I - Dimensionamento Eixos e Vigas

Dimensionamento de Vigas e Eixos

28

9.0 Dimensionamento de eixos e vigas.

9.1 Critrios de Resistncia. No dimensionamento dos elementos de mquinas e estruturas, como os eixos e as vigas, vrios so os critrios que podem ser utilizados para o estabelecimento de suas dimenses mnimas, compatveis com as propriedades mecnicas dos materiais utiliza-dos, obtidas nos ensaios em laboratrio. Tais critrios surgem quando se busca a resposta seguinte questo bsica: - quando ocorrer a runa* do material da pea carregada? *(entendemos como runa a deteriorao do material, por ruptura, por plastificao, por ser ultrapassado o limite de proporcionalidade, ou de escoamento etc, dependendo de seu uso). Vrias poderiam ser as hipteses (teorias) para sustentar uma resposta a tal ques-to: - a runa ocorre quando a maior tenso normal presente ultrapassar o valor da tenso normal ocor-rente quando da runa do corpo de prova no ensaio de trao (ou compresso) do material; - a runa ocorre quando a maior tenso tangencial presente ultrapassar o valor da tenso tangencial ocorrente quando da runa do corpo de prova no ensaio do material correspondente; - a runa ocorre quando a maior deformao longitudinal presente ultrapassar o valor da deforma-o longitudinal ocorrente quando da runa do corpo de prova no ensaio do material; - a runa ocorre quando a maior energia especfica de distoro presente ultrapassar o valor da ener-gia de distoro por unidade de volume ocorrente quando da ruptura do corpo de prova no ensaio do material. - outras... Como se ver, no h resposta nica, vlida para qualquer situao: o critrio que mais se coaduna com os resultados obtidos em laboratrio depender do tipo do material e do tipo do carregamento.

9.2 Teorias das Mximas Tenses. Vlido para materiais frgeis (duros, quebradios, que se rompem nos planos on-de a tenso normal extrema) o critrio da mxima tenso normal, segundo o qual haver runa quando, em certo ponto do corpo, a tenso principal ultrapassar o valor da tenso de runa no ensaio uniaxial do material. Portanto, o dimensionamento, para um dado CS, deve ser feito atendendo ao requisito (Critrio de Coulomb):

(x + y) + [ (x - y)] 2 + (xy )2 < lim/CS...(9.2.1)

[ (x - y)] 2 + (xy )2 < lim/CS .....(9.2.2)

Para materiais dteis (macios, flexveis, que se rompem nos planos onde a tenso tangencial extrema), o critrio da mxima tenso tangen-cial o que melhor se coaduna, considerando que haver runa quando, em certo ponto, a tenso m-xima de cisalhamento ultrapassar o valor da tenso tangencial ocorrente (a 45) no ensaio de trao do material (mx =

limite). O dimensionamento (para um dado CS) deve atender a que (Critrio de Tresca):

Fig.9.1 Tipos de fratura no ensaio de trao (a) material frgil; b) ma-terial dtil (inicialmente, a fratura se d por cisalhamento at que a reduo da rea provoca a ruptura por trao).

Planos de Clivagem

45

(a) (b)


29

Exemplo 9.2.1 Dimensionar o eixo macio a ser fabricado em ao 1020 (tenso limite de escoamento esc = 200MPa), de forma a transmitir um torque T = 10 kN.m, sob um momento fletor M = 15 kN.m., com um coeficiente de segurana 1,6 ao escoamento.

Exemplo 9.2.2 Para o perfil I esquematizado, determinar o coeficiente de segu-rana para a ruptura do material, supondo tratar-se de ao 1080, de alto teor de car-bono, dureza Brinell 248, e resistncia trao de 78 kgf/mm2.

Soluo: Para um eixo de seo circular submetido a um torque T e um mo-mento fletor M, o ponto da periferia mais solicitado estar submetido s se-guintes tenses (a tenso tangencial devido a Q desprezvel para um eixo macio) = (/) (d/2); = (/JP) (d/2); sendo JP = pid4/32 e I = JP Como se trata de um material dtil (baixo teor de Carbono), utiliza-remos o critrio da mxima tenso tangencial. mx = [ (x - y)] 2 + (xy )2 =[ (/)d/2]2+ [(T/JP )2d/2]2 mx = [( M2 + T2 )1/2 / JP] (d/2) Interessante notar que o termo (M2 + T2)1/2 representa o mdulo do vetor momento total atuante na seo (M + T) (chamado momento ideal). Para o caso em anlise, como mx =(200/2):1,6 = 62,5MPa teremos:

mx = 32 ( M2 + T2 )1/2 / pid3 d3 = 32 [(10x103)2 + (15x103)2 ]1/2 / pi (62,5x106 = 2,9838x10-3 m3 d = 1,432 x 10-1 m d = 143 mm (Resposta)

100 150

150

8

8

5

210kN

A

B

C

Soluo: O momento de inrcia da seo em relao LN valer: ILN = [100 x (165)3 / 12] [95 (150)3 / 12 = 10,72 x 106 mm2]. Na seo do engastamento teremos: Q = 210 kN e M = - 210x103 x 0,150 = - 31,5 kNm. Para o ponto A (no topo, onde ocorre a mxima tenso nor-mal de trao e onde a tenso de cisalhamento nula), teremos: = (M/ I)y = (31,5x103 / 10,72x10-6 )x0,083 = 243,9 MPa.

Considerando o estado duplo: (trao Pura) - P1 = 243,9MPa P2 = 0,000 mx = (243,9)= 121,9MPa Para o ponto C (na LN, onde ocorre a mxima tenso tan-gencial e onde a tenso normal nula), teremos: = (QMS / b I ) sendo MS = (0,008x0,100x0,079 + 0,005x0,075x0,0375)=77,26x10-6 m3 = 210x103x77,26x10-6 / 0,005 x 10,72x10-6 = 302,7MPa

Considerando o estado duplo: (Corte Puro) - P1 = 302,7MPa P2 = - 302,7MPa mx = 302,7MPa

121,9

243,9

302,7

302,7


30

9.3 Teorias das Mximas Energias de deformao Poder-se- cogitar que a deteriorao do material ocorre quando, no ponto consi-derado, a energia de deformao, por unidade de volume (u), ultrapassar o valor de tal grandeza quando da deteriorao do material por ocasio do ensaio de trao correspon-dente (Critrio de Saint-Venant). Como vimos nos captulos 1.7 e 1.8, considerando os pla-nos principais (onde no ocorrem tenses tangenciais), em um estado triplo de tenses: utotal = U/V = ( ) (1 1 + 2 2 +3 3 ), sendo:

1 = (1/E) [ 1 - (2 + 3 )] 2 = (1/E) [ 2 - (3 + 1 )]

3 = (1/E) [ 3 - (1 + 2 )], que nos leva a: utotal = [1/2E] [ (12 + 22 +32 2 (1 2 + 2 3 + 3 1)]........... (9.3.1)

Segundo o critrio da mxima energia especfica de deformao total no haver deteriorao do material se: 1

2

+ 22

+32 2 (1 2 + 2 3 + 3 1) < ( limite )2 .......................... (9.3.2)

que, no caso do estado duplo de tenses (com 3 = 0) e considerando um certo C.S., se torna: 1

2

+ 22

2 (1 2) < ( lim/CS )2 .............................. (9.3.3) Observa-se experimentalmente que os materiais suportam tenses muito mais elevadas do que a ao ensaio uniaxial de trao, quando submetidos a estados hidrostticos de tenso (quando as 3 tenses principais so todas iguais, ficando os crculos de Mohr reduzidos a um ponto sobre o eixo dos ), no ocorrendo tenso tangencial em qualquer plano (ficando o estado de tenso definido pela grandeza escalar presso, invariante para todas as direes). As rochas sob a crosta terrestre so um bom e-xemplo do que se comenta. Tal comportamento fica compreendido quando se leva em conta que a e-nergia total de deformao pode ser desdobrada em duas componentes: a energia para variao de vo-lume e a energia para variao de forma (distoro). Assim que podemos estabelecer a composio:

Para o ponto B (na interface entre a mesa e a alma, onde ocorre uma tenso normal elevada, embora no seja a mxima, estando presente uma tenso tangencial tambm elevada, embora no seja a mxima), teremos: = (M/ I)y = (31,5x103 / 10,72x10-6)x0,075 = 220,4MPa = (QMS / b I) sendo MS = (0,008x0,100x0,079) = 63,20x10-6 m3 = 210x103 x 63,20x10-6 / 0,005 x 10,72x10-6 = 247,6MPa

Considerando o estado duplo: (Trao+Corte) - P1 = 381,2MPa P2 = -160,8MPa mx = 271MPa Como tg 2p = xy / (x - y) = = -247,6 / (220,4) = - 2,247; 2p = - 66,0; p1 = - 33,0; p2 = 57,0 Como (mx) = 78kgf/mm2 = 765MPa, O coeficiente de segurana para o perfil, segundo o critrio de Coulomb valer 765/381,2 = 2,00

381,2 - 160,8

220,4

247,6

247,6

1

1

1

2

3 p

p

p

1 - p

2 - p

3 - p

= +


31

Admite-se que a ao inelstica ocorrer sempre que a energia de distoro exce-der o valor correspondente no ensaio de trao (onde apenas uma das tenses principais no nula). Este o chamado critrio da mxima energia de distoro (Von Mises). O valor da energia especfica de distoro (ud) ser computado subtraindo do va-lor da energia total, a parcela correspondente a energia de variao volumtrica decor-rente da tenso mdia p, fazendo em (9.3.1) i = p = ( 1 + 2 + 3 )/3, nos dando: uvolume = [(1 2)6E]( 1 + 2 + 3 )2. Efetuando a diferena obtem-se:

udistoro = [(1+)/6E] [(1 2)2 + (2 3)2 + (3 1)2] ..................... (9.3.4)

Segundo tal critrio, no haver a deteriorao do material se: [(1 2)2 + (2 3)2 + (3 1)2] < 2(limite)2 ......................................(9.3.5)

Tratando-se do caso comum de um estado duplo de tenses (com 3 = 0), e dado um certo CS, a equao se torna: (11112 2 2 2 + + + + 22222 2 2 2 11112222) < () < () < () < (lim / CS)2 . Sendo 1 = mdio + mx e 1 = mdio - mx, obtemos: (mdio2 + 3mx2 ) < (limite)2 ......................................................................(9.3.6) Adotou-se certa margem de segurana, considerando como tenso admissvel: adm = limite / (Coeficiente de Segurana). Interessante comentar que, no caso do estado de corte puro (ocor-rente no ensaio de toro de eixos) teremos: 1 = r; 2 = r; 3 = 0; que nos d: 3r 2 < (limite)2 r < 0,577 limite (valor confirmado experimentalmente para os materiais dteis cerca de 60% da tenso normal do ensaio de trao, e no os 50% preconizados pelo critrio da mxima tenso tangencial). Exemplo 9.3.1 O recipiente cilndrico de parede fina esquematiza-

do (dimetro d = 200mm e espessura e = 2,8mm) contm ar compri-mido na presso manomtrica de 32 atmosferas e deve ser submetido uma fora F = 10kN para aperto dos parafusos de vedao. Pede-se avaliar o coeficiente de segurana ao escoamento admitindo que o material da chapa seja ao com tenso normal limite de escoamento 250MPa, E = 210GPa e = 0,300, segundo os quatro critrios de resistncia estudados (no considerar os efeitos da proximidade da chapa do fundo do recipiente na seo da base onde os esforos soli-citantes so extremos).

Soluo: Na seo da base temos: N = p.piD2/4= 3,2x106 x pi (0,200)2/ 4=100,5kN; Q = 10,0kN; M = 10x103 x 0,500 = 5,00kN.m; T =10x103x 0,350 = 3,50kN.m. A = pi D x e = 1,759 x 10-3 m2; JP = A x (D/2)2 = 17,59 x 10-6m4; I = JP

Analisaremos as tenses ocorrentes nos pontos da seo da base (na parte interna, onde atua uma tenso de compresso 3 = - p): A onde a tenso longitudinal trativa devido p se soma devido M; B onde a tenso tangencial devido ao torque T se soma devido Q; C onde a tenso longitudinal pode ser compressiva.

r

r

r

T

p

500

350

D=200

10kN

A

B C


32

PONTO A

PONTO B

PONTO C

C = pD/2e = = 3,2 x106x 0,2 / 0,0056 = 114,3MPa L = N/A + (M/I)(D/2) = = 100,5 x 103 / 1,759x10-3 + +(5x103 / 8,795x10-6) x 0,100 = = 57,13 + 56,85 = 114,0 MPa LC = (T/JP)(D/2) = =(3,5x103 / 17,59x10-6)x0,100= = 19,90 MPa 3 = -p = -3,2MPa

C = pD/2e = = 3,2 x106x 0,2 / 0,0056 = 114,3MPa L = N/A = = 100,5 x 103 / 1,759x10-3 = = 57,13 MPa LC = (T/JP)(D/2) + (Q/A) = =(3,5x103 / 17,59x10-6)x0,100 + + 2 (10x103 / 1,759 x 10-3) = = 19,90 + 11,37 = 31,27MPa 3 = -p = -3,2MPa

C = pD/2e = = 3,2 x106x 0,2 / 0,0056 = 114,3MPa L = N/A - (M/I)(D/2) = = 100,5 x 103 / 1,759x10-3 - +(5x103 / 8,795x10-6) x 0,100 = = 57,13 + 56,85 = 0,28 MPa LC = (T/JP)(D/2) = =(3,5x103 / 17,59x10-6)x0,100= = 19,90 MPa

3 = -p = -3,2MPa

mdio

= (114,3 + 114,0) = 114,2 R = {[ (114,3 - 114,0)]2 + 19.92}1/2=

=19,90 1 = 114,2 + 19,9 = 134,1MPa 2 = 114,2 - 19,9 = 94,3MPa 3 = - 3,2MPa mx = (1 3) = =1/2 [134,1 (-3,2)] = 68,65MPa

mdio

= (114,3 + 57,13) = 85,72 R = {[ (114,3 57,13)]2 + 31,272}1/2=

= 42,37 1 = 85,72 + 42,37 = 128,1MPa 2 = 85,72 42,37 = 43,45MPa 3 = - 3,2MPa mx = (1 3) = =1/2 [128,1 (-3,2)] = 65,65MPa

mdio

= (114,3 + 0,28) = 57,29 R = {[ (114,3 0,28)]2 + 19.92}1/2=

=60,38 1 = 57,29 + 60,38 = 117,7MPa 2 = 57,29 60,38 = - 3,09 MPa 3 = - 3,2MPa mx = (1 3) = =1/2 [117,7 (-3,2)] = 60,45MPa

Dos pontos analisados, o ponto A o mais crtico, para o qual teremos: 1 = 134,1MPa; 2 = 94,3 MPa; 1 = -3,20M Pa; mx = 68,65 MPa Pelo critrio da mxima tenso normal (Coulomb); C.S. = 250 / 134,1 = 1,86. Pelo critrio da mxima tenso tangencial (Tresca); C.S. = 250 / 68,65 = 1,82. Pelo critrio da mxima energia especfica total (Saint-Venant); [(1)2 + (2)2 + (3 )2 2(12 +23 +31)] = (limite /CS)2 ; (134,1)2 + (94,3)2 + (-3,2)2 2x0,300(134,1x 94,3 + 94,3x(-3,2) + (-3,2)x 134,1=(250/CS)2 CS = 1,78 Pelo critrio da mxima energia especfica de distoro (Von Mises); [(1 2)2 + (2 3)2 + (3 1)2] = 2(limite /CS)2 ; (134,1 94,3)2 + (94,3 + 3,2)2 + (-3,2 + 134,1)2 = 2(250 / C.S.)2 C.S. = 2,10.

p

p p

Superfcie interna Superfcie interna Superfcie interna

LC LC LC

L L L

C C

C C

C

L

C

L L


33

9.5 - Aplicaes. So apresentados a seguir dois exemplos de aplicao para dimensionamento de elementos de mquinas e estruturas. Ex. 9.5.1 Eixos (rvores).

250

450

200

F1 F2

F4

F3

Dimensionar o eixo de ao ABCD (E = 200 GPa, = 0,3; escoam = 125 MPa) utilizando o critrio da mxima tenso tangencial, com um coeficiente de segurana 2,5 ao escoamen-to e para um ngulo de toro admissvel de 2,5/m. Dados: Motor M Potncia: 20 CV Rotao: = 1.720 rpm Polias B e C dim. = 300 mm Correias planas paralelas: F1 = 600N; F2 = 300N; F3 = 3 F4 (Obs.: o mancal A transmite to-somente o torque do motor)

M

A B

C

D

(rupt )Trao

(rupt )Compresso (rupt )Corte

9.4 Outras teorias. (Teoria de Mohr) Observa-se experimentalmente que os materiais frgeis suportam tenses de compresso bem mais elevadas que as de trao (um exemplo clssico o concreto). Traando-se os crculos de Mohr corres-pondentes aos ensaios de trao e de compresso do material (bem como o de corte puro, por toro, quando disponvel), ser lgico admitir (Critrio de Mohr) que o estado (duplo) de tenses ser seguro para um dado material se o crculo de Mohr cor-respondente ficar inteiramente dentro da rea deli-mitada pela envoltria dos crculos corresponden-tes aos dados obtidos nos ensaios.

Fig, 9.4 Teoria de Mohr para os critrios de ruptura de materiais frgeis em estado plano de tenses.

Uma outra forma de representar os estados limites em funo dos critrios de resistncia adotados para os materiais dteis a apresentada na fig. 9.3, sendo os eixos cartesianos repre-sentativos das tenses principais 1 2 para um estado duplo de tenses.

(a) segundo o critrio da mxima tenso tangencial (Tresca) o estado de tenso represen-tado pelo par 1 , 2 deve ficar limitado ao hexgono ABCDEFH, que corresponde s condies: |

1 | < esc, |2 | < esc, para 1 e 2 com o mesmo sinal e | 1 2 | < esc , caso 1 e 2 tenham sinais contrrios.

(b) segundo o critrio da mxima energia de distoro (Von Mises) o limite passa a ser a elipse ABCDEFGHA, para a qual:

12 12 + 2

2 = esc

2.

O caso da toro pura, quando 1 = e 2 = evidencia a distino dos dois critrios obtendo-se lim = 0,500 esc

(segundo Tresca) e lim = 0,577 esc (segundo Von Mises).

0,500 0,577

esc

esc

esc

esc

p1

p2

Fig.9.3 Critrios de Tresca e de Von Mises

A B

C

D

E F

G

H


34

Ex. 9.5.2 Vigas.

Diagramas de Esforos

A B

C

D

M

x

y

z

T

My

Mz

Soluo: P = 20 CV = 20 x 736 = 14.720 w TMotor = 14.720 x 60 / 1.720 x 2 pi = 81,72 m TC = F1 x r F2 x r = (600 300) x 0,150 = 45,0 Nm TB = TM - TC = 81,72 45 = 36,72 Nm = (F3 F4)x r = = (3F4 F4 )x 0,150 F4 = 122,4N; F3 = 367,2N. Compondo os esforos externos ativos teremos: F1 + F2 = 900N; F3 + F4 = 489,6N; Os esforos externos reativos valero: 900x0,250 = Ay x0,900; Ay=250N; Dy=900 250= 650N 489,6x0,700 = AZx0,900; AZ = 380,8N; DZ = 108,8N Os diagramas do torque T e dos momentos fletores MY e MZ so apresentados na figura ao lado, destacan-do-se os seguintes momentos extremos (em Nm): (B)T=81,72; MY =380,8x0,2=76,16; MZ=250x0,2=50,0 (C)T=45,0; MY =108,8x0,25=27,2; MZ=650x0,25=162,5 Computando o momento total (denominado momento ideal como visto no ex. 9.2.1): Mi = (MY2 + MZ2 + T2)1/2 , teremos: (B)- Mi = (76,162 + 50,02 + 81,722)1/2 = 122,4 Nm; (C)- Mi = (27,22 + 162,52 + 45,02)1/2 = 170,8 Nm. Verifica-se que a seo do eixo onde est en-chavetada a polia C a mais solicitada. mx = 16 Mi / pid3 e para o material do eixo:

81,72 Nm

36,72 Nm

45,00 Nm

489,6N

900N

650N

250N

380,8N

108,8N

162,5 Nm

50,0 Nm

27,2 Nm

76,16 Nm

45,0 Nm

adm = 125 / 2,5 = 50 MPa, teremos, pelo critrio da mxima tenso tangencial: d3 = 16x 170,8 / pi 50x106 d = 25,9 mm Pelo critrio da mxima deformao por toro, teramos: /L = T / G JP = 32 T / G pi d4, sendo G = E / 2 (1 + ) = 200 / 2,6 = 76,9 GPa. No caso: (/L)adm = 2,5/m = 2,5 / 57,3 = 0,04363 rad/m, e

0,04363 = 32 x 81,72 / 76,9x109 x pix d4 d = 22,3 mm. Portanto, o dimetro admissvel para o eixo ser de 26 mm (Resp.).

2,0m

2,0m

0,9m

0,9m

3,6m 0,4m

P = 10kN

A

B

E

F

C

D A viga AB apoiada em seus extremos sobreo meio dos vos das vigas CD e EF, sendo as trs constitudas por perfis S100 x 11,5 (I = 2,53 x 106 mm4). Adotando como tenses limites e = 150MPa e e = 90MPa, pede-se calcular o coeficiente de segurana do conjunto de vigas.

102

4,8

7,4 67

9kN

10kN

1kN

1kN

0,5kN 9kN 4,5kN

4,5kN

3,6kN.m

4,05kN.m

1,0kN.m

Soluo: o clculo das reaes nos apoios de cada uma das vigas e o traado dos respecti-vos diagramas de momento fletores mostram que as sees crticas das vigas so: VIGA AB seo junto carga P = 10kN, no trecho PB, onde Q = 9kN e M = 3,6 kN.m; VIGA EF no meio do vo, junto ao contato em B, onde Q = 4,5kN e M = 4,05kN.m.


35

VIGA AB (tenses no plano da seo transversal crtica) Mxima tenso de trao/compresso: (3,6 x 103 /2,53x10-6) 0,051 =72,57MPa Mxima tenso : (9,0 x 103 x(0,067x0,0074x0,0473+ 0,0048x0,04362/2) / / (2,53x10-6x0,0048) =20,76MPa Tenses na unio entre a mesa e a alma do perfil:

tenso de trao/compresso: (3,6 x 103 /2,53x10-6) 0,0436 =62,04MPa tenso : (9,0 x 103 x(0,067x0,0074x0,0473)/(2,53x10-6x0,0048) =17,38MPa Considerando o estado triplo de tenses: Nos topos da viga: P1 = 72,57MPa; P2 = 0; P3 = 0; mx = 72,57 = 36,29MPa; No ponto mdio da alma: : P1 = 20,76MPa; P2 = 0; P3 = - 20,76 MPa; mx = 20,76MPa; Nas junes mesa-alma: P1 = (62,04) + [( 62,04)2 + 17,382]1/2 = 31,02 + 35,56 = 66,58MPa P2 = 0; P3 = (62,04) - [( 62,04)2 + 17,382]1/2 = 31,02 35,56 = - 4,54 MPa mx = [( 62,04)2 + 17,382]1/2 = 35,56MPa Portanto, para a viga AB teremos: mx = 72,57 MPa e mx = 36,29MPa

VIGA EF (tenses no plano da seo transversal crtica) Mxima tenso de trao/compresso: (4,05 x 103 /2,53x10-6) 0,051 =81,64MPa Mxima tenso : (4,5 x 103 )x(0,067x0,0074x0,0473 + 0,0048x0,04362/2) / / (2,53x10-6x0,0048) =10,38MPa Tenses na unio entre a mesa e a alma do perfil:

tenso de trao/compresso: (4,05 x 103 /2,53x10-6) 0,0436 =69,79MPa tenso : (4,5 x 103 x(0,067x0,0074x0,0473)/(2,53x10-6x0,0048) =8,69MPa Considerando o estado triplo de tenses: Nos topos da viga: P1 = 81,64MPa; P2 = 0; P3 = 0; mx = 81,64 = 40,82MPa; No ponto mdio da alma: : P1 = 8,69 MPa; P2 = 0; P3 = - 8,69 MPa; mx = 8,69 MPa; Nas junes mesa-alma: P1 = (69,79) + [( 69,79)2 + 8,692]1/2 = 34,90 + 35,96 = 70,86MPa P2 = 0; P3 = (69,79) - [( 69,79)2 + 8,692]1/2 = 34,90 35,96 = - 1,06 MPa mx = [( 69,79)2 + 8,692]1/2 = 35,96MPa Portanto, para a viga AB teremos: mx = 81,64 MPa e mx = 40,82MPa

Concluso: para o conjunto de vigas teremos como tenses extremas: mx = 81,64 MPa e mx = 40,82MPa (ocorrentes no meio do vo da viga EF) e, portanto, o coefici-ente de segurana ser o menor dos valores: 150 / 81,64 = 1,837; 90 / 40,82 = 2,20................................................ C.S = 1,84 (Resposta)

Exerccio proposto Mostre: I) que, para um par de ei-xos ortogonais (u,v) defasado de um ngulo em relao ao par de referncia (x,y), os momentos e produtos de i-nrcia de uma rea A se relacionam atravs das equaes: u = (x + y) + (x - y) cos 2 + (Pxy sen 2)

- Puv = - (x - y) sen 2 + (- Pxy) cos 2. II) que, para os eixos principais de inrcia, (P12 = 0): 1,2 = (x + y)/2 {[(1/ 2) (x - y)]2 + (-Pxy)2}1/2 (Puv)mx = {[(1/ 2) (x - y)]2 + (-Pxy)2}1/2 III) que se pode utilizar o Crculo de Mohr para momentos e produtos de inrcia, nos mesmos moldes em que foi utili-zado para as anlises das tenses e das deformaes. Obs.: u = x cos + y sen ; v = y cos - x sen .

x

u

v y dA

A

x

y v

u

Iu

-Pu v

Ix

Iy I1 I2


36

9.6 Cargas Variveis. Fadiga 9.6.1 - Fadiga A experincia mostra que uma pea, submetida a uma carga cclica, em geral se deteriora, depois de um certo tempo, sob tenses muito mais baixas do que as obtidas nos ensaios estticos do respectivo material. a chamada fratura por fadiga.Tal decorre do fato de que o efeito sobre o material provocado pela ao de uma carga alternativa diferente daquele produzido pela carga, quando aplicada de forma gradual, at seu valor final. A runa devido ao de um esforo esttico provoca uma fratura (com superfcie rugosa) bem diferente daquela provocada pela fadiga do material (com duas regies distin-tas na superfcie fraturada: uma polida, esmerilhada, e outra rugosa Fig. 9.5.1).

Sob o carregamento alternado, uma pequena trin-ca (em geral na superfcie, onde as tenses so mais elevadas, tanto as normais devido flexo, como as tangenciais, devido toro) provoca uma concentrao de tenses no entorno da fenda. Como a carga se alterna, invertendo o sentido da tenso, h uma propagao da fenda para o interi-or da pea, diminuindo a rea da parte ainda nte-gra da seo, at a danificao total. Tal fenme-no responsvel por mais da metade das quebras dos eixos das mquinas e ferramentas, pois, a cada giro, um ponto da periferia do eixo, mesmo submetido a um torque e a um momento fletor invariantes, passa da condio de tracionado a comprimido, retornando a ser tracionado a cada rotao. Por exemplo, num eixo de motor eltrico girando a 1.800 rpm, a cada segundo ocorrero 30 desses ciclos de esforos alternados, provocando um abre e fecha da trinca, que prossegue apro-fundando. importante no confundir tal fen-meno (que ocorre aps milhares de ciclos) com o fenmeno da plastificao alternada, ocorrente quando se provoca deformaes ultrapassando o limite de escoamento de materiais dteis, inver-tendo o sentido da deformao e, aps uns poucos ciclos, o material encruado sofre fratura frgil, com grande dissipao de energia (caso de arames que ficam aquecidos quando partidos). A mxima

Fig. 9.6.1Seo de um eixo fraturado por fadiga: (a) Regio esmerilhada; (b) regio rugosa; c) al-ternncia do sentido da tenso normal decorrente do momento fletor, causada pela rotao do eixo.

a

b

M

M M M

M M trao trao

compresso

tenso alternada qual o material pode ser submetido, sem ruptura, mesmo aps um milho (106) de ci-clos de solicitao, a denominada tenso limite de fadiga (n), medida atravs da mquina de Moore(Fig.9.5.2), obtendo-se o grfico representado abaixo (tenso ruptura x n de ciclos de solicitao).

Carga

Motor

Conta-Giro

Corpo de Prova Espelhado

M M

101 102 103 104 105 106 107 ciclos

250

500 MPa

n

90% probabilidade de runa

10% probabilidade de runa

trinca

c

Fig.9.6.2 Mquina de Moore (FADIGA)


37

Alguns Materiais

Tenso Limite de Escoamento

e (MPa)

Tenso Limite de Ruptura r (MPa)

Tenso Limite de Fadiga n (MPa)

Relao n / r

Ao Estrutural 250 450 190 0,42 Ao 1040 laminado 360 580 260 0,45

Ao Inoxidvel recozido 250 590 270 0,46 Ferro Fundido Cinzento - 170 80 0,47 Alumnio Trabalhado 280 430 120 0,28

Os valores adotados para a tenso limite de resistncia fadiga - n (obtidos utilizando-se cor-po de prova com acabamento superficial espelhado, dimetro de 7,62mm = 1/3 polegada, para at 106 ciclos, submetido flexo, a uma temperatura que no ultrapasse 71C) devem ser corrigidos em fun-o das peculiaridades da pea real (quanto a seu acabamento, tamanho, tipo de solicitao, vida limi-tada, temperatura de trabalho), atravs de fatores cujas ordens de grandeza so apresentadas na tabela a seguir (para aos com tenso de ruptura entre 300 e 600MPa *). f = n (a) (b) (c) (d) (e) ............................ (9.6.1)

(a) acabamento (b) tamanho da pea (c) vida limitada (d) tipo de solicita-o

(e) temperatura a =

Espelhado ...............1,00 Retificado.....0,93 a 0,90 Usinado........0,90 a 0,83 c/ ranhura.....0,83 a 0,68 Laminado.....0,70 a 0,50 c/ corroso...0,60 a 0,40 Corroso gua salgada.. ....................0,42 a 0,28

b = D=10mm..........1,0 D=20mm..........0,9 D=30mm..........0,8 D=50mm..........0,7 D=100mm........0,6 D>200mm..0,58

c =

c = (106/ n)0,09

n < 106

ciclos

d =

Flexo 1,0

Axial 0,8

Toro = 0,6

e =

e = 1,0 (t< 71C)

e = 344/ (273 + tC) para t > 71C

* (Nota: os valores apresentados, repete-se, indicam ordens de grandeza, objetivando, to-somente, apontar os fatores que devem ser levados em conta na anlise do problema, devendo ser consultadas as normas tcnicas e a bibliografia especializada para a efetiva atribuio das grandezas envolvidas).

9.7 Concentrao de Tenses Como a falha por fadiga se d no ponto de alta tenso localizada, qualquer des-continuidade, seja ela acidental (falha de fundio, bolha, risco na usinagem,...) ou in-tencional (rasgo de chaveta, furo para pino, escalonamento de dimetro,...) poder inici-ar tal tipo de deteriorao. Um coeficiente de segurana (CS) deve ser adotado para co-brir os casos de falha acidental. J as descontinuidades previstas no projeto (para mon-tagens, unies, juntas, etc) devem ser consideradas com adoo de fatores apropriados (K) relacionados com a concentrao de tenses. Assim, as equaes bsicas da Resistncia dos Materiais para clculo das tenses sero corrigidas escrevendo-se (*, para o caso de eixos circulares):

N = K (N/A); M = K (M/I)y; T = K (T/JP)r (*); Q = K (QMS/bI)

sendo os valores de K (coeficiente de concentrao de tenses) obtidos experimental-mente (Foto-Elasticidade) ou analiticamente (Teoria da Elasticidade). Os grficos a se-guir apresentam alguns exemplos de valores para o coeficiente K.


38

0,5 1,0 0,0 1,0

2,0

3,0

4,0

K

1

5

10

15

0,0 0,5 1,0

b

d

Relao d/b

b

h

d

Relao d/b

h/b = 0,35

h/b = 0,50

h/b > 1,0

K

Relao d/b

b

h

d M

M

1,0

2,0

3,0

K D d

r M M

0,5 1,0 0,0 1,0

1,5

2,0

Relao r/d

D/d = 4,0

D/d = 1,5

D/d = 1,1

K

h/d > 3

h/d < 0,33

1,0 0,5

Observao: Os valores indi-cados tanto podem ser utili-zados para eixos circulares com sees tornea-das como para barras chatas.

1,0

2,0

3,0 K

1,0 0,5 0,10 0,20 Relao r/d Relao r/d

D d

r T T 3,0

2,0

1,0

(D-d)/2r = 4

(D-d)/2r = 2

(D-d)/2r = 1

D d

r T T

D/d = 2

D/d = 1,2

D/d = 1,2

0,05 0,15 0,0 0,0

K

Fig. 9.6

a b

c

d

e

f


39

9.8 Cargas Pulsantes.

[m / (est)] + [v / (fad)] = 1/(CS)............(9.8.1) (Equao de Soderberg)

Como tenso limite para a resistncia esttica, nos materiais dteis, adota-se a tenso de escoamento (e), enquanto que para os materiais frgeis, adota-se a tenso de ruptura (r)

[m / (est)] + [ v / (fad)] = 1/(CS) ..............(9.8.2) Material dtil

[m / (est)] + [v / (fad)] = 1/(K . CS)..............(9.8.3) Material Frgil

No caso de peas submetidas a cargas variveis, que correspondem a um valor de ten-so mdia diferente de zero (m), ao qual se sobrepe um valor alternativo (v), observa-se experimentalmente que a falha ocorrer quando o par de valores (m; v) for plotado acima da linha reta que une o pontos representativos das duas tenses limites correspondentes, para a resistncia esttica (est) e para a fadiga (fad), como mostrado na figura ao lado. A equao da reta limite, no plano carte-siano (m; v), ser (na forma normal):

[m / (est)] + [v / (fad)] = 1 Adotando um mesmo coeficiente de se-gurana (CS) para as tenses consideradas ad-missveis, tanto para a fadiga como para a re-sistncia esttica do material, teremos:

O efeito da concentrao de tenses nos ma-teriais dteis geralmente ignorado, quando se trata de um carregamento esttico, porque o material ir escoar na regio de elevada tenso e o equilbrio po-de se restabelecer por redistribuio das tenses sem qualquer dano. J se o material frgil, mesmo uma carga esttica pode causar a ruptura pelo efeito da concentrao de tenses. Por isso a equao de So-derberg modificada para levar em conta o efeito da concentrao de tenses nas formas:

mx md mn

var

t

m

v fad/CS

est

est/CS

fad

e

frgil dtil

Fig. 9.8.1 Cargas pulsantes


40

Para o valor mnimo de P (4kN) (metade do valor mximo) as tenses correspondentes tero a metade do valor, o que leva a concluir que as tenses crticas sero: Na seo onde M mximo - M pulsando entre: 49,38 e 24,69 - m = 37,04; V = 12,35MPa Na seo onde h o furo - F pulsando entre: 42,33 e 21,17 - m = 31,35; V = 10,58MPa

Tratando-se de material dtil e, a favor da segurana, corrigindo o limite de fadiga indicado (n= 190MPa) para considerar o acabamento superficial (laminado a = 0,7) e o tamanho da pea (90x90 b = 0,6), teremos

f = 190 x 0,7 x 0,6 = 79,8MPa. Considerando o efeito de concentrao de tenses provocado pelo furo no meio do vo da viga tiramos do grfico d da fig. 9.4: (para d/b = 20/90 = 0,22 e k/d 90/20 = 4,5 > 3) K = 2,4 . Teremos ento, levando em conta a equao 9.3 (material dtil): [m / (est)] + [ v / (fad)] = 1/(CS)

a) para a seo sob a carga: (37,04 / 250) + (12,35/79,8) = 1/CS CS = 3,3 b) para a seo no meio do vo (onde h o furo): (31,35/250) + 2,4 x (10,58/79,8) = 1/CS CS = 2,3

Resp. CS = 2,3

Exemplo 9.8: A viga bi-apoiada esquema-tizada na figura, fabricada por laminao em ao com tenso de escoamento 250MPa e tenso limite de fadiga 190MPa, tem se-o quadrada (90x90 mm2) e um furo ver-tical circular, de dimetro 20mm, no meio do vo. A viga submetida a uma carga vertical pulsante P, que varia em mdulo entre 8kN e 4kN, na posio indicada. Pe-de-se determinar o coeficiente de seguran-a considerando a fadiga e a concentrao de tenses.

2,0m 1,0m

1,0m

Furo - D = 20mm P pulsante entre 8kN e 4kN

8kN

6kN 2kN

MM = 6kNm MF= 4kNm

Soluo: o diagrama de momentos fletores, para o caso do valor mximo da fora P (8kN) nos indica como momentos crticos: MM = 6kNm (valor mximo, na seo sob a carga) MF = 4kNm (valor na seo onde h o furo). As tenses correspondentes valero: = {6x103 / [(0,090)4/12]}0,045= 49,38MPa F ={4x103/[(0,07)(0,09)3/12]}0,045= 42,33MPa

Exerccio proposto: faa um re-dimensionamento do eixo analisado no exerccio 9.5.1 (pg. 33) considerando:

que a tenso normal calculada varia alternadamente devido rotao (fadiga = 0,7 escoam) que a tenso tangencial calculada constante; que h escalonamentos no dimetro do eixo para a montagem das polias (K = 1,5); que h chavetas conectando as polias ao eixo (K = 1,7).

I - Dimensionamento Eixos e Vigas

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