FuncionesLas funciones estn presente cada vez que una cantidad depende e otra. Por ejemplo el salario de una persona depende del nmero de horas trabajadas, el costo de una llamada depende de la duracin, la estatura de un nio depende de su edad, el envo de un paquete depende de su peso.

Peso

Precio

El costo de un meln en funcin de su peso Si se quiere comprar un meln en una tienda de comestibles normalmente se requiere una balanza para determinar el peso del mismo. Con este procedimiento se identifica a cada meln con un nmero nico (su peso). Esta regla de asignacin es llamada funcin.$1000 $3000

$2000

La longitud de la circunferencia en funcin del radio La longitud de una circunferencia depende del tamao del radio A cada valor del radio en corresponde un nico valor de L. Se dice entonces que L es funcin de r. .

La poblacin humana en funcin del tiempo. La poblacin humana p de la tierra depende del tiempo. Pero en este caso no se dispone de una frmula que exprese de manera exacta p en trminos de t. En la siguiente tabla se dan estimaciones de la poblacin p en ciertos aos. Ao P (millones) 1900 1650 1910 1750 .. .. 1950 2520 2003 6300

El oxgeno en funcin de la alturaAl subir una montaa, segn ganamos altura, empezamos a tener problemas para respirar. A medida que ascendemos, salimos de la capa de aire que envuelve a la Tierra, y la cantidad de oxgeno, que est en funcin de la presin atmosfrica, disminuye con la altitud. La propia naturaleza ha fijado una cota mxima para la vida del hombre, aproximadamente 4.500 metros. Ms all de este nivel, ningn ser humano puede vivir permanentemente, pues su organismo se deteriorara paulatinamente, debido a que la escasez de oxgeno no permite asegurar un mnimo energtico para mantener las funciones vitales.

Definicin de Funcin:Se llama funcin de un conjunto A en un conjunto B, a toda relacin f de A en B que cumple la condicin de que cada elemento de A est relacionado con un nico elemento de B. Una funcin f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A, un nico elemento f(x) de un conjunto B. A B f

X

f (X)= y

El elemento se llama imagen de x y se lee f de x. El conjunto A es el dominio de f y se denota por El conjunto B es el codominio de f y se denota por El conjunto formado por todas las imgenes f(x) es llamado rango de f y se denota por La letra x es llamada variable independiente y y variable dependiente. Para nombrar una funcin se utiliza una letra (f,g,h, etc)

En otras palabras una funcin es una relacin entre dos magnitudes de forma que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un nico elemento del conjunto final. Ejemplo: Si D es el conjunto de los hombres que tienen 18 aos o ms y f asigna a cada miembro de D su edad en aos. Entonces asignamos un nmero nico a cada miembro de D. Si Juan Restrepo tiene 19 aos, escribimos: E f DJuan Carlos Luis 18 19 20

Note que f puede asignar el mismo nmero a ms de un miembro de D. Ejemplos:

Determina cual de las siguientes relaciones son funciones:

Las funciones son como mquinas a las que se les introduce un elemento x y devuelven otro valor y, que tambin se designa por f(x). Por ejemplo, la funcin f(x) = 3x2 + 1 es la que a cada nmero le asigna el cuadrado del nmero multiplicado por 3 y luego sumado 1. As f(2) = 3*22 + 1= 3*4 + 1 = 12 + 1 = 13 Ejercicio: 1. Expresa matemticamente (mediante frmulas): a) La funcin f que asigna a cada nmero natural el resultado de sumarle 3 y elevar la suma al cuadrado. b) La funcin g que asocia a cada nmero natural el resultado de elevarlo al cuadrado y sumarle 3. c) Halla las imgenes de 2, 5 y 0 segn la funcin f. f(2) = f(5) = f(0) =d)

Halla las imgenes de 2, 5 y 0 segn la funcin g. g(2) = g(5) = g(0) =

2. Para a) f(4) b) f(4+h) c) f(4+h) - f(4)

determina y simplifica:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIN: El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente es el dominio de la funcin. El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente es el rango de la funcin.

Ejemplos: Encontrar el dominio y el rango de las siguientes funciones

Dominio de una funcin polinmicaUna funcin polinmica es de la forma son constantes ( # reales); algunos o todos pueden ser cero. Ejemplo: , , . , donde y

El dominio de cualquier funcin polinmica es el conjunto de todos los nmeros reales

Dominio de una funcin racionalComo una funcin racional es una funcin de la forma donde y son polinomios y

, en este caso es preciso encontrar su dominio teniendo en cuenta que el denominador no puede ser cero. Ejemplos:

Dominio de una funcin IrracionalLas funciones irracionales son aquellas que contienen races o radicales. Si una funcin irracional es de ndice impar, ( , el dominio sern todos los nmeros reales, ya que el radicando podr tomar cualquier valor. Pero si la funcin es de ndice par, ( , el dominio quedara restringido a aquellos valores reales que hacen al radicando mayor o igual a cero. Ejemplos: a. b. c. d.

EjerciciosPara cada una de las siguientes funciones hallar el dominio: a) b) c) d) F(x)= e) f) g) h) i) j) k) Grfica de una funcin en un plano xy Si f es una funcin, entonces la grfica de f es el conjunto de todos los puntos donde

Dada una lnea o una curva en el plano , cmo saber si es la grfica de una funcin?.

Recuerda que para tener una funcin, a cada valor de la variable independiente (x), le debe corresponder un nico valor de la variable dependiente (y). Esto conlleva a la siguiente conclusin geomtrica:

La grfica de una funcin slo puede ser cortada por una recta vertical en un punto.

Las rectas verticales intersecan a la grfica anterior en exactamente un punto. Por lo tanto, esta grfica representa la grfica de una funcin. Indica cual de los siguientes grficos es funcin.

Representan las ecuaciones recta vertical.

funciones? Dibuja sus grficas y utiliza la prueba de la

Funciones Seccionalmente Definidas O Definidas Por PartesSon funciones definidas de maneras diferentes en partes distintas del dominio. Ejemplo:

Funcin Valor AbsolutoUn ejemplo de una funcin definida por partes es la funcin valor absoluto. El valor absoluto de un nmero real x, denotada por , es la distancia de 0 a x en la recta numrica. Por lo tanto como las distancias siempre son positivas o 0, entonces: para todo nmero . En general tenemos que:

Si

es negativa entonces es positiva.

Por ejemplo:

Funcin EscalonadaOtro ejemplo de funcin definida por partes, es la funcin escalonada, llamada de esta forma por su caracterstica grfica. El dominio de esta funcin se divide en intervalos sobre los cuales la funcin asume valores constantes diferentes. Ejemplo: La tasa de impuesto marginal r(x) como un porcentaje del ingreso x en carolina del norte est dada por:

La grfica de la funcin es la siguiente. Ntese los escalones.

Otro ejemplo de funcin escalonada es la funcin mayor entero que es la funcin que asigna a cualquier nmero real x el mayor entero menor o igual que x. Esta funcin se representa por .

SimetraUna figura es simtrica si al doblarla sus regiones coinciden. El eje de simetra es la recta que divide a la regin en dos partes iguales. Las siguientes figuras geomtricas son ejemplos de figuras simtricas: cuadrado, rectngulo, tringulo equiltero, crculo. Algunos ejemplos de funciones que son simtricas son:

Una funcin simtrica puede ser par o impar. Se dice que una funcin simtrica es par si su grfica es simtrica con respecto al eje y, esto significa que si trazamos la grfica de f para , obtenemos toda la grfica de de la funcin con slo reflejar esta parte respecto al eje y . En toda funcin par se cumple que para todo que pertenece a su dominio . . Se dice que una funcin simtrica es impar si su grfica es simtrica con respecto al origen, esto significa que si trazamos la grfica de f para , obtenemos toda la grfica de la funcin con slo girar esta parte alrededor del origen . En toda funcin impar se cumple que para todo que pertenece a su dominio

PAR

IMPAR

Ejercicio de prctica: esas las simtricas

Identifica cuales de las siguientes grficas corresponden a grficas de funciones y seala de

Funciones Crecientes y DecrecientesUna funcin es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que: Si entonces Una funcin es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que: Si entonces

CLASES DE FUNCIONES Funcin polinmica Es una funcin de ola forma constantes ( # reales); algunos o todos pueden ser cero. Si Ejemplo: grado 5 grado 1 grado 0 No es funcin polinmica El grado de una funcin polinmica est determinado por el trmino de mxima potencia. , donde y son se dice que el grado de f(x) es n.

Funcin ConstanteUn polinomio de grado 0 se dice que es una funcin constante a todos los elementos del dominio les asigna la misma imagen. La grfica de una funcin constante es una lnea recta paralela al eje x. constante. Es una funcin que

Ejemplo:

Funcin Lineal:Un funcin polinmica de grado 1 es llamada funcin lineal, su forma es todo Su grfica es una lnea recta con pendiente m y que corta al eje y en el punto (0,b). Ejemplo: para

Pendiente 2 Corte con el eje y : (0,3) Corte con el eje x :

Ejemplo:

Pendiente Corte con el eje y : (0,-1) Corte con el eje x :

Si la pendiente es positiva la inclinacin es hacia la derecha, si es negativa la inclinacin es hacia la izquierda.

Si la funcin es llamada funcin identidad y su grfica es la recta que pasa por el origen y forma un ngulo de 45 con el semieje positivo de las x.

Ecuacin de la recta:Si son dos puntos de una recta, entonces podemos encontrar su ecuacin a partir de la ecuacin punto-pendiente:

Donde

.

Recuerda que: Dos rectas Dos rectas

son paralelas si y solo si: son perpendiculares si y solo si:

Ejercicio: a) Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (6,2) y (2,0). b) Encontrar la ecuacin de una recta con pendiente -3 y pasa por el punto (5,4). c) Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (4,4) y (-3/4,0).

d) Determina las ecuaciones de las funciones cuyas grficas son:

Funciones lineales costo-produccin Normalmente el costo total de una firma para la produccin particular, en un periodo fijo de tiempo tiene dos componentes diferentes: Costos fijos y costos variables. A medida los costos fijos son llamados costos estructurales de produccin ( Ejemplo: gastos de administracin, papelera, arriendo, servicios, entre otros). En forma diferente, los costos variables se incrementan en la medida en que lo hace la produccin. Representaremos el costo C(x) comoo una funcin de x por la siguiente frmula

La funcin costo-produccin es de forma lineal.

Ejemplo: Un fabricante de televisores afirma que el costo total de producir x televisores est descrito por la funcin C(x)= 1000 + 200x . a) Encuentre los costos fijos b) Dibuje esta funcin lineal. c) Cul es el costo de producir una unidad adicional a una cantidad x ya producida?. Ejemplo: Suponga que el costo de producir lmparas para un fabricante est relacionado linealmente con la produccin. Si se producen 100 lmparas, entonces el costo total es $2.500. Si se producen 200 lmparas, entonces el costo es de 4000. a) Exprese el costo total de produccin C(x) como una funcin de produccin x. b) Si el fabricante vende lmparas por $23 cada una, exprese el ingreso total R(x) como una funcin de la produccin x. Cul es el punto de equilibrio de la produccin? c) Grafique las funciones costo e ingreso total en un mismo plano cartesiano. Que puedes concluir. Nota: El punto de equilibrio del fabricante sucede cuando el total de los ingresos iguala al total de los costos Ejercicio: 1. El costo total C(x) de una firma que fabrica x calculadoras manuales est representado por la funcin C(x)= 2.200+6x. La firma vende una calculadora por $50. a) Cules son los costos fijos de produccin? b) Cul es el costo total de producir 100 calculadoras? c) Cul es el costo total de producir 100 calculadoras? d) cul es el costo promedio por calculadora produciendo100 calculadoras? e) Cul es la utilidad o prdida al vender 100 calculadoras? f) Encuentre la funcin R(x) que relaciona los ingresos con el nmero x de calculadoras vendidas? g) Dibuje las funciones de ingresos y costos sobre el mismo sistema de coordenadas. h) Cuntas calculadoras deben venderse para alcanzar el punto de equilibrio? 2. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que meda 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una funcin a fin que d la altura de la planta en funcin del tiempo y representar grficamente. 3. Por el alquiler de un coche cobran 100 diarios ms 0.30 por kilmetro. Encuentra la ecuacin de la recta que relaciona el coste diario con el nmero de kilmetros y represntala. Si en un da se ha hecho un total de 300 km, qu importe debemos abonar? Ejercicios Representa las siguientes funciones sabiendo que: e) f) g) h) Tiene pendiente -3 y ordenada en el origen -1. Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (-3, 2). Pasa por los puntos A(-1, 5) y B(3, 7). Pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta de ecuacin y = -x + 7.

FUNCIN CUADRTICAUna funcin polinmica de grado 2 es llamada funcin cuadrtica. Es de la forma

Si representamos "todos" los puntos de una funcin cuadrtica en un plano cartesiano, obtenemos siempre una curva llamada parbola, que abre hacia arriba si y abre hacia abajo si

Las parbolas tienen un punto mximo o mnimo llamado vrtice. El vrtice de la grfica de una funcin cuadrtica es el punto: o

El vrtice es el punto de interseccin de la parbola con el eje de simetra. Las races o soluciones de una funcin cuadrtica son los valores donde la grfica de la parbola se intercepta o corta al eje x. Se encuentran haciendo , es decir resolviendo la ecuacin . La cual se resuelve por factorizacin o aplicando la frmula cuadrtica:

La expresin

es llamado discriminante.

Si el discriminante es positivo , la ecuacin tiene dos races o soluciones, es decir su grfica interceptar al eje x en dos puntos.

Si el discriminante es positivo , la ecuacin tiene una nica solucin, es decir su grfica interceptar al eje x en un punto.

Si el discriminante es positivo , la ecuacin no tiene races o soluciones, es decir su grfica no corta al eje x en ningn punto.

El punto de corte de la parbola con el eje

se obtiene haciendo

Ejemplo: 1) Una compaa produce y vende un determinado artculo. La funcin utilidad est dada por donde U representa la utilidad de p0roducir y vender x unidades del artculo. a. Grafica la funcin utilidad. b. Si se obtuvo una utilidad de $ 3320, cul fue el nmero de unidades producidas y vendidas? c. Para qu nivel de produccin se obtiene la mxima ganancia? Cul es dicha ganancia? d. Si el precio de venta de cada unidad es de $800, encuentra la funcin de costo total. e. Cuntas unidades se realizaron si el costo total es de $ 20 680? 2) Si el nmero de turistas que hace un recorrido en autobs a una ciudad es exactamente 30, una empresa cobra 20$ por persona. Por cada persona adicional a las 30, se reduce el cobro personal en 0,5$. Cul es el nmero de turistas que debe llevar un autobs para maximizar los ingresos de la empresa? Rta: 35 personas 3) Calculen las dimensiones de un rectngulo, cuyo permetro es de 50 cm, para que su rea sea mxima. Respuesta: a=b=12.5cm. 4) La suma del cuadrado de un nmero entero y el cuadrado del duplo del consecutivo es 232. Cul es el nmero?. Rta:6 5) Calcular la diagonal de un rectngulo sabiendo que la base es igual a las tres cuartas partes de la altura y que el rea es 48. Rta:10