ESCUELA POLITECNICA DEL EJERCITO SEDE LATACUNGA

SISTEMAS DE CONTROL

INFORME DE SISTEMAS DE CONTROL

TEMA:

Definición e introducción del lugar geométrico de las raíces para establecer conceptos y propiedades necesarias para el análisis de sistemas aplicando dichas técnicas.

OBJETIVO GENERAL:

Profundizar los conocimientos acerca de la definición e introducción del lugar geométrico de las raíces para establecer conceptos y propiedades necesarias para el análisis de sistemas aplicando dichas técnicas.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Conocer la definición del lugar geométrico de las raíces y su importancia en el análisis de sistemas de control,

Aclarar los conocimientos sobre números complejos y su representación en forma vectorial.

Desarrollar ejercicios sobre números complejos y su representación en forma vectorial para afianzar los conceptos.

Entender las propiedades del lugar geométrico de las raíces para desarrollar ejercicios referentes al tema y determinar si un punto del plano s pertenece o no un punto sobre el lugar geométrico de las raíces.

MARCO TEÓRICO:

 Técnicas del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR)

Definición:

La técnica del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) es un método gráfico para dibujar la posición de los polos del sistema en el plano complejo a medida que varía un parámetro, la información que proporciona este método es utilizada para el análisis de la estabilidad y funcionamiento del sistema.

Propiedades:

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Las propiedades del lugar geométrico de las raíces se pueden deducir a partir del sistema de control general, la función d transferencia en lazo cerrado para el siguiente sistema es:

Fig 1. Sistema en lazo cerrado

T ( s )= kG (s)1+kG(s)H (s)

Para que un punto del plano s sea parte del LGR de un sistema debe cumplir con dos condiciones que se denominan condición de Magnitud y Ángulo.

Entonces, un polo, s, existe cuando el polinomio característico del denominador se hace cero, es decir cuándo:

kG ( s)H (s )=−1

El valor de -1 está representado en forma polar así: 1∠ (2k+1 )180 ° k=0 ,±1 , ±2 , ±3 ,….

Escrito de otra forma:

|kG ( s )H (s )|=1→Condiciondemagnitudy

∠kG ( s)H (s )=(2k+1 )180 °→Condicionde angulo

Estas ecuaciones implican que si un valor de s es sustituido en la funciónkG ( s)H (s ), resulta un número complejo. Si el ángulo del número complejo es múltiplo impar de 180, ese valor de s es un polo del sistema para algún particular de k.

DESARROLLO:

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La técnica del lugar geométrico de las raíces se puede usar para analizar y diseñar el efecto de ganancia en lazo en la respuesta transitoria y estabilidad del sistema.

Un sistema de una cámara puede seguir automáticamente a un sujeto, supóngase que la representación mediante un diagrama de bloques de un sistema de rastreo donde los polos de lazo cerrado del sistema cambia la ubicación cuando la ganancia, K, varia.

Diagrama de bloques.

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Ubicación de los polos como una función de ganancia para el sistema

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Patrones de los polos como datos de la tabla y lugares geométricos de las raíces.

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Cuando la ganancia k aumenta en la tabla para K=0 el polo 1 de lazo cerrado que esta en -10 y se mueve a la derecha, y el polo 2 esta en 0 y se mueve a la izquierda.

Un polo en lazo cerrado se mueve hacia arriba, mientras que el otro se mueve hacia abajo. No podemos saber cual polo sube o baja.

Es esta la representación de la trayectoria de los polos en lazo cerrado cuando varía la ganancia a la que llamamos lugar geométrico de las raíces.

El lugar geométrico de las raíces muestra los cambios en la respuesta transitoria cuando la ganancia, K, varia. Ante todo los polos son reales para ganancias menores que 25. Así el sistema esta sobreamortiguado. A una ganancia de 25. Los polos son reales y múltiplos, y por lo tanto están críticamente amortiguados. Para ganancias arriba de 25 el sistema esta subamortiguado.

Al dirigir nuestra atención a la parte sobamortiguada vemos que cualquier sea el valor dela ganancia la parte real de los polos complejos son siempre iguales, sin considerar el valor de ganancia, el tiempo de asentamiento para el sistema sigue igual bajo todas las condiciones de respuesta subamortiguada.

Del mismo modo cuando aumentamos la ganancia, disminuye el cociente de amortiguamiento y se incrementa el sobrepaso en porcentaje. La frecuencia de oscilación amortiguada, que es igual a la parte imaginaria del polo también aumenta con un incremento en la ganancia dando por resultado una reducción en el tiempo pico, como el lugar geométrico de las raíces cruza y entra en el semiplano derecho el sistema siempre es estable, cualquiera sea el valor de ganancia y nunca se puede descomponer en una oscilación senoidal.

El lugar geométrico de la raíces nos permitirá hacer toda la asociación y se convertirá en una técnica importante en el análisis y diseño de sistemas de orden superior.

ANALISIS DE RESULTADOS:

Dado F(s )=(s+2)(s+4)s (s+3)(s+6)

Encuentre F(s) en el punto s=-7+j9 en las formas siguientes

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a) Directamente al sustituir el punto en F(s).b) Al calcular el resultado usando vectores

La disposición de los vectores se muestra como sigue:

A partir del diagrama

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CONCLUSIONES:

La técnica del lugar geométrico de las raíces es una técnica grafica de la descripción de un sistema cuando cambian varios parámetros que permite dar soluciones a sistemas de orden superior a dos.

Cuando aumentamos la ganancia en un sistema de lazo cerrado, disminuye el cociente de amortiguamiento y se incrementa el sobrepaso de porcentaje.

En un sistema de lazo cerrado sin considerar el valor de ganancia, el tiempo de asentamiento para el sistema sigue igual bajo todas las condiciones de respuesta subamortiguada.

Dados los polos y ceros de la función de transferencia en lazo abierto, un punto del plano S esta sobre el lugar geométrico de las raíces para un valor de ganancia, K, si los ángulos de los ceros menos los ángulos de los polos, todos trazados al punto seleccionado sobre el plano S suman (2K+1)180°.

La ganancia K en un punto sobre el lugar geométrico de las raíces se encuentra al dividir el producto delas longitudes del polo entre el producto de las longitudes de cero.

RECOMENDACIONES:

Tener claros los conceptos básicos sobre números complejos y su representación en forma vectorial para comprender de mejor manera la técnica de lugar geométrico de las raíces al analizar sistemas.

Esta técnica es recomendable para dar analizar sistemas de grado mayor a dos.

La técnica del lugar geométrico de las raices es aconsejable porque brinda una representación grafica de los márgenes de

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estabilidad, inestabilidad y las condiciones que ocasionan oscilaciones en un sistema.

BIBLIOGRAFIA:

https://www.google.com.ec/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&sqi=2&ved=0CDcQFjAB&url=http%3A%2F%2Fingenieria.udea.edu.co%2F~evelilla%2FARCHIVOS%2FLGR.pdf&ei=E3vmUNOLFYrk8gSUhoCYBA&usg=AFQjCNFf0wcq3srIC1PvF1sGjn1gGdEngw&sig2=Pe5wlC1U3QOf8qjzA3eadA&bvm=bv.1355534169,d.eWU&cad=rja

http://prof.usb.ve/montbrun/PS2319LGR%2020%20marzo.pdf

REFERENCIAS:

[1] Sistemas de control para ingeniería. NORMAN S. NISE, tercera edición,pág. 225.

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