Guia Sucesiones y Series

MAT100-Matemática I

GUÍA DE APRENDIZAJE

“SUCESIONES Y SERIES”

(Apuntes y ejercicios)

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Presentación

Las Guías de Aprendizaje para estudiantes de Administración Pública de la Universidad de Chile, han sido elaboradas para apoyar el proceso enseñanza - aprendizaje de las cátedras de Matemática, que forma parte de los contenidos de formación general de la malla curricular de la carrera.

En el caso de Matemática I se han escogidos los cinco ejes temáticos siguientes:

Elementos de Lógica Proposicional, Introducción a la Teoría de Conjuntos, Funciones, Sucesiones y Series e Introducción a las Matrices.

En cada Guía de Aprendizaje, se presenta un resumen de los conceptos fundamentales, las propiedades centrales de cada eje temático, un conjunto de ejercicios resueltos y propuestos para poner en práctica los conocimientos adquiridos durante la clase lectiva, además se entrega una bibliografía para complementar y profundizar el aprendizaje.

MATEMÁTICA I: SUCESIONES Y SERIES Página 1 de 25

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CAPÍTULO 3: SUCESIONES Y SERIES

Concepto de sucesión. Término general de una sucesión. Sucesión recursiva. Sucesión y serie aritmética. Sucesión y serie geométrica. Sumatorias y sus propiedades.

Objetivos generales

Identificar términos de una sucesión. Identificar el término general de una sucesión. Determinar el término n-ésimo de una sucesión aritmética. Calcular la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.Determinar el término n-ésimo de una sucesión geométrica. Calcular la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica.

Resolver problemas que involucren progresiones y series aritméticas.Resolver problemas que involucren progresiones y series geométricas.Aplicar propiedades de sumatorias en el cálculo de éstas.


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1. Sucesiones y series

1.1 Sucesiones

Si a cada número natural se le hace corresponder un número real a1, a2, a3, …, el conjunto A ={ a1, a2, a3, …} se denomina sucesión.

Los valores a1, a2, a3, … se denominan términos de la sucesión.

La sucesión puede denotarse por an, el cuál corresponde al término n-ésimo o término general de la sucesión.

Ejemplos:

La sucesión (2n - 1) tiene como término general a an=2n + 1. Sus tres primeros términos son a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5.

Para la sucesión su término general es

1.1.1 Sucesiones recursivas

Una sucesión es recursiva si se define considerando el primer término de la sucesión (a1) y una expresión para an+1 a partir de an.

Ejemplo:

Dada la sucesión donde a1 = 1 y an+1 = an2 + 3 , los

primeros tres términos de la sucesión son a1 = 1, a2 = 12 + 3 = 4, a3 = 42 + 3 = 19.


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1.2 Series

Como una idea intuitiva del tema, entenderemos una serie como la suma de los términos de una sucesión.

Así dada la sucesión a1, a2, a3, …

Una serie puede escribirse como a1 + a2 + a3 + … o si ak es el

término general también puede expresarse como .

Una serie puede ser finita o infinita según se considere un número finito o infinito de términos de la sucesión.

1.3 Progresión (sucesión) y serie aritmética

1.3.1 Progresión aritmética

Una progresión es aritmética si entre cada par de términos consecutivos de ella hay una diferencia constante (d). Así, an = an-1 + d para n > 1.

Como cada término, después del primero, se obtiene sumando d al

término anterior,

el segundo término es a2 = a1 + d ,

el tercer término es a3 = a2 + d = a1 + 2d,

el cuarto término es a4 = a3 + d = a1 + 3d

y el n-ésimo término es an = a1 + (n-1)d

El n-ésimo término de una progresión aritmética está dado por


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an = a1 + (n-1) d para n > 1, donde a1 es el primer término de la sucesión y d es la diferencia común entre los términos de la sucesión

Ejemplo:

Para encontrar el octavo término de una progresión aritmética donde el primer término es 5 y la diferencia común es -3.Se tiene que a8 = a1 + (8 – 1)∙-3 = 5 + 7· -3 = -16.

1.3.2 Serie aritmética

La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética con primer término a1 y diferencia común d puede escribirse como:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an donde,

Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + (a1 + 3d) + … + (a1 + (n-1)d)

Si escribimos esta suma en orden inverso se tiene:

Sn = an + (an - d) + (an - 2d) + (an - 3d) + … + (an + (n-1)d)

Sumando estás dos igualdades se tiene:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an)

2Sn = n(a1 + an)


n veces

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La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética está dado por

, donde a1 es el primer término de la

sucesión y d es la diferencia común entre los términos de la sucesión

1.3.3 Aplicaciones

a) Una persona gana $270.000 y recibe un aumento de $18.000 cada año. ¿En cuántos años se duplicará su sueldo?

Solución:

1er año: a1 = $270.000

2º año: a2 = 270.000 + 18.000 = $288.000

3er año: a3 = 270.000 + 2·18.000 = $306.000

….etc

Año n: an = a1 + (n – 1) · d = 2· a1

270.000 + (n – 1) · 18.000 = 2 · 270.000

(n – 1) · 18.000 = 270.000

n · 18.000 – 18.000 = 270.000

n · 18.000 = 270.000 + 18.000

n = = 16

En 16 años se duplicará su sueldo.


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b) Una persona ahorra en el banco $100.000 por 6 años con una tasa de interés anual simple de 16%. ¿Cuánto dinero tendrá al finalizar dicho periodo?

Solución:

El dinero que tendrá va a estar dado por P + I donde P es dinero invertido e I es el interés ganado.

Al finalizar el 1er año tendrá: 100.000 + 100.000 · 0,16 = $116.000

Al finalizar el 2o año tendrá: 100.000 + 2 · 100.000 · 0,16 = $132.000

Al finalizar el 3er año tendrá: 100.000 + 3 · 100.000 · 0,16 = $148.000

…

Al finalizar el 6o año tendrá: 100.000 + 6 · 100.000 · 0,16 = $196.000


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1.4 Progresión (sucesión) y serie geométrica

1.4.1 Progresión geométrica

Una progresión es geométrica si entre cada par de términos consecutivos de ella hay una razón constante (r). Así, an = r∙an-1 para n > 1.

Como cada término, después del primero, se obtiene multiplicando el

término anterior por r,

el segundo término es a2 = a1 · r,

el tercer término es a3 = a2 · r = a1 · r2,

el cuarto término es a4 = a3 · r = a1 · r3

y el n-ésimo término es an = a1 · rn-1

El n-ésimo término de una progresión aritmética está dado por

an = a1 · rn-1para n > 1, donde a1 es el primer término de la sucesión y r

es la razón común entre los términos de la sucesión

Ejemplo:

Para encontrar el séptimo término de una progresión geométrica donde el primer término es 4 y la razón común es -2.Se tiene que a7 = a1 · (r)7-1= 4· (-2)6 = 4 · 64 = 256.


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1.4.2 Serie geométrica

La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica con primer término a1 y razón común r puede escribirse como:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an donde,

Sn = a1 + (a1 · r) + (a1 · r2) + (a1 · r3) + … + (a1 · rn-1)

Al multiplicar por r se tiene:

r·Sn = (a1 · r) + (a1 · r2) + (a1 · r3) + (a1 · r4) … + (a1 · rn)

Restando estás dos igualdades se tiene:

Sn - r · Sn = a1 + (a1·r - a1·r) + (a1·r2 - a1·r2) + (a1·r3 - a1·r3) + … - a1·rn

Sn - r · Sn = a1 - a1·rn

Sn (1 – r) = a1 - a1·rn

si r ≠ 1

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica está dado por

o su expresión equivalente ,

donde a1 es el primer término de la sucesión y r es la razón común

entre los términos de la sucesión

1.4.3 Aplicaciones


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a) La unidad de fomento, corresponde a un valor reajustable diariamente, a interés compuesto y cuyo factor de reajustabilidad, es la variación mensual del IPC transformado en tasa diaria. Se calcula desde el día 10 de un mes hasta el día 9 del mes siguiente, en base al IPC del mes anterior. Se aproxima a dos decimales y se trunca.

Planteado como fórmula, esto sería:

(Valor UF día p, mes k) = (Valor UF día 9, mes k)

Donde n es el número de días del mes k y m es la cantidad de días transcurridos desde el 9 del mes k. (se supone p mayor o igual que 10 y menor que 31, para el resto de los días sólo se sigue la PG)

Ejemplo:


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La variación del IPC de abril 2011 fue un 0,3% y el valor de la unidad de fomento del 9 de Mayo es $21.763,52. Determine el valor de la unidad de fomento del día 28 de mayo.

Solución: como mayo tiene 31 días, el listado de valores de la unidad de fomento es una progresión geométrica con primer término

21.763,52 y con razón r =

Por lo tanto como desde el día 9 hasta el día 28 han transcurrido 19 días, el valor de la Unidad de fomento del día 28 de mayo será ;

UF 28/5 = 21.763,52 = 21.803,51359 con lo cual el INE

publica para ese día el valor $ 21.803,52 .

b) Una persona deposita $ 45.000 a fin da cada mes, durante todos los meses de un año, a una tasa de interés compuesta mensual de 1,5%. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta el último día de diciembre?


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Solución:

el depósito hecho fin de diciembre estará sin intereses aún, esto es $45.000

el depósito hecho a fin de noviembre tendrá un mes de interés:

el depósito hecho a fin de octubre tendrá dos meses de interés:

el depósito hecho a fin de septiembre tendrá tres meses de interés:

…………………………….etc.

el 1er depósito, hecho a fin de enero, tendrá 11 meses de interés,

El total en su cuenta, será la suma de los primeros doce términos de una PG con primer término α1 = 45.000 con razón r = 1,015, es decir


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2. Sumatorias

Se llama sumatoria de una sucesión an a la forma abreviada de escribir sus términos expresados como sumandos:

a1 + a2 + a3 + … +an =

La variable k (para este caso) se llama índice sumatorio.

Ejemplos:

1 + 2 + 3 + 4 + … + n =

12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 =

= -1 + 1 + -1 + 1 + -1 = -1


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2.1 Propiedades de las sumatorias

Sumatoria de una constante:

Sumatoria del producto de una constante por los términos de una sucesión:

Sumatoria de la suma o resta de términos de dos o más sucesiones:

Propiedad telescópica:

Ejemplos:


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2.2 Sumatoria de una sucesión

Sumatoria de los n primeros números naturales:

Sumatoria de los cuadrados de los n primeros números naturales:

Sumatoria de los cubos de los n primeros números naturales:


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Ejercicios Propuestos

1. Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada

a) b) = c) d) cn = 1- (-1)n

2. Sea la sucesión definida por: . Calcule:

a) La suma de los 5 primeros términos de la sucesión.

b) La suma de los 10 primeros términos de la sucesión.

3. Sea la sucesión definida recursivamente por:

; , si

a) Escriba los 5 primeros términos de la sucesión.

b) Calcule el término de lugar 101 de la sucesión. 4. Determine los ocho primeros términos de las sucesiones definida

recursivamente por:

- , para n > 1.


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b)

5. Sea la sucesión definida por: . Calcule:

a) El término de lugar 5 de la sucesión.

b) El término de lugar 10 de la sucesión.

c) La suma de los 3 primeros términos de la sucesión.

6. Si el cuarto término de una Progresión Aritmética es 5 y el noveno es 20.

Determine:

a) El sexto término.

b) La suma de los 100 primeros términos.

7. ¿Cuántos términos consecutivos de la Progresión Aritmética: 5, 7 , 9 , ……hay que sumar para obtener 572?

8. Una compañía manufacturera instala una máquina a un costo de US$ 1500. Al cabo de 9 años la máquina tiene un valor de US$ 420. Suponiendo que la depreciación anual representa una P.A, calcule la depreciación anual.


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9. Una compañía va a distribuir $4.600.000 en bonos a sus diez mejores vendedores. El último premiado de la lista recibirá $100.000 y la diferencia en dinero entre los vendedores sucesivamente clasificados debe ser constante. Determine el bono para cada vendedor.

10. Un préstamo de US $ 12.000 se paga en 12 cuotas mensuales iguales, durante la primera semana del mes siguiente. La tasa de interés es de 2% mensual sobre saldos insolutos (los saldos insolutos es la cantidad que queda al final de un mes antes de pagar los $1000 correspondiente a ese mes).a) Calcule el pago mensual de interés en cada uno de los primeros 3 meses.b) deduzca el término general de las progresiones que expresan el saldo mensual y el interés mensual.c) Calcule el interés total pagado.

11. A un empleado le ofrecen un trabajo con salario de $3.000.000 anuales, y le prometen aumentos anuales de $ 230.000. Calcule sus ingresos totales a los 10 años de trabajar en ese empleo.

12. Calcula t res números en progresión ar i tmét ica, que suman 27 y s iendo la suma de sus cuadrados es 511/2.

13. Si y son los primeros términos de una P.G, encuentre

14. El tercer término de una progresión geométrica es 5 y el sexto término es 40. Determine:

a) El octavo término.

b) La suma de los 20 primeros términos.


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15. La razón de una progresión geométrica es y el quinto término es .

Calcule los tres primeros términos de la progresión.

16. Considere la progresión geométrica: 10 , 50 , 250 , …..¿Es 31.250 un término de esta progresión? . En caso afirmativo, ¿qué término es?

17. Un hombre desea ahorrar guardando 100 pesos el primer día, doscientos el segundo, cuatrocientos el tercero y así sucesivamente.

a) Si continúa duplicando la cantidad guardada todos los días, ¿cuánto debe guardar el decimoquinto día?

b) Suponga que no se le acaba el dinero, ¿cuál es la cantidad total ahorrada al término de 30 días?

18. El primer día de funcionamiento, una bomba de extracción de agua saca la mitad del líquido de un depósito. Si el depósito tiene inicialmente 10.000 litros y en los días siguientes la bomba extrae siempre la mitad del líquido que quedó el día anterior. Determine la cantidad de líquido que ha sido extraído el quinto día, el octavo día, el vigésimo día y el n-ésimo día.

19. Una determinada bacteria se reproduce por bipartición cada 10 minutos, es decir, cada bacteria se divide en dos cada 10 minutos. ¿Cuántas bacterias hay después de transcurridas 8 horas? ¿Y después de n horas?

20. Escribir usando el símbolo de sumatoria y calcule su valor:

a) 1+3+5+7+...+23.b) 1+4+7+10+...+ 43c) 1+2+3+4+.... (100 términos)d) 1+4+9+…+121.e) 2+4+8+.............+4096.


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f) +.... (hasta “50” términos)

g) 1 + (-1)+ 1+(-1) +... (45 térm.)h) 1 + (-1)+ 1+(-1) +... (50 térm.)

21. Calcule las siguientes sumatorias

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

22 Encuentre, el valor de:

23. Encuentre el valor de:

24. Pruebe que:

25. Calcule:


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26. Si Entonces, calcule:

27. ¿Para qué valor de p se cumple la siguiente ecuación?

28. Considere la siguiente tabla de datos:

1 12,02 5,03 4,64 7,15 9,06 11,07 5,58 1,09 3,4

10 6,0Calcule:

a) b)

29. Si ; ; . Determine


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Respuestas

2. a) 5/6 b)10/11

3. a) b)

4. 12, -4, 4, 0, 2, 1, 3/2, 5/4,…

5. a) 119 b) 3.628.801 c) 8

6. a) 11 b) 14450

7. 22 términos

8. US$ 120

9. La diferencia entre dos vendedores sucesivamente clasificados es:

y el primer clasificado recibe $820.000.

10. a) $240, $220, $200

b) 260 – 20k

c) $1560

14. a) b)

15.


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16. 31.250 es el sexto término

17. a) $1.638.400 b) $107.374.182.300

18. Quinto día 312,5 litros, Octavo día 39,0625 litros, Vigésimo día,

0,009536743 litros, el n-ésimo día

19. ,

20. e) 8.190 f) 50/159 g) 1 h) 0

21. a) 42925 b) 5050 c) 3.312.800

d) 1.147.600 e) – 6.695.670 f)

g) h) 524.051 i)

22. 80/81


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27 p = 16

28. a) 64,6 b) 521,38

29 2

Bibliografía


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