UNIVERSIDAD ANDRES BELLO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

GUIA EJERCICIOS

ESTIMACION POR INTERVALOS EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Para estudiar la calidad de un terreno en cierta región del Norte, se consideró una muestra de 125 ejemplares de minerales, cuyos pesos se registran en la siguiente tabla:

Peso en gramos

N° Ejemplares

0-40 57 40-80 52

80-140 16

Los minerales recolectados se clasifican según su peso en tipos A, B, y C siendo los del tipo B los que tienen un peso superior a 70 gramos e inferior a 100 gramos. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la proporción de minerales del tipo B en la región. SOLUCION:

X: Cantidad de minerales tipo B en la región

IC ( p) 0,90 = ¿? = ( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α− n

p̂p̂zp̂ 1

21

m

Y: Peso en gramos de los minerales Minerales tipo B: 70 < Y < 100

76,8%i52

57100

i125

404070 =⇒−

⋅

⋅+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

91,5%j16

109100

j125

6080100 =⇒−

⋅

⋅+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0,14776,8)/100(91,5i)/100(jp =−=−=ˆ

65,1zz 95,02

1==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−α

IC(p)0,90 = ( 0,147 ± 1,65( )125

0,14710,147 −⋅) = (0,095; 0,199)

2.- Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida con distribución aproximadamente normal y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 horas. 2.1. Encuentre un intervalo de confianza del 96% para la media poblacional de todos los focos que

produce esta empresa. 2.2. ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra, si se desea tener una confianza del 96% de que

la media muestral esté dentro de las 10 horas del promedio real? SOLUCION:

X: Horas de vida útil de los focos. X ∼ N ( μ; 22 40=σ ) n = 30; 780x =

2.1. P ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛<

σμ−

< bn

xa = 0,96 ⇒

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅−=μ

30400537,2780;

30400537,2780)(IC 96,0

Un IC del 96% para μ es (765; 795) horas

2.2. P ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ⋅

<μ−<σ⋅−

n0537,2x

n0537,2

= 0,96

3. El ajuste a una máquina cambia la longitud de las piezas que produce, pero no afecta a la desviación estándar. La longitud de las piezas está distribuida normalmente y la desviación estándar es de 0,5 mm. Después de hacer el ajuste, se toma una muestra aleatoria para determinar la longitud media de las piezas producidas. Las longitudes resultantes son las que a continuación se presentan. Con una confianza del 99% encuentre un intervalo para la longitud promedio de las piezas.

75,3 76,0 75,0 77,0 75,4 76,3 77,0 74,9 76,5 75,8

SOLUCION: X: Longitud de piezas, en mm. X∼ N(μ; 0,52) n = 10 1-α = 0,99

IC(μ)0,99 = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅−

n0,5zx;

n0,5zx 0,9950,995

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+⋅−10

0,52,57575,92;10

0,52,57575,92

IC(μ)0,99 = [75,5129; 76,3271] (mm.) 4.- En una muestra de 1000 casas en una determinada ciudad, se encuentra que 228 de ellas tienen calefacción eléctrica. Encuentre el intervalo de confianza de 99% para la proporción de hogares en esta ciudad, que tiene ese tipo de calefacción.

68n10n

400537,2≥⇒=

⋅

SOLUCION:

X: Cantidad de casas que poseen calefacción eléctrica. X∼ B(p)

228,01000228p̂ ==

( ) 99,05758,2

np̂1p̂

pp̂5758,2P =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

<−

−<−

Un IC del 99% es (0,1938; 0,2622) 5.- Las temperaturas corporales de 106 ciudadanos norteamericanos, fueron en 98.2º Farenheit con una desviación estándar de 0,62. Para un grado de confianza de 0,95 calcule: a) El margen de error b) El intervalo de confianza SOLUCION:

a)

120106

6209612

..,n

zE ==⋅=δ

α

b)

32980898

12020981202098

..

....

ExEx

<<

+<<−

+<<−

μ

μ

μ

6.- Un contador auditor desea estimar los ingresos medios durante el primer año de trabajo de un graduado universitario que, en un alarde de sabiduría, tomó un curso de estadística. ¿Cuántos de tales ingresos es necesario encontrar si queremos tener una confianza del 95% que la media de la población de muestra este a menos de $500 de la verdadera media de población? Suponga que un estudio previo reveló que, para tales ingresos, δ=$6250. SOLUCION:

sup)redondeado(..E

zn 60125600500

625096122

2≈=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅=

δα

7.- Los sondeadores de opinión enfrentan diversos factores que confunden los resultados, como los las contestadoras telefónicas. En una encuesta de 1068 personas, 673 dijeron que tenían contestadora telefónica. Utilizando estos resultados de muestra, determine: a) El estimado puntual de p. b) El estimado de intervalo del 95% de la proporción de la población de las personas que tienen

( ) 1938,0p̂n

p̂1p̂5758,2:LI =+−

⋅−

( ) 2622,0p̂n

p̂1p̂5758,2:LS =+−

⋅

contestadora telefónica SOLUCION:

a)

63001068673 .

nxp̂ ===

b)

02900

106837006300961

2.).)(.(,

nq̂p̂zE ==⋅= α

El intervalo de confianza

65906010

029006300029006300

..

....

ExEx

<<

+<<−

+<<−

μ

μ

μ

8.- Las pruebas de choque de automóviles son un ejemplo muy costoso de pruebas destructivas. Si usted estuviera a cargo de tales pruebas de choque, no querría decirle a su supervisor que necesita chocar y destruir mas de 30 automóviles para poder usar la distribución normal. Supongamos que ud. ha probado 12 automóviles deportivos Dodge Viper (precio actual US$ 59.300). Un análisis de los 12 automóviles dañados da como resultado costos de reparación cuya distribución al parecer tiene forma de campana, con una media de x =US$ 26.227 y una desviación estándar de s =US$ 15.873. Determine:

a) El mejor estimado puntual de µ, el costo de reparación medio de todos los Dodge Viper implicados en colisiones.

b) Error del estimado c) El intervalo de confianza para µ

SOLUCION:

a) El mejor estimado puntual de la media de población µ es el valor de la media de muestra x En este caso, entonces, el mejor estimado puntual de µ es a $26.227

b) datos

n = 12 (n <30) σ se desconoce grado de confianza 95% (ver tabla dos colas 0.05, 11 grados de libertad)=2.201

2908510

12873152012

2,..,tE =⋅= α

c)

3123614216

290851022726290851022726

..

,..,..

ExEx

<<

+<<−

+<<−

μ

μ

μ

5. Un estudio abarca la selección de una muestra aleatoria de 256

representantes de ventas menores de 35 años de edad. El ingreso anual es un punto de interés. La media de la muestra de $55.420, con una desviación estándar de $2.050.

a) ¿Cuál es el ingreso medio estimado de todos los gerentes ( la población)? Es decir,

¿Cuál es la estimación puntual? b) ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% de la media (redondeada a la decena de

dólares más próxima)? c) ¿Cuáles son los límites del 95 por ciento del nivel de confianza para la media de la

población? d) ¿Qué grado de confianza se utiliza?

a) La estimación puntual de la media de la población es $55.420. En otras palabras, no se conoce

la media de la población. El valor $55.420 es la mejor estimación que hay de un valor desconocido.

b) El intervalo de confianza está entre $55.170 y $55.670, que se encuentra mediante la operación:

125,671.55$y875,168.55$entrevaloresLos125.251$420.55$

256

050.2$96.1420.55$

n

s96.1x

±=

±=±

Muchas veces estos valores finales se redondean y , en este caso, se registrarían como: $55.170 y $55.670.

c) Los puntos finales del intervalo de confianza son los límites de confianza. En este caso los

anteriormente mencionados.

d) La medición de confianza que tiene una persona se refiere al grado de confianza o nivel de confianza. En este caso 0.95.

6. Luego de una larga carrera como miembro del consejo de la ciudad de Santiago, Sr. Trivelli decidió postularse para alcalde. La campaña contra su oponente, el alcalde Lavín, ha sido enconada, y ambos candidatos han gastado varios millones de dólares en anuncio por televisión. En las semanas finales, Trivelli se encuentra adelante con las encuestas publicadas por el INE. Para comprobar los resultados, el personal de la campaña de Trivelli realiza una encuesta propia durante el fin de semana previo a las elecciones. Los resultados demuestran que, para una muestra aleatoria de 500 votantes, 290 votarán por Trivelli. Desarrolle un intervalo de confianza de 95 % para la proporción de la población que votará por Trivelli.

¿Puede este llegar a la conclusión que ganará la elección?

Solución: Se comienza estimando la proporción de votantes que sufragarán por Trivelli. La muestra

incluyó 500 votantes de los cuales 290 apoyaron a Trivelli, de modo que la proporción de la muestra es de un 0.58, que se encuentra por medio de .

500290 El valor de 0.58 es una

estimación puntual de la proporción de la población desconocida P. Por lo cual utilizamos la fórmula que ahora mostramos para determinar el intervalo de confianza.

623.0y537.0entreestánvaloresLos

43.058.0500

)58.01(58.096.158.0

n)P1(P

zP

±=

−±=

−±

Los puntos finales del intervalo de confianza son 0.537 y 0.623. el punto mínimo del intervalo de confianza es mayor a 0.50. Por lo tanto se concluye que la proporción de los votantes que apoya a Trivelli es mayor que el 50%, por lo cuál con base se puede decir que ganará la elección.

7. El consejo de la Asociación Educativa, un sindicato que se compone en su mayor parte de maestros de nivel medio , propuso la fusión con la federación de Maestros. Las leyes internas de la asociación exigen que más de dos terceras partes de los miembros deben apoyar la fusión. Una muestra de 200 miembros de la asociación demostró que 140 de ellos apoyaban la fusión. Desarrolle un intervalo de confianza de 99 por ciento para la proporción de los miembros que apoyan a la fusión. ¿Parece probable la aprobación de la fusión?

Solución: Para comenzar, se calcula el estimador puntual de la proporción de miembros de la Asociación que apoyan la fusión. En la muestra

784.0y616.0entreestánvaloresLos

084.070.0200

)70.01(70.058.270.0

n)P1(P

zP

±=

−±=

−±

El intervalo de confianza indica que es razonable ( con un nivel de confianza de 99% ) que la proporción de miembros que apoyan la fusión está entre 61.6 y 78.4 por ciento. Es claro que la proporción de los dos tercios queda dentro de esta región. Por lo tanto , podría tratarse de que sólo dos tercios o quizás menos de los miembros de la Asociación apoyan la Fusión. No es posible estar seguros de si la propuesta recibiría el voto de los dos tercios de miembros requeridos.

8. Un estudiante de administración pública desea determinar la cantidad media que perciben los miembros de los consejos de ciudades. El error para estimar la media es menor de 100 dólares, con un nivel de confianza de 95 %. El estudiante encontró un informe del departamento de Trabajo que se estimó una desviación estándar de 1.000 dólares. ¿Cuál es el tamaño requerido de la muestra?

Solución: El error máximo permisible, E es de 100 dólares. El valor de z para un nivel de

confianza del 95% es de 1.96 y el estimado de la desviación estándar son 1.000 dólares. Al sustituir estos valores en la fórmula que aparece a continuación, nos arroja el tamaño de la muestra requerido.

( ) 16.3846.19100$

000.1$96.1n

Esz

n

22

2

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅=

El valor calculado se redondea hacia arriba quedando 385. Por lo cual se requiere una muestra de 385 para cumplir con las especificaciones. Si se desea un nivel mayor de confianza del 99 %, entonces también se requiere una muestra mayor:

( ) 64.6658.25

100$000.1$58.2

n

Esz

n

22

2

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅=

Por lo que en este caso tendríamos: Se recomienda una muestra de 666 para tener una confianza del 99%.

9. Un economista desea estimar los ingresos medios durante el primer año de trabajo de un graduado universitario que, en un alarde de sabiduría, tomo un curso de estadística. ¿Cuántos de tales ingresos es necesario encontrar si queremos tener una confianza del 95% en que la media de muestra esté a menos de $500 dólares de la verdadera media de la población? Suponga que un estudio previo reveló que, para tales ingresos, .250.6$=σ

Solución :

Queremos encontrar el tamaño de la muestra “n” dado que 05.0=α (95% grado de confianza ). Queremos, además que la muestra esté dentro de los márgenes de 500± de la media de la población, por lo que E = 500. Además, suponiendo que .250.6$=σ

60125.600500

625096.1E

zn

22

2 ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ σ⋅=

α

Por lo que este resultado se interpreta como que debemos de conseguir una muestra aleatoria de por lo menos 601 ingresos del primer año de trabajo de estudiantes universitarios que han tomado un curso de estadística. Con semejante muestra tendremos una confianza del 95 % de que la media de la muestra estará a menos de $500 dólares de la verdadera media de la población.

10. Dados los siguientes datos:

62.0sy20.98x;106n === Para un grado de confianza del 0.95 calcule: a) El margen de error E b) El intervalo de confianza para μ

Solución :

a) El grado de confianza de 0.95 implica que 05.0=α , así que

2z α = 1.96. Por lo cual podemos decir que el margen de error está dado por :

12.0106

62.096.1

nzE

2⋅=

σ⋅= α

b) Con 12.0Ey20.98x == , construimos el intervalo de confianza de la siguiente forma.

32.9808.9812.020.9812.020.98

ExEx

<μ<+<μ<−

+<μ<−

5.- En un proceso químico por lotes, se comparan los efectos de dos catalizadores sobre las potencia de la reacción del proceso. Se preparó una muestra de 12 lotes con el catalizador 1, obteniéndose un rendimiento promedio de 85 con una desviación estándar de 4 y se obtuvo una muestra de 10 lotes con el catalizador 2 la que dio un rendimiento medio de 81 con una desviación estándar de 5. Sabiendo que las poblaciones distribuyen normal. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia de medias poblacionales. ¿Qué puede concluir respecto de las medias a partir de este resultado asumiendo que las varianzas son iguales? SOLUCION:

IC(μx - μy )0,9 = ¿? de 2.1 2y

2x σ=σ = σ2 desconocidas

478,4s05,2020

2591611s p2p =→=

⋅+⋅=

IC(μx - μy ) 0,9 = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅−

101

121478,4725,18185 m

= ( 4 m 3,31 ) = (0,69; 7,31) ⇒ 0∉ IC, pero μx - μy > 0, por lo tanto, el rendimiento del

catalizador 1 es superior. 6.- En un estudio que conduce el Centro de Recursos Acuáticos y que analiza el Centro de Consulta Estadística del Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia, se comparan dos plantas de tratamiento de aguas residuales. La planta A se ubica donde el ingreso medio de los hogares es considerado bajo y la planta B donde el ingreso medio es considerado alto. La cantidad de agua que trata cada planta (en miles de galones por día) se muestrea de forma aleatoria durante 10 días. Los datos son los siguientes: Planta A 21 19 20 23 22 28 32 19 13 18 Planta B 20 39 24 33 30 28 30 22 33 24

Bajo los supuestos que sea necesario, construya un intervalo del 90% de confianza para la diferencia de proporciones de días en que se tratan más de 30 galones entre las plantas A y B. Interprete.

SOLUCION: IC ( pA – pB )0,9 =? Xi : Cantidad de días en que se tratan más de 30 galones en planta i, i = A, B. Xi ∼ B ( pi ) Supuesto: n es suficientemente grande.

nA = nB = 10 → 3,0p̂;1,0p̂ BA ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅−=−

107,03,0

109,01,0645,13,01,0)pp(IC 9,0BA m

= (-0,2 m 0,2849) =(-0,485; 0,085) Con 90% de confianza se puede afirmar que el intervalo (-0,485; 0,085) contiene a la diferencia de proporciones de días en que se tratan más de galones. Como el 0∈ IC, se puede afirmar que pA = pB.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Se desea estimar la facturación mensual promedio por luz eléctrica en el mes de Julio en las casas-

habitación de cierto sector de la ciudad. Con base en estudios efectuados en otros sectores de la ciudad, se supone que la desviación estándar es de $12.000. La estimación de la facturación promedio se desea con una desviación máxima de $1.000 del promedio real y con una confianza del 99%. ¿Qué tamaño de muestra es necesario?

2. Un vendedor mayorista considera que la venta diaria de azúcar en uno de sus locales de venta es

una variable aleatoria que sigue un comportamiento Normal con un promedio de 1.200 Kilos y una varianza de 100 (Kilos)². Se tomó una muestra al azar de 10 días registrando su venta y se obtuvo:

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Venta 1150 1240 1300 1210 1190 1200 1180 1270 1180 1120 a) Obtenga un intervalo confidencial del 95% para la venta promedio diaria. Interprete.

b) Construir un intervalo de confianza del 99% para la proporción de días en que las ventas sean inferior al promedio poblacional. Interprete.

3. Una tienda comercial tiene dos planes de cuentas de cargo disponible para sus clientes con cuenta

corriente de crédito. La administración de la tienda desea recopilar información de cada plan y estudiar sus diferencias. Se seleccionó una muestra aleatoria de cada plan, obteniendo los siguientes resultados:

Plan A Plan B n 25 50 Media $95.000 $110.000 Desviación típica $15.000 $ 14.140 Saldos > a $100.000 15 26

a) El Gerente de créditos cree que la variabilidad de los saldos en el plan A es distinta a las del plan B. ¿Qué podría decir Ud. al respecto con un 95% de confianza?

b) Además, el gerente de créditos cree que los saldos en ambos planes son en promedio iguales. Construya un intervalo del 95% y concluya respecto de esta afirmación.

c) Suponga que el gerente está interesado en mejorar su información sobre el plan B ¿Qué tamaño de muestra debería escogerse si se desea estimar el valor medio con un error menor a $2.000 y una confianza del 99%?

d) Construya un intervalo del 90% para la diferencia de saldos superiores a $100.000 entre las cuentas del plan A y las del plan B. Interprete y concluya.

4. Una encuesta bancaria acerca de pagos ilícitos mediante tarjetas de crédito, señaló que el porcentaje de delitos en un mes dado, para 414 propietarios de pequeños negocios, fue de 5,8% contra solamente 3,6% para 1029 profesionales. Suponga que se pueden considerar los datos para estos dos tipos de tarjetahabientes como muestras aleatorias independientes de las cuentas mensuales, sobre un largo período, por ejemplo uno o dos años. Obtenga un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre las proporciones de delitos para estos dos tipos de usuarios de tarjetas de crédito. Interprete el resultado.

5. Se registró el tiempo transcurrido entre la facturación y la recepción del pago, para una muestra

aleatoria de 100 clientes de una empresa de contadores públicos. La media muestral y la desviación estándar para las 100 cuentas, eran 39,1 días y 17,3 días, respectivamente.

Obtenga un intervalo de confianza de 90% para el tiempo medio entre la facturación y la recepción del pago para todas las cuentas de la empresa. Interprete el intervalo.

6. Los estudiantes pueden seleccionar entre un curso de estadística de tres semestres-hora sin laboratorio y un curso de 4 semestres-hora con laboratorio. El examen escrito final es el mismo para ambas secciones. Si doce estudiantes de la sección con laboratorio obtuvieron una calificación promedio de 84 puntos con una desviación estándar de 4 y los 18 estudiantes de la sección sin laboratorio obtuvieron un promedio de 77 puntos con una desviación típica de 6. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las calificaciones promedio de los dos cursos, verificando si las varianzas son o no iguales y efectuando los supuestos que sean necesarios.

7. Para comparar las proporciones de artículos defectuosos producidos por dos líneas de

producción, se seleccionan muestras aleatorias independientes de 100 artículos de cada línea. La línea A produjo 18 defectuosos en la muestra y la línea B produjo 12 defectuosos. a) Obtenga un intervalo de 98% de confianza para la diferencia real entre las

proporciones de defectuosos para las dos líneas. ¿Existe evidencia suficiente para sugerir que una línea produce una proporción más alta de defectuosos que la otra?

b) Obtener los tamaños de muestra para estimar la diferencia de proporciones de artículos defectuosos con un 95% de confianza, con un error de a lo más un 0,5% en la estimación y sabiendo que la línea A produce un 20% más de artículos que la línea B, por tanto, nA=1,2 nB.

8. Una operación de montaje en una fábrica manufacturera requiere aproximadamente un período de entrenamiento de un mes para que un nuevo empleado alcance la máxima eficiencia. Se sugirió un nuevo método para el entrenamiento y se realizó una prueba para comparar el método nuevo con el procedimiento estándar. Se entrenaron dos grupos de nueve empleados nuevos durante un período de tres semanas, un grupo utilizó el nuevo método y el otro grupo el procedimiento de entrenamiento estándar. Se midió el tiempo, en minutos, que necesitó cada empleado para montar el dispositivo al final del período de entrenamiento de tres semanas. Las mediciones fueron las siguientes:

Procedimiento Mediciones Estándar 32 37 35 28 41 44 35 31 34 Nuevo 35 31 29 25 34 40 27 32 31 Estime la diferencia real de medias con un coeficiente de confianza de 0,95. Suponga que los

tiempos de montaje tienen aproximadamente una distribución normal. Interprete y concluya. 9. Una tienda de regalos está interesada en las compras realizadas por los clientes con tarjeta de

crédito. El dueño quiere una estimación del monto promedio de las compras con tarjeta de crédito

cuya diferencia con la media poblacional real sea de $1.000. Para un nivel de confianza del 90% y si la desviación estándar se estima en $4.750. a) ¿De qué tamaño debe ser la muestra? c) Si el dueño de la tienda obtiene una muestra de 100 clientes con tarjeta de crédito ¿Cuál es

el error tolerable máximo? 10. Un científico de la computación está investigando la utilidad de dos lenguajes de diseño para

mejorar las tareas de programación. Se pide a doce programadores expertos, familiarizados con los dos lenguajes, que codifiquen una función estándar en ambos lenguajes, anotando el tiempo, en minutos, que requieren para hacer esta tarea. Los datos obtenidos son los siguientes:

Programador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Lenguaje 1 17 16 21 14 18 24 16 14 21 23 13 18 Lenguaje 2 18 14 19 11 23 21 10 13 19 24 15 20

Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en los tiempos de codificación promedio. ¿Existe algo que indique una preferencia por alguno de los lenguajes?