Dr. Luis Paihua 1

En el siguiente sistema fsico

L

mg

T

Despreciando la resistencia de aire, la temperatura, etc. tenemos:

Dr. Luis Paihua 2

102

2

)0(0

sen

td

dmLmg senhacer Al

102

2

)0(0

td

dLg

Obtenemos el modelo lineal aproximado

Dr. Luis Paihua 3

Al calcular 0, 1, L y m tambinhay posibles errores de medicin, en consecuencia cuando se calcule el valor de habr error por las operaciones realizadas (tener en cuenta los redondeos que realiza la computadora).

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TIPOS DE ERROR

Cuando realizamos mediciones en forma directa indirecta

1.- Error sistemtico

2.- Error aleatorio

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En otros casos tenemos:

1.- Errores de modelacin

2.- Error de mtodo

3.- Errores de truncamiento

4.- Error inicial

5.- Error de redondeo

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Definiciones.- Sean:

A valor exacto (en general desconocido)

a valor aproximado (conocido)

Error

Error Absoluto

Error Relativo

aAE aAa

Aa

a

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...10...1010 11.1

1 nmnmmmmm aaaaSea:

Las n primeras cifras significativas de a son exactas si ====>

1105.0 nmaLas n primeras cifras decimales son exactas si ====>

na

105.0Dr. Luis Paihua 8

Regla del redondeo:

Si la 1ra cifra no conservada es menor a 5 las cifras conservadas no varan.

Si la 1ra cifra no conservada es mayor igual a 5, la ltima cifra conservada se incrementa en una unidad.

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Escritura correcta del valor a calculado con tolerancia (valor coherente de a)

Sea k el orden de .Llamaremos escritura correcta de a al valor que se obtiene al redondear en la cifra de orden (k+1)

Ej. Si a=241,254385326 con =0,0067Luego la escritura correcta de a es 241,25

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Propagacin: Es la forma como influye el error de cada valor aproximado que se emplea en el clculo numrico. (se considera la estimacin ms desfavorable)

Error en la suma diferencia de dos nmeros baba

baab ab |||| Error al multiplicar dos nmeros Dr. Luis Paihua 11

Error al hallar y=f(x) si hay error en x

xy xf |)('| )(|)('|

xfxfx

y

Nmero de condicin: (condicionamiento) y

xfxx

yy

)('

xyy LuegoDr. Luis Paihua 12

Error al hallar y=f(x1,..,xn) cuando hay error en x=(x1,..,xn)

k

n

k ky x

f

1

Condicionamiento debido a xk

)(xxf

yx

k

kk

k

n

kky

1Luego:

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Regla prctica para finalizar un proceso iterativo convergente {xk} con una

tolerancia Criterio simple:cuando por 1ra vez se tiene ====> 1nn xxSe para el proceso iterativo y aceptamos como solucin al valor xn escrito en forma coherente segn

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Regla prctica para finalizar un proceso iterativo convergente {xk} con una tolerancia

Criterio simple: cuando por 1ra vez se tiene ====>

n

nn

xxx 1

Se acepta como solucin al valor xnescrito en forma coherente segn el valor de = | xn |

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Estimacin del error en una serie

Alternante

1

1)1(k

kk aA

Aproximacin ==>

n

kk

kn aA

1

1)1(

Error estimado ==> 1 nn aDr. Luis Paihua 16

De trminos positivos

1k

kaA

Aproximacin ==>

n

kkn aA

1

Criterio simpleError estimado ==> nn a

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Problema estable - inestable

Para una valor fijo p analizar el lmite de la sucesin {xk} teniendo como valor inicial x0 , cualquier valor positivo.

,...2,1,0 21

1

nx

pxxn

nn

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Dado el sistema:fdycxebyax

Resuelva empleando diferentes procedimientos y comparar los resultados obtenidos

Si a=1.99887766 b=1.00115522

c=2.99831649 d=1.50173283

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Inestabilidad NumricaDiremos que un mtodo numrico es inestable cuando pequeos errores en algunas de sus etapasgeneran, a lo largo del resto del proceso, errores que degradan seriamente la exactitud de los resultados del calculo en suconjunto.

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Ejemplo:

Dado 10

1dxexI xnn

Aplicando integracin por partes se obtiene:

11 nn nIIDr. Luis Paihua 21

Aplicando la recurrencia anterior y tomando 6 cifras, se tiene:

0.367879 0.264242 0.207274

0.170904 0.145480 0.127120

0.110160 0.118720 -0.0684800

1I 2I 3I

4I

7I

5I

8I 1I

6I

10I

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Problema Mal Condicionado

Las palabras condicin y condicionamiento se usan demanera informal para indicar cun sensible es la solucin de un problema respecto a cambios relativos en los datos de entrada.

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Precisemos el concepto anterior:

Un problema est mal condicionadosi pequeos cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambiosen su respuestas.

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Ejemplo:

10

1

)(i

ixxpDado

...0001.50)( 910 xxxpAl perturbar en 0.0001el coef. de 9x

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