Guía 3_cálculo i

8/17/2019 Guía 3_cálculo i

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Vicerrectoría Académica

Dirección de Servicios Académicos

Subdirección de Servicios a Escuelas

GUÍA N°3

Noción Intuitiva de Límite

Noción Intuitiva de Límite en un punto

Decir que

L x f c x

=

→

)(lim

significa que cuando

x está cerca de

c, pero diferente de

c,

entonces

)( x f

está cerca de

L.

Para comprender en forma intuitiva el concepto de límite de una función en un punto

trabajaremos con dos aplicaciones

Velocidad Promedio: La velocidad promedio de un objeto en movimiento durante un intervalo

de tiempo

t ∆, se calcula mediante la siguiente razón

t d

dotranscurritiempodetervaloinlongitud recorridaanciadist VP

∆

∆==

La unidad de Medida de la elocidad Promedio será

tiempodeunidad

longitud

, por ejemplo

hkm /

!i desea calcular la elocidad "nstantánea en un momento específico se debe #acer tender a

cero el

otrascurrid tiempotervaloin

, es decir

t ∆

se #ace mu$ peque%o, entonces &

VP antánea Inst Velocidad t lim0→∆=

Tasa de recimiento Promedio: La 'asa de (recimiento promedio de una población P

se

calcula mediante la siguiente razón&

t

d

dotranscurritiempodetervaloinlongitud

PoblacióndeVariaciónTCP

∆

∆==

)n este caso la unidad de medida estiempodeunidad

poblacióndeunidad

, así por ejemplo si la población es el

n*mero de moscas $ el tiempo en días, la unidad de medida D)

TCP es

díasmoscas /

.

+l igual que la elocidad "nstantánea, si desea calcular la 'aza de (recimiento "nstantánea en

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un momento específico se debe #acer tender a cero el

otrascurrid tiempotervaloin

, es

decir

t ∆

se #ace mu$ peque%o, entonces &

TCP ntáneo InstaoCrecimient Tasa

t

lim0→∆

=

. -n grupo de estudiantes participa de una cicletada que se inicia en el centro de

!antiago #acia el sur del país. La función

502,0)( 2 += t t s

entrega la posición de

un ciclista en /ilómetros0 despu1s det

minutos de su partida.

a0 2(uál es su posición a los 34 minutos de su partida5

b0 2cuál es la velocidad promedio entre los 34 $ 64 minutos5

c0 Determine mediante apro7imaciones la elocidad "nstantánea a los 34 minutos

de su partida. Para ello utilizar la siguiente tabla de valores, utilizando todos los

decimales&

"ntervalos de

'iempo

)7presión elocidad

Promedio

elocidad Promedio

3128 ≤≤ t 2831

)28()31(

−

− s s

2


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5,3029 ≤≤ t 295,30

)29()5,30(

−

− s s

1,309,29 ≤≤ t 9,291,30

)9,29()1,30(

−

− s s

01,3099,29 ≤≤ t 99,2901,30

)99,29()01,30(

−

− s s

8. !i se deja caer una pelota desde la plataforma de observación de la torre (9 en

'orono, :;4 metros arriba del suelo, lo metros que recorre la pelota despu1s de

t segundos de la caída se modelan mediante la función

29,4)( t t S =

a0 2(uánto se demora la pelota en llegar al suelo5

b0 2cuál es la velocidad promedio entre :to $ 6to segundo5

c0 Determine mediante apro7imaciones la elocidad "nstantánea a los ; segundos,

para ello puede usar la siguiente tabla de valores&

"ntervalos de

'iempo

)7presión elocidad

Promedio

elocidad Promedio

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1,58,4 ≤≤ t 8,41,5

)8,4()1,5(

−

− s s

01,59,4 ≤≤ t

001,599,4 ≤≤ t

0001,5999,4 ≤≤ t

3. !e espera que dentro de

t a%os, la población de cierta comunidad viene dada por

la función

12005,0)( 75,0 += t et p

miles de #abitantes0

a0 Dentro de 4 a%os 2(uántos #abitantes tendrá la comunidad5

b0 2cuál es la 'asa de (recimiento promedio entre el 6to $ d1cimo a%o5

c0 Determine mediante apro7imaciones la 'asa de (recimiento "nstantánea de la

comunidad dentro de 4 a%os, para ello utilizar la siguiente tabla de valores&

"ntervalos de

'iempo

)7presión 'asa de

(recimiento Promedio

'asa de (recimiento

Promedio

4


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5,105,9 ≤≤ t 5,95,10

)5,9()5,10(

−

− p p

1,109,9 ≤≤ t 9,91,10

)9,9()1,10(

−

− p p

01,1099,9 ≤≤ t

001,10999,9 ≤≤ t

:. !e estima que la población de una colonia de bacterias está dada por la siguiente

función

( )1

1024

2 +

+=

t

t t P

(en miles) después det #oras.

a0 2(uál es la población inicial de bacterias5

b0 2cuál es la 'asa de (recimiento promedio entre las 4 $ ; #oras5

c0 Determine mediante apro7imaciones la 'asa de (recimiento "nstantánea de la

población a las ; #oras, para ello la siguiente tabla de valores&

"ntervalos de )7presión 'asa de 'asa de (recimiento

5


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'iempo (recimiento Promedio Promedio

3,55,4 ≤≤ t 5,43,5

)5,4()3,5(

−

− p p

1,58,4 ≤≤ t

01,59,4 ≤≤ t

001,599,4 ≤≤ t

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;. -n automóvil se mueve a lo largo de una carretera en línea recta durante ;

#oras, de modo que la posición en /ilómetros está dada por la función

53)(

−= xe x xd

trascurridas

x #oras.

a0 2(uál es su posición a las 8 #oras de su partida5

b0 2cuál es la velocidad promedio entre la 8ra $ :ta #ora5

c0 Determine mediante apro7imaciones la elocidad "nstantánea a las : #oras de

su partida, para ello la siguiente tabla de valores&

"ntervalos de

'iempo

)7presión elocidad

promedio

elocidad promedio

6,35,4 ≤≤ x6,35,4

)6,3()5,4(

−

− d d

9,31,4 ≤≤ x

99,301,4 ≤≤ x

999,3001,4 ≤≤ x

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Noción Intuitiva de Límite al in!inito

Decir que

L x f x

=

∞→

)(lim

significa que cuando

x crece en forma indefinida, entonces

)( x f está cerca de

L.

)jemplo 9


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mejor caracterizarlo

como el límite de la

función cuando el

tiempo crece.

6. )l costo en dólares de producción de

x cantidad de artículos se modela mediante

la siguiente función

x xC 400)( =

a0 2

(

uál es el costo de producción al fabricar 8, 84 $ 844 artículos5

b0 2?u1 ocurre con el costo de producción a medida que la fabricación de artículos

crece indefinidamente5 Para responder completar la siguiente tabla.

x44 444 4444 44444

44444

4

444444

4

)( xC

=. )l porcentaje de inter1s por cuentas por cobrar asociados al uso de tarjetas de

cr1ditos de un banco despu1s de

t meses de la obtención de la tarjeta está dado

por la función

( t t p 08,0319,0)( −−=

9


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a0 2?u1 @ de inter1s se espera luego de un a%o5b0 2?u1 ocurre con el @ de cuentas por cobrar a largo plazo5 Para responder

utilice la siguiente tabla.

t 4 44 444 4444 44444

44444

4

)(t p

A. )n una academia de mecanográfica, el n*mero promedio de palabras por minutos

luego de

t semanas prácticas, está dado por

t et

12,051

157)(

−+

=

.

a0 Determine el n*mero promedio de palabras por minuto que puede escribir una

persona luego de #aber recibido lecciones durante 4 semanas

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b0 Determine el n*mero promedio de palabras por minuto que pueden escribirse

cuando el estudiante practica indefinidamente. (onstru$a una tabla de valores

B. !upongamos que bajo una intensidad luminosa 7, el diámetro en milímetros0 de

la pupila viene dado por&

4,0

4,0

154

90160)(

x

x x f

+

+=

(onstru$a una tabla de valores para

responder las siguientes preguntas 2?u1 ocurre con el diámetro de la pupila si la

intensidad luminosa aumenta en forma indefinida5

4.)n un e7perimento biológico, la población de una colonia de bacterias en

millones0 despu1s de

x días está dada por la función

t et P

282

4)(

−+

=

a0 2(uál es la población inicial de bacterias5b0 2?u1 ocurre a largo plazo con la colonia de bacterias5 (onstru$a una tabla de

valoresc0 Determine mediante apro7imaciones la tasa de crecimiento "nstantánea a los 8

días, para ello puede la siguiente tabla de valores&

"ntervalos de'iempo

)7presión 'asa decrecimiento

'asa de crecimiento

31 ≤≤ t 13

)1()3(

−

− p p

3,25,1 ≤≤ t

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01,299,1 ≤≤ t

0001,2999,1 ≤≤ t

.La Cederación de caza de cierto estado introduce ;4 ciervos en una determinada

región. !e cree que el n*mero de ciervos crecerá siguiente el modelo&

x

xt f

04,01

3050)(

+

+=

, donde

x es el tiempo en a%os

a0 (alcule la cantidad de animales que #abrá dentro de 4 a%osb0 2+ cuántos animales se podrá llegar a medida que trascurre el tiempo

indefinidamente5 (onstru$a una tabla de valoresc0 Determine mediante apro7imaciones la tasa de crecimiento "nstantánea a los

:4 a%os, para ello puede la siguiente tabla de valores&

"ntervalos de

'iempo

)7presión 'asa de

(recimiento

'asa de (recimiento

5030 ≤≤ t 3050

)30()50(

−

− f f

4139 ≤≤ t

1,409,39 ≤≤ t

01,4099,39 ≤≤ t

SIGUE PRACTICANDO:

8.-n carrito e7perimental conectado a un P(, se mueve a lo largo de un riel de tal

manera que su posición en el instante

t del punto de partida está dada por la

función

t t t t d 55183)( 23 ++=

la distancia se mide en cm $ el tiempo en minutos.

Determine mediante apro7imaciones la velocidad instantánea a los :

minutos, utilizando la siguiente tabla de valores

"ntervalos de

'iempoelocidad Promedio

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3,48,3 ≤≤ t

1,49,3 ≤≤ t

01,499,3 ≤≤ t

3.!e modela la preparación de un deportista que correrá 44 metros planos con la

función

152,010

3)(

2

2

+

+

+−=

x

x x f

donde

)( x f

son los segundos que se demora en

llegar a la meta despu1s de

xdías de entrenamiento. (onstru$a una tabla de

valores para responder las siguientes preguntas 2?u1 ocurre con el tiempo si el

deportista entrena en forma indefinida5

:.!e estima que dentro de

t a%os , la población de un cierto país será de

t et P

06,0128

80)(

−+

=

, millones de #abitantes

a0 2(uántos #abitantes #a$ en la actualidad5b0 2?u1 le sucederá a la población a largo plazo5 (onstru$a una tabla de valores

15.!e sabe que el precio de un artículo a trav1s del tiempot en meses0 está dado

por la función

1

85)(

+

+=t

t t P

miles de pesos0. 2?u1 ocurre con el precio a largo

plazo5 (onstru$a una tabla de valores.

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