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CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR Extensión Santa Marta

Departamento de Matemáticas - Programa: Ingeniería de Sistemas Área: Formación Básica - Ciclo de formación: Técnico- Tecnólogo - Profesional

Curso: Cálculo Diferencial Guía de Aprendizaje Docente: José F. Barros Troncoso

Unidad: Función Tema: Notación Funcional y Algebra de Funciones Fecha: 17 de Agosto 2009

Propósito de la Guía

Que el estudiante comprenda como se representa una función y como aplica el

algebra en las funciones

Resolver ejercicios y problemas de notación y algebra de funciones en el contexto

de su formación profesional

Que el estudiante explicar situaciones problemas relacionadas con su campo de

formación profesional.

Competencias del Guía

Comprender la notación y el algebra de funciones.

Solucionar ejercicios y problemas en el contexto de su formación profesional

donde sea necesario aplicar los conceptos de notación y algebra de funciones.

Argumenta situaciones problemas con su campo de formación profesional.

Actividad: En la guía se presentan dos actividades, las que debe presentar en equipo de trabajo de máximos 4 estudiantes, como archivo adjunto al correo jose_barros@cun.edu.co . En asunto especificar la actividad y en el cuerpo del mensaje escribir los nombres de los miembros del equipo de trabajo. Fecha de Entrega: El trabajo debe ser enviado a más tardar el 17 de agosto a las 12:00 p.m. Por favor verifique la dirección. Evaluación: El valor es del 30% del primer corte. Notación Funcional Base Conceptual Para indicar que y es una función de x, la función se expresa con f y escribimos y=f(x). Esto se lee “y es función de x” o “y es igual a f de x”. Para valores específicos se x, f(x) representa los valores de la función (es decir la salida o valores de y), por lo tanto, si: Ejercicios

1. Si f(x)= 3x + 1 entonces

a. f(2) = 3.2 +1= 6 + 1 = 7

b. f(-3) = 3(-3) + 1 = -9 + 1 = -8

2

2. Si g(x) = 2x2 – 4x + 2 entonces

a. g(1) = 2(1)2 – 4(1) + 2 = 2(1) – 4 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0

b. g(-2) =2(-2)2 – 4(-2) + 2 = 2 (4) + 8 +2 = 2(4) +10 = 8 +10=18

c. g(a) =2(a)2- 4a + 2 = 2a2 – 4a + 2

d. g(a + b)= 2(a + b)2- 4(a + b) + 2

3. Determine f(x + h) si

a. f(x) = x entonces f(x + h) = x + h

b. f(x) = x + 1 entonces f(x + h) = (x + h) + 1

c. f(x) = x2 – x + 2 entonces f(x + h)= (x + h)2 – (x + h) + 2

d. f(x) = entonces f(x + h) =

Nótese que donde esta x se escribe x + h

4. Encuentre cuando h=0 si

a. f(x)= 2x

Remplazamos

b. f(x) = x2

Aplicando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Simplificado

Factorizando

Simplificando

Como h= 0 remplazando

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Ejercicios Propuestos

1. Si R(x) = 8x - 10 encuentre R(0), R(2), R(-3), R(1.6) 2. Si H(x) = 9x2 – 2x encuentre H(3), H(1/6) 3. Si f(x) = 100x –x3 encuentre f(-1), f(-3/2) 4. Si C(x) = x3 – 4/x encuentre C(-1/2), C(-2)

5. Encuentre cuando h=0 si

f(x) = x + 1

f(x) = 3x + 2

f(x) = 3x2

f(x) = 2x3 Sugerencia utilice (a+b)3 Problemas de Aplicación

1. El costo total de fabricar un producto se determina por medio de

C(x)= 300x + 0.1x2+1200 dólares , donde x representa el número de unidades producidas. Determine el costo de producir 10 y 100 unidades. ¿Qué encuentra?

Para determinar el costo de producir 10 unidades remplazamos x por 10 en la ecuación de costos total C(x)

C(10) = 300 (10) + 0.1 (10)2 +1200 = 3000 + 10 + 1200 = 4 210

Producir 10 unidades tiene un costo de 4210 dólares.

Para 100 unidades x=100

C(100) = 300 (100) + 0.1 (100)2 +1200 = 32 200

Producir 100 unidades cuesta 32 200 dólares

Se encuentra que es más económico producir 100 unidades que 10. Porque el producir 10 unidades producir una unidad costaría 421 dólares y si se producen 100 unidades el valor de la unidad sería 322 dólares

2. Las ganancias anuales brutas de cierta compañía fueron miles de dólares t años después de su formación en enero de 1993. ¿Cuáles fueron las ganancias brutas obtenidas en los años 1997 y 2008?

Para 1997 desde 1993 han pasado 4 años por lo tanto t=4 remplazando

f(4) = mil dólares

Para el 2008 t=15

f(15) = miles de dólares

4

Encontramos que las ganancias brutas se incrementan a medida que pasan los años

Actividad-1. Resuelva los siguientes problemas

1. Un estudio de eficiencia realizado por una compañía mostró que el número de Walkie-talkies ensamblados por un trabajador promedio a t horas de haber iniciado su jornada a las 8:00 a.m. esta dado por

N(t) = -t3 + 6t2 + 15t (0 ≤ t ≤ 4) ¿Cuántas piezas se espera que ensamble un obrero promedio entre las 8:00 y las 9:00? y ¿entre las 9:00 y 10:00? ¿Qué encuentra?

2. Datos de la reserva federal de Estados Unidos muestran que el incremento anual de capacidad de producción entre 1994 y 2000 está dado por

f(t) = 0.0094t3 – 0.4266t2 +2.7489t + 5.54 , donde f(t) es un porcentaje t y se mide en años, donde t = 0 corresponde a 1994. ¿Cuál es el incremento en la capacidad de producción en 1996, 2003 y 2004 ¿Qué encuentra?

Algebra de funciones Base Conceptual Si f y g funciones se define:

Función suma: f(x) + g(x) = (f + g)(x)

Función diferencia: f(x) - g(x) = (f - g)(x)

Función producto: f(x) * g(x) = (f * g)(x)

Función cociente: f(x) g(x) = (f g)(x)

Función compuesta: f(x) g(x) = (f g)(x) = f [g(x)]

Ejercicio: Dados f(x) y g(x) encuentre: (f + g)(x), (g - f)(x), (g * g)(x), (f g)(x), (f g)(x)

1. f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1

f(x) + g(x) = (f + g)(x)= 2x + 3x + 1 = 5x + 1

f(x) - g(x) = (f - g)(x)= 2x – ( 3x + 1) =2x – 3x – 1 = -x – 1

f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (2x)*(3x + 1) = 6x2 + 2x

f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = , si la expresión no es factorizable y/o simplificable

se deja indicada

(f g)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) = 2(3x+1) = 6x + 2

Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por 3x + 1

3. f(x) = x2 y g(x) = x - 1

f(x) + g(x) = (f + g)(x)= x2 + x - 1

f(x) - g(x) = (f - g)(x)= x2 – ( x - 1) = x2 - x + 1

f(x) * g(x) = (f * g)(x)= (x2) *(x – 1) = x3 – x2

f(x) ÷ f (x) = (f ÷ g)(x) = ,

(f g)(x) = f[g(x)] = f(x - 1) = (x - 1)2 = x2 + 2x - 1

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Nótese que donde esta x en f(x) se remplaza por x – 1

4. f(x) = x + 5 y g(x) = x – 2 5. f(x) = x2 - 2 y g(x) = 2x + 4 6. f(x) = x3 – 5 y g(x)=2x3 – 1

7. f(x) = x2 + 5 y g(x) = - 2

8. f(x) = y g(x) =

Problemas de Aplicación

1. Suponga que el ingreso R (en pesos) de una compañía por la venta de x unidades de su producto se obtiene mediante R(x) = 215x y el costo total C (en pesos) de producir esas x unidades se obtiene por C(x) = 65x + 15000 a. Si la ganancia G es el ingreso menos el costo, encuentre la función ganancia de la

producción y la venta de x unidades.

Por definición G(x) = R(x) – C(x) remplazando

G(x) = 215x – (65x + 15 000) = 215x – 65x – 15 000

La función ganancia sería

b. Encuentre la ganancia si se producen y venden 1000, 100 y 10 unidades. ¿Qué

encuentra?

Si se venden 1000 unidades G(1000) = 150(1 000) – 15 000 = 135 000

Si se venden 100 unidades G(100) = 150(100) – 15 000 = 0

Si se venden 10 unidades G(10) = 150(10) – 15 000 = - 13 500

Producir y vender: 1000 unidades deja una ganancia de $135 000; 100 unidades no deja utilidad pero tampoco pérdida; 10 unidades deja una pérdida de $13 500

2. El gasto del consumidor (Gc) por artículo es el producto de su precio en el mercado p (en dólares) y el número de unidades demandadas. Suponga que para cierto artículo, las unidades demandadas están dadas por la función U(x)= 10 000 – 10p a. Encontrar una expresión que determine el gasto del consumidor

Por dato Gc = p * U(x) = p * (10 000 – 10p)

La expresión del gasto del consumidor sería

b. Determinar el gasto del consumidor por artículo cuando el precio de mercado es 20 y 30 dólares. Para p= 20; Gc = 10 000(20) – 10(20)2 = 196 000 Para p = 30; Gc = 10 000(30) – 10(30)2 = 291 000

G(x) = 150x - 15000

Gc = 10 000p – 10p2

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A un precio de 20 dólares el gasto de consumidor es de 196 000 dólares y a 30 dólares el gasto es de 291 000 dólares, por lo tanto a menor precio menor es el gasto del consumidor

Actividad-2 Resuelva cada uno de los siguientes problemas

3. Los costos totales por la producción de cierto artículo en el instante t son f(t)

dólares. El número de productos fabricados en el instante t es g(t) ¿qué

representa f(t)/g(t)?

4. El número de acciones que tiene una persona está dado por f(t). El precio de la

acción en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la expresión f(t)*g(t)

5. Un empresario es posee y opera dos restaurantes. El ingreso del primer

restaurante en el instante t es f(t) miles de pesos y el ingreso del segundo

restaurante en el instante t es g(t) miles de pesos ¿qué representa la función f(t) +

g(t)

6. Los ingresos de una empresa están dados por f(x) dólares, donde x son los gastos

de publicidad por parte de la empresa en dólares. La cantidad invertida en

publicidad por la empresa en el instante t está dada por g(t) dólares ¿Qué

representa la función f g

7. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de

producción diaria es . Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción.

a. Escriba una expresión del costo total de fabricación respecto al del tiempo. b. Calcular el costo total de fabricación 1, 5 y 7 horas después de iniciada la

producción. ¿Qué encuentra?

8. Cuando las licuadoras eléctricas se venden a p dólares cada una, los

consumidores locales comprarán licuadoras al mes. Se estima que

dentro de t meses el precio de las licuadoras será dólares. a. Escriba una expresión de la demanda mensual de licuadoras con respecto

al tiempo. b. Calcular la demanda mensual durante 6, 12 y 18 meses. ¿Aumenta o

disminuye la demanda? Bibliografía: La indicada en el Syllabus