoesperado

Te

VarianzaVar

A 4 6 8 6 0,44B 5 7 15 8 2,78C 4 8 12 8 1,78D 15 20 25 20 2,78E 10 18 26 18 7,11F 8 9 16 10 1,78G 4 8 12 8 1,78H 1 2 3 2 0,11I 6 7 8 7 0,11

Se determinan los tiempor más tempranos y tardíos de cada suceso, así como laholgura total de cada actividad.


1

1 1 e

T (primer nodo) 0


== − +


con mayor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1 1 1 e

1 1 e

1 1 e

1 1 e 1 1 e 1

1 1 e

1 1 e 1 1

T (1) 0 T (2) T (1) t (A) 0 6 6

T (3) T (2) t (B) 6 8 14

T (4) T (2) t (C) 6 8 14

T (6) T (3) t (D) 14 20 34 T (6) T (4) t (F) 14 10 34 maxT (6) 34

T (5) T (3) t (E) 14 18 32

T (7) T (6) t (H) 34 2 36 T (7) T

= = + = + == + = + == + = + == + = + = = + = + = == + = + == + = + = = e

1 1 e

(5) t (G) 32 8 40

T (8) T (7) t (I) 40 7 47

+ = + == + = + =


Para el cálculo de 1T en todo nodo, si concurre la finalización de dos o másactividades, se debe tomar el mayor valor.


2 1

2 2 e



Si en

== − −


con menor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2 1

2 2 e

2 2 e

T (8) T (8) 47

T (7) T (8) t (I) 47 7 40

T (6) T (7) t (H) 40 2 38

= == − = − == − = − =

2 2 e

2 2 e

2 2 e 2 2 e 2

2 2 e 2 2 e 2

2 2 e

T (5) T (7) t (G) 40 8 32

T (4) T (6) t (F) 38 10 28

T (3) T (5) t (E) 32 18 14 T (3) T (6) t (D) 38 20 18 minT (3) 14

T (2) T (3) t (B) 14 8 6 T (2) T (4) t (C) 28 8 20 minT (2) 6

T (1) T (2) t (A) 6 6

= − = − == − = − == − = − = = − = − = == − = − = = − = − = == − = − 0=



La ruta crítica corresponde a los sucesos con holgura cero, es decir, la ruta críticaestá formada por la ocurrencia de sucesos en los que no puede retrarse un díarespecto al cronograma establecido, en otro caso se retrasaría la finalización delproyecto.

La ruta crítica es 1 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8, formada por las actividades A, B, E, G, I conholgura total cero.

Considerando las actividades que comprende la ruta crítica:

Duración del proyecto:

μ = + + + + = + + + + =PROYECTO e e e e et (2) t (3) t (5) t (7) t (8) 6 8 18 8 7 47 días


σ = σ + σ + σ + σ + σ = + + + + =2 2 2 2 2 2PROYECTO 2 3 5 7 8 0,44 2,78 7,11 1,78 0,11 12,22

PROYECTO 12,22 3,496 díasσ = =

En caso de que existiesen dos o más caminos críticos, se deberá utilizar ladistribución con tiempos de finalización con mayor varianza.


b) X 47 55 47P(X 55) P P(z 2,29) 0,9889

3,496 3,496− −⎡ ⎤≤ = ≤ = ≤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Se termina el proyecto en 55 días como mucho en un 98,89% de los casos.


Una compañía se encarga de la construcción de dos tipos de invernaderos (demalla o de plástico y de plancha). Habiendo definido las actividades en semanas, setiene:


(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b)

ActividadPrecedente

A 1 2 9 ‐‐‐‐‐B 4 7 10 ‐‐‐‐‐C 2 8 14 BD 1 2 9 A , BE 4 7 16 CF 5 8 17 CG 0 3 6 DH 2 2 2 E , F

a) Calcular el camino crítico y duración esperada del proyecto. Determinar laprobabilidad de finalizar el proyecto a lo sumo en 29 semanas.

b) Matriz de Zaderenko

Solución:

a) Se calcula el tiempo esperado y varianza de cada actividad:

+ + + + −= = = σ = = =

22

e A

xa 4m b 1 4 2 9 (9 1)t (A) 3 Var(A) 1,78

6 6 36

+ + + + −= = = σ = = =

22

e C

xa 4m b 2 4 8 14 (14 2)t (C) 8 Var(C) 4

6 6 36

+ + + + −= = = σ = = =

22

e H

xa 4m b 2 4 2 2 (2 2)t (H) 2 Var(H) 0

6 6 36



(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b)

Tiempoesperado

Te

VarianzaVar

A 1 2 9 3 1,78B 4 7 10 7 1C 2 8 14 8 4D 1 2 9 3 1,78E 4 7 16 8 4F 5 8 17 9 4G 0 3 6 3 1H 2 2 2 2 0

A partir del cuadro de prelaciones y del tiempo esperado (tiempo Pert) se puedeconstruir la red PERT, colocando sobre cada arco una letra que designa la actividadcorrespondiente, así como el tiempo esperado et asociado a cada una de lasactividades.

En la red se procede al cálculo de los tiempos más temprano ( 1T , Early) y más tardío( 2T , Last) de la realización de un suceso.


1

1 1 e

T (primer nodo) 0


== − +


con mayor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


= = + = + == + = + = = + = + = == + = + == + = + == + = + = = + = + = =

1 1 1 e

1 1 e 1 1 e 1

1 1 e

1 1 e

1 1 e 1 1 e 1

1

T (1) 0 T (2) T (1) t (B) 0 7 7

T (3) T (1) t (A) 0 3 3 T (3) T (2) t (F1) 7 0 7 maxT (3) 7

T (4) T (2) t (C) 7 8 15

T (5) T (4) t (F) 15 9 24

T (6) T (4) t (E) 15 8 23 T (6) T (4) t (F) 15 8 24 maxT (6) 24

T ( = + = + == + = + = = + = + = =

1 e

1 1 e 1 1 e 1

7) T (3) t (D) 7 3 10

T (8) T (7) t (G) 10 3 13 T (8) T (6) t (H) 24 2 26 maxT (8) 26


2 1

2 2 e



Si en

== − −


con menor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2 1

2 2 e

2 2 e

2 2 e

2 2 e 2 2 e 2

2 2 e

2 2 e

T (8) T (8) 26

T (7) T (8) t (G) 26 3 23

T (6) T (8) t (H) 26 2 24

T (5) T (6) t (F2) 24 0 24

T (4) T (5) t (F) 24 9 15 T (4) T (6) t (E) 24 8 16 minT (4) 15

T (2) T (4) t (C) 15 8 7

T (3) T (7) t (D) 23 3 20

= == − = − == − = − == − = − == − = − = = − = − = == − = − == − = − =

2 2 e 2 2 e 2T (1) T (2) t (B) 7 7 0 T (1) T (3) t (A) 7 3 4 minT (1) 0= − = − = = − = − = =


• CAMINO CRÍTICO:


El camino crítico es 1 ‐ 2 ‐ 4 ‐ 6 ‐ 8 formado por las actividades B, C, E, H


e 2 2t (b) T (b) T (a) en [a b]= − −

μ = + + + = + + + =PROYECTO e e e et (2) t (4) t (6) t (8) 7 8 9 2 26


2 2 2 2 2PROYECTO 2 4 6 8 1 4 4 0 9σ = σ + σ + σ + σ = + + + = PROYECTO 9 3σ = =

La distribución del tiempo de finalización del proyecto, de acuerdo con el TeoremaCentral del Límite (TCL), sigue una distribución normal N(26, 3)

La Probabilidad de terminar a lo sumo en 29 semanas es:

X 26 29 26P(X 29) P P(z 1) 0,8413

3 3− −⎡ ⎤≤ = ≤ = ≤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Se termina el proyecto en 29 semanas como mucho en un 84,13% de los casos.


b) MATRIZ DE ZADERENKO

Se rellena la matriz con las duraciones de las actividades y se comienzarellenado la columna de las actividades T1 (Tiempo más temprano de un suceso,Early). Se elige columna y se toma el mayor valor.

PRIMERA ACTIVIDAD: El primer tiempo T1 es cero.

SEGUNDA ACTIVIDAD: Para calcular el segundo elemento T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (2) y para cada celda con valor se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad 0 7 7= + =

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

0 7 7+ = 7 2 * 0 8

3 * 34 * 9 85 * 06 * 27 * 38 *T2

TERCERA ACTIVIDAD: Para calcular el tercer elemento T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (3), observando las celdas que tienen valor setienen dos tiempos, y se realiza el cálculo:T1 + duración de la actividad 0 3 3= + =T1 + duración de la actividad 7 0 7= + =Se introduce el tiempo mayor que es 7

Mayor T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

0 7 7+ = 7 2 * 0 8

0 3 3

7 0 7

+ =+ =

7 3 * 3

4 * 9 85 * 06 * 27 * 38 *T2


CUARTA ACTIVIDAD: Para calcular el cuarto elemento de T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (4), hay una celda que tiene valor, se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad 7 8 15= + =

Mayor T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

0 7 7+ = 7 2 * 0 8

0 3 3

7 0 7

+ =+ =

7 3 * 3

7 8 15+ = 15 4 * 9 8

5 * 06 * 27 * 38 *T2

QUINTA ACTIVIDAD: Para calcular el quinto elemento de T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (5), hay una celda que tiene valor, se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad 15 9 24= + =

Mayor T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

0 7 7+ = 7 2 * 0 8

0 3 3

7 0 7

+ =+ =

7 3 * 3

7 8 15+ = 15 4 * 9 8

15 9 24+ = 24 5 * 0

6 * 27 * 38 *T2


SEXTA ACTIVIDAD: Para calcular el sexto elemento de T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (6), hay dos celdas que tiene valor, se realiza elcálculo:T1 + duración de la actividad 15 8 23= + =T1 + duración de la actividad 24 0 24= + =Se introduce el mayor valor que es 24

Mayor T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

0 7 7+ = 7 2 * 0 8

0 3 3

7 0 7

+ =+ =

7 3 * 3

7 8 15+ = 15 4 * 9 8

15 9 24+ = 24 5 * 0

15 8 23

24 0 24

+ =+ =

24 6 * 2

7 * 38 *T2

SÉPTIMA ACTIVIDAD: Para calcular el séptimo elemento de T1 se elige la columnadel elemento que se esta calculando (7), hay una celda que tiene valor, se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad 7 3 10= + =

Mayor T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

0 7 7+ = 7 2 * 0 8

0 3 3

7 0 7

+ =+ =

7 3 * 3

7 8 15+ = 15 4 * 9 8

15 9 24+ = 24 5 * 0

15 8 23

24 0 24

+ =+ =

24 6 * 2

7 3 10+ = 10 7 * 3

8 *T2


OCTAVA ACTIVIDAD: Para calcular el octavo elemento de T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (8), hay dos celdas que tiene valor, se realiza elcálculo:T1 + duración de la actividad 24 2 26= + =T1 + duración de la actividad 10 3 13= + =Se introduce el mayor valor 26

Mayor T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

0 7 7+ = 7 2 * 0 8

0 3 3

7 0 7

+ =+ =

7 3 * 3

7 8 15+ = 15 4 * 9 8

15 9 24+ = 24 5 * 0

15 8 23

24 0 24

+ =+ =

24 6 * 2

24 2 26

10 3 13

+ =+ =

10 7 * 3

8 *T2


Se completa la matriz de Zaderenko calculando T2 (Tiempo más tardío derealización de un suceso, Last) de izquierda a derecha. Se elige Fila y se toma elmenor valor

FILA 8: Se copia el último tiempo T1

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

7 2 * 0 8

7 3 * 3

15 4 * 9 8

24 5 * 0

24 6 * 2

10 7 * 3

26 8 *

Menor T2 26

FILA 7: La actividad 8 tiene el valor 3

T2 −menor tiempo de la columna 26 3 23= − =

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

7 2 * 0 8

7 3 * 3

15 4 * 9 8

24 5 * 0

24 6 * 2

26 3 23− = 10 7 * 3

26 8 *

Menor T2 23 26




T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

7 2 * 0 8

7 3 * 3

15 4 * 9 8

24 5 * 0

26 2 24− = 24 6 * 2

26 3 23− = 10 7 * 3

26 8 *

Menor T2 24 23 26



T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

7 2 * 0 8

7 3 * 3

15 4 * 9 8

24 0 24− = 24 5 * 0

26 2 24− = 24 6 * 2

26 3 23− = 10 7 * 3

26 8 *

Menor T2 24 24 23 26


FILA 4: Hay dos actividades (actividad 6 y actividad 5) Menor(24 8 16 24 9 15) 15− = − = →

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

7 2 * 0 8

7 3 * 3

24 8 16

24 9 15

− =− =

15 4 * 9 8

24 0 24− = 24 5 * 0

26 2 24− = 24 6 * 2

26 3 23− = 10 7 * 3

26 8 *

Menor T2 15 24 24 23 26



T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

7 2 * 0 8

23 3 20− = 7 3 * 3

24 8 16

24 9 15

− =− =

15 4 * 9 8

24 0 24− = 24 5 * 0

26 2 24− = 24 6 * 2

26 3 23− = 10 7 * 3

26 8 *

Menor T2 20 15 24 24 23 26


FILA 2: Hay dos actividades (actividad 4 y actividad 3)

Menor(15 8 7 20 0 20) 7− = − = →

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

15 8 7

20 0 20

− =− =

7 2 * 0 8

23 3 20− = 7 3 * 3

24 8 16

24 9 15

− =− =

15 4 * 9 8

24 0 24− = 24 5 * 0

26 2 24− = 24 6 * 2

26 3 23− = 10 7 * 3

26 8 *

Menor T2 7 20 15 24 24 23 26



Menor(20 3 17 7 7 0) 0− = − = →

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

20 3 17

7 7 0

− =− =

0 1 * 7 3

15 8 7

20 0 20

− =− =

7 2 * 0 8

23 3 20− = 7 3 * 3

24 8 16

24 9 15

− =− =

15 4 * 9 8

24 0 24− = 24 5 * 0

26 2 24− = 24 6 * 2

26 3 23− = 10 7 * 3

26 8 *

Menor T2 0 7 20 15 24 24 23 26

Finalmente, resulta la matriz de Zaderenko

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 * 7 3

7 2 * 0 8

7 3 * 3

15 4 * 9 8

24 5 * 0

24 6 * 2

10 7 * 3

26 8 *

T2 0 7 20 15 24 24 23 26


Calular los tiempos Early y Last por la matriz de Zaderenko, siendo la red delproyecto:

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 4

0 5 5+ = 5 2 * 0 10

3 * 0 6

4 * 7

5 * 8 12

6 * 10

7 * 9

8 *T2

Solución:

Se rellena la matriz con las duraciones de las actividades y se comienzarellenado la columna de las actividades T1 (Tiempo más temprano de un suceso,Early). Se elige el mayor valor.


SEGUNDA ACTIVIDAD: Para calcular el segundo elemento T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (2) y para cada celda con valor se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad 0 5 5= + =

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 4

0 5 5+ = 5 2 * 0 10

3 * 0 6

4 * 7

5 * 8 12

6 * 10

7 * 9

8 *T2

TERCERA ACTIVIDAD: Para calcular el tercer elemento T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (3) y para cada celda con valor se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad. Se elige el mayor valor.


T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 4

0 5 5+ = 5 2 * 0 10

0 8 8

5 0 5

+ =+ =

8 3 * 0 6

4 * 7

5 * 8 12

6 * 10

7 * 9

8 *T2

CUARTA ACTIVIDAD: Para calcular el cuarto elemento T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (4) y para cada celda con valor se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad. Se elige el mayor valor.

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 4

0 5 5+ = 5 2 * 0 10

0 8 8

5 0 5

+ =+ =

8 3 * 0 6

0 4 4

8 0 8

+ =+ =

8 4 * 7

5 * 8 12

6 * 10

7 * 9

8 *T2

QUINTA ACTIVIDAD: Para calcular el cuarto elemento T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (5) y para cada celda con valor se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad. Se elige el mayor valor.


T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 4

0 5 5+ = 5 2 * 0 10

0 8 8

5 0 5

+ =+ =

8 3 * 0 6

0 4 4

8 0 8

+ =+ =

8 4 * 7

8 6 14

8 7 15

+ =+ =

15 5 * 8 12

6 * 10

7 * 9

8 *T2

SEXTA ACTIVIDAD: Para calcular el cuarto elemento T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (6) y para cada celda con valor se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad. Se elige el mayor valor.

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 4

0 5 5+ = 5 2 * 0 10

0 8 8

5 0 5

+ =+ =

8 3 * 0 6

0 4 4

8 0 8

+ =+ =

8 4 * 7

8 6 14

8 7 15

+ =+ =

15 5 * 8 12

5 10 15

15 8 23

+ =+ =

23 6 * 10

7 * 9

8 *T2

SÉPTIMA ACTIVIDAD: Para calcular el cuarto elemento T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (7) y para cada celda con valor se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad. Se elige el mayor valor.


T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 4

0 5 5+ = 5 2 * 0 10

0 8 8

5 0 5

+ =+ =

8 3 * 0 6

0 4 4

8 0 8

+ =+ =

8 4 * 7

8 6 14

8 7 15

+ =+ =

15 5 * 8 12

5 10 15

15 8 23

+ =+ =

23 6 * 10

15 12 27+ = 27 7 * 9

8 *T2

OCTAVA ACTIVIDAD: Para calcular el cuarto elemento T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (8) y para cada celda con valor se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad. Se elige el mayor valor.

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 4

0 5 5+ = 5 2 * 0 10

0 8 8

5 0 5

+ =+ =

8 3 * 0 6

0 4 4

8 0 8

+ =+ =

8 4 * 7

8 6 14

8 7 15

+ =+ =

15 5 * 8 12

5 10 15

15 8 23

+ =+ =

23 6 * 10

15 12 27+ = 27 7 * 9

23 10 33

27 9 36

+ =+ =

36 8 *

T2


Se completa la matriz de Zaderenko calculando T2 (Tiempo más tardío derealización de un suceso, Last) de izquierda a derecha. Se elige el menor valor.

FILA 8: Se copia el último tiempo 1T

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 45 2 * 0 108 3 * 0 68 4 * 715 5 * 8 1223 6 * 1027 7 * 936 8 *

T2 36

FILA 7: La actividad 8 tiene el valor 9Se resta a la actividad anterior el menor tiempo de la columna:

2T − menor tiempo de la columna 36 9 27= − =

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 45 2 * 0 108 3 * 0 68 4 * 715 5 * 8 1223 6 * 1027 7 * 936 8 *

T2 27 36


FILA 6: La actividad 8 tiene el valor 10: 36 10 26− =

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 45 2 * 0 108 3 * 0 68 4 * 715 5 * 8 1223 6 * 1027 7 * 936 8 *

T2 26 27 36


Menor (27 12 15 26 8 18) 15− = − = →

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 45 2 * 0 108 3 * 0 68 4 * 715 5 * 8 1223 6 * 1027 7 * 936 8 *

T2 15 26 27 36


T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 45 2 * 0 108 3 * 0 68 4 * 715 5 * 8 1223 6 * 1027 7 * 936 8 *

T2 8 15 26 27 36



Menor (15 6 9 8 0 8) 8− = − = →

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 45 2 * 0 108 3 * 0 68 4 * 715 5 * 8 1223 6 * 1027 7 * 936 8 *

T2 8 8 15 26 27 36


Menor (26 10 16 8 0 8) 8− = − = →

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 45 2 * 0 108 3 * 0 68 4 * 715 5 * 8 1223 6 * 1027 7 * 936 8 *

T2 8 8 8 15 26 27 36


FILA 1: Hay tres actividades (actividad 4 , actividad 3 y actividad 2)

Menor (8 4 4 8 8 0 8 5 3) 0− = − = − = →

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 45 2 * 0 108 3 * 0 68 4 * 715 5 * 8 1223 6 * 1027 7 * 936 8 *

T2 0 8 8 8 15 26 27 36

Finalmente, los tiempos T1 (Early) y T2 (Last) son:

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 80 1 * 5 8 45 2 * 0 108 3 * 0 68 4 * 715 5 * 8 1223 6 * 1027 7 * 936 8 *

T2 0 8 8 8 15 26 27 36


Un grupo empresarial se encarga de levantar un complejo de chalets adosados.El proyecto se compone de las siguientes actividades expresadas en meses:

Actividad Actividad Predecesora Tiempo PertA E 4B ‐‐‐‐ 10C D, E, F 3D A, B 15E ‐‐‐‐ 5F H 10G H 13H A, B 15I C, G 7

Se desea saber:

a) Planificación del proyecto indicando el camino crítico y duración.

b) ¿Se puede acaba el proyecto en 40 meses?

c) Reduciendo la actividad B en 5 meses, ¿cuál será la duración del proyecto?

d) Si se reduce la actividad H en 5 meses, ¿cuál será la duración del proyecto?

e) Se realiza una inspección de la obra en 20 meses y se observa que faltan 15meses para terminar la actividad D y se ha terminado la actividad H. ¿Hay quemodificar la duración del proyecto?

Solución:

a) La red del proyecto:

Hay que añadir una actividad ficticia F1 para que sea posible que la actividadposterior a E sea C.


El proyecto presenta dos caminos críticos: 1 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 5 ‐ 6 ‐ 7

Formado por las actividades críticas: B , H , F , C , I con holgura cero.Con una duración del proyecto de 45 meses.

El camino crítico: 1 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 6 ‐ 7

Formado por las actividades críticas: B , H , G , I con holgura cero.Con una duración del proyecto de 45 meses.

En caso de conocer la varianza de cada actividad se eligiría el camino crítico conmeses de finalización con mayor varianza.

b) Es imposible realizar el proyecto en 40 meses. Hay dos caminos críticos y no sepuede determinar la probabilidad del mencionado plazo al no disponer de lostiempos optimista, normales y pesimistas de las actividades y, en consecuencia,desconocer la distribución normal temporal de finalización del proyecto N(45, )σ

c) La reducción de la actividad B (1 ‐ 3) en 5 meses origina que el proyecto se acorteen un mes, puesto que aparecen dos nuevos caminos críticos con una duración de44 meses.


El proyecto presenta dos nuevos caminos críticos: 1 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 5 ‐ 6 ‐ 7

Formado por las actividades críticas: E , A , H , F , C, I con holgura cero.Con una duración del proyecto de 44 meses.

El camino crítico: 1 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 6 ‐ 7

Formado por las actividades críticas: E , A , H , G , I con holgura cero.Con una duración del proyecto de 44 meses.


d) Sí la actividad H se reduce en 5 meses, la duración del proyecto es de 40 meses yno se modifican los camino críticos iniciales.

e) Al realizar la inspección en 20 meses, han finalizado las actividades E , B , A y H.A la actividad D le quedan 15 meses y comienzan las actividades F y G.

En consecuencia, la red que queda a partir del mes 20 será:

Se debe añadir una actividad ficticia F2 para mantener las relaciones deprecedencia.

Las actividades criticas son: D , C , I

Se observa que la actividad G no es crítica, aunque comienza y finaliza en nudoscríticos.

La duración del proyecto es de 45 meses.


Definidas las actividades de un proyecto en semanas, se tiene:

ActividadActividadPrecedente

ActividadSiguiente

Tiempooptimista

(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b)A ‐‐‐‐ C, D 1 2 3B ‐‐‐‐ E, F 1 2 9C A E, F 4 7 10D A F 2 8 14E B. C H 1 2 9F B, C, D G, J 5 8 17G F I 4 7 16H E ‐‐‐‐ 0 2 4I G, J ‐‐‐‐ 2 2 2J F I 7 9 17

Calcular la matriz de Zaderenko

Solución:

Se calcula el tiempo esperado (tiempo Pert) de cada actividad:

e e

x xa 4m b 1 4 2 3 a 4m b 1 4 2 9t (A) 2 t (B) 3

6 6 6 6+ + + + + + + +

= = = = = =

e e

x xa 4m b 4 4 7 10 a 4m b 7 4 9 17t (C) 7 t (J) 10

6 6 6 6+ + + + + + + +

= = = = = =


La matriz de Zaderenko se elabora con las duraciones de las actividades, secomienza rellenado la columna de las actividades T1 (Tiempo más temprano de unsuceso, Early) de derecha a izquierda y la fila T2 (Tiempo más tardío de realizaciónde un suceso, Last) de izquierda a derecha.

MATRIZ DE ZADERENKO

Se rellena la matriz con las duraciones de las actividades y se comienza rellenado lacolumna de las actividades T1 (Tiempo más temprano de un suceso, Early).


SEGUNDA ACTIVIDAD: Para calcular el segundo elemento T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (2) y para cada celda con valor se realiza elcálculo:T1 + duración de la actividad 0 2 2= + =

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 * 2 3

0 2 2+ = 2 2 * 7 8

3 * 0 34 * 95 * 26 * 10 87 * 08 * 29 *T2


TERCERA ACTIVIDAD: Para calcular el tercer elemento T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (3), observando las celdas que tienen valor setienen dos tiempos, y se realiza el cálculo:T1 + duración de la actividad 0 3 3= + =T1 + duración de la actividad 2 7 9= + =Se introduce el tiempo mayor que es 9

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 * 2 3

0 2 2+ = 2 2 * 7 8

0 3 3

2 7 9

+ =+ =

9 3 * 0 3

4 * 95 * 26 * 10 87 * 08 * 29 *T2

CUARTA ACTIVIDAD: Para calcular el cuarto elemento de T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (4), hay dos celdas que tienen valor, se introduceel mayor tiempo: T1 + duración de la actividad 2 8 10= + =

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 * 2 3

0 2 2+ = 2 2 * 7 8

0 3 3

2 7 9

+ =+ =

9 3 * 0 3

2 8 10

9 0 9

+ =+ =

10 4 * 9

5 * 26 * 10 87 * 08 * 29 *T2


QUINTA ACTIVIDAD: Para calcular el quinto elemento de T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (5), hay una celda que tiene valor, se realiza elcálculo:T1 + duración de la actividad 9 3 12= + =

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 * 2 3

0 2 2+ = 2 2 * 7 8

0 3 3

2 7 9

+ =+ =

9 3 * 0 3

2 8 10

9 0 9

+ =+ =

10 4 * 9

9 3 12+ = 12 5 * 2

6 * 10 87 * 08 * 29 *T2

SEXTA ACTIVIDAD: Para calcular el sexto elemento de T1 se elige la columna delelemento que se esta calculando (6), hay solo una celda tiene valor, se realiza elcálculo:T1 + duración de la actividad 10 9 19= + =

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 * 2 3

0 2 2+ = 2 2 * 7 8

0 3 3

2 7 9

+ =+ =

9 3 * 0 3

2 8 10

9 0 9

+ =+ =

10 4 * 9

9 3 12+ = 12 5 * 2

10 9 19+ = 19 6 * 10 8

7 * 08 * 29 *T2


SÉPTIMA ACTIVIDAD: Para calcular el séptimo elemento de T1 se elige la columnadel elemento que se esta calculando (7), hay una celda que tiene valor, se realiza elcálculo: T1 + duración de la actividad 19 10 29= + =

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 * 2 3

0 2 2+ = 2 2 * 7 8

0 3 3

2 7 9

+ =+ =

9 3 * 0 3

2 8 10

9 0 9

+ =+ =

10 4 * 9

9 3 12+ = 12 5 * 2

10 9 19+ = 19 6 * 10 8

19 10 29+ = 29 7 * 0

8 * 29 *T2


OCTAVA ACTIVIDAD: Para calcular el séptimo elemento de T1 se elige la columnadel elemento que se esta calculando (8), hay dos celdas que tienen valor, seintroduce el mayor tiempo: T1 + duración de la actividad 29 0 29= + =

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 * 2 3

0 2 2+ = 2 2 * 7 8

0 3 3

2 7 9

+ =+ =

9 3 * 0 3

2 8 10

9 0 9

+ =+ =

10 4 * 9

9 3 12+ = 12 5 * 2

10 9 19+ = 19 6 * 10 8

19 10 29+ = 29 7 * 0

19 8 27

29 0 29

+ =+ =

29 8 * 2

9 *T2

NOVENA ACTIVIDAD: Para calcular el séptimo elemento de T1 se elige la columnadel elemento que se esta calculando (9), hay dos celdas que tienen valor, seintroduce el mayor tiempo: T1 + duración de la actividad 29 2 31= + =


T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 * 2 3

0 2 2+ = 2 2 * 7 8

0 3 3

2 7 9

+ =+ =

9 3 * 0 3

2 8 10

9 0 9

+ =+ =

10 4 * 9

9 3 12+ = 12 5 * 2

10 9 19+ = 19 6 * 10 8

19 10 29+ = 29 7 * 0

19 8 27

29 0 29

+ =+ =

29 8 * 2

12 2 14

29 2 31

+ =+ =

31 9 *

T2

Se completa la matriz de Zaderenko calculando T2 (Tiempo más tardío derealización de un suceso, Last) de izquierda a derecha. Se elige el menor valor.

FILA 9: Se copia el último tiempo 1T

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 * 2 3

2 2 * 7 8

9 3 * 0 3

10 4 * 9

12 5 * 2

19 6 * 10 8

29 7 * 0

29 8 * 2

31 9 *

T2 31



T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 * 2 32 2 * 7 89 3 * 0 310 4 * 912 5 * 219 6 * 10 829 7 * 029 8 * 231 9 *

T2 29 31


T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 * 2 32 2 * 7 89 3 * 0 310 4 * 912 5 * 219 6 * 10 829 7 * 029 8 * 231 9 *

T2 29 29 31



Menor (29 8 21 29 10 19) 19− = − = →

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 * 2 32 2 * 7 89 3 * 0 310 4 * 912 5 * 219 6 * 10 829 7 * 029 8 * 231 9 *

T2 19 29 29 31


T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 * 2 32 2 * 7 89 3 * 0 310 4 * 912 5 * 219 6 * 10 829 7 * 029 8 * 231 9 *

T2 29 19 29 29 31



T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 * 2 32 2 * 7 89 3 * 0 310 4 * 912 5 * 219 6 * 10 829 7 * 029 8 * 231 9 *

T2 10 29 19 29 29 31


Menor (29 3 26 10 0 10) 10− = − = →

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 * 2 32 2 * 7 89 3 * 0 310 4 * 912 5 * 219 6 * 10 829 7 * 029 8 * 231 9 *

T2 10 10 29 19 29 29 31



Menor (10 8 2 10 7 3) 2− = − = →

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 * 2 32 2 * 7 89 3 * 0 310 4 * 912 5 * 219 6 * 10 829 7 * 029 8 * 231 9 *

T2 2 10 10 29 19 29 29 31


Menor (10 3 7 2 2 0) 0− = − = →

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 * 2 32 2 * 7 89 3 * 0 310 4 * 912 5 * 219 6 * 10 829 7 * 029 8 * 231 9 *

T2 0 2 10 10 29 19 29 29 31


Finalmente, los tiempos Early y Last son:

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 * 2 32 2 * 7 89 3 * 0 310 4 * 912 5 * 219 6 * 10 829 7 * 029 8 * 231 9 *

T2 0 2 10 10 29 19 29 29 31


Dibujar la red PERT y el diagrama de Gantt asociado a las actividades que sedescriben. Por razones técnicas, entre el final de H y el comienzo de L deben detranscurrir al menos 6 unidades de tiempo.

ActividadActividades

Siguientes inmediatasTiempo Pert

A D, E, F 6B E, F 5C G, H 12D I, J 4E I, J 7F G, H 4G K, L 8H M 3I K, L 4J 12K N 8L N 5M N 9N 2

Solución:

Es necesario introducir tres actividades ficticias, una de ellas, et (F3) 6= , con tiempoasociado para representar la ligadura entre H y L.


Se completa la red Pert introduciendo las actividades T1 (tiempo más temprano deun suceso, Early), de derecha a izquierda. Si en un nodo finaliza más de unaactividad se toma el tiempo Pert de la actividad con mayor valor.

En distintos nodos (3, 5, 6, 8, 9 y 10) finalizaban más de una actividad, tomando eltiempo Pert (tiempo esperado) con mayor valor.

Después se introducen las actividades T2 (tiempo más tardío de realización de unsuceso, Last), comenzando de izquierda a derecha. Si en un nodo finaliza más deuna actividad se toma el tiempo Pert de la actividad con menor valor.


El tiempo de Holgura 2 1H T T= − es la diferencia entre el tiempo más tardío y eltiempo más temprano de un suceso. En unidades de tiempo corresponde al valorque puede tardar la ocurrencia de un suceso.

El camino crítico corresponde a los sucesos con holgura cero. En el caso de queexistiesen dos o más caminos críticos se deberá tomar la distribución con tiemposde finalización con mayor varianza.

El camino crítico es 1 ‐ 4 ‐ 6 ‐ 9 ‐ 10 construido con las actividades C, G, K, N.


e 2 2t (b) T (b) T (a) en [a b]= − −

PROYECTO e e e et (C) t (G) t (K) t (N) 12 8 8 2 30 μ = + + + = + + + =


DIAGRAMA DE GANTT: En cada actividad no crítica de la red PERT aparecen dosnúmeros entre paréntesis (Ml ≡ Margen libre, Mt ≡Margen total).Las actividades críticas no tienen márgenes.

Se denomina margen de una actividad al excesode tiempo disponible para realizar dicha actividadcon relación al tiempo previsto de ejecución parala misma.

1j 1i e 2 j 1i e(Ml T T t ,Mt T T t )= − − = − −

El gráfico de Gantt presenta cada actividad lleva asociada una barra de longitudigual a su duración, representando al final de cada una de ellas dos barritas querepresentan el margen libre de la actividad (barrita superior) y el margen total dela actividad (barrita inferior). Las actividades críticas no tienen estas dos barritas.


Las actividades en que se descompone la realización de un proyecto, así comosus correspondientes tiempos de ejecución (en semanas), y las prelacionesexistentes, figuran en el siguiente cuadro:


Tiempooptimista

(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b)A ‐‐‐‐ 0 1 2B A 3 6 9C B 6 9 18D B 4 4 4E B 2 3 4F C, D, E 6 9 12G C 2 3 10H E 3 4 11I G 0 3 6J H 6 6 6K F, I , J 3 4 5L K 3 4 11M K 6 10 20N L 8 12 22P M, N 6 10 20Q A 15 25 47

a) Construir la red PERT y calcular la probabilidad de que el proyecto se termine alo sumo en 55 semanas.

b) Matriz de Zaderenko.

Solución:

a) Se calcula el tiempo esperado (tiempo PERT) y varianza de cada actividad:

2 22

e A

2 22

e B

x

x

a 4m b 0 4 1 2 (b a) (2 0)t (A) 1 Var(A) 0,11

6 6 36 36a 4m b 3 4 6 9 (b a) (9 3)

t (B) 6 Var(B) 1 6 6 36 36

+ + + + − −= = = σ = = = =

+ + + + − −= = = σ = = = =

La red PERT se realiza siguiendo el orden de prelaciones, cada actividad enlaza unsuceso de comienzo y uno de final. Los sucesos deben seguir un ordenestrictamente ascendente, y las actividades un orden alfabético ascendente,cuando sea posible.



Tiempooptimista

(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b)

TiempoPERT

Varianza

A ‐‐‐‐ 0 1 2 1 0,11B A 3 6 9 6 1C B 6 9 18 10 4D B 4 4 4 4 0E B 2 3 4 3 0,11F C, D, E 6 9 12 9 1G C 2 3 10 4 1,78H E 3 4 11 5 1,78I G 0 3 6 3 1J H 6 6 6 6 0K F, I , J 3 4 5 4 0,11L K 3 4 11 5 1,78M K 6 10 20 11 5,44N L 8 12 22 13 5,44P M, N 6 10 20 11 5,44Q A 15 25 47 27 28,44

El camino crítico es 1 ‐ 3 ‐ 5 ‐ 6 ‐ 9 ‐ 10 ‐ 11 ‐ 12 ‐ 13 formado por las actividadesA, B, C, F1, F, K, L, N, P


e 2 2t (b) T (b) T (a) en [a b]= − −

PROYECTO e e e e e e e e et (A) t (B) t (C) t (F1) t (F) t (K) t (L) t (N) t (P)

1 6 10 0 9 4 5 13 11 59

μ = + + + + + + + + =

= + + + + + + + + =

Desviación del proyecto: 2 2 2 2 2 2 2 2 2PROYECTO A B C F K L N Pσ = σ + σ + σ + σ + σ + σ + σ + σ =

0,11 1 4 1 0,11 1,78 5,44 5,44 18,88= + + + + + + + = PROYECTO 18,88 4,34σ = =


La Probabilidad de terminar a lo sumo en 55 semanas es:

X 59 55 59P(X 55) P P(z 0,92) 0,1788

4,34 4,34− −⎡ ⎤≤ = ≤ = ≥ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Se termina el proyecto en 55 semanas como mucho en un 17,88% de los casos.


La matriz de Zaderenko permite calcular los tiempos early ( 1T ) y last ( 2T )

T1 te 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130 1 * 11 2 * 67 3 * 3 10 410 4 * 0 517 5 * 0 417 6 * 915 7 * 621 8 * 326 9 * 430 10 * 5 1135 11 * 1348 12 * 1159 13 *

T2 0 1 7 15 17 17 20 23 26 30 35 48 59


EJERCICIOS VARIOS

En el cuadro adjunto se detalla la salida de un nuevo producto al mercado, asícomo las relaciones de precedencia inmediata.

Actividades Descripción de la tareaTiempooptimista

(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b)A Estudio de mercado 4 7 10B Puesta a punto del producto 4 4 4C Estudio de la red de distribución 2 3 4D Estudios financieros 3 4 5E Publicidad 2 3 4F Producción 7 8 9G Lanzamiento 1 2 3

La interrelación entre las distintas actividades que integran el proyecto según elorden lógico de actuación es como sigue:

La actividad A precede a las actividades B y C. Las actividades B y C preceden a la actividad D. La actividad D precede a las actividades E y F. Las actividades E y F preceden a la actividad G.

Con la información facilitada anteriormente, la gerencia de la empresa deseaconocer los siguientes resultados:

a) Grafo PERT completo con tiempos early, last y holgura de los sucesos.

b) Camino crítico. ¿Cuál es la actividad más precisa?

c) Probabilidad de terminar el proyecto en veinticuatro meses. Determinar losplazos de ejecución del proyecto que tiene una probabilidad del 90% de cumplirse.

d) A los seis meses de comenzar el proyecto se realiza un control y se observa que:

‐ La actividad A está terminada ‐ Falta un mes para terminar la tarea B ‐ Faltan dos meses para terminar la tarea C ‐ El resto de actividades no han comenzado aún

Según estos datos indicar si el proyecto sufre algún retraso o cambios en el caminocrítico

Solución:


a) Se calcula el tiempo esperado (tiempo Pert) de cada actividad ea 4m b

t (A)6

+ +=

y su varianza 2

2A

(b a)36−

σ =

Actividades Descripción de la tareaTiempo Pert

etVarianza

2actividadσ

A Estudio de mercado 7 1B Puesta a punto del producto 4 0C Estudio de la red de distribución 3 4/36D Estudios financieros 4 4/36E Publicidad 3 4/36F Producción 8 4/36G Lanzamiento 2 4/36

b) El camino crítico es el que presenta mayor duración entre los nodos inicial yfinal, que coincide con la duración mínima del proyecto, formado por lasactividades en las que el tiempo early y last son iguales (situaciones críticas, conholgura cero), aquellas que no admiten retraso en su ejecución ya que estoimplicaría un retraso general del proyecto.

El camino crítico es el formado por los nodos 1 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 de longitud 25meses, es la parte del proyecto que hay que vigilar con mayor atención puesto quees la parte donde pueden aparecer problemas de retraso en la realización delproyecto planificado.

Señalar que cuando existen dos o más caminos críticos se debe utilizar ladistribución con tiempos de finalización con mayor varianza.


Por otra parte, la actividad más precisa es aquella que tiene menor varianza. Eneste caso, no es preciso realizar ningún cálculo dado que la actividad B (puesta apunto del producto) tiene las tres estimaciones (tiempo optimista, normal ypesimista) con el mismo valor, luego su varianza será cero.

c) Siendo el camino crítico 1 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 se calcula la duración del proyectoy el error que se comete (desviación típica del proyecto):

Proyecto e e e e et (A) t (B) t (D) t (F) t (G) 7 4 4 8 2 25 mesesμ = + + + + = + + + + =

2 2 2 2 2 2 2Proyecto A B D F G

4 4 4 481 0 1,33 meses

36 36 36 36σ = σ + σ + σ + σ + σ = + + + + = =

Proyecto 1,33 1,15 mesesσ = =


♦ La probabilidad de finalizar el proyecto en 24 meses será:

X 25 24 25

P(X 24) P P(z 0,87) P(z 0,87) 0,19221,15 1,15− −⎡ ⎤≤ = ≤ = ≤ − = ≥ =⎢ ⎥⎣ ⎦

(19,22%)

♦ Los plazos de ejecución que tienen un 90% de probabilidad de cumplirse son:

x

X 25 k 25 k 25 k 25P(X k) P P z 0,9 P z 0,1

1,15 1,15 1,15 1,15

k 25 1,28 k 25 1,15 1,28 26,472

1,15

− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ = ≤ = ≤ = ⇔ ≥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦−

⇔ = → = + =

El plazo de ejecución se encuentra entre 26 y 27 meses

NOTA: Adviértase que no se podría determinar estas dos cuestiones (probabilidadde finalizar un proyecto y plazos de ejecución) si no dispusiera de los tiemposoptimista, normales y pesimistas de las actividades críticas, esto es porque no sepodría calcular la distribución del proyecto N( , )μ σ

d) Se tiene que dibujar nuevamente la red PERT con los meses que faltan paraterminar las actividades y determinar nuevamente los tiempos tempranos y tardíosde cada suceso.


El camino crítico es 1 ‐ 2 ‐ 4 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 con una duración de 22 meses.


Una empresa ha añadido un nuevo producto a su línea de distribución. Lainvestigación de mercado que ha realizado indica el volumen de ventas esperado yel tamaño del equipo de ventas necesario. Las actividades que se desarrollarán ensemanas se expresan a continuación:

Nodos Descripción ActividadTiempooptimista

(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b)0 ‐ 20 Organizar oficina de ventas 4 5,5 1020 ‐ 40 Contratar viajantes 2 4 640 ‐ 60 Instruir a los viajantes 3 6 1520 ‐ 50 Seleccionar agencia de publicidad 1 2 350 ‐ 70 Planificar campaña publicidad 1 4 770 ‐ 90 Dirigir campaña de publicidad 4 10 160 ‐ 10 Diseño de envase del producto 1 2 310 ‐ 30 Instalar dispositivos de envase 4 10,5 1430 ‐ 80 Envasar stocks iniciales 4 6 80 ‐ 30 Solicitar stocks al fabricante 9 13 1720 ‐ 60 Seleccionar distribuidores 5 9 1360 ‐ 80 Vender a los distribuidores 4 5,5 1080 ‐ 90 Expedir stocks a distribuidores 3 5,5 11

Se desea conocer:

a) El menor número de semanas en las que se puede introducir el nuevo producto.

b) Si se contrata viajantes con experiencia pudiendo eliminar el período deinstrucción, ¿se puede introducir el nuevo producto 7 semanas antes?

c) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto con la experiencia de losviajantes antes de 30 semanas?

Solución:


t (A)6

+ +=

y su varianza 2

2A

(b a)36−

σ =


NodosTiempooptimista

a

Tiempo másprobable

m

Tiempopesimista

b

TiempoPert

et

Varianza2actividadσ

0 ‐ 20 4 5,5 10 6 120 ‐ 40 2 4 6 4 0,4440 ‐ 60 3 6 15 7 420 ‐ 50 1 2 3 2 0,1150 ‐ 70 1 4 7 4 170 ‐ 90 4 10 16 10 40 ‐ 10 1 2 3 2 0,1110 ‐ 30 4 10,5 14 10 2,7830 ‐ 80 4 6 8 6 0,440 ‐ 30 9 13 17 13 1,7820 ‐ 60 5 9 13 9 1,7860 ‐ 80 4 5,5 10 6 180 ‐ 90 3 5,5 11 6 1,78

El grafo Pert determinando los tiempos más tempranos (early) y tardíos (last) yholgura de cada actividad:

El camino crítico es el que tiene mayor duración entre los nodos inicial y final,coincide con la duración mínima del proyecto.

El camino crítico esta formado por las actividades críticas en las que el tiempo earlyy last son iguales (situaciones críticas, con holgura cero), aquellas que no admitenretraso en su ejecución ya que esto implicaría un retraso general del proyecto.


Toda actividad crítica comienza y finaliza en sucesos críticos, el recíproco no escierto.Se observa que en la actividad 20 ‐ 60 tanto el suceso 20 de comienzo como elsuceso 60 de tinalización son críticos pero no lo es la actividad 20 ‐ 60.

El camino crítico 0 ‐ 20 ‐ 40 ‐ 60 ‐ 80 ‐ 90, de longitud 29 semanas, es la parte delproyecto que hay que vigilar con mayor atención puesto que es la parte dondepueden aparecer problemas de retraso en la realización del proyecto planificado.

El menor número de semanas en el que puede introducirse el nuevo producto es de29 semanas.

b) Al seleccionar viajantes con experiencia se puede suprimir el período deinstrucción, en consecuencia, la duración de la actividad 40 ‐ 60 es cero.

Se tiene que dibujar nuevamente la red PERT y determinar los tiempos tempranos ytardíos de cada suceso.

El camino crítico 0 ‐ 20 ‐ 60 ‐ 80 ‐ 90 ha cambiado y el menor número de semanasen que puede introducirse el nuevo producto es 27, es decir, puede estar en elmercado 2 semanas antes.

c) La duración del proyecto y el error que se comete (desviación típica delproyecto) contatando viajantes con experiencia:

Proyecto e e e et (0 20) t (20 60) t (60 80) t (80 90) 6 9 6 6 27 semanasμ = − + − + − + − = + + + =

2 2 2 2 2 2Proyecto 0 20 20 60 60 80 80 90 1 1,78 1 1,78 5,56 semanas− − − −σ = σ + σ + σ + σ = + + + =

Proyecto 5,56 2,36 semanasσ = =



♦ La probabilidad de finalizar el proyecto antes de 30 semanas será:

X 27 30 27

P(X 30) P P(z 1,27) 0,8982,36 2,36− −⎡ ⎤≤ = ≤ = ≤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

(89,8%)


Un proyecto se compone de nueve actividades, A, B, C, D, E, F, G, H, I, queguardan entre sí las siguientes relaciones de precedencia inmediata:

♦ Sólo una vez terminada la tarea A, se podrá comenzar las actividades E y D♦ La realización de la tarea H necesita la terminación previa de las actividadesC, E, D, B♦ Las actividades F, G y H sólo podrán empezar cuando acabe la actividad D♦ La tarea G requiere que estén terminada las tareas E y B♦ Una vez finalizada la actividad B podrá comenzar la actividad F, pero nuncaantes♦ La realización de la tarea I tendrá lugar después de completada la actividad F

Los tiempos esperados (tiempo PERT) para las duraciones de las actividades sonrespectivamente, 10, 15, 20, 12, 10, 10, 15, 20 y 10 días.

Se pide:

a) Dibujar la red PERT y el /los caminos crítico/s

b) ¿Se puede determinar la duración máxima del proyecto con una probabilidaddel 90%?. ¿Cuál es la actividad más precisa?

c) A los 20 días de comenzar el proyecto se realiza un control y se observa que:

Faltan 5 días para terminar la tarea C Queda todavía 1 día para finalizar la actividad E La tarea D lleva 9 días de ejecución al ritmo previsto A la actividad B le faltan aún 4 días para su finalización La actividad A está terminada Las actividades F, G H e I no han comenzado aún

Según estos datos indicar si el proyecto sufre algun retraso o cambios en el caminocrítico.

Solución:


Los caminos críticos son:

Cuando existen dos o más caminos críticos se debe utilizar la distribución contiempos de finalización con mayor varianza.

b) No se puede determinar la duración máxima del proyecto con una probabilidaddel 90% al no disponer de los tiempos optimista, normales y pesimistas de lasactividades críticas, es decir, no se puede calcular la distribución del proyectoN( , )μ σ


La actividad más precisa sera aquella que tenga menor varianza, tampoco se puedecalcular al desconocer los tiempos optimista, normales y pesimistas de lasactividades.

c) Se tiene que dibujar nuevamente la red PERT con los días que faltan paraterminar las actividades y determinar nuevamente los tiempos tempranos y tardíosde cada suceso.

Se obtiene el camino crítico 1 ‐ 6 ‐ 7 con una duración de 45 días.


Construcciones 'Fuenterrebollo' ha elaborado un proyecto para construirviviendas en una urbanización. Las actividades que tiene que realizar son lassiguientes:

Actividad Descripción actividadesTiempooptimista

Tiempo másprobable

Tiempopesimista

A Urbanización de la zona 1,5 2 2,5B Acometida de la luz en la urbanización 1 1,5 2C Construcción de los bloques de viviendas 1 1 1D Acometida de luz 0,25 0, 5 0,75E Pavimentado de calles 4 5 6F Pavimentado de aceras 3 4 5G Construcción de piscina 1 1,5 2H Trabajos servicios auxiliares urbanización 0,25 0,5 0,75I Trabajos en la urbanización interna 3 6,5 7J Acometida del gas en viviendas 3 4 5K Acometida de electricidad en viviendas 1,5 2 2,5L Carpintería en viviendas 2 3 4M Control y verificación 4 5 6

El orden en que deben efectuarse las actividades es:

‐ La tarea A es previa a todas‐ Las tareas B y C son simultáneas‐ Las tareas D, E y F son correlativas a partir de B‐ Las tareas G y H son correlativas a partir de A‐ La tarea I sólo puede iniciarse cuando se han terminado las tareas A. B, D, E, F, G y H‐ Las tareas J, K y L son correlativas a partir de C‐ La tarea M se puede iniciar cuando todas las tareas se han terminado

Se pide:a) Dibujar la red PERT con tiempos early, last y holgurab) Camino crítico y su duración. Indicar la actividad más precisac) ¿Cuál será la probabilidad de finalizar el proyecto en 25 semanas o menos?.

¿Qué plazos de ejecución tienen un 90% de probabilidad de cumplirse?d) Elaborar la gráfica Gantt

Solución:


t (A)6

+ +=

y su varianza 2

2A

(b a)36−

σ =



a

Tiempo másprobable

m

Tiempopesimista

b

TiempoPert

et


A 1,5 2 2,5 2 1/36B 1 1,5 2 1,5 1/36C 1 1 1 1 0D 0,25 0, 5 0,75 0,5 0,25/36E 4 5 6 5 4/36F 3 4 5 4 4/36G 1 1,5 2 1,5 1/36H 0,25 0,5 0,75 0,5 0,25/36I 3 6,5 7 6 16/36J 3 4 5 4 4/36K 1,5 2 2,5 2 1/36L 2 3 4 3 4/36M 4 5 6 5 4/36

b) El camino crítico es el que tiene mayor duración entre los nodos inicial y final,coincide con la duración mínima del proyecto.

El camino crítico esta formado por las actividades en las que el tiempo early y lastson iguales (situaciones críticas, con holgura cero), aquellas que no admiten retrasoen su ejecución ya que esto implicaría un retraso general del proyecto.

En otras palabras, el camino crítico 1 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 11 ‐ 12, de longitud 24semanas, es la parte del proyecto que hay que vigilar con mayor atención puestoque es la parte donde pueden aparecer problemas de retraso en la realización delproyecto planificado.

Por otra parte, la actividad más precisa es aquella que tiene menor varianza. Eneste caso, no es preciso realizar ningún cálculo dado que la actividad C tiene lastres estimaciones (tiempo optimista, normal y pesimista) con el mismo valor, luegosu varianza será cero.


c) Siendo el camino crítico 1 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 11 ‐ 12 se calcula la duración delproyecto y el error que se comete (desviación típica del proyecto)

Proyecto e e e e e e et (A) t (B) t (D) t (E) t (F) t (I) t (M)

2 1,5 0,5 5 4 6 5 24 semanas

μ = + + + + + + =

= + + + + + + =

2 2 2 2 2 2 2 2Proyecto A B D E F I M

21 1 0,25 4 4 16 4 0,84 semanas

36 36 36 36 36 36 36

σ = σ + σ + σ + σ + σ + σ + σ =

= + + + + + + =

Proyecto 0,84 0,92 semanasσ = =


♦ La probabilidad de finalizar el proyecto en 25 semanas o menos será:

X 24 25 24

P(X 22) P P(z 1,08) 0,860,92 0,92− −⎡ ⎤≤ = ≤ = ≤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

(86%)

♦ Los plazos de ejecución que tienen un 90% de probabilidad de cumplirse es:

X 24 k 24 k 24 k 24P(X k) P P z 0,9 P z 0,1

0,92 0,92 0,92 0,92

k 241,28

0,92

− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ = ≤ = ≤ = ⇔ ≥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦−

⇔ =

xk 24 0,92 1,28 25,1776= + = , entre 25 y 26 semanas

d) El gráfico Gantt es un método basado en la representación de las actividades enfunción del tiempo en unos ejes de coordenadas. El gráfico permite verificar elgrado de cumplimiento de la ejecución de las actividades.

En el gráfico de Gantt cada actividad lleva asociada una barra de longitud igual a suduración, representando al final de cada una de ellas dos barritas que representanel margen libre de la actividad 1j 1i eMl T T t= − − (barrita superior) y el margen total

de la actividad 2j 1i eMt T T t= − − (barrita inferior). Las actividades críticas no tienen

estas dos barritas.


Calcula los tiempos early y last de la matriz de Zaderenko

1T et 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 2 12 4 5 33 4 14 55 06 3 3 57 9 8 48 09 710

2T

Solución:

1T et 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 * 2 2 12 2 * 4 5 36 3 * 4 110 4 * 57 5 * 015 6 * 3 3 518 7 * 9 8 427 8 * 027 9 * 734 10 *

2T 0 2 6 10 15 15 18 27 27 34


Un proyecto consta de las siguientes actividades, con tiempos en semanas:

Actividades PrecedentesTiempooptimista

(a)

Tiempo másprobable

(m)

Tiempopesimista

(b)A ‐‐‐‐‐‐ 1 1 1B ‐‐‐‐‐‐ 1 2 3C ‐‐‐‐‐‐ 2 3 4D A 2 4 6E A 1 3 5F C 1 2 3G C 0 1 2H D 5 7 9I D 6 8 10J B, E, F 5 7 15K B, E, F 6 7 8L G 3 5 7M H 1 1 1N I, J 1 2 30 K, L 2 3 4P M, N 3 4 5Q O, P 1 2 3

Se desea conocer:

d) El menor número de semanas en las que se puede terminar el proyecto.

e) ¿Qué actividades se pueden retrasar dos semanas sin que se vea afectada laduración del proyecto?

f) ¿Cómo se ve afectada la duración total del proyecto si la actividad J se retrasados semanas?. ¿Cómo se ve afectada la duración total del proyecto si la actividad Mse retrasa 4 semanas y la actividad J se retrasa una semana?

d) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto antes de 22 semanas?¿Qué plazos de ejecución tienen un 90% de probabilidad de cumplirse?

Solución:

a) Para conocer el menor número de semanas que puede durar el proyecto hayque calcular el camino crítico.

Se calcula el tiempo esperado (tiempo Pert) de cada actividad ea 4m b

t (A)6

+ += y

su varianza 2

2A

(b a)36−

σ =



a

Tiempo másprobable

m

Tiempopesimista

b

TiempoPert

et


A 1 1 1 1 0B 1 2 3 2 4/36C 2 3 4 3 4/36D 2 4 6 4 16/36E 1 3 5 3 16/36F 1 2 3 2 4/36G 0 1 2 1 4/36H 5 7 9 7 16/36I 6 8 10 8 16/36J 5 7 15 8 100/36K 6 7 8 7 4/36L 3 5 7 5 16/36M 1 1 1 1 0N 1 2 3 2 4/360 2 3 4 3 4/36P 3 4 5 4 4/36Q 1 2 3 2 4/36

El grafo Pert determinando los tiempos más tempranos (early) y tardíos (last) yholgura de cada actividad:

El camino crítico esta formado por las actividades críticas en las que el tiempo earlyy last son iguales (situaciones críticas, con holgura cero), aquellas que no admitenretraso en su ejecución ya que esto implicaría un retraso general del proyecto.


En el proyecto existen dos caminos críticos formados por las actividades:

Camino 1: A, D, I, N, P, Q Camino 2: C, F, J, N, P, Q

Cuando existen dos o más caminos críticos se debe utilizar la distribución contiempos de finalización con mayor varianza.

La duración del proyecto en ambos caminos críticos es de Proyecto 21 semanasμ = , la

varianza de los caminos será:2 2 2 2 2 2 2 2Camino 1 A D I N P Q

16 16 4 4 4 440 semanas

36 36 36 36 36 36σ = σ + σ + σ + σ + σ + σ = + + + + + =

2 2 2 2 2 2 2 2Camino 2 C F J N P Q

4 4 100 4 4 4 120semanas

36 36 36 36 36 36 36σ = σ + σ + σ + σ + σ + σ = + + + + + =

Proyecto120

1,83 semanas36

σ = =



b) Las actividades que se pueden retrasar dos semanas sin que se vea afectada laduración del proyecto serán aquellas cuya margen total sea igual o mayor que 2, esdecir, las actividades que 2j 1i eMt T T t 2= − − ≥

Las actividades que se pueden retrasar 2 semanas son: B, G, H, K, L, M, O

c) Siendo J una actividad crítica la duración del proyecto se retrasaría en 2semanas, con lo que duración del proyecto sería de 23 semanas y el camino críticoC, F, J, N, P, Q dejaría de ser crítico.

♦ Si la actividad M se retrasa en 4 semanas, como su margen total es de 2semanas, retrasaría el proyecto en 2 semanas, con lo que el camino crítico sería de23 semanas.

Si la actividad crítica J se retrasa en 1 semana, el proyecto también se retrasaría 1semana, siendo el retraso menor que el provocado por la actividad M.

En consecuencia, el proyecto en general se retrasa 2 semanas y pasa a tener unaduración de 23 semanas.

Ambos caminos (Camino 1 y Camino 2) dejan de ser críticos, apareciendo un nuevocamino crítico: A, D, H, M, P, Q


d) La distribución del tiempo de finalización del proyecto sigue una distribuciónnormal N(21, 1,83)

♦ La probabilidad de finalizar el proyecto en 22 semanas:

X 21 22 21

P(X 20) P P(z 0,54) 0,70541,83 1,83− −⎡ ⎤≤ = ≤ = ≤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

(70,54%)

♦ Los plazos de ejecución que tienen un 90% de probabilidad de cumplirse son:

X 21 k 21 k 21 k 21

P(X k) P P z 0,9 1,281,83 1,83 1,83 1,83− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ = ≤ = ≤ = ⇔ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xk 21 1,83 1,28 23,34= + = , entre 23 y 24 semanas


MÉTODO CPM ‐ RUTA CRÍTICA

El método CPM (Critical Path Method) es frecuentemente utilizado en el desarrolloy control de proyectos. El objetivo principal es determinar la duración de unproyecto, entendiendo éste como una secuencia de actividades relacionadas entresí, donde cada una de las actividades tiene una duración estimada.

La realización de cualquier proyecto lleva dos costes: Los directos que provienen defactores directamente imputables a cada tarea (coste del equipo, materias primas,horas de máquina, horas de hombres, etc.), y los indirectos que son imputablesmediante claves de distribución (gastos generales, multas, supervisión, etc.).

Las versiones originales de los métodos PERT Y CPM se diferencian en dos aspectosimportanes:

• El método PERT supone que los tiempos de ejecución son probabilísticos,mientras que el método CPM supone que las actividades son determinísticas.

• El método CPM asigna la misma importancia al tiempo y al coste.

ESTRUCTURA DEL PROBLEMA CPM

El objetivo fundamental de la técnica CPM, es determinar el cambio entre tiempoy coste que debe emplearse en cada actividad, para cumplir con el tiempo definalización del proyecto programado a un coste mínimo.

Los costes directos de una actividad suelen estar relacionados inversamente con suduración.

Cuando se reduce laduración de una actividad(i, j) a partir de un punto

ij ij(D , CD ) llega un

momento en el que resultaimposible disminuirla pordebajo de un cierto valor ijd

denominado duraciónrécord.

El punto ij ij(d , Cd ) poporciona el tiempo y el coste necesarios cuando se realiza la

actividad de forma intensiva, es decir, se acelera completamente sin reparar encostes.


Al aumentar la actividad llega un momento ijD en que los costes dejan de

disminuir, esta duración se denomina normal.

El punto determinado ij ij(D , CD ) porporciona el coste y tiempo necesarios cuando la

actividad se realiza de forma normal, sin recurrir a costes adicionales (horas extra,materiales especiales, etc.) para acelerar la actividad.

Las variables de decisión: ijx tiempo de duración de la actividad (i, j)=

Naturalmente, cuando es necesario acortar la duración de un proyecto, se deseahacerlo con el mínimo coste posible. Se hace necesario calcular las pendientes decoste de todas las actividades.

Las pendientes de coste representan el incremento de coste directo producido alreducir la duración del proyecto en una unidad de tiempo.

Incremento coste directo: ij ijij

ij ij

Cd CDp pendiente coste actividad (i, j)

D d

−=

−

Para cada actividad (i, j) ij ij

ij ij

CD Coste directo normal D Tiempo normal

Cd Coste directo récord d Tiempo récord

≡ ≡⎧⎨ ≡ ≡⎩


FORMULACIÓN DEL PROBLEMA CPM

MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL

Durante un tiempo máximo T de finalización del proyecto, se dben determinar lasduraciones ijx que minimizen el coste total.

Para tener en cuenta la finalización del proyecto se necesita una variable para cadasuceso:

iy ≡ tiempo más temprano (desconocido) del suceso i‐ésimo.

Designando por ijk la ordenada en el origen de la actividad (i, j) , el coste directo

total del proyecto será: ij ij iji , j

CD (T) (k p x )= −∑

El problema queda reducido a: ij iji , j

Max z p x= −∑

Sujeto a las restricciones:

ij ij

ij ij

i ij j

n

ij i

x d

x D

y x y 0

y T

x 0 y 0

≥⎧⎪ ≤⎪⎪ + − ≤⎨⎪ ≤⎪

≥ ≥⎪⎩

Una vez obtenida la solución para diversos valores de T, será preciso combinar losresultados obtenidos, con los costes indirectos para determinar el valor óptimode T.


PROYECTO CON CPM

PASO 1: ACTIVIDADES DEL PROYECTO

Se identifican todas las actividades que intervienen en el proyecto, interrelaciones,sucesiones, reglas de precedencia.

Actividad Actividad Predecesora Tiempo (horas)A ‐‐‐‐ 3B A 1C A 2D A 2E B ‐ C ‐ D 4

PASO 2: DIAGRAMA DE RED

Con la información recogida se obtiene el gráfico del proyecto:

F1 y F2 son actividades ficticias que no consumen tiempo ni recursos.

PASO 3: CÁLCULO DE LA RED

Se consideran tres indicadores (T1, T2 y H) , que se calculan en cada evento o nodo(entendiendo nodo como un punto donde se completan actividades y se inician lassubsiguientes).

• Tiempo más temprano de un suceso 1T (i‐ésimo nodo)

Para calcular este indicador debe recorrerse la red de izquierda a derecha, con lassiguientes consideraciones:


1

1 1

T (primer nodo) 0

T (nodo i‐ésimo) T (nodo anterior i 1) t(actividad finaliza el nodo)

== − +


con mayor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1

1 1

1 1

1 11

1 1 1 1

1 1

T (1) 0

T (2) T (1) t(A) 0 3 3

T (3) T (2) t(B) 3 1 4

T (4) T (2) t(C) 3 2 5máxT (4) 5

T (4) T (3) t(F1) 4 0 4 T (4) T (2) t(F2) 5 0 5

T (4) T (4) t(E) 5 4 9

== + = + == + = + =

= + = + =⎧=⎨ = + = + = = + = + =⎩

= + = + =

• Tiempo más tardío de realización de un suceso 2T (i‐ésimo nodo)

Para calcular este indicador debe recorrerse la red de derecha a izquierda, con lassiguientes consideraciones:

2 1

2 2


T (nodo i‐ésimo) T (nodo anterior i 1) t(actividad que se inicia)

Si en un nodo finaliza más de una activid

== − −

ad, se toma el tiempo

de la actividad con menor valor.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


2 1

2 2

2 22

2 2 2 2

2 2

T (4) T (4) 9

T (4) T (4) t(E) 9 4 5

T (2) T (3) t(B) 5 1 4mínT (2) 3

T (2) T (4) t(C) 5 2 3 T (2) T (5) t(D) 5 2 3

T (1) T (2) t(A) 3 3 0

= == − = − =

= − = − =⎧→ =⎨ = − = − = = − = − =⎩

= − = − =

• Tiempo de Holgura 2 1H T T= −

El tiempo de holgura es la diferencia entre el tiempo más tardío y el tiempo mástemprano de un suceso. En unidades de tiempo corresponde al valor que puedetardar la ocurrencia de un suceso.

La ruta crítica corresponde a los sucesos con holgura cero, es decir, la ruta críticaestá formada por la ocurrencia de sucesos en los que no puede retrarse una horarespecto al cronograma establecido, en otro caso se retrasaría la finalización delproyecto.


Hay dos rutas críticas:

Ruta formada por las actividades A, C, E Ruta con las actividades A, D, F2, E

PASO 4: CRONOGRAMA

En un cronograma se consideran varios factores, siendo el más importante larelación de precedencia, seguido por escalonar las actividades que componen laruta crítica de forma que se complete el proyecto dentro de la duración estimada.


ALGORITMO DE ACKOFF Y SASIENI: MICROCOMPUTADORES

La programación de proyectos a coste mínimo (M.C.E.) surge como prolongacióndel Método del Camino Crítico (C.P.M.) al analizar la relación que existe entre laduración de una actividad y el coste necesario para realizarla.

El método M.C.E. estudia las diferentes actividades en que se desarrolla unproyecto, considerando para cada una de ellas un intervalo de tiempo comprendidoentre un tiempo normal y un tiempo tope (récord). Cada uno de estos tiempos serefiere a un nivel de utilización de recursos.

Puesto que cada actividad tiene una duración entre el tiempo normal y el tiempotope, la duración total del proyecto también estará comprendida en un intervalo(tiempo máximo y tiempo mínimo), dependiendo del nivel que se están utilizandolos recursos.

A diferencia del método PERT, se considera que la duración de cada actividad no esuna cantidad fija, que sólo puede variar por circunstancias aleatorias, sino que, porel contrario, la duración de cada actividad varía de acuerdo con el nivel deutilización de recursos. En consecuencia, a cada nivel de recursos le correspondeuna duración determinada para cada actividad.

La resolución del método M.C.E. da lugar a un problema de programación linealparamétrica. Debido a lo complicado que puede resultar éste proceso operativo, seutiliza algún algoritmo específico (Ackoff y Sasieni).

El algoritmo de Ackoff y Sasieni permite abordar el problema planteado por elmétodo M.C.E de una manera mucho más sencilla y operativa que lo hacen losalgoritmos clásicos de programación paramétrica.


PLANTEAMIENTO DE UN CASO PRÁCTICO DEL ALGORITMO DE ACKOFF Y SASIENI

Un proyecto se compone de las especificaciones recogidas en la tabla adjunta.

Actividad PrecedentesTiempo normalejecución (días)

máximo

Tiempo topeejecución (días)

mínimo

Coste unitariode reducción

euros1 ‐‐‐‐ 10 10 02 1 10 10 03 1 40 40 04 1 28 20 105 2 8 8 06 3 10 6 407 5 30 10 1808 7 , 3 20 8 509 7 , 3 24 14 6510 4, 6, 8 10 6 8011 9 12 8 30

Determinar el coste del proyecto en el mínimo tiempo posible.

Solución:

El grafo PERT del proyecto:

Número de actividades N 12= , seis caminos M 6= y las actividadescorrespondientes a cada uno de ellos.


Caminos Orden de las actividades Número actividadesI 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 ‐ 10 6II 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 9 ‐ 11 6III 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 8 ‐ 10 5IV 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 9 ‐ 11 5V 1 ‐ 3 ‐ 6 ‐ 10 4VI 1 ‐ 4 ‐ 10 3

Para calcular la longitud de cada camino se elige el tiempo normal de ejecución,considerando los días a reducir (Tiempo normal ‐ Tiempo tope)

Actividad PrecedentesTiempo normal

ejecución(máximo)

Tiempo topeejecución(mínimo)

Días areducir

1 ‐‐‐‐ 10 10 02 1 10 10 03 1 40 40 04 1 28 20 85 2 8 8 06 3 10 6 47 5 30 10 208 7 , 3 20 8 129 7 , 3 24 14 1010 4, 6, 8 10 6 411 9 12 8 4

Camino I: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 ‐ 10 10 10 8 30 20 10 88

Camino II: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 9 ‐ 11 10 10 8 30 24 12 94

Camino III: 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 8 ‐ 10 10 40 0 20 10 80

Camino IV: 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 9 ‐ 11 10 40 0 2

→ + + + + + =→ + + + + + =

→ + + + + =→ + + + 4 12 86

Camino V: 1 ‐ 3 ‐ 6 ‐ 10 10 40 10 10 70

Camino VI: 1 ‐ 4 ‐ 10 10 28 10 48

+ =→ + + + =

→ + + =

Con estos datos se forma la matriz B(M, N) , a partir de donde comienza el análisisde los posibles acortamientos.


Primer acortamiento:

Actividades

1 ‐ 2(1)

2 ‐ 3(2)

2 ‐ 4(3)

2 ‐ 7(4)

3 ‐ 5(5)

4 ‐ 7(6)

5 ‐ 6(7)

6 ‐ 7(8)

6 ‐ 8(9)

7 ‐ 9(10)

8 ‐ 9(11)

4 ‐ 6F1

I 0 0 0 180 50 80

II 0 0 0 180 65 30

III 0 0 50 80 0

IV 0 0 65 30 0

V 0 0 40 80

Caminos

VI 0 10 80

Se crea un vector C(M,1) , siendo M el número de caminos del grafo, que contienelos tiempos máximos de realización del proyecto para cada camino.

Posteriormente, se forma el vector F(N, 1) , siendo N el número de actividades,donde cada elemento indica los posibles días en que se pueden reducir lasactividades del proyecto.

Del análisis del vector C(M,1) pueden resultar uno o varios caminos críticos, queserán aquellos que tienen longitud máxima y, por tanto, el valor máximo en elvector C(M,1)

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 88

II 94

III 80

IV 86

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Vector F(N, 1)

Actividad Días a reducir

1 0

2 0

3 0

4 8

5 0

6 4

7 20

8 12

9 10

10 4

11 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Observando el vector C(M,1) solo hay un camino crítico (II) de longitud 94 díasSe utiliza un vector M(I, 1) dimensionado según el número máximo de caminoscríticos simultáneos posibles, siendo este valor el número total de caminos M.


La función del vector M(I, 1) consiste en almacenar el número de orden de loscaminos críticos.

Con un solo camino crítico: M(1, 1) número de orden del camino crítico 2= =

Se realiza un análisis de las actividades que se pueden acortar en el Camino II de lamatriz B(M, N) : 1 2 5 7 9 11 , siendo los respectivos valores de la matrizF(N, 1) : 0 0 0 20 10 4

Se genera la matriz Q con una columna (referene al camino II) y tres filas (alencontrrarse tres actividades con posibilidad de acortarse).

El vector P (de las mismas dimensiones) archiva los costes unitarios de reduccióncorrespondientes a las actividades archivadas en la matriz Q, y que son extraídas dela fila 2 (Camino 2) de la matriz B(M, N)

En el vector R se almacenan los días posibles a reducir de esas mismas actividades,tomados del vector F.

Actividadesa recortar

Q

Costes unitariosde reducción

P

Tiempoa reducir

R

7 180 209 65 1011 30 4

El mínimo valor de P (30 euros/día) corresponde a la actividad 11, que puedeacortarse 4 días.

En consecuencia, en principio, el primer acortamiento consiste en acortar loscaminos en los que interviene la actividad 11 en cuatro días.

El nuevo valor de C acortando 4 días a la actividad 11:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 88

II 90

III 80

IV 82

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Como el camino II no ha dejado de ser crítico, serealiza este acortamiento, que supondrá unincremento en el coste del proyecto de:4 días x 30 (euros/día) 120 euros=


El nuevo vector F:

Vector F(N, 1)


1 0

2 0

3 0

4 8

5 0

6 4

7 20

8 12

9 10

10 4

11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Segundo acortamiento:

El camino crítico II tiene una duración d 90 días, por lo que M(1, 1) 2=

Los vectores Q , P y R serán:


Q


P

Tiempoa reducir

R

7 180 209 65 10

El mínimo valor de P (65 euros/día) corresponde a la actividad 9, que puedeacortarse 10 días.

El nuevo valor de C acortando 10 días a la actividad 9:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 88

II 80

III 80

IV 72

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El camino II ha dejado de ser crítico, ya que apareceel camino I después del acortamiento con unalongitud de 88 días.

Para evitar esto, sólo se acorta en 2 días la actividad9, resultando un valor rectificado de C.

Valor rectificado de C acortando 2 días a la actividad 9:


Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 88

II 88

III 80

IV 80

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El incremento de coste del proyecto será:2 días x 65 (euros/día) 130 euros=

El nuevo vector F, traseste acortamiento será:

Vector F(N, 1)


1 0

2 0

3 0

4 8

5 0

6 4

7 20

8 12

9 8

10 4

11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Tercer acortamiento:

Hay dos caminos críticos (I y II) , por lo que el vector M tendrá dos filas

Camino I: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 ‐ 10

Camino II: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 9 ‐ 11⎧⎨⎩

La matriz Q tendrá dos columnas (una para camino crítico) y contendrá las distintascombinaciones que se pueden formar con las actividades que la componen conposibilidad de acortamiento.



Q


P

Tiempoa reducir

R

7 7

7 9

8 7

8 9

10 7

10 9

180

180 65 245

50 180 230

50 65 115

80 180 260

80 65 145

+ =+ =+ =+ =+ =

20

8

12

8

4

4

El mínimo valor de P es 115 euros/día, que corresponde a acortar las actividades 8y 9 en ocho días cada una.

El nuevo valor de C acortando 8 días las actividades 8 y 9:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 80

II 80

III 72

IV 72

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El camino I y II continúan siendo críticos, por lo quees válido el acortamiento.

El incremento del coste del proyecto será:8 días x 115 (euros/día) 920 euros=

El nuevo vector F,queda de la forma:

Vector F(N, 1)


1 0

2 0

3 0

4 8

5 0

6 4

7 20

8 4

9 0

10 4

11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


Cuarto acortamiento:

Hay dos caminos críticos (I y II), las matrices M , P , Q y R son:

Camino I: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 ‐ 10

Camino II: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 9 ‐ 11⎧⎨⎩

La matriz Q tendrá dos columnas (una para camino crítico) y contendrá las distintascombinaciones que se pueden formar con las actividades que la componen conposibilidad de acortamiento.

MActividadesa recortar

Q


P

Tiempoa reducir

R

1

2

7 7

8 7

10 7

180

50 180 230

80 180 260

+ =+ =

20

4

4

El mínimo valor de P es 180 euros/día, que corresponde a acortar la actividad 7,pudiendo reducirse en 20 días.El nuevo valor de C acortando 20 días la actividad 7:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 80 20 60

II 80 20 60

III 72

IV 72

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Los caminos I y II han dejado de ser críticos.

En consecuencia, sólo se acorta en 8 días la actividad7, resultando un valor rectificado de C.

Valor rectificado de C acortando 8 días a la actividad 7:

Caminos Longitud

I 72

II 72

III 72

IV 72

V 70

VI 48

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

El incremento del coste del proyecto será:8 días x 180 (euros/día) 1.440 euros=


Después de esteacotamiento, el vector Fresultante será:

Vector F(N, 1)


1 0

2 0

3 0

4 8

5 0

6 4

7 12

8 4

9 0

10 4

11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Atendiendo al vector C hay cuatro caminos críticos (I , II , III , IV).

Camino I: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 8 ‐ 10

Camino II: 1 ‐ 2 ‐ 5 ‐ 7 ‐ 9 ‐ 11

Camino III: 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 8 ‐ 10

Camino IV: 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 9 ‐ 11

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Analizando estos caminos para analizar un posible acortamiento, no se puede darninguna combinación, con las actividades que los componen, que sea susceptiblede reducicción.En esta línea, en el Camino IV: 1 ‐ 3 ‐ F1 ‐ 9 ‐ 11 las dos únicas actividades posibles(9 y 11) con posibilidad inicial de acortarse, han sido reducidas a su tiempo mínimo,como puede observarse en el vector F.

En caso de acortar alguno de los otros caminos críticos (I , II , III), quedaría un únicocamino crítico (IV), con lo que no se reduciría la duración total del proyecto.

El proyecto queda reducido a 72 días, con un acortamiento de 94 72 22− = días yun incremento del coste de 120 130 920 1.440 2610+ + + = euros.


En la tabla adjunta se recogen los resultados para acortamiento, para unainterpretación más sencilla.

AcortamientosActividadesacortadas

(1)Coste/día

(2)

Díasacortados

(3)

Días acortadosacumulados

(4)

Duración totalproyecto

(5)

Costeacortamiento

(6)

Costeacumulado

(7)

1 11 30 4 4 90 120 120

2 9 65 2 6 88 130 250

3 8 , 9 115 8 14 80 920 1.170

4 7 180 8 22 72 1.440 2.610

Adviértase que si tratara de acortar en 10 días la duración del proyecto,observando la columna (4) la situación queda en el 30 acortamiento, teniendo querealizar los dos primeros acortamientos, más los 4 días restantes del terceracortamiento.

La duración del proyecto (columna 5) será de 88 4 84− = días

Las actividades acortadas (columnas 1 y 3) serán:

Actividad 11 (en 4 días)



⎧⎪⎨⎪⎩

El coste del acortamiento (columna 2 y 3) : x x x4 30 2 65 4 115 710+ + = euros

Una vez que se han acortado estas actividades en las cantidades señaladas, seaplican los algoritmos PERT o CPM para calcular las holguras y realizar el control delproyecto.


Con los datos obtenidos en cada uno de estos acortamientos se construye ungráfico, representando en las abscisas los días a reducir y, en las ordenadas, elincremento del coste.

El gráfico tiene la utilidad de visualizar el incremento del coste del proyectocorrespondiente a un acortamiento determinado, o bien, conocido un incrementodel coste, conocer la duración total del proyecto.

Si se tratara de acortar en 10 días la duración del proyecto, el incremento del costesería de 710 euros.


Sea un proyecto descompuesto en nueve actividades: A , B , C, D , E , F , G , H , IEn la tabla adjunta se presentan los tiempos de ejecución.

ActividadTiempo normal

(máximo)Tiempo tope(mínimo)

Coste unitarioreducción

1 ‐ 2 8 4 21 ‐ 3 10 5 41 ‐ 4 12 6 32 ‐ 4 10 6 42 ‐ 5 14 9 33 ‐ 4 7 5 53 ‐ 6 12 8 24 ‐ 5 7 4 55 ‐ 6 10 7 1

Calcular la duración mínima del proyecto a un coste mínimo

Solución:

En la figura adjunta se reflejan los tiempos early de los diferentes sucesos,calculados con los tiempos máximos de ejecución. La duración del proyecto sera de35 unidades de tiempo.

De otra parte, los tiempos early de los diferentes sucesos, calculados esta vez deacuerdo con los tiempos topes (mínimos) de ejecución de las actividades. Laduración del proyecto es de 21 unidades de tiempo.


Se deduce que es posible elegir cualquier duración del proyecto entre 21 y 35unidades de tiempo.

Elegida la duración correspondiente, hay que determinar el tiempo de ejecución delas diferentes actividades, de forma que el correspondiente coste suplementario enconcepto de reducción del tiempo sea mínimo.

Atendiendo a los costes unitarios de reducción, el modelo de programación linealtiene como función objetivo:

12 13 4 24 25 34 36 45 56máx F 2x 4x 3x 4x 3x 5x 2x 5x x= + + + + + + + +

con el siguiente conjunto de restricciones:

12 34

13 36

14 45

24 56

25

4 x 8 5 x 7

5 x 10 8 x 12

6 x 12 4 x 7

6 x 10 7 x 10

9 x 14

≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤

En general, el método MCE lleva a la resolución de un programa lineal paramétrico,cuyo número de variables es igual al número de actividades en que se hadescompuesto el proyecto y cuyo número de restricciones es igual a la suma deldoble del número de actividades, más el número de caminos que tienen lapropiedad de unir los vértices extremos del grafo.

Para resolver, de una forma más sencilla, el problema planteado de optimizar laduración de las diferentes actividades a un coste mínimo, se recurre al algoritmo deAckoff y Sasieni.


Para ello se necesitan las especificaciones recogidas en la tabla adjunta y el grafoPERT del proyecto:




1 ‐ 2 8 4 21 ‐ 3 10 5 41 ‐ 4 12 6 32 ‐ 4 10 6 42 ‐ 5 14 9 33 ‐ 4 7 5 53 ‐ 6 12 8 24 ‐ 5 7 4 55 ‐ 6 10 7 1

Grafo PERT del proyecto:

Número de actividades N = 9, cinco caminos M = 5 y las actividadescorrespondientes a cada uno de ellos.

Caminos Orden de las actividadesNúmero deactividades

I 1 – 3 , 3 – 6 2II 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6 4III 1 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6 3IV 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6 4V 1 – 2 , 2 – 5 , 5 – 6 3


A continuación, se calcula la longitud de cada camino, fijándose en el tiemponormal (máximo) de cada actividad que compone dicho camino.Camino I: 1 ‐ 3 , 3 ‐ 6 → 10 + 12 = 22Camino II: 1 ‐ 3 , 3 ‐ 4 , 4 ‐ 5 , 5 ‐ 6 → 10 + 7 + 7 + 10 = 34Camino III: 1 ‐ 4 , 4 ‐ 5 , 5 ‐ 6 → 12 + 7+ 10 = 29Camino IV: 1 ‐ 2 , 2 ‐ 4 , 4 ‐ 5 , 5 ‐ 6 → 8 + 10 + 7 + 10 = 35Camino V: 1 ‐ 2 , 2 ‐ 5 , 5 ‐ 6 → 8 + 14 + 10 = 32

Posteriormente, se calcula el tiempo a reducir de cada actividad, esto se consiguerestando al tiempo normal (máximo), el tiempo a reducir, denotando por tiempotope (mínimo):



Tiempo areducir


1 ‐ 2 8 4 4 21 ‐ 3 10 5 5 41 ‐ 4 12 6 6 32 ‐ 4 10 6 4 42 ‐ 5 14 9 5 33 ‐ 4 7 5 2 53 ‐ 6 12 8 4 24 ‐ 5 7 4 3 55 ‐ 6 10 7 3 1

Con estos datos se elabora la Matriz B (M, N), a partir de donde comienza el análisisde los posibles acortamientos. Esta se rellena con los datos prorcionados para elCoste unitario de reducción.

MATRIZ B (M, N) Actividades

1 ‐ 2 1 ‐ 3 1 ‐ 4 2 ‐ 4 2 ‐ 5 3 ‐ 4 3 ‐ 6 4 ‐ 5 5 ‐ 6I 4 2II 4 5 5 1III 3 5 1IV 2 4 5 1

Cam

inos

V 2 3 1


Primer Acortamiento

Se crea un vector C (M, 1), siendo M el número de caminos del grafo, que contienelos tiempos máximos de realización del proyecto para cada camino, esto es, lalongitud.

Posteriormente, se forma el vector F (N, 1), siendo N el número de actividades,donde cada elemento indica las posibles unidades de tiempo en que se puedenreducir las actividades del proyecto.Del análisis del vector C (M, 1), pueden resultar uno o varios caminos críticos, queserán aquellos que tienen una longitud máxima, y, por tanto, el valor máximo en elvector C.

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 22

II 34

III 29

IV 35

V 32

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Vector F(N,1)

Actividades Tiempo a reducir

1 2 4

1 3 5

1 4 6

2 4 4

2 5 5

3 4 2

3 6 4

4 5 3

5 6 3

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Observando el vector C (M, 1) sólo hay un camino crítico (IV) de longitud 35unidades de tiempo.

Se realiza un análisis de las actividades que componen el camino IV de la matrizB(M, N): 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6, siendo los respectivos valores del vectorF (N, 1): 4 , 4 , 3 , 3.

Como no obtenemos ningún valor 0, todas estas actividades se analizarán parapoder ser acortadas.


Se genera la matriz Q con una columna, referente al camino IV, y cuatro filas (alencontrarse cuatro actividades con posibilidad de acortarse).

El vector P recoge los costes unitarios de reducción correspondientes a lasactividades de la matriz Q.

En el vector R se reflejan las unidades de tiempo posibles a reducir de esas mismasactividades, tomadas en el vector F.

Caminos M

Actividadesa recortar Q


P

Tiempoa reducir R

1 – 2 2 42 – 4 4 44 – 5 5 3

IV

5 – 6 1 3

El mínimo valor de P (1 euro/ud. tiempo) corresponde a la actividad 5 – 6, quepuede acortarse 3 unidades de tiempo.

En consecuencia, el primer acortamiento consiste en acortar 3 unidades de tiempoen los caminos en los que intervenga la actividad 5 – 6.

Con ello obtenemos un nuevo valor del vector C y vector F:

Vector F(N,1)


1 2 4

1 3 5

1 4 6

2 4 4

2 5 5

3 4 2

3 6 4

4 5 3

5 6 0 (3 3)

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠


Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 22

II 31 34 3

III 26 29 3

IV 32 35 3

V 29 32 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

Como el camino IV no ha dejado de ser crítico, se realiza este acortamiento, quesupondrá un incremento en el coste del proyecto de:3 unidades de tiempo x 1 (euro/ud. tiempo) = 3 euros

Segundo Acortamiento

Las actividades que componen el camino crítico IV son: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6.Y sus respectivos valores en el vector F son: 4 , 4 , 3 , 0.

Por lo que sólo se analizarán las tres primeras actividades, que son las que tienenposibilidad de reducirse. Los vectores Q , P , R serán:

Caminos M

Actividadesa recortar Q


P

Tiempoa reducir R

1 – 2 2 42 – 4 4 4IV4 – 5 5 3

El mínimo valor de P (2 euros/ud. tiempo) corresponde a la actividad 1 – 2, quepuede acortarse 4 días.

El nuevo valor de C acortando los caminos en los que interviene esta actividadserá:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 22

II 31

III 26

IV 28 32 4

V 25 29 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

El camino IV ha dejado de ser crítico ya que aparece el camino II después delacortamiento con una longitud de 31 unidades de tiempo.


Para evitar esto, sólo se acorta en 1 unidad de tiempo la actividad 1 – 2, resultandoen un valor rectificado de C, para que así el camino IV continúe siendo crítico.

Valor rectificado del vector C y nuevo valor del vector F:

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 22

II 31

III 26

IV 31 32 1

V 28 29 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

El incremento de coste del proyecto será:1 unidad de tiempo x 2 (euros/ud.tiempo) = 2 euros

Vector F(N,1)


1 2 3 4 1

1 3 5

1 4 6

2 4 4

2 5 5

3 4 2

3 6 4

4 5 3

5 6 0

⎛ ⎞⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Tercer Acortamiento

Hay dos caminos críticos (II y IV), por lo que el vector M tendrá dos filas:

Camino II: 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino IV: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6

La matriz Q tendrá dos columnas (una para cada camino crítico) y contendrá lasdistintas combinaciones que se pueden formar con las actividades que la componencon posibilidad de acortamiento.

Está combinación se realizará juntando las actividades de un camino con las delotro, pero no con las propias del mismo camino crítico:


El vector P será el resultado de sumar el coste unitario de cada actividad y en elvector R se escogerá la menor unidad de tiempo de entre las dos actividades queconforman cada combinación.

CaminosM


Q


P

Tiempoa reducir

R 1 – 3 1 – 2 (4 + 2) 6 (5 y 3) 3 1 – 3 2 – 4 (4 + 4) 8 (5 y 4) 4 1 – 3 4 – 5 (4 + 5) 9 (5 y 3) 3 3 – 4 1 – 2 (5 + 2) 7 (2 y 3) 2 3 – 4 2 – 4 (5 + 4) 9 (2 y 4) 2 3 – 4 4 – 5 (5 + 5) 10 (2 y 3) 2 4 – 5 1 – 2 (5 + 2) 7 (3 y 3) 3 4 – 5 2 – 4 (5 + 4) 9 (3 y 4) 3

II

IV

4 – 5 4 – 5 (5) 5 (3) 3

El mínimo valor de P es 5 euros/ud. tiempo, que corresponde acortar 3 unidades detiempo los caminos en los que intervenga la actividad 4 – 5.

El nuevo valor de los vectores C y F serán:

Vector F(N,1)


1 2 3

1 3 5

1 4 6

2 4 4

2 5 5

3 4 2

3 6 4

4 5 0 3 3

5 6 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠


Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 22

II 28 31 3

III 23 26 3

IV 28 31 3

V 28

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Los caminos II y IV continúan siendo críticos, por lo que es válido el acortamiento.Además, se les suma el camino V como camino crítico.

El incremento del coste del proyecto será:3 unidades de tiempo x 5 (euros/ud. tiempo) = 15 euros

Cuarto Acortamiento

Hay tres caminos críticos (II, IV, V) por lo que el vector M tendrá tres filas.

Camino II: 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino IV: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino V: 1 – 2 , 2 – 5 , 5 – 6

Las combinaciones que se pueden formar con las actividades que los componen ytienen posibilidad de acortamiento son:

Siendo el vector P el resultado de sumar el coste unitario de cada actividad y elvector R la menor unidad de tiempo de entre las dos actividades que conformancada combinación, la matriz Q será:


CaminosM

Actividades a recortarQ


P

Tiempo a reducirR

1 – 3 1 – 2 1 – 2 ( 4 + 2) 6 (5 y 3) 3 1 – 3 1 – 2 2 – 5 (4 + 2 + 3) 9 (5 y 3 y 5) 3 1 – 3 2 – 4 1 – 2 (4 + 4 + 2) 10 (5 y 4 y 3) 3 1 – 3 2 – 4 2 – 5 (4 + 4 + 3) 11 (5 y 4 y 5) 4 3 – 4 1 – 2 1 – 2 (5 + 2) 7 (2 y 3) 2 3 – 4 1 – 2 2 – 5 (5 + 2 + 3) 10 (2 y 3 y 5) 2 3 – 4 2 – 4 1 – 2 (5 + 4 + 2) 11 (2 y 4 y 3) 2

II

IV

V

3 – 4 2 – 4 2 – 5 (5 + 4 + 3) 12 (2 y 4 y 5) 2

El mínimo valor de P es 6 euros/ud. tiempo, que corresponde acortar 3 unidades detiempo los caminos en los que intervengan las actividades 1 – 3 y 1 – 2.


Vector F(N,1)


1 2 0 3 3

1 3 2 5 3

1 4 6

2 4 4

2 5 5

3 4 2

3 6 4

4 5 0

5 6 0

⎛ ⎞⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 19 22 3

II 25 28 3

III 23

IV 25 28 3

V 25 28 3

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

Los caminos II, IV y V continúan siendo críticos por lo que es válido el acortamiento.



Quinto Acortamiento

Hay tres caminos críticos (II, IV, V) por lo que el vector M tendrá tres filas.

Camino II: 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino IV: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino V: 1 – 2 , 2 – 5 , 5 – 6



CaminosM



P

Tiempo a reducirR

1 – 3 2 – 4 2 – 5 (4 + 4 + 3) 11 (2 y 4 y 5) 2IIIVV 3 – 4 2 – 4 2 – 5 (5 + 4 + 3) 12 (2 y 5 y 5) 2

El mínimo valor de P es 11 euros/ud. tiempo, que corresponde acortar 2 unidadesde tiempo los caminos en los que intervengan las actividades 1 – 3 , 2 – 4 y 2 – 5.



Vector F(N,1)


1 2 0

1 3 0 2 2

1 4 6

2 4 2 4 2

2 5 3 5 2

3 4 2

3 6 4

4 5 0

5 6 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟

− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 17 19 2

II 23 25 2

III 23

IV 23 25 2

V 23 25 2

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

Los caminos II, IV y V continúan siendo críticos, por lo que es válido elacortamiento.

Además, se les suma el camino III como camino crítico.


Sexto Acortamiento

Hay cuatro caminos críticos (II, III, IV, V) por lo que el vector M tendrá cuatro filas.

Camino II: 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino III: 1 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino IV: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino V: 1 – 2 , 2 – 5 , 5 – 6




CaminosM



P

Tiempo a reducirR

II ‐ IIIIV ‐ V

3 – 4 1 – 4 2 – 4 2 – 5 (5 + 3 + 4 + 3) 15 (2 y 6 y 2 y 3) 2

El mínimo y único valor de P es 15 euros/ud. tiempo, corresponde a acortar 2unidades de tiempo los caminos en los que intervengan las actividades 3 – 4 , 1 – 4 , 2 – 4 y 2 – 5.


Vector F(N,1)


1 2 0

1 3 0

1 4 4 6 2

2 4 0 2 2

2 5 1 3 2

3 4 0 2 2

3 6 4

4 5 0

5 6 0

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟

− = −⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠


Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 17

II 21 23 2

III 21 23 2

IV 21 23 2

V 21 23 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

Los caminos II, III, IV y V continúan siendo críticos, por lo que es válido elacortamiento.


Séptimo Acortamiento

Atendiendo al vector C hay cuatro caminos críticos (II, III, IV, V).

Camino II: 1 – 3 , 3 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino III: 1 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino IV: 1 – 2 , 2 – 4 , 4 – 5 , 5 – 6Camino V: 1 – 2 , 2 – 5 , 5 – 6

Analizando estos caminos para conseguir un posible acortamiento, no se puede darninguna combinación con las actividades que componen los caminos, que seansusceptibles de reducción.

Las actividades de los caminos II y IV ya han sido reducidas a su unidad de tiempomínima, por lo que no pueden combinarse.

Los caminos III y V tienen las únicas actividades posibles de acortamiento, que son1 – 4 y 2 – 5.

En caso de acortar alguno de estos caminos (III y V), seguirían quedando otros doscaminos críticos (II y IV), por lo que no se conseguiría reducir la duración total delproyecto, por lo que se da por concluido el algortitmo.


El proyecto queda reducido a 21 unidades de tiempo, con un acortamiento de 14unidades de tiempo (35 – 21).Con un incremento de coste de: 3 +2 + 15 + 18 + 22 + 30 = 90 euros.

En la siguiente tabla se encuentran un resumen para cada acortamiento:

AcortamientosActividadesacortadas

Coste/unidadtiempo

Tiempoacortado

Tiempoacortadoacumulado

Duracióntotal

proyecto

Costeacortamiento

Costeacumulado

1 5 – 6 1 3 3 32 3 3

2 1 – 2 2 1 4 31 2 5

3 4 – 5 5 3 7 28 15 20

41 – 31 – 2

6 3 10 25 18 38

51 – 32 – 42 – 5

11 2 12 23 22 60

6

3 – 41 – 42 – 42 – 5

15 2 14 21 30 90

Un resumen de los cambios efectuados en el Vector F (N, 1):

AcortamientosInicio Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Sexto

1 – 2 4 4 3 3 0 0 01 – 3 5 5 5 5 2 0 01 – 4 6 6 6 6 6 6 42 – 4 4 4 4 4 4 2 02 – 5 5 5 5 5 5 3 13 – 4 2 2 2 2 2 2 03 – 6 4 4 4 4 4 4 44 – 5 3 3 3 0 0 0 0

Actividad

es

5 – 6 3 0 0 0 0 0 0


ALGORITMO DE ACKOFF ‐ SASIENI (TIEMPO‐SOBRESCOSTE)

PASO 1: Construir una matriz cuyas filas representen las diferentes rutas existentesde comienzo a fin del proyecto y, por columnas las diferentes actividades quecomponen el proyecto.Cada elemento (i, j) de la matriz, representará la pendiente de coste de la actividadque ocupa la columna j‐ésima siempre y cuando pertenezca a la ruta de la fila i‐ésima; en otro caso se deja en blanco.Se requiere que la matriz tenga tantas columnas como pendientes de coste posea.

PASO 2: Se amplía la matriz obtenida con una columna cuyos elementosrepresenten las duraciones normales de las respectivas rutas, y una fila cuyoselementos indiquen la diferencia entre las duraciones normal y récord de cadaactividad (acortamiento posible).

PASO 3: Se selecciona la actividad de menor pendiente en cada de las rutas críticasdel proyecto (caso de existir varias) y se determina el tiempo de acortamiento.

Para ello se calcula el mínimo de las cantidades:

‐ Acortamiento máximo de las actividades sin que cambie su pendiente.

‐ Diferencia entre la duración de la ruta crítica y del primer subcrítico.

PASO 4: Una vez calculado el tiempo de acortamiento, se determina el incrementoen el coste directo y el coste indirecto para la duración resultante. Se calcula elcoste total y se amplia la matriz con una nueva columna, que represente las nuevasduraciones de las rutas y una fila para mostrar los nuevos acortamientos posibles.El algoritmo continúa hasta encontrar una ruta crítica irreducible.


El proceso de construcción de un microcomputador, en unidades de tiempodiarias, se compone de las siguientes actividades:

DuracionesActividad

Normal RécordPendienteDe Coste

1 − 2 17 13 6

1 − 3 15 10 31 − 4 20 15 22 − 6 18 16 4

2 − 6 16 15 5

3 − 4 5 3 23 − 5 13 8 64 − 6 20 19 6

5 − 6 10 8 5

El coste indirecto del proyecto en duración normal (40 días) es de 360 millones deeuros y el coste indirecto viene determinado por la función:

i x proyectoC 5 D 167 millones de euros= +

a) Determinar la duración más interesante del proyecto desde un punto de vistaeconómico.

b) Determinar el coste del proyecto en el mínimo tiempo posible.

Solución:

a) En el planteamiento del problema: El Coste Directo en la duración normal de 40días es de 360 millones de euros y el Coste Indirecto:

i i x xproyectoC C 5 D 167 5 40 167 367 millones de euros= = + = + =

El Coste Total t d iC C C 360 367 727= + = + = millones de euros.

El objetivo es determinar el cambio entre tiempo y coste que debe emplearse encada actividad, para cumplir con el tiempo de finalización del proyecto a un costemínimo.

En la figura adjunta se reflejan los tiempos early de los diferentes sucesos,calculados con los tiempos máximos de ejecución. La duración del proyecto sera de40 días.


De otra parte, los tiempos early de los diferentes sucesos, calculados esta vez deacuerdo con los tiempos records (mínimos) de ejecución de las actividades. Laduración del proyecto es de 34 días.

Se deduce que es posible elegir cualquier duración del proyecto entre 34 y 40 días.

Elegida la duración correspondiente, hay que determinar el tiempo de ejecución delas diferentes actividades, de forma que el correspondiente coste suplementario enconcepto de reducción del tiempo sea mínimo.

Atendiendo a los costes unitarios de reducción, el modelo de programación linealtiene como función objetivo:

12 13 14 26 26 34 35 46 56máx F 6x 3x 2x 4x 5x 2x 6x 6x 5x= + + + + + + + +

con el siguiente conjunto de restricciones:


12 34

13 35

14 46

26 56

26

13 x 17 3 x 5

10 x 15 8 x 13

15 x 20 19 x 20

16 x 18 8 x 10

15 x 16

≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤

En general, el método MCE lleva a la resolución de un programa lineal paramétrico,cuyo número de variables es igual al número de actividades en que se hadescompuesto el proyecto y cuyo número de restricciones es igual a la suma deldoble del número de actividades, más el número de caminos que tienen lapropiedad de unir los vértices extremos del grafo.

Para resolver, de una forma más sencilla, el problema planteado de optimizar laduración de las diferentes actividades a un coste mínimo, se recurre al algoritmo deAckoff y Sasieni.

Número de actividades N = 9, cuatro caminos M = 4 y las actividadescorrespondientes a cada uno de ellos.

Caminos Orden de las actividades Número actividadesI (1 ‐ 3) , (3 ‐ 5) , (5 ‐ 6) 3II (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6) 3III (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6) 2IV (1 ‐ 2) , (2 ‐ 6) , (2 ‐ 6) 3

Para calcular la longitud de cada camino se elige la duración normal de ejecución.

Camino I: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 5) , (5 ‐ 6) → 15 + 13 + 10 = 38Camino II: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6) → 15 + 5 + 20 = 40Camino III: (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6) → 20 + 20 = 40Camino IV: (1 ‐ 2) , (2 ‐ 6) , (2 ‐ 6) → 17 + 18 = 35

Con estos datos se forma la matriz B (M, N), a partir de donde comienzan losposibles acortamientos.


Primer Acortamiento

Actividades

1 ‐ 2(1)

1 ‐ 3(2)

1 ‐ 4(3)

2 ‐ 6(4)

2 ‐ 6(5)

3 ‐ 4(6)

3 ‐ 5(7)

4 ‐ 6(8)

5 ‐ 6(9)

I 3 6 5

II 3 2 6

III 2 6

Caminos

IV 6 4 5

A continuación, se crea un vector C (M, 1), siendo M el número de caminos delgrafo, que contiene los tiempos máximos de realización del proyecto para cadacamino.

Posteriormente, se forma el vector F (N, 1), siendo N el número de actividades,donde cada elemento indica los posibles días en que se pueden reducir lasactividades del proyecto.

Del análisis del vector C (M, 1) pueden resultar uno o varios caminos críticos, queserán aquellos que tienen longitud máxima y, por lo tanto, el valor máximo en elvector C (M, 1).

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 38

II 40

III 40

IV 35

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Vector F(N, 1)


1 2 4

1 3 5

1 4 5

2 6 2

2 6 1

3 4 2

3 5 5

4 6 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Observando el vector C (M, 1), hay dos caminos críticos (II) y (III) de longitud 40días.

Camino II: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino III: (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6)


Se genera la matriz Q con dos columnas (referentes a los camino II y III) y lasdistintas combinaciones que se pueden formar con las actividades que la componencon posibilidad de acortamiento.

Actividades arecortar Q


P

Tiempo areducir R

(1 – 3) , (1 – 4) 3 + 2 = 5 5(1 – 3) , (4 – 6) 3 + 6 = 9 1(3 – 4) , (1 – 4) 2 + 2 = 4 2(3 – 4) , (4 – 6) 2 + 6 = 8 1(4 – 6) , (1 – 4) 6 + 2 = 8 1(4 – 6) , (4 – 6) 6 1

El mínimo valor de P (4 euros/día) corresponde a las actividades (3 – 4) y (1 – 4),que pueden acortarse 2 días.

El nuevo valor de C acortando 2 días a las actividades (3 – 4) y (1 – 4):

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 38

II 38 40 2

III 38 40 2

IV 35

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Como los caminos II y III no han dejado de ser críticos, se realiza este acortamiento,que supondrá un incremento en el coste del proyecto de:2 días x 4 (euros/día) = 8 euros

Nuevo vector F:

Vector F(N, 1) Vector F(N, 1)

Actividad Días a reducir Actividad Días a reducir

1 2 4 1 2 4

1 3 5 1 3

1 4 3 5 2

2 6 2

2 6 1

3 4 0 2 2

3 5 5

4 6 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−

=⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎜ ⎟− = −⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

5

1 4 3

2 6 2

2 6 1

3 4 0

3 5 5

4 6 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠


Segundo Acortamiento

Observando el vector C (M, 1), hay tres caminos críticos (I), (II) y (III) de longitud 38días.

Camino I: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 5) , (5 ‐ 6)Camino II: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino III: (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6)


Q


P

Tiempo areducir R

(1 – 3) , (1 – 3) , (1 – 4) 3 + 2 = 5 3(1 – 3) , (1 – 3) , (4 – 6) 3 + 6 = 9 1(1 – 3) , (4 – 6) , (1 – 4) 3 + 6 + 3 = 11 1(1 – 3) , (4 – 6) , (4 – 6) 3 + 6 = 9 1(3 – 5) , (1 – 3) , (1 – 4) 6 + 3 + 2 = 11 5(3 – 5) , (1 – 3) , (4 – 6) 6 + 3 + 6 = 15 1(3 – 5) , (4 – 6) , (1 – 4) 6 + 6 + 2 = 14 1(3 – 5) , (4 – 6) , (4 – 6) 6 + 6 = 12 1(5 – 6) , (1 – 3) , (1 – 4) 5 + 3 + 2 = 10 2(5 – 6) , (1 – 3) , (4 – 6) 5 + 3 + 6 = 14 2(5 – 6) , (4 – 6) , (1 – 4) 5 + 6 + 2 = 13 2(5 – 6) , (4 – 6) , (4 – 6) 5 + 6 = 11 2

El mínimo valor de P (5 euros/día) corresponde a las actividades (1 – 3) y (1 – 4),que pueden acortarse 3 días.

El nuevo valor de C acortando 3 días a las actividades (1 – 3) y (1 – 4):

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 35 38 3

II 35 38 3

III 35 38 3

IV 35

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Como los caminos I, II y III no han dejado de ser críticos, se realiza esteacortamiento, que supondrá un incremento en el coste del proyecto de:3 días x 5 (euros/día) = 15 euros


Nuevo vector F:



1 2 4 1 2 4

1 3 2 5 3 1

1 4 0 3 3

2 6 2

2 6 1

3 4 0

3 5 5

4 6 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−

=⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

3 2

1 4 0

2 6 2

2 6 1

3 4 0

3 5 5

4 6 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Tercer Acortamiento:

Observando el vector C (M, 1), hay cuatro caminos críticos (I), (II), (III) y (IV) delongitud 35 días.

Camino I: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 5) , (5 ‐ 6)Camino II: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino III: (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino IV: (1 ‐ 2) , (2 ‐ 6) , (2 ‐ 6)



Q


P

Tiempo areducir R

(1 – 3) , (1 – 3) , (4 – 6) , (1 – 2) 3 + 6 + 6 = 15 1(1 – 3) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 3 + 6 + 4 = 13 1(1 – 3) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 3 + 6 + 5 = 14 1(1 – 3) , (4 – 6) , (4 – 6) , (1 – 2) 3 + 6 + 6 = 15 1(1 – 3) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 3 + 6 + 4 = 13 1(1 – 3) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 3 + 6 + 5 = 14 1(3 – 5) , (1 – 3) , (4 – 6) , (1 – 2) 6 + 3 + 6 + 6 = 21 1(3 – 5) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 6 + 3 + 6 + 4 = 19 1(3 – 5) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 6 + 3 + 6 + 5 = 20 1(3 – 5) , (4 – 6) , (4 – 6) , (1 – 2) 6 + 6 + 6 = 18 1(3 – 5) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 6 + 6 + 4 = 16 1(3 – 5) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 6 + 6 + 5 = 17 1(5 – 6) , (1 – 3) , (4 – 6) , (1 – 2) 5 + 3 + 6 + 6 = 20 2(5 – 6) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 5 + 3 + 6 + 4 = 18 2(5 – 6) , (1 – 3) , (4 – 6) , (2 – 6) 5 + 3 + 6 + 5 = 19 2(5 – 6) , (4 – 6) , (4 – 6) , (1 – 2) 5 + 6 + 6 = 17 2(5 – 6) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 5 + 6 + 4 = 15 2(5 – 6) , (4 – 6) , (4 – 6) , (2 – 6) 5 + 6 + 5 = 16 2

El mínimo valor de P (13 euros/día) corresponde a las actividades (1 – 3), (4 – 6) y(2 – 6), que pueden acortarse 1 día.

El nuevo valor de C acortando 1 día a las actividades (1 – 3), (4 – 6) y (2 – 6):

Vector C(M, 1)

Caminos Longitud

I 34 35 1

II 34 35 1

III 34 35 1

IV 34 35 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎝ ⎠

El incremento de coste de proyecto será de: 1 día x 13 (euros/día) = 13 euros


Nuevo vector:



1 2 4

1 3 1 2 1

1 4 0

2 6 1 2 1

2 6 1

3 4 0

3 5 5

4 6 0 1 1

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −

=⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 2 4

1 3 1

1 4 0

2 6 1

2 6 1

3 4 0

3 5 5

4 6 0

5 6 2

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Observando el vector C (M, 1), hay cuatro caminos críticos (I), (II), (III) y (IV) delongitud 34 días.

Camino I: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 5) , (5 ‐ 6)Camino II: (1 ‐ 3) , (3 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino III: (1 ‐ 4) , (4 ‐ 6)Camino IV: (1 ‐ 2) , (2 ‐ 6) , (2 ‐ 6)

Analizando estos caminos para analizar un posible acortamiento, se compruebaque no se puede dar ninguna combinación.

En consecuencia, finalizan los acortamientos.

Por ejemplo, en el caso de acortar alguno de los caminos (I), (II) y (IV), quedaría unúnico camino crítico (III), con lo que se reduciría la duración total del proyecto.

El proyecto queda reducido a 34 días con un acortamiento de 40 – 34 = 6 días.

Coste indirecto = 5 x 34 + 167 = 337 millones de euros.Coste directo = 360 + 8 + 13 + 15 + 2 = 394 millones de euros.Coste total = CI + CD = 337 + 394 = 731 millones de euros.

Por tanto, el coste en duración récord es de 731 millones de euros y su duración esde 34 días.

o o 0Inicio 1 2 3

Caminos Longitud Longitud Longitud Longitud

I: 1 ‐ 3 ‐ 5 ‐ 6 38 38 35 34C

II: 1 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 6 40 38 35 34

III: 1 ‐ 4 ‐ 6 40 38 35 34

IV: 1 ‐ 2 ‐ 6 35 35 35 34

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


o o oInicio 1 2 3

Actividad Días reducir Días reducir Días reducir Días reducir

1 ‐ 2 4 4 4 4

1 ‐ 3 5 5 2 1

1 ‐ 4 5 3 0 0

F 2 ‐ 6 2 2 2 1

2 ‐ 6 1 1 1 1

3 ‐ 4 2 0 0 0

3 ‐ 5 5 5 5 5

4 ‐ 6 1 1 1 0

5 ‐ 6 2 2 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


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