Guia 3
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Gu´ ıa N ◦ 3 Ayudant´ ıa Estructuras Algebraicas 1. Sea (G, *) un grupo. Se define el centro de G como Z (G)= {a ∈ G | a * b = b * a, ∀b ∈ G}. Demuestre que Z (G) es un subgrupo abeliano de G. 2. Sea (G, *) un grupo y a ∈ G. Se define el centralizador de a como C (a)= {b ∈ G | a * b = b * a}. Demuestre que C (a) es un subgrupo de G. Adem´as demuestre que: Z (G)= \ a∈G C (a) 3. Sea (G, *) un grupo y a ∈ G. Se define el orden de a como el menor entero positivo n tal que a n = e. Sea anota ord(a)= n. En el caso en que a k 6= e, ∀k ∈ N entonces a se dice de orden infinito. Demuestre que si a t = e con t ∈ Z,t 6= 0 entonces ord(a)/t. 4. Sea (G, *) un grupo y a ∈ G. Demuestre que si a tiene orden infinito entonces todas las potencias de a son distintas. Concluya que el subgrupo generado h a i es de orden infinito. 5. Determine todos los generadores de un grupo c´ ıclico infinito. 6. Sea (G, *) un grupo y a ∈ G. Demuestre que si a tiene orden n (finito) entonces el subgrupo generado h a i tiene orden n. Mas a´ un: h a i = {e, a, a 2 ,...,a n-1 } 7. Sea (G, *) un grupo y a ∈ G con ord(a)= n. Si k ∈ N demostrar que ord(a k )= n m.c.d.(n,k) 8. Determine todos los generadores de un grupo c´ ıclico finito. 9. Sea G = h a i un grupo c´ ıclico finito de orden n. Demuestre que por cada divisor k de n existe un ´ unico subgrupo H ≤ G de orden k. 10. Sea G = h a i un grupo c´ ıclico infinito. Demuestre que la funci´on φ : Z → G t 7→ a t es un isomorfismo. 11. Sea G = h a i un grupo c´ ıclico de orden n (finito). Demuestre que la funci´ on φ : Z n → G t 7→ a t es un isomorfismo. 12. Sean α =(a 1 a 2 ...a k ),β =(b 1 b 2 ...b r ) ∈ S n ciclos disjuntos, esto es: a i 6= b j , ∀i, j . Demuestre que α y β conmutan. 13. Sea σ =(s 1 s 2 ...s k ) ∈ S n un ciclo. Demuestre que ord(σ)= k. 14. Sea σ =(s 1 s 2 ...s k ) ∈ S n un ciclo con k impar. Demuestre que σ 2 tambi´ en es un ciclo. 15. Sea σ =(s 1 s 2 ...s k ) ∈ S n un ciclo. Demuestre que si k es par entonces σ es una permutaci´on impar. Y si k es impar entonces σ es una permutaci´on par.
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Gua N3 Ayudanta Estructuras Algebraicas
1. Sea (G, ) un grupo. Se define el centro de G como Z(G) = {a G | ab = ba, b G}. Demuestreque Z(G) es un subgrupo abeliano de G.
2. Sea (G, ) un grupo y a G. Se define el centralizador de a como C(a) = {b G | a b = b a}.Demuestre que C(a) es un subgrupo de G. Ademas demuestre que:
Z(G) =aG
C(a)
3. Sea (G, ) un grupo y a G. Se define el orden de a como el menor entero positivo n tal que an = e.Sea anota ord(a) = n. En el caso en que ak 6= e, k N entonces a se dice de orden infinito.Demuestre que si at = e con t Z, t 6= 0 entonces ord(a)/t.
4. Sea (G, ) un grupo y a G. Demuestre que si a tiene orden infinito entonces todas las potenciasde a son distintas. Concluya que el subgrupo generado a es de orden infinito.
5. Determine todos los generadores de un grupo cclico infinito.
6. Sea (G, ) un grupo y a G. Demuestre que si a tiene orden n (finito) entonces el subgrupo generado a tiene orden n. Mas aun:
a = {e, a, a2, . . . , an1}
7. Sea (G, ) un grupo y a G con ord(a) = n. Si k N demostrar que ord(ak) = nm.c.d.(n,k)
8. Determine todos los generadores de un grupo cclico finito.
9. Sea G = a un grupo cclico finito de orden n. Demuestre que por cada divisor k de n existe ununico subgrupo H G de orden k.
10. Sea G = a un grupo cclico infinito. Demuestre que la funcion
: Z Gt 7 at
es un isomorfismo.
11. Sea G = a un grupo cclico de orden n (finito). Demuestre que la funcion
: Zn Gt 7 at
es un isomorfismo.
12. Sean = (a1a2 . . . ak), = (b1b2 . . . br) Sn ciclos disjuntos, esto es: ai 6= bj, i, j. Demuestre que y conmutan.
13. Sea = (s1s2 . . . sk) Sn un ciclo. Demuestre que ord() = k.
14. Sea = (s1s2 . . . sk) Sn un ciclo con k impar. Demuestre que 2 tambien es un ciclo.
15. Sea = (s1s2 . . . sk) Sn un ciclo. Demuestre que si k es par entonces es una permutacion impar.Y si k es impar entonces es una permutacion par.
