Guía 2

Del estudiante

Modalidad a distancia

Modulo

CÁLCULO UNIVARIADO

ADMINISTRACIÓN TURÍSTICA Y HOTELERA

II SEMESTRE

DATOS DE IDENTIFICACION

TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas

Teléfono 435 29 52 – CEL. 310 768 90 67

E-mail leav70@gmail.com

http://guias-uniminuto.wikispaces.com

Lugar Madrid Cundinamarca

Corporación Universitaria Minuto de Dios – Rectoría Cundinamarca

NUCLEO PROBLEMICO 2: ¿Cómo se desarrolla la teoría de derivadas en la resolución de problemas matemáticos? Para dar solución a la pregunta que propone el núcleo, el estudiante deberá utilizar la información plasmada en el siguiente cuadro:

PROBLEMAS CONOCIMIENTOS PREGUNTAS GENERADORAS

¿Cómo debe utilizar los elementos de la matemática en la interpretación de un problema?

Concepto de la derivada a través de la teoría de limites

Concepto de derivada con el método gráfico

Uso del algebra de derivadas

Derivadas de funciones especiales

¿ Qué idea tiene usted de la expresión razón de cambio o cociente incrementado

de una función(x

f) .?

¿Podrías obtener las expresiones generales

,x

Cy,

x

Clímx 0

? ¿Qué diferencias puede

encontrar? ¿Qué puede concluir?

Aplicando el proceso anterior, trate de obtener la derivada de las funciones

xxy 22 2, e, xxy 23

. ¿Qué puedes concluir?

La Derivada y sus aplicaciones .La gráfica de

la función xxY 33se muestra a

continuación. ¿Podrías tratar de comprobar su gráfica y hacer un análisis de su comportamiento gráfico?

COMPETENCIAS DEL NUCLEO PROBLEMICO Interpretativas

Establecer aplicaciones de la teoría de derivada en la resolución de problemas

Cognitivas

Aplicar el concepto de límite en la definición de la derivada de una función

Interpretar gráficamente el concepto de derivada de una función

Aplicar el algebra de derivadas en la resolución de problemas

Identificar los diferentes métodos de derivación

Aplicaciones de la derivada en problemas de maximización y minimización de utilidades

Comunicativas

Capacidad para plasmar una problemática en lenguaje matemático y dar solución a través de la teoría de derivadas

Propositivas

Capacidad de argumentar el uso de algoritmos de la teoría de derivadas en la resolución de un problema.

DERIVADA FUNCION EN UN PUNTO DE UNA

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que

se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento

de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul por lo que:

tg ah tiende a tg a, es decir,

a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0, f(x0)).

Esto se expresa matemáticamente así:

NOTA: Es importante que

entiendas esto, pues es el núcleo

por

el que después entenderás otros

conceptos,

si no es así, dímelo

Derivada de una función en un punto

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

f '(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.

Significado de la derivada

Puesto que

la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0 )).

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

Resolución:

Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1).

Por tanto, f '(1) = 3.

Calcular la derivada de la función

f(x) = en el punto 2.

Resolución:

(conjugado del numerador)

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto

Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2.

Resolución:

La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).

La pendiente (m) de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2), luego la ecuación de la recta es de la forma

y - y0 = m (x - x0)

y - 4 = f '(2) (x - 2).

La ecuación de la tangente es entonces

y - 4 = 4(x - 2)

y - 4 = 4x - 8

4x - y - 4 = 0.

Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una función en un punto

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por

Resolución:

a) Derivabilidad en x1 = 1.

Se han de considerar dos casos:

1º Lo que pasa a la derecha de este punto, para ello consideraremos h>0

Si h > 0, lógicamente (x1 + h) = 1 + h > 1 y en este caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la derecha, por lo que la función es la

línea recta roja f(x) = x. Por tanto:

f (1) = 1 y f (1+h) = 1 + h

Este límite es el «límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene por pendiente 1.

2º Lo que pasa a la izquierda de este punto, para ello consideraremos h<0

Si h < 0, lógicamente (x1 + h) = < 1 y en este caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la izquierda, (por lo que la función es la

línea azul f(x) = x2. Por tanto:

f (1) = 1 y

f (1+h) = (1 + h)2 = 1 + 2h + h2

Este límite es el «límite por la izquierda» e indica que la tangente a la izquierda de 1 tiene por pendiente 2.

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 1, no existe tal límite y, por tanto, la función f(x) no es derivable en x = 1.

b) Derivabilidad en x = 0.

En este caso no es necesario considerar h > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero

(h es muy pequeño) la función es f(x) = x2.

El límite existe y es cero, luego f(x) es derivable en x0 = 0 y la pendiente de la tangente es cero (paralela al eje de abscisas).

Estudiar la derivabilidad de la función

f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida por

Resolución:

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 0, la función f (x) = |x| no es derivable en dicho punto.

¿Cuándo hay que considerar límites a derecha e izquierda al calcular la derivada de una función en un punto?

Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado ésta cambia bruscamente de dirección, es necesario considerar límites a derecha e

izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de igual modo y se «quiebra».

Consecuencias de la definición de derivada en un punto

1. Si existe la derivada de una función f(x) en un punto (x0, f(x0)), existen las derivadas a derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo

contrario no existiría f'(x0 ).

Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean distintas. En este caso no existe la tangente en (x0, f(x0 )),

sino dos semirrectas, cada una tangente a uno de los arcos en que el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto ocurre se llaman puntos

angulosos.

Los puntos x1 de la primera figura y x0 de la segunda que hemos estudiado son puntos angulosos: la curva cambia bruscamente de dirección en

ellos. La función correspondiente no es derivable en las abscisas de dichos puntos.

No es difícil, consecuentemente, imaginar la gráfica de una función que no sea derivable en muchos e, incluso, infinitos puntos.

Tangente a una curva en un punto

El concepto de derivada facilita la definición de tangente a una curva en un punto como el límite de una secante que pasa por él y por otro punto

cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el primero.

Propiedad

Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él.

Demostración:

Sea una función y = f(x) derivable en un punto x0. Para probar que la función es continua en él, es preciso demostrar que

o lo que es equivalente, que

Veamos, si la expresión f(x0 + h) - f(x0) la multiplicamos y dividimos por h

aquí vemos que el primer término del producto anterior es precisamente la derivada de f(x) en el punto x0, ( recordar que partimos de la tesis que f(x)

es derivable) es decir vale f ' (x0) y el segundo término vale 0 pues es el límite de h cuando h tiende a cero.-

Así pues tenemos que:

Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea continua.

Por el contrario, puede darse el caso de una función continua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como

ejemplo la función |x|, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.

consultar la URL: http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas2.htm

Actividades

Resolver los siguientes ejercicios y problemas

Ejercicios y problemas

1Calcu lar las der ivadas en los puntos que se ind ica:

1 en x = -5 .

2 en x = 1.

3 en x = 2.

4 en x = 3.

2Dada la curva de ecuac ión f(x ) = 2x 2 − 3x − 1, ha l la las coordenadas de los puntos de d icha curva en los que

l a tangente forma con e l e je OX un ángulo de 45°.

3¿Cuál es la ve loc idad que l leva un vehí cu lo se mueve según la ecuac ión e(t ) = 2 − 3t 2 en e l quinto

segundo de su recorr ido? E l espac io se mide en metros y e l t iempo en segundos.

4Debido a unas pés imas cond ic iones ambienta les, una co lonia de un mi l lón de bacter ias no comienza su

reproducc ión hasta pasados dos meses. La func ión que representa la poblac ión de la co lonia al var iar e l t iempo

(expresado en meses) v iene dada por:

Se p ide:

1. Ver i f i car que la pob lac ión es func ión cont inua de l t iempo.

2. Calcu lar la tasa de var iac ión media de la pob lación en los interva los [0 , 2] y [0 , 4] .

3. Calcu lar la tasa de var iac ión instantánea en t = 4.

5Hal lar e l punto en que y = |x + 2| no t iene der ivada. Just i f i car e l resul tado representando su gráf i ca.

6Hal lar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no t i ene der ivada. Just i f i car e l resul tado representando su

gráf i ca.

7Estud iar la cont inuidad y der ivab i l idad de la func ión def in ida por:

8Dada la func ión:

¿Para qué va lores de a es der ivab le?

9Estud iar para qué va lores de a y b la func ión es cont inua y de r ivab le:

10Determinar los valores de a y b para que la s igu iente func ión sea der ivab le en todos sus puntos:

Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia :

1 f(x) = 5/x5 =

2

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Bibliografía TOM, M Apóstol, Calculus; Cálculo con funciones de una variable con introducción al álgebra lineal, Segunda edición, editorial Reverté, S.A. 1973