HacerMatemática

AutorasIrma Saiz - Cecilia Parra

Jefe de editoresMarcelo Andiñach

Jefe de Arte y DiseñoLucas Frontera Schällibaum

Gerenta editorialJudith Rasnosky

GUÍA DOCENTE

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II

Hacer Matemática 5 - Guía docente - es un proyecto ideado y realizado por el Departamento Editorial de Editorial Estrada S. A.

Coordinación de diseño: Valeria Bisutti.

Diseño de interior y maqueta: Estudio Golum (Silvia Prado y Verónica Trombetta).

Corrección: Virginia Avendaño.

Coordinación de marcas y derechos: Amorina Scalercio.

Gerencia de Preprensa y Producción Editorial: Carlos Rodríguez.

Saiz, Irma Hacer matemática 5 nueva edición : ejemplar para el docente / Irma Saiz y Cecilia Parra. - 1a ed. - Boulogne : Estrada, 2013. 216 p. : il. ; 28x22 cm.

ISBN 978-950-01-1620-6

1. Matemática. 2. Enseñanza Primaria. 3. Guía Docente. I. Parra, Cecilia II. Título CDD 371.1

© Editorial Estrada S. A., 2013.Editorial Estrada S. A. forma parte del Grupo Macmillan.Av. Blanco Encalada 104, Boulogne, provincia de Buenos Aires, Argentina.Internet: www.editorialestrada.com.arObra registrada en la Dirección Nacional de Derechos de Autor.Hecho el depósito que marca la Ley 11.723.Impreso en Argentina.Printed in Argentina.ISBN 978-950-01-1620-6

La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo (INADI) con los editores de texto.

No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo y escrito del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.

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III

Planificación ................................................................................................................................... IV

El libro de texto y los escenarios de enseñanza ..................................................................... VIII Enseñar a aprender matemática en la escuela primaria ............................. VIII ¿Cuáles son estas interacciones? ........................................................................... IX La evolución de los conocimientos ........................................................................ X El proyecto de conjunto ............................................................................................ XI

Cómo pensamos Hacer Matemática 5 ......................................................................................... XI

Período 1 .......................................................................................................................................... XIX Apertura ........................................................................................................................ XIX NUMERACIÓN ............................................................................................................. XIX NÚMEROS Y OPERACIONES .................................................................................... XX GEOMETRÍA ................................................................................................................. XXII MEDIDA ....................................................................................................................... XXII

Período 2 ....................................................................................................................................... XXIII Apertura .................................................................................................................... XXIII NUMERACIÓN .......................................................................................................... XXIII GEOMETRÍA ............................................................................................................... XXV MEDIDA .......................................................................................................................XXVI TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN .............................................................. XXVI

Período 3 ....................................................................................................................................... XXVI Apertura ......................................................................................................................XXVI NÚMEROS Y OPERACIONES ...............................................................................XXVII GEOMETRÍA .............................................................................................................XXVIII MEDIDA ...................................................................................................................... XXIX TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN .............................................................. XXIX

Período 4 ........................................................................................................................................ XXIX Apertura ..................................................................................................................... XXIX NÚMEROS Y OPERACIONES ................................................................................ XXIX GEOMETRÍA ................................................................................................................ XXX MEDIDA ...................................................................................................................... XXXI TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN ............................................................. XXXII

ÍNDICE

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IV

PERÍODO 1

EJE CONTENIDO OBJETIVO FICHA

NUMERACIÓN

Lectura y escritura

de números.

Descomposición

canónica

Descubrir la regularidad de la escritura de los números y de sus nombres.

Desarrollar el cálculo mental al sumar potencias de 10, analizando los cambios en las

cifras según su posición.

Trabajar con las regularidades de la serie numérica en un cuadro de números.

Interpretar informaciones relativas a medidas y envases.

Relacionar niveles de agrupamiento de a 10.

Utilizar la información contenida en la escritura decimal.

Identificar la descomposición canónica de los números.

1

NÚMEROS Y

OPERACIONESFracciones. Las

partes y la unidad

Establecer relaciones entre datos para calcular distintas cantidades.

Partir una unidad en partes iguales por medio del plegado. Reconstruir la unidad a

partir de una o varias partes.

Establecer relaciones entre enteros y fracciones para comparar fracciones y anticipar

el cociente entre enteros.

2

Multiplicación

y división.

Resolución de

problemas

Organizar la resolución de un problema de varios pasos identificando la nueva

información que se obtiene.

Revisar distintos procedimientos para resolver mentalmente una división.

Identificar problemas de multiplicación y de división.

Elaborar la respuesta de un problema a partir del análisis del resto.

5

GEOMETRÍA

Reproducción de

figuras. Simetría

Relacionar elementos de una figura con elementos de otra para facilitar su

construcción.

Analizar las figuras que componen un dibujo a fin de elaborar un plan de

construcción.

Identificar las principales líneas auxiliares útiles para realizar la reproducción y los ejes

de simetría.

3

MEDIDA

Unidades de

longitud

Utilizar medidas antropométricas para determinar longitudes e interpretar el

problema de elección de una unidad de medida.

Establecer relaciones con unidades de medida conocidas.

Establecer relaciones entre medidas expresadas en distintas unidades de longitud y la

expresión decimal a partir de una única unidad de medida.

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PLANIFICACIÓN

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V

PERÍODO 2

EJE CONTENIDO OBJETIVO FICHA

NÚMEROS Y

OPERACIONES

Proporcionalidad

Determinar nuevos valores en tablas de proporcionalidad directa usando propiedades

aditivas, multiplicativas y encontrando el valor unitario.

Establecer relaciones entre conjuntos involucrados en problemas diversos y discriminar

entre las relaciones proporcionales y las no proporcionales.

Identificar la constante de proporcionalidad como el número por el que hay que

multiplicar los datos para obtener los valores correspondientes.

8

Multiplicación.

Cálculo mental y

múltiplos

Determinar reglas de cálculo mental utilizando las propiedades de la multiplicación.

Estimar la cantidad de cifras de resultados de operaciones utilizando recursos de

cálculo aproximado.

Identificar múltiplos de un número. Elaborar procedimientos y formular reglas para

determinar si un número es múltiplo de otro.

10

GEOMETRÍA

Círculos y

circunferencias.

Construcciones

Relacionar elementos de una figura con elementos de otra para facilitar su construcción.

Analizar las figuras que componen un dibujo con el objetivo de elaborar un plan de

construcción.

Construir figuras a partir de un plan de construcción. Utilizar el compás para trasladar

segmentos y para determinar los puntos equidistantes a uno dado.

Determinar que los puntos que equidistan de otro punto dado forman una

circunferencia. Desarrollar procedimientos para trazar una circunferencia en espacios

amplios.

Elaborar un procedimiento para construir triángulos con regla y compás conociendo

dos o tres de sus lados.

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MEDIDA

Unidades

de tiempo.

Representación en

una recta

Establecer relaciones entre unidades de medidas de tiempo e interpretar formas de

representación para obtener nuevas informaciones.

Conocer y desarrollar procedimientos para representar números naturales en la recta

numérica.

Desarrollar procedimientos de representación aproximada de fracciones en la recta

numérica.

6

Perímetro. Área

Estimar y comparar longitudes. Producir nuevas informaciones a partir de las dadas.

Calcular perímetros variando la unidad (metro, medio metro, centímetro) con y sin

medición efectiva.

Desarrollar recursos para comparar áreas de figuras de distintas formas.

Analizar las condiciones dadas sobre los lados de rectángulos para dibujarlos, plegarlos,

obtener nuevos o calcular su perímetro.

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VI

PERÍODO 3

EJE CONTENIDO OBJETIVO FICHA

NUMERACIÓN

Números grandes.

Sistemas antiguos

Interpretar la información contenida en la escritura decimal.

Determinar los valores de los símbolos y el funcionamiento del sistema de numeración

egipcio.

Relacionar los sistemas de numeración egipcio y decimal.

Establecer los valores de los símbolos y el funcionamiento del sistema romano de

numeración.

11

NÚMEROS Y

OPERACIONES Fracciones.

Comparación y

representación en

la recta

Determinar la fracción que corresponde en situaciones donde es necesario agrupar partes

o realizar nuevas subdivisiones. Comparar repartos.

Comprender las convenciones que rigen la representación de fracciones en la recta

numérica. Encuadrar fracciones entre enteros.

Utilizar diferentes procedimientos para comparar razones y fracciones.

13

Suma y resta

de números

decimales

Desarrollar recursos de cálculo mental para realizar sumas y comparaciones.

Establecer relaciones entre las distintas denominaciones de monedas y las

equivalencias entre sus valores.

Desarrollar procedimientos mentales de productos de un número decimal por 10.

15

Procedimientos

para dividir

Desarrollar procedimientos para determinar el número de cifras del cociente de una

división y el cociente mismo.

Establecer las relaciones D = d x c + r y r < d y utilizarlas para resolver problemas.

Analizar si los datos del problema permiten obtener la información buscada. Organizar

sistemáticamente la información para analizar posibilidades.

16

GEOMETRÍA

Construcción de

triángulos

Descubrir y formular la desigualdad triangular como condición de existencia de un

triángulo.

Caracterizar y clasificar triángulos atendiendo a sus lados y ángulos.

Comparar, reproducir y construir ángulos.

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MEDIDA Peso y capacidad.

Distintas unidades

de medida

Establecer relaciones entre diversas unidades de medida de peso y expresiones

fraccionarias y decimales.

Trabajar nuevas unidades de medida de peso: miligramo y tonelada.

Conocer las unidades de medida de capacidad.

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VII

PERÍODO 4

EJE CONTENIDO OBJETIVO FICHA

NÚMEROS Y OPERACIONES

Divisores. Múltiplos Determinar si un número es divisor de otro. Encontrar los divisores de un número. 17

Suma y resta de fracciones. Fracciones decimales

Establecer relaciones entre escrituras fraccionarias y decimales de un mismo número en el contexto del dinero.

Realizar cálculos mentales de suma y resta de fracciones.

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Análisis de posibilidades

Identificar resultados posibles y favorables de un evento.

Analizar las distintas descomposiciones de un número como suma de productos. 21

Encuestas. Gráficos Interpretar y relacionar informaciones sobre grandes cantidades presentadas en tablas y gráficos.

22

GEOMETRÍARepresentación y volumen de cuerpos

Interpretar y realizar representaciones planas de cuerpos en perspectiva.

Realizar desarrollos planos.

Interpretar representaciones planas de cuerpos armados con cubitos. Trabajar con la idea de volumen.

20

MEDIDA

Longitud, perímetro y área

Interpretar las relaciones entre múltiplos y submúltiplos del metro. Relacionar escrituras fraccionarias y decimales.

Desarrollar estrategias para medir el área de un lugar utilizando el metro cuadrado como unidad.

Utilizar distintos procedimientos para comparar áreas y perímetros de las piezas del tangram sin recurrir a la medición de sus lados.

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VIII

Un libro de texto puede ser utilizado en escenarios de enseñanza muy diferentes entre sí, pero sería vano pensar que un libro determina la situación de clase. El maestro tiene un rol relevante a jugar, y el libro del alumno y el libro del docente están ahí para ayudarlo a elegir escenarios eficaces para el aprendizaje. Escenarios que conjuguen sus deseos e intenciones en diálogo con unas condiciones dadas.

No existe la “mejor” manera de enseñar, con independencia de las percepciones y deseos de quienes asumen tan importante responsabilidad social o independiente de unas condiciones dadas.

No existe la enseñanza por fuera del proyecto intencional de los docentes. Existen aprendizajes, sí. Pero el proyecto de que todos puedan aprender matemática, sean cua-les sean sus condiciones de vida, requiere respuestas sociales, institucionales, organiza-das en tiempos largos y según una visión de conjunto. Hasta el presente, en nuestras sociedades, esas respuestas las puede ofrecer la escuela, acompañada por todos los que nos consideramos concernidos por ella.

Enseñar a aprender matemática en la escuela primariaEn la escuela, los alumnos tienen que aprender a realizar actividad matemática, de-

ben tener oportunidades distintas de las que ofrece la vida cotidiana de apropiarse de los modos de pensar, de las prácticas específicas de la cultura matemática. En ese marco tienen que adquirir conocimientos específicos.

Los alumnos aprenden matemáticas a partir de lo que tienen oportunidad de hacer, en relación con el conocimiento. Aprenden matemáticas trabajando frente a las situa-ciones que el maestro ha seleccionado y les plantea. Aprenden actuando. Aprenden pensando sobre lo que hacen y sobre lo que imaginan.

Nos basamos en el convencimiento de que aun los más pequeños aprenden resol-viendo problemas, discutiendo, produciendo soluciones, revisándolas, encontrando nuevas formulaciones, reutilizando sus conocimientos ante otras situaciones, haciendo preguntas, detectando errores, empezando otra vez. Es decir, aprenden a través de las acciones que emprenden como respuesta a las preguntas, a las consignas, a los desafíos de los que han podido apropiarse. Aprenden a raíz de volver sobre la producción propia y la de otros. Aprenden cuando expresan sus ideas y también cuando comienzan a dar sentido a signos y palabras largamente utilizados en la cultura. Aprenden cuando su propia producción es reconocida y vinculada con los conocimientos disponibles en la sociedad.

Estas prácticas, estas experiencias, son posibles en el marco del proyecto de ense-ñanza del maestro, en el marco del proyecto formativo de la escuela.

Son los maestros quienes proponen una serie de situaciones, organizan el trabajo y la comunicación en la clase, plantean diversas tareas, identifican el conocimiento que se ha producido, lo vinculan con el saber que existe más allá del aula; quienes tienen que articular los objetivos y el trabajo en cada situación con los propósitos de largo alcance (los del año, los del ciclo, los de la escuela); quienes pueden reconocer lo que los niños han aprendido y pueden ayudarlos a tomar conciencia de lo que saben y de lo que les falta aprender; quienes proveen variadas oportunidades y modalidades de trabajo para que los distintos alumnos, con ritmos diferentes, vayan alcanzando los logros buscados.

Desde hace muchos años se ha difundido la idea de que si no hay problema, no hay

EL LIBRO DE TEXTO Y LOS ESCENARIOS DE ENSEÑANZA

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IX

matemática. Pero ha resultado más difícil asumir en la enseñanza que, si hay problemas, no está toda la matemática.

En palabras de Patricia Sadovsky: “La actividad matemática que potencialmente un problema permitiría desplegar no está contenida en el enunciado del problema sino que depende sustancialmente de las interacciones que a propósito del problema se pueden generar”.1

¿Cuáles son estas interacciones?La situación planteada a los niños puede exigirles o no la explicitación (oral o es-

crita) de las relaciones que ellos establecieron para resolverla. Los niños pueden pro-poner argumentos que muestren la validez de sus resultados; pueden ser invitados a participar de un debate en el que se confrontan diferentes perspectivas para una mis-ma problemática; pueden destinar tiempo a revisar lo que se ha hecho hace unos días y relacionarlo con lo que se está haciendo en ese momento. Cada una de las instancias mencionadas ofrece una oportunidad para poner en juego el conocimiento de una ma-nera diferente de las otras.

Las exigencias de explicitación, de argumentación, de revisión y de validación brin-dan oportunidades para transformar el conocimiento y hacerlo más reconocible; son, por esto, elementos esenciales en la constitución del sentido de los conocimientos.

Cuando los niños resuelven problemas, trabajan con cálculos, analizan figuras, uti-lizan procedimientos, ponen en juego propiedades, etc., estos conocimientos pueden permanecer implícitos o ser explícitos, reconocidos, formulados. Las prácticas de for-mulación dan existencia a los objetos matemáticos. Citando nuevamente a Patricia Sadovsky, “los objetos matemáticos solo existen a través de las herramientas que se inventan para expresarlos”.2 A través de las diversas formas de representación que se utilicen (dibujos, lenguaje natural, signos, símbolos) aparece algo que no solo permi-te comunicarse, sino que permite pensar. Al mismo tiempo, el esfuerzo de interpretar representaciones producidas por otro, en el marco de la clase o desarrolladas y esta-bilizadas en la cultura, es productor de conocimientos. Resolver problemas de repre-sentación puede ser una ocasión para la conceptualización. Los niños se apoyan en lo que saben para poder representar, pero al representar y comunicar aprenden sobre los objetos matemáticos con los que están trabajando. Por ejemplo: ubicar números fraccionarios en la recta numérica. Es un problema de representación en el que se usa conocimiento sobre las fracciones, pero también se aprende mucho sobre las propieda-des de este campo numérico al tener que ubicarlos.

Ninguna de las cuestiones que se acaban de enumerar va de suyo ni se produce “na-turalmente”: los niños pueden tener la experiencia de que una representación ayuda a pensar si se los invita a dejar traza de sus procedimientos, si se los alienta y se los ayuda a formular sus ideas, si se les plantean situaciones para trabajar sobre las representaciones, operar sobre ellas, discutir su pertinencia, si los sistemas de representación mismos son colocados como objeto de exploración. El sistema de numeración es un sistema de repre-sentación. Precisamente, las investigaciones y las prácticas de enseñanza que se han de-sarrollado en los últimos treinta años han mostrado que es posible y fecundo explorarlos.

A falta de una mejor expresión, diremos que es necesario promover la reflexión sobre el conocimiento y, con ello, aludimos a las prácticas de volver sobre lo hecho, de mirarlo, de juzgarlo como fácil o difícil, como seguro o no tanto, como verdadero o falso. Esta-ríamos sugiriendo una idea reductora de la actividad matemática si no incluyéramos la

1 Patricia Sadovsky, (2005): Enseñar matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos. Libros del Zorzal, Argentina, pág. 46.2 Patricia Sadovsky, ibídem, pág. 23.

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X

práctica de dar prueba de lo que se está afirmando, de encontrarle fundamento, de tra-tar de explicar por qué funciona o no funciona, o en cuáles casos funciona y en cuáles no.

Pero ese poder que confiere el conocimiento matemático solo es tal si se asume la responsabilidad de validar los resultados, si se realiza el trabajo necesario para estar seguros de que el proceso realizado es correcto y las afirmaciones producidas son cier-tas. Llegar a estar “seguro” matemáticamente y poder fundamentarlo tiene importancia porque con apoyo en el conocimiento se toman decisiones, se actúa en el mundo. Pero también es importante porque representa un aspecto sustantivo del quehacer mate-mático, porque constituye una práctica esencial de la cultura matemática con la que la escuela ha de poner en contacto al niño.

Es este conjunto de prácticas –que la enseñanza tiene que promover– el que permi-tirá a los niños, a cada niño, adueñarse del conocimiento matemático, hacerlo propio.

Hay otro aspecto en el que es necesario detenerse. Compartimos la perspectiva según la cual la matemática es un producto histórico, cultural y social. Este último rasgo es justi-ficado del siguiente modo por Patricia Sadovsky: “La matemática es también un producto social, porque es resultado de la interacción entre las personas que se reconocen como pertenecientes a una misma comunidad. Las respuestas que plantean unos, dan lugar a nuevos problemas que visualizan otros, las demostraciones que se producen se validan según las reglas que se aceptan en cierto momento en la comunidad matemática”.3 ¿Por qué considerar esta referencia al funcionamiento de la comunidad matemática? Porque creemos que también entre los niños las respuestas que proveen unos dan lugar a nuevos problemas; porque tener que interactuar con otros en torno a un problema o a partir de la reflexión sobre lo hecho constituye un motor, un motivo para la explicitación; porque tener que defender el propio punto de vista compromete al alumno en la producción de argumentos que no se elaborarían si el niño solo tuviera que convencerse a sí mismo, o si no se solicita tal convencimiento sobre la validez de los resultados.

La evolución de los conocimientosUn abordaje centrado en la resolución de problemas, que valora los aportes de

cada uno y la interacción entre los alumnos, no excluye la importancia de la eficacia y el dominio de los conocimientos. Al contrario, profundizar el sentido de estos, abordar nuevos problemas, requiere que los conocimientos que se adquieren se conviertan en sólidos puntos de apoyo para aprendizajes posteriores.

Buscando retener el sentido de lo propuesto, afirmamos que es necesario asumir un trabajo en la enseñanza que, en el marco de la resolución de problemas, favorezca la evolución de los procedimientos y de los medios de representación y comunicación con que se tratan las situaciones.

Cada uno de estos aspectos (problemas, procedimientos, técnicas, trazos, escrituras) tiene especificidad: son constitutivos del conocimiento matemático, intervienen en la conceptualización y son fuente de sentido. Esto quiere decir que los logros en un as-pecto no aseguran necesariamente avance en otro. Un alumno puede disponer de un procedimiento para resolver un problema, pero expresarlo con un cálculo o interpretar escrituras producidas por otro resulta un desafío, y es necesario aprenderlo.

Un alumno puede ser capaz de reproducir una figura, pero elaborar un mensaje para que otro la realice constituye un nuevo problema, y en su resolución se involucran aprendizajes específicos. Por lo tanto, se requieren propuestas de enseñanza y tiempos de trabajo orientados a generar avances en cada uno de ellos. Resulta necesaria una en-señanza que asuma y sostenga la complejidad de trabajar múltiples aspectos en simul-

3 Patricia Sadovsky, ob. cit., pág. 23.

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XI

táneo a lo largo de prolongados períodos de tiempo, sabiendo, además, que los pro-cesos no se cumplen del mismo modo y al mismo tiempo para los distintos alumnos.

Concretamente, no se propone lo mismo el primer día de trabajo con un problema que en las siguientes clases en torno al asunto involucrado. Los alumnos tienen que ser, progresivamente, capaces de hacer y pensar distintas cosas. No solo distintas sino me-jores, más eficaces, más poderosas. También es necesario, cuando algo se ha trabajado suficientemente, empezar a exigirlo. Por ejemplo, a cierta altura de segundo grado, los niños tendrán que poder decir rápidamente los resultados de la suma de dígitos.

Ante las situaciones, los alumnos utilizan recursos; el conocimiento funciona como una herramienta.

Pero la enseñanza no puede detenerse allí: los conocimientos tienen que ser reco-nocidos, identificados y estar disponibles para ser utilizados ante nuevas situaciones.

Como hemos dicho, la enseñanza tiene que favorecer que los alumnos establezcan relaciones entre los distintos aspectos que trabajan. Se requieren oportunidades de práctica, de vuelta individual sobre algunos aspectos, de mirada sobre la producción propia y de otros para dar sentido a signos y palabras largamente utilizados en la cultura. Son necesarias oportunidades para pensar, para hablar, para escribir, para comparar maneras de pensar y establecer relaciones.

Muchas veces se escucha decir que los alumnos pueden o no hacer tal cosa, saben o no saben resolver una cuestión. Si un problema no fue resuelto en una clase, o si dio bastante trabajo, o si parece no haber sido resuelto la clase siguiente, se escucha: “Esto no es para mis alumnos”. Al respecto, consideramos que la unidad de aprendizaje no es una clase; sino que, resulta necesario considerar tiempos largos de aprendizaje si se toman en cuenta las distintas dimensiones de los conocimientos a los que se apunta, y las distintas fases en el proceso de elaboración de una noción, que no se cumplen del mismo modo y al mismo tiempo para los distintos alumnos.

El proyecto de conjuntoEl proyecto de enseñanza no solo tiene que jugar con una perspectiva de tiempos

largos, sino que enfrenta el desafío de que sus diversos actores, los docentes de la es-cuela, inscriban en él su propio proyecto, el que se juega en un año, en unos meses, en cada una de sus intervenciones, conservando el sentido del conjunto de la experiencia formativa para los alumnos. Hay en esto un elemento clave para la calidad de esta ex-periencia formativa.

CÓMO PENSAMOS HACER MATEMÁTICA 5

Como en todo proyecto de enseñanza, se han considerado las adquisiciones que se espera favorecer en los alumnos y se ha buscado poner en relación tipos de tareas y escalas de tiempo. El proyecto tiene que contemplar tiempos largos y cortos, y plantear evoluciones en distintas escalas.

La propuesta de Hacer Matemática 5 se organiza en cuatro períodos. En cada uno se trabajan los distintos ejes de la planificación correspondiente. Es decir, en todos los períodos se incluyen situaciones para trabajar: Números y operaciones; Geometría; Medida. Esta organización permite:

alcanzar un mayor equilibrio en la enseñanza restituyendo la importancia y la presen-cia del trabajo en Números y Operaciones, y Geometría y Medida;

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XII

ampliar las experiencias y “puertas de entrada” para que alumnos con más facilidad o gusto en un terreno que en otro tengan diversas oportunidades;

retomar los asuntos en varios momentos durante el año, favoreciendo su estructura-ción progresiva, dando nuevas oportunidades a quienes lo necesitan y favoreciendo la puesta en relación con otros conocimientos que se están adquiriendo.

En cada período nos hemos planteado cuestiones que se abren, otras que se conso-lidan, etcétera. Para ello, tomando en cuenta las adquisiciones consideradas relevantes para cada eje de contenido, proponemos una sucesión de situaciones pensadas a partir del análisis de lo que cada una requiere como conocimientos en los cuales apoyarse, lo que pone en juego o lo que busca convertir en disponible.

Básicamente, las fichas se estructuran a partir de un problema y se proponen tareas de distinta naturaleza. Se presentan contextos más o menos complejos, más o menos cercanos a los alumnos, ante los cuales se espera favorecer la disposición a trabajar con la información para responder a las preguntas ya planteadas, y también a plantearse preguntas y producir nueva información. En muchas fichas los problemas se plantean a partir de un juego que requiere un conjunto de cálculos o una tarea de construcción, de medición, etcétera.

Al final del cada período se incluye una selección de actividades para poder desarro-llar un trabajo de afianzamiento y revisión.

NÚMEROS Y OPERACIONESNUMERACIÓN

El aprendizaje de la escritura de los números, de las reglas del sistema de nume-ración y del valor de las cifras de un número, así como la idea de agrupamiento y de intercambio, se realiza durante un largo tiempo que se mide en grados y no se reduce al primer ciclo. Históricamente, demandó un largo proceso de construcción. El sistema de numeración decimal está basado en la idea de agrupamientos regulares y sucesivos de a 10, es decir, que al tener 10 grupos de a 10 vuelve a realizarse un nuevo agrupamien-to, y lo mismo para 10 grupos de ese tipo. Estos diferentes órdenes de agrupamiento corresponden a las unidades, decenas, centenas, etcétera, que son representadas por la posición de las cifras en la escritura del número.

Las convenciones del sistema decimal establecen que en la escritura “838” el primer 8 indica el número de agrupamientos de a 100, el 3 el de los agrupamientos de 10 y el 8 de la derecha, el de las unidades. Los diez símbolos de nuestro sistema se denomi-nan cifras y permiten escribir todos los números sin límites de tamaño.

La decisión de tomar en cuenta la posición de cada cifra en el número para determi-nar su valor provocó la necesidad de contar con un símbolo que indicara si en un cierto nivel no existía ningún agrupamiento. Si se escribiera un 3 y un 5, podría corresponder al número 35, al 305, 3.005, etcétera. El 0 es el símbolo que solucionó esa cuestión, mu-chos siglos después de los primeros intentos de representación de los números.

El sistema decimal es sin duda un sistema bastante hermético, de difícil compren-sión, en particular para los alumnos de los primeros grados de la escuela primaria. Du-rante ese período tienen que aprender a extraer la información que contienen las dife-rentes designaciones de los números: escrituras con cifras, nombres, representaciones aditivas y multiplicativas. Esto significa distinguir las cifras de un número y darles un nombre (unidades, decenas…) pero especialmente comprender la organización sub-yacente a tal escritura.

En 5.º, es necesario seguir trabajando aspectos del sistema de numeración, como aprender a extraer la información que contienen las diferentes designaciones de los

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XIII

números, en particular de números grandes expresados con cifras, con nombres, o en representaciones aditivas o multiplicativas. Se trata de seguir profundizando el estudio de la organización subyacente a la escritura de los números.

Para una mejor organización el eje Numeración está subdividido en: Numeración oral y numeración escrita; Designaciones orales y escritas de los números; Organiza-ción del sistema decimal: agrupamiento y valor posicional.

Numeración oral y numeración escrita

A los números escritos con cifras les corresponden designaciones orales que tienen sus propias reglas. Si escribimos 648, no leemos “seis, cuatro, ocho” sino “seiscientos cuarenta y ocho”. Con frecuencia, al leer un número, los adultos podemos tener la sen-sación de que se lee “lo mismo” que está escrito. Esto se debe a la gran familiaridad que tenemos con los nombres de los números. Sin embargo, si lo analizamos con cuidado, veremos que al leer un número se da más información que cuando se escribe.

Tomemos el número 648:

escribimos un 6 y leemos seiscientos (no seis), que indica que el seis ocupa el lugar de las centenas y, por lo tanto, si se pretende encontrar el número de unidades, se puede multiplicar por 100;

escribimos un 4 y leemos cuarenta (no cuatro), que indica que el 4 está en el lugar de las decenas y, finalmente,

escribimos el 8, del cual se lee su nombre.

También podemos observar que en el nombre de los números no es posible detec-tar fácilmente el o los ceros que puede incluir un número. Por ejemplo, en un número como “tres mil cincuenta y tres”, no hay presencia del cero intermedio que sí deberá colocarse al escribirlo: 3.053.

La numeración oral, en algunos casos, explicita la descomposición aditiva de un nú-mero. Por ejemplo: ciento noventa y tres: 100 + 90 + 3.

La numeración oral también puede explicitar a veces la descomposición multiplica-tiva, como en el caso de “cuatro mil” que corresponde a 4 x 1.000.

La información adicional que provee el nombre de los números corresponde a las potencias de 10 que no se encuentran presentes en la escritura con cifras, ya que la numeración oral no es posicional como la numeración escrita.

Designaciones orales y escritas de los números

El trabajo se orienta a que los alumnos sean capaces de leer y escribir números uti-lizando como referente unitario los miles, los millones y los miles de millones. Se busca que comprendan las designaciones orales y escritas de los números y que sean capaces de obtener la información presente en cada una de ellas. Con apoyo en esta informa-ción, los alumnos van a resolver tareas de armar, ordenar y comparar números.

Organización del sistema decimal: agrupamiento y valor posicional

Nuestro sistema de numeración está organizado según una estructura de agrupa-mientos recursivos (10 unidades de un orden forman 1 del orden siguiente y así sucesi-vamente). En la estructura de un número cada posición confiere un valor que es relativo al nivel de agrupamiento. El 7 en el número 71 no tiene el mismo valor que el 7 en 107. Justamente, la organización posicional es la que instala un aspecto algorítmico en la escritura de los números: en cada posición, las cifras varían sucesivamente de 0 a 9 y al

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XIV

llegar a 10 vuelve a 0 y aumenta en 1 la cifra del orden siguiente. Se trata de aspectos esenciales del sistema de numeración: agrupamientos sucesivos de a 10, lo que produ-ce que una decena tenga un valor de 10 unidades, 1 centena un valor de 100 unidades, una unidad de mil, equivalga a 1.000 unidades, etcétera y cifras de 0 a 9 como cantidad máxima de elementos “sueltos” disponibles en cada nivel y posicionalidad, cada lugar en el número indica a qué nivel de agrupamiento corresponde.

El contexto del dinero ofrece un soporte especialmente propicio para trabajar con agrupamientos y cambios de a 10.

En 5.º se presentarán entonces algunos contextos especialmente propicios, como el dinero, que ya se mencionó para establecer un juego entre ese contexto y el sistema de numeración, de modo tal que, apoyándose en el primero, se establezcan relaciones con el segundo.

OPERACIONES

Para una mejor organización el eje Operaciones está subdividido en: Multiplicación y división; Problemas multiplicativos; Recursos de cálculos de multiplicación; Recur-sos de cálculos de división; Múltiplos y divisores.

Multiplicación y división

En cuanto al trabajo con la multiplicación y la división, este año se continúa con la inclusión de situaciones que permitirán a los alumnos ampliar los significados, elaborar procedimientos de cálculo mental o algorítmico nuevos y más efectivos, relacionar y, a la vez, diferenciar la división de la multiplicación y prolongar su estudio hacia la división con cociente decimal.

La mayor disponibilidad de conocimientos sobre las operaciones citadas, sus propie-dades y resultados de productos, así como conocimientos de múltiplos y divisores de números, permitirá que los alumnos pongan en juego distintos procedimientos frente a nuevas situaciones, que luego se discutirán con el objetivo de hacerlos evolucionar.

Problemas multiplicativos

La división -tan difícil como la resta- necesita un trabajo sostenido durante varios años de escolaridad. Requiere ocuparse de varios aspectos: consideración o no del res-to, relaciones entre sus cuatro elementos: D, d, c y r, y en particular con la multiplicación cuando r = 0.

Múltiplos y divisores

Uno de los objetivos de la enseñanza de la matemática en la escuela primaria tiene que ver con la estructuración aritmética de los números. Desde los primeros grados se ha planteado un trabajo con descomposiciones aditivas de los números, en particular la llamada descomposición canónica.

Desde 4.º, y en particular durante este año, se plantea un trabajo más prolongado sobre las descomposiciones multiplicativas de los números. Se trata de saber descom-poner un número en producto de dos o más factores, saber determinar los divisores de un número, disponer de un repertorio de divisores de ciertos números, como 100, 75, 60, 24, los cuales facilitan el recurso del cálculo mental.

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XV

FRACCIONES Y DECIMALES

Para una mejor organización el eje está subdividido en: Fracciones; Decimales; Cál-culo mental con fracciones y decimales; Fracciones y números decimales.

Los números fraccionarios o decimales aparecen para resolver problemas que con los naturales no se pueden resolver. Además de identificar cuáles son tales problemas, será necesario conocer y analizar las propiedades que cumplen, cómo se definen las operaciones, las rupturas que provocan con los conocimientos sobre los naturales, et-cétera.

El estudio de los “nuevos” números se inicia en 3.º, y su tratamiento deberá conti-nuar en el secundario.

En 5.º se seguirá trabajando con contextos de medición relativos a magnitudes como longitud, peso, tiempo, capacidad, y medición de ángulos. Algunas fracciones de cantidades de magnitud son habitualmente usadas en la vida cotidiana y esos conoci-mientos permiten a los alumnos resolver ciertas situaciones en el inicio del aprendizaje de diversos conceptos. Completarlos, modificarlos y profundizarlos será la finalidad de las fichas destinadas a estos temas.

Siguiendo el proceso ya iniciado en los grados anteriores, se plantea un trabajo con fracciones, en principio independiente del destinado al aprendizaje de los números de-cimales, pero es en 5.º donde se inicia el estudio de las relaciones entre fracciones y decimales, en particular por medio de las fracciones decimales.

Con respecto a los números decimales se propone iniciar su abordaje en un contex-to familiar como es el del dinero. En los grados siguientes y aun en el nivel secundario, tal como sucede con distintos conceptos matemáticos, será necesario descontextuali-zar las primeras nociones sobre los números decimales para avanzar en el análisis de las propiedades específicas de este conjunto. El aprendizaje matemático difícilmente puede restringirse a un capítulo o una unidad de un año escolar determinado. Sabemos que se trata de un conocimiento difícil, que exige varios años de aprendizaje.

También se tratará de reconstruir cantidades de dinero usando monedas de determina-da denominación, e iniciar el análisis de la información contenida en la notación decimal.

Socialmente, los alumnos están en contacto con precios que se escriben con coma, aunque no entiendan muy bien cómo funciona. Una de las cuestiones difíciles es pasar de las denominaciones enteras de las monedas (10, 25, 50 centavos) a la escritura en la unidad pesos: ($0,10; $0,25; $0,50). En un principio los alumnos pueden operar con las monedas como si fueran enteros: “2 monedas de 25 centavos es lo mismo que una de 50 centavos”, si bien algunas reglas resultan raras: “dos de 50 centavos son 100 centavos, y también $1”. Es posible observar a niños muy chicos utilizar las monedas de esta forma.

En cuanto al cálculo mental, al trabajo que se desarrolla desde 1.º con los números naturales y desde 4.º con fracciones, agregaremos en 5.º actividades destinadas a su tratamiento con decimales.

Cuando hablamos de cálculo mental nos referimos al “conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se articulan sin recurrir a un algoritmo preesta-blecido, para obtener resultados exactos o aproximados”. Es decir, el cálculo mental se caracteriza por la presencia de una diversidad de técnicas que se adaptan a los números en juego y a los conocimientos (o preferencias) del sujeto que las despliega. Un proce-dimiento mental se define por contraste con uno que responde a cálculos algorítmicos. Estos últimos consisten en una serie de reglas aplicables en un orden determinado, siempre del mismo modo e independientemente de los datos, que garantizan alcanzar el resultado buscado en un número finito de pasos.

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XVI

Es necesario considerar que, para que los alumnos puedan producir estrategias de cálculo mental cada vez más elaboradas, es necesario que puedan apoyarse tanto en el conocimiento de las propiedades de los números y de las operaciones como en resulta-dos que deberán tener disponibles en su memoria.

El cálculo mental y las propiedades de las operaciones y los números se enriquecen mutuamente: si se conocen distintas propiedades de las operaciones, se facilitará la realización de cálculos mentales y, a la vez, la evolución de procedimientos mentales le dará sentido al aprendizaje de las propiedades.

GEOMETRÍA Y MEDIDAGEOMETRÍA

Este eje está dividido en los siguientes subejes: Figuras planas y Cuerpos.

En Segundo Ciclo el aprendizaje de la geometría se centra en la consolidación y el enriquecimiento de los conocimientos de los objetos y de las relaciones geométricas.

Las situaciones propuestas, más complejas que en 4.º, se eligen de manera que permitan la reinversión de los conocimientos construidos anteriormente y favorecer la construcción de competencias de análisis de objetos del plano y del espacio, la elabora-ción de una estrategia para resolver un problema y el control de su ejecución. Además, se apunta a establecer un vocabulario específico, y con las particularidades del lenguaje geométrico, y permitir un primer contacto con las notaciones simbólicas.

La utilización de instrumentos y técnicas se apoya en una primera caracterización de los objetos por algunas de sus propiedades. Las imágenes mentales juegan un rol esencial en la anticipación de un procedimiento y en su control.

Las actividades destinadas a trabajar con figuras planas se articulan en cuatro ejes: reproducir, describir, representar, construir.

se trata de la reproducción de un dibujo o figura con el modelo visible y eventualmente a disposición de los alumnos. Se proponen varios recursos: papel de calcar, cuadrícula, moldes, compás, regla y compás, plegados. Tiene por objeto permitir que el alumno domine mejor el uso de los instrumentos –especialmente en relación con las tareas a realizar– y sobre todo que afine la observación y el análisis de la figura a reproducir, que prevea el efecto de un recorte y posterior rearmado.

se trata de enseñar a los niños a observar y a utilizar un vocabulario geométrico preciso y funcional en situaciones en las que su uso es necesario y justificado.

Las descripciones portan sobre sólidos, figuras planas, posiciones relativas de dos segmentos de recta.

se trata de aprender a leer representaciones planas del espacio y a comprender los códigos, los límites, y luego aprender a representar algunos sólidos con diversos materiales y sobre diferentes soportes.

se trata de realizar la construcción de un sólido o de una figura (el mode-lo no está generalmente a disposición); los alumnos disponen, ya sea de la descripción de la figura o el cuerpo, de esquemas de montaje o bien de programas de construcción.

El conjunto de estas actividades debería permitir que el niño, en situaciones en las que tenga sentido para él, se apropie de un vocabulario adaptado, algunas nociones y algunas propiedades relativas a las figuras planas y a los sólidos usuales; por ejemplo nociones de alineación, paralelismo y simetría axial.

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XVII

Se trata de aprender a intervenir sobre una figura para analizarla o reconstruirla, alar-gando las líneas o trazando otras, determinando puntos alineados o las líneas que permi-ten reconstruirla. Componer una figura a partir de otras, o bien descomponer una dada en otras es un recurso muy importante para el desarrollo de tareas geométricas, tanto como la descomposición de números lo es para el cálculo mental y para resolver tareas aritméticas.

MEDIDA

En cualquier objeto presente en nuestra vida se pueden identificar una o varias magnitudes: longitud, espesor, peso, velocidad, superficie, etcétera.

Para algunas de esas magnitudes las comparaciones, e incluso sus mediciones, son más complejas que en otras. Por ejemplo, para comparar el ancho y el largo de una habitación es suficiente tomar un hilo y marcar en él el ancho de la habitación y luego constatar si el largo lo supera o no. Sin embargo, para magnitudes como el área, la com-paración es más compleja.

Se puede definir una magnitud como una característica de los objetos que puede variar en el mismo objeto o de un objeto a otro, de los cuales se puede afirmar si son o no de una misma clase (por ejemplo, si ambos son igualmente largos o no), si se pueden sumar y multiplicar por un número (por ejemplo, una mesa tiene el doble de área que otra). Algunos autores denominan a las magnitudes como medibles. Así, la longitud, el peso, el área y el volumen son magnitudes; en cambio el color no lo es.

Si bien en 5.º nos ocupamos de distintas magnitudes, merecen especial atención las llamadas magnitudes espaciales: longitud, área y volumen (el estudio de esta última será especialmente desarrollado en 6.º). La longitud puede seguir presentando dificul-tades a los alumnos de 5.º, por ejemplo en el cálculo de las distancias, ya que es una propiedad del espacio no necesariamente materializada en los objetos. Por otra parte es conocida la dificultad para el cálculo de perímetros y áreas, tanto en problemas de comparación como en los de determinación explícita de tales medidas.

En relación con el tiempo, las escrituras de una doble o triple unidad, como 3 h 45 min, con frecuencia son reescritas como 3,45 h, es decir que leen una escritura sexagesimal como si fuera una decimal. Por otra parte, para ciertos cálculos de duraciones los alum-nos no disponen aún de procedimientos simples y rápidos. Por ejemplo, si es necesario calcular el tiempo que transcurrirá entre las 2 h 45 min y las 3 h 10 min, se busca que puedan completar diciendo: “Con 15 minutos más serán las 3 h y con 10 min 3 h 10 min. O sea, el tiempo transcurrido será de 25 minutos”.

También en otras magnitudes, como peso y capacidad, será necesario lograr que los alumnos pasen de la escritura compleja, que utiliza dos o más unidades de medida, a la escritura decimal con una única unidad, cuestión que involucra las relaciones entre las unidades y su expresión en la escritura decimales.

Este eje está dividido en los siguientes subejes: Longitud; Tiempo; Peso; Capaci-dad; Área; Ángulos.

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓNEn la vida cotidiana constantemente estamos en contacto con información presen-

tada en distintos portadores: tablas, cuadros, esquemas, etcétera; extraemos informa-ción, volcamos otras y, en general, tratamos informaciones muy diversas y para ello usa-mos conocimientos y habilidades que no son patrimonio exclusivo de la matemática.

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XVIII

Formular preguntas a partir de distintos contextos, distinguir cuáles pueden ser respondidas usando herramientas matemáticas y cuáles no, identificar fuentes de in-formación, leer un gráfico, un anuncio, una tabla, organizar, recolectar, seleccionar y comunicar información, son algunos de los aspectos de la actividad matemática que pueden ser objeto de propuestas específicas de enseñanza.

Las propuestas se organizan en las siguientes líneas de trabajo: Extracción de información presente en diversos portadores; Resolución de problemas; Relaciones entre magnitudes.

Extracción de información presente en diversos portadores

Con frecuencia, las fichas del libro presentan en su inicio un contexto en el cual se plantean las actividades. Si bien los datos y las cuestiones son elegidos de modo que estén al alcance de los niños, se buscó en todos los casos preservar la coherencia con la que se presentan en la realidad. La información que se provee, las preguntas, los moti-vos por los cuales ocurren ciertas cosas o las condiciones que se imponen tienen senti-do en dichos contextos.

Las condiciones que se van incluyendo en la ficha y que permiten un trabajo ma-temático rico e interesante quedan suficientemente justificadas por el contexto. En las propuestas se trata de responder o elaborar preguntas con la información que pueden extraer de los portadores. En muchos casos, la información necesaria no está presente en forma directa, sino que es necesario elaborarla.

Resolución de problemas

La resolución de problemas constituye un punto esencial en nuestro proyecto de enseñanza, en contextos del inicio de los procesos de aprendizaje de los distintos cono-cimientos y los planteados fuera de estos procesos, como es el caso de los problemas que se analizarán en este apartado con objetivos que iremos señalando. Los problemas están presentes así, por lo tanto, en una amplia mayoría de las fichas.

El objetivo es promover que los alumnos se interesen por la situación, trabajen para comprenderla y organicen un proceso de resolución que puede involucrar distintos pasos y que, por lo tanto, exige un mayor control del significado de cada cálculo reali-zado. Se trata también de poder poner en juego conocimientos aprendidos o en vías de aprendizaje en contextos diferentes de los que se presentaron para su aprendizaje.

Se plantean, en todos los casos, problemas que pueden ser abordados por los alum-nos e inician un proceso de resolución, pero poseen en general ciertos aspectos para los cuales es necesario “ir más allá”.

Relaciones entre magnitudes

Las fichas de 5.º que establecen relaciones entre magnitudes corresponden, en ge-neral, al estudio de la proporcionalidad. Este tema podría haber sido incluido en el apar-tado de Operaciones, ya que comprende los problemas de multiplicación y división, for-mando parte así de las estructuras multiplicativas; sin embargo, optamos por analizarlo en este eje para enfatizar el tratamiento de la proporcionalidad como relación entre magnitudes, y porque con frecuencia se plantea una cierta cantidad de información que además se representa en tablas.

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XIX

PERÍODO 1

Apertura La fotografía corresponde a una parte de un mosaico. ¿Qué figuras observan en el

modelo? ¿Alguna se repite? ¿Cómo harían para copiarlo?

La apertura de este período convoca a los alumnos a reflexionar acerca de cómo los contenidos de geometría se hacen presentes en las construcciones reales. El trabajo con esta imagen favorece la discusión, la argumentación y el intercambio a partir de las hipótesis que los alumnos puedan desarrollar. En el transcurso del capítulo se encontra-rán actividades relacionadas con el contenido de la apertura.

NUMERACIÓNDesignaciones orales y escritas de los números

La ficha 1, ¿Contar palabras?, sitúa a los alumnos desde el inicio del año frente a un problema para el que no disponen de ningún procedimiento ni conocimiento estable-cido previamente para resolverlo. Es un problema nuevo, planteado a partir de una pre-gunta totalmente comprensible para los alumnos de 5.º: ¿Cuántas palabras diferentes se necesitan para contar desde uno hasta un millón? En un primer momento estiman la respuesta y luego la confrontan con la respuesta exacta. Para responder exactamente es necesaria una buena organización para no contar una misma palabra dos veces ni olvidar alguna. Rápidamente, los alumnos sospechan que no encontrarán la solución escribiendo el nombre de un millón de números, por lo tanto estarán dispuestos a des-cubrir ciertas regularidades en la numeración oral.

Dado que en la segunda parte también se plantea encontrar el número de cifras diferentes necesario para escribir los números desde uno al millón, esta ficha tiene por objetivo identificar la sorprendente regularidad y economía de la numeración escrita, y también de la oral, ya que a pesar de una primera impresión de que serán necesarias un millón de palabras para decir un millón de números –pues cada número tiene un nombre que permite identificarlo sin ambigüedad– podrán descubrir que el número de palabras diferentes es mucho menor que lo previsto.

Se plantean algunas condiciones para la búsqueda, dado que en los nombres hay ciertas modificaciones debido a cuestiones sonoras más que a reglas del sistema de numeración. Por ejemplo, se escribe dieciséis, en lugar de diez y seis, pero claramente ese es el origen de la primera palabra. De la misma manera se dice novecientos en lugar de nueve-cientos, pero queda claro que la palabra está formada por nueve y por cien o cientos. En cambio, un número como quinientos, si bien se puede rastrear su origen en el latín referido a cinco, en nuestro idioma se considera como otra palabra.

Para contar las distintas palabras que se precisan para decir los números desde el 1 hasta 1.000.000 se puede empezar a buscar por conjunto de decenas:

- quince, que son justamente irregularidades del sistema. Los demás nombres se com-ponen con palabras ya contadas: diez y seis, diez y nueve, etcétera;

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XX

En el último caso es donde se pueden empezar a descubrir regularidades, ya que solo se agregarán los nombres de las decenas: una palabra nueva para cada decena, empezando en 20 hasta 99, en total hay 8 palabras diferentes. Ya se puede afirmar que desde 1 hasta 99 se necesitarán 23 palabras diferentes. A partir de 100 se encuentran muchas regularidades.

Para decir los números desde 1 hasta 999, solo habrá que contar dos palabras nue-vas: cien (o cientos, contada como una sola) y otra para quinientos; las demás centenas se forman con palabras ya contadas: tres-cientos; ocho-cientos…, y los números restan-tes, como combinaciones de las anteriores: cuatro-cientos treinta y ocho.

Siguiendo con los números se necesitarán dos palabras nuevas para decir mil (o mi-les) y otra para decir millón, ya que para las demás potencias de 10 (diez mil y cien mil) no serán necesarias nuevas palabras. Por lo tanto, con 27 palabras diferentes es posible decir todos los números. Puede notarse que no fue necesario enunciar el cero, ya que no se lee como cifra: en ningún nombre de un número se pronuncia la palabra cero. El docente podrá plantear cómo se pueden distinguir en el nombre dos números tan distintos como 350.000 y 3.500 si no se pronuncian los ceros.

Organización del sistema decimal. Agrupamiento y valor posicional

La ficha 1, El millón, tiene el objetivo de seguir trabajando con números “grandes”; en este caso, en la formación de números a partir de sumarle mentalmente a un nú-mero de cuatro cifras, números como 10, 100, 1.000, 10.000, presentes en las cartas de Recortables. Al finalizar se comparan los números obtenidos.

Este juego obliga a pensar mentalmente cuál es la cifra del número que cambiará al sumarle una potencia de 10. Por ejemplo, si el número de partida es 3.450 y hay que sumarle 100, será la cifra de las centenas la que cambie, es decir, se pasará a 3.550. Si la nueva carta es 10.000 será necesario agregar una nueva cifra y se obtendrá 13.550.

Como tanto el número inicial como las cartas que van saliendo quedan sobre la mesa, si los números finales no son iguales en el equipo pueden realizar las sumas y determinar el resultado correcto. Este procedimiento tiene la ventaja de poder contar con la escritura de los números involucrados. Si es necesario, el docente realizará un juego en el pizarrón, donde se anoten el número inicial y los de las cartas que salieron así como los resultados intermedios, sin escribirlos como sumas. En el ejemplo anterior se escribiría: 3.450; 100; 10.000; 1.000. Y los resultados intermedios abajo: 3.450; 3.550; 13.550; 14.550. Los resultados finales en cada vuelta deben ser anotados en una tabla de numeración, donde se encuentran escritas las designaciones de las unidades.

NÚMEROS Y OPERACIONES Multiplicación y división

En la ficha 5, La distribuidora, los problemas que corresponden a situaciones de división, son pensados con frecuencia por los alumnos desde la multiplicación, y no siempre es fácil identificar si se trata de un procedimiento para resolver un problema de división, especialmente cuando se trata de un problema de iteración o agrupamiento, o si lo identificarían como un problema de multiplicación. Si en la situación planteada se alude a “repartir”, se lo reconoce más fácilmente como problema de división. Por lo tanto, decidimos organizar una ficha con varios problemas en el contexto de una distri-buidora, es decir que siempre hay alusión a la tarea de “repartir”.

Entre los problemas de división se incluyen algunos de reparto: conocido el cardinal de una colección y el número de partes equipotentes en el cual se encuentra subdivi-

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dida, se pregunta por el cardinal de cada parte; y otros de iteración o medida: conocido el cardinal de una colección y el de cada parte equipotente se pregunta por el número de partes en que quedará subdividida la colección. También se incluyeron problemas con resto nulo.

Recursos de cálculos de división

En la ficha 5, Multiplicar para dividir mentalmente, en relación con la división se plantea desarrollar distintos procedimientos mentales de cálculo de cocientes que permitan no solo resolver divisiones, sino también controlar resultados, estimar cantidades, etcétera.

Se parte de pedir la resolución individual mental de algunas divisiones “fáciles” y de inventar otras que cada uno pueda resolver mentalmente. Se sugiere buscar algunas con dividendos o divisores de 2 o 3 cifras. Se propone un trabajo en grupo para comparar las divisiones dadas por cada uno, para saber si todos pueden resolverlas, y se impulsa la escritura de otras más difíciles. Más adelante se pedirá que comenten cómo resolverlas, de forma tal que unos y otros puedan aprovechar los procedimientos de los demás.

Fracciones

En la ficha 2, Partir plegando con tiras, plegar tiras y papeles, y representar gráfi-camente los plegados nos permite retomar cuestiones importantes en el tratamiento de las fracciones, como que una parte de un entero corresponde a la fracción 1

n si con n partes iguales a ella se puede armar el entero; asegurar la igualdad de las partes; reconstruir una unidad a partir de una de sus partes y, también, poner en juego rela-ciones entre las fracciones. Por ejemplo, analizar si es posible graficar ciertas fracciones en gráficos subdivididos en distintas cantidades de partes, o bien si los gráficos dados corresponden a las fracciones indicadas.

Cálculo mental con fracciones y decimales

En la ficha 2, ¿Más o menos?, se trata el cálculo mental con fracciones. Se presenta una serie de problemas aditivos y de comparación, que involucran fracciones más o menos habituales que favorecen el cálculo mental.

En las páginas siguientes se plantea la comparación de cantidades obtenidas por reparto con la unidad y también la identificación de la fracción a

b como resultado de un reparto de a objetos entre b personas. La relación entre la división de números na-turales y fracciones, es decir, poder afirmar que el cociente entre a y b es la fracción a

b (en símbolos escribiríamos: a : b = a

b) y, a la vez, que toda fracción ab puede ser pensada

como el cociente a : b no es inmediata y requiere mucho trabajo de aprendizaje por parte de los alumnos, y la propuesta de diversas situaciones así como el planteo de reflexiones por parte de los docentes.

Fracciones y números decimales

En la ficha 4, ¡A tejer para el invierno!, que se analiza en el apartado destinado a Me-dida, se establecen relaciones entre algunas cantidades de longitud expresadas con la unidad metro y fracciones del metro: 1 m = 100 cm; 1

2 m = 50 cm y 14 m = 25 cm, y

se plantean con ellas distintas tareas. Este trabajo está basado en el conocimiento so-cial de medidas expresadas en metros que seguramente poseen los alumnos o puede ser establecido al realizar mediciones con distintas unidades, metros y centímetros, así como la equivalencia con fracciones del metro, como 1

2 y 14 .

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XXII

Convertir cantidades expresadas con dos unidades en una escritura con una úni-ca unidad es problemático y, por eso se plantean algunas situaciones de reflexión. Por ejemplo, a partir del pedido de una bufanda de 145 metros, lectura incorrecta de la es-critura 1,45 m, o a partir de la práctica de dibujar líneas de 1 m, 50 cm, 1 m 5 cm y 1,50 m en el piso y su posterior comparación.

GEOMETRÍA Para dibujar y reproducir figuras puede resultar muy útil relacionar una figura con

otras o con partes de otras. En la ficha 3, Figuras y líneas auxiliares, a partir de dos rectán-gulos (uno incluido en el otro) se pueden trazar dos figuras muy diferentes si se borran o agregan algunas líneas.

Se trata de poder identificar en la primera figura cuáles son los segmentos que es necesario borrar y cuáles agregar para convertirla en un cuadrado al cual se le han ado-sado dos rectángulos en el primer caso y un octógono en el segundo.

En la ficha 3, Plan de construcción, el análisis previo de un dibujo complejo (una con-figuración), identificando figuras que lo componen, con nombres conocidos o no por los alumnos, ayuda también a trazar un plan de construcción para reproducirlo.

Redactar un plan de construcción, primero de manera individual y luego, compar-tiéndolos en el equipo, entre todos, es un proceso que favorece el análisis de la configu-ración a reproducir y también elaborar y/o enriquecer un vocabulario que permita co-municar lo que se piensa o escribe. Por eso se proveen algunos conceptos geométricos útiles, como diagonal de una figura, bases medias de un cuadrilátero y puntos medios de un segmento o puntos alineados.

Ya dijimos en la introducción de este apartado que componer y descomponer las figuras permite realizar distintas tareas o bien mejorar la precisión o cierta economía de trazados.

Se presentan también figuras circulares y se varía el soporte papel, cuadriculado o liso, ya que al hacerlo se ponen en juego distintas propiedades de las figuras; por ejem-plo si la figura está dibujada en papel cuadriculado, no es necesario ocuparse de los ángulos rectos, mientras que en papel blanco es necesario trazarlos. También se plantea el trazado a mano alzada de una configuración, tratando de que quede lo más parecida posible al modelo.

MEDIDALONGITUD

En la ficha 4, ¡A tejer para el invierno!, en el contexto de largas bufandas tejidas por la abuela permite trabajar, en un principio, con dos unidades de longitud, metro y cen-tímetro, dado que se trata de las unidades de medida más familiares para objetos de tamaño chico y mediano; sin embargo rápidamente se plantea la discusión de cómo escribir una medida dada en metros y centímetros con una única medida de longitud, por ejemplo, metro.

Para organizar el trabajo de los alumnos, nos basamos, por un lado, en el conocimien-to social de medidas expresadas en metros, como 1,50 m y, por otro, en las relaciones entre unidades diferentes y sus expresiones fraccionarias: 1 m = 100 cm; 1

2 m = 50 cm y 1

4 = 25 cm; y planteamos como tarea dibujar líneas de tales medidas en espacios más amplios que el de la hoja de carpeta.

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XXIII

Como objetivo se plantea tanto la comprensión del proceso de medir como el desa-rrollo de la capacidad de estimar; siempre que sea posible se proponen actividades de medición efectiva en distintos espacios, en el aula, en el patio o en la cuadra y no solo en el ámbito de una hoja de papel. En esta ficha planteamos dibujar una línea de 1 m 50 cm, otra de 1 m 5 cm y otra de 1,50 m, lo que permitirá discutir si las tres líneas tienen o no la misma longitud. Comprender las relaciones entre estas escrituras y la medida real: 1,5 m es igual a 1,50 m, pero distinto de 1,05 m, resulta de gran complejidad para los alumnos. Hemos encontrado en el nivel secundario alumnos que afirman que 1,5 m es 1 metro y 5 cm porque: “si hubieran querido poner “un metro y medio” habrían escrito 1,50 m”.

PERÍODO 2

Apertura En el interior de este globo aerostático pueden observarse muchos círculos. ¿Cuán-

tos encuentran? ¿Qué tienen en común todos ellos?

La apertura de este período convoca a los alumnos a reflexionar acerca de cómo los contenidos de geometría se hacen presentes en la realidad. El trabajo con esta imagen favorece la discusión, la argumentación y el intercambio a partir de las hipótesis que los alumnos puedan desarrollar estimulando la reflexión y oralidad sobre los saberes previos.

NUMERACIÓN Designaciones orales y escritas de los números

El análisis de la ficha 6, Datos de la historia, se realizará en el apartado de Medida, ya que se trata de un contexto de medidas de tiempo. La analizamos también en este apartado porque se plantea la representación de fechas y duraciones en líneas de tiem-po que permiten extraer nueva información y sirven de base para la representación de números naturales en la recta numérica que se plantea en la última parte de esta ficha.

Si bien son conceptos ya introducidos en 4.º, se retoma la idea de unidad de medida con el segmento [0,1] y el significado de la ubicación de un número en la recta como la cantidad de veces que dicho segmento entra desde el 0 hasta ese punto.

Se discute la posibilidad de ubicar puntos aunque no estén representados ni el ori-gen ni el segmento unidad, y se define la distancia entre dos números.

En estas actividades interesan las relaciones que los alumnos pueden establecer entre los números, más que la medición de los segmentos en centímetros o milíme-tros. Por ejemplo, si se encuentran ubicados los números 60 y 80, es posible ubicar los números 40 y 100, trasladando aproximadamente la distancia de 20 unidades determi-nada entre los puntos correspondientes a 60 y 80, a la izquierda del 60 o a la derecha del 80. Encontrando aproximadamente el punto medio del segmento [60,80] se puede determinar también una distancia de 10 unidades y, por lo tanto, encontrar también los puntos de la recta correspondientes a números como 30, 50 y 70.

Problemas multiplicativos

Si bien la ficha 6, Datos de la historia, será analizada en el apartado Tratamiento de la Información, incluiremos aquí el análisis del ejercicio 3, ya que la operación que per-mite resolver ese tipo de problemas es la división. Plantea, con relación a la medición

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XXIV

del tiempo, una cuestión compleja para la mayor parte de alumnos aun de 5.º y que, sin embargo, aparece muy naturalizada en la vida cotidiana: nos referimos a la regularidad presente en los días de semana, que se mantiene inamovible aunque se cambie de semana, de mes o de año. El ciclo Lu-Ma-Mi-Ju-Vi-Sa-Do vuelve a repetirse después de cada domingo. Y esa regularidad permite anticipar información, ya que dentro de siete días volverá a ser el mismo día de la semana.

Por ejemplo, el ejercicio planteado en la ficha: si el 20 de junio (Día de la Bandera) es viernes, ¿qué día caerá el 9 de julio del mismo año? La diferencia entre esas fechas es de 19 días y, por lo tanto, el día de la semana podría determinarse contando tales días uno por uno. Las sucesivas preguntas de la ficha amplían esta cantidad de días a fin de que los alumnos puedan desarrollar procedimientos más eficientes de determinación del día de la semana. Por ejemplo, en el caso anterior puede considerarse que los días 27 de ju-nio y 4 de julio corresponderán también a días viernes ya que tienen 7 días de diferencia entre ellos; por lo tanto, el 9 de julio, 5 días más tarde, corresponderá a un día miércoles.

Cuando la cantidad de días es mayor, como los 56 días del siguiente punto de la ficha, aparece la necesidad de desarrollar otros procedimientos; entonces puede con-siderarse que cada 7 días volverá a ser el mismo día de semana, en este caso miércoles, porque se partió del 17 de agosto que era miércoles. La división 56 entre 7 y, en parti-cular, el resto 0 de la misma permiten determinar que dentro de 56 días será miércoles como el día dado en el ejercicio. Puede afirmarse que este es un sentido de la división muy poco presente en la escuela, y que para resolver los problemas es indispensable que los alumnos reconozcan su utilidad.

Haberse enfrentado a problemas de reparto e iteraciones no es suficiente para que los alumnos puedan reconocer en esta situación que la división permite obtener la res-puesta, aunque primero desarrollen procedimientos de sumas de varias veces 7, o aun de multiplicaciones.

Recursos de cálculos de multiplicaciones

Continuando con la búsqueda de recursos prácticos para realizar ciertos cálculos, en la ficha 10, Buscar reglas, se propone elaborar reglas que faciliten encontrar los pro-ductos por ciertos números, como 5, 11, 25, 101. Tal como se explicita en la plaqueta teórica, estas reglas pueden surgir de relacionar el factor con otro número (por ejemplo, para multiplicar por 5 se puede multiplicar por 10 y dividir por 2) o de descomposi-ciones de uno de los factores, ya sea aditivas como multiplicativas; por ejemplo, para multiplicar un número por 25 se puede multiplicar por 100 y dividir por 4, pero también descomponer 25 como 20 + 5 y realizar los productos correspondientes.

Merece especial atención la actividad que se propone en el punto 4 de analizar, a partir de dos ejemplos, si cierta regla es válida o no, ya que interesa que los alumnos no solo elaboren reglas sino también que sean capaces de analizar si una regla dada por otro es válida o no. Se plantea que se puede probar con números grandes o chicos; es claro que no se trata, estrictamente hablando, de una validación, pero es una primera fase de exploración del funcionamiento de la regla, que con frecuencia provee argu-mentos para finalmente validarla.

Los ejemplos 59 x 101 = 5.959 y 26 x 101 = 2.626 apoyan la conjetura de que, al multi-plicar un número por 101, se obtendrá un número formado por el primer número repetido dos veces. Esa es la conjetura que se quiere validar: siempre que se multiplique un número por 101, ¿el resultado tendrá tal forma? Probar con números de 1, 2 cifras o más de 4, permi-te comprender por qué con números de 2 cifras la regla es válida y no lo es en otros casos.

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XXV

Múltiplos y divisores

En la ficha 10, Lotería de múltiplos, se plantea un juego que involucra múltiplos de 3, 4 y 5; pero previamente se plantean algunas actividades sobre múltiplos, a fin de reto-mar significados de esta noción, que relacionan multiplicidad con la existencia de una escritura multiplicativa, con el resto nulo de un cociente, con la escala del número del cual se buscan sus múltiplos y con poder expresarlo como suma o resta de múltiplos.

El juego plantea ganar puntos cuando el número cantado es múltiplo del número elegido –números posibles: 3, 4 y 5– por cada jugador. Luego del juego se analizan las tarjetas de la lotería en relación con si son o no múltiplos de los números dados, de dos de ellos o de los tres a la vez. Esto permite un análisis sistemático de los números de todas las tarjetas más allá del azar presente en el juego.

Fracciones

Representar números en la recta numérica constituye un espacio muy rico para po-ner en juego las relaciones construidas sobre estos números y para construir otras nue-vas. Sin embargo, representar números en la recta, en particular fracciones, es una tarea compleja e involucra conocer y respetar las convenciones que rigen esa tarea.

En la ficha 6, La gran maratón, partimos de una situación extra-matemática que per-mite darles sentido a algunos de esos aspectos. Se trata de una maratón en un camino que puede considerarse como el entero y que se recorre en un sentido ya determinado desde la largada hasta la llegada. Dado que el trayecto está dividido en 4 partes iguales, se podrá señalar que cada tramo es 1

4 del recorrido. De esta manera se asigna a cada punto una fracción que indica qué parte del trayecto se ha recorrido hasta ese punto. 34 indicará que desde la largada hasta ese punto se recorrió 3

4 del trayecto. En este con-texto, si una fracción es mayor que otra, se representará a la derecha de la menor, ya que indica que se ha recorrido una mayor parte del trayecto. Por otra parte, aparecerá a los alumnos como bastante natural que la mitad del recorrido sea el doble de la cuarta parte del mismo. Por lo tanto, las partes en las que está dividido el trayecto deben ser iguales.

En la siguiente página se realiza un salto desde el camino a recorrer hasta la recta numérica, donde en el origen se indica el 0 y en una de las subdivisiones, el 1. Para representar los números en la recta se usa una escala que queda determinada por el segmento [0,1]. Si dicho segmento está ya determinado, el número 2 deberá asignarse a un punto que se encuentra un segmento unidad a la derecha del 1 y el número 1 1

2 deberá estar en el punto medio del segmento [1,2].

GEOMETRÍAFiguras planas

Siguiendo con la elaboración de planes de construcción, en la ficha 9, Círculos y cir-cunferencias, se trabaja únicamente con círculos y circunferencias. En el primer caso, la reproducción de una figura con compás y regla, pero sin recurrir a la medición; la regla solo será usada para trazar líneas rectas. En otra actividad la tarea consiste en trazar una figura siguiendo el plan de construcción presentado.

En la segunda parte de la ficha se trabaja con la circunferencia como lugar geomé-trico de los puntos que equidistan de un punto dado y se presentan las definiciones de circunferencia y círculo, así como la de centro y radio de una circunferencia. El contex-to presentado permite que estos conceptos adquieran sentido, ya que el radio como

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segmento corresponde a imaginar la cuerda del perro extendida y, como medida, a la longitud de la cuerda.

MEDIDALongitud

En la ficha 7, La cancha de fútbol, a partir del esquema de una cancha de fútbol con las medidas reglamentarias dadas por la FIFA, se plantean situaciones relativas a esas me-didas ya que no todas las canchas tienen iguales dimensiones. La pintura de los límites de una cancha permite plantear el cálculo del perímetro considerado como la longitud del borde que encierra una figura.

Otra actividad que se presenta corresponde a una relación entre perímetros y áreas de las mismas figuras. El perímetro se asocia a una medición realizada a partir de calcu-lar cuántos niños pueden sentarse, dejando 1

2 m para cada uno, en el borde de ciertos espacios destinados a un espectáculo. El área está asociada a disponer de mayor o me-nor espacio para los actores a partir de esquemas gráficos.

Se trata de comparar perímetros y áreas sin recurrir a su medida efectiva, ya que no se dispone de medidas de las dimensiones del patio, pero su forma y la coincidencia de algunas medidas, que pueden constatarse superponiendo los lados, permite decidirlo.

A lo largo de la ficha se plantean situaciones relativas al cálculo de longitudes tanto en situaciones reales, como en otras de cálculo del perímetro a partir de las dimensiones o inversamente, dado el perímetro determinar las dimensiones de las figuras y también en situaciones planteadas a partir de esquemas geométricos sin contexto extra-matemático.

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓNRelaciones entre magnitudes. Proporcionalidad

Con frecuencia el tratamiento de una enfermedad incluye ingerir un medicamento tantas veces por día durante cierto tiempo. Por lo tanto, calcular cuántas cajas, tiras o frascos necesita un enfermo para su tratamiento es una tarea habitual en la farmacia. Los alumnos pueden imaginar fácilmente a un farmacéutico que elabora tablas para tener presentes las cantidades necesarias solicitadas por los clientes.

En la ficha 8, En la farmacia, las primeras tablas establecen una relación entre canti-dad de cajas, tiras o frascos (primera magnitud) y cantidad de pastillas (segunda mag-nitud) que pueden ser completadas por los alumnos a partir del uso de las propiedades de linealidad: si se conoce un valor de la primera magnitud y su correspondiente en la segunda, al doble (triple, mitad,…) de la primera le corresponderá el doble (triple, mitad,…) de la segunda. Y por otra parte, si se conocen dos valores de la primera mag-nitud, a su suma le corresponderá la suma de los valores correspondientes.

PERÍODO 3

APERTURA Estos molinos son generadores de energía eólica. Están compuestos por tres palas.

Si se unen sus extremos, ¿qué figuras se obtienen? ¿Y cuando están en movimiento?

La apertura de este período convoca a los alumnos a reflexionar acerca de cómo los contenidos de geometría se hacen presentes en la realidad. El trabajo con esta imagen

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favorece la discusión, la argumentación y el intercambio a partir de las hipótesis que los alumnos puedan desarrollar, estimulando en ellos la reflexión y la oralidad sobre los saberes previos.

NÚMEROS Y OPERACIONES Recursos de cálculos de división

En la ficha 16, Viaje de Cronos, el gigante Cronos da pasos de 48 m de largo. El primer punto en el trabajo de la ficha es hacerse una idea de la longitud de dicho paso: “¿Hay algún lugar en la escuela donde se pueda marcar una longitud de 48 m?”. Si para volver al monte Olimpo debe recorrer 11.280 m, ¿cuántos pasos deberá dar?”. Primero eligen una estimación que consideren adecuada; luego calculan el número exacto de pasos.

Con este trabajo se pueden ver varias cuestiones que nos interesa desarrollar en las actividades de aprendizaje de la matemática:

Siempre que sea posible, pensar primero de qué longitud (área, peso, etcétera.) real estamos hablando cuando mencionamos una cierta medida y si puede tratarse de una medida representable en el aula, en el patio o en la cuadra.

Antes de resolver el problema, estimar la respuesta, argumentando por qué se piensa que esa es una buena estimación y no otra.

Realizar el cálculo y analizar si la estimación fue correcta, o controlar el resultado del cálculo a partir de una estimación que se ha probado como adecuada.

En la ficha se trata de desarrollar el recurso de encontrar el cociente, aproximándolo. Se determina así que el número de pasos tiene que estar entre 100 y 1.000 y, por lo tanto, el cociente tendrá 3 cifras.

Este es un conocimiento de mucha utilidad para controlar el cociente que se obtie-ne así como para determinar, en muchos casos, cuál es la primera cifra del cociente. Por ejemplo, para 1.968 : 16 se puede afirmar que el cociente tendrá 3 cifras, porque 16 x 100 = 1.600, o sea el cociente tiene que ser mayor que 100. Y también se puede saber que el cociente tiene que estar entre 100 y 200, ya que 16 x 200 = 3.200, que supera al dividendo. Por lo tanto, el cociente tiene 1 como primera cifra. Más aún, dado que 16 x 100 = 1.600 se puede calcular fácilmente que 16 x 20 = 320. Y 16 x 120 = 1.600 + 320 = 1.920, por lo tanto quedan aún por dividir 48, y 48 : 16 = 3. Entonces el cociente será 123. En estos cálculos puede verse la importancia de conocer los productos de dígitos y de las relaciones entre los cálculos que se han planteado en fichas anteriores y se seguirán planteando a fin de facilitar los cálculos.

Fracciones

En la ficha 12, La heladería Santángelo, el contexto de venta de helados permite el trabajo con distintas fracciones, ya que en las heladerías las fracciones de 1 kg son una forma habitual de venta.

Con fracciones de denominadores medios y cuartos, mayores o menores que la uni-dad, expresada como número mixto o no, se proponen situaciones de suma o resta de fracciones y de multiplicaciones de fracciones por un número natural. No se apunta a trabajar el algoritmo de esas operaciones sino a abordar con fracciones más fáciles situaciones bastantes complejas en distintos contextos. Se pretende que los alumnos encuentren relaciones entre fracciones y con los enteros, y que puedan dar argumentos para estar seguros de los resultados dados. También se plantea la relación de las fraccio-

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nes con sus expresiones decimales al establecer la equivalencia entre cantidades de un producto expresadas en partes de un 1 kg y su peso en gramos.

Decimales

En fichas anteriores se han desarrollado procedimientos de cálculo mental tanto con fracciones como con números decimales. En la ficha 15, Las propinas, se retoman algunos de esos procedimientos, por ejemplo el de completar una cantidad para obte-ner otra. Este es un procedimiento que se puede utilizar para averiguar las propinas del jueves a la noche sabiendo que al mediodía el mozo recibió $17,75 y en total recibió $41,50. Completando 17,75, por ejemplo primero con 0,25 para obtener 18; después con 0,50 para obtener 18,50 y finalmente con 23 para llegar a 41,50 puede determinarse que se agregaron $23,75, que corresponderán a las propinas del jueves a la noche.

A continuación se presenta una cuenta de dos números decimales, los correspon-dientes a las propinas del día miércoles, y se pide a los alumnos que traten de resolverla. Dado que ya encontraron el resultado al llenar el cuadro inicial, pueden constatar si el resultado que encontraron es correcto.

De forma similar se presenta una situación que involucra varias restas para resolver con procedimientos desarrollados previamente por los alumnos o que elaboran en esta ficha y, posteriormente, se les solicita que realicen una cuenta de resta.

En la ficha 15, Recorridos de autitos, el contexto inicial de distancias medidas en me-tros debería permitirles analizar si realizan correctamente la cuenta, incluso determinar si el resultado de las cuentas dadas al final de la ficha es correcto. También se espera, y el docente debería propiciarlo, que los alumnos puedan ubicar los decimales en relación con los enteros. Por ejemplo, saber que 2,725 es mayor que 2 y menor que 3, incluso más cercano a 3 que a 2, o que 0,25 + 0,85 debe ser mayor que 1, ya que 0,25 + 0,75 = 1. Para encontrar los resultados correctos, podrán recurrir a procedimientos mentales o realizar las cuentas.

GEOMETRÍAFiguras planas

En la ficha 14, El rompecabezas, se vinculan nuevamente objetivos de geometría con otros de medición. Se trata de trabajar con ángulos y luego proceder a su medida.

La primera cuestión es lograr que los alumnos perciban un ángulo en una situación donde sea necesario considerarlo. Un ángulo define una zona no acotada en el plano, y esto constituye una gran dificultad para ellos. Hablar de sus lados, del vértice y de su amplitud no es suficiente para comprender la noción. Por otra parte, muchos alumnos suponen que la medida de un ángulo queda determinada por la longitud de sus lados.

Se pide entonces determinar cuál de las cuatro piezas es la que puede insertarse justo en un rompecabezas que se está armando. El recurso habilitado para comparar ángulos es el papel de calcar, que permite superponer un ángulo calcado sobre otro y decidir así si coinciden o no.

Se plantea también la comparación de ángulos colocados en distintas posiciones y con lados de distintas longitudes y, en la siguiente actividad, se trata de reproducir un ángulo en distintas posiciones, en cada una de las cuales ya se ha dibujado un lado. Aunque se aclare que los lados de un ángulo son semirrectas, que se prolongan indefi-nidamente, los alumnos los tratan y piensan como segmentos, lo cual fortalece su idea

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de que un ángulo que tenga lados más largos será mayor que otro de lados de menor longitud. Es precisamente esa idea la que se quiere cuestionar, a favor de la idea de que el ángulo puede ser igual, aun si no coinciden las longitudes de los lados.

MEDIDAÁngulos

En la ficha 14, Con plegados, se partió de un ángulo recto sin asignarle aún la medida de 90°. Un ángulo recto es el de la esquina de una hoja o de la escuadra, el “que va todo derechito”, como dicen con frecuencia los niños. A partir de él y con plegados de la esqui-na de una hoja, determinamos ángulos que miden 1

2 recto, o 14 , etcétera.

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓNRelaciones entre magnitudes. Proporcionalidad

En la ficha 12, La heladería Santángelo, en la tabla correspondiente a la relación de la cantidad de cucuruchos con el peso total de helado, se tiene la información de que con 3 cucuruchos se tiene 3

4 kg de helado, por lo tanto en 1 se tendrá 14 kg de helado. A

partir del dato dado o del valor unitario es posible averiguar el peso de helado corres-pondiente a distintas cantidades de cucuruchos o bien encontrar la cantidad necesaria para tener una cierta cantidad de helado, por ejemplo 5 1

4 kg.

PERÍODO 4

AperturaEn la fotografía se observan muchas maderas apiladas. De las caras que se ven, ¿qué

figuras reconocen? ¿Será cierto que la cara opuesta tendrá la misma forma?

La apertura de este período convoca a los alumnos a reflexionar acerca de cómo los contenidos de geometría se hacen presentes en la realidad. El trabajo con esta imagen favorece la discusión, la argumentación y el intercambio a partir de las hipótesis que los alumnos puedan desarrollar, estimulando en ellos la reflexión y oralidad sobre los saberes previos. Se busca que los alumnos encuentren relaciones entre los cuerpos y las figuras.

NÚMEROS Y OPERACIONESMúltiplos y divisores

Una de las tareas relacionadas con la estructuración aritmética de los números es determinar los divisores de un número. En la ficha 17, Restar y restar, se plantea un juego donde, partiendo de un número de 3 cifras, se elige un dígito para restarlo sucesivamen-te. El que llega a 0 gana. Si bien el juego alude a restas sucesivas, se espera que rápida-mente los alumnos empiecen a pensar en cómo elegir el dígito más conveniente para realizar las restas y tener más posibilidades de llegar a 0 y ganar la partida, y en cómo constatar si se llega a 0 con el dígito elegido. La primera cuestión los llevará a pensar en cómo reconocer de qué números puede ser múltiplo el número de 3 cifras elegido, o, lo que es lo mismo, cuáles son los divisores del número. La segunda, a restar una cierta cantidad de veces el número elegido, por ejemplo, 10 veces, luego 20 o bien 5, a fin de

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acortar el proceso de restar. El juego, junto con las discusiones en el equipo y las reflexio-nes espontáneas o planteadas por el docente, los llevará a pensar en condiciones como: “si termina en 0, seguro que restando 10 se puede llegar a 0”, si no termina ni en 5, ni en 0, seguro que restando 5 no se llega a 0.

Cálculo mental con fracciones y decimales

Paralelamente a trabajar los algoritmos de suma y resta con números decimales, planteamos en la ficha 19, El juego azul y rojo, los correspondientes a las fracciones.

Partimos de un juego de adición de fracciones para formar enteros, con un mazo de cartas con fracciones de denominadores medios, cuartos y octavos o con otro con frac-ciones con denominadores tercios, sextos y novenos. Tanto el juego como las partidas simuladas favorecen la realización de cálculos mentales de sumas de fracciones.

Luego se plantea la búsqueda de fracciones equivalentes a las dadas con igual deno-minador, como técnica para encontrar el resultado de una suma.

Disponer de esta técnica general, válida para sumar cualquier par de fracciones, no debería convertirse en “el recurso a ser usado” en cualquier caso, y el docente debe cui-dar que esto no suceda. Sumas como 1

2 + 14 o 1

2 + 12 deberían continuar resolviéndose

mentalmente.

Fracciones y números decimales

En la ficha 18, Volver al metro, se introducen las fracciones decimales, es decir, las que surgen de dividir el entero en 10, 100… partes iguales, y que por lo tanto poseen como denominador una potencia de 10. El contexto de la medición de longitud permite dar sentido a tales fracciones y a relacionarlas con los submúltiplos del metro y, por lo tanto, con los números decimales. Se parte de construir un metro con una tira, es decir, de ir trazando las subdivisiones. Su uso bastante naturalizado suele desdibujar el análisis del significado de los tres tipos de rayitas que se presentan. Volver al metro propone, justamente, tomarlo como objeto de estudio. Las tareas que se plantean deberían per-mitir a los alumnos concluir que 1

10 m = 1 dm = 0,1 m; así como 1 cm = 1100 m = 0,01 m y

1 mm = 11.000 m = 0,001 m.

El docente propondrá una lectura cuidadosa de tales escrituras; en particular debería ser motivo de discusión el prefijo “deci”- tanto en los decímetros como en los décimos.

Pensar las relaciones entre las fracciones del metro y las subunidades del metro per-mite también establecer que 10 x 1

10 = 1 y que 0,2 = 210 .

GEOMETRÍACuerpos

En la ficha 20, Cajas y cuerpos, se aborda un aspecto específico del estudio de cuer-pos: el análisis de la representación gráfica, que es realizada en un plano y con pérdida de información. Se plantean distintas representaciones de un prisma y su análisis en términos de lo que permiten ver y lo que ocultan. Se pregunta si se puede o no ver sus 6 caras, sus 8 vértices y sus 12 aristas. Se busca que continúen desarrollando la percepción espacial que permite imaginar lo que la representación no hace visible. También se pre-senta el cubo y se lo caracteriza por sus 6 caras cuadradas iguales.

En cuanto al desarrollo plano de los cuerpos presentados, su estudio no se reduce a dibujarlos, sino que, a partir de desarmar cajas de cartón, se plantea el análisis de cada

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parte: “¿Cuál es la base?, ¿La tapa está formada por una única figura? ¿Para qué las ale-tas? ¿Por qué su forma de trapecio?”.

En la vida social, los desarrollos planos son utilizados para construir distintos paque-tes. Ese uso justifica la fabricación de un molde plano de una caja en una única pieza. Son desarrollos mucho más completos que los habitualmente presentes en las aulas, reducidos a las 6 caras de un prisma o un cubo, sin aletas, sin tapas, etcétera. Esto per-mite analizar las modificaciones realizadas en función de su utilidad, por ejemplo incluir pestañas que permitan pegar, cerrar o reforzar un envase.

En la ficha 20, Cubitos y productos, se trabaja con cuerpos armados con cubitos por medio de representaciones gráficas planas. Interpretar un cuerpo de tres dimensiones a partir de un dibujo realizado en dos dimensiones exige un cierto tiempo de aprendizaje. Aprender a dibujarlos será un objetivo posterior.

Las tareas que se plantean se relacionan con poder contar cuántos cubitos se necesi-taron para armar una construcción de los cuales solo se pueden ver algunos. En ciertos casos, la forma del cuerpo permite que el conteo de cubitos se realice por medio de algunos cálculos, ya sean sumas, productos o ambos a la vez. En el caso del cubo, la determinación del número de cubitos puede realizarse por medio del producto de tres veces un mismo número, que representa el número de cubitos en cada arista.

Se pretende que los alumnos, para determinar qué cantidad de cubitos permite ar-mar un cubo de lado 4, puedan imaginarlo como formado por 4 planchas de 4 x 4 cubi-tos. Por lo tanto el número de cubitos será 4 x 4 x 4 = 64 cubitos. Es justamente ese tipo de escritura la que se busca introducir en, por ejemplo, 3 x 4 x 5 como caracterizando a un prisma que tiene 3 cubitos de ancho, 4 de largo y 5 de alto. De forma similar a la que se utiliza la escritura 3 x 7 para indicar un rectángulo de 3 y 7 cubitos.

Se plantea un amplio trabajo que pone en relación cubos con número necesario de cubitos. También se pide que dibujen cubos con aristas de ciertas medidas. La repre-sentación gráfica de un cubo en las primeras actividades de la ficha puede servir como modelo para la representación de un cubo de otras medidas.

MEDIDALongitud

En la ficha 18, El tangram, en relación con este rompecabezas tan conocido se plan-tean distintas tareas: desde la reproducción del cuadrado que se puede armar con sus 7 piezas, con medidas reales, y utilizando los instrumentos de medición y dibujo adecua-dos, hasta la comparación de perímetros y áreas de las figuras. Las actividades relaciona-das con área se analizarán en el apartado destinado a esa magnitud.

Más adelante se plantea si existe relación entre la igualdad de áreas e igualdad de pe-rímetros para las mismas figuras. Se aclara en este caso que no se debe usar la regla, pero sí se pueden usar marcas en un papel para comparar dos longitudes. Se afirma la utili-dad de recurrir a las propiedades de las figuras geométricas: cuatro lados iguales para el cuadrado, dos pares de lados iguales en el caso del paralelogramo, dos lados iguales y uno mayor que ambos en el caso de los triángulos isósceles rectángulos, etcétera, para llevar adelante la comparación. Resulta útil que los alumnos tengan armado el cuadrado con las 7 piezas, cuyo dibujo fue solicitado en el primer punto de la ficha, de modo de establecer relaciones entre los lados de las piezas y sacar provecho de tener presentes las propiedades. Por ejemplo, si se quiere comparar el cuadrado con el paralelogramo, se puede observar que el lado del cuadrado coincide con dos de los lados del paralelogra-

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mo (los vértices de las figuras son siempre puntos medios de un segmento). En cambio los otros dos lados del paralelogramo son de mayor longitud que el del cuadrado. Por lo tanto su perímetro será mayor que el del cuadrado.

En la ficha se plantea una cuestión de anticipación y de búsqueda de los alumnos para determinar si las 3 figuras que tienen áreas iguales tienen también perímetros iguales.

Después de la discusión de las ideas de los alumnos y de lo que hayan podido con-cluir, se plantea un trabajo sistemático sobre la determinación de las longitudes iguales o distintas de los lados de las figuras en el dibujo del tangram. Se pretende que los alum-nos puedan recurrir a las propiedades de las figuras ya citadas y a los datos de la cons-trucción del tangram para determinarlo. Sin embargo, siempre estarán disponibles las figuras que tienen en Recortables por si quieren superponerlas. El docente puede pre-guntar si les resulta indispensable recurrir a las figuras o si pueden concluir con apoyo en las propiedades. Aprender matemática no es solo poder dar definiciones sino disponer de conocimientos en los cuales los propios alumnos puedan confiar.

Se pretende que aparezca la distinción entre perímetro y área. Hay figuras que tienen áreas iguales pero perímetros distintos, otras con perímetros iguales pero áreas distintas.

Área

En la ficha 18, Medir el aula, se introduce el metro cuadrado (m2) como el área de un cuadrado de 1 m de lado y se plantean medidas efectivas del área del aula y de otros es-pacios, promoviendo que los alumnos anticipen su medida y busquen una organización posible para medirla, aun si no está vacía.

Más adelante se simula la medición de un aula a partir de un plano, donde en algunas partes se pueden dibujar cuadrados que representan un metro cuadrado de superficie.

También se plantea la cuestión de que el área no depende de la forma de la figura, es decir, que figuras de distinta forma pueden tener la misma área.

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓNLos censos que se realizan en nuestro país brindan datos que pueden ser represen-

tados en gráficos que facilitan percibir algunas relaciones con mayor facilidad que tales datos escritos con cifras. En la ficha 22, Población urbana y rural de la Argentina, se trata de datos a partir de los censos de 1991 y 2001, información a la cual se pueden agregar los datos obtenidos en el censo de 2010. También se incluyeron los datos de la población femenina y masculina en el censo de 2001. Las preguntas tienen por finalidad analizar la tabla, poder identificar a qué tipo de información corresponde cada dato y poder extraer nueva información comparando o estableciendo nuevas relaciones entre los datos. También se pretende aprender a leer gráficos, realizar representaciones, discutir sobre la importancia de incluir las referencias en los gráficos y analizar la pertinencia de uno u otro gráfico para comunicar cierto tipo de información.

Con la información provista en los dos censos se realizaron un gráfico de barras y otro circular. En el primero se representaron los datos de la población urbana total y se pide representar la población rural con una barra como recurso de representación. En el circular están representadas dos zonas que corresponden a los mismos datos represen-tados en el de barras. Los alumnos deben identificar por el tamaño de las zonas a qué información corresponde cada una.

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