MATEMÁTICAS BÁSICAS

Autoras: Margarita Ospina PulidoJeanneth Galeano Peñaloza

Universidad Nacional de ColombiaSede Bogotá

Departamento de Matemáticas

29 de agosto de 2012

Parte I

Funciones

Funciones

Una función es una especie de máquina que toma elementosde un conjunto y después de un proceso obtiene elementos deotroPor ejemplo:

1 La función del conjunto de las palabras en el conjunto delas letras que a cada palabra le asigna su letra inicial.

2 La función del conjunto de ciudadanos de un país en el delas huellas digitales que a cada ciudadano le asigna lahuella digital de su índice derecho.

3 La función del conjunto de los reales en sí mismo que acada real le asigna su cuadrado.

Funciones

De una manera más formal tenemos:Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B,

notada:f : A → B

es un subconjunto de A × B (una relación de A en B) quecumple:Para todo elemento a ∈ A existe un único b ∈ B tal que lapareja (a, b) ∈ f .Como es único el elemento b relacionado con a, escribimosf (a) = b.

Funciones

Si f : A → B es una función,A se llama el Dominio de f .B se llama el Codominio de f .{b ∈ B | existe a ∈ A tal que f (a) = b} se llama el Rango de fo el Recorrido de f o la Imagen de f .

Ejemplos

1 f : R → R definida por f (x) = 2x − 1.

Dom f = R, Imagen de f = R.

2 g : R → R definida por g(x) = x2.

Dom g = R, Imagen de g = [0,∞) .

Igualdad de funciones

Dos funciones f y g son iguales si tenen el mismo dominio ypara todo elemento x del dominio f (x) = g(x).En este curso trabajaremos únicamente funciones reales, esdecir, funciones de dominio y codominio R o subconjuntos deR.

En este caso se acostumbra simplemente a identificar lafunción con la expresión que define su efecto sobre la variable,suponiendo que el dominio el es subconjunto más grande de R

en el que se puede definir la función y el codominio es R.

Ejemplos

Si f (x) =2x − 1x − 3

Dom f = R−{3} ,

Si g(x) =√

2 − 5x Dom g = (−∞,25 ]

Dominio

EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 4

x2−8x+7 .

Dominio

EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 4

x2−8x+7 .

x2 − 8x + 7 = 0

Dominio

EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 4

x2−8x+7 .

x2 − 8x + 7 = 0

(x − 1)(x − 7) = 0

Dominio

EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 4

x2−8x+7 .

x2 − 8x + 7 = 0

(x − 1)(x − 7) = 0

Dominio de f : R − {1, 7}.

Dominio

EjemploPara hallar el dominio de la función f (x) =

√2x + 6,

resolvemos la desigualdad

Dominio

EjemploPara hallar el dominio de la función f (x) =

√2x + 6,

resolvemos la desigualdad

2x + 6 ≥ 0

Dominio

EjemploPara hallar el dominio de la función f (x) =

√2x + 6,

resolvemos la desigualdad

2x + 6 ≥ 0

2x ≥ −6

Dominio

EjemploPara hallar el dominio de la función f (x) =

√2x + 6,

resolvemos la desigualdad

2x + 6 ≥ 0

2x ≥ −6

x ≥ −3

Dominio

EjemploPara hallar el dominio de la función f (x) =

√2x + 6,

resolvemos la desigualdad

2x + 6 ≥ 0

2x ≥ −6

x ≥ −3

Dominio de f : [−3,∞).

Dominio

EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x

(x+5)√

3−2x.

Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.

Dominio

EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x

(x+5)√

3−2x.

Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.

3 − 2x > 0

Dominio

EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x

(x+5)√

3−2x.

Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.

3 − 2x > 0

− 2x > −3

Dominio

EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x

(x+5)√

3−2x.

Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.

3 − 2x > 0

− 2x > −3

x <32

Dominio

EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x

(x+5)√

3−2x.

Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.

3 − 2x > 0

− 2x > −3

x <32

S=(

−∞,32

)

∗

Dominio

EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x

(x+5)√

3−2x.

Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.

3 − 2x > 0

− 2x > −3

x <32

S=(

−∞,32

)

∗

*¿Por qué el intervalo es abierto en 32?

Dominio

EjemploEl denominador se hace cero cuando x = −5, así que eldominio de f es

Dominio

EjemploEl denominador se hace cero cuando x = −5, así que eldominio de f es

(

−∞,32

)

− {−5} = (−∞,−5) ∪(

−5,−32

)

.

Funciones

La gráfica de una función real es la representación en el planocartesiano de {(x , f (x)) | x ∈ dom(f )}

Si f (x) = 2x − 1 su gráfica es la recta y = 2x − 1.

Si g(x) = x2 − 2x + 1 su gráfica es la parábolay = x2 − 2x + 1.

Nótese que una gráfica en el plano cartesiano representa unafunción real si toda recta vertical corta la gráfica en a lo sumoun punto.

Función idéntica o función identidad

Dado cualquier conjunto no vacío A definimos

IA : A −→ A

a 7−→ a

En particular para la función idéntica de R

IR : R −→ R

x 7−→ x

Dom IR = R Im IR = R

Función identidad f (x) = x

y

x

Función identidad f (x) = x

y

x

Función identidad f (x) = x

y

x

y = x

Función constante

f : R −→ R

x 7−→ c

donde c es una constante.Dom f = R Im f = {c}

Función constante f (x) = c

y

x

Función constante f (x) = c

y

x

Función constante f (x) = c

y

x

y = c

Función lineal

f : R −→ R

x 7−→ mx + b

donde m y b son constantes.Dom f = R Im f = R si m 6= 0.

¿Qué pasa si m = 0?¿Cómo es la gráfica de f ?

Función lineal f (x) = mx + b

y

x

Función lineal f (x) = mx + b

y

x

Función lineal f (x) = mx + b

y

x

y = mx + b

Función cuadrática

f : R −→ R

x 7−→ ax2 + bx + c

donde a, b y c son constantes y a 6= 0.Dom f = R Im f = ?¿Cómo es la gráfica de f ?

Función cuadrática f (x) = ax2 + bx + c

y

x

Función cuadrática f (x) = ax2 + bx + c

y

x

Función cuadrática f (x) = ax2 + bx + c

y

x

y = ax2 + bx + c

Función valor absoluto

f : R −→ R

x 7−→ |x |

Dom f = R Im f = ?¿Cómo es la gráfica de f ?

Función valor absoluto f (x) = |x |

y

x

Función valor absoluto f (x) = |x |

y

x

Función valor absoluto f (x) = |x |

y

x

y = |x |

Función parte entera

f : R −→ R

x 7−→ [x ]

Donde [x ] es el mayor entero menor o igual a x .

Por ejemplo [π] = 3[

8, 27]

= 8 [12] = 12[−2] = −2 [−1, 5] = −2 [−π] = −4

Funciones

Ejercicio:Haga la gráfica de y = [x ] y encuentre su imagen.

Función parte entera f (x) = [x ]

y

x

Función parte entera f (x) = [x ]

y

x

Función parte entera f (x) = [x ]

y

x

Función parte entera f (x) = [x ]

y

x

Función parte entera f (x) = [x ]

y

x

Función parte entera f (x) = [x ]

y

x

Función parte entera f (x) = [x ]

y

x

y = [x ]

Funciones definidas a trozos

Consideremos la función definida como sigue

f (x) =

3 si x < −4

x + 1 si − 4 ≤ x ≤ −2

x2 si x > −2,

veamos su gráfica.

Funciones definidas a trozos

y

x

Funciones definidas a trozos

y

x

Funciones definidas a trozos

y

x

Funciones definidas a trozos

y

x

Funciones definidas a trozos

Consideremos la función definida como sigue

f (x) =

2 si x < −2

−x2 + 1 si − 2 ≤ x < 2

2x − 6 si x ≥ 2,

veamos su gráfica.

Funciones definidas a trozos

y

x

Funciones definidas a trozos

y

x

Funciones definidas a trozos

y

x

Funciones definidas a trozos

y

x

Gráficas

EjercicioBosqueje la gráfica de las siguientes funciones

1 f (x) =

x2 si x < 0

2 si 0 ≤ x < 1

1 − x si x > 1

2 f (x) =

−4 si x < −1

|x | + 1 si − 1 ≤ x ≤ 1

2x si x > 1

Parte II

Propiedades de funciones

Funciones pares e impares

DefiniciónUna función f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominiode f .

Funciones pares e impares

DefiniciónUna función f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominiode f .

Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituyex por −x .

Funciones pares e impares

DefiniciónUna función f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominiode f .

Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituyex por −x .

f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.

Funciones pares e impares

DefiniciónUna función f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominiode f .

Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituyex por −x .

f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto aleje y .

Funciones pares

y

x

Funciones pares

y

x

Funciones pares e impares

DefiniciónUna función f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en eldominio de f .

Funciones pares e impares

DefiniciónUna función f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en eldominio de f .

f (x) = x y f (x) = x3 son ejemplos de funciones impares.

Funciones pares e impares

DefiniciónUna función f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en eldominio de f .

f (x) = x y f (x) = x3 son ejemplos de funciones impares.

La gráfica de una función impar es simétrica con respectoal origen.

Funciones impares

y

x

Funciones impares

y

x

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x)

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues

f (−x)

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues

f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues

f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)

= −12x5 + 6x3 + 3x

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues

f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8

= 4x2 + 5x6 − 3x8

= f (x)

f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues

f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)

= −12x5 + 6x3 + 3x

= −f (x)

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar,

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar,

f (−x)

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar,

f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8

Funciones pares e impares

Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar,

f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8

= −3x7 − 9x5 − 3x8

Funciones pares e impares

EjercicioDeterminar si f es par, impar o ninguna de las dos.

f (x) = 2x7 + 3x5 − 6x6 + 1

f (x) = 8x6 + 3x4 − x + 4

f (x) = 2√

x + 4

f (x) = (x − 1)2 + x4

f (x) = 3 − (x + 2)3

Funciones inyectivas y sobreyectivas

DefiniciónSea f : A −→ B una función,

Funciones inyectivas y sobreyectivas

DefiniciónSea f : A −→ B una función,

f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que

f (a) = f (b) implica que a = b.

Funciones inyectivas y sobreyectivas

DefiniciónSea f : A −→ B una función,

f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que

f (a) = f (b) implica que a = b.

f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo elconjunto B.

Funciones inyectivas y sobreyectivas

DefiniciónSea f : A −→ B una función,

f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que

f (a) = f (b) implica que a = b.

f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo elconjunto B.

f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre.

Funciones inyectivas y sobreyectivas

EjemploConsidere las siguientes funciones

f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.

f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.

f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.

f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.

f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.

¿Cómo determinar por medio de la gráfica si una función esuno a uno?

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Prueba de la recta horizontalUna función f es uno a uno si y sólo si toda recta horizontalcorta la gráfica de f máximo en un punto.Una función de codominio R es sobreyectiva si toda rectahorizontal corta su gráfica.

Parte III

Operaciones entre funciones

Operaciones entre funciones

DefiniciónSean f y g dos funciones, definimos

Operaciones entre funciones

DefiniciónSean f y g dos funciones, definimos

suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)

Operaciones entre funciones

DefiniciónSean f y g dos funciones, definimos

suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)

diferencia (f − g)(x) = f (x) − g(x)

Operaciones entre funciones

DefiniciónSean f y g dos funciones, definimos

suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)

diferencia (f − g)(x) = f (x) − g(x)

producto (fg)(x) = f (x)g(x)

Operaciones entre funciones

DefiniciónSean f y g dos funciones, definimos

suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)

diferencia (f − g)(x) = f (x) − g(x)

producto (fg)(x) = f (x)g(x)

cociente(

fg

)

(x) = f (x)g(x) , siempre que g(x) 6= 0.

Operaciones entre funciones

EjemploSean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4,

Operaciones entre funciones

EjemploSean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4,

(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3,

Operaciones entre funciones

EjemploSean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4,

(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3,

(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5,

Operaciones entre funciones

EjemploSean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4,

(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3,

(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5,

(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4,

Operaciones entre funciones

EjemploSean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4,

(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3,

(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5,

(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4,(

fg

)

(x) = 2x+13x2−4 ,

Operaciones entre funciones

EjemploSean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4,

(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3,

(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5,

(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4,(

fg

)

(x) = 2x+13x2−4 ,

¿Cuál es el dominio de estas funciones?

Operaciones entre funciones

El dominio de f + g, f − g, fg es la intersección I de losdominios de f y de g, mientras que el dominio de f

g estáformado por los puntos x de I tales que g(x) 6= 0.

Operaciones entre funciones

El dominio de f + g, f − g, fg es la intersección I de losdominios de f y de g, mientras que el dominio de f

g estáformado por los puntos x de I tales que g(x) 6= 0.

EjercicioSean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x

4−x , hallar una expresión para lassiguientes funciones y sus dominios,f + g, f − g, fg,

fg ,

gf ,

gf+g .

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(f + g)(x) = 5x + 3 + x4−x

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(f + g)(x) = 5x + 3 + x4−x

(f − g)(x) = 5x + 3 − x4−x

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(f + g)(x) = 5x + 3 + x4−x

(f − g)(x) = 5x + 3 − x4−x

(fg)(x) = (5x + 3)

(

x4 − x

)

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(f + g)(x) = 5x + 3 + x4−x

(f − g)(x) = 5x + 3 − x4−x

(fg)(x) = (5x + 3)

(

x4 − x

)

=5x2 + 3x

4 − x

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

Dom(f ) = R

Dom(g) = R − {4}Dom(f + g) = R − {4}Dom(f − g) = R − {4}Dom(fg) = R − {4}

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

Dom(f ) = R

Dom(g) = R − {4}Dom(f + g) = R − {4}Dom(f − g) = R − {4}Dom(fg) = R − {4}

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

Dom(f ) = R

Dom(g) = R − {4}Dom(f + g) = R − {4}Dom(f − g) = R − {4}Dom(fg) = R − {4}

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

Dom(f ) = R

Dom(g) = R − {4}Dom(f + g) = R − {4}Dom(f − g) = R − {4}Dom(fg) = R − {4}

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

Dom(f ) = R

Dom(g) = R − {4}Dom(f + g) = R − {4}Dom(f − g) = R − {4}Dom(fg) = R − {4}

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(

fg

)

(x) =5x + 3

x4−x

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(

fg

)

(x) =5x + 3

x4−x

=(5x + 3)(4 − x)

x

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(

fg

)

(x) =5x + 3

x4−x

=(5x + 3)(4 − x)

x

=20x − 5x2 + 12 − 3x

x

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(

fg

)

(x) =5x + 3

x4−x

=(5x + 3)(4 − x)

x

=20x − 5x2 + 12 − 3x

x

=−5x2 + 17x + 12

x

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(

fg

)

(x) =5x + 3

x4−x

=(5x + 3)(4 − x)

x

=20x − 5x2 + 12 − 3x

x

=−5x2 + 17x + 12

x

Dom(

fg

)

= R − {0, 4}

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(gf

)

(x) =x

4−x

5x + 3

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(gf

)

(x) =x

4−x

5x + 3

=x

(4 − x)(5x + 3)

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(gf

)

(x) =x

4−x

5x + 3

=x

(4 − x)(5x + 3)

=x

−5x2 + 17x + 12

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(gf

)

(x) =x

4−x

5x + 3

=x

(4 − x)(5x + 3)

=x

−5x2 + 17x + 12

Dom(g

f

)

= R − {4, −35}

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(

gf + g

)

(x) =x

4−xx

4−x + 5x + 3

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(

gf + g

)

(x) =x

4−xx

4−x + 5x + 3

=x

4−xx+(4−x)(5x+3)

4−x

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(

gf + g

)

(x) =x

4−xx

4−x + 5x + 3

=x

4−xx+(4−x)(5x+3)

4−x

=x

x − 5x2 + 17x + 12

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(

gf + g

)

(x) =x

4−xx

4−x + 5x + 3

=x

4−xx+(4−x)(5x+3)

4−x

=x

x − 5x2 + 17x + 12

=x

−5x2 + 18x + 12

Operaciones entre funciones

f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .

(

gf + g

)

(x) =x

4−xx

4−x + 5x + 3

=x

4−xx+(4−x)(5x+3)

4−x

=x

x − 5x2 + 17x + 12

=x

−5x2 + 18x + 12

Dom(

gf+g

)

= R − {4,9±

√141

5 }

Composición de funciones

Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).

Composición de funciones

Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}

Composición de funciones

Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo

Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:

Composición de funciones

Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo

Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:

(g ◦ f ) (x)

Composición de funciones

Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo

Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3)

Composición de funciones

Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo

Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1

Composición de funciones

Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo

Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1

= 4x2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1

Composición de funciones

Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo

Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1

= 4x2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1

= 4x2 + 8x + 4

Composición de funciones

Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo

Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1

= 4x2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1

= 4x2 + 8x + 4

Claramente Dom(g ◦ f ) = R

Funciones

(f ◦ g) (x)

Funciones

(f ◦ g) (x) = f (g(x))

Funciones

(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)

Funciones

(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)

= 2(x2 − 2x + 1) + 3

Funciones

(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)

= 2(x2 − 2x + 1) + 3

= 2x2 − 4x + 5

Funciones

(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)

= 2(x2 − 2x + 1) + 3

= 2x2 − 4x + 5

De nuevo Dom(f ◦ g) = R

Funciones

(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)

= 2(x2 − 2x + 1) + 3

= 2x2 − 4x + 5

De nuevo Dom(f ◦ g) = R

Nótese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f )

Funciones

Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =

√x tenemos:

Funciones

Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =

√x tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√

(2x + 3)

Funciones

Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =

√x tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√

(2x + 3)Dom(g ◦ f )

Funciones

Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =

√x tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√

(2x + 3)Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0}

Funciones

Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =

√x tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√

(2x + 3)Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} =

[

−32 ,∞

)

Funciones

Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =

√x tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√

(2x + 3)Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} =

[

−32 ,∞

)

(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (√

x)

Funciones

Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =

√x tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√

(2x + 3)Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} =

[

−32 ,∞

)

(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (√

x) = 2√

x + 3

Funciones

Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =

√x tenemos:

(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√

(2x + 3)Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} =

[

−32 ,∞

)

(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (√

x) = 2√

x + 3Dom(f ◦ g) =

{

x ∈ [0,∞) |√

x ∈ R}

= [0,∞)

Funciones

Ejercicio

Si f (x) =1

1 − x2 g(x) =√

1 − x defina (f ◦ g)

y encuentre su dominio. ¡CUIDADO!