Informe 1 Curvas Equipotenciales

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Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

CURVAS EQUIPOTENCIALES

I. OBJETIVOS

Graficar las curvas equipotenciales de varias configuraciones de

carga eléctrica dentro de una solución conductora

II. EQUIPO Y MATERIALES

Una bandeja de plástico

Bandeja de forma cuadrada en donde se vertió la solución iónica

en la cual se medirá la intensidad de corriente con el

galvanómetro.

Una fuente de poder D.C. (2V)

Esta fuente de poder sirve para

cargar los electrodos usados en

el experimento.

Un galvanómetro

Permite medir niveles bajos de

intensidades de corriente eléctrica,

muy útil para ubicar puntos

equipotenciales.

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Electrodos

Un electrodo es una placa de membrana rugosa de metal, un

conductor utilizado para hacer contacto con una parte no metálica de

un circuito (electrolito, semiconductor, vacío).

Usamos un par de electrodos de contacto con la superficie de punta

que lo llamamos de punto, otro par de contacto a la superficie de

forma de línea que llamamos placa, y otro último par adicional que

serán de anillo de contacto con la superficie de círculo.

Solución de sulfato de cobre

La solución de sulfato de

cobre se coloca en el

recipiente, es

recomendable agitarla de

vez en cuando para que

se vuelva homogénea

para medir bien la diferencia de potenciales.

Tres láminas de papel milimetrado

El uso de papel milimetrado es para hallar de forma aproximada

los puntos en donde la diferencia de potenciales al poner los

electrodos son ceros. El papel se pone debajo del recipiente y su

centro de coordenadas dibujado se encuentra aproximadamente

en el centro del recipiente.

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III. FUNDAMENTO TEÓRICO

Potencial Eléctrico.

El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar

un campo electrostático para mover una carga positiva q desde el punto

de referencia, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra

forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una

carga unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en contra

de la fuerza eléctrica. Analicemos si el campo electrostático E⃗ es un

campo conservativo. Es decir, para una fuerza F⃗ existe una función

escalar U tal que cumple con la siguiente condición:

F⃗=−∇U

Entonces: ∇×(∇U )=0⃗ ∴ ∇×F⃗=0⃗

Para el caso más general:

E⃗( r⃗ )qi ρ(r )=∑i

kqi( r⃗− r⃗ ' )|r⃗− r⃗ '|3

+∫ kρ( r⃗ ' )( r⃗− r⃗ ' )|r⃗− r⃗ '|3

E⃗ es una función vectorial, esto es:

E⃗( r⃗ )→( r⃗− r⃗ ' )|r⃗− r⃗ '|3

≡Func

Func={ 1|⃗r− r⃗ '|}( r⃗− r⃗ ' )=f F=Η⃗

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Aplicando el operador rotor:

∇× Η⃗=∇×( f F⃗ )= f (∇×F⃗ )+∇ f×F⃗ ...(α)

Para F⃗=( r⃗− r⃗ ' )=(x−x ', y− y ', z−z ' )

⇒∇×F⃗=|i j k

∂/∂ x ∂/∂ y ∂/∂ z( x−x ' ) ( y− y ' ) (z−z ' )

|=0⃗

Para ∇ f=∂/∂ x ( f )i+∂/∂ y ( f ) j+∂/∂ z ( f )k

f= 1

|⃗r− r⃗ '|3= 1

{( x−x ' )2+( y− y ' )2+( z−z ' )2 }3/2= {g }−3 /2

∇ f=− 3

{g }5/2( r⃗− r⃗ ' ) ⇒∇ f×F⃗= 0⃗

Y ahora éstos resultados demuestran la expresión (α), con lo que se

demuestra también que el campo E⃗ es conservativo, ya queF⃗=q E⃗ , es

decir justificamos la existencia de una función escalar U=V tal que E⃗ =

−∇ V .

Por lo tanto la propiedad conservativa de E⃗ nos proporciona una función

escalar V para evaluar los efectos de ρ( r⃗ ' ).

La pregunta es inmediata, ¿qué interpretación toma V?. Si hacemos el

producto escalar con un d r e integramos obtendremos:

E⃗ = −∇ V

⇒∫⃗r 0

r⃗

E⃗⋅d r⃗=−∫⃗r 0

r⃗

∇ V⋅d r⃗ =∫⃗r 0

r⃗

dV

⇒V ( r⃗ )=V ( r⃗ 0 )−∫⃗r 0

r⃗

E⃗⋅d r⃗

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De acuerdo con lo anterior, como existen infinitas soluciones de V ( r⃗ )

debido a V ( r⃗ 0 ), lo que será importante a la postre serán los ΔV

Analizando el V(r⃗ ) para una carga puntual en el origen:

∫⃗r 0

r⃗

−E⃗⋅d r⃗=∫⃗r 0

r⃗

−{ F⃗ eq }¿d r⃗=∫r⃗ 0

r⃗−F⃗ e¿d r⃗

q=∫r⃗ o

r⃗F⃗ ext¿ d r⃗

q=W r⃗ 0→r⃗

E⃗ext

q

Aquí se ha encontrado una relación entre la diferencia de potencial y el

trabajo realizado por una fuerza externa. Ahora si podemos realizar los

siguientes análisis:

Líneas de Fuerza

Una línea de fuerza o línea de flujo, normalmente en el contexto

del electromagnetismo, es la curva cuya tangente proporciona la

dirección del campo en ese punto. Como resultado, también

es perpendicular a las líneas equipotenciales en la dirección

convencional de mayor a

menor potencial. Suponen

una forma útil de

∫⃗r 0

r⃗

−F⃗ext⋅d r⃗=∫⃗r 0

r⃗

F⃗e¿d r⃗

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esquematizar gráficamente un campo, aunque son imaginarias y no

tienen presencia física.

Las líneas de fuerza presentan las siguientes características:

Las líneas de fuerza comienzan en las cargas positivas y terminan

en las negativas.

La densidad de líneas es proporcional al valor del campo.

No existe intersección entre las líneas de fuerza resultantes.

La tangente a la línea en cualquier punto es paralela a la dirección

del campo eléctrico en ese punto.

La forma de las líneas de fuerza depende exclusivamente de la

distribución de carga.

Curvas Equipotenciales

Los conceptos mencionados anteriormente son muy importantes para

reconocer las superficies equipotenciales. La distribución del potencial

eléctrico en una cierta región donde existe un campo eléctrico puede

representarse de manera grafica mediante superficies equipotenciales.

Una curva o superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos

de igual potencial, donde se cumple que el potencial eléctrico generado

por alguna distribución de carga o carga puntual es constante.

Si el potencial eléctrico es constante, la diferencia de potencial se define

de la siguiente manera.

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Si ∆V=VB-VA pero VB = VA, entonces VB-VA = VB-VB = 0

Como es cero, el producto escalar de los vectores F y dr es cero:

F.dr=0, en otras palabras se puede afirmar lo siguiente:

VAB = = 0

Como dr pertenece a la superficie equipotencial, por álgebra vectorial se

concluye F es ortogonal a dr, de aquí se puede determinar que las líneas

de fuerza siempre son perpendiculares a las superficies equipotenciales

y como el campo eléctrico E es paralelo a la fuerza eléctrica, se puede

concluir también que el campo eléctrico también es perpendicular a una

superficie equipotencial, también se puede concluir que el trabajo

requerido para llevar a una carga de un punto cualesquiera de una

superficie equipotencial a otro punto

de la misma superficie equipotencial

es cero.

Por otra parte se puede afirmar que la

superficie equipotencial que pasa por

cualquier punto es perpendicular a la dirección del campo eléctrico en

ese punto. Esta conclusión es muy lógica puesto que si se afirma lo

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contrario, entonces el campo tendría una componente a lo largo de la

superficie y como consecuencia se tendría que realizar trabajo contra las

fuerzas eléctricas con la finalidad de mover una carga en la dirección de

dicha componente.

Finalmente las líneas de fuerzas y las superficies equipotenciales forman

una red de líneas y superficies perpendiculares entre sí. En general las

líneas de fuerzas de un campo son curvas y las equipotenciales son

superficies curvas. Podemos afirmar asimismo, que todas las cargas que

están en reposo e un conductor, entonces la superficie del conductor

siempre será una superficie equipotencial.

IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Colocamos debajo de la cubeta, un papel milimetrado en el que

previamente se había trazado un sistema de coordenadas cartesianas,

hicimos coincidir el origen con el centro de la cubeta; posteriormente

vertimos desde el centro de la cubeta la solución de sulfato de cobre

(elemento conductor de

cargas) tratando de que se

expanda de manera

uniforme, de tal manera

que la altura del líquido no

fue mayor a un centímetro;

entonces establecimos el

circuito que se muestra.

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Los elementos de la figura anterior son:

Electrodos.

Fuente de poder.

Galvanómetro.

Batea de plástico.

Estos circuitos estaban comprendidos por un par de alambres que

medían la diferencia de potencial entre los puntos de la solución, y

también por varios pares de electrodos de diferentes formas colocados

simétricamente respecto del eje de coordenadas, con los cuales

estableceríamos el respectivo voltaje a la solución. Para obtener

resultados óptimos en nuestra experiencia, hicimos que las diferencias

de voltaje empleadas tomaran distintos valores para cada par de

electrodos.

Para establecer las curvas equipotenciales encontramos siete puntos

equipotenciales pertenecientes a dicha curva estando tres de ellos en los

cuadrantes del semieje “Y” positivo y cuatro en los cuadrantes del

semieje “Y” negativo. Esto lo hicimos con los electrodos en forma de

punto, los de forma plana, los de forma anillo, y finalmente combinamos

uno de forma de punto con otro de forma plana.

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V. CALCULOS Y RESULTADOS

A continuación se mostrara los datos obtenidos medidos (I = 0) de

distintas configuraciones de carga eléctrica. Además todas las

configuraciones se midieron, teniendo en cuenta que los electrodos se

ubicaron en las posiciones (0, 5) y (0, -5). Sus gráficos respectivos se

mostraran adjuntos y en papel milimetrado al final del informe

CUADRO PLACA - PLACACURVA 1 CURVA 2 CURVA 3 CURVA 4 CURVA 5 CURVA 6 CURVA 7

X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y0 0 -7.7 1.5 -7.7 3.7 6.4 4.7 -8.7 -1.3 -6 -2.8 -6.7 -4.6-2 0 -6.8 1.4 -6.4 3.2 5.2 4.25 -5.7 -1.1 -5 -2.6 -4.9 -4-4 0 -5.5 1.3 -5.3 2.7 3.9 4.1 -4.5 -1 -3.1 -2.6 -3.5 -4-6 0 -2 1 -2.7 2.6 2.6 4.1 -3.2 -1 -1.7 -2.6 0 -42 0 0 1 0 2.5 0 4 0 -1 0 -2.5 2.5 -44 0 2.3 1 6 2.9 -1.5 4 3.9 -1 3.3 -2.5 3.9 -4.16 0 5.7 1.2 7.3 3.3 -2.7 4.1 5.7 -1.1 5.4 -2.7 5.4 -4.2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Placa-Placa

CURVA 1CURVA 2CURVA 3CURVA 4CURVA 5CURVA 6Logarithmic (CURVA 6)CURVA 7

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CUADRO PUNTO - PUNTOCURVA 1 CURVA 2 CURVA 3 CURVA 4 CURVA 5 CURVA 6 CURVA 7

X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y-5 0 -8.2 2.8 -5.6 7.5 -2.3 6.3 -5.1 -1.8 -4 -5 -1.8 -7-4 0 -6.5 2.4 -4.4 5.6 -2 4.7 -3.2 -1.3 -2.5 -3.5 -1.5 -6.4-2 0 -2.8 1.4 -2.7 3.7 -1.4 4.1 -1.6 -1 -1.3 -2.7 -1.1 -50 0 0 1 0 2.5 0 3.5 0 -1 0 -2.5 0 -3.53 0 4 1.7 3.6 4.3 2 4.5 2.8 -1.1 2.7 -3.4 1.6 -4.75 0 5.7 2.2 4.3 5.2 2.3 5 4 -1.3 4.8 -5.3 1.8 -5.66 0 7.7 2.7 5.8 7.9 2.4 6.7 6.5 -1.9 6.3 -8.2 1.9 -6.3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Punto-Punto

CURVA 1CURVA 2CURVA 3CURVA 4CURVA 5CURVA 6CURVA 7

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CUADRO ARO - AROCURVA 1 CURVA 2 CURVA 3 CURVA 4 CURVA 5 CURVA 6 CURVA 7

X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y-6 0 -4.6 -1.4 -5.7 -4.4 -4.4 -6 -7.1 1.9 -4.8 4 -6.7 9-4 0 -2.7 -1.1 -4.5 -3.7 -3.4 -4.9 -4.7 1.6 -3 3.3 -5 6.8-2 0 -2.1 -1 -2 -2.7 -2 -3.8 -2.2 1.3 -1.8 2.8 -4 5.60 0 0 -1 0 -2.5 0 -3.5 0 1 0 2.5 -2.3 4.33 0 2.5 -1 2.8 -2.6 2.2 -4 2.5 1.3 2.1 2.9 0 3.55 0 3.6 -1.2 4.3 -3.4 3.2 -5 5.6 1.6 4.7 4.05 4.1 56 0 7.4 -1.7 6.9 -5.4 5 -7.7 7.7 2 7.1 5.4 6.2 8.3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Aro-Aro

CURVA 1CURVA 2CURVA 3CURVA 4CURVA 5CURVA 6CURVA 7

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VI. CONCLUSIONES

Por las gráficas obtenidas en el laboratorio respecto de las curvas

equipotenciales en cada caso podremos llegar a la conclusión que

las curvas poseen una forma parecida a la del electrodo, así

cuando los electrodos fueron puntos las curvas se asemejaron a

hipérbolas con ejes focales en los electrodos; en el caso de las

placas las curvas tuvieron forma de líneas paralelas a las placas;

y en el caso de los anillos tuvieron formas muy parecidas a las

producidas por los puntos.

Un dato bastante curioso que se puede resaltar en el gráfico de

las curvas de las placas viene dado por que en las curvas, una

vez que exceden la longitud de la placa, se puede ver como la

curva se tiende a abrir hacia los lados, así esto sería explicado

por el hecho que pasado estas alturas, el campo eléctrico de las

placas cambia de forma y deja de ser perpendicular a las mismas,

y adquiere la forma correspondiente a una carga puntual.

Se pudo distinguir en forma clara que las líneas de campo son

perpendiculares a las curvas equipotenciales, y de este modo

hallar una aproximación de las líneas de campo a través de las

curvas.

En los tres casos se pudo distinguir la simetría de las curvas,

respecto al eje X como al Y; así ello facilita en el momento de

suavizar las diferentes curvas.

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VII. RECOMENDACIONES

Se recomienda disolver en forma continua la solución de sulfato

de cobre, ya que de lo contrario dicha solución se concentraría en

algunas partes y en otras estaría disuelto, lo cual generaría unas

molestias al momento de la extracción de las curvas. Así también

recomendar que la bandeja a usar debe encontrarse sobre una

superficie que sea horizontal para que la transmisión de cargas se

haga en forma más óptima.

Cabe recomendar también que hay que tener sumo cuidado con

los cables ya que no es deseable trabajar con una telaraña de

cables que en lugar de reducir el trabajo, aumentaran el tiempo a

invertir en ellas.

No caer en la idea vaga de que los puntos definirán a las curvas

con un alto parecido, ya que en muchos casos habrá que ajustar

las curvas a dichos puntos.

Una recomendación valiosa es revisar el buen estado tanto del

fluido como de los cables, los cuales podrían incomodar en el

momento de la instalación.

VIII. BIBLIOGRAFIA

Fisica General III Humberto Asmat

FISICA para ciencias e ingenierías, Raymond A. Serway; 9ªNA

EDICION Volumen II, Capitulo I y II.

Fisica Universitaria vol 2 . Sears Zemansky. Ed 12. 2009

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