MONOGRAFA.

LA HEURSTICA EN LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA.

Autores: MSc. Lizardo Cabrera Sarmiento.

Lic. Maril Jorge Martn.

MSc. Ma. de los Angeles Valdivia Sardias.

Dr. Eduardo Villegas Jimnez.

MSc. Juan Mondjar Rodrguez.

Lic. Libertad Miranda del Real.

Universidad de Matanzas Camilo Cienfuegos

Facultad de Informtica.

Departamento de Matemtica.

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Nota Introductoria: La escuela, que en nuestra sociedad tiene entre sus tareas primordiales la de contribuir

decisivamente a la formacin multilateral de nuestros escolares, dedica gran parte de sus

esfuerzos a crear las condiciones para que los alumnos aprendan a pensar.

En nuestro pas, la preocupacin por el desarrollo del pensamiento de los alumnos desde

los primeros grados tiene dimensiones y races histricas que hoy se hacen ms profundas.

De ah que, ensear a pensar sea una de las principales directrices de la escuela cubana

actual. Ahora bien, qu significa ensear a pensar?.

Los que se dedican a la enseanza, en particular, a la enseanza de la Matemtica, tienen la

obligacin de proporcionar a los educandos las tcnicas del pensar durante el proceso de

solucin de problemas, de forma tal que los prepare para enfrentar dismiles tareas que en su

vida se presentan.

Una prioridad que tiene la enseanza de la Matemtica, es la de contribuir a la formacin y

desarrollo del pensamiento lgico en nuestros estudiantes; de ah que se trabaje en tres

direcciones fundamentales, que son: desarrollo del pensamiento lgico, resolucin de problemas y vinculacin con la vida; de forma tal que permita a los alumnos, no solo poder

enfrentarse a la solucin de problemas matemticos, sino tambin, la de pensar de forma

correcta ante la solucin de cualquier tipo de problema que en la vida cotidiana enfrentan.

En la actualidad, se reconocen tres importantes tendencias relacionadas con el desarrollo

del pensamiento: el Constructivismo, la Instruccin Heurstica y la Enseanza por Problemas. En esta comunicacin se aboga por utilizar la Heurstica como mtodo para la enseanza de los procedimientos lgicos del pensamiento. En este sentido, se plantea la siguiente

interrogante objeto de investigacin:

Cmo emplear la heurstica para ensear, de manera explcita, los procedimientos lgicos del pensamiento asociados a conceptos a travs de las clases de Matemtica?. Para dar respuesta a la interrogante anterior, se ha trazado el siguiente objetivo:

Disear a partir del empleo de la heurstica una forma de ensear, de manera explcita, los procedimientos lgicos elementales del pensamiento asociados a conceptos a travs de las clases de Matemtica. Este es el objetivo fundamental de esta comunicacin, la cual se ha nutrido de algunas

experiencias concretas desarrolladas por los autores en lo referido al uso de la heurstica, como

recurso metodolgico y como objeto de aprendizaje.

Los Autores.

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INDICE.

La Heurstica: una alternativa metodolgica para la enseanza de procedimientos lgicos del pensamiento asociados a conceptos a travs de la clase de Matemtica. ------------------------------------------------------------ 4

La conversacin heurstica: un mtodo eficaz para el desarrollo del pensamiento en los estudiantes al estudiar ciencias exactas. --------------------------------------------------15 La utilizacin de los procedimientos heursticos en la formacin del concepto sucesin numrica convergente.-----------------------------------------------------------------------------------------26 La instruccin heurstica en la enseanza del Anlisis Matemtico I------------------------------------------------------------------------------34 Indicaciones Metodolgicas para el tratamiento de la Geometra Analtica en el preuniversitario.-------------- --------------------------47

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TTULO: La Heurstica: una alternativa metodolgica para la enseanza de procedimientos lgicos del pensamiento asociados a conceptos a travs de la clase de

Matemtica. Autores: MSc. Lizardo Cabrera Sarmiento.

MSc. Mara de los A. Valdivia Sardias. Lic. Maril Jorge Martn. I.-Introduccin: La escuela, que en nuestra sociedad tiene entre sus tareas primordiales la de contribuir decisivamente a la formacin multilateral de nuestros escolares dedica gran parte de sus esfuerzos a crear las condiciones para que los alumnos aprendan a pensar. En nuestro pas, la preocupacin por el desarrollo del pensamiento de los alumnos desde los primeros grados tiene dimensiones y races histricas que hoy se hacen ms profundas. De ah que, ensear a pensar sea una de las principales directrices de la escuela cubana actual. Ahora bien, qu significa ensear a pensar?. Ensear a pensar significa formar en el alumno el establecimiento de nexos entre determinados objetos y tareas, por una parte, y las correspondientes acciones de respuesta, por la otra; significa formar asociaciones. Esto es, se comienza por explicar tanto el objeto como la tarea y las propiedades del objeto que determinan los principios para la solucin de la tarea; estos principios y los mtodos de solucin que se derivan de ellos, posibilitarn resolver la tarea. Los que nos dedicamos a la enseanza, en particular, a la enseanza de la Matemtica, tenemos la obligacin de proporcionar a nuestros educandos las tcnicas del pensar durante el proceso de solucin de problemas, de forma tal que los prepare para enfrentar dismiles tareas que en su vida se presentan. Una prioridad que tiene la enseanza de la Matemtica, es la de contribuir a la formacin y desarrollo del pensamiento lgico en nuestros estudiantes; de ah que se trabaje en tres direcciones fundamentales, que son: desarrollo del pensamiento lgico, resolucin de problemas y vinculacin con la vida; de forma tal que permita a los alumnos, no solo poder enfrentarse a la solucin de problemas matemticos, sino tambin, la de pensar de forma correcta ante la solucin de cualquier tipo de problema que en la vida cotidiana enfrentan. Si partimos del criterio, ya demostrado por otros autores, de que la formacin de un pensamiento lgico en los escolares comienza desde la enseanza primaria y que ste se realiza de manera espontnea e implcitamente a travs del contenido de nuestras clases; entonces podemos plantear que el escolar al arribar a la enseanza media ya tiene un desarrollo incipiente de su pensamiento lgico. Esto se ha podido comprobar a travs de los diagnsticos realizados a los estudiantes de este nivel; pero tambin, un gran porciento de stos, presentan problemas en su razonamiento lgico. De todo lo anteriormente expuesto, consideramos que deberamos preguntarnos, de qu medios didcticos valerse para ensear a pensar en Matemtica?. En la actualidad, existen tres importantes tendencias relacionadas con el desarrollo del pensamiento: el Constructivismo, la Instruccin Heurstica y la Enseanza por Problemas. En nuestro trabajo abogamos por utilizar la Heurstica como mtodo para la enseanza de los procedimientos lgicos del pensamiento. Entonces, en este sentido, nos hemos planteamos la siguiente interrogante objeto de investigacin: Cmo emplear la heurstica para ensear, de manera explcita, los procedimientos

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lgicos del pensamiento asociados a conceptos a travs de las clases de Matemtica?. Para dar respuesta a la interrogante anterior, nos trazamos como objetivo del presente artculo, el siguiente: Disear a partir del empleo de la heurstica una forma de ensear, de manera explcita, los procedimientos lgicos elementales del pensamiento asociados a conceptos a travs de las clases de Matemtica. II.-DESARROLLO. El pensamiento es un proceso complejo y multifactico. Lo estudian varias ciencias, entre ellas la lgica, la teora del conocimiento, la sicologa, la ciberntica y otras. Cada una lo aborda desde su ngulo de accin. Desde el punto de vista psicolgico, el trmino pensamiento es aplicado a mltiples manifestaciones de la conducta del hombre. Segn A. N. Leontiev, el pensamiento hace posible el conocimiento de las propiedades, nexos y relaciones esenciales de la realidad objetiva, permitiendo al hombre el acceso de aquello que no es dado directamente en la superficie de las cosas. De aqu, podemos concluir que, el pensamiento comienza donde resulta ya insuficiente o ineficaz el conocimiento sensible. Muchos autores consideran la peculiaridad del pensamiento de expresarse, predominantemente, a travs de la solucin de problemas; luego, la forma ms peculiar y tal vez ms importante para el hombre, bajo la cual se manifiesta el pensamiento es la solucin y formulacin de problemas.

A. F. Labarrere (1994), seala que, en la literatura cientfica se mencionan varios tipos de pensamiento: espacial, tcnico, matemtico, histrico, lgico, etc., pero prefiere no sumergirse en la polmica relativa a si es posible la existencia de tan diversos tipos de pensamiento. El pensamiento lgico, segn el Dr. L. Campistrous (1993), es aquel que es correcto, es decir, el pensamiento que garantiza que el conocimiento mediato que proporciona se ajusta a lo real. El trmino lgico es sinnimo de natural o adecuado, y se usa para calificar el pensamiento en el sentido de su validez o correccin. El pensamiento lgico tiene formas especiales de manifestarse, las llamadas formas lgicas del pensamiento. Por forma lgica del pensamiento se entiende, por tanto, lo general que puede ser inherente a distintos tipos de pensamiento , independiente de toda la veracidad de su contenido y objeto. Se reconocen tres formas lgicas del pensamiento: concepto, juicio y razonamiento. La Lgica las examina desde el punto de vista de las reglas lgicas de estructuracin, del papel del conocimiento, as como tambin investiga los errores lgicos posibles durante las conclusiones. El pensamiento lgico no es una cualidad innata en el hombre. Sobre ello dice N. Talzina (1987): "l no nace con un pensamiento lgico preparado, con conocimientos preparados sobre el mundo. Pero tampoco descubre en cada ocasin de nuevo ni las leyes lgicas del pensamiento, ni las leyes de la naturaleza. Todo lo que lleg a ser conocido por las sociedades anteriores, lo asimila en el proceso de su vida". En este proceso de asimilacin, la enseanza juega un papel esencial. En este sentido, somos partidarios de la concepcin histrico cultural de L. S. Vigotski, la cual supone partir del carcter rector de la enseanza para el desarrollo psquico, considerndolo como fuente de ese desarrollo. La formacin y desarrollo de un pensamiento lgico trae aparejado la asimilacin consciente de un conjunto de procedimientos lgicos asociados a cada una de las diferentes formas lgicas anteriormente mencionadas.

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El concepto procedimiento se emplea con frecuencia en la literatura psicolgica y pedaggica. En este trabajo emplearemos el concepto procedimiento lgico en el sentido empleado en la Sicologa. Por procedimientos lgicos del pensamiento entendemos aquellos procedimientos ms generales, que se utilizan en cualquier contenido concreto del pensamiento, se asocian a las operaciones lgicas del pensamiento y que se rigen (cuando son adecuados) por las leyes y reglas de la Lgica; en esto se diferencian de los procedimientos especficos, los cuales pueden ser aplicados solamente en determinada esfera concreta. En la prctica, los procedimientos lgicos siempre aparecen ligados a un contenido concreto, que depende del campo de aplicacin y que le aade un componente especfico, en una estrecha interrelacin con el componente general, o sea, el procedimiento propiamente dicho. Aunque existe un estrecho nexo entre estos dos componentes, ellos son relativamente independientes, lo cual expresa la posibilidad del individuo que domina el procedimiento, de aplicar la parte lgica a cualquier contenido especfico. Los procedimientos lgicos no dependen del contenido concreto, mientras que los procedimientos especficos pueden ser utilizados slo en una esfera determinada. Por otro lado, en la actividad real del hombre, los procedimientos lgicos siempre se ejecutan con algn contenido especfico. El Dr. L. Campistrous (1993) propone clasificar los procedimientos lgicos en tres tipos: a) Procedimientos lgicos asociados a conceptos. b) Procedimientos lgicos asociados a juicios. c) Procedimientos lgicos asociados a razonamientos. El siguiente mapa conceptual recoge algunos elementos relacionados con el pensamiento lgico:

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se manifiesta a travs de estas son asociadas a estos son

estos son

RAZONAMIENTOS

REALIZAR INFERENCIAS (SILOGSTICAS, INMEDIATAS Y REDUCTIVAS). REFUTACIN. ARGUMENTACIN. DEMOSTRACIN DIRECTA E INDIRECTA DEDUCCIN POR SEPARACIN.

TRANSFORMAR JUICIOS. MODIFICAR JUICIOS. DETERMINAR EL VALOR DE VERDAD

ASOCIAR PROPIEDADES DEFINIR CONCEPTOS CARACTERIZAR CONCEPTOSDESCRIBIR CONCEPTOS DISTINGUIR PROPIEDADES IDENTIFICAR CONCEPTOS DEDUCIR PROPIEDADES RECONOCER PROPIEDADES CLASIFICAR CONCEPTOS EJEMPLIFICAR CONCEPTOS

PROCEDIMIENTOS LGICOS

JUICIOS CONCEPTOS

FORMAS LGICAS DEL PENSAMIENTO

PENSAMIENTO LGICO

Centraremos nuestra atencin en los conceptos y aquellos procedimientos lgicos asociados a stos. Hay consenso en que la accin del hombre se vale de procedimientos de actuacin; algunos son procedimientos especficos, vlidos en un campo particular del conocimiento; otros son procedimientos generales vlidos en cualquier campo del conocimiento, pues garantiza la

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correccin del pensar, y que son llamados procedimientos lgicos del pensamiento, que van a representar los elementos constituyentes del pensamiento lgico. Precisamente, centraremos nuestra atencin en este tipo de procedimientos. En su relacin con el mundo, el hombre entra en contacto con las propiedades de los objetos, que son los rasgos o atributos que los hacen diferentes. As pues, entre los procedimientos lgicos ms elementales se encuentran los que se relacionan con las propiedades de los objetos. Entre estos se encuentra: Identificacin del concepto: Entindase el procedimiento lgico que permite decidir si un objeto, hecho o fenmeno pertenece o no a un concepto. Una base orientadora para la formacin de este procedimiento podra ser la siguiente: - Recordar propiedades suficientes del concepto. - Reconocer si el concepto posee o no dichas propiedades. - Decidir la pertenencia o no del objeto al concepto. A pesar de la universalidad de la identificacin, podemos hablar de un procedimiento lgico porque las acciones bsicas son las mismas cualquiera sea el contenido tratado. Dentro de las tendencias relacionadas con el desarrollo del pensamiento est la Instruccin Heurstica, y en nuestro trabajo abogamos por utilizar la Heurstica como mtodo para la enseanza de los procedimientos lgicos del pensamiento anteriormente expuestos. La Heurstica (del griego eureka, significa: hallar, descubrir, inventar) es relativamente joven, como instruccin cientfica, y recientemente es que aparece sistematizados los procedimientos heursticos para la enseanza en la literatura pedaggica.

En el tratamiento de los conceptos, es importante conocer las potencialidades lgicas que poseen los ejercicios y problemas que seleccionemos para la asimilacin y fijacin de stos; en este sentido, somos partidarios de emplear el Modelo propuesto por el Dr. W. Jungk para la resolucin de ejercicios y problemas, el cual conocemos en nuestro pas como Programa Heurstico General; pues consideramos que este modelo facilita actuar sobre el pensamiento del alumno, a travs de la observancia de algunos principios, reglas, estrategias y medios heursticos, posibilitando ello, la ejecucin de aquellas acciones bsicas encaminadas a la formacin de los procedimientos lgicos del pensamiento

A continuacin mostraremos a travs de un ejemplo cmo el empleo del Programa heurstico

general puede contribuir a la enseanza, de manera explcita, de los procedimientos lgicos del pensamiento. En este sentido, seleccionamos uno de stos: la identificacin de conceptos. Nos apoyaremos para ello en la resolucin de un ejercicio del sptimo grado; esto es: Ejemplo:

El ejercicio que presentamos a continuacin es el nmero 3 del epgrafe 15 del libro de texto de sptimo grado. Este es un ejercicio en el cual predomina la identificacin como nivel de asimilacin; donde el procedimiento lgico que predomina en el mismo es el de identificacin de conceptos; el cual, para su formacin, se necesita trabajar sobre un conjunto de acciones bsicas. Para llevar a vas de hecho lo anteriormente explicado, proponemos estructurar el proceso de resolucin del ejercicio, de manera tal que el profesor pueda accionar, sobre las acciones bsicas, de la manera siguiente:

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Procedimiento lgico. Acciones bsicas.

Actividad del maestro. Actividad del alumno.

A partir de este instante se comienza a crear las bases para la ejecucin de aquellas acciones para la formacin

ORIENTACIN HACIA EL PROBLEMA. Hasta ahora, se han resuelto ejercicios sobre cuadrilteros como una figura plana. Hemos estudiado al paralelogramo como un concepto subordinado del cuadriltero. En tal sentido, es necesario continuar resolviendo ejercicios donde se apliquen estos conceptos Por lo que procederemos al planteamiento del siguiente ejercicio: Diga si el cuadriltero ABCD es o no un paralelogramo en cada uno de los siguientes casos: a) 1= 2 =4 b) 1=2 ; 2 4 Fundamente sus respuestas. B C

1 3 4 A D De qu trata el problema planteado? TRABAJO EN EL PROBLEMA. Con qu rama de la Matemtica podemos relacionar al ejercicio? Para iniciar la resolucin del ejercicio nos conviene hacernos las siguientes preguntas:

Formula el texto del ejercicio con sus palabras, interpretando palabras claves (cuadrilteros, paralelogramos, ngulos) Con la Geometra. Dado: ABCD un cuadriltero 1=2=4 y 1=2; 2 4 Buscado:

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del procedimiento lgico: Identificacin del concepto "paralelogramo". Accin bsica: Recordar propiedades suficientes para que el cuadriltero ABCD sea un paralelogramo. En esta parte del ejercicio est presente el procedimiento lgico: Identificacin de los

Qu datos nos ofrecen en el ejercicio? Qu se busca? Se trata de probar si el cuadriltero ABCD es un paralelogramo. Entonces nos correspondera hacernos la siguiente pregunta: Qu elementos caracterizan a un paralelogramo? De los elementos sealados por ustedes, estn todos presentes en el ejercicio para poder decir que ABCD es un paralelogramo?. Por qu? Entonces, qu debemos probar ?. Podramos decidir con los elementos dados en el ejercicio, que los lados opuestos del cuadriltero ABCD son paralelos?. Qu conocimientos matemticos son necesarios utilizar en el ejercicio para poder probar el paralelismo de sus lados?

Probar si ABCD es un paralelogramo. (R.H. Separar lo dado de lo buscado) Plantean que: 1. cuatro lados, 2. poligonal cerrada, 3. lados opuestos paralelos. (R.H. Sustituir el concepto por su definicin). Analizan y plantean que como ABCD es un cuadriltero, entonces:

1. est presente (X), 2. est presente (X), 3. no se sabe ( ?).

Por tanto, no podemos decir si ABCD es o no un paralelogramo; pues no sabemos si los lados opuestos son o no paralelos. (Aqu est presente la regla lgica dentro de este procedimiento). Que los lados opuestos son paralelos. (Analiza los elementos dados con lo que debe probar). Buscando relaciones entre los ngulos. (R. H. Relaciona lo que tiene con lo que busca) 1 y 2 (alternos internos) 1 y 4 (ngulos correspondientes)

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conceptos ngulos alternos y correspondientes, a partir de su reconocimiento en el grfico del ejercicio. A partir de este momento comienza el trabajo para la ejecucin de la accin bsica: Reconocer si el cuadriltero ABCD posee o no la propiedad. Accin bsica: Decidir si el cuadriltero es o no un paralelogramo. Accin bsica: Reconocer si el cuadriltero ABCD posee o no la propiedad. Accin bsica: Decidir si el cuadriltero ABCD es o no un paralelogramo.

Atendiendo a la figura dada en el grfico del ejercicio, con qu conceptos podemos identificar los ngulos dados en la figura del ejercicio?. SOLUCIN DEL PROBLEMA. Consideramos que estn creadas todas las condiciones para probar el paralelismo entre los lados opuestos del cuadriltero ABCD. Para el inciso a) Si tenemos que 1=2, por datos; y el 1 y 2 son alternos, qu podemos decir de las rectas AD y BC? Por otro lado, si 1=4 y 1 y el 4 son correspondientes, qu podemos afirmar de las rectas AB y CD? Como se cumple que los lados opuestos del cuadriltero ABCD son paralelos, a qu conclusin podemos arribar? Para el inciso b) Ya habamos visto que en el caso anterior, AD y BC son paralelas. Luego, nos falta analizar, en este caso, si AB y CD son o no paralelas. Se conoce por datos que 1=2 y 24, qu podemos decir de los 1 y 4? Si ya conocemos que los ngulos 1 y 4 son distintos, y adems correspondientes, qu puede afirmarse de las

(R.H. Sustituir el concepto por su definicin) AD y BC son paralelas. AB y CD son paralelas. (R.H. Recordar teoremas del dominio matemtico) ABCD es un paralelogramo. (R.H. Sustituir el concepto por su definicin) Que los ngulos 1 y 4 no son iguales. AB y CD son rectas no paralelas. ABCD no es un paralelogramo, pues BC // AD pero AB no es paralelo a CD.

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qu puede afirmarse de las rectas AB y CD? Entonces, con los elementos anteriores, puede decirse que el cuadriltero ABCD es un paralelogramo? Por qu? EVALUACIN DE LA SOLUCIN Y DE LA VA. Consideramos necesario hacernos la siguiente pregunta: Cmo procedimos para la solucin del ejercicio? Podr ser aplicable en otros ejercicios similares la va de solucin empleada en el ejercicio? Para poder probar, en cada caso, si el cuadriltero ABCD es un paralelogramo; o sea, probar el paralelismo de sus lados opuestos, hemos aplicado varias acciones fundamentales, que son generales, pues estas pueden ser aplicables a otros contenidos matemticos o extramatemticos. Qu conceptos fueron identificados en el ejercicio? Cmo procedimos para la identificacin de estos conceptos?

(R. H. Sustituir el concepto por su definicin) Elaborar, conjuntamente con el profesor, el procedimiento empleado para la solucin del ejercicio. Valora la posibilidad ante situaciones similares.

Paralelogramo, ngulos

alternos y correspondientes entren paralelas cortadas por una secante.

Recordar aquellas

acciones seguidas para la identificacin y la regla lgica empleada.

III.- Conclusiones. "Aprender a pensar es una necesidad de los estudiantes, ensearlos a pensar es

tarea de los maestros". (Rita Concepcin, 1995)

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_ En el presente trabajo nos hemos introducido en el estudio de las formas lgicas y los procedimientos lgicos del pensamiento desde el punto de vista psicolgico, filosfico(dialctico materialista) y didctico, exponiendo algunos elementos de carcter terico-metodolgico que, desde nuestra ptica, son fundamentos importantes en nuestra investigacin. El presente tema de investigacin tiene singular actualidad, por cuanto ha sido reconocido que uno de los principales problemas a resolver en nuestro sistema educacional, es la formacin y desarrollo del pensamiento lgico de nuestros estudiantes a travs del proceso de enseanza- aprendizaje. Para poder arribar a la realizacin de la sntesis terica sobre los principales aspectos relacionados con el pensamiento lgico tuvimos que consultar las Tesis de diferentes autores en las fuentes bibliogrficas utilizadas en nuestra investigacin. _ Sobre la inclusin de la Lgica en los programas escolares hemos encontrado en la bibliografa consultada dos posiciones: . Una primera posicin que plantea incluir la Lgica como una asignatura del currculo

escolar. . Una segunda posicin que plantea ensear los procedimientos y conocimientos lgicos a

travs de las asignaturas del currculo escolar. No es objetivo de nuestro trabajo fundamentar si es preferible ensear Lgica como una asignatura o no. Nuestra posicin es que los procedimientos lgicos deben ser aprendidos por los alumnos y, por tanto, enseados, y que es posible ensearlos mediante las asignaturas del currculo, en particular mediante la Matemtica, asignatura en la cual se dan las condiciones favorables para el aprendizaje de tales procedimientos por su estrecha relacin con la Lgica, y que para realizar este trabajo, podemos apoyarnos en el mtodo heurstico. _ En la concepcin actual de la enseanza de la Matemtica, los procedimientos lgicos no estn incluidos en los contenidos de los programas, de manera explcita, por lo que en la escuela no se trabaja conscientemente su enseanza. Adems, en las Tesis de los autores consultados se ha podido encontrar muy poco acerca de la enseanza de los procedimientos lgicos del pensamiento asociados a conceptos; la mayora de estos autores enfocan este problema y lo muestran con algunos ejemplos prcticos, pero no dan una propuesta general que sea aplicable en cualquier materia de enseanza. En este sentido, nosotros proponemos apoyarnos en el mtodo heurstico como una alternativa metodolgica que puede ser aplicable para la enseanza de estos procedimientos lgicos. _ Para la formacin de los procedimientos lgicos, no estamos en contra de que pueda dedicarse grupos de clases o una unidad temtica, lo que s abogamos por el hecho de que se debe prestar atencin sistemticamente al desarrollo del pensamiento lgico de los alumnos, pero que se realice planificadamente no de forma espontnea. Es necesario que en la clase el profesor preste atencin a la forma en que razonan los alumnos y sea consecuente con lo que van aprendiendo sobre el procedimiento; utilizar lo ya aprendido siempre que sea posible. IV.- Bibliografa. 1. ALEXEIV, M. N. Didctica de las formas del pensamiento. - - Mosc: Ed. Universidad de

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4. ALMEIDA, B. Las estrategias heursticas en la enseanza de la Matemtica / Bernardino Almeida. - - Matanzas: ISP "Juan Marinello", 2000. - - 30p. Material Mimeografiado.

5. ALMEIDA, B. Didctica de la resolucin de problemas / Bernardino Almeida, Jos T. Borges. - - La Habana: Ed. Academia; 2000. - - 25p.

6. BALLESTER, P. S. Metodologa de la enseanza de la Matemtica. / Sergio Ballester Pedroso... [ et al. ]. - - La Habana: Ed. Pueblo y Educacin, 1993. - - 483 p.

7. BOZHOVICH, L. I. La personalidad y su formacin en la edad infantil / L. I. Bozhovich. Ed. Pueblo y Educacin, 1989. - - 310 p.

8. CAMPISTROUS, L. M. Lgica y procedimientos lgicos del aprendizaje / Luis M. Campistrous. - - La Habana: Ed. MINED: Instituto Central de Ciencias Pedaggicas, 1993. - - 26p.

9. DAVIDOV, V. La enseanza escolar y el desarrollo psquico: Investigacin psicolgica terica experimental / Vasili Davidov. - - Mosc: Ed. Progreso, 1988. - - 273p.

10. DURAN, A. Enseanza de los procedimientos lgicos del pensamiento / Alexis Durn. - - Tesis de Doctorado. - - Instituto Central de Ciencias Pedaggicas. - - C. Habana. 1998.

11. GONZLEZ, R. F. La psicologa en Cuba: apuntes para su historia / Fernando Gonzlez Rey. - - La Habana, enero- marzo, 1995. - - p.

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345p 24. TORRES, P. El mtodo heurstico en la enseanza de la Matemtica del nivel medio General /

Pal Torres. - - En Revista Educacin. (La Habana) 16 (60): 114-12, enero - marzo, 1986. 25. VIGOTSKI, L. S. Pensamiento y lenguaje / L. S. Vigotski. - - La Habana: Instituto del libro,

1968. - - 181p.

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Ttulo: La conversacin heurstica: un mtodo eficaz para el desarrollo del pensamiento en los estudiantes al estudiar ciencias exactas.

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La integracin de los nuevos conocimientos con los ya asimilados. El desarrollo de operaciones intelectuales tales como: analizar, sintetizar, comparar,

clasificar, etc, y de las formas de trabajo y de pensamiento fundamentales de las ciencias: variacin de condiciones, bsqueda de relaciones y dependencia y consideraciones de analoga.

La formacin de capacidades mentales, como la intuicin, la productividad, la originalidad de las soluciones, la creatividad, etc. (Ballester, 1992). La funcin bsica de estos mtodos de enseanza, es el desarrollo del pensamiento creador de los estudiantes y es evidente que la personalidad del hombre que hay que formar es esencialmente creadora. Todas las funciones de esta enseanza pueden sintetizarse en una que es fundamental: el desarrollo del pensamiento creador de los estudiantes, de su independencia cognoscitiva, la cual se puede caracterizar en el proceso docente, como la capacidad intelectual del estudiante para escoger los elementos esenciales y secundarios en los objetos, fenmenos y procesos mediante generalizacin. La independencia cognoscitiva se evala adems por la capacidad del individuo para aplicar convenientemente los conocimientos (Martnez Llantada, 1996). II.- Desarrollo. El proceso de enseanza aprendizaje debe lograr formar personalidades que busquen el conocimiento y lo apliquen con carcter creador en beneficio de nuestros pueblos americanos, que se conozcan a s mismos y aprendan cmo autorregularse; que sientan, amen y respeten a sus semejantes; que se expresen libremente y con conocimiento de causa de lo que dicen y hacen, hombres que como dijera Jos Mart, digan lo que piensan y lo digan bien. (Zilberstein, 2000). Se establece que el Programa Heurstico General para el trabajo con problemas.

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Fases fundamentales del trabajo con el problema.

Fases parciales del trabajo con el Problema

1-Orientacin hacia el problema. - Motivacin - Planteamiento del problema. - Percepcin del problema por parte de los alumnos.

2-Trabajo con el problema. - Precisin del problema. - Anlisis del problema. - Bsqueda de la idea de solucin.

3- Solucin del problema. - Aplicacin de los mtodos seleccionados. 4- Evaluacin de la solucin y de la va.

- Comprobar la solucin. -Se considera si se puede transmitir la va de solucin a ejercicios similares.

La importancia de los problemas est dada por las funciones que estos desempean en la enseanza de esta disciplina. Los problemas cumplen las funciones:

Instructiva: Est dirigida a la formacin en el alumno del sistema de conocimientos, capacidades, habilidades y hbitos matemticos que se corresponden con su etapa de desarrollo a travs de los problemas deben ser fijados conceptos, teoremas y conocimientos matemticos.

Desarrolladora: Est encaminada a fomentar el pensamiento de los alumnos y a dotarlos de mtodos efectivos de la actividad intelectual. Contribuye a la formacin y desarrollo del pensamiento lgico de los alumnos, lo cual se realiza cuando el alumno analiza distintas vas de solucin, cuando aprende a extraer y a utilizar la formacin contenida en l.

Educativa: Est orientada a la formacin de la concepcin cientfica del mundo en los alumnos al desarrollo de los intereses cognoscitivos; de cualidad de la personalidad, as como el patriotismo y el internacionalismo.

Control: Se orienta al terminar el nivel de cumplimiento de las tres funciones anteriores, es decir, la instruccin y la educacin de los alumnos, su capacidad para el trabajo independiente, el grado de desarrollo de su pensamiento matemtico, o sea, a comprobar en qu medida se cumplen los objetivos de la asignatura en el tratamiento de problemas.

El tratamiento de los ejercicios de aplicacin y ejercicios con texto tiene gran importancia ya que se logra dotar a los alumnos mtodos efectivos para la actualidad intelectual al desarrollo del pensamiento. La conversacin heurstica y la tcnica del dilogo Otro aspecto de la Instruccin heurstica en la enseanza de la Matemtica a tener en cuenta en el desarrollo de la propuesta metodolgica desarrollada en esta tesis, es la utilizacin de la conversacin heurstica y por ende la utilizacin correcta de la tcnica del dilogo. Este planteamiento no significa que el hecho de utilizar la conversacin heurstica conlleve a una Instruccin heurstica. Se puede utilizar la conversacin heurstica en las clases para la bsqueda del nuevo conocimiento y no ensear explcitamente los procedimientos heursticos. Segn Lothar Klingberg, la conversacin heurstica (mtodo heurstico) es considerada generalmente como el mtodo (donde el procedimiento heurstico es una parte del aspecto interno del mtodo de enseanza) por medio del cual la materia se desarrolla conjuntamente

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con el profesor y los alumnos. Puede aplicarse con buen xito cuando sobre la base de determinadas condiciones previas los alumnos han de adquirir nuevos conocimientos. (Klingberg, 1970). Las posibilidades del dilogo en el proceso de aprendizaje se remontan desde la antigedad, y se puede hacer referencia a uno de los dilogos ms conocidos en la historia de una de las civilizaciones clsicas del desarrollo de la Humanidad, se trata del dilogo utilizado por Scrates con un esclavo del rey Menn, para mostrarle a este, cmo a travs de sus preguntas, el esclavo va respondiendo con sus propias conclusiones, apoyndose slo en sus conocimientos previos y llegando al resultado que se quiere obtener. Resulta sorprendente, que la filosofa haya conocido la gran importancia de la pregunta para el conocimiento humano y en especial, para el pensamiento creador y que a pesar de ello no se haya analizado sistemticamente en el pasado como un problema de la teora del conocimiento y como una categora lgica. Segn Loeser (citado por Klingberg, 1970) en el pensamiento creador est contenido, entre otros, un pensamiento lgico interrogativo, que es el pensamiento guiado a travs de preguntas y respuestas. La recomendacin del empleo de una conversacin de clase activa subyace a lo largo de todo el desarrollo de la Ciencias Exactas , y su fundamento se sustenta en elementos de los presupuestos tericos de las disciplinas integrantes (Torres, 2000). Esta se caracteriza porque el maestro no solamente acta con preguntas, sino que utiliza otros estmulos didcticos del pensamiento, los llamados impulsos, que conceden al alumno una mayor amplitud, una mayor libertad de movimiento, lo estimulan a la independencia, lo obligan a hablar usando oraciones completas, a expresarse, a comparar, a fundamentar y a demostrar coherentemente. Una enseanza de las Ciencias que se proponga un carcter desarrollador, basada en la instruccin heurstica, debe propiciar con sistematicidad el empleo de la conversacin, y en particular, el dilogo activo, aunque si este no es bien empleado, el resultado de la enseanza puede ser peor, por eso hay que tener en cuenta en qu consiste esta tcnica y qu requisitos son necesarios para el desarrollo de la misma. Son requisitos de una buena tcnica de preguntar los siguientes: Gramaticales: Colocar el pronombre interrogativo al principio. Escoger la palabra correcta para formular la pregunta. Lgicos: Formular la pregunta con claridad y precisin. Psicolgicos: La pregunta debe corresponder a la capacidad de rendimiento de los alumnos. No abusar de preguntas alternativas (de si o no). Tratar con mucho cuidado las preguntas de definicin. Evitar preguntas en cadena. Como fin de la enseanza, las preguntas deben estimular la actividad consciente y creadora de los alumnos y para ello el profesor debe respetar las siguientes condiciones: 1. La pregunta debe formularse de tal manera que estimule a los alumnos a pensar y no solo a

reproducir conocimientos ya asimilados 2. La pregunta debe estar dirigida en una forma tan precisa que muestre a los alumnos la

direccin del razonamiento y no los confunda.

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3. El tiempo de incubacin entre pregunta y respuesta debe dosificarse correctamente. El maestro debe darle tiempo al alumno a reflexionar. (Klingberg, 1970).

Segn Klingberg, el segundo medio de direccin del dilogo es el estmulo, que en la literatura ms actualizada lo conocemos tambin como impulso. Por lo general el estmulo o impulso, ampla el campo de reflexin del alumno. El impulso es un medio especialmente efectivo para conducir a los alumnos a pensar y expresarse coherentemente. En cuanto a los impulsos, es importante resaltar la conveniencia de combinar los de carcter verbal (fundamenta tu respuesta, contina por ese camino) con los impulsos concretos (figuras, lminas, cuadro de pizarra) y con los impulsos mmico gesticulares (movimientos de las manos, la cabeza, los ojos). Al hablar de los impulsos y las preguntas como medios fundamentales para conducir la conversacin de clase, entonces es fundamental referirse a una regla didctica bsica: el principio de las exigencias decrecientes. Este principio consiste en plantear inicialmente las preguntas u otros impulsos de la forma ms general y exigentes posibles, y solo en la medida en que los estudiantes no puedan responder a ese nivel de exigencia se decrece sta y se incrementa la ayuda del profesor. Puede decirse as, que el nivel cero de exigencia consiste en preguntar exactamente lo que se desea que el alumno conteste, y el nivel mximo (o primer impulso) es permanecer callado despus de plantear la tarea docente, es decir, dar tiempo al estudiante a pensar, a analizar.(Torres, 2000). El principio de las exigencias decrecientes tiene fundamentacin psicolgica en la concepcin de L. S. Vigotsky de zona de desarrollo prximo (ZDP) (Vigotsky, 1966), segn la cual contribuye al desarrollo intelectual de los alumnos aquella enseanza que se adelanta al desarrollo, que dirige sistemticamente la actividad del alumno hacia su zona de desarrollo prximo. Aspirar a conquistar la apertura de la ZDP durante el proceso de aprendizaje de las Ciencias presupone tambin la accin sistemtica del profesor en funcin de obtener un clima adecuado de comunicacin y de creacin. Son necesarias frases de estmulo, as como el silencio, hacer pausas despus de lanzadas las preguntas, no rechazar al alumno por una respuesta incorrecta. Es tambin trabajar por crear un ambiente favorable ms all del local donde se desarrolla la clase. Un verdadero dilogo en clase se caracteriza por el movimiento progresivo de los pensamientos perceptibles por todos los alumnos, por un verdadero enriquecimiento de sus conocimientos, de sus puntos de vista, sus convicciones y sentimientos. (Klingberg, 1970). EEssttee pprroocceeddiimmiieennttoo iimmpplliiccaa qquuee eell aalluummnnoo eellaabboorree pprreegguunnttaass lloo qquuee ccoonnttrriibbuuyyee aa iimmpplliiccaarrlloo eenn eell pprroocceessoo ddee eennsseeaannzzaa aapprreennddiizzaajjee aa mmoottiivvaarrlloo yy eessttiimmuullaarr llooss pprroocceessooss llggiiccooss ddee ssuu ppeennssaammiieennttoo,, yy ssuu iinnddeeppeennddeenncciiaa ccooggnnoosscciittiivvaa,, aaddeemmss ddee ffoorrttaalleecceerr ssuuss mmooddooss ddee eexxpprreessiinn.. La escuela debe preparar al alumno para que sea capaz de elaborar preguntas, en colectivo o individualmente, lo que lo ayuda a que pueda determinar y aplicar la esencia y la lgica de lo estudiado. El interactuar de esta forma con el contenido, facilita su interiorizacin y su utilizacin en nuevas situaciones y permite no solo responder a los cuestionamientos del educador, sino a los que surjan en uno mismo o plantee el colectivo de estudiantes. Ahora bien, Cmo se busca el conocimiento? Se le puede ensear al individuo a encontrar el conocimiento? Existen procedimientos para ello? EEssttaa eess,, pprreecciissaammeennttee,, llaa eesseenncciiaa ddee llaa iinnssttrruucccciinn hheeuurrssttiiccaa,, qquuee aa ppeessaarr ddee sseerr llllaammaaddaa iinnssttrruucccciinn eesstt ddeeffiinniiddaa ccoommoo ...... eennsseeaannzzaa ccoonnsscciieennttee yy ppllaanniiffiiccaaddaa ddee llooss rreeccuurrssooss hheeuurrssttiiccooss......,, lloo qquuee pprreessuuppoonnee qquuee ccuummppllaa ffuunncciioonneess iinnssttrruuccttiivvaa,, eedduuccaattiivvaa yy ddeessaarrrroollllaaddoorraa,, eenn ccuuyyoo pprroocceessoo ddeebbee mmaanniiffeessttaarrssee llaa uunniiddaadd eennttrree llaa iinnssttrruucccciinn yy llaa eedduuccaacciinn..

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Mtodo de conversacin heurstica: En este mtodo el profesor plantea a los estudiantes preguntas y tareas problmicas, cuya solucin independiente se efecta durante la conversacin heurstica (de bsqueda), los debates de los estudiantes y los comentarios a la realizacin independiente de experimentos. El descubrimiento de los nuevos hechos se produce como resultado del anlisis de los datos de la tarea y de la generalizacin de los hechos presentados por el profesor. Lo que favorece a eliminar el formalismo, en la medida en que las situaciones que se le plantea a los estudiantes, activen su pensamiento, teniendo en cuenta el grado de dificultad en funcin del nivel de asimilacin de los mismos. Este mtodo puede ser utilizado en clases de consolidacin, generalizacin y control. A continuacin exponemos dos ejemplos donde se evidencia la aplicacin de esta teora a travs de la enseanza de la Fsica en el nivel medio bsico. Tareas Generalizadoras acerca del contenido de la Ley de Joule Lenz, sugiriendo la siguiente tarea. Se desea hacer una conexin que permita ahorro de energa elctrica como parte de los esfuerzos que realiza el pas en la campaa por el ahorro energtico, para ello utilizaremos 3 focos , si usted desea, compare el costo al utilizar 3 focos en serie, y 3 en paralelo en un circuito de 115 volt. Si cada foco tiene una resistencia de 100 ohms. Cul es el circuito de 115 volt. Cul es el consumo de energa y cuntas caloras de calor se generan en cada caso, durante un perodo de una hora?, Entonces seale de que forma har la conexin y explique fundamentando su respuesta. La solucin debe partir del dibujo de un diagrama para cada caso como se muestra en las figuras:

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El profesor pudiera guiar la solucin a travs de los siguientes pasos: Cul es la expresin de la Ley de Joule Lenz ?

La Ley de Joule Lenz dice que: RIP 2= , pero IRV = , que al sustituirse en la ecuacin anterior de VIP = Para los focos en serie, Cmo calcular la resistencia total del circuito ?, la resistencia total es la suma de las resistencias. R = R1 + R2 + R3 = 300 ohm, Cul es la expresin de la Ley de Ohm ? Entonces la intensidad de la corriente elctrica se puede calcular mediante la expresin:

RVI = =

300115

= 1,383 A y por lo mismo la potencia se calculara como :

IVP = = (0,383)(115) = 44 W. Para los focos en paralelo la resistencia elctrica Cmo se podra calcular su equivalente? Esto sera por:

100

31111

321=++=

RRRR por lo tanto 33.33

3100 ==R Ohm.

Con esta resistencia, la corriente elctrica se puede determinar

45.333.33

115 ===RVI A.

De donde la potencia es P = (3,45)(115) = 397 W Se puede comparar las potencias consumidas en ambos casos y se ver que como:

9=serie

paraleloP

P, es decir, la potencia consumida por los focos en paralelos es 9 veces mayor

que la consumida por los focos en serie.

El calor generado en una hora es entonces para el circuito en serie , frmula en la que es el equivalente mecnico del calor (1 calora = 4,18 joules), entonces

RtIPtQ 2==

JsAQserie 158424)3600)(300()38.0(2 ==

Si utilizamos el equivalente mecnico del calor

3790018.4424.158 ==serieQ caloras mientras que los focos en paralelo generan

JsAQparalelo 1426872)3600)(3,33()45.3(2 ==

Si ahora calculamos el equivalente en caloras,

calorasQparalelo 34135718.41426872 == .

Nuevamente se puede observar que los focos en paralelo generan mayor cantidad de calor. Entonces Cmo explicar la conexin que se debe utilizar para un gasto mnimo ?

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De aqu el estudiante realiza determinas inferencias y llega a la conclusin que no es posible en la prctica la utilizacin de conexiones en serie para las instalaciones elctricas residenciales , teniendo en cuenta la situacin que se generara al producirse una interrupcin, por ejemplo, al estar defectuoso uno de los bombillos , es por ello se hace an ms necesario el rigor en el ahorro energtico . Tema: Induccin electromagntica. Se pudiera iniciar el trabajo con la realizacin de las siguientes preguntas de actualizacin a los estudiantes: Qu elementos debe tener un circuito elctrico para que por l circule corriente elctrica? La generalidad de los estudiantes pudieran responder que es necesario la existencia de una fuente de corriente elctrica, conductores, interruptor y elementos consumidores. Para que exista una corriente elctrica en circulacin por todo el circuito, el interruptor debe

estar abierto o cerrado? Los estudiantes conocen con anterioridad este particular y respondern que es cerrado. Luego los estudiantes saben que para que exista circulacin de corriente elctrica por el circuito, debe existir una fuente de corriente elctrica, y adems, el circuito debe estar cerrado. De esta forma el estudiante interacta de nuevo con los conocimientos anteriores obtenidos. Con estas condiciones preliminares damos paso al siguiente experimento demostrativo por parte del profesor. Para ello nos auxiliamos de una bobina, imn recto, galvanmetro, conductores, formando con estos elementos un circuito en serie. Se sugiere presentar el experimento demostrativo, donde intervengan: cables de conexin , galvanmetro , bobina e imn, entonces el profesor , pudiera plantear: Creen ustedes que pudiramos obtener circulacin de corriente elctrica en este circuito? La generalidad de los estudiantes pudieran responder que no se puede obtener circulacin de corriente elctrica por el circuito, ya que no existe una fuente de corriente elctrica que proporcione una cada de tensin que origine el movimiento orientado y dirigido de los electrones a travs del conductor. En este momento se mover el imn en el interior de la bobina y se observar el paso de corriente elctrica a travs del cambio de posicin registrado por la aguja del galvanmetro El profesor pudiera plantear: veamos qu ha ocurrido. En este momento surge la situacin problmica en los estudiantes. Por qu surge corriente elctrica en el circuito si no hay fuente de corriente elctrica conectada a ella? Se observa claramente la contradiccin existente entre los conocimientos que antes posean los alumnos y los nuevos que van a asimilar. De esta forma resulta evidente el fundamento de la enseanza problmica; se observan aqu los elementos que caracterizan la situacin cognoscitiva activa (tensin intelectual, emocional y volitiva). El problema docente es la interiorizacin de la contradiccin por el estudiante, cuando a partir de la situacin problmica l se cuestiona: qu es lo conocido? Qu es lo desconocido? Qu provoca el surgimiento de la corriente elctrica en la bobina? Aqu el estudiante, orientado por el profesor, pudiera realizar de nuevo el experimento y analizar cmo ocurre el surgimiento de la corriente elctrica en los siguientes casos:

Movimiento del imn con la bobina fija. Movimiento de la bobina, manteniendo el imn inmvil. Movimiento relativo a la bobina y el imn. Movimiento del imn con diferentes posiciones con la bobina fija.

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Esto permite que los estudiantes analicen cundo aparece mayor circulacin de corriente elctrica, en funcin de que el movimiento de uno u otro elemento sea ms o menos rpido y generalizarlo al movimiento relativo de ambos. La corriente elctrica en un conductor cerrado se obtiene cuando existe variacin de las lneas de induccin magntica que atraviesan el rea limitada por el conductor. El profesor, basndose en las actividades experimentales que han realizado los estudiantes, les pudiera preguntar: Cundo aprecian ustedes reflexin de la aguja del galvanmetro, que denota circulacin de

corriente elctrica por el circuito? La generalidad de los estudiantes pudieran responder que slo aparece corriente elctrica cuando el imn se acerca o se aleja de la bobina, puesto que cuando se encuentra en reposo en el interior de ella, la intensidad de la corriente elctrica es cero, no hay circulacin de corriente elctrica por el circuito. Cmo se comporta el campo magntico que atraviesa el rea abarcada por la bobina en cada

uno de estos casos? La generalidad de los estudiantes respondern que existe una variacin del campo magntico, dado porque el conductor ha cortado las lneas de fuerza del campo magntico. Existe variacin del campo magntico en el interior de la bobina al mantener en reposo el

imn dentro de ella? La generalidad de los estudiantes responder que no existe variacin del campo magntico. Con todo lo anterior se puede llegar a la definicin del fenmeno de induccin electromagntica que plantea que es el fenmeno mediante el cual se produce en un conductor cerrado, una corriente elctrica, cuando el conductor corta las lneas de fuerza del campo magntico, producindose una variacin del mismo, constituyendo esto un nuevo conocimiento a alcanzar por los estudiantes. Aqu se manifiesta evidentemente la funcin principal de la enseanza problmica, desarrollo de capacidades cognoscitivas, revelndose la esencia de la enseanza problmica como sistema didctico fundamentado en las regularidades de la asimilacin creadora de los conocimientos y mtodos de actividad, que combina de manera especfica los procedimientos y mtodos de enseanza y aprendizaje, aproximndose a los rasgos de la investigacin cientfica. Los estudiantes, guiados por el profesor, pudieran analizar como verificacin de los contenidos impartidos, el principio de funcionamiento de los motores elctricos. III.- Conclusiones.

Los estudiantes que reciben las clases aplicando el mtodo heurstico son capaces de evidenciar el desarrollo del pensamiento cientfico, a su nivel, demuestran independencia cognoscitiva, se comportan como sujetos creativos, al apreciarse en ellos audacia, flexibilidad, originalidad, muestran capacidades para la autoevaluacin, espritu crtico y en general son ms activos y persistentes.

El mtodo de conversacin heurstica permite la interrelacin del profesor con el estudiante donde ste se convierte en el actor principal del proceso docente educativo guiado por el profesor , descubriendo por s solo el nuevo conocimiento .

Los experimentos pedaggicos realizados aplicando esta propuesta metodolgica han permitido demostrar la efectividad de la misma , teniendo en cuenta que se ha constado una elevacin de la calidad de la educacin as como el desarrollo de cualidades creativas en los estudiantes .

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Aspectos fundamentales de la instruccin heurstica en la enseanza de las Ciencias y los presupuestos metodlogicos de la misma son transferibles a una propuesta metodolgica en una disciplina del nivel medio bsico, en este caso la enseanza de la Fsica en el Noveno Grado de la secundaria bsica cubana , en la cual se presentan tareas docentes , con ascenso en el grado de exigencia mental. Lo problmico siempre exige fuerza de pensamiento, pero si el que va a resolver el problema no sabe cmo hacerlo, lo ms probable es que abandone la tarea y el mtodo de enseanza en este caso conduce al fracaso en la consecucin del objetivo planteado fracaso en la consecucin del objetivo planteado. IV.- Bibliografa.

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Ttulo: La utilizacin de los procedimientos heursticos en la formacin del concepto de sucesin numrica convergente.

Autores: MSc. Ma de los Angeles Valdivia Sardias. Lic. Maril Jorge Martn. MSc. Lizardo Cabrera Sarmiento.

I.- Introduccin La racionalidad de la actividad mental es una necesidad creciente de la sociedad y en consecuencia, un objetivo de la enseanza de la Matemtica en nuestro pas. Ello exige que en la clase de Matemtica se apliquen conscientemente tanto los medios necesarios para la racionalizacin como los procedimientos de trabajo mental para la solucin de problemas matemticos, o sea, los procedimientos heursticos y algortmicos. Los procedimientos heursticos juegan un papel fundamental en la direccin y desarrollo de la actividad mental de los alumnos y favorecen el uso de las formas de trabajo y de pensamiento de la matemtica. Para que el alumno logre asimilar y aplicar estos procedimientos es necesario que se familiarice con ellos y que el maestro desarrolle una verdadera instruccin heurstica . Una de las mayores deficiencias que presentan los profesores de matemtica, es la formacin de conceptos matemticos en sus clases, por la complejidad del tema y la necesidad de brindar alternativas para su tratamiento metodolgico. En las indicaciones metodolgicas generales del programa de matemtica de las transformaciones realizadas en la Secundaria Bsica para el curso escolar 1999- 2000 se plantea los problemas no pueden seguir emplendose solamente como nuevas situaciones en que los alumnos aplican los conocimientos aprendidos y las habilidades correspondientes...significa que los problemas se tratar como una situacin del medio natural o social en que se desenvuelve el alumno, del que conoce cierta informacin y descubre interrogantes no resueltas, que necesita explicar o responder, para lo cual entonces, requiere un pensamiento heurstico y ampliar su conocimiento y habilidades matemticas. Ms adelante, se refieren entre otras a: El empleo predominante del mtodo de elaboracin conjunta, mediante el procedimiento de preguntas heursticas, que muevan el pensamiento de los alumnos, que despierten su inters por la solucin de referidos problemas prcticos y les enseen a razonar lgicamente. El objetivo de esta comunicacin es mostrar cmo los procedimientos heursticos son importantes para la formacin del concepto sucesin numrica convergente, de manera tal que los estudiantes se apropien de las formas de trabajo y de pensamiento de la Matemtica. II.- Desarrollo. ARGUMENTAR, como habilidad del pensamiento lgico est constituida por un sistema de acciones tales como:

a) Interpretar el juicio de partida: Analizar el objeto o informacin. Relacionar las partes del objeto. Encontrar la lgica de las relaciones. Elaborar las conclusiones acerca de los elementos, relaciones y razonamientos

que aparecen en el objeto de informacin a interpretar. b) Encontrar de otras fuentes los juicios que corroboran el juicio inicial. c) Seleccionar las reglas lgicas que sirven de base al razonamiento.

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.

ESQUEMA DE DESCARTES

MTODO DE LUGARES GEOMTRICOS

SUMA DE CEROS MULTIPLICACIN

POR UNO

SEPARA LA PREMISA DE LA TESIS

CONFECCIONA UNA FIGURA DE ANLISIS

REPRESENTA MAGNITUDES CON VARIABLES

GENERALIZACIN MOVILIDAD MEDIR Y PROBAR CONSIDERACIONES Y

CASOS ESPECIALES

ESPECIALES

TRABAJO HACIA ADELANTE

TRABAJO HACIA ATRS

SEPARA LO DADO DE LO BUSCADO

RECUERDA CONOCIMIENTO DEL DOMINIO MATEMTICO

BUSCA RELACIONES ENTRE LO DADO Y LO BUSCADO

ANALOGA REDUCCIN INDUCCIN

GENERALES

ESTRATEGIAS REGLAS PRINCIPIOS

PROCEDIMIENTOS HEURSTICOS

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ESTRUCTURA DEL PROCESO TOTAL DE LA ELABORACIN DE CONCEPTOS Y DEFINICIONES.

1. Consideraciones previas. 2. Formacin del concepto: Es la parte del proceso que conduce desde la creacin del

nivel de partida, la motivacin y la orientacin hacia el objetivo (O.H.O) y que pasa por la separacin de las caractersticas comunes y no comunes, hasta llegar a la definicin o la aplicacin del concepto.

3. Fijacin del concepto. Para el desarrollo de la clase utilizaremos el Programa Heurstico General que permite la estructuracin metodolgica detallada utilizando los procedimientos heursticos esenciales para la formacin de conceptos, teniendo en cuenta adems las actividades que hay que llevar a cabo con los estudiantes para formar dicho concepto (accin mental) de acuerdo con las etapas de la accin y el control (Teora de Galperin) es decir:

s.

PROPIAMENTE MENTALES: Observacin, comparacin, anlisis, sntesis de las caractersticas esenciales hasta llegar a las caractersticas del concepto. Se plantean requerimientos ms elevados a la actividad mental y a la independencia de los alumno

ORALES: Comentarios sobre las observaciones de los alumnos, descripciones orales de las caractersticas esenciales del concepto, discusin, resmenes parciales.

CON MATERIALES: Empleo de objetos concretos, modelos que sirven de base para la visualizacin directa, trabajo con modelos.

ACTIVIDADES

El ncleo de la formacin de un concepto es la bsqueda y el reconocimiento de las caractersticas necesarias y suficientes. Debe lograrse que los alumnos relacionen el contenido total de un concepto con el concepto en s, o sea, con la palabra, frase conceptual o con el smbolo.

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PROGRAMA HEURSTICO PARA LA FORMACIN DE CONCEPTOS.

PROGRAMA HEURSTICO PROCEDIMIENTOS HEURSTICOS

1. Orientacin hacia el problema Asegurar condiciones previas Motivacin. Precisin del problema.

PH: Analoga. PH: Complesin.

2. Trabajo en el problema. Crear situacin de partida. Seleccin de una estrategia. Establecer caractersticas comunes y no comunes. Formular definicin.

PH: Analoga. PH: Bsqueda de relaciones y Dependencias. PH: Medir y comprobar Sistemticamente. RH: Determinar caractersticas comunes y no comunes. PH: Generalizacin.

3. Solucin del problema.

4. Evaluacin de la solucin y de la va. PH: Anlisis de casos especiales y casos lmite. Se reconsideran

Para desarrollar esta clase que lleva por ttulo Sucesiones numricas convergentes, nos proponemos los siguientes objetivos:

1. Definir el concepto de sucesin numrica convergente a partir del concepto de sucesin infinitesimal, utilizando los procedimientos heursticos para la formacin de un concepto.

2. Demostrar la existencia del lmite de una sucesin dada aplicando la definicin y los

procedimientos heursticos para demostrar proposiciones. Estos objetivos se derivan de los objetivos del tema propiamente dicho. La clase precedente es: Sucesiones numricas. Sucesiones infinitesimales e infinitamente grandes. Sucesiones acotadas y montonas. La clase posterior es: Propiedades de las sucesiones convergentes. El sistema de conocimientos de esta clase se vincula con el sistema de conocimientos de otras clases del tema, con los de otros temas en el mismo programa, con los otros programas de la disciplina, adems con otras disciplinas de la carrera. Entindase en el sistema de conocimientos a los procedimientos heursticos que como actividad mental est presente en toda actividad cognitiva. Antes de exponer cmo se desarrollar la formacin del concepto de sucesin convergente es

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necesario tener presente que el concepto de sucesin est presente implcitamente en toda la formacin de un escolar, desde la primaria donde se ofrecen nociones en El Mundo en que vivimos a travs de procesos de la vida cotidiana como son: la sucesin de los das y las noches, la sucesin de las estaciones del ao y otras situaciones lo que muestra el trabajo propedutico realizado en la escuela como parte de la fase preparatoria para la introduccin del concepto de funcin. En 8vo grado se define por primera vez el concepto de funcin a travs de una correspondencia entre dos conjuntos donde a cada elemento del conjunto de partida se le hace corresponder un nico elemento del conjunto de llegada y se define el concepto subordinado de funcin lineal, es lgico que en este momento se trabajen sucesiones teniendo en cuenta que estas son un caso particular cuando el dominio de definicin es IN (conjunto de los nmeros naturales). En 10mo grado se vuelve a tratar el concepto de funcin utilizando los pares ordenados, es decir, otra definicin del concepto, donde se aprovechan las potencialidades para incluir implcitamente a las sucesiones numricas. Pero no es hasta el 2do ao de las carreras donde se forma el concepto de sucesin numrica (en cursos anteriores se haca en el 11no grado) incluyendo los conceptos relacionados a l como el de acotacin, monotona y convergencia.

Orientacin hacia el problema Asegurar condiciones previas Se reactiva el concepto de bola en IR (Vecindad) y el de sucesin infinitesimal, a travs de la revisin de la tarea: Dadas las sucesiones:

a) (an)= (1

1+n ) b) (bn) = ( 1

3+nn ) c) (cn) = (2n + 1) d) (dn)= (-1)n

Cul de ellas es una sucesin infinitesimal? Por qu? Analoga Y las otras, por qu no lo son? Pero se acercan a otro valor a medida que n crece? Motivacin. Qu tipo de nombre recibirn estas sucesiones que no son infinitesimales pero a que a medida que n crece tienden o se acercan a un nmero distinto de cero? Explicar que en la vida conocemos algunas situaciones que pueden ser interpretadas a travs de sucesiones numricas y mostramos la diapositiva de la reforestacin y haremos el comentario pertinente. Daremos a conocer los objetivos de la clase. En la fase del desarrollo de la clase, trataremos lo que sigue: Precisin del problema: De lo que se trata es entonces de buscar la definicin para sucesiones que tienden o se acercan a un nmero real a medida que n crece indefinidamente. Para ello estableceremos las siguientes notaciones: La expresin: (an) se acerca o tiende a un nmero L a medida que n crece indefinidamente es anloga a:

(an) L o lim(an) = L

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Trabajo en el problema.

Crear situacin de partida. Retomamos el ejercicio de la tarea y segn las notaciones anteriores cmo podremos expresar la definicin de sucesin infinitesimal ? PH: Analoga. Seleccin de una estrategia. Por qu supimos que (an) es infinitesimal? A qu nmeros se acercan las dems sucesiones a medida que n crece indefinidamente? PH: Medir y comprobar. MH: Calculadora. PH: Bsqueda de relaciones y dependencias. RH: Realizar figura de anlisis.

Establecer caractersticas comunes y no comunes. Qu tienen en comn estas sucesiones? (an) y (bn) tienden a un nmero y ese nmero es el centro de la vecindad a la cual pertenecen la mayora de los trminos de la sucesin, por lo que podemos decir que estas sucesiones tienen lmite. (cn) no tiene nada en comn con las dems, pues a medida que n crece los valores de cn crecen tambin. No tiene lmite. (dn) a medida que n crece los valores de la sucesin tienden a 1 y 1, no tienden a un solo nmero. RH: Determinar caractersticas comunes y no comunes.

Formular definicin. Entonces, A qu conclusin podemos llegar? Como sabemos que (an) es una sucesin infinitesimal, es decir,

Lim (1

1+n ) = 0 > 0 N () : n N 1

1+n - 0 <

Aplicando el principio de analoga, cmo podremos definir

Lim (1

3+nn ) = 3 > 0 N () : n N

13+nn - 3 <

Cmo podemos definir que lim an = L? Lim an = L si y solo si > 0 N () : n N an - L < ....Mostrar lmina (Anaya) Discutir los otros dos casos que no tienen lmite. PH: Generalizacin. Solucin del problema. Por analoga hemos llegado a este resultado, utilizando adems la va inductiva para definir el concepto, estableciendo una generalizacin a travs de casos particulares, pero cmo podremos saber si efectivamente esta consideracin es cierta?..........Motivar la necesidad de realizar la demostracin y hacer la demostracin.

Demostrar que lim (1

3+nn ) = 3

Qu significa esta proposicin? Sustituir concepto por su definicin.

Lim (1

3+nn ) = 3 > 0 N () : n N

13+nn - 3 <

Qu es lo que debe probarse? Que para cualquier > 0 existe un nmero natural N() tal que si se cumple que n N se cumple que

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1

3+nn - 3 <

Cmo encontrar ese N?. Qu parte de la definicin se puede desarrollar que aporte el n N? Utilizar contenido del dominio matemtico. Qu estrategia se tendr que utilizar? Trabajo hacia atrs. Se desarrolla la inecuacin y se obtiene n > (1 - ) / Luego, tomando N como el nmero natural ms prximo al valor (1 - ) / y mayor que este, se obtendr lo deseado, pues segn la definicin si n > (1 - ) / se cumple que

13+nn - 3 < . La seleccin de N en la

forma mencionada es posible gracias a la propiedad arquimedeana. A estas sucesiones que tienen lmite se les denominan sucesiones convergentes y las que no tienen se les denominan divergentes. Hacer notar que estos dos conceptos son disjuntos, una sucesin converge o diverge. A travs de preguntas a los estudiantes haremos las conclusiones de la clase que respondan al cumplimiento de los objetivos de la misma. Cmo definimos lim (an) = L? Qu significa con tus palabras esta definicin? Cul procedimiento utilizaremos para demostrar que el lmite de una sucesin es el nmero dado? Qu estrategia de demostracin utilizamos?

TIENDEN A DOS NMEROS O MS

INFINITO

NO TIENEN LMITE TIENEN LMITE L IR

DIVERGENTES CONVERGENTES

SUCESIONES NUMRICAS

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Evaluacin de la solucin y de la va. Ser esta la nica va para definir el lmite de una sucesin? Existir alguna relacin entre la existencia del lmite y los puntos de acumulacin de una sucesin? Se podr establecer relaciones entre los conceptos de convergencia, monotona y acotacin? PH: Anlisis de casos especiales y casos lmites. III.- Conclusiones. En esta comunicacin hemos mostrado cmo es posible utilizar los procedimientos heursticos en la formacin del concepto de sucesin convergente. En esta comunicacin se utilizaron los procedimientos heursticos en la formacin del concepto sucesin numrica convergente, estos pueden ser utilizados en cualquier situacin tpica de la enseanza de la Matemtica presente en cualquier forma organizativa docente de cualquier asignatura en los diferentes niveles de enseanza porque en general ellos estn presentes en toda actividad cognitiva en que el hombre tenga que encontrar vas de solucin desconocidas, altamente exigentes para el pensamiento. IV.- Bibliografa.

1. ALMEIDA, B. Los procedimientos heursticos en la enseanza de la Matemtica/ Bernardino Almeida, Jos Manuel Gonzlez y Silvia Hernndez.La Habana ISPEJV, 1990.29pManual mimeografiado.

2. Addine, Ftima, y otros/ Didctica y optimizacin del proceso de enseanza aprendizaje. IPLAC. Cuba, 1997.

3. FARFN, ROSA MARA. Heurstica, Seccin de Matemtica educativa. CINVESTAV-INP. Mxico,1995.

4. GALPERIN, P.Y. Nuevas investigaciones en la investigacin por etapas de las acciones mentales. Impresin ligera de la Escuela de Psicologa: Universidad de La Habana, 1981...

5. JUNGK, W. Conferencias de Metodologa de la Enseanza de las Matemticas. Primera parte. Editorial Pueblo y Educacin. La Habana. (1986 a).

6. _______ La Instruccin Heurstica de las Matemticas Escolares. I.S.P. Enrique J. Varona. La Habana,2000.

7. Snchez, Carlos/ Anlisis Matemtico I. Editorial Pueblo y Educacin. La Habana. 8. TALZINA, N. F. Psicologa de la enseanza. Editorial Progreso. Mosc, 1988. 9. VALDIVIA SARDIAS. M. La heurstica: una alternativa metodolgica para la

enseanza de procedimientos lgicos del pensamiento asociados a conceptos a travs de las clases de Matemtica. En memorias del Evento Internacional COMAT 2001. Matanzas, 2001.

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Ttulo: La instruccin heurstica en la enseanza aprendizaje del Anlisis Matemtico I

Autores: MSc. Mara de los Angeles Valdivia Sardias. Dr. Eduardo Villegas Jimnez. MSc. Lizardo Cabrera Sarmiento.

I.- Introduccin El concepto de instruccin heurstica surge en la Didctica de la Matemtica por la necesidad que tienen los docentes de estudiar y explicar el sistema de recursos metacognitivos que deben emplear los alumnos para resolver de una manera racional, problemas o situaciones de la vida, cuando no conocen previamente un algoritmo para su solucin. Ella est estrechamente vinculada con el desarrollo de la intuicin y con las diversas variantes de enseanza que destacan el trabajo con problemas, entre ellas la Enseanza Problmica, enseanza que tiene su gnesis en la heurstica y en la cual los alumnos se sitan sistemticamente ante problemas, cuya resolucin debe realizarse con la activa participacin de los educandos, y en la que el objetivo no es slo la obtencin del resultado, sino adems su capacitacin para la resolucin independiente de problemas en general. (Torres, 1993). LLaa iinnssttrruucccciinn hheeuurrssttiiccaa eesstt ddeeffiinniiddaa ccoommoo:: llaa eennsseeaannzzaa ccoonnsscciieennttee yy ppllaanniiffiiccaaddaa ddee rreeggllaass ggeenneerraalleess yy eessppeecciiaalleess ddee llaa hheeuurrssttiiccaa ppaarraa llaa ssoolluucciinn ddee pprroobblleemmaass,, ppaarraa lloo ccuuaall eess nneecceessaarriioo qquuee ccuuaannddoo ssee ddeeccllaarreenn ppoorr pprriimmeerraa vveezz llaass mmiissmmaass eexxppllcciittaammeennttee,, ssee ddeessttaaqquueenn ddee uunn mmooddoo ccllaarroo yy ffiirrmmee,, yy ssee rreeccaallqquuee ssuu iimmppoorrttaanncciiaa eenn ccllaasseess ppoosstteerriioorreess hhaassttaa qquuee llooss aalluummnnooss llaass aapprreennddaann yy uuttiilliicceenn iinnddeeppeennddiieenntteemmeennttee ddee mmaanneerraa ggeenneerraalliizzaaddaa,, ppoorr lloo qquuee ddeebbee eejjeerrcciittaarrssee ssuu uussoo eenn nnuummeerroossaass yy vvaarriiaaddaass ttaarreeaass.. ((BBaalllleesstteerr,, 11999922)).. EEnn eessttee ttrraabbaajjoo,, llaa aauuttoorraa eennttiieennddee llaa eennsseeaannzzaa ccoonnsscciieennttee yy ppllaanniiffiiccaaddaa nnoo ssoolloo ddee llaass rreeggllaass,, ssiinnoo ttaammbbiinn ddee llaass eessttrraatteeggiiaass yy llooss pprriinncciippiiooss ddee llaa hheeuurrssttiiccaa.. La propuesta metodolgica que se expone en este artculo tiene como objetivo principal mostrar a travs del proceso de enseanza aprendizaje de una asignatura de la especialidad de Matemtica para formacin de profesores (en este caso Anlisis Matemtico I), cmo el profesor utiliza los elementos de la heurstica para definir conceptos, obtener un teorema o la idea de la demostracin de un teorema o proposicin, entre otras, de forma tal que le sirva al estudiante, futuro profesor de Matemticas, como modelo para su actuacin profesional en la escuela.

Es por ello, que dicha propuesta est encaminada a la formacin de profesores en el sentido de lograr en ellos una instruccin heurstica que no solo les ayude a resolver problemas matemticos de manera independiente sino que tambin se adiestren en los mtodos de bsqueda del nuevo conocimiento y sean capaces de aplicarlos en el aula con sus estudiantes. La propuesta elaborada presenta las siguientes caractersticas:

1) Est dirigida a la formacin de profesores, en lo referido a la instruccin heurstica en el que se considera esta como un recurso metodolgico esencial para dar tratamiento adecuado al contenido de la asignatura y a la enseanza de la Matemtica en general.

2) Integra los tres componentes organizacionales del proceso de enseanza aprendizaje en la asignatura previendo en el programa de la misma actividades que propicien la instruccin heurstica.

33)) Logra hacer conscientes a los estudiantes de las ventajas que ofrece el empleo de los procedimientos heursticos y los prepara para aplicar independientemente los recursos heursticos en actividades del componente acadmico, laboral e investigativo.

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II.- Desarrollo. LLaa pprrooppuueessttaa mmeettooddoollggiiccaa.. CCrriitteerriiooss ppaarraa ssuu ffuunnddaammeennttaacciinn

El eslabn fundamental de la propuesta metodolgica, lo constituye la determinacin de los criterios que se deben tener en cuenta para realizar la instruccin heurstica a travs del proceso de enseanza aprendizaje en la asignatura Anlisis Matemtico I. Para la determinacin de los mismos fue necesario adems, reflexionar acerca de la contribucin que debe brindar la asignatura a los fines expresados en el modelo del profesional, organizar el contenido de la asignatura teniendo en cuenta el tratamiento de las situaciones tpicas de la Matemtica presentes en el Anlisis Matemtico y emplear mtodos problmicos que propicien la utilizacin de los recursos de la heurstica para encontrar la va de solucin de los problemas planteados. Estos criterios son:

Analizar las posibilidades de la asignatura para contribuir al desarrollo de la instruccin heurstica en los estudiantes.

Identificar del contenido de la asignatura, las situaciones tpicas de la enseanza de la Matemtica que se presentan.

Concretar en cada situacin tpica de la enseanza de la Matemtica seleccionada, los procedimientos heursticos esenciales a utilizar estrechamente relacionados con las formas de trabajo y de pensamiento de la Matemtica.

Realizar tratamiento metodolgico en los ejemplos que se utilizarn en las conferencias utilizando la tcnica de preguntar y la creacin de impulsos didcticos, haciendo nfasis en la aplicacin del principio de las exigencias decrecientes y con especial atencin a la declaracin explcita de los recursos heursticos y su ventaja para concretar los medios y la va de solucin. Determinar un modelo de actuacin didctica que contribuya al trnsito gradual del aprendizaje de los procedimientos heursticos seleccionados.

1. Anlisis de las posibilidades de la asignatura Anlisis Matemtico I para contribuir al desarrollo de la instruccin heurstica en los estudiantes

Esta asignatura se caracteriza por iniciar a los futuros profesores de Matemtica en el estudio de una de las grandes ramas de la Matemtica - El Clculo Infinitesimal - en el cual se estudia uno de los conceptos ms difciles recogidos en la historia de la Matemtica: el concepto de convergencia.

Se ensea a los estudiantes a aprender los procedimientos heursticos a partir de la enseanza del Anlisis Matemtico I? Cules son las posibilidades que ofrece la asignatura para contribuir al aprendizaje de los recursos de la heurstica? LLooss oobbjjeettiivvooss yy ccoonntteenniiddooss ddee llaa ddiisscciipplliinnaa ddeetteerrmmiinnaann llooss rreeccuurrssooss hheeuurrssttiiccooss aa uuttiilliizzaarr.. EEnn ttooddooss llooss ccoonntteenniiddooss ssee hhaaccee rreeffeerreenncciiaa aa llaa rreessoolluucciinn ddee eejjeerrcciicciiooss iinncclluuyyeennddoo ccoommoo ccllaassee iimmppoorrttaannttee llaa ddee ddeemmoossttrraacciioonneess ddee pprroopp