Ingeniería de Confiabilidad - Equipos...En su forma más general, la Ingeniería de Confiabilidad...

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SECCION 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos

Ingeniería de Confiabilidad - Equipos

Sección 4

Medardo Yañez

Hernado Gómez de la Vega Karina Semeco Soto

Nayrih Medina

Esta sección esta dedicada al estudio de los aspectos físicos y aleatorios del fenómeno falla. Expone los aspectos fundamentales de los dos enfoques que coexisten dentro de la Ingeniería de Confiabilidad. Estos enfoques son: confiabilidad basada en el análisis probabilístico del tiempo para la falla o historial de fallas y confiabilidad basada en el análisis probabilístico del deterioro o física de la falla.

Capítulo II. Disciplinas Sección 4. Ingeniería de Confiabilidad-Equipos

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1. Ingeniería de confiabilidad.

En su forma más general, la Ingeniería de Confiabilidad puede definirse como la rama de la ingeniería que estudia las características físicas y aleatorias del fenómeno “falla”.

Dentro del área de Ingeniería de Confiabilidad, coexisten dos (2) escuelas con enfoques muy específicos, estas son:

Confiabilidad basada en el análisis probabilístico del tiempo para la falla o historial de fallas (Statistical Based Reliability Analysis) [2], [10], [14], [25], [26], [31], [37], [49].

Confiabilidad basada en el análisis probabilístico del deterioro o física de la falla (Physics Based Reliability Analysis) [9],

[10], [14], [26], [31], [32], [37], [48].

Ambas escuelas tienen un objetivo común: “caracterizar probabilísticamente la falla para hacer pronósticos y establecer acciones proactivas dirigidas a evitarla o a mitigar su efecto”. Adicionalmente, ambas escuelas proponen el término probabilístico “CONFIABILIDAD” como indicador básico para lograr esta caracterización. Otro punto coincidente es el reconocimiento de la “aleatoriedad e incertidumbre” de las variables analizadas y su consecuente tratamiento probabilístico.

Las diferencias entre ambas escuelas están relacionadas con la óptica desde la cual se analiza la falla. La primera mencionada propone predecirla estudiando la frecuencia histórica de ocurrencia o tasa de fallas, mientras que la segunda considera que una falla es la última fase de un proceso de deterioro y se concentra en predecirla a través del entendimiento de “cómo ocurre la falla”, es decir, estudiando la “física del proceso de deterioro”.

Las tendencias más avanzadas y recientes (state of the art) dentro de la Ingeniería de Confiabilidad, proponen modelos híbridos para caracterizar probabilísticamente el fenómeno falla, es decir, modelos que toman en cuenta no solo el proceso físico del deterioro sino también la estadística del historial de fallas. En este capítulo se exploraran detalladamente ambos enfoques.

2. Confiabilidad C(t): Conceptos y relación con análisis de riesgo.

Tal y como se definió en la sección de conceptos básicos Confiabilidad es la probabilidad de que un activo cumpla con su función, en un tiempo determinado y bajo un entorno operacional específico [17].

Probabilísticamente, Confiabilidad C(t)) es el complemento de la Probabilidad de Fallas F(t), es decir, Confiabilidad C(t) es la probabilidad de éxito.

F(t)+C(t) =1 (2.142)

Existe un importante vínculo entre el Análisis de Confiabilidad y el Análisis Probabilístico de Riesgo tal como se describirá con detalle en el Capítulo V. Recordando el Capítulo I, se define Riesgo como “egresos o pérdidas probables consecuencia de la probable ocurrencia de un evento no deseado o falla”. Matemáticamente, se calcula con la siguiente ecuación:

Riesgo(t)=Probabilidad de Fallas(t) x Consecuencias.

Riesgo(t)= (1-Confiabilidad(t)) x Consecuencias.

El riesgo se comporta como una balanza que permite pesar la influencia de ambas magnitudes (Probabilidad de Falla y Consecuencia de la Falla) en una decisión particular.

Riesgo

Riesgo= Probabilidad de falla x Consecuencia de la FallaRiesgo=(1-Confiabilidad) x Confiabilidad

Confiabilidad/ Probabilidad de Falla Consecuencias

Basada en la Historia

(Estadística del Proceso/Sistema)

Basada en la Condición

(Monitoreo del Proceso/Sistema)

Impacto Ambiental Impacto Personas

Costo de Reparación Perdidas de Reputación

Perdidas de Mercado Perdidas de Producción

Perdidas de Ventajas Tecnológicas

Figura 2.96 Relación entre Análisis de Confiabilidad y Análisis de Riesgo.


154

La figura 2.96 muestra claramente que para calcular riesgo, deben establecerse dos (2) vías, una para el cálculo de la confiabilidad y/o la probabilidad de fallas, con base en la historia de fallas o con base en la física del deterioro, y otra para el cálculo de las consecuencias. En todo caso, el análisis de confiabilidad es parte del análisis probabilístico de riesgo.

3. Confiabilidad basada en el análisis probabilístico del tiempo para la falla o historial de fallas (Statistical Based Reliability Analysis).

Es la rama de la confiabilidad que estudia la variable aleatoria “tiempo para la falla”. El insumo básico para este tipo de análisis son bases de datos donde se almacenan las historias de fallas (tiempos de fallas y tiempos de reparación) de equipos.

La confiabilidad basada en la estadística de fallas tiene dos grandes áreas de estudio, una que se enfoca en equipos no reparables y otra para equipos reparables.

Los equipos no reparables tienen las siguientes características fundamentales:

Su condición operativa no puede ser restaurada después de una falla.

Su vida termina con una “única” falla y debe ser reemplazado.

La variable aleatoria de interés es el tiempo para la falla.

Para caracterizarlo probabilísticamente se requiere estimar la tasa de fallas h(t).

Dentro de los equipos no reparables muchos exhiben tasas de falla constantes y su comportamiento está definido por la Distribución Exponencial, mientras que para sistemas en los cuales la función de falla no es constante en el tiempo existen alternativas diferentes al uso de la distribución exponencial, tal como, las distribuciones Weibull, Log-Normal, Normal, Gamma, Beta, entre otras.

Por su parte, un equipo reparable es aquel cuya condición operativa puede ser restaurada después de una falla, por una acción de reparación diferente al reemplazo total del mismo. Un equipo reparable tiene las siguientes características fundamentales:

Su condición operativa puede restaurarse después de fallar, con una reparación.

En su vida puede ocurrir más de una falla.

La variable aleatoria de interés es el Número de Fallas en un período específico de tiempo.

Para caracterizarlo probabilísticamente se requiere estimar la “tasa de ocurrencia de fallas (t)” y la “tasa de reparación (t)”.

Además de la confiabilidad se requiere calcular la disponibilidad, que es la probabilidad de que el equipo esté disponible (es decir, que no esté en reparación) a un tiempo “t”. Para calcular disponibilidad se requiere analizar estadísticamente los tiempos para la falla, y los tiempos en reparación.

En el caso de los sistemas reparables, hasta 1996 estaban definidos dos procesos de punto estocástico para modelar su tratamiento. La primera asume la reparación hacia su condición original, todo basado en el Proceso Ordinario de Renovación (independiente e idénticamente distribuido), la segunda asume una reparación mínima basando sus cálculos mayoritariamente en el Proceso no Homogéneo de Poisson. A partir de 1996, se ha propuesto un nuevo desarrollo para tomar en cuenta los estados diferentes a los indicados anteriormente, el cual está basado en un modelo probabilístico denominado “Proceso Generalizado de Restauración”.

En esta sección se explorarán en detalle el análisis de confiabilidad basado en la historia de fallas tanto para equipos no reparables como para equipos reparables.

3.1. Confiabilidad en Activos no Reparables.

3.1.1. Activos no Reparables.

Como se mencionó previamente, se define como activos no reparables, aquellos que tienen las siguientes características fundamentales:

Su condición operativa no puede ser restaurada después de una falla.

Su vida termina con una “única” falla y debe ser reemplazado.

La mayoría de los componentes electrónicos suelen ser considerados “no reparables”. Los bombillos o bulbos de luz son los clásicos ejemplos de equipos no reparables. Sin embargo, es importante destacar que en esencia, cualquier equipo es reparable; inclusive un bombillo, y es la política o estrategia de mantenimiento y/o reparación la que realmente dice cómo se debe clasificar un equipo o componente. Si la política de mantenimiento es “reemplazar” después de la falla, entonces se


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clasificará al activo como “no reparable”; si por el contrario, la política es “reparar y reinstalar” después de la falla, se definirá al activo como “reparable”. Adicionalmente, para clasificar activos, debe tenerse en cuenta el “volumen de control y contexto operacional especifico” al cual se hace referencia. Para entender estos conceptos se analizará la Figura 2.97.

Si se define volumen de control, a nivel de componentes, en este caso los tubos de un intercambiador, y se analiza la falla de un tubo, éste es “reemplazado al fallar” y en la mayoría de las plantas de proceso poseen tubos de repuesto para este fin. En este caso, el tubo es considerado un activo no reparable, no obstante, si el volumen de control se define como el intercambiador de calor completo, al fallar un tubo, no se reemplaza todo el intercambiador; solo el tubo. En este caso, el tubo sigue siendo un activo no reparable, pero el intercambiador es un activo reparable.

COMPONENTE

TUBO

EQUIPO

INTERCAMBIADORDE CALOR

Figura 2.97 Diferentes Volúmenes de Control (Componente, Equipo).

Otro ejemplo sería analizar una lámpara de luz cuando le falla el bombillo. En este caso, el bombillo es un activo “no reparable” y la lámpara es un “activo reparable”.

Adicionalmente existen otros aspectos de carácter estratégicos como el contexto operacional considerado, que contribuyen a catalogar para efectos prácticos, un componente o sistema como reparable o no reparable.

Por ejemplo, un sensor instalado en el fondo de un pozo de crudo profundo, de fallar conllevaría a una logística de recursos técnicos y económicos significativos a fin de extraerlo del subsuelo y proceder a repararlo o reemplazarlo. Ese mismo sensor, instalado en una planta en la superficie, debidamente atendida, muy posiblemente pueda ser reparado sin muchos inconvenientes. Bajo esta panorámica, el sensor en el subsuelo muy posiblemente convenga clasificarlo como componente no reparable, en cuyo caso será importante estudiar su confiabilidad; mientras que el sensor en la superficie se clasifique como componente reparable, en cuyo caso además de la confiabilidad, la disponibilidad es otro parámetro de interés.

Como conclusión, para clasificar un activo como reparable o no reparable, se debe tomar en cuenta la política de mantenimiento y/o reparación, el volumen de control del cual ya se hecho referencia y el contexto operacional especifico.

Las referencias [2], [26], [48] ofrecen información particularmente detallada sobre el tópico de Confiabilidad en activos no reparables

3.1.2. Conceptos Básicos.

A.- La Función Confiabilidad (C(t)).

Confiabilidad de un activo no reparable, evaluada en un tiempo misión (tm), es la probabilidad de que la variable aleatoria “tiempo para la falla” sea igual o mayor al periodo de análisis o tiempo misión (tm). En otras palabras, es la probabilidad de que el activo opere sin fallas un tiempo igual o superior al periodo de análisis o tiempo misión (tm) [17].

)mttPr()t(dadConfiabili

Supóngase que se tiene una muestra representativa de datos, es decir, períodos de operación hasta la falla (ti, i=1,2……n) de n equipos similares. Supóngase adicionalmente que con estos datos, y siguiendo los procedimientos descritos en la sección de estadística para la confiabilidad (ver apartados 4.3 y 4.3.1), se logra caracterizar esta muestra con una distribución de probabilidades. La figura 2.98, muestra distribuciones de probabilidad de frecuencia y acumuladas directa e inversa, de la variable aleatoria objeto de estudio “tiempo para la falla”.

Como el lector habrá deducido ya en este punto, la función “Confiabilidad” definida en la ecuación 2.143, corresponde a la distribución acumulada inversa del tiempo para la falla, ya que esta distribución expresa la probabilidad de que t (tiempo de falla) sea mayor o igual que tm (tiempo misión). Con apoyo de la ecuación 2.143 y en la ecuación 2.29 del Capitulo II, lo anterior se expresa matemáticamente con la siguiente ecuación:


156

,000

,032

,096

,128

f(t)

t0,00 13,75 41,25 55,00

DISTRIBUCIOND DEL TIEMPO PARA FALLARDISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

,000

,500

,750

1,000

0,00 13,75 27,50 41,25 55,00

C(t)

F(t)

DISTRIBUCION DEL TIEMPO PARA FALLARDISTRIBUCIONES ACUMULADAS

t

f(t)

,025

Figura 2.98 Distribuciones de Probabilidad del Tiempo para Fallar.

mtmm dt)t(f)ttPr()t(C

mt

mmm )t(F1dt)t(f1)ttPr(1)t(C (2.143)

El figura 2.99 muestra gráficamente los conceptos previamente explicados.

,000

,032

,096

,128

,000

,500

,750

1,000

0,00 13,75 27,50 41,25 55,00

f(t)

tm

t0,00 13,75 41,25 55,00

C(t)=Confiabilidad

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADDEL TIEMPO PARA FALLAR

DISTRIBUCIONES ACUMULADASDEL TIEMPO PARA FALLAR

m

m

t

m

t

mm )t(F1dt)t(f1dt)t(f)ttPr()t(C

t

)t(C m

tm

Figura 2.99 Confiabilidad evaluada en un tiempo misión tm: C(tm).

B.- Tiempo Promedio Para Fallar (TPPF).

El TPPF es el estimado puntual más “clásico” en el área de Confiabilidad; y es un parámetro de mucho interés para la selección de equipos y diseño de sistemas.

El TPPF o Tiempo Esperado para la Falla, corresponde a la media de la distribución de la variable aleatoria tiempo para la falla; y se calcula utilizando la ecuación 2.17 del Capitulo II, que expresada en términos de tiempo es:

0

dt)t(C0

dt)t(f.tTPPFt (2.144)

,000

,032

,096

,128

f(t)

t=TPPF

t0,00 41,25 55,00

DISTRIBUCION DE PROBABILIDADDEL TIEMPO PARA FALLAR

27,50

00

t dt)t(Cdt)t(f.tTPPF

Figura 2.100 TPPF


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C.- La Función de Velocidad de Incremento del Peligro (H(t)) o Tasa de Fallas.

La función de velocidad de incremento del peligro o tasa de fallas h(t), es un camino alternativo a la función confiabilidad C(t), para describir el comportamiento de la variable aleatoria tiempo para la falla. La función h(t) describe el comportamiento del número de fallas de una población por unidad de tiempo, y viene dada por la siguiente expresión:

)t(F1

)t(f

)t(C

)t(f)t(h

(2.145)

En términos probabilísticos, la ecuación 2.145 dice que h(t) es la probabilidad condicional de falla en un intervalo de tiempo t+Δt; dado que el componente, equipo o sistema ha sobrevivido hasta el tiempo t. (Ver concepto de probabilidad condicional en la sección de estadística para la confiabilidad).

Al igual que las funciones f(t), F(t) y C(t) que se observan en la figura 2.98, la función h(t) es una característica única de la variable tiempo para fallar de una población de componentes, equipos o sistemas.

Existe una importante relación entre la función Confiabilidad C(t) y la función h(t), que se resume en la siguiente expresión:

dt)).t(h(e)t(C (2.146)

La ecuación 2.146 implica que al definir la función h(t) se puede definir la función C(t), y viceversa.

Como se explicó previamente, la función h(t) describe el comportamiento del número de fallas de una población por unidad de tiempo, y la misma puede ser creciente (el número de componentes de la población que fallan por unidad de tiempo aumenta progresivamente), decreciente (el número de componentes de la población que fallan por unidad de tiempo disminuye progresivamente), o constante.

El análisis del comportamiento de fallas de una gran cantidad de poblaciones de componentes o equipos observados durante largos períodos de estudio, han mostrado una función tasa de fallas decreciente en el primer período, la primera etapa del período de observación (fenómeno conocido como mortalidad infantil), seguido por una función tasa de fallas aproximadamente constante, y finalmente una función tasa de fallas creciente durante la última etapa del período de observación. La figura 2.101 muestra la forma que toma la función tasa de fallas para el comportamiento previamente descrito.

TA

SA

DE

F

ALL

Ah

( t)

TIEMPO (t) Figura 2.101 Comportamiento típico de h(t) para poblaciones de componentes.

La forma de la función h(t) mostrada en la figura 2.101, es ampliamente conocida como curva de la bañera. A continuación se explica cómo interpretar en detalle la curva mencionada.

Curva de la Bañera: La Curva de la Bañera es un gráfico que muestra el probable comportamiento de la tasa de fallas de un tipo de componente o equipo para diferentes instantes de tiempo, y se construye observando y registrando el comportamiento histórico de fallas de una población de ese tipo de componente o equipo.

Una forma práctica de entender la curva de la bañera es analizar el caso de los seres humanos. Supóngase que se analizan las vidas de 100 personas, nacidas en el año 1900, seleccionadas aleatoriamente. Con toda seguridad, si se revisa la fecha en que fallecieron, se encontrará que una buena parte de ellos, murieron entre 0 y 3 años debido a problemas congénitos, problemas en el nacimiento o enfermedades infantiles severas; otros tantos, aunque un poco menos entre 3 y 6 años, y menos aún entre 6 y 9 años. De esto puede inferirse que el número de personas que murió por año, fue decreciendo entre 0 y 9 años. A partir de allí se observa que la tasa de mortalidad se estabiliza, es decir, el número de personas que muere por año entre los 9 y los 45 años se mantiene aproximadamente constante. Finalmente, a partir de los 45 años, se encuentra que el número de personas que muere por año es cada vez mayor, con un incremento lento entre los 45 y los 65 años, y con un incremento más severo a partir de los 65 años.

Si se revisa esta descripción cuidadosamente, se entenderá que la misma coincide con el comportamiento de la Figura


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2.102, conocida como curva de la bañera (bathtub curve).

TA

SA

DE

F

ALL

Ah

(t)

TIEMPO (t)

Mortalidad Infantil

Periodo de Fallas Aleatorias

Envejecimiento o Desgaste

Tasa de Fallas creciente

Tasa de Fallas decreciente

Tasa de Fallas constante

Figura 2.102 Curva de la Bañera

El análisis del comportamiento de la curva permite asegurar que el “peligro” de que una persona cualquiera muera entre 0 y 3 años es mayor que el peligro de que muera entre 3 y 6 y es menor aún entre 6 y 9 años. También permite decir que el peligro de morir a los 20 años es aproximadamente igual que el peligro de morir a los 40 años y que en ambos casos es menor que el peligro de morir entre 0 y 6 años. No obstante, el peligro de morir se incrementa a partir de los 45 años y va aumentando lentamente. A partir de los 65 años, el peligro de morir se hace mayor más rápidamente. Esta curva no dice a qué edad va a morir un ser humano específico; pero refleja como cambia el peligro de morir con la edad.

Es importante reconocer que esta curva se construyó observando una población específica de seres humanos, y permite hacer predicciones sobre otros seres humanos.

PATRON “C”

PATRON “D” PATRON “E” PATRON “F”

PATRON “A”PATRON “B”

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

TIEMPO

TA

SA

DE

FA

LLA

h(t

)

Figura 2.103 Otros Patrones de Falla.

Este concepto es extrapolable a componentes y equipos. Si se dispone de un número significativo de unidades de un mismo componente o equipo, y se les pusiera a operar a partir de un tiempo inicial t0, y observando el comportamiento en el número de fallas por unidad de tiempo podría construirse su particular curva de la bañera. Típicamente una población de componentes o equipos en general presentan una tasa de falla alta en el primer período de vida que decrece hasta que alcanza un nivel constante por un período de tiempo, (conocido como etapa aleatoria), y finalmente por efecto del envejecimiento característico o desgaste de los componentes, comienza a aumentar nuevamente (desgaste) (12), tal como el caso de los seres humanos reflejado en la figura 2.102.

No obstante, es necesario mencionar que el patrón de fallas mostrado en la figura 2.102 no se corresponde exactamente con el comportamiento de una amplia variedad de sistemas eléctricos, electrónicos y mecánicos (9).


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En la Figura 2.103 (página anterior), se puede observar los diversos patrones de fallas encontrados para varios equipos y sistemas en función de sus edades operativas.

Estudios realizados han mostrado que el 4% de los sistemas se corresponden con el patrón “A”, 2% con el patrón “B”, 5% con el patrón “C”, 7% con el patrón “D”, 14% con el patrón “E” y aproximadamente el 68% con el patrón “F” (9).

3.1.3. Estimación de la Confiabilidad.

Hasta este punto se han descrito las funciones y parámetros más importantes de un análisis de confiabilidad para equipos no reparables (C(t), h(t), TPPF). Como el lector puede constatar en las ecuaciones 2.143, 2.144 y 2.145, para definir estas funciones, es necesario definir la distribución paramétrica de probabilidades del tiempo para la falla f(t). En caso de no encontrar ninguna distribución paramétrica que ajuste al conjunto de datos disponibles, se debe hacer uso de una distribución “no paramétrica o empírica” (ver el apartado 4.2 de la sección de estadística para la confiabilidad) y estimar la confiabilidad apoyados en “estadística no paramétrica o estadística de la muestra”.

En las secciones sucesivas se estudiará cómo estimar confiabilidad usando estadística paramétrica y usando estadística no paramétrica.

A.- Estimación de Confiabilidad de Activos no Reparables con Estadística Paramétrica.

Para estimar confiabilidad con estadística paramétrica, es necesario caracterizar probabilísticamente la variable tiempo para fallar, es decir; encontrar la distribución paramétrica f(t) que mejor se ajusta a los datos; usando para ello el procedimiento descrito en el apartado 4.3 de la sección de estadística para la confiabilidad. En este caso los datos a analizar deben ser tiempos de operación de n equipos similares con los cuales se definirá la distribución de densidad de probabilidades f(t). Una vez definida f(t), utilizando las ecuaciones 2.41 y 2.43 de la sección de estadística para la confiabilidad, se obtienen la distribución acumulada directa F(t) que corresponde a la probabilidad de fallas y la distribución acumulada inversa C(t) que corresponde a la confiabilidad.

Sin embargo, el proceso de caracterización probabilística de la variable “tiempo de operación para la falla” requiere un tratamiento especial para su respectiva caracterización; que está relacionado con el concepto de datos censados, que se explica a continuación.

Para entender el concepto de datos censados, es necesario analizar la figura 2.104. En la misma se representan con líneas los tiempos de operación de una población de “n” equipos. Estos tiempos fueron medidos de manera continua en cada equipo desde que iniciaron su operación. Las líneas punteadas, con una “X” al final representan aquellos equipos que han fallado antes del tiempo tmisión o periodo de análisis, y las líneas continuas aquellos equipos que no han fallado y continúan operando después de finalizado el período de análisis.

Las líneas punteadas constituyen la información de fallas; mientras que las líneas continuas, es decir, los tiempos t3 y t6 son datos de equipos que permanecen confiables (no han fallado) para el momento del análisis, y son parte importante de la información. A t3 y t6 se les conoce como datos censados.

0 T ie m p o t

E q u ip o 1

E q u ip o 2

E q u ip o 3

E q u ip o 4

E q u ip o 5

E q u ip o 6

E q u ip o n

X

X

X

X

X

t1

t2

t3

t4

t5

t6

tn

tm is io n Figura 2.104 Datos censados y no censados.


160

La existencia de datos censados es generalmente obviada por los analistas, quienes en la mayoría de las ocasiones se concentran en los equipos que han fallado, y no toman en cuenta los datos censados. Esto se traduce en cálculos pesimistas de la confiabilidad.

En este punto el lector podría preguntarse cómo incluir los datos censados en el cálculo de confiabilidad, y la respuesta está en el proceso de caracterización probabilística; tal como se explica a continuación:

El paso 1 de una caracterización probabilística es plantear las hipótesis acerca de las distribuciones paramétricas que podrían hacer un buen ajuste con los datos.

El paso 2, es calcular los parámetros de cada una de las distribuciones hipótesis con los datos de la muestra. Las ecuaciones para calcular estos parámetros normalmente se obtienen con el método de máxima verosimilitud explicado.

El paso 3 consiste en realizar alguna de las pruebas de bondad de ajuste estudiadas en la sección de estadística para la confiabilidad en el apartado 4.3.2 en las que normalmente se comparan cada una de las curvas de las distribuciones hipótesis teóricas obtenidas con los parámetros estimados en el paso anterior, con el histograma de los datos de la muestra. De esta comparación se calcula para cada distribución hipótesis un valor llamado “valor del test” y se compara contra un valor llamado “valor critico”. Si el valor del test es menor que el valor crítico para un determinado nivel de significancia, entonces la distribución hipotética se considera un buen ajuste y la hipótesis no es rechazada. Si por el contrario, el valor del test es mayor que el valor crítico, la hipótesis se rechaza.

El paso 4 es seleccionar entre las distribuciones hipotéticas no rechazadas, aquella que tenga el valor del test más bajo, y ésta se considera el mejor ajuste y por lo tanto la distribución paramétrica que mejor representa el set de datos de la muestra.

La forma de tomar en cuenta los datos censados en el proceso de caracterización probabilística se centra en el paso 2 del procedimiento previamente descrito, es decir, en el cálculo de los parámetros con los datos de la muestra; ya que las ecuaciones para el cálculo de los parámetros de las distribuciones probabilísticas son diferentes cuando existen datos censados.

Como el lector recordará, el método de máxima verosimilitud permite definir las ecuaciones de los parámetros. Para ¨´refrescar´´ la memoria, recuérdese el método de máxima verosimilitud:

Paso 1: Para un set de datos ti (i=1, 2, 3.......n) crear la ecuación de máxima verosimilitud:

n

1i),it(fL ; donde ti son los tiempos de ocurrencia de fallas y t el parámetro o los parámetros de la distribución

probabilística.

Paso 2: Derivar la ecuación de verosimilitud respecto a cada parámetro;L

Paso 3: Hallar el valor de que maximiza L; es decir resolver 0L

En caso de existir datos censados, la ecuación de verosimilitud definida en el paso 1, cambia a la siguiente forma:

w

1j),jt(C*

m

1i),it(fL ;

Donde:

m = Número de equipos que han fallado.

ti = Tiempo de falla del equipo i.

w = Número de datos censados o equipos no fallados.

tj = Tiempos de operación de equipos que no han fallado (datos censados).

Parámetros de la distribución de probabilidad.

Por esta variación en el procedimiento, las ecuaciones para el cálculo de parámetros que se obtienen cuando existen datos censados son diferentes a las ecuaciones que se obtienen cuando no los hay. La Figura 2.105 muestra un flujograma del proceso de selección de la distribución que mejor ajusta a una muestra de datos que incluye datos censados.


161

A na lizar los da tos de la m uestra y generar las h ipó tes is o d is tribuc iones param etricas que podrian a jus ta r a los da tos de la m uestra

fk(t ; j )D onde:k=1 ,2 ....m ; donde m = núm ero de h ipó tes is generadas j = parám etros de la d is tribuc ión h ipo te tica fi(t)

H ay da toscensados?

k= 1, q =0

S iN o

M eto d o d e M axim a V ero sim ilitu d

P aso 1 : P ara los da tos de fa llas ti ( i= 1 ,2 ,3....... n )c rear la ecuac ión de veros im ilitud :

P aso 2 : D erivar la ecuac ión de veros im ilitud respecto

a cada parám etro j ;

P aso 3 : H a lla r e l va lo r de j que m ax im iza L; es dec ir reso lver

n

initfL

121 ),.....,,;(

L

0L

M eto d o d e M axim a V ero sim ilitu d

P aso 1 : P ara los da tos de fa llas ti ( i=1 ,2 ,3 ....... z), y los datos censados tl ( l= 1 ,2 ,3… .w ) crear laecuac ión de verosim ilitud :

P aso 2 : D erivar la ecuac ión de veros im ilitud

respecto a cada parám etro j ;

P aso 3 : H ayar e l va lo r de j que m ax im iza L; es dec ir reso lver

L

0L

w

lnl

z

ini tCfL

121

121 ),.....,,,(*),.....,,,(

H alla r los va lo res de los param etros j , con los da tos de la m uestra , u tilizando las ecuac iones

espec ificas para la d is tribuc ion h ipo te tica fk(t ), obtenidas con e l m etodo de M axim a V ero sim ilitu d

P ara cada va lo r ti de la m uestra de da tos (i= 1 ,2… .n), ca lcu le la probab ilidad de fa lla teorica

F i(t)

D onde 1, 2, ..... j, so n lo s p aram etro s d e la d is trib u cio n , h ayad o s en la fase p revia .

it

jki dttftF0

21 ),...,;()(

P ara cada va lo r ti de la m uestra de datos(i=1 ,2… .n), ca lcu le la probabilidad de fa lla em pirica

D onde n= num ero de tos de la m uestra

nitFi )(ˆ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 500 1000 1500 2000 2500

t (tiem po )

Pro

ba

bili

da

d d

e F

alla

F (t) E m p irica F (t) T eo rica

G ra ficar la P robab ilidad de F a lla T eorica F (t) y la P robab ilidad de F a lla E m pirica V s t )(ˆ tF

C on los ca lcu los de P rob . de F a lla T eorica F i(t) y la P robab ilidad de F a lla E m pirica , ap licar e l tes t de B ondad de A jus te de K olm ogorov-S m irnov,

•C alcu lar e l va lo r de l tes t: “K -S k”

•C alcu lar e l va lo r c ritico “V c k ” p ara u n n ive l d e co n fid en cia esp ecifico

)(ˆ tFi

K -S k<V c kS iN o

fk(t) es una h ipo tesis no rechazada y es cand ida ta a “m e jor a jus te ”

q =q +1

fk(t) es una h ipo tes is rechazada

k< m

k<m

k= k+ 1

S i

N o

N o

k= k+1

S i

F IN

E ntre las “q ” d is tribucio nes que fue ron no fue ron rechazadas, la que m e jo r a jus ta a l se t de da tos co rresponde a la que tenga un m enor va lo r de l tes t de bondad de a jus te “K -S ”

M ejor F it: K -S m in im o

Figura 2.105 Proceso de selección del mejor ajuste.


162

La Tabla 2.35 resume las ecuaciones para el cálculo de parámetros para las distribuciones probabilísticas más usadas en análisis de confiabilidad de equipos no reparables, tanto para muestras con sólo datos de falla, como para muestras con datos censados.

Tabla 2.35: Ecuaciones de parámetros.

Distribución Parámetros Todos los “n” equipos de la muestra han fallado (ti :1,2...n)

Solo “m” equipos han fallado (ti :1,2...m) y “w” equipos no han fallado( tj:1,2.... w

) (datos censados)

Exponencial λ

n

1iit

n

w

1jj

m

1ii tt

m

Weibull

α

/1n

1ii

n

t

1

w

1jj

m

1ii

m

tt

β

n

1iin

1ii

n

1iii

tlnn

11

t

tlnx

m

1ii

w

1jj

m

1ii

w

1jjj

m

1iii

tlnm

11

tt

tlnttlnt

Gamma

α

n

1i

2Xi

2

2n

1ii

tn

t1n

Solución numérica

β

n

1ii

n

1i

2Xi

t)1n(

t.n Solución numérica

Normal μ

n

tn

1ii

Solución numérica

σ

n

1i

2

i2 t

1n1 Solución numérica

Log- Normal μτ

n

)tln(n

1ii

t

Solución numérica

στ

n

1i

2i

2t )tln(

n1

Solución numérica

Adicionalmente, en la tabla 2.36 que se muestra a continuación, se resumen las ecuaciones para el cálculo de la probabilidad de fallas F(t), la confiabilidad C(t), la velocidad de incremento del peligro o tasa de fallas h(t) y el TPPF, para las distribuciones probabilísticas más usadas en análisis de confiabilidad de equipos no reparables.

ti


163

Tabla 2.36: Ecuaciones para diversas distribuciones de probabilidad.

Distribución f(t) F(t) C(t) h(t) TPPF

Exponencial te)t(f te1)t(F te)t(C )t(h 1

TPPF

Weibull

t

et

tf1

)(

t

etF 1)(

t

e)t(C

1t

)t(h

11TPPF

Gamma

t1

et

)t(f

dtettFtt

1

0

1)(

)t(F1)t(C

)t(F1

)t(f)t(h

TPPF

Normal 2t

2

1

e2

1)t(f

dtetF

t

2

2

1

2

1)(

)t(F1)t(C

)t(F1

)t(f)t(h

TPPF

Log- Normal 2

t

t)tln(

2

1

t

e2t

1)t(f

0dt)t(f)t(F )t(F1)t(C

)t(F1

)t(f)t(h

22

1

eTPPF

Para fijar los conceptos y procedimientos asociados a la estimación de confiabilidad, a continuación se presentan dos ejemplos prácticos de aplicación que serán de gran utilidad para el lector.

Ejemplo 2.22: Análisis de Confiabilidad Equipos No Reparables.

En el presente ejemplo se analizará una base de datos correspondiente una a población de 53 bombas electro-sumergibles instaladas en sendos pozos de producción de petróleo.

Se ha hecho un seguimiento a cada bomba desde su instalación hasta la falla. De las 53 bombas de la muestra de estudio 49 han fallado en los períodos observados, cuyos datos se registran en la Tabla 2.37; mientras que las 4 bombas restantes, aún permanecen operando, acumulando las horas de operación mostradas en la Tabla 2.38.

Por política de mantenimiento, estas bombas son reemplazadas por una bomba nueva al fallar, para minimizar el tiempo de paro del pozo productor.

Ejercicio:

Calcular la tasa de fallas y la confiabilidad de una bomba electrosumergible del mismo tipo, que operará en condiciones similares a las bombas de la muestra, para períodos de 500, 1800 y 5000 hrs.

Calcular la probabilidad para que esta bomba supere las 6000 hr. de operación y el TPPF de la población de bombas.

Tabla 2.37 Tiempos de Operación de Equipos Fallados.

Tiempo de Operación hasta la falla (hrs) Bombas Electrosumergibles

21.6 373.6 746.6 1519.0 2773.0 63.0 430.6 756.7 1589.0 2894.0 65.1 434.0 758.8 1676.0 2939.0 83.3 446.8 977.9 1769.0 2969.0 120.5 516.8 1082.0 1789.0 3438.0 121.0 597.9 1082.0 1832.0 3595.0 135.1 629.7 1178.0 2072.0 4083.0 184.2 647.6 1282.0 2259.0 5804.0 246.4 719.7 1373.0 2290.0 6415.0 298.5 737.6 1447.0 2554.0


164

Tabla 2.38 Tiempos de Operación de Equipos Censados.

Tiempo de Operación (hrs) Bombas Electrosumergibles

6870.0 6900.0 6550.0 7000.0

Solución:

Para contestar las preguntas planteadas en el enunciado, es necesario seguir las siguientes etapas:

Etapa 1: Caracterizar probabilísticamente la variable tiempo en operación hasta la falla, analizando la muestra de n = 53 datos mostrados en las tablas 2.37 y 2.38 siguiendo el procedimiento resumido en el flujograma de la Figura 2.105

Etapa 2: Una vez conocida la distribución de probabilidades del tiempo de operación hasta la falla, se realizará el cálculo de confiabilidad, probabilidad de fallas y tasa de fallas utilizando las ecuaciones 2.143 y 2.145 respectivamente. El tiempo promedio para fallar se hallará utilizando la ecuación 2.144.

Etapa 3: Para destacar la importancia y el efecto de considerar los datos censados como parte de la información que debe considerarse en un análisis de confiabilidad; se realizará la caracterización probabilística en dos fases; primero considerando sólo los datos de equipos fallados y posteriormente se incluirían los datos de los equipos que no han fallado aún para constatar y discutir las diferencias.

Caracterización probabilística con datos de equipos fallados solamente:

Según el flujograma de la Figura 2.105, el primer paso para caracterizar probabilísticamente una variable es plantear hipótesis de posibles modelos paramétricos que pudieran ajustar bien en los datos de la muestra.

En este ejemplo, por tratarse de tiempos, las hipótesis que se plantean son los modelos paramétricos más usados tradicionalmente para este fin, es decir:

Hipótesis 1: Distribución Exponencial.

Hipótesis 2: Distribución Weibull.

Hipótesis 3: Distribución Gamma.

Seguidamente es necesario calcular los parámetros de cada distribución, con los de la Tabla 2.37, y las ecuaciones para parámetros resumidas en la Tabla 2.35:

Hipótesis 1: Parámetros de Distribución Exponencial:

000682,049

1iit

49n

1iit

n

Hipótesis 2: Parámetros de la Distribución Weibull:

n

1i9987.0itln

n

11n

1iit

n

1iitlnit

;

869.1464

/1

n

n

1iit

Hipótesis 3: Parámetros de la Distribución Gamma:

0469.1

n

1i

2Xit

2n

2n

1iit1n

;

87.1399n

1iit)1n(

n

1i

2Xit.n

Una vez calculados los parámetros para las diferentes hipótesis, deben calcularse las probabilidades acumuladas hipotéticas F(ti) para cada valor ti de la muestra. Para hacer esto, se debe ordenar en forma ascendente, los datos de la muestra, y aplicar las ecuaciones para el cálculo de F(t) de la tabla 2.36:

Hipótesis 1: Distribución Exponencial:

it000682.0e1)it(Fite1)it(F ; (2.147)


165

(En Excel la función “Expdist(ti,λ, verdadero)=” reali・ za este cálculo)

Hipótesis 2: Distribución Weibull :

998.0

86.1464it

e1)it(F

it

e1)it(F

; (2.148)

(En Excel la función “Weibull(ti,α・,β,verdadero)=” realiza este cálculo)

Hipótesis 3: Distribución Gamma:

dt

t

e1it

t

0

1)it(F

(2.149)

(En Excel la función “Gammadist(ti, α ,β・ ,verdadero)=” realiza este cálculo)

Seguidamente, debe calcularse los valores de la probabilidad acumulada empírica, para cada valor ti de la muestra. Como se indicó en el diagrama de la Figura 2.45 una vez que los datos de la muestra se han ordenado en forma ascendente, la probabilidad empírica se calcula con la siguiente expresión:

ni

)t(F i ; (2.150)

Donde: i = número acumulado de fallas en el periodo ti n = número de elementos de la muestra = 49

La tabla 2.39 muestra los resultados de aplicar las ecuaciones 2.147, 2.148, 2.149 y 2.150 a los datos de la Tabla 2.37.

La figura 2.106 muestra los gráficos de Probabilidad Acumulada Empírica y Probabilidad Acumulada Teórica calculada con cada una de las distribuciones hipotéticas vs. Tiempo.

A simple vista, las tres distribuciones hipotéticas (Exponencial, Weibull y Gamma) parecen ajustar bastante bien a los datos de la muestra; no obstante, para saber si estas hipótesis son estadísticamente válidas y para seleccionar la que mejor ajusta a los datos, se debe realizar un Test de Bondad de Ajuste, de los estudiados en la sección de estadística para la confiabilidad en el apartado 4.3.2. En este ejercicio se realizará el Test de Kolmogorov – Smirnov.

Como se indicó en la sección de estadística para la confiabilidad en el apartado 4.3.2-B el Test de Kolmogorov-Smirnov consiste básicamente en calcular los valores absolutos de las diferencias entre valores de las probabilidades acumuladas teóricas )t(F i y empíricas )t(F i para todos los datos de la muestra, como se indica en las siguientes ecuaciones: )t(F)t(F ii y )t(F)t(F 1ii . El resultado o valor del test, denotado como K-Svalue, es el valor absoluto de la máxima diferencia encontrada: )t(F)t(F;)t(F)t(FimomaxSK 1iiiivalue .

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 1000.0 2000.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0

tiem po (hrs)

Pro

ba

bil

ida

d d

e F

alla

s

F(t) Exponenc ial F(t) Empirica F(ti)=i/n

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 1000.0 2000.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0

tiempo (hrs)

Pro

ba

bili

da

d d

e F

alla

s

F(t) W eib ull F(t) Empirica F(ti)=i/n

F(t) Empírica y F(t) Exponencial Vs. tiempo

F(t) Empírica y F(t) Weibull Vs. tiempo

F(t) Empírica y F(t) Gamma Vs. tiempo

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 1000.0 2000.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0

tiem po (hrs)

Pro

ba

bili

da

d d

e F

alla

s

F(t) Gam m a F(t) Em pirica F(ti)=i/n Figura 2.106 F(t) teórica y F(t) empírica vs. Tiempo.


166

Tabla 2.39 Cálculo de las F(t) para las distribuciones hipotéticas y F(t) empíricas para los datos de la muestra.

Falla No "i"

ti (hrs)

F(t) Exponencial

F(t) Weibull

F(t) Gamma

F(t) Empirica F(ti)=i/n

1 21.6 0.01466 0.01474 0.01236 0.02041 2 63.0 0.04206 0.04224 0.03723 0.04082 3 65.1 0.04345 0.04364 0.03852 0.06122 4 83.3 0.05528 0.05550 0.04956 0.08163 5 120.5 0.07894 0.07921 0.07195 0.10204 6 121.0 0.07925 0.07952 0.07224 0.12245 7 135.1 0.08805 0.08835 0.08066 0.14286 8 184.2 0.11810 0.11845 0.10964 0.16327 9 246.4 0.15473 0.15512 0.14541 0.18367 10 298.5 0.18429 0.18471 0.17454 0.20408 11 373.6 0.22503 0.22547 0.21501 0.22449 12 430.6 0.25455 0.25500 0.24452 0.24490 13 434.0 0.25630 0.25675 0.24628 0.26531 14 446.8 0.26276 0.26321 0.25276 0.28571 15 516.8 0.29713 0.29758 0.28732 0.30612 16 597.9 0.33500 0.33544 0.32557 0.32653 17 629.7 0.34924 0.34968 0.33999 0.34694 18 647.6 0.35718 0.35761 0.34804 0.36735 19 719.7 0.38800 0.38843 0.37936 0.38776 20 737.6 0.39543 0.39584 0.38691 0.40816 21 746.6 0.39915 0.39956 0.39070 0.42857 22 756.7 0.40328 0.40369 0.39490 0.44898 23 758.8 0.40413 0.40454 0.39577 0.46939 24 977.9 0.48687 0.48722 0.48025 0.48980 25 1082.0 0.52205 0.52237 0.51627 0.51020 26 1082.0 0.52205 0.52237 0.51627 0.53061 27 1178.0 0.55235 0.55264 0.54734 0.55102 28 1282.0 0.58302 0.58327 0.57880 0.57143 29 1373.0 0.60812 0.60834 0.60457 0.59184 30 1447.0 0.62741 0.62761 0.62438 0.61224 31 1519.0 0.64527 0.64545 0.64272 0.63265 32 1589.0 0.66182 0.66197 0.65971 0.65306 33 1676.0 0.68131 0.68144 0.67972 0.67347 34 1769.0 0.70090 0.70101 0.69982 0.69388 35 1789.0 0.70496 0.70505 0.70398 0.71429 36 1832.0 0.71349 0.71357 0.71273 0.73469 37 2072.0 0.75676 0.75679 0.75707 0.75510 38 2259.0 0.78590 0.78589 0.78686 0.77551 39 2290.0 0.79038 0.79037 0.79144 0.79592 40 2554.0 0.82493 0.82488 0.82667 0.81633 41 2773.0 0.84923 0.84915 0.85136 0.83673 42 2894.0 0.86118 0.86109 0.86347 0.85714 43 2939.0 0.86538 0.86528 0.86772 0.87755 44 2969.0 0.86810 0.86801 0.87048 0.89796 45 3438.0 0.90422 0.90410 0.90688 0.91837 46 3595.0 0.91395 0.91383 0.91663 0.93878 47 4083.0 0.93832 0.93819 0.94089 0.95918 48 5804.0 0.98094 0.98085 0.98248 0.97959 49 6415.0 0.98744 0.98736 0.98863 1.00000

La Tabla 2.40 muestra los resultados del test de Kolmogorov para la hipótesis 1; es decir la distribución exponencial:


167

Tabla 2.40 Test de Kolmogorov-Smirnov para la hipótesis 1.

Hipótesis 1: Distribución Exponencial

Datos de la Muestra Probabilidad Acumulada Test de Kolmogorov-Smirnov

Falla "i" ti F(t) Teórica F(t) Empírica

1 21.6 0.01466 0.02041 0.00575 0.02041

2 63.0 0.04206 0.04082 0.00124 0.02165

3 65.1 0.04345 0.06122 0.01777 0.00263

4 83.3 0.05528 0.08163 0.02636 0.00595

5 120.5 0.07894 0.10204 0.02310 0.00269

6 121.0 0.07925 0.12245 0.04320 0.02279

7 135.1 0.08805 0.14286 0.05480 0.03439

8 184.2 0.11810 0.16327 0.04516 0.02476

9 246.4 0.15473 0.18367 0.02894 0.00853

10 298.5 0.18429 0.20408 0.01979 0.00062

11 373.6 0.22503 0.22449 0.00054 0.02095

12 430.6 0.25455 0.24490 0.00965 0.03006

13 434.0 0.25630 0.26531 0.00900 0.01140

14 446.8 0.26276 0.28571 0.02295 0.00255

15 516.8 0.29713 0.30612 0.00899 0.01142

16 597.9 0.33500 0.32653 0.00847 0.02887

17 629.7 0.34924 0.34694 0.00230 0.02271

18 647.6 0.35718 0.36735 0.01017 0.01024

19 719.7 0.38800 0.38776 0.00025 0.02066

20 737.6 0.39543 0.40816 0.01274 0.00767

21 746.6 0.39915 0.42857 0.02942 0.00902

22 756.7 0.40328 0.44898 0.04570 0.02529

23 758.8 0.40413 0.46939 0.06526 0.04485

24 977.9 0.48687 0.48980 0.00292 0.01749

25 1082.0 0.52205 0.51020 0.01185 0.03225

26 1082.0 0.52205 0.53061 0.00856 0.01185

27 1178.0 0.55235 0.55102 0.00133 0.02174

28 1282.0 0.58302 0.57143 0.01159 0.03200

29 1373.0 0.60812 0.59184 0.01628 0.03669

30 1447.0 0.62741 0.61224 0.01517 0.03558

31 1519.0 0.64527 0.63265 0.01262 0.03303

32 1589.0 0.66182 0.65306 0.00876 0.02917

33 1676.0 0.68131 0.67347 0.00784 0.02825

34 1769.0 0.70090 0.69388 0.00703 0.02743

35 1789.0 0.70496 0.71429 0.00933 0.01108

36 1832.0 0.71349 0.73469 0.02121 0.00080

37 2072.0 0.75676 0.75510 0.00166 0.02207

38 2259.0 0.78590 0.77551 0.01039 0.03080

39 2290.0 0.79038 0.79592 0.00554 0.01487

40 2554.0 0.82493 0.81633 0.00861 0.02902

41 2773.0 0.84923 0.83673 0.01250 0.03291

42 2894.0 0.86118 0.85714 0.00404 0.02444

43 2939.0 0.86538 0.87755 0.01217 0.00823

44 2969.0 0.86810 0.89796 0.02985 0.00945

45 3438.0 0.90422 0.91837 0.01414 0.00626

46 3595.0 0.91395 0.93878 0.02482 0.00441

47 4083.0 0.93832 0.95918 0.02086 0.00045

48 5804.0 0.98094 0.97959 0.00135 0.02175

49 6415.0 0.98744 1.00000 0.01256 0.00784

K-S Value 0.06526

)(ˆ)( 1 ii tFtF)(ˆ)( ii tFtF


168

Una tabla similar a la Tabla 2.40 puede construirse para las dos restantes hipótesis, y calcular los valores del Test de Kolmogorov. La tabla 2.41 presenta un resumen de los resultados de aplicar este Test a las tres distribuciones hipótesis:

Tabla 2.41: K-Svalue para distribuciones hipotéticas.

Distribución Hipótesis K-Svalue

Exponencial (λ=0.000682) 0.06526

Weibull (α=1464.87; β=0.9987) 0.06484

Gamma (α=1399.8; β=1.0469) 0.07360

De igual forma, como se indicó en la sección de estadística para la confiabilidad en el punto 4.3.2-B-b, el valor crítico, para el Test de Kolmogorov, se calcula dependiendo del nivel de significancia y del número de datos de la Tabla 2.14 de la sección de estadística para la confiabilidad, muestra los valores críticos para diversos tamaños de muestra. Un extracto de esta tabla se muestra en la Tabla 2.42 que resume las fórmulas requeridas para calcular los valores críticos para diversos niveles de significancia para tamaños de muestra superiores a los 35 datos. Adicionalmente, se exponen los valores obtenidos para la muestra bajo análisis, con 49 datos.

Tabla 2.42 Valores Críticos Test Kolmogorov-Smirnov.

Tamaño de muestra “n” Significancia

20% 15% 10% 5% 1%

>35 n

07.1 n

14.1 n

22.1 n

36.1 n

63.1

N=49 0.15286 0.16286 0.17429 0.19429 0.23286

Como puede verse, de las Tablas 2.41 y 2.42, los resultados del test para las tres hipótesis son menores que los valores críticos para cualquiera de los niveles de significancia; coValorCritiSK value . Por esta razón, las tres distribuciones son hipótesis no rechazadas; pero se selecciona la distribución Weibull (α=1464.87; β=0.9987), como mejor ajuste por presentar el menor K-Svalue.

Caracterización probabilística con datos de equipos fallados y datos censados.

Ahora se repetirá un procedimiento similar, siguiendo el flujograma de la Figura 2.45 pero considerando adicionalmente los llamados “datos censados”; es decir, los datos de equipos que aún no han fallado y que se resumen en la Tabla 2.38. Con esto los datos de la muestra ahora son 53.

Nuevamente el primer paso es plantear hipótesis de posibles modelos paramétricos que pudieran ajustar bien en los datos de la muestra.

En este ejemplo, tomando como premisa los resultados de la sección anterior, se hará una sola hipótesis:

Hipótesis 1: Distribución Weibull

Seguidamente se calcularán los parámetros, con las ecuaciones para parámetros considerando datos censados, resumidos en la columna derecha de la Tabla 2.35.

Hipótesis 1: Parámetros de Distribución Weibull, con datos de fallas y datos censados:

873.0

49

1iitln

49

11

4

1jjt

49

1iit

4

1jjtlnjt

49

1iitlnit

45.1734

873.0

1

49

4

1jjt

49

1iit

Una vez calculados los parámetros la hipótesis, deben calcularse las probabilidades acumuladas hipotéticas F(ti) para cada valor ti de la muestra. Para hacer esto, se debe ordenar en forma ascendente, los datos de la muestra, y aplicar las


169

ecuaciones para cálculo de F(t) de la Tabla 2.36:

Hipótesis 1: Distribución Weibull:

873.0

45.1734it

e1)it(F

it

e1)it(F

; (2.151)

(En Excel la función “Weibull(ti,α・,β,verdadero)=” realiza este cálculo)

Seguidamente, se calculan los valores de la probabilidad acumulada empírica, para cada valor ti de la muestra. Como se indicó en el diagrama de la Figura 2.45 una vez que los datos de la muestra se han ordenado en forma ascendente, la probabilidad empírica se calcula con la siguiente expresión:

Ni

)t(F i ; (2.152)

donde:

i = número acumulado de fallas en el periodo ti

N =n+w = número de elementos de la muestra = 53

La tabla 2.43 muestra en la ultima columna los resultados de Probabilidad Acumulada Empírica calculados con la ecuación 2.151 y en las dos columnas previas los resultados de Probabilidad Acumulada Teórica; una proveniente de una distribución Weibull (ecuación 2.150) cuyos parámetros se calcularon tomando en cuenta los datos censados y otra procedente de una distribución Weibull calculada sólo con datos de falla en la sección anterior.

La Figura 2.107, muestra los gráficos de los resultados que se resumen en la Tabla 2.43. En este grafico pueden observarse la curva de Probabilidad Acumulada Empírica y dos curvas de Probabilidad Acumulada Teórica; una curva Weibull cuyos parámetros se calcularon tomando en cuenta los datos censados y otra curva Weibull cuyos parámetros se calcularon sólo con datos de falla que fue obtenida en la sección anterior.

Como puede verse en la Figura 2.107, a simple vista la curva que mejor ajusta a los valores de F(t) empírica es la curva de la distribución de Weibull cuyos parámetros se calcularon tomando en cuenta los datos censados. También puede observarse claramente que la curva de la distribución de Weibull cuyos parámetros se calcularon sólo con los datos de falla no ajusta a los valores de la F(t) empírica o F(t) de la muestra.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 1000.0 2000.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0

tiempo (hrs)

Pro

babi

lidad

de

Fal

las

F(t) Teorica solo con datos de Fallas F(t) Teorica con datos censados

F(t) Empirica

Figura 2.107 Resultados


170

Tabla 2.43 Resultados

Falla "i" Ti F(t) Teórica solo datos de falla

F(t) Teórica con datos censados

F(t) Empirica F(t)=i/53

1 21.6 0.01466 0.02153 0.01887

2 63.0 0.04206 0.05379 0.03774

3 65.1 0.04345 0.05534 0.05660

4 83.3 0.05528 0.06818 0.07547

5 120.5 0.07894 0.09286 0.09434

6 121.0 0.07925 0.09317 0.11321

7 135.1 0.08805 0.10208 0.13208

8 184.2 0.11810 0.13164 0.15094

9 246.4 0.15473 0.16636 0.16981

10 298.5 0.18429 0.19360 0.18868

11 373.6 0.22503 0.23029 0.20755

12 430.6 0.25455 0.25639 0.22642

13 434.0 0.25630 0.25793 0.24528

14 446.8 0.26276 0.26359 0.26415

15 516.8 0.29713 0.29348 0.28302

16 597.9 0.33500 0.32605 0.30189

17 629.7 0.34924 0.33822 0.32075

18 647.6 0.35718 0.34499 0.33962

19 719.7 0.38800 0.37118 0.35849

20 737.6 0.39543 0.37747 0.37736

21 746.6 0.39915 0.38062 0.39623

22 756.7 0.40328 0.38412 0.41509

23 758.8 0.40413 0.38483 0.43396

24 977.9 0.48687 0.45465 0.45283

25 1082.0 0.52205 0.48434 0.47170

26 1082.0 0.52205 0.48434 0.49057

27 1178.0 0.55235 0.51000 0.50943

28 1282.0 0.58302 0.53607 0.52830

29 1373.0 0.60812 0.55755 0.54717

30 1447.0 0.62741 0.57415 0.56604

31 1519.0 0.64527 0.58961 0.58491

32 1589.0 0.66182 0.60401 0.60377

33 1676.0 0.68131 0.62111 0.62264

34 1769.0 0.70090 0.63846 0.64151

35 1789.0 0.70496 0.64207 0.66038

36 1832.0 0.71349 0.64969 0.67925

37 2072.0 0.75676 0.68900 0.69811

38 2259.0 0.78590 0.71620 0.71698

39 2290.0 0.79038 0.72045 0.73585

40 2554.0 0.82493 0.75389 0.75472

41 2773.0 0.84923 0.77829 0.77358

42 2894.0 0.86118 0.79062 0.79245

43 2939.0 0.86538 0.79502 0.81132

44 2969.0 0.86810 0.79789 0.83019

45 3438.0 0.90422 0.83755 0.84906

46 3595.0 0.91395 0.84887 0.86792

47 4083.0 0.93832 0.87898 0.88679

48 5804.0 0.98094 0.94335 0.90566

49 6415.0 0.98744 0.95642 0.92453

Para saber si las hipótesis planteadas son estadísticamente válidas y para seleccionar la que mejor ajusta a los datos, se debe realizar un test de bondad de ajuste, de los estudiados en la sección de estadística para la confiabilidad en el apartado 4.3.2. Se utilizará nuevamente el test de Kolmogorov – Smirnov; es decir, se calcularán los valores absolutos de las diferencias entre valores de las probabilidades acumuladas teóricas )t(F i y empíricas )t(F i para estimar K-Svalue, es decir el valor absoluto de la máxima diferencia encontrada:


171

)1it(F)it(F;)it(F)it(FimomaxvalueSK

La Tabla 2.44 muestra los resultados del test de Kolmogorov para la hipótesis 1; es decir, la distribución Weibull con parámetros estimados considerando los datos censados:

Tabla 2.44: Resultados Kolmogorov-Smirnov.

Hipótesis: Distribución Weibull (α:1734 y β:0.873)

Datos de la Muestra Probabilidad Acumulada Test de Kolmogorov-S

Falla No. i ti (hrs) F(t) Teórica con

datos censados F(t) Empirica

F(t)=i/53

1 21.6 0.02153 0.018868 0.002661 0.018868 2 63.0 0.05379 0.037736 0.016059 0.034927 3 65.1 0.05534 0.056604 0.001267 0.017601 4 83.3 0.06818 0.075472 0.007287 0.011581 5 120.5 0.09286 0.094340 0.001482 0.017386 6 121.0 0.09317 0.113208 0.020035 0.001167 7 135.1 0.10208 0.132075 0.029997 0.011129 8 184.2 0.13164 0.150943 0.019306 0.000438 9 246.4 0.16636 0.169811 0.003452 0.015416 10 298.5 0.19360 0.188679 0.004920 0.023788 11 373.6 0.23029 0.207547 0.022742 0.041610 12 430.6 0.25639 0.226415 0.029970 0.048838 13 434.0 0.25793 0.245283 0.012642 0.031510 14 446.8 0.26359 0.264151 0.000565 0.018303 15 516.8 0.29348 0.283019 0.010464 0.029332 16 597.9 0.32605 0.301887 0.024165 0.043033 17 629.7 0.33822 0.320755 0.017468 0.036336 18 647.6 0.34499 0.339623 0.005367 0.024235 19 719.7 0.37118 0.358491 0.012690 0.031558 20 737.6 0.37747 0.377358 0.000110 0.018978 21 746.6 0.38062 0.396226 0.015607 0.003261 22 756.7 0.38412 0.415094 0.030978 0.012110 23 758.8 0.38483 0.433962 0.049128 0.030260 24 977.9 0.45465 0.452830 0.001823 0.020691 25 1082.0 0.48434 0.471698 0.012645 0.031513 26 1082.0 0.48434 0.490566 0.006223 0.012645 27 1178.0 0.51000 0.509434 0.000562 0.019430 28 1282.0 0.53607 0.528302 0.007773 0.026641 29 1373.0 0.55755 0.547170 0.010379 0.029247 30 1447.0 0.57415 0.566038 0.008113 0.026981 31 1519.0 0.58961 0.584906 0.004702 0.023570 32 1589.0 0.60401 0.603774 0.000240 0.019108 33 1676.0 0.62111 0.622642 0.001531 0.017337 34 1769.0 0.63846 0.641509 0.003054 0.015814 35 1789.0 0.64207 0.660377 0.018312 0.000556 36 1832.0 0.64969 0.679245 0.029556 0.010688 37 2072.0 0.68900 0.698113 0.009112 0.009756 38 2259.0 0.71620 0.716981 0.000779 0.018089 39 2290.0 0.72045 0.735849 0.015400 0.003468 40 2554.0 0.75389 0.754717 0.000829 0.018039 41 2773.0 0.77829 0.773585 0.004704 0.023572 42 2894.0 0.79062 0.792453 0.001830 0.017038 43 2939.0 0.79502 0.811321 0.016305 0.002563 44 2969.0 0.79789 0.830189 0.032299 0.013431 45 3438.0 0.83755 0.849057 0.011506 0.007362 46 3595.0 0.84887 0.867925 0.019050 0.000182 47 4083.0 0.87898 0.886792 0.007815 0.011052 48 5804.0 0.94335 0.905660 0.037692 0.056559 49 6415.0 0.95642 0.924528 0.031889 0.050757

K-S Value: 0.056559486

)(ˆ)( 1 ii tFtF)(ˆ)( ii tFtF


172

La Tabla 2.45, resume los resultados de los valores críticos calculados para diversos niveles de significancia, para una muestra que incluyendo los datos censados es de 53 valores.

Tabla 2.45 Valores Críticos Test Kolmogorov-Smirnov.

Tamaño de muestra “n”

Significancia

20% 15% 10% 5% 1%

>35 n

07.1 n

14.1 n

22.1 n

36.1 n

63.1

N=53 0.1470 0.1566 0.1676 0.1868 0.2239

Como puede verse, K-Svalue =0,05656 < Valor Critico, para todos diversos niveles de significancia; por esta razón, la distribución hipótesis Weibull (α=1464.87; β=0.9987) no es rechazada, y puede considerarse un buen ajuste para los datos de muestra.

Etapa 2:

Una vez conocida la distribución de probabilidades del tiempo de operación hasta la falla, se realizará el cálculo de confiabilidad, probabilidad de fallas, tasa de fallas y tiempo promedio para fallar utilizando las ecuaciones de la Tabla 2.36 para la distribución de Weibull; es decir:

Confiabilidad:

873.0

45.1734

t

e)t(C

t

e)t(C

(2.153)

Tasa de Fallas: )1837,0(

45,1734

t

45,1734

8734,01t)t(h

(2.154)

El enunciado del problema pide calcular estos valores para t = 500, 1800, 5000 y 6000 hrs. La Tabla 2.46 resume los resultados para los tiempos mencionados:

Tabla 2.46 Cálculos de Confiabilidad y Tasa de Fallas Bombas Electro-sumergibles.

T C(t) h(t)

500 0.7105 0.000589455

1800 0.2927 0.000501045

5000 0.0331 0.000440137

6000 0.0167 0.000430074

Adicionalmente, se debe calcular el TPPF de este tipo de bombas. Para ello se cuenta con el apoyo de la ecuación 2.144, que desarrollada para una distribución Weibull resulta:

hrs1857BOMBASTPPF873,0

1145,1734BOMBASTPPF

11TPPF

(2.155)

Por último, la figura 2.108 que se muestra a continuación, resume los resultados del cálculo de Confiabilidad C(t), para la muestra de datos, con dos curvas; una que considera sólo los datos de fallas (Distribución Weibull (α=1464.86 y β=0.998)) , y otra que considera los datos de fallas más los datos censados o no fallados ( Distribución Weibull (α=1734,45 y β=0,873)).


173

Confiabilidad C(t)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.0 1000.0 2000.0 3000.0 4000.0 5000.0 6000.0 7000.0

tiem po t (hrs)P

roba

bilid

ad

C(t) (Fallados solamente) C(t) Fallados + Censados

Figura 2.108 Confiabilidad C(t)

Como puede observarse, la curva que considera sólo los datos de fallas, es bastante más “pesimista” que la curva que considera los datos de falla más los datos censados. Esto realza la importancia de considerar los datos censados, cuando los haya, como parte de la evidencia que debe incluirse en un análisis de confiabilidad, ya que al omitirlos se está sobrestimando la probabilidad de fallas y subestimando la confiabilidad.

B.- Estimación de Confiabilidad de Activos no Reparables con Estadística no Paramétrica.

En muchas oportunidades no se considera conveniente asociarle a un conjunto de valores de una variable en particular una distribución paramétrica de las que se han estudiado en la sección de estadística para la confiabilidad; bien sea porque no se conoce la dinámica de la variable a modelar, no existe relación alguna entre esta dinámica y los principios matemáticos o físicos que sustentan la distribución paramétrica que más se adapta a las muestras de esta variable, o simplemente no se encuentra ninguna distribución paramétrica que se ajuste al conjunto de datos disponibles.

Bajo estas circunstancias, puede optarse por seleccionar una distribución no paramétrica, que tal como se explicó en secciones previas, es una distribución cuyo comportamiento es definido en su totalidad por la data disponible. En otras palabras, es como si se construyera una distribución muy particular para el conjunto de datos bajo análisis. Existen diferentes esquemas para el cálculo de la confiabilidad tasa de falla y otras figuras de mérito utilizando representación no paramétrica, muchos de ellos varían en función de la muestra, de cómo ha sido recolectada y consolidada la muestra, entre otros.

En este texto, se limitará el tratamiento de esta temática a mostrar las ecuaciones más importantes para análisis de confiabilidad con estadística no paramétrica; pero no se profundizará debido a su extensión. Para estudiar este tema en detalle, se recomiendan las referencias [10], [11]

La Tabla 2.47 resume las ecuaciones más importantes para análisis de confiabilidad con estadística no paramétrica, para una muestra de n datos ti donde i=1,2,..., n.

Tabla 2.47: Ecuaciones para análisis de confiabilidad con estadística no paramétrica.

Figura de Mérito Muestras Pequeñas n<25 Muestras Grandes n 25

Confiabilidad )t(C i 25,0n

625,0in)t(C i

n

i)t(C i

Prob. de Falla )t(F i

25,0n

625,0in1)t(F i

n

i1)t(F i

Tasa de Fallas )t(h i i1ii tt625,0in

1)t(h

i1i

i tt

1)t(h

3.2. Confiabilidad de Activos Reparables.

Introducción. Un sistema reparable es aquel que acepta reparaciones y le pueden ser restauradas sus funciones mediante el uso de cualquier método de reparación diferente al reemplazo del sistema completo.


174

En el análisis de sistemas reparables hay cinco posibles estados que dichos sistemas pueden adquirir después de una reparación. Estos estados son:

- Tan bueno como nuevo.

- Tan malo como antes de reparar.

- Mejor que antes de reparar pero peor que cuando estaba nuevo.

- Mejor que cuando estaba nuevo.

- Peor que antes de reparar.

Los modelos probabilísticos utilizados tradicionalmente para estimar o predecir el número esperado de fallas asumen alguno de los dos primeros estados pero no cubren los últimos tres, los cuales parecieran acercarse más a la realidad. En esta sección se presenta una revisión de los modelos tradicionales de predicción del número de fallas en un tiempo misión para sistemas reparables, así como algunos ejemplos de aplicaciones. Adicionalmente se presenta la formulación de un modelo probabilístico que toma en cuenta los cinco estados en los que puede quedar un sistema una vez reparado, el cual se denomina Proceso Generalizado de Restauración (PGR) y se demuestra que el PGR es la teoría más general para predecir el número de fallas en activos reparables.

Las referencias [2], [26], [47], [48] ofrecen información particularmente detallada sobre “Confiabilidad en Activos Reparables”.

3.2.1. Variables Probabilísticas de Interés en Análisis de Confiabilidad de Activos Reparables.

Como se mencionó previamente un equipo reparable es aquel cuya condición operativa puede restaurarse después de fallar con una reparación. Esta consideración implica que en su vida puede ocurrir más de una falla y es ésta la diferencia fundamental con los equipos “no reparables” en cuya vida sólo puede ocurrir una única falla.

Anteriormente, se estudió extensamente como tratar la variable probabilística de interés para activos no reparables, es decir, el tiempo para la falla; y los indicadores o figuras de mérito utilizados para describirla; tales como la tasa de fallas h(tm) , la confiabilidad C(tm) y la probabilidad de falla F(tm) para un tiempo misión tm; no obstante como se demostrará más adelante, estos conceptos, indicadores y ecuaciones, tal como fueron definidos en la mencionada sección, no aplican cuando se habla de equipos reparables. En esta sección, se tratará extensamente el tema de la variable probabilística que se estudia para equipos reparables y los indicadores o figuras de mérito para caracterizarla.

Cuando se trata de equipos reparables y se habla de tiempo para la falla, surge inmediatamente la pregunta “tiempo para cuál falla?“; (tiempo para la primera falla?; o tiempo para la segunda falla?; o tiempo para la niésima falla?), ya que para un tiempo misión tm puede ocurrir más de una falla. Si se habla por ejemplo, la probabilidad de falla en el tiempo misión tm, surgen las preguntas, probabilidad de cuántas fallas?; probabilidad de una falla en un período tm?; o probabilidad de 2 fallas en un tiempo tm?; o probabilidad de n fallas en un tiempo tm?

La Figura 2.109 se esquematiza una proyección o estimado de un proceso de operación de un equipo reparable, en el que se sabe que pueden ocurrir fallas que serán restauradas con reparaciones. Al mencionado esquema se asocia la nomenclatura que se utilizará en lo sucesivo. Nótese que se manejarán dos escalas de tiempo:

1.- Una escala relacionada al tiempo de operación entre fallas; para la cual se usarán subíndices; por ejemplo t2 = tiempo de operación entre la primera y la segunda falla.

2.- Otra escala relacionada con el tiempo acumulado de operación hasta las fallas o hasta un evento específico; para la cual se usarán superíndices, por ejemplo t[2]= tiempo acumulado de operación hasta la segunda falla. Nótese que t[2]=t1+t2

tKt11

t2 t3 t4 tn2 3 4 n-1 n

t1 t2 t3 t4 tn tK

n1n4321

n tt.......ttttt

Kn1n4321

K ttt.......tttttT

1n4321

1n t.......ttttt

4321

4 ttttt

321

3 tttt

21

2 ttt

1

1 tt

tKt11

t2 t3 t4 tn2 3 4 n-1 n

t1 t2 t3 t4 tn tKt11

t2 t3 t4 tn2 3 4 n-1 n

t1 t2 t3 t4 tn tK

n1n4321

n tt.......ttttt

Kn1n4321

K ttt.......tttttT

1n4321

1n t.......ttttt

4321

4 ttttt

321

3 tttt

21

2 ttt

1

1 tt

1ra falla 2da falla 3ra falla 4ta falla (n-1)th falla (n)th falla

Tiempo misión =

Figura 2.109 Proceso de fallas sucesivas. Nomenclatura.


175

Analizando la figura 2.109 y recordando que el tiempo para la falla se considera como una variable aleatoria por excelencia, se concluye que las variables t1 (tiempo de operación hasta la primera falla), t2 (tiempo de operación entre la primera y la segunda falla), t3 (tiempo de operación entre la segunda y la tercera falla); hasta tn (tiempo de operación entre la (n-1)th y la falla n), son todas variables aleatorias; es decir, variables que pueden tomar múltiples valores y que por ende, cada una puede ser representada con una distribución de probabilidades.

De la misma manera, y recordando los conceptos de operaciones con variables aleatorias, se concluye que las variables t[2] (tiempo acumulado de operación hasta la segunda falla), t[3] (tiempo acumulado de operación hasta la tercera falla), t[4] (tiempo acumulado de operación hasta la cuarta falla), hasta t[n] (tiempo acumulado de operación hasta la n falla), son también variables aleatorias ya que las mismas resultan de la suma de otras variables aleatorias; tal como puede verse en la Figura 2.209.

La Figura 2.110 representa la probabilidad de fallas F(ti), que como puede notarse aumenta desde 0 a 1 entre la falla i-1 y la falla i; para i=1,2,3,…..,n y en la Figura 2.111 se representa la confiabilidad del sistema C(ti), que disminuye desde 1 hasta 0 entre la falla i-1 y la falla i; para i=1,2,3,…..,n.

tKt11

t2 t3 t4 tn2 3 4 n-1 n

t1 t2 t3 t4 tn tK1 2 3 4 n-1 n1ra falla 2da falla 3ra falla 4ta falla (n-1)th falla (n)th falla

t[a] = tiempo acumuladoen operación

F(ti) = Probabilidad de Fallas entre la (i-1)th falla y la ith falla

0

1

0

t[k]

1

Figura 2.110 Probabilidad de Fallas en Activos Reparables.

tKt11

t2 t3 t4 tn2 3 4 n-1 n

t1 t2 t3 t4 tn tK1 2 3 4 n-1 n1ra falla 2da falla 3ra falla 4ta falla (n-1)th falla (n)th falla


C(ti) = Confiabilidad entre la (i-1)th falla y la ith falla

0

1

0

t[k]

Figura 2.111 Confiabilidad en Activos Reparables.

Los Figuras 2.110 y 2.111 muestran claramente que no tiene mucho sentido hablar de probabilidad de falla o confiabilidad en un tiempo acumulado de operación t[k] o tiempo misión, ya que en este período estos valores fluctúan entre 0 y 1 varias veces, y para diferentes valores del tiempo en operación puede darse el mismo valor de probabilidad de falla. Por esta razón, estos indicadores son poco usados en el análisis de activos reparables.

El análisis de la Figura 2.112 permite identificar la variable aleatoria que caracteriza a los equipos reparables conocida como Número Acumulado de Fallas N(t[m]), para un tiempo acumulado de operación o tiempo misión t[m] .

Para la mejor comprensión de este tema es importante explicar dos zonas claramente diferenciadas en la Figura 2.112.


176

1

2

3

4

.

.

.

t11

t2 t3 t42 3 4

t1 t2 t3 t4

4321

m ttttt tm

4321

4 ttttt

321

3 tttt

21

2 ttt

1

1 tt

1ra falla 2da falla 3ra falla 4ta falla


Tiempo misión =

N(t[a]) = No acumulado de fallas en el tiempoacumulado de operación t[a]

f(N(t[k]))

N(t[k])=(t[k])

tm

Historia(pasado)

Predicción(futuro)

N(t[k])5%

N(t[k])95%

Hoy

Figura 2.112 Número Acumulado de Fallas en el Tiempo Acumulado de Operación.

1.- Una zona correspondiente a la “Historia” o al pasado; que comprende 4 fallas acumuladas, que han ocurrido en forma sucesiva y con intervalos t1, t2, t3 y t4 . Los valores t1, t2, t3 y t4 no son variables aleatorias; porque son conocidos; así como tampoco es una variable aleatoria el número acumulado de fallas en el tiempo de operación t[4]. Estos valores son “datos” que se usarán para hacer predicciones del número de fallas para tiempos mayores a t[4]=t1+t2+t3+t4.

2.- La otra es la llamada zona de “Predicción” y corresponde al futuro. En esta zona todo es aleatorio, y el objetivo es saber cuántas fallas más pueden ocurrir desde t[4] hasta t[m]=t[4]+tm. Como el lector puede inferir, la variable Número Acumulado de Fallas N(t[m]), puede tomar múltiples valores para un tiempo acumulado de operación o tiempo misión t[m]=t1+t2+t3+t4+tm;, es decir, es una variable aleatoria que puede y debe ser modelada matemáticamente con una distribución de probabilidades, a la cual se le pueden calcular una media y unos percentiles; tal como se muestra en la figura.

Resumiendo, la predicción del número acumulado de fallas para cada valor del tiempo de operación dará como resultado una distribución de probabilidades.

La media o valor esperado de esta distribución se conoce como Número Esperado de Fallas y se denota como Δ(t[m]), tal como se muestra claramente en la figura.

La variable aleatoria Número Acumulado de Fallas N(t[m]), para un tiempo acumulado de operación t[m] es la variable probabilística objeto de estudio en análisis de activos reparables, y la figura de mérito Número Esperado de Fallas Λ (t[m]) es el indicador por excelencia utilizado para caracterizarla.

Además de Λ (t[m]), existen otras figuras de mérito o indicadores de gran utilidad para análisis de equipos reparables; estos son:

(t[m]) = Tasa de ocurrencia de fallas al tiempo acumulado de operación t[m]

TEPPF =Tiempo esperado para la próxima falla, después del tiempo acumulado de operación hasta la última falla.

En las secciones sucesivas, se definirán los modelos matemáticos para estimación de los indicadores probabilísticos de interés en sistemas reparables; con especial énfasis en la estimación del Número Esperado de Fallas Λ (t[m]).

3.2.2. Modelos Probabilísticos para la Estimación o Predicción del Número de Fallas (N(t[m])) en un Período de Operación t[m], para Sistemas Reparables.

La Figura 2.113 muestra un resumen de las teorías o procesos estocásticos para el modelaje de confiabilidad de sistemas reparables.


177

El Proceso Ordinario de Restauración, el cual asume que el sistema vuelve a la condición de tan bueno como nuevo y el Proceso No Homogéneo de Poisson, el cual asume que queda tan malo como estaba, son los métodos más comúnmente utilizados para la evaluación de sistemas reparables. El Proceso Generalizado de Restauración (PGR), el cual no asume ningún estado en particular y considera que los 5 estados son posibles, ha sido recientemente de gran interés debido a la necesidad de tener análisis y predicciones que estén sustentados sobre bases más realistas.

“Tan bueno como nuevo” “Tan malo como viejo”“Mejor que como estaba pero peor

que nuevo”

Restaurar a la condición original

Proceso Ordinario de Restauración

(POR)

Reparación mínima posible

Proceso no Homogeneo de Poisson

(PNHP)

Restaurar parcialmente

Proceso Generalizado

de Restauración

(PGR)

Análisis de Confiabilidad para Equipos Reparables

Figura 2.113 Teorías para Modelaje de activos reparables

A.- Proceso Ordinario de Restauración (POR).

Se define como Proceso Ordinario de Restauración a un modelo matemático que considera que los diferentes tiempos entre fallas sucesivas ti de un activo reparable son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (es decir que pueden representarse con el mismo modelo de distribución paramétrica probabilística).

Estas consideraciones pueden ser válidas si se asume que el sistema es restaurado a su condición original cada vez que se repara, es decir, el equipo queda “tan bueno como nuevo”.

Si esto se asume como cierto, los tiempos ti (i=1,2,3...n) entre fallas sucesivas son independientes, ya que al haber una “reparación perfecta” el tiempo de operación ti no tiene ningún efecto en el tiempo ti+1.

De igual forma, si cuando ocurre la falla “i” en el tiempo ti (i=1,2,3….n), el equipo es restaurado a su condición original, es razonable pensar que la variable aleatoria ti+1, se comportara de manera similar a la variable aleatoria ti ya que al inicio de ambos períodos, el equipo está teóricamente en la misma condición; por lo que puede asumirse que ambas variables pueden caracterizarse con la misma distribución de probabilidades, es decir, pueden considerarse idénticamente distribuidas.

Por supuesto, considerar que cuando ocurre una falla el equipo es restaurado a su condición original representa un escenario ideal, por lo que el POR es un modelo que tiene limitaciones en su aplicación en el análisis de sistemas reparables. Este modelo está restringido para equipos constituidos por algunos pocos componentes principales no reparables los cuales son reemplazables individualmente al fallar. Esto es, cuando una parte principal del equipo falla, ésta será reemplazada por una nueva. Los componentes son “no reparables”; pero el equipo “es reparable”. También es válida esta asunción, cuando la política de reparación sea “revisar todo el equipo y reemplazar todo lo que esté deteriorado cada vez que el equipo falle”.

Con base en el POR, y asumiendo que los tiempos entre fallas sucesivas siguen una distribución Weibull, las ecuaciones para los indicadores probabilísticos de interés, para un valor del tiempo de operación t[m], son las siguientes:

Probabilidad de Fallas:

mt

e1mtF (2.156)

Confiabilidad:

mt

e]m[tC (2.157)


178

Tasa de Ocurrencia de Fallas: 1

mt]m[t

(2.158)

Tiempo Esperado para la próxima Falla:

1

.TEPPF (2.159)

Número Esperado de Fallas: El cálculo de la variable Número Esperado de Fallas ((t[m])), reviste especial interés y complejidad, por esta razón, se propone una solución por simulación de Montecarlo para esta variable.

Para el POR a partir de la ecuación 2.156, se sabe que:

/1itF1lnit (2.160)

Donde ti representa tiempos entre fallas sucesivas generados desde la ecuación de Probabilidad de Falla del POR. Con la ecuación 2.160, se puede calcular el número Esperado de Fallas (t) al tiempo acumulado de operación t[m]=T; siguiendo el diagrama de flujo que se muestra en la Figura 2.114.

El flujo-grama de la Figura 2.47 es fácilmente programable, y en cuestión de segundos es posible realizar miles de iteraciones para obtener un cálculo numérico de (t).

INICIO

SELECCIONEEL PERIODO DE

ANALISIS “T”

j=1

Tj=0

SELECCIONE EL NUMERODE ITERACIONES = m

GENERAR ALEATORIAMENTE, UN VALOR Xj ENTRE 0 y 1

Tiempo para la Falla (t)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0

tiempo (hrs)

F(t

)

01

t

e1tF

Tj=Tj + tj

Tj <T ?

i=1

SI j=j+1

i=i+1

N° Fallas

ni=ji <m ? NO

SI

m

1iin

m

1)T(

NUMERO ESPERADO DEFALLAS AL TIEMPO “T”

NOSTOP

INGRESE ELVALOR DE LOSPARAMETROS

y

/1jj X1lnt

Figura 2.114 Flujograma de la Simulación de Montecarlo para el cálculo del N° Esperado de Fallas L(T) en activos reparables

basado en el POR.

Nótese que para el cálculo de cualquiera de los indicadores probabilísticos de interés, es necesario tener calculados los valores de los parámetros de escala (α) y de forma (β).

Ecuaciones para los Parámetros del POR Caso 1: Equipo Fallado.

La estimación se hace en un momento en el que ocurre la falla, y el equipo no está operando. En estas ecuaciones ti representa los tiempos entre fallas sucesivas observados y n es el número total de fallas observadas.


179

1

nitˆ

(2.161

n

1iitln

n

11n

1iit

n

1iitlnit

(2.162)

Ecuaciones para los Parámetros del POR Caso 2: Equipo Operando.

La estimación o predicción se realiza cuando el equipo está operando ha transcurrido un tiempo tc (ver Figura 2.71) desde la ocurrencia de la última falla. Para el cálculo de parámetros es necesario resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

1

n

ctn

1iit

ˆ

(2.163)

n

1iitln

n

11

ctn

1iit

)ctln(ctn

1iitlnit

(2.164)

En este punto es importante destacar que el valor tc puede clasificarse como un dato censado. Como se indica en la Figura 2.115, los parámetros se calculan con los valores de tiempos entre fallas y tiempos censados que ya han ocurrido, es decir con la “Historia”; y los mismos son usados para predecir las fallas que ocurrirán en el futuro.

1

2

3

4

.

.

.

t11

t2 t3 t42 3 4

t1 t2 t3 t4

4321

m ttttt tc

4321

4 ttttt

321

3 tttt

21

2 ttt

1

1 tt

1ra falla 2da falla 3ra falla 4ta falla


Tiempo misión =

N(t[a]) = No acumulado de fallas en el tiempoacumulado de operación t[a]

f(N(t[k]))

N(t[k])=(t[k])

tm

Historia(pasado)

Predicción(futuro)

N(t[k])5%

N(t[k])95%

Hoy

tc

Datos paraestimar

parámetros y

+ tm Figura 2.115 Estimación de Parámetros, equipo operando.

B.- Proceso no Homogéneo de Poisson (PNHP).

Un proceso de restauración que pueda modelarse con el llamado Proceso No Homogéneo de Poisson es aquel en el que los diferentes tiempos para la falla (ti) de un componente o sistema son considerados variables aleatorias dependientes e


180

idénticamente distribuidas. Esta consideración es válida si se asume que al fallar, el sistema es sometido a una reparación mínima, y que por lo tanto el equipo queda “tan malo como estaba” justo antes de la falla.

Este modelo es válido para equipos muy complejos, con múltiples componentes, cuando la política de reparación es “hacer la mínima reparación requerida para poner al equipo a operar nuevamente”.

Asumiendo que se cumplen las propuestas previamente descritas, y que los tiempos sucesivos para fallar siguen una distribución de Weibull, las ecuaciones de cálculo para las variables probabilísticas de interés, para el PNHP son las siguientes:

Probabilidad de Fallas:

et it 1i

1itF

(2.165)

et it 1i1

ititf

(2.166)

Confiabilidad:

et it 1i

itC

(2.167)

Número Esperado de Fallas:

]n[t]m[t]n[t

1]m[t (2.168)

Tasa de Ocurrencia de Fallas:

1]m[t]m[t

(2.169)

]m[t

1

]m[tTEPPF

(2.170)

Al igual que para el caso del POR, para el caso del PNHP deben obtenerse dos expresiones diferentes para los parámetros y de las ecuaciones anteriores.

Ecuaciones para los Parámetros del PNHP Caso 1: Equipo Fallado

Este caso se refiere a estimaciones que se hacen en un momento en el que acaba de ocurrir la falla, y el equipo no está operando. Las ecuaciones de los parámetros para este caso son las siguientes:

1

n

]n[tˆ

(2.171)


181

n

1i ]i[t

]n[tln

n (2.172)

Donde t[n] es el tiempo de operación acumulado hasta que ocurrió la última falla, t[i] es el tiempo acumulado de operación hasta que ocurre la falla “i” y n es el número total de fallas.

Ecuaciones para los Parámetros del PNHP Caso 2: Equipo Operando

La estimación se realiza cuando el equipo está operando y ha transcurrido un tiempo tc desde la ocurrencia de la última falla.

1

n

]m[tˆ

(2.173)

n

1i ]i[t

]K[tln

n (2.174)

Donde t[i] es el tiempo acumulado de operación hasta la falla “i”, t[m] es el tiempo de análisis o período de interés, tc es el tiempo transcurrido desde que ocurrió la última falla hasta el momento en que desea realizarse el cálculo y n es el número total de fallas observadas.

a.) Simulación de Montecarlo para el Proceso no Homogéneo de Poisson (PNHP).

A pesar de que para el PNHP la estimación del número esperado de fallas puede hacerse analíticamente sin mayor dificultad con la ecuación 2.168, esta estimación también puede hacerse siguiendo el mismo procedimiento utilizado en el POR. La principal diferencia es que se utiliza una distribución Weibull condicional. Esto es:

et it 1i

1itF

, obteniéndose:

/1

itF1ln1itit

, para i=2,3…n (2.175)

Con la ecuación 2.175, se puede calcular el Número Esperado de Fallas al tiempo “T” ((T)), siguiendo el diagrama de flujo que se muestra a en la Figura 2.116.

El flujo-grama de la Figura 2.116, al igual que el de la Figura 2.105, es fácilmente programable, y en cuestión de segundos es posible realizar miles de iteraciones para obtener un cálculo numérico de (T).


182

INICIO

SELECCIONEEL PERIODO DE

ANALISIS “T”

j=1

T0=0t0=0

SELECCIONE EL NUMERODE ITERACIONES = m

GENERAR ALEATORIAMENTE, UN VALOR Xj ENTRE 0 y 1

Tiempo para la Falla (t)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0

tiempo (hrs)

F(t

)

01

Tj=Tj-1 + tj

Tj <T ?

i=1

SI j=j+1

i=i+1

N° Fallas

ni=ji <m ? NO

SI

m

1iin

m

1)T(

NUMERO ESPERADO DEFALLAS AL TIEMPO “T”

NOSTOP

INGRESE ELVALOR DE LOSPARAMETROS

y

/1

j1jj X1lntt

ett

1tFi1i

i

Figura 2.116 Simulación de Montecarlo – N° Esperado de Fallas (T) PNP.

C.- Proceso Generalizado de Restauración (PGR).

El proceso generalizado de restauración provee la plataforma para calcular las variables probabilísticas de interés para equipos reparables sin la necesidad de hacer asunciones acerca del estado del equipo después de la reparación. Es un proceso general que contiene a los casos de POR y NHPP como casos extremos; pero que permite modelar casos intermedios, es decir, reparaciones en las que el equipo queda “mejor que como estaba pero peor que cuando nuevo”; es decir, niveles “parciales de restauración”. Como el lector intuirá, este proceso permite modelar casos más reales que el POR y el PNHP.

El PGR es un desarrollo muy reciente, de considerable complejidad matemática que aún puede considerarse un área de investigación. Por esta razón, en aras de la fluidez de la lectura de este texto, se prefirió dejarlo para lectores particularmente interesados en el tema.

3.2.3 Disponibilidad.

Aspectos Generales.

A.- Concepto de Disponibilidad.

La disponibilidad es una figura de mérito o indicador que permite estimar el porcentaje de tiempo total en que se puede esperar que un equipo esté disponible para cumplir la función para la cual fue destinado.

La disponibilidad de un elemento, equipo o componente no implica necesariamente que esté funcionando, sino que se encuentra en condiciones de funcionar. La disponibilidad es un término probabilístico exclusivo de los “equipos reparables”. Para estimar la disponibilidad para un periodo de tiempo “t”; se requiere analizar estadísticamente los tiempos operando o “up-times”, y los fuera de servicio o “down-times”.


183

up-timesoperando

0 t

OPERANDO(UP – TIME)

FUERA DE SERVICIO

(DOWN-TIME)

tUP1 tUP2 tUP3 tUP(n-1) tUP(n)

tDOWN1 tDOWN2 tDOWN(m-1) tDOWN(m)down-times

Fuera de servicio Figura 2.117 Diagrama de tiempos de operación y tiempos de falla.

B.- Disponibilidad “No es Igual” a Confiabilidad [12],[13].

La Disponibilidad nos habla de “cómo usamos el tiempo global”; es decir; cuánto de ese tiempo perdemos (down-time) y cuánto del tiempo se aprovecha (up-time).

Confiabilidad ofrece información sobre el intervalo de tiempo libre de fallas o tiempo entre fallas consecutivas. Habla sobre la probabilidad de fallar en cada instante de este intervalo libre de fallas.

Ambas se expresan en términos porcentuales (%) o en términos probabilísticos (entre 0 y 1).

“Disponibilidad NO ES IGUAL A CONFIABILIDAD, excepto en el mundo de las fantasías donde no hay fallas ni mantenimientos” - H. Paul Barringer.

En la disponibilidad se refleja el efecto combinado de la confiabilidad y la mantenibilidad.

C.- Estimación de la Disponibilidad – Métodos Analíticos.

La estimación de la Disponibilidad puede hacerse por métodos analíticos y por métodos numéricos; en esta primera sección se explicarán los métodos analíticos.

En su acepción más simple; haciendo referencia a la Figura 2.117; la disponibilidad puede calcularse con la ecuación 2.176; que se muestra a continuación:

m

1jDOWNj

n

1iUPi

n

1iUPi

tt

t

Downtime Uptime

Uptime D idadDisponibil

(2.176)

Como se mencionó previamente, para estimar la disponibilidad se requiere analizar estadísticamente los tiempos para la falla, y los tiempos en reparación. La expresión matemática más conocida para el cálculo de la disponibilidad; es una expresión simplificada; conocida como “Disponibilidad Límite”; que es una función de la “tasa de fallas (t)” y de la “tasa de reparación (t)”; esta expresión es:

)t()t(

)t()t(D:idadDisponibil

(2.177)

Para equipos cuyos “tiempos para la falla” siguen o se ajustan a una distribución exponencial, puede decirse que la tasa de fallas es una constante; es decir, λ(t)=・λ. En este caso, la ecuación 2.174- A se transforma en:

)t(

)t()t(D:idadDisponibil (2.178)

En este punto vale la pena hacer énfasis en lo siguiente: asumir tiempos para la falla exponencialmente distribuidos o, lo que es lo mismo, asumir una tasa de fallas constante, es razonable cuando el análisis se hace a nivel de “equipos”; y no lo es, cuando se hace a nivel de componentes. Por ejemplo, considérese un tipo de equipo que tiene 5 componentes internos; cada uno de los cuales, al fallar produce la falla o parada del equipo. Si se observa por un largo período de tiempo una población de este tipo de equipos; con alta probabilidad se encontrará lo siguiente:

Al analizar los tiempos para la falla de la población de equipos, discriminando por componente que produjo la falla, se encontrará que los tiempos para la falla por tipo de componentes tienden mayoritariamente a seguir distribuciones como Weibull, Gamma, Lognormal y Beta, entre otras.


184

Si se analizan todos los tiempos para la falla para la población de equipos, sin discriminar por el componente que causó la falla, se encontrará que los tiempos para la falla, en la gran mayoría de los casos, siguen la distribución exponencial;, es decir, la tasa de falla es constante.

Lo expuesto refuerza la validez de la ecuación 2.178 para la estimación de la disponibilidad a nivel de equipos.

a.) Estimación de la Disponibilidad – Estudio de los “Up – Times”.

Como se ha mencionado reiteradamente; la estimación de Disponibilidad; implica el análisis estadístico de dos variables aleatorias; el tiempo en operación o “up-time”; y el tiempo fuera de servicio o “down times”. A continuación se definirán términos de interés para el análisis estadístico del “up time”.

Tipos de Up-Time: Como puede observarse en la Figura 2.118; existen diversos tipos de “up- time”; a saber:

0 t


Tiempo Operativo entre Fallas

Tiempo de Operación hasta Mantenimiento tUP(n-1)

Tiempo Censado

Figura 2.118 Diagrama de tiempos de operación y tiempos fuera de servicio.

Tiempo Operativo entre Fallas (TEF): Tiempo que transcurre el equipo operando entre dos fallas sucesivas.

Tiempo de Operación hasta Mantenimiento Planificado (TPM): Tiempo que transcurre desde el arranque hasta que el equipo se detiene para ejecutarle algún mantenimiento planificado.

Tiempo Censado (TC): Tiempo en operación; desde la última falla.

Finalmente; el tiempo total en operación o “total up-time”; se puede calcular como:

n

1i

m

1j

w

1kkji TCTPMTEFUptime

(2.179)

Donde:

n= número de valores del TEF de la muestra.

m= número de valores del TPM de la muestra.

w= número de valores del TC de la muestra.

Tiempo Promedio Entre Eventos de Paro (TPEEP) y Tasa De Interrupciones: Los indicadores estadísticos de mayor interés en el estudio del “up – time” son el Tiempo Promedio Entre Eventos de Paro (TPEEP) y Tasa de Interrupciones; los mismos pueden definirse como sigue:

El TPEEP es el promedio de los tiempos entre interrupciones de diversa índole; y se calcula mediante la siguiente expresión:

mn

TCTPMTEF

TPEEP

n

1i

m

1j

w

1kkji

(2.180)

La tasa de interrupciones es un indicador de la frecuencia con la que el equipo o sistema bajo análisis sale de servicio por razones de diversa índole; y se calcula mediante la siguiente expresión:

n

1i

m

1j

w

1kkji TCTPMTEF

mni

(2.181)

Cuando los eventos que ocasionan paros son sólo fallas; es decir; no se toman en cuenta las paradas para mantenimientos planificados; al Tiempo Promedio Entre Eventos de Paro (TPEEP) se le llama Tiempo Promedio Para Fallar (TPPF) y la Tasa de Interrupciones ( λi ); toma el nombre de tasa de Fallas ( λ); a saber:


185

n

TCTEFTPPF

n

1i

w

1kki

(2.182)

n

1i

w

1kki TCTEF

n

(2.183)

Donde:

TEFi : Tiempo que transcurre el equipo operando entre la falla (i-1) y la falla (i).

TCk : Tiempo de operación desde la última falla.

n: número de valores del TEF de la muestra.

w: número de valores del TC de la muestra.

b.) Estimación de la Disponibilidad – Estudio de los “Down – Times”.

El análisis de la variable “down time” es conocido como MANTENIBILIDAD (M(t)). Cuantitativamente se define como la probabilidad de restaurar la condición operativa del equipo en un período de tiempo o tiempo misión.

La figura clave de mérito para la mantenibilidad es a menudo el tiempo promedio para restaurar la condición operativa (TPPR).

Cuando el tiempo para reparar sigue la distribución exponencial; la mantenibilidad se expresa como:

t.

TPPR

1t. ee)t(M

(2.184)

Donde μ = Tasa de reparación

Como se muestra en la Figura 2.119; existen diversos tipos de “down times”; a saber:

FUERA DE SERVICIO

(DOWN-TIME) tDOWN1 tDOWN2 tDOWN(m-1) tDOWN(m)

0 t


Tiempo Operativo entre Fallas

Tiempo de Operación hasta Mantenimiento tUP(n-1)

Tiempo Censado

Tiempo para Mantenimiento

Tiempo para Reparar

Figura 2.119 Diagrama de tiempos de operación y tiempos fuera de servicio.

Tiempo para Mantenimiento (TM): Tiempo que transcurre desde que el equipo es desactivado para hacerle mantenimiento; hasta que es puesto en operación.

Tiempo Para Reparar (TPR): Tiempo que transcurre desde que ocurre la falla hasta que el equipo es puesto en operación después de su reparación.

El tiempo total fuera de operación; se calcula mediante la siguiente expresión:

n

1i

m

1jjTMiTPRDowntime (2.185)

Donde:

n= número de valores del TPR de la muestra.

m= número de valores del TM de la muestra.

El TPPR y la Tasa de Reparación (μ); se calculan mediante las siguientes expresiones:


186

mn

TMTPR

TPPR

n

1i

m

1jji

(2.186)

n

1i

m

1jji TMTPR

mn

(2.187)

D.- Estimación de la Disponibilidad – Métodos Numéricos.

f(X)=Distribución de Frecuencia del Tiempo de Operación entre Fallas

f(X)

g(Y)= Distribución de Frecuencia del Tiempo fuera de Servico

g(Y)

INICIO

j=1k=1

T0=0x0=0y0=0

SELECCIONE EL NUMERO DE ITERACIONES = m

i=1

CARACTERIZAR PROBABILÍSTICAMENTE EL TIEMPO DE OPERACIÓN ENTRE FALLAS (X) Y UN VALOR DEL TIEMPO FUERA DE SERVICIO (Y) DESDE LOS DATOS DE LA MUESTRA; SIGUIENDO LOS PROCEDIMIENTOS DESCRITOS EN LOS PUNTOS 2.3.3.1 DEL CAP. II SECIÓN 2.2

Y 4.3.1.3.1 DEL CAP. II SECCIÓN 2.4

XF XF

)X(Fx 1k

XF XF

)Y(Gy 1k

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

F(X)=Distribución de Acumulada del

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Y = Tiempo fuera de Servicio (hrs)

G(Y

)

F(X)=Distribución de Acumulada del Tiempo fuera de Servicio

01

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

F(X

)

F(X)=Distribución de Acumulada del Tiempo de Operaci ón entre Fallas

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

F(X)=Distribución de Acumulada del Tiempo de Operaci ón entre Fallas

01

X = Tiempo fde Operación entre Fallas (hrs)

Tj=Tj-1 + xK + yK

xj=xj-1+xk

yj=yj-1+yk

Tj <T ?SI j=j+1

k=k+1

i=i+1 Disponibilidad

N° Fallasni=j

i <m ?NO

SI

m

1iin

m

1)T(

NUMERO ESPERADO DE FALLAS AL TIEMPO “T”

NO

STOP

GENERAR ALEATORIAMENTE UN VALOR DEL TIEMPO DE OPERACIÓN ENTRE FALLAS (X) Y UN VALOR DEL TIEMPOFUERA DE SERVICIO (Y) DESDE SUS RESPECTIVAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD; SIGUIENDO LOS

PROCEDIMIENTOS DESCRITOS EN EL PUNTO 3.4.1.2.2.1, DEL CAP. II; SECCIÓN 2.3

j

ji T

xd

DISPONIBILIDAD ESPERADA AL TIEMPO “T”

m

1iid

m

1)T(D

Figura 2.120 Diagrama de Flujo para el cálculo numérico de la Disponibilidad y el Número Esperado de Fallas

En el apartado 3.2.3 se presentan las diversas expresiones matemáticas de uso común para el cálculos de la disponibilidad; en su gran mayoría estas expresiones (desde la 2.178 hasta la 2.187) asumen y en consecuencia son válidas solo para


187

aquellos casos en que las variables “tiempo de operación entre fallas” y “tiempo fuera de servicio” siguen la distribución exponencial.

Aunque; como se ha explicado anteriormente, en la gran mayoría de los casos, a nivel de equipos esta suposición es cierta; existen casos en los que el comportamiento del “tiempo de operación entre fallas” sigue otras distribuciones tales como Weibull, Gamma o Beta y el “tiempo fuera de servicio” se comporta lognormalmente.

Para estos casos; no son válidas las expresiones de la sección anterior; y es necesario recurrir a un método genérico que permita el cálculo de la disponibilidad cualquiera sean las distribuciones que siguen el “tiempo de operación entre fallas” y “tiempo fuera de servicio”. A continuación se presenta un método numérico para cumplir con este fin. La Figura 2.120 muestra el algoritmo de cálculo numérico de la disponibilidad y del número esperado de fallas para equipos reparables.

4. Confiabilidad basada en el análisis probabilístico del deterioro o física de la falla (physics based reliability analysis).

El análisis tradicional de confiabilidad basado en el estudio estadístico del tiempo para la falla ha sido ampliamente utilizado en la industria en general (aunque no siempre de la mejor forma) para mejorar y traer los equipos y sistemas hasta los actuales niveles de desempeño. Sin embargo, buscando la mejora continua de sus procesos, en las tres últimas décadas algunas industrias han hecho grandes esfuerzos en la recolección de una información diferente a la información histórica de fallas, a través de programas de monitoreo de la condiciones o parámetros que reflejan el deterioro. El continuo monitoreo del deterioro permite planificar y ejecutar acciones proactivas para evitar la ocurrencia de la falla. Este enfoque se sustenta en el convencimiento de que una falla es la última fase de un proceso de deterioro [9], [10], [26], [31], [32], [37], [48].

Para transformar la información recolectada sobre deterioro de un activo en acciones que puedan efectivamente detenerlo e inclusive eliminarlo, se requiere conocer sobre el o los fenómenos físicos que lo producen. En otras palabras, este enfoque se concentra en predecir la ocurrencia de una falla a través del entendimiento de “cómo ocurre la falla”: es decir, estudiando la “física de la falla”.

Adicionalmente se debe mencionar que en la mayoría de los casos, la información recolectada sobre deterioro ha sido usada en forma determinística. En esta sección del Capítulo IV se establecen las bases para el tratamiento probabilístico del deterioro y para el cálculo de confiabilidad y probabilidad de falla basada en la física de la falla. La columna vertebral de este método de estimación es el análisis Carga-Resistencia.

4.1. Análisis Carga – Resistencia.

El análisis Carga - Resistencia tiene como premisa el hecho de que las fallas son el resultado de una situación donde la carga aplicada produce un esfuerzo sobre el equipo o componente que excede a su resistencia. En otras palabras, para que un equipo o componente esté confiable debe cumplirse la condición Esfuerzo < Resistencia.

Esfuerzo y Resistencia son usados en el sentido más amplio de la palabra. Si se analiza por ejemplo un recipiente a presión que se deteriora poco a poco por corrosión. En un primer nivel de análisis puede decirse que la tensión interna SX que soporta la pared del recipiente como consecuencia de la presión es el esfuerzo, y éste se comparará con una resistencia o máximo esfuerzo permisible SMAX que debe obtenerse por ecuaciones de mecánica de la fractura y que seguramente depende del límite de fluencia y del espesor de pared del recipiente.

En otro nivel de análisis se puede decir, de forma equivalente al anterior, que la presión interna PX del recipiente es el esfuerzo y se compara contra la máxima presión permisible PMAX, obtenida también de ecuaciones de mecánica de la fractura y que seguramente depende del espesor de pared del recipiente y del límite de fluencia del material.

En un nivel más básico, puede decirse que el espesor de pared remanente EX se compara contra el mínimo espesor permisible EMIN obtenido de ecuaciones de mecánica de la fractura; en cuyo caso se llamará esfuerzo a EX y resistencia a EMIN. Finalmente, se sabe que el espesor remanente depende de la pérdida de espesor, y se puede entonces comparar la pérdida de espesor dX contra la máxima pérdida permisible dMAX, teniendo entonces dX como esfuerzo y a dMAX como resistencia. Todos son análisis equivalentes.

En todos los casos existirá un valor actual de una variable que se mide continuamente (monitoreo), el cual representará el esfuerzo, y un valor límite de variable que representará la resistencia. Esta última normalmente está regulada por leyes físicas y estándares de la ingeniería. Similar análisis se hace para cualquier otro mecanismo de falla o proceso de deterioro.

Contrario a la creencia general, en la mayoría de los casos ni el esfuerzo ni la resistencia son valores fijos o determinísticos, por el contrario, sus valores son estadísticamente distribuidos. Cada distribución tiene su valor media o valor esperado, denotado por X para la carga y Y para la resistencia y sus desviaciones estándar X y Y respectivamente. Esto es ilustrado en la Figura 2.121.

En la figura f(X) es la distribución de probabilidad de la carga e esfuerzo y g(Y) es la es la distribución de probabilidad de la resistencia y X y Y son las medias de las respectivas distribuciones.

Cuando la distribución de la condición medida o monitoreada o esfuerzo en el equipo tiene algún solape con la distribución de la condición límite, criterio de rechazo, o resistencia, quiere decir que existen probables valores del esfuerzo que superan probables valores de la resistencia; y en ese caso existe probabilidad de falla. Esta situación es mostrada en la Figura 2.122.


188

,000

,027

,054

,080

,107

130,00 155,00 180,00 205,00 230,00

g(Y) =Resistencia

f(X)= Esfuerzo

XY

Figura 2.121 Distribuciones de Esfuerzo y Resistencia.

,000

,027

,054

,080

,107

130,00 155,00 180,00 205,00 230,00

X Y

f(X)= Esfuerzo

g(Y) =Resistencia

Figura 2.122 Distribuciones solapadas.

Es muy importante destacar que en los procesos de deterioro, estas distribuciones se van acercando con el tiempo hasta llegar a solaparse. En este sentido, el solapamiento puede ocurrir por un deterioro paulatino de la resistencia o por un incremento del esfuerzo por razones diversas. En todo caso, para hacer análisis de confiabilidad con este enfoque en muy importante estudiar los mecanismos que pueden producir este acercamiento y posterior solapamiento. También es muy importante determinar para cada mecanismo, si este acercamiento se produce de manera paulatina en el tiempo, o si puede producirse súbitamente por una causa aleatoria.

La confiabilidad de un componente sometido a un esfuerzo es la probabilidad de que su resistencia exceda dicho esfuerzo y puede calcularse con la siguiente expresión:

dY0 x

dX)X(f)Y(gdY)Y(g0 y

dX)X(fC

(2.188)

En la cual f(X) es la distribución de probabilidad de la carga e esfuerzo y g(Y) es la distribución de probabilidad de la resistencia y X y Y son las medias de las respectivas distribuciones.

,000

,027

,054

,080

,107

130,00 155,00 180,00 205,00 230,00

X Y

f(X)= Esfuerzo

g(Y) =Resistencia

dYdX)X(f)Y(gdY)Y(gdX)X(fC0 x0 y

Figura 2.123 Distribuciones solapadas - Cálculo de la Confiabilidad.

La Figura 2.124, que se muestra a continuación, ilustra gráficamente los casos que pueden presentarse en un análisis Esfuerzo – Resistencia y las ecuaciones requeridas para el cálculo de Confiabilidad y Probabilidad de Fallas para cada uno. Los tres casos típicos son:

La solución matemática de estas ecuaciones no es simple, sobre todo si se piensa en lo compleja que son la mayoría de las ecuaciones de las distribuciones de probabilidad. En la Tabla 2.48 que se muestra a continuación, se ofrecen las soluciones para las ecuaciones de la Figura de Caracterización Probabilística RC, para los casos Esfuerzo – Resistencia más frecuentemente encontrados.


189

,000

,027

,054

,080

,107

130,00 155,00 180,00 205,00 230 ,00

X

f(X )= Esfuerzo k =R esistencia

C A SO I : C A SO I : Esfuerzo d istribu idoEsfuerzo d istribu ido – – R esistencia puntualR esistencia puntual

k

Xd)X(f)kXPr(C

k

Xd)X(f)kXPr(F

,000

,027

,054

,080

,107

130,00 155,00 205,00 230 ,00

Y

e = E sfuerzo

g(Y ) =R esistencia

C A SO II : C A SO II : Esfuerzo puntualEsfuerzo puntual – – R esistencia d istribu idaR esistencia d istribu ida

e

Yd)Y(g)eYPr(C

e

Yd)Y(g)eYPr(F

,000

,027

,054

,080

,107

130,00 155,00 205,00 230 ,00

XY

f(X )= E sfuerzo

g(Y ) =R esistenciaY

0 Y

X d)Y(gd)X(fC

Y

0 Y

X d)Y(gd)X(f1F

C A SO III : C A SO III : Esfuerzo d istribu idoEsfuerzo d istribu ido – – R esistencia d istribu idaR esistencia d istribu ida

Figura 2.124 Casos Esfuerzo – Resistencia.

Las referencias [9], [10], [26], [37], [48] ofrecen amplia información sobre Análisis Carga-Resistencia.

Tabla 2.48 - Algunos Casos Esfuerzo Resistencia.

Distribución Resistencia Cte. “k” Esfuerzo Cte. “e”

Esfuerzo y Resistencia Aleatorios

Exponencial

X

k

e1C

Y

e

e1C YX

YC

Weibull X

X

k

e1C

Y

Y

e

e1C

Resolver Numéricamente

Normal

X

XkC

Y

YeC

2Y

2X

XYC

Lognormal

Xe

kln

X

1C

Ye

eln

Y

1C

2Y

2X

Xe

Yeln

C

Fuente: (Ebellin Charles 1997) X= Esfuerzo Y=Resistencia


190

4.1.1. Análisis Carga - Resistencia con Simulación de Montecarlo.

Una vez que se han caracterizado probabilísticamente el esfuerzo y la resistencia, es decir, se sabe qué distribución de probabilidad corresponde a cada uno; se podrán encontrar con casos diferentes a los tipificados en la tabla 2.48, para los cuales la solución de la Ecuación 2.142 puede resultar extremadamente compleja. Inclusive hay casos sin solución analítica posible, tales como las combinaciones Weibull-Lognormal, Beta-Gamma, Weibull-Beta, Lognormal-Gamma, etc. Para estos casos se requiere una solución numérica y para ello, se emplea el apoyo del proceso de Simulación de Montecarlo, que se analizó detalladamente en la sección gerencia de la incertidumbre en el punto 4.1.2-B. El proceso requerido para realizar esta simulación se ilustra en el flujograma de la Figura 2.125.

Para ilustrar la correcta aplicación de la teoría esfuerzo resistencia en casos reales, se revisarán detalladamente varios ejemplos de aplicación en la industria de procesos.

Generar aleatoriamente, un valor de Esfuerzo y un valor de Resistencia, desde sus respectivas distribuciones de probabilidad

f(X)=Esfuerzo g(Y)=Resistencia

Xj Yj

Sustituir en la función “Z(X,Y)” ,los valores generados aleatoriamente y resolver en forma determinística para obtener un probable valor de Z para esta iteración

j

jj Y

XZ

j < m ?

Fijar el número de iteraciones requeridas = mj=1

Si

No

j = j+1

,000

,027

,054

,080

,107

130,00 155,00 205,00 230,00

g(Y) =Resistencia

,000

,027

,054

,080

,107

130,00 155,00 180,00 205,00 230,00

f(X)= Esfuerzo

Zj >1 ?SiNo

ij=ij-1+1

i0=0

k0=0

kj=kj-1+1

m

kCdadConfiabili j

)1(.Pr Cm

iFFallaob j

Figura 2.125 Estimación numérica (Simulación de Montecarlo) de la Confiabilidad basada en la Teoría Esfuerzo – Resistencia.


191

Ejemplo 2.23:

Una tubería, tendida a campo abierto, transporta un fluido altamente contaminante, por esta razón, se realizan inspecciones y mediciones del espesor de pared a lo largo de toda la tubería cada tres años. En un tramo de 500 mts, se han identificado 14 puntos o regiones donde existe pérdida de espesor. Los resultados de las dos últimas inspecciones se resumen en la tabla 2.39.

En este ejemplo, se realizará un cálculo de la Confiabilidad y la Probabilidad de Fallas para períodos de 1, 15 y 25 años, específicamente para el punto de daño No. 10 de la tubería mostrada en la Figura 2.126. (Es importante aclarar que este cálculo debe realizarse para cada región donde se identifique pérdida de espesor o daño, pero por razones didácticas, sólo se discutirá lo relacionado al punto 10).

Adicionalmente se suministran datos técnicos sobre el Esfuerzo de Fluencia (Sp) del material con el cual fue construida la tubería y de la Presión de Operación (Pa) de la misma. Se suministran también datos sobre la geometría del tubo, tales como Diámetro (D) y Espesor inicial (Eo).

Tabla 2.49: Datos de la tubería

Datos de la Tubería D(mm) Eo(mm) d(mm)

Valor Medio 597,250 9,809 3,075

Tolerancia 35,226 1,706 0,901

DAÑO POR CORROSION

dEo

Figura 2.126 Daños en tubería

Tabla 2.50 Datos de mediciones de profundidad de daños

Nº de Daño Profundidad del

daño (mm) 1998

Profundidad del daño (mm)

2001 Rc

1 2.603 2.96 0.119 2 2.849 3.305 0.152 3 2.673 3.054 0.127 4 2.641 3.154 0.171 5 2.787 3.222 0.145 6 2.602 2.995 0.131 7 2.7 3.084 0.128 8 2.644 3.049 0.135 9 2.628 3.129 0.167 10 2.664 3.075 0.137 11 2.332 2.791 0.153 12 3.35 3.914 0.188 13 2.206 2.914 0.236 14 2.166 2.616 0.15


192

Tabla 2.51 Datos técnicos

Sp(Mpa) Pa(Mpa)

436.836 3.785 618.549 3.66 393.729 3.763 268.428 3.524 308.402 3.157 314.391 4.022 376.758 3.94 428.92 4.278 370.177 5.096 392.813 4.404 477.271 4.493 444.154 4.431 463.154 4.458 326.541 4.337

Solución: Cuando existen daños corrosivos, como el daño No. 10 mostrado en la Figura 2.126, la resistencia de la tubería se deteriora progresivamente debido a la pérdida de espesor de la pared del tubo, que hace que cada vez la tubería sea capaz de soportar menos presión. En otras palabras, se deteriora la máxima presión permisible o presión de falla.

Por mecánica de la fractura se sabe que la máxima presión permisible o presión de falla se calcula con la siguiente expresión:

DE.Sp.2

10Pf ; (2.189)

donde:

Sp: Esfuerzo de Fluencia.

E: Espesor del Tubo.

D: Diámetro del Tubo.

Adicionalmente se sabe que el espesor de la tubería en presencia de un daño corrosivo se deteriora, y entonces se habla de Espesor remanente, el cual se calcula con la siguiente expresión:

)t(dEo)t(REMANENTEE ; (2.190)

Donde Eo: Espesor inicial de pared; d(t): profundidad del daño; que crece con el tiempo; es decir, es función del tiempo (Ver Tabla 2.49 y 2.51).

Sustituyendo la ecuación 2.189 en la ecuación 2.190; se tiene:

D

))t(10dEo(*Sp*2)t(10Pf

; (2.191)

En la ecuación 2.191, la presión de falla se convierte en una función del tiempo. Ahora bien, la forma cómo la profundidad del daño crece en función del tiempo se ha caracterizado con la siguiente ecuación empírica:

t*Rc10do)t(10d ; (2.192)

Donde:

do: Profundidad del daño medida en la inspección anterior.

Rc: Tasa o Velocidad de Corrosión (19982001

1998d2001dRc

) expresada en (mm/año).

t: tiempo en años desde la medición anterior hasta la medición actual ( 3199820011t2tt ).

Sustituyendo la ecuación 2.179 en la ecuación 2.178 finalmente se tiene:


193

D

))t*Rc10do(Eo(*Sp*2)t(10Pf

; (2.193)

La idea general es utilizar los datos de entrada y la ecuación 2.193, para calcular la máxima presión permisible Pf, para diferentes períodos de tiempo (1,15 y 25 años) y comparar estos valores con la presión de operación Pa.

En este caso Pf es la Resistencia, y Pa será el Esfuerzo. Como el lector puede inferir, Pf es una variable distribuida, ya que depende de Sp, Rc, Eo, d y D que son todas distribuidas; por otra parte, la presión de operación es también una variable distribuida. Esto corresponde al Caso III del análisis Esfuerzo – Resistencia que se ilustra en el Grafico 2.124.

Para realizar el análisis completo en forma sistemática, se seguirá la siguiente secuencia de etapas:

Etapa 1: Caracterizar probabilísticamente las variables Sp, Rc, Eo, do10, D y Pa; siguiendo los procedimientos expresados en la sección Gerencia de la Incertidumbre

Etapa 2: Propagar la Incertidumbre de Sp, Rc, Eo, do10 y D en la ecuación 2.180 para encontrar la distribución de probabilidades de Pf10; siguiendo los procedimientos descritos en la sección gerencia de la incertidumbre en el apartado 4.1.2. Este cálculo se realizará para varios períodos de tiempo (1, 15 y 25 años).

Etapa 3: Una vez conocidas las distribuciones de probabilidades de Pf10 (Resistencia) para 1,15 y 25 años y la distribución de probabilidad de Pa (Esfuerzo), se realizará el cálculo de Confiabilidad para 1,15 y 25 años utilizando la ecuación 2.167 de este capítulo.

Etapa 1:

Caracterización probabilística de Pa y Sp: Utilizando el procedimiento de ajuste de curvas o selección de distribuciones de probabilidad descrito en la sección de estadística para la confiabilidad en el apartado 4.3 y seleccionando uno de los “test” de calidad de ajuste (Anderson Darling en este caso), se determinó la distribución paramétrica que mejor se ajusta a los datos disponibles de Presión de Operación (Pa) y Esfuerzo de Fluencia (Sp).

Los datos de presión de operación Pa son recolectados con un medidor de presión instalado en la tubería, tomando lecturas en diferentes momentos del tiempo. A pesar de que en la mayoría de los casos, las tuberías operan teóricamente a una presión única, la tabla de datos refleja las fluctuaciones que este parámetro tiene y que refuerza la tesis de que en su comportamiento real, la mayoría de las variables tienen alguna variabilidad. Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 2.127.

GR A FICO DE C OM PA R AC ION H IS TO GR AM A ACU MU LA DO D A TOS Vs D IS TRIB UC ION H IP OTE S IS

Media = 4,096

2,6 02 3,34 9 4,09 6 4,8 43 5,59 0

Pa

2

Sp

SpS p

2

1

S p

e2

1)S p(f

Resultados del Test de Anderson-Darlin

DistribuciónNormal

Test Value 0.318Critical Value @ 0.15 0.576Critical Value @ 0.1 0.656Critical Value @ 0.05 0.787Critical Value @ 0.025 0.918Critical Value @ 0.01 1.092Confidence >0.15Rank 1

Figura 2.127 Caracterización Probabilística Pa.

Por su parte, el esfuerzo de fluencia Sp es una propiedad física del material con el cual se fabrica la tubería. Para tener una serie de datos como los mostrados en la Tabla 2.50 se realizaron pruebas de tensión al material de la tubería en laboratorios especializados.

Los resultados de la caracterización se muestran en la Figura 2.128.

Media = 401,996

206,461 341,730 477,000 612,269 747,538

SpGRAFICO DE COMPARACION HISTOGRAMA ACUMULADO DATOS Vs DISTRIBUCION HIPOTESIS

2

Sp

Sp)Spln(

2

1

Sp

e2Sp

1)Sp(f

Resultados del Test de Anderson-Darlin

DistribuciónLog-Normal

Test Value 0.213Critical Value @ 0.15 1.61Critical Value @ 0.1 1.933Critical Value @ 0.05 2.492Critical Value @ 0.025 307Critical Value @ 0.01 3.857Confidence >0.15*Rank 1

Figura 2.128 Caracterización Probabilística SP.


194

Caracterización probabilística de Rc: El proceso de caracterización de esta variable involucra algunas particularidades muy importantes. La velocidad de corrosión Rc es una característica del proceso corrosivo que sufre la tubería y como puede verse en la Tabla 2.50, ésta varía de punto a punto. Esto evidencia que Rc en la tubería es una variable dispersa con un máximo observado de 0,236 mm/año para el daño N°1 y un mínimo observado de 0,119 mm/año para el daño N° 13 en los 500 m. de tubería inspeccionados. No obstante, este ejemplo didáctico se centra en el daño N° 10; y para este punto se ha medido una velocidad de corrosión particular Rc10 = 0,137 mm/año en los últimos 3 años.

Este valor de velocidad de corrosión se utilizará para predecir los valores de desgaste para los años venidero, no obstante, debido a la naturaleza heterogénea del proceso de corrosión, no puede inferirse que el valor de Rc10 que ocurrirá en el futuro será exactamente el mismo valor medido; de allí que se asumirá que el valor “más probable de Rc10” corresponderá el valor medido (0,137 mm/año) y que el “máximo valor que Rc10” y el “mínimo valor que Rc10” corresponderán al máximo valor observado en el tramo (0,236 mm/año) y mínimo observado en el tramo (0,119 mm/año), respectivamente.

Este razonamiento puede extenderse para cualquier daño, es decir, el mínimo y el máximo corresponderán al mínimo y máximo valor de Rc observados en todo el tramo, y el valor más probable de Rc para cada daño, corresponderá al valor medido en el daño específico.

Como se explicó en la sección de estadística para la confiabilidad; existen distribuciones de probabilidad especiales para modelar variables cuando la información que se tiene se reduce a tres estimados: un mínimo, un valor más probable y un máximo. Estas distribuciones son la Distribución Triangular y la Distribución Beta-Pert. En este caso se utilizará la distribución Beta- Pert ampliamente recomendada para variables físicas; como sigue:

1

minRcmaxRcminRcRc

1.1

minRcmaxRcminRcRc

)().(

)()Rc(f

; (2.194)

donde:

=(Rc - Rcmin)*(2*Rcmprob - Rcmin - Rcmax) / [(Rcmprob - Rc)*(Rcmax - Rcmin)] (2.195)

= * (Rcmax - Rc) / (Rc - Rcmin) (2.196)

Media: Rc = (Rcmin + 4 * Rcmprob + Rcmax) / 6 (2.197)

Desviación Estándar: σRc =(Rcmax - Rcmin)/6 (2.198)

f(Rc)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.1190 0.1390 0.1590 0.1790 0.1990 0.2190

1

minmax

min

1

minmax

min 1.)().()(

)(

RcRcRcRc

RcRcRcRc

Rcf

Mínimo Valor de Rc observado en

el tramo

Valor Observado en el daño 10

Máximo valor de Rc observado en

el tramo

RcMáximo 0.236Más Probable 0.137Mínimo 0.119

μ 0.151α 1.615β 4.385σ 0.020

Figura 2.129 Caracterización Probabilística RC en el Daño 10.

Caracterización probabilística de do10:

La profundidad del daño N° 10, que se tomará como punto de partida en las predicciones será la profundidad medida en el 2001, año de la última inspección. Para el caso considerado, do10=d2001=3,075 mm. No obstante, esta medida fue hecha con un instrumento de medición que según la especificación técnica tiene una precisión de 0,901 mm; es decir, el valor real de do10 oscila en un rango que va desde un valor mínimo do10(mínimo)=3,075–0,90= 2.175 mm hasta un valor máximo do10(máximo)=3,075+0,90= 3.975 mm.


195

do10

f(do10)

do10 = 3,075 mm

do10

TOL = 0,9 mm TOL = 0,9 mm

do10min = 2,175 mm do10max = 3,975 mm

Lectura en elinstrumento de

medición

Figura 2.130 Caracterización Probabilística de do10.

Tal y como se mencionó en la sección de estadística para la confiabilidad, los errores o tolerancias en la medición, suelen caracterizarse con una distribución normal cuya media corresponde al valor medido o lectura del instrumento. Por otra parte, se sabe que desde un extremo al otro (utilizando un criterio práctico), una distribución normal tiene 6 desviaciones estándar de amplitud; como se refleja en la figura anexa.

Con esta información se deduce que la desviación estándar de la distribución viene dada por:

2*TOL=6*σdo10 lo que implica que

σdo10=1/3*TOL=1/3*0,9=0,3mm;

En resumen puede decirse que do10 tiene una Distribución Normal, cuyos parámetros son:

μdo10 = 3,075 mm y σdo10 = 0,3 mm

Caracterización probabilística de D y Eo: Utilizando la misma lógica utilizada para caracterizar do10, puede procederse a caracterizar D y Eo ya que ambas variables son el resultado de mediciones. En este caso, tanto los valores medios como las tolerancias, vienen especificadas por los fabricantes del tubo; pero el procedimiento de análisis es exactamente el mismo:

Para D, se tiene que D=597,250 35,226 mm; esto implica que:

μD=597,250 mm y σD=1/3*35,226=11,742

De la misma forma, para Eo se tiene que Eo=9,809 1,706 mm; esto implica que:

μEo=9,809 mm y σD=1/3*1,706=0,569

Una vez completada la caracterización de las variables de entrada, cuyos resultados se muestran en la Tabla 2.52, se desarrollará la etapa 2.

Tabla 2.52 Resultados de la caracterización de las variables de entrada.

Sp(Mpa) D(mm) Eo(mm) do(mm) Rc(mm/año) Pa(Mpa)

Promedio (μ) 401.437 597.256 9.809 3.075 0.146 4.000

Desviación Estándar (σ) 88.485 11.742 0.569 0.300 0.020 0.500

Distribución Lognormal Normal Normal Normal Beta Pert Normal

Etapa 2: Para propagar la incertidumbre de las variables caracterizadas en la Etapa 1, se utilizará el Método de los Momentos, explicado detalladamente en la en la sección gerencia de la incertidumbre en el apartado 4.2.1-A; específicamente las ecuaciones 2.123 y 2.124; que aplicadas al problema considerado se transforman en:


196

)n,......,3,2,1(gPf D

))t*Rcd(Eo.(Sp.2)t(Pf

(2.199)

2

Rc,d,Eo,D,SpRc

Pf2Rc

2

Rc,d,Eo,D,Spd

Pf2d..........

.

2

Rc,d,Eo,D,SpEo

Pf2Eo

2

Rc,d,Eo,D,SpD

Pf2D

2

Rc,d,Eo,D,SpSp

Pf2Sp

2Pf

(2.200)

Ahora derivando Pf respecto a cada una de las variables, se obtienen:

D

)t*RcdEo(2

Rc,d,Eo,D,SpSp

Pf

D

)t*RcdEo(2

Sp

Pf

(2.201)

2D

)t*RcdEo(Sp2

Rc,d,Eo,D,SpD

Pf2D

)t*RcdEo(2

D

Pf

(2.202)

D

Sp2

Rc,d,Eo,D,SpEo

Pf

D

Sp2

Eo

Pf

(2.203)

D

Sp2

Rc,d,Eo,D,Spd

Pf

D

Sp2

d

Pf

(2.204)

D

t*Sp2

Rc,d,Eo,D,SpRc

Pf

D

t*Sp2

Rc

Pf

(2.205)

Sustituyendo resulta como sigue:

.

2

D

t*Sp2.2

Rc

2

D

Sp2.2

d

2

D

Sp2.2

Eo

2

2D

)t*RcdEo(Sp2.2

D

2

D

)t*RcdEo(2.2

Sp)t(Pf

(2.206)

Evaluando las ecuaciones 2.199 y 2.206 para t =1 año, con los valores de las medias y desviaciones estándar de las variables resumidas en la Tabla 2.52, se obtiene:

250,597

))1*146,0075,3(809,9(437,401*2)año1(Pf

D

))t*Rcd(Eo.(Sp.2)t(Pf

856.8)año1(Pf y 142,2)año1(Pf

Recordando lo discutido en la sección gerencia de la incertidumbre en el apartado 4.1.2-A, según el “Teorema del Límite Central”. “Las variables aleatorias que resultan de la multiplicación o producto de varias variables aleatorias siguen la distribución Lognormal”.

Este enunciado permite asumir que la variable Presión de Falla Pf sigue la distribución Lognormal, ya que la misma es el producto de otras variables aleatorias. Siguiendo esta lógica, puede decirse que Pf para un período de un (1) año se aproxima a una Distribución Lognormal con una media 856.8)año1(Pf MPa y una desviación estándar

142,2)año1(Pf MPa.

En este punto es importante recordar las ecuaciones 2.56 y 2.57 de la sección de estadística para la confiabilidad, que permiten calcular la media logarítmica ( POESt ) y la desviación estándar logarítmica ( POESt ) necesarias para definir la distribución “Lognormal” a partir de la media ( POES ) y la desviación estándar ( POES ) normales:


197

238,0)año1(Pf12

856,8

142,2ln)año1(Pf1

2

Pf

PflnPf

153,2)año1(Pf2

2238,0)856,8ln()año1(Pf2

2Pf)Pfln(Pf

Con esta información, y utilizando las ecuaciones 2.58 y 2.59 de la sección de estadística para la confiabilidad pueden calcularse algunos percentiles de interés para caracterizar aún mejor la variable Pf.

341,6)año1(%10Pf)238,0*.28,1153,2(e)año1(%10Pf)Pf.28,1Pf(

e%10Pf

608,8)año1(%50Pf)153,2(e)año1(%50Pf)Pf(e%50Pf

384,11)año1(%90Pf)238,0*.28,1153,2(e)año1(%90Pf)Pf.28,1Pf(

e%90Pf

Esto permite graficar Pf, como se muestra en la Figura 2.131.

Si adicionalmente se aplica el mismo procedimiento de cálculo a los períodos de tiempo de 15 y 25 años, se obtendrán los resultados que se muestran en la Tabla 2.53.

Tabla 2.53 Resultados de Pf para 1,15 y 25 años.

Tiempo μpf σpf μгpf σгpf Pf10 Pf50 Pf90

1 8.856 2.142 2.153 0.238 6.341 8.608 11.684

15 6.108 1.655 1.774 0.266 4.192 5.895 8.292

25 4.146 1.429 1.366 0.335 2.551 3.920 6.022

,000

,021

,041

,062

,083

3,98 9,15 14,32

Pf 10 Pf 90

Pf

= 6,341 = 11,684

= 8,856

Pf(1 año)

2

Pf

Pf)Pfln(

21

Pf

e2Pf

1)Pf(f

f(Pf)

,000

,021

,041

,062

,083

3,98 9,15 14,32

Pf 10Pf 10 Pf 90Pf 90

Pf

= 6,341 = 11,684

= 8,856

Pf(1 año)

2

Pf

Pf)Pfln(

21

Pf

e2Pf

1)Pf(f

f(Pf)

Figura 2.131 Distribución de Probabilidades para la Máxima Presión Permisible.

,000

,052

,105

,157

,209

0,00 3,75 7,50 11,25| 15,00

Pf(1año) Pf(25 años)Pf(15 años)

Pf(1año)

Pf(15 años)

Pf(25 años) El gráfico permite observar el progresivodeterioro de la Presión de Falla o MáximaPresión Permisible con el transcurrir deltiempo. Para este análisis hemos mencionadoque Pf se considera Resistencia

Presión de Falla (Mpa)Presión de Falla (Mpa)

Figura 2.132 Presión de falla (Pf) para 1, 15 y 25 años.


198

Etapa 3: En esta etapa se procederá al cálculo de la confiabilidad de la tubería, utilizando la teoría de interferencia Esfuerzo - Resistencia (Ec(1)) y las ecuaciones que se resumen en la Tabla 2.23; particularmente la ecuación de Esfuerzo y Resistencia con distribución Lognormal.

La Resistencia (Pf) tiene una distribución Lognormal y el Esfuerzo (Pa) tiene una distribución Normal, no obstante, conforme a lo establecido en la sección de estadística para la confiabilidad, toda distribución Normal, puede transformarse a una Lognormal equivalente, simplemente transformando la media y desviación estándar normales en sus equivalentes media y desviación estándar logarítmicas, con las ecuaciones 2.59 y 2.60.

A continuación los cálculos de confiabilidad para períodos de 1,15 y 25 años:

0,000 2,250 5,000 8,000 11,000 14,000

Pf Pf Pf Pf Pf 10 Pf 50 Pf 90

8,856 2,142 2,153 0,238 6,341 8,608 11,684 Pa Pa Pa Pa Pa 10 Pa 50 Pa 90

4,000 0,500 1,379 0,125 3,359 4,000 4,641

t=1 año

998,0500,0142,2

e

eln

)año1(C22

000,4

)856,8


6,108 1,655 1,774 0,266 4,192 5,895 8,292 Pa Pa Pa Pa Pa 10 Pa 50 Pa 90

4,000 0,500 1,379 0,125 3,359 4,000 4,641

t=15 años

0,000 2,250 5,000 8,000 11,000 14,000

910,0500,0655,1

e

eln

)años15(C22

000,4

108,6

0,000 2,250 5,000 8,000 11,000 14,000

486,0500,0429,1

e

eln

)años25(C22

000,4

146,4


4,146 1,429 1,366 0,335 2,551 3,920 6,022 Pa Pa Pa Pa Pa 10 Pa 50 Pa 90

4,000 0,500 1,379 0,125 3,359 4,000 4,641

t=25 años

Figura 2.133 Confiabilidad para 1, 15 y 25 años.

A continuación se resumen las tablas de resultados y los gráficos para períodos de evaluación adicionales.


199

Tiempo μpf σpf μtpf σtpf Pf10 Pf50 Pf90

1 8.856 2.142 2.153 0.238 6.341 8.608 11.684 5 8.071 1.989 2.059 0.243 5.741 7.387 10.697 10 7.090 1.812 1.927 0.252 4.976 6.869 9.482 15 6.108 1.655 1.774 0.266 4.192 5.895 8.292 20 5.127 1.525 1.592 0.291 3.384 4.914 7.137 25 4.146 1.429 1.366 0.335 2.551 3.920 6.022 μpa σpa μtpa σtpa Pa10 Pa50 Pa90 4.000 0.500 1.379 0.125 3.359 4.000 4.641

Tiempo C (t)1 99.8005 99.36610 97.46715 91.09120 75.00025 48.602

0

20

40

60

80

100

120

1 5 10 15 20 25

Tiempo (años)

C(t

)

Figura 2.134 Presión de falla y confiabilidad para períodos adicionales.

En la Figura 2.135 se muestran los gráficos Esfuerzo - Resistencia para 1,5,10,15,20 y 25 años (en orden descendente), que ilustran como crece el solapamiento de f(Pf) y g(Pa) al pasar el tiempo con la correspondiente paulatina disminución de la confiabilidad del tubo.

Otra forma de presentar el mismo efecto de la Figura 2.135 se logra graficando los percentiles de ambas distribuciones (f(Pf) y g(Pa)) contra el tiempo; esto puede verse en la Figura 2.136.

La referencia [32] ofrece información muy detallada sobre estimaciones de confiabilidad y probabilidad de falla en ductos.

T= 1 año

0,000 2,250 5,000 8,000 11,000 14,0000,000 2,250 5,000 8,000 11,000 14,000

0,000 2,250 5,000 8,000 11,000 14,0000,000 2,250 5,000 8,000 11,000 14,000

0,000 2,250 5,000 8,000 11,000 14,0000,000 2,250 5,000 8,000 11,000 14,000

T= 5 años

T= 10 años

T= 15 años

T= 20 años

T= 25 años

Figura 2.135 Esfuerzo- Resistencia para 1, 5, 10, 15, 20 y 25 años.


200

Presión Falla (Pf) y Presión Operación (Pa) Vs Tiempo

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

1 6 11 16 21 26

tiempo (años)

Pf10 Pf50 Pf90 Pa10 Pa50 Pa90

Figura 2.136 Percentiles de presión de falla y presión de operación vs. Tiempo.

5. Estimación de confiabilidad y la disponibilidad de equipos basado en información genérica y opinión de expertos [50].

5.1. Introducción.

Es sabido que las estimaciones y predicciones en general se basan en un "estado del conocimiento" asociado al estimador; y que este estado depende de lo que se denomina "conocimiento previo" o experiencia. La estadística tradicional es la ciencia de la "experiencia" y se pudiera decir que es el arte de darle forma matemática a la experiencia. Las distribuciones de probabilidad permiten darle forma gráfica y asignarle una ecuación a la experiencia. No obstante, un problema típico de nuestros días es la necesidad de hacer estimaciones sobre procesos o situaciones "nuevas" sobre las que no se tienen experiencia o historia; o si se cuenta con ésta, no es suficiente para considerarla representativa. Cuando se enfrentan estos casos, instintiva o concientemente se basan en experiencias similares de "otros" que pueden servir como referencia; se filtra y se adecúa a la realidad (tropicalizamos) usando el sentido común, y posteriormente se estima y se decide. Es importante destacar que casi nunca se decide basándose totalmente en la experiencia de otros; y tampoco se hace basado sólo en el sentido común o experiencia propia. Lo más común es combinar ambas. Para hacer estas combinaciones, de forma estructurada y matemáticamente soportada, se utiliza una poderosa herramienta estadística llamada Teorema de Bayes.

Las estimaciones de confiabilidad y disponibilidad, figuras de mérito fundamentales para el análisis de equipos y sistemas, están sujetas a las mismas dificultades previamente mencionadas, es decir, en muchas ocasiones no se tiene información de fallas; o si se tiene es escasa o la misma proviene de equipos que aunque sean similares, están operando en condiciones diferentes y diversas (información heterogénea). Ante estas dificultades y la necesidad de hacer estimaciones más cercanas a la realidad, la industria se ha organizado y se ha colectado gran cantidad de información clasificada sobre fallas y reparaciones para todo tipo de equipos, que se ha almacenado en las llamados “bancos de datos de confiabilidad” o “bases de datos genéricos de fallas y reparaciones”. Entre los más famosos se encuentran OREDA, PARLOC, WELL MASTER, IEEE etc [11], [17], [18].

A pesar del esfuerzo, esta valiosa información no se usa extensivamente, en algunos casos porque no se conoce su existencia; pero en la mayoría de los casos es por no saber cómo usarla, en una forma estadísticamente correcta.

El Teorema de Bayes es el vehículo estadístico que permite aprovechar esta información “genérica” y la “opinión de expertos”, para mejorar las estimaciones de confiabilidad y disponibilidad en los casos de información escasa o poco representativa. En este documento se describe con detalle el procedimiento para hacer estas estimaciones, incluyendo la revisión de las ventajas y limitaciones de las mismas.

5.2. El Teorema de Bayes.

El teorema de Bayes es una poderosa herramienta estadística tradicionalmente utilizada para tratar probabilidades condicionales, no obstante, en los últimos 20 años su utilización se ha centrado en un área de gran utilidad y auge; actualización del conocimiento [23], [25], [50].

Ya se sabe que las estimaciones y predicciones en general se basan en un "estado del conocimiento" asociado al estimador; y este estado depende de lo que se denomina "conocimiento previo" o experiencia.


201

La estadística tradicional es la ciencia de la "experiencia" y se pudiera decir que es el arte de darle forma matemática a la experiencia. Las distribuciones de probabilidad permiten darle forma gráfica y asignarle una ecuación a la experiencia.

Sin embargo, un problema típico de nuestros días es que se necesita hacer estimaciones sobre procesos o situaciones "nuevas" sobre las que o no se tienen experiencia o historia, o si se tienen, la misma es escasa o insuficiente. En estos casos, basados en experiencias similares de "otros" que pueden servir como referencia, se filtran y se adecúan a la realidad (tropicalizamos) usando el sentido común, y posteriormente se estima y se decide. Es importante destacar que casi nunca se decide basado totalmente en la experiencia de otros; y tampoco se hace basado sólo en el sentido común o experiencia propia. Lo más común es combinar ambas.

La Estadística Bayesiana; a través del Teorema de Bayes permite hacer estas combinaciones, de forma estructurada y matemáticamente soportada.

El teorema permite tratar a la experiencia de otros como "Conocimiento previo (prior knowledge)"; normalmente representado por una distribución de probabilidades, y a la experiencia (datos propios) o sentido común (opinión de expertos) como “evidencia (Evidence)".

Ambas son combinadas matemáticamente obteniendo una distribución de probabilidades modificada conocida como "conocimiento posterior”, mejorado o actualizado (Posterior Knowledge).

5.2.1. Formulación Matemática del Teorema de Bayes.

Aunque no es intención de este documento profundizar en la deducción del mencionado teorema, se resume de forma muy breve su formulación matemática. La deducción del teorema está ampliamente documentada en las referencias [1], [2], [3], [4].

El teorema de Bayes se basa en el concepto de probabilidad condicional que permite re-estimar la probabilidad de ocurrencia del evento “A”, dado que se tiene un conocimiento previo de esta probabilidad; pero se ha recibido nueva evidencia “E”. El Teorema de Bayes se expresa matemáticamente según la ecuación 2.194.

)EPr(

)AEPr()APr()EAPr(

(2.207)

Para el caso de “variables aleatorias dependientes” el Teorema de Bayes debe escribirse en términos de distribuciones de probabilidad.

Para ilustrar esta aplicación, se analiza una variable aleatoria X; que puede tomar diversos valores xi y que depende de un parámetro λ que es también una variable aleatoria y puede tomar diversos valores λ j (λ 1; λ 2; λ 3;….. λ m).

En el enfoque de estadística tradicional, los parámetros de las distribuciones se asumen valores “únicos” que pueden calcularse desde los datos de la muestra. Pero en muchas ocasiones los datos de la muestra no son suficientes para un cálculo “representativo” de los parámetros. En estos casos, de evidencia escasa o inexistente, la estadística bayesiana provee una vía para la estimación de parámetros.

En el enfoque bayesiano un parámetro “λ” es visto como una variable aleatoria a la que se le asigna una distribución “a priori” g(λ), que se infiere del conocimiento previo que se tiene respecto al comportamiento del parámetro. Luego, cuando se obtiene una evidencia muestral de tamaño “n” de la variable X, es decir, un conjunto de observaciones x1,x2,x3….xn, la distribución “a priori” g(λ), es modificada a la luz de esta evidencia muestral y surge una distribución “a posteriori” f(λ /X), que representa el conocimiento mejorado sobre el comportamiento real del mencionado parámetro “λ”. En consecuencia, es esta distribución a posteriori f(λ /X), la que se emplea para formular inferencias con respecto al parámetro “λ”.

La ecuación 2.207 se modifica para estos casos tomando la forma que se expresa en la ecuación 2.208.

d)(g)X(L

)(g)X(L)X/(f (2.208)

donde:

L(X/ λ): representa la llamada función de verosimilitud o función de probabilidad de la evidencia o muestra. La evidencia muestral está constituida por un número “n” de observaciones o realizaciones (x1,x2,x3….xn) de la variable X. La referencias [4],[5] proveen excelente información para la construcción de la función de verosimilitud (likelihood function).

g(λ): es la distribución de probabilidad previa (prior distribution) que representa el conocimiento previo que se tiene del comportamiento del parámetro “λ”, sin tomar en cuenta la evidencia muestral.

f(λ /X): es la nueva distribución de probabilidad o distribución posterior del parámetro “λ”, (posterior distribution), mejorada o actualizada a la luz de la evidencia muestral.

El enfoque bayesiano para la estimación de parámetros ha sido favorecido por muchos especialistas, en forma especial en aquellas situaciones en las que un parámetro no puede considerarse en forma real, como una cantidad fija (variable


202

dispersa) y en situaciones en las que la evidencia muestral es nula o el tamaño de la muestra no es representativo.

5.2.2. Utilización del Teorema de Bayes para la Estimación de Confiabilidad y Disponibilidad de Equipos y Sistemas [23], [25], [26], [31], [50].

A.- GENERALIDADES.

En la sección anterior se destacó que el Teorema de Bayes es un método alternativo para la estimación de parámetros de distribuciones de probabilidad en casos de muestras heterogéneas y en situaciones de evidencia muestral nula o tamaños de muestra no representativos. En esta sección se explicará cómo usar el mencionado teorema, para la estimación de los parámetros de la distribución de probabilidad del tiempo para la falla. La estimación de confiabilidad y disponibilidad de equipos implica el análisis de la variable aleatoria “tiempo para la falla” y la estimación del parámetro tasa de fallas (λ). Esto resulta evidente si se analizan las ecuaciones para el cálculo de ambas figuras de mérito, tal como se muestran a continuación:

Confiabilidad:

t

0dt)t(

e)t(C

(2.209)

Disponibilidad: )t()t(

)t()t(D

(2.210)

donde μ(t): tasa de reparación y λ(t): tasa de fallas.

Para equipos cuyos “tiempos para la falla” siguen o se ajustan a una distribución exponencial, puede decirse que la tasa de fallas es una constante; es decir , λ(t)=・λ En este caso, las ecuaciones 2.209 y 2.210 se transforma en:

Confiabilidad: t.e)t(C (2.211)

Disponibilidad:

)t(

)t()t(D (2.212)

En este punto vale la pena hacer énfasis en lo siguiente: asumir tiempos para la falla exponencialmente distribuidos o, lo que es lo mismo, asumir una tasa de fallas constante, es razonable cuando el análisis se hace a nivel de “equipos”; y no lo es; cuando se hace a nivel de componentes. Por ejemplo, considérese un tipo de equipo que tiene 5 componentes internos; cada uno de los cuales, al fallar produce la falla o parada del equipo. Si se observa por un largo período de tiempo una población de este tipo de equipos; con alta probabilidad se encontrará lo siguiente:

Al analizar los tiempos para la falla de la población de equipos, discriminando por componente que produjo la falla, se encontrará que los tiempos para la falla por tipo de componentes tienden mayoritariamente a seguir distribuciones como Weibull, Gamma, Lognormal y Beta, entre otras

Si se analizan todos los tiempos para la falla para la población de equipos, sin discriminar por el componente que causó la falla, se encontrará que los tiempos para la falla, en la gran mayoría de los casos, siguen la distribución exponencial, es decir, la tasa de falla es constante. [2],[4],[10]

Lo expuesto refuerza la validez de las ecuaciones 2.211 y 2.212 para la estimación de la confiabilidad y la disponibilidad a nivel de equipos; y en consecuencia refuerza la importancia del cálculo del parámetro tasa de fallas (λ).

B.- Estimación de la Tasa de Fallas Utilizando el Teorema de Bayes.

La ecuación 2.208 mostrada en la sección 5.2.1 dice que para estimar la mencionada tasa de fallas (λ), en casos donde la evidencia o muestra es nula o no es representativa; se requiere hallar la distribución posterior o actualizada de la tasa de fallas “f(λ /X)”. Para ello es necesario, por una parte definir una distribución “previa” de la tasa de fallas g(λ) (Conocimiento Previo) y por la otra, construir la función de verosimilitud o probabilidad de la evidencia L(X/ λ). Este procedimiento de cálculo es generalmente conocido como “actualización de la tasa de fallas”.

Dos preguntas son obvias en este procedimiento:

Qué es conocimiento previo y cómo se determina la “distribución previa” de la tasa de la fallas g(λ)?

Cómo se construye la función de verosimilitud L(X/ λ)?

a.) Conocimiento Previo y Determinación de la “Distribución Previa” de la Tasa de la Fallas G(λ)?

El conocimiento previo (prior knowledge) está representado por el cúmulo de información que se posee de la variable de interés, en este caso la tasa de fallas (λ); antes de recibir la evidencia. Normalmente, este conocimiento previo se basa en la observación y experiencia con equipos similares en operación (equipos similares al equipo al cual se le tiene que estimar la tasa de fallas). Estas observaciones, normalmente no permiten inferir un valor único de la tasa de fallas; en su lugar, en la mayoría de los casos lo mejor que se puede hacer es inferir un rango, es decir, puede determinarse que la tasa de fallas


203

varia desde un valor mínimo (λ MIN) hasta un valor máximo (λ MAX). En otros casos, un número de observaciones un poco mayor, permite expresar el conocimiento de la tasa de fallas con tres valores: un valor mínimo (λ MIN), un valor medio o más probable (λ MEDIO) y un valor máximo (λ MAX). En contadas ocasiones pueden reunirse una buena cantidad de observaciones de equipos similares operando en condiciones semejantes en sistemas similares, que permitan ya no tres valores sino un “set” completo de valores de la tasa de fallas (λ). En conclusión, este conocimiento previo es casi siempre un conocimiento disperso. Sin embargo, sea un rango, sean tres valores o sean múltiples valores; existen métodos para procesar cada tipo de información y transformarla en una distribución de probabilidades a la que se le conoce como distribución previa de la tasa de fallas g(λ). A continuación se explican estos métodos.

Métodos para Construir la “Distribución Previa” de la Tasa de las Fallas G(λ) a Partir de Diversos Tipos de Información: A continuación se detallan los métodos para la construcción de fallas g(λ) a partir de diversos tipos de información. En las referencias [3],[5],[13] estos métodos se documentan ampliamente.

Construcción de la Distribución Previa G(λ) a Partir de un Rango [・ λ Min , λ Max].

Como se mencionó previamente, en ocasiones la mejor información que se tiene sobre la tasa de fallas de un equipo es un rango, es decir, se sabe que la tasa de fallas para ese tipo de equipos varía desde un mínimo “λ MIN” hasta un valor máximo “λ MAX”. Para convertir este “tipo” de información o conocimiento previo en la distribución previa g(λ); debe seguirse el siguiente procedimiento:

Paso 1: Asuma que la tasa de fallas se distribuye lognormalmente y que los valores λ MIN y λ MAX corresponden a los percentiles 5% y 95% de dicha distribución. Esta asunción está sustentada en la experiencia que demuestra que en la mayoría de los casos la variable random “tasa de fallas” se distribuye lognormalmente. Las referencias [5],[13] documentan suficientemente esta asunción.

MIN%5

MAX%95

Paso 2: Aprovechando las propiedades de la distribución Lognormal; aplique las siguientes ecuaciones:

MAX.MIN%95.%5%50 (2.213)

MAX.MIN

MAX

%50

%95EF

(2.214)

Paso 3: Calcule la media logarítmica t y la desviación estándar logarítmica )t( ; utilizando las siguientes ecuaciones:

)MAX.MINln(t)%50ln(t (2.215)

695.1

MAX.MIN

MAXln

695.1

EFt

(2.216)

Paso 4: Con la media y la desviación estándar ya definidas; la distribución Lognormal está perfectamente definida; y se asume como distribución previa de la tasa de fallas:

2

t

t)ln(

2

1

e2..t

1)(g

(2.217)

Sustituyendo 2.215 y 2.216 en 2.217; se tiene la ecuación 2.218.

La ecuación 2.218 es la expresión matemática de la distribución previa de la tasa de fallas; expresada en función de los valores [λ MIN , λ MAX].

2

695.1

MAX.MIN

MAXln

)MAX.MINln()ln(

2

1

e

2..MAX.MIN

MAXln

695.1)(g

(2.218)


204

Ejemplo 2.24:

La experiencia de un veterano ingeniero con bombas electrosumergibles, que operan en campos de producción de crudo le permite asegurar que el mínimo valor esperado de la tasa de fallas para una población de bombas es de 0.005 años-1 y que el máximo valor es de 0.05 años-1. Con esta información construir la distribución previa g(λ) de la tasa de fallas para una población de bombas electrosumergibles similares.

Siguiendo el procedimiento previamente descrito, se tiene:

005.0MIN%5

05.0MAX%95

016.005.0x005.0%95.%5%50

162.3016.0

05.0

%50

%95EF

147.4)005.0ln(t)%50ln(t

679.0695.1

)162.3ln(

695.1

)EFln(t

Sustituyendo los valores de media logarítmica y desviación estándar logarítmica en la ecuación 2.204, se tiene la ecuación de la distribución previa de la tasa de fallas de las bombas electrosumergibles (ecuación 2.219); cuyo gráfico se muestra en la Figura 2.137.

)años( 1

.000

.052

.104

.157

.209

0.00 0.02 0.04 0.05 0.07

Pro

bab

ilid

ad

2

679.0

147.4)ln(

2

1

e2..679.0

1)(g

Figura 2.137 Distribución previa g(l) de la tasa de fallas para Bombas Electrosumergibles.

Construcción de la Distribución Previa G(λ) a Partir de Tres Valores [λ Min , λ Medio , λ Max].

Algunas veces, la información o conocimiento previo sobre la tasa de fallas es algo más completa que la discutida en el punto anterior, es decir, no se tiene sólo los valores extremos [λ MIN, λ MAX] del posible rango de variación de la tasa de fallas sino que además se tiene un valor intermedio o valor más probable [λ MEDIO]. En otra palabras, nuestro conocimiento previo de la tasa de fallas se resume en tres valores [λ MIN , λ MEDIO , λ MAX]. Para convertir este “tipo” de información o conocimiento previo en la distribución previa g(λ); debe seguirse el siguiente procedimiento:

Paso 1: Asuma que la tasa de fallas se distribuye lognormalmente [5],[13] y que los valores λ MEDIO y λ MAXIMO corresponden a los percentiles 50% y 95% de dicha distribución.

MEDIO%50 (2.219)

MAX%95

Paso 2: Aprovechando las propiedades de la distribución Lognormal; aplique las siguientes ecuaciones:

MEDIO%50 (2.220)

MEDIO

MAX

%50

%95EF

(2.221)


205

Paso 3: Calcule la media logarítmica t y la desviación estándar logarítmica )t( ; utilizando las siguientes ecuaciones:

)MEDIOln(t)%50ln(t (2.222)

695.1MEDIO

MAXln

695.1

EFt

(2.223)

Paso 4: Con la media y la desviación estándar ya definidas; la distribución Lognormal está perfectamente definida, y se asume como distribución previa de la tasa de fallas:

Sustituyendo 2.222 y 2.223 en 2.217; se tiene la ecuación 2.224.

La ecuación 2.224 es la expresión matemática de la distribución previa de la tasa de fallas; expresada en función de los valores “λ MEDIO” y “λ MAX”.

2

695.1MEDIO

MAXln

)MAX.MINln()ln(

2

1

e

2..MEDIO

MAXln

695.1)(g

(2.224)

NOTA: puede seguirse un procedimiento equivalente utilizando “λ MEDIO” y “λ MIN”, no obstante, se usa con más frecuencia el par “λ MEDIO” y “λ MAX”.

Construcción de la Distribución Previa G(λ) a Partir de un “Set” de “M” Valores λ I (λ 1,・ λ 2,・ λ 3,… λ m).

La estadística descriptiva provee los métodos para construir la distribución previa de la tasa de fallas g(λ) a partir de un set de “m” observaciones o realizaciones de λ i (λ 1,・ λ 2,・ λ 3,… λ m). Este método se conoce como “caracterización probabilística de variables aleatorias” o simplemente como “selección del mejor ajuste”. En esta sección no se pretende explicar con detalle este procedimiento; ya que el mismo está ampliamente documentado en la literatura. [2],[4],[10],[12]. A continuación se hará un breve resumen de la metodología para seleccionar el modelo de distribución de probabilidad que mejor se ajusta al set de datos de la muestra.

El paso 1, consiste en plantear las hipótesis de las distribuciones paramétricas que podrían hacer un buen ajuste con los datos de la muestra λ i (λ 1,・ λ 2,・ λ 3,… λ m).

El paso 2, es calcular los parámetros de cada una de las distribuciones hipótesis con los datos de la muestra.

El paso 3 consiste en realizar alguna de las pruebas estadísticas de bondad de ajuste. (Chi Cuadrado, Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling) [2],[4],[10],[12]. Esto se descompone en:

Graficar cada una de las curvas de las distribuciones hipótesis teóricas obtenidas con los parámetros estimados en el paso anterior, contra el histograma de los datos de la muestra.

Calcular para cada distribución hipótesis el valor llamado “valor del test” y compararlo contra el valor llamado “valor crítico”.

Si el valor del test es menor que el valor crítico entonces la distribución hipotética se considera un buen ajuste y la hipótesis no es rechazada. Si por el contrario, el valor del test es mayor que el valor crítico, la hipótesis se rechaza.

El paso 4 es seleccionar entre las distribuciones hipotéticas no rechazadas, aquella que tenga el valor del test más bajo.

Si bien es cierto que siempre debe hacerse la selección del mejor ajuste para la muestra de datos de la tasa de fallas; también es cierto que en la gran mayoría de los casos, los modelos seleccionados se resumen en 2 posibilidades; Distribución Lognormal o Distribución Gamma. Los modelos matemáticos de ambos tipos de distribución se muestran en las ecuaciones 2.225 y 2.226 respectivamente.

Tasa de Fallas con comportamiento Lognormal:


206

2

t

t)ln(

2

1

e2..t

1)(g

(2.225)

Tasa de Fallas con comportamiento Gamma:

.e1

)(g

(2.226)

Note que la Distribución Lognormal está expresada en función de sus parámetros media logarítmica t y la desviación estándar logarítmica )t( ; y en la Distribución Gamma, está expresada en función de sus parámetros y . Es conveniente expresar ambas distribuciones en función de 2 parámetros comunes; estos son, la media y la desviación estándar de la muestra.

Media de muestra.

DS Desviación Estándar de la muestra.

Para el set de “m” observaciones o “muestra” de la tasa de fallas λ i (λ 1,・ λ 2,・ λ 3,… λ m). se tiene:

m

1iin

1 (2.227)

.m

1i

2i.

1m

1DS

(2.228)

Para el caso de la distribución Lognormal; las ecuaciones 2.229 y 2.230 relacionan sus parámetros media logarítmica t y la desviación estándar logarítmica )t( ; con la media de muestra )( y la desviación estándar de la muestra )DS( .

2

2DS1

lnt

(2.229)

2

2DS1lnt

(2.230)

De igual forma; para el caso de la distribución Gamma, las ecuaciones 2.231 y 2.232, relacionan sus parámetros y con la media de muestra )( y la desviación estándar de la muestra )DS( .

2DS

2

(2.231)

2DS

(2.232)

Las expresiones 2.229, 2.230, 2.231 y 2.232, permiten re-expresar la distribución Lognormal y la distribución Gamma (ecuación 2.226), en función de la media de muestra )( y la desviación estándar de la muestra )DS( .

Las ecuaciones 2.225 y 2.226 representan las expresiones matemáticas más utilizadas para representar la distribución previa g(λ) de la tasa de fallas.

Fuentes de Información para Construir la Distribución Previa G(λ):

Existen dos fuentes primarias de información para construir la distribución previa de la tasa de fallas g(λ), estas fuentes son:


207

Bancos de Datos Genéricos de Fallas y Reparaciones, colectados y organizados por centros de investigación, universidades y la industria de procesos. La virtud de esta información es su "robustez"; su debilidad es su "heterogeneidad".

Opinión de Expertos.

A continuación se detallan ambas fuentes de información.

o Bases de Datos Genéricos de Fallas y Reparaciones. (Generic Failure Data Bases).

Como ya se mencionó, existe una gran cantidad de bases de datos genéricas que contienen tasas de fallas y tiempos de reparación, para diferentes tipos de equipos. Algunos de los más famosos bancos de este tipo de información son:

Off Shore Reliability Data – OREDA.

Pipeline and riser loss of containment database –PARLOC.

Electronic Parts Reliability Data (EPRD).

Non-electronic Parts Reliability Data (NPRD).

MIL-STD-217.

Reliability Prediction Procedure for Electronic Equipment (Bellcore), TR-332.

Handbook of Reliability Prediction Procedures for Mechanical Equipment, NSWC Standard 94/L07.

IEEE Std 493-1997 Gold Book.

Reliability of well completion equipment database – WELL MASTER.

A continuación se hará una breve reseña de los bancos de información genérica más importantes usados en la industria del gas y del petróleo.

OFFSHORE RELIABILITY DATA HANDBOOK (OREDA) 4ta. EDICION 2002.

El proyecto OREDA fue establecido en 1981 por el Directorado Noruego de Petróleo. El objetivo inicial fue recopilar datos de confiabilidad de equipos de seguridad. La organización actual como un grupo cooperativo de varias empresas petroleras se estableció en 1983, y al mismo tiempo se extendió su alcance para cubrir datos de confiabilidad de un amplio rango de equipos usados en la exploración y producción de petróleo y gas. Los equipos de superficie y subacuáticos de instalaciones costa afuera son cubiertos primariamente, pero también se incluyen algunos equipos de E&P de instalaciones terrestres.

La 4ta. Edición “OREDA 2002” constituye la más actualizada y robusta fuente de información sobre tasas de fallas por modo de falla y tiempos de reparación, para equipos utilizados en instalaciones costa-afuera en la industria.

OREDA 2002 cubre un amplio espectro de equipos rotatorios y recipientes a presión, entre los cuales se encuentran:

Equipos Dinámicos: Compresores, Turbinas a Gas, Bombas, Motores de Combustión y Turbo Expansores.

Equipos Eléctricos: Generadores y Motores Eléctricos.

Equipos Estáticos Intercambiadores de Temperatura, Recipientes, Calderas y Quemadores.

Equipos de Control y Equipos de Seguridad: Detectores de Fuego y Gas, Sensores de Procesos y Válvulas.

Equipos Submarinos: Líneas de Flujo y de Gas, Múltiples de Distribución, Sistemas de Aislamiento Submarino, Risers, Cabezales de Pozos, etc.

La información que se muestra para cada clase de equipo de superficie es la siguiente:

Esquema de los límites de batería del equipo.

Lista de modos de fallas.

Número de fallas por cada modo de falla.

Tiempo en operación o servicio.

Distribución de las tasas de falla por modo de falla.

Tiempo de reparación.

Tablas de Item Mantenible vs. Modo de falla, y Descriptor de Falla/Causa vs. Modo de falla.

La información presentada para equipos subacuáticos es similar a la lista mostrada para equipos de superficie.


208

PIPELINE AND RISER LOSS OF CONTAINMENT DATABASE - PARLOC 2001:

Este documento describe los estudios realizados para el United Kingdom Offshore Operators Association (UKOOA), el Institute of Petroleum (IP), y el UK Health and Safety Executive (HSE) en relación a la pérdida de contenimiento (fugas) de tuberías costa afuera que operan en el Mar del Norte. El objetivo principal de este estudio continuo es actualizar y mejorar la confianza en la información estadística disponible para analizar la frecuencia genérica de pérdida de contenimiento asociada a la operación de tuberías en el Mar del Norte. La información recopilada durante los estudios anteriores – PARLOC 90, 92, 94 y 96, ha sido actualizada y en esta versión se incluye la información recopilada hasta el final del año 2000. La cantidad total de tuberías, incluyendo de acero y flexibles, incluidas en la base de datos es 1.567 al final del año 2000. La longitud total instalada al final del año 2000 calculada a partir de la base de datos es de 24.837 Kms. equivalentes a 328.858 Km-años de experiencia operacional.

La información que presenta este documento está discriminada según los factores que se determinaron como significativos al considerar la frecuencia de pérdida de contenimiento. Ellos son: A) Causa del incidente, B) Ubicación en la tubería C) Diámetro, D) Longitud; y E) Contenido. El estudio reconoce ciertas limitaciones. Si bien la base de datos está 99% completa en relación a información sobre diámetro, longitud, contenido y fecha de instalación; se reconoce que otra información como espesor de pared, condiciones de entierro y el tipo de acero de la tubería de elevación (riser) alcanza solamente un 70-90% de completación.

IEEE Std 493-1997 GOLD BOOK- RECOMMENDED PRACTICE FOR THE DESIGN OF RELIABLE INDUSTRIAL AND COMMERCIAL POWER SYSTEMS

El IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc.) y sus predecesores la AIEE (American Institute of Electrical Engineers) y la IRE (Institute of Radio Engineers) disponen de esta amplia base de datos genérica de distribuciones de probabilidad de las tasas de falla, por modos de fallas y tiempos entre fallas de equipos eléctricos, electrónicos y de instrumentación al igual que un centenar de publicaciones útiles para estudios de confiabilidad. Estas publicaciones son estándares en la industria eléctrica y electrónica y sirven de fuente para la predicción de fallas y la estimación de confiabilidad.

WELLMASTER - RELIABILITY OF WELL COMPLETION EQUIPMENT DATABASE.

El objetivo del proyecto WellMaster es proveer información para la mejora continua de la confiabilidad de las completaciones de pozo a través de la recopilación, análisis y clasificación de datos de confiabilidad de equipos de completación de pozos. El proyecto iniciado por SINTEF, se ha desarrollado en 5 fases: I (1990 - 1992), II (Sep 1993 – Ene 1996), III (1997 – Nov 1999), IV (Abr 2000 – Oct 2002), en esta fase se produce el traspaso del proyecto a la empresa EXPROSOFT, la cual lo administra actualmente; y V (Dic 2002 – presente).

Las categorías de equipos cubiertos son:

Elementos de la sarta de completación (colgadores, tuberías, válvulas de seguridad, niples, empaques, etc.).

Elementos insertados (instalados/empujados a través de la tubería), Cables y líneas de control, Tubo revestidor y secciones de agujero abierto.

Elementos de cabezal de pozo (incluyendo “árbol de navidad”).

Entre las ventajas de esta base de datos electrónica se tienen:

Completo archivo electrónico de pozos con información en detalle de cada completación.

Cumplimiento de estándar ISO 14221.

Información detallada sobre tiempo promedio para la falla (TPPF) y de la tasa de fallas por modo de fallas (incluyendo límites de confidencia del 90%).

Distribuciones del tiempo operativo.

Formatos de Presentación de la Información Sobre Tasas de Fallas en las Bases de Datos Genéricas: En la tabla siguiente se resume el formato en que se presenta la información sobre tasas de falla en algunas de las más famosas bases de datos de información genérica. Adicionalmente, se refieren los métodos a utilizar para construir la distribución previa de la tasa de fallas, previamente descritos en secciones anteriores.


209

Tabla 2.54. Información Previa de Tasa de Fallas.

Base de datos Genérica de Tasas

de Fallas (I)

Distribución Probabilística de la Tasa de Falla(l)

(Distribución Previa) g(l))

Formato de Presentación de la Información

Métodos para Construir la Distribución Previa g(l)

OREDA Gamma µ , σ, λ 5%, λ95% Apartado 5.2.2 (B-a.)

PARLOC LogNormal λ5%, λ 50%, λ 95% Apartado 5.2.2 (B-a.)

WELL MASTER LogNormal λ 5%, λ 95% Apartado 5.2.2 (B-a.)

IEEE LogNormal λ 5%, λ 95% Apartado 5.2.2 (B-a.)

SINTEF LogNormal λ 5%, λ95% Apartado 5.2.2 (B-a.)

Donde:

μλ: Media de la Distribución de la Tasa de Fallas.

σλ: Desviación Estándar de la Distribución de la Tasa de Fallas.

Λ5%: Percentil 5 de la Distribución de la tasa de fallas



Representatividad de las Tasas de Fallas de Bancos Genéricos: Como se mencionó en la sección previa, la mayoría de las bases de datos genéricas presentan la información de tasas de fallas de los equipos, discriminada por modo de fallas. En otras palabras, estas bases de datos entregan una distribución de probabilidades de la tasa de ocurrencia de cada modo de fallas, en consecuencia, se sobreentiende por teoría de sistemas [2],[3],[4],[5],[10] que la distribución de la tasa de fallas del equipo, es la suma de las distribuciones de las tasas de ocurrencia de los distintos modos de falla. Esto se expresa en la ecuación 2.233.

ZMF.....3MF2MF1MFEQUIPOPREVIA

Z

1iiMFEQUIPOPREVIA (2.233)

Donde “λ MFi “ es la tasa de ocurrencia del modo de falla “i”; para i desde 1 hasta Z.

Cuando se va a seleccionar la distribución previa de la tasa de fallas de un equipo usando una de estas bases de datos, cabe preguntarse lo siguiente:

Son posibles en el contexto operacional que se analicen todos los modos de falla “i” (para i desde 1 hasta Z), considerados en la base de datos?.

Muy posiblemente se darán cuenta que no todos estos modos de falla considerados en la información genérica aplican; y en consecuencia, no se deben tomar todos los términos de la ecuación 2.233 en la sumatoria; sino aquellos que realmente apliquen, que se llamarán “relevantes”. La figura 2.138 ilustra el comentario anterior.

Valve =MF1+MF3…+MF”Z”

TASA DE FALLAS GENERICA ADECUADA AL CONTEXTO OPERACIONAL

INFORMACION GENERICA SOBRE FALLAS

Well Master, 2.5OREDA 2002PSA-2001-039PARLOC 96Expert Opinion



MF1 MF3 MF”Z”

Valv.=MF1+ MF2 +MF3……..+MF”Z”

BASE DE DATOS GENERICA

Modo de falla que no aplica en el contexto operacional del análisis

VALVULAVALVULA

VALVULAVALVULA

Valve =MF1+MF3…+MF”Z”

TASA DE FALLAS GENERICA ADECUADA AL CONTEXTO OPERACIONAL





MF1 MF3 MF”Z”

Valv.=MF1+ MF2 +MF3……..+MF”Z”

BASE DE DATOS GENERICA

Modo de falla que no aplica en el contexto operacional del análisis

VALVULAVALVULA

VALVULAVALVULA

Figura 2.138 Adecuación de la Tasa de Fallas Genérica al contexto operacional.


210

Las razones para no considerar algunos de los modos de falla que están en las bases de datos genéricas son múltiples, pero pueden resumirse en dos; estas son:

Un análisis de los mecanismos de deterioro posibles en el entorno operacional bajo análisis descartan la posibilidad de ocurrencia de alguno de estos modos de falla.

Se han implantado acciones de mantenimiento, inspección o rediseño del proceso, que apuntan a “erradicar” la ocurrencia de determinados modos de falla. Esto último es muy importante cuando se estiman tasas de fallas a equipos a los que se les han hecho estudios de Mantenimiento Centrado en Confiabilidad (MCC) o Inspección Basada en Riesgos (IBR), de los cuales resultan planes de inspección y mantenimiento rediseñados, que atacan los modos de falla que realmente ocurren en un entorno operacional. Lo anterior se explica en la Figura 2.139.

INTERCAMBIADOR (HE)

IBR

MCC Acción Mitigaciónmodo 3

Acción Mitigaciónmodo 1 HE adecuada

al entorno operacional

BASE DE DATOS DE

FALLAS GENERICA

HE=modo1+modo2+modo3…+modo”Z”

HE=modo2+…+modo”Z”

Figura 2.139 Adecuación de la tasa de fallas genérica tomando en cuenta planes de mantenimiento e inspección.

Una vez eliminados los modos de falla que no aplican en el contexto operacional bajo análisis, la ecuación 2.233 se transforma en la ecuación 2.234.

W

1iiMFRGENERICAEQUIPOPREVIA (2.234)

Donde “λ MFRi” es la tasa de ocurrencia de cada modo de falla relevante “i”; para i desde 1 hasta W.

“W” es el total de modos de fallas que aplican o son relevantes en el contexto operacional bajo análisis.

Para obtener una distribución representativa de la realidad operacional bajo análisis es importante construir la distribución previa de la tasa de falla considerando sólo los modos de falla relevantes.

Como punto adicional, es importante recordar, que cada “λ MFRi“ es en realidad una distribución de probabilidades (mayormente Lognormal o Gamma; como se explicó en la sección 5.2.2.B-a); y en consecuencia, la ecuación 2.234 es en realidad una sumatoria de distribuciones; que dará como resultado una distribución de probabilidades de la tasa de fallas del equipo. Para realizar esta operación matemática, es necesario hacerlo con Simulación de Montecarlo [2],[4],[10] o utilizando el Método de los Momentos [2],[4],[10]. Este último permite obtener la media (μλPREVIA-EQUIPO) y la desviación estándar (σλPREVIA-

EQUIPO) de la distribución de probabilidades previa de la tasa de fallas del equipo. Esto se expresa en las ecuaciones 2.235 y 2.236.

W

1iiMFRGENERICAEQUIPOPREVIA (2.235)

W

1i

2)iMFR(GENERICAEQUIPOPREVIA (2.236)

donde:

μλMFRi= Media de la distribución de la tasa de ocurrencia del modo de falla relevante “i”.

σλMFRi= Desviación Estándar de la distribución de la tasa de ocurrencia del modo de falla relevante “i”.


211

Opinión de Expertos.

La opinión de expertos es la otra fuente de información o conocimiento previo para la estimación de la tasa de fallas.

La estimación de un experto, sobre los probables valores de una variable aleatoria “X”, suele expresarse con base en tres valores: valor mínimo, valor más probable y valor máximo; es decir:

Mínimo valor posible de la variable =xmin

Valor más probable de la variable = xmprob

Máximo valor posible de la variable =xmax

En el caso que se estudia, la variable aleatoria de interés es la tasa de fallas (λ); por lo que la opinión del experto debe ser expresada en el siguiente formato

Mínimo valor posible de la tasa = λ MIN

Valor medio de la tasa = λ MEDIO

Máximo valor posible de la tasa = λ MAX

A partir de esta información; se puede construir la distribución previa de tasa de fallas g(λ) siguiendo los pasos descritos en las secciones “Construcción de las distribuciones previas a partir de un rango y a partir de tres valores.

b.) Evidencia y Construcción de la Función de Verosimilitud L(t/λ).

La evidencia; para la estimación de tasas de falla; está constituida por información propia del sistema bajo análisis de tiempos de operación entre fallas sucesivas (tiempos de falla) y tiempos de Operación desde la última falla (tiempos censados). La fortaleza de la “evidencia” es su representatividad de la “realidad" y su debilidad es que probablemente "sean muy pocos datos para hacer inferencias estadísticas válidas con estos datos por sí solos” (información estadísticamente poco robusta).

Como se mencionó previamente en este documento;

“para estimar la tasa de fallas (λ), en casos donde la evidencia o muestra es nula o muy poca para ser representativa; se requiere hallar la distribución posterior o actualizada de la tasa de fallas “f(λ /X)” mediante el Teorema de Bayes. Para ello es necesario, por una parte definir una distribución “previa” de la tasa de fallas g(λ) (Conocimiento Previo) y por la otra, construir la función de verosimilitud o probabilidad de la evidencia L(X/ λ) ”

En la sección 5.2.2.B-a.) se describe ampliamente cómo definir y construir la distribución previa de la tasa de fallas g(λ) ; en esta sección; se describirá en detalle cómo construir la función de verosimilitud; a partir de la evidencia.

Considere una población de equipos de la cual se ha recolectado una muestra de N valores donde r son los tiempos de operación entre fallas de los equipos (t1, t2, .. tr ) y N-r son tiempos de operación de los equipos desde la última falla ( tc1, tc2,… tcn) . Se llamará “r” al número de fallas observadas en la muestra de tamaño “N”; y se identificará con “T” al tiempo total de operación acumulado por la población de equipos:

rN

1jtc j

r

1it iT (2.237)

Para este tipo de evidencias; de manera genérica la función de verosimilitud tiene la siguiente forma:

rN

1j),jtc(C*

r

1i),it(f)/t(L (2.238)

Donde:

r = Número de equipos fallas observadas en la población de equipos.

ti = Tiempos de falla.

N-r = Número de datos censados o equipos no fallados.

tcj = Tiempos de operación de equipos desde su última falla (datos censados).

λ = Parámetro de la distribución de probabilidad de la variable “tiempo para la falla”.

f(ti, λ)= Función de densidad de Probabilidad; con parámetro λ y evaluada en el valor ti.

C(tcj, λ)= Función de Confiabilidad, con parámetro λ; evaluada en el valor tcj.

Basados en las consideraciones expresadas en la sección 5.2.2.A, se asume que los tiempos de operación entre fallas y los tiempos censados que forman la evidencia siguen una distribución exponencial; esto implica que:


212

ite),it(f (2.239)

jtce),jtc(C

(2.240)

Las referencias [2],[4],[8],[10],[12] ofrecen amplia y detallada información sobre las ecuaciones 2.237, 2.238, 2.239 y 2.240.

Reemplazando 2.239, 2.240 en 2.238; se tiene:

rN

1je tcj*.

r

1ie ti*t(L

errN

1jtc j

r

1it it(L

er Tt(L (2.241)

Donde T es el tiempo total de operación acumulado por la población de equipos; dado por la ecuación 2.237.

En conclusión; la ecuación 2.241; es la función de verosimilitud para una muestra de tiempos de falla y tiempos censados que siguen la distribución exponencial. Vale la pena destacar que la ecuación 2.241 tiene la forma matemática de una distribución de probabilidad de Poisson.

c.) Determinación de la Distribución Posterior o Distribución Actualizada de la Tasa de Fallas “F(λ/t)”.

La distribución posterior o distribución actualizada de la tasa de fallas “f(λ/t)”; representa el conocimiento actualizado; y la misma resulta de combinar; mediante la ecuación 2.208, la información previa representada por la distribución “g(λ)” (ecuaciones 2.218, 2.224 y 2.226 dependiendo de la fuente); con la evidencia representada por la función de verosimilitud “L(t/λ ” (ecuación 2.241). Este conocim・ iento resultante sobre la tasa de fallas es mucho más robusto que el conocimiento previo o la experiencia tomados por separado y de manera excluyente.

Como puede inferirse; combinar “g(λ)” y “L(t/ λ)”; en la ecuación 2.208; y resolver esta última para obtener “f(λ /t)”; puede resultar bastante complicado y en la mayoría de los casos ni siquiera existe una solución analítica; por lo que debe recurrirse a una solución numérica. Las referencias [2],[3],[4],[5] ofrecen amplia información sobre estas soluciones analíticas y numéricas. La tabla 2.55 resume las diversas posibles combinaciones de “g(λ)” y “L(t/λ)” para las diversas fuentes de información previa y específica para cada caso el tipo de distribución resultante “f(λ/t)” y sus principales características.

El primer caso tratado en la tabla 2.55 refiere a OREDA como fuente de información previa sobre la tasa de fallas. En este banco de datos la distribución previa de la tasa de fallas “g(λ)” corresponde a una distribución GAMMA; que se combina en la ecuación 2.208 con la evidencia representada con la función de verosimilitud que toma la forma de una distribución de POISSON. “L(t/λ)”. Este caso particular es el único de los casos mencionados en la tabla 2.55; que tiene una solución analítica.

Al resolver la ecuación 2.208 para este caso; la distribución resultante (distribución posterior o actualizada de la tasa de fallas “f(λ/t)”) toma la forma de una distribución GAMMA; que se expresa en la siguiente ecuación:

).T2

GENÉRICA

GENÉRICA(

e2

GENÉRICA

GENÉRICAr

1

2

GENÉRICA

GENÉRICAr)

2

GENÉRICA

GENÉRICAr(

T2

GENÉRICA

GENÉRICA

)t/(f

(2.242)

Como puede observarse al detallar la ecuación 2.242; la tasa de fallas actualizada es función de:

GENÉRICA : Media de la tasa de fallas de OREDA.

GENÉRICA : Desviación Estándar de la tasa de fallas de OREDA.

r: No de fallas observadas en los equipos que conforman la evidencia.


213

rN

1jtc j

r

1it iT tiempo acumulado en operación de los equipos que conforman la muestra o evidencia.

Adicionalmente, a partir de la ecuación 2.242; se pueden deducir las ecuaciones de la media de la tasa de fallas actualizada AACTUALIZAD y la desviación estándar de la misma

AACTUALIZAD .

Ambas expresiones se muestran a continuación:

2GENÉRICA

GENÉRICArN

1jjtc

r

1ijt

2

GENÉRICA

GENÉRICAr

AACTUALIZAD

(2.243)

2GENÉRICA

GENÉRICArN

1jjtc

r

1ijt

2

GENÉRICA

GENÉRICAr

AACTUALIZAD

(2.244)

Usualmente, se utiliza la media de la tasa de fallas actualizada AACTUALIZAD como valor representativo de la información mejorada. En el ejemplo 2.24; puede verse un ejemplo de actualización de la información de la tasa de fallas utilizando las ecuaciones 2.242, 2.243 y 2.244.

Todos los demás casos tratados en la Tabla 2.55 requieren soluciones numéricas. En el ejemplo 2.25; se muestra el procedimiento para resolver numéricamente la ecuación 2.208; y en el ejemplo 2.26; se muestra un ejemplo de solución de un caso que se corresponde con el último caso mostrado en la Tabla 2.55 es decir; información previa proveniente de la opinión de expertos; con la que se construye una distribución previa de la tasa de fallas “g(λ)” corresponde a una distribución LOGNORMAL, y evidencia representada por la función verosimilitud que toma la forma de una distribución de POISSON. “L(t/ λ)”.

Tabla 2.55 Tabla de Combinaciones Diversas de g(λ) y L(t/λ)

Distribución Previa g(λ)

Formato de Presentación de la

InformaciónFuente de Evidencia

Función de Versoimilitud

L(t/λ)

Formato de Presentación de la Información

Distribución Posterior

f(λ/t)

Media de f(λ/t)

μλ actualizada

Desviación Estándar de f(λ/t)

σλactualizada

OREDAGamma

(Ec. 2.226)μλ, σλ, λmín, λmáx

Datos de Falla y Datos Censados

Propios

Poison(Ec. 2.226)

r: Número de fallas observadasT:Tiempo Total en Operación

Gamma (Ec. 2.233)

Ec. 2.243 Ec. 2.244

PARLOCLognormal (Ec. 2.225)

λmín, λmedio, λmáxDatos de Falla y Datos Censados

Propios

Poison(Ec. 2.226)


Solución Númerica

Solución Númerica

Solución Númerica

WELL MASTERLognormal (Ec. 2.225)

λmín, λmáxDatos de Falla y Datos Censados

Propios

Poison(Ec. 2.226)


Solución Númerica

Solución Númerica

Solución Númerica

IEEELognormal (Ec. 2.225)


Propios

Poison(Ec. 2.226)


Solución Númerica

Solución Númerica

Solución Númerica

SINTEFLognormal (Ec. 2.225)


Propios

Poison(Ec. 2.226)


Solución Númerica

Solución Númerica

Solución Númerica

Otras Fuentes

Opinión de ExpertosLognormal (Ec. 2.225)

λmín, λmedio, λmáxDatos de Falla y Datos Censados

Propios

Poison(Ec. 2.226)


Solución Númerica

Solución Númerica

Solución Númerica

Información Actualizada

Fuente de Información Previa

Base de Datos Genéricos

Información Previa Evidencia

Conclusiones:

El Teorema de Bayes es el vehículo matemático por excelencia para apoyarse en la estimación de tasas de falla, en aquellos casos en que la evidencia es escasa; debido que permite combinar esta información con la correspondiente sobre tasas de falla proveniente de reconocidos bancos de información como OREDA; PARLOC, WELL MASTER, entre otros; como también con la opinión de expertos; facilitando la obtención de estimados de la tasa de falla más robustos y cercanos a la realidad

La correcta aplicación del Teorema para la actualización de tasas de falla; depende en gran medida del cuidadoso tratamiento de la evidencia, el análisis de los formatos de presentación de la información registrada en los bancos de datos genéricos y el adecuado tratamiento de la opinión de expertos.


214

Ejemplo 2.25: Actualización de Tasa de Fallas:

El personal de ingeniería de la empresa R2M requiere instalar un nuevo intercambiador de calor (Fin Fan Cooler), en una de sus principales plantas de procesos. Para ello requiere realizar un análisis de la confiabilidad y disponibilidad del nuevo equipo, para asegurar la disponibilidad total del proceso. El equipo de ingenieros cuenta con la siguiente información: datos genéricos y alguna evidencia.

Tabla 2.56 Información de Evidencia

Tiempo de Operación hasta la

falla

(failure data)

Tiempo de Operación de Equipos que no han fallado

(Censored data)

65700 120000

75300

75300

75300

45000

43200

Total (Hrs) 379800 120000

Evidencia

Como evidencia se tienen tiempos de operación hasta la falla (Datos fallados) y tiempo de operación de equipos que no han fallado (Datos censados), provenientes de los registros históricos de falla de equipos operando bajo similares condiciones.

Información Genérica (OREDA 2002)

La tabla 2.56 presenta la información sobre Intercambiadores de calor (Fin Fan Cooler) que se encuentra en la fuente de información genérica (Pág 380. Oreda 2002).

OREDA contiene información sobre modos de fallas críticos, por degradación e incipientes. Como se observa en la tabla 2.55, de izquierda a derecha se presentan en columnas lo siguiente: modo de falla, codificación según la norma ISO 14224, número de fallas analizadas, tasa de falla (número de fallas por cada millón de hora en * tiempo calendario ó +tiempo en operación), tiempo de la actividad y tiempo de reparación (horas/hombre).

Es importante resaltar; tal como se indica en la tabla 2.54; donde el OREDA presenta la tasa de falla en forma distribuida, a través de una distribución gamma, nótese que presenta los siguientes parámetros estadísticos: valor mínimo (Percentil 5), valor medio o esperado (media), valor máximo (Percentil 95), desviación estándar.

Procedimiento:

Paso 1:

Tal como se indicó en el apartado “representatividad de las tasas de fallas de bancos genéricos”; el primer paso en la actualización consiste en definir los modos de falla que aplican, en función del contexto operacional. Supóngase para el ejemplo, que de acuerdo a resultados de estudios previos (IBR, MCC) y la experiencia de un grupo de expertos los modos de falla que aplican son:

λ1: External leakage process médium (Ver tabla 2.57)

(Media: 3.42 fallas/106 horas, Desviación Estándar: 3.42 fallas/106 horas)

λ2: Insufficient heat transfer (Ver tabla 2.57)


λ3: Minor in-service problems (Ver tabla 2.57)



215

Tabla 2.57 Intercambiador de Calor (Fin Fan –OREDA 2002).

3.1.1 Equipo: Heat exchanger Fin fan

OREDA - 2002 Tiempo Agregado en Servicio (106 horas) No de Demandas

Tiempo Calendario Tiempo en Operación Pagina 380 0.6134 0.2921

Modo de Falla No de Rata de Falla (106 horas) Activida Reparacion (hr/H)ana Falla Inferior Medio Superior DS n/t Rep. hrs Min Media Max

Critica maria 6* 0.88 8.56 22.96 7.34 9.78carmen 6† 3.63 20.52 48.72 14.53 20.54 4.2 2 7 14

External leakage process medium ELP 1* 0.05 1.56 4.73 1.63 1.63External leakage process medium ELPC 1† 0.17 3.42 10.25 3.42 3.42 3.0 6.0 6.0 6.0Insufficient heat transfer IHT 2* 0.41 3.09 7.88 2.45 3.26Insufficient heat transfer IHTC 2† 1.21 6.84 16.24 4.84 6.85 5.0 4.0 8.0 12.0Minor in-service problems SER 1* 0.05 1.56 4.73 1.63 1.63Minor in-service problems SERC 1† 0.17 3.42 10.25 3.42 3.42 2.0 2.0 2.0 2.0Other OTH 1* 0.05 1.56 4.73 1.63 1.63Other OTHC 1† 0.17 3.42 10.25 3.42 3.42 6.0 14.0 14.0 14.0Parameter deviation PDE 1* 0.05 1.56 4.73 1.63 1.63Parameter deviation PDEC 1† 0.17 3.42 10.25 3.42 3.42 4.0 4.0 4.0 4.0Degraded More 48* 5.17 54.120 147.610 47.560 78.250

Darc 48† 28.39 162.930 388.550 116.220 164.310 4.1 1 4.5 17Insufficient heat transfer IHT 26* 10.49 35.10 71.50 19.24 42.39Insufficient heat transfer IHTD 26† 15.56 88.59 210.79 62.95 89.00 3.8 1.0 4.3 9.0Minor in-service problems SER 11* 1.16 14.56 41.10 13.45 17.93Minor in-service problems SERD 11† 6.64 37.58 89.28 26.63 37.65 3.0 1.0 3.0 6.0Other OTH 9* 1.08 12.24 33.90 11.00 14.67Other OTHD 9† 5.44 30.76 73.06 21.79 30.81 5.9 3.0 6.5 17.0Parameter deviation PDE 2* 0.41 3.09 7.88 2.45 3.26Parameter deviation PDED 2† 1.21 6.84 16.24 4.84 6.85 6.8 5.0 6.5 8.0Incipiente More 45* 5.43 51.530 137.530 43.800 73.360

Darc 45† 26.66 152.820 364.340 108.960 154.040 4 1 4.7 24Abnormal instrument reading AIR 10* 1.12 13.41 37.51 12.23 16.30Abnormal instrument reading AIRI 10† 6.04 34.17 81.17 24.21 34.23 3.5 1.0 4.9 24.0Insufficient heat transfer IHT 1* 0.05 1.56 4.73 1.63 1.63Insufficient heat transfer IHTI 1† 0.17 3.42 10.25 3.42 3.42 4.0 4.0 4.0Minor in-service problems SER 23* 12.38 32.51 60.39 14.97 37.50Minor in-service problems SERI 23† 13.79 78.41 186.51 55.69 78.73 3.7 1.0 3.8 14.0Other OTH 6* 0.88 8.56 22.96 7.34 9.78Other OTHI 6† 3.63 20.52 48.72 14.53 20.54 3.7 2.0 3.7 4.0Parameter deviation PDE 5* 0.79 7.26 19.26 6.11 8.15Parameter deviation PDEI 5† 3.03 17.10 40.60 12.11 17.12 6.4 5.0 10.2 14.0Todos los modos More 99* 1.59 98.210 308.950 110.520 161.400

Darc 99† 56.96 333.110 798.540 239.710 338.880 4.1 1 4.7 24

* +

3.1.1 Equipo: Heat exchanger Fin fan

OREDA - 2002 Tiempo Agregado en Servicio (106 horas) No de Demandas

Tiempo Calendario Tiempo en Operación Pagina 380 0.6134 0.2921

Modo de Falla No de Rata de Falla (106 horas) Activida Reparacion (hr/H)ana Falla Inferior Medio Superior DS n/t Rep. hrs Min Media Max

Critica maria 6* 0.88 8.56 22.96 7.34 9.78carmen 6† 3.63 20.52 48.72 14.53 20.54 4.2 2 7 14

External leakage process medium ELP 1* 0.05 1.56 4.73 1.63 1.63External leakage process medium ELPC 1† 0.17 3.42 10.25 3.42 3.42 3.0 6.0 6.0 6.0Insufficient heat transfer IHT 2* 0.41 3.09 7.88 2.45 3.26Insufficient heat transfer IHTC 2† 1.21 6.84 16.24 4.84 6.85 5.0 4.0 8.0 12.0Minor in-service problems SER 1* 0.05 1.56 4.73 1.63 1.63Minor in-service problems SERC 1† 0.17 3.42 10.25 3.42 3.42 2.0 2.0 2.0 2.0Other OTH 1* 0.05 1.56 4.73 1.63 1.63Other OTHC 1† 0.17 3.42 10.25 3.42 3.42 6.0 14.0 14.0 14.0Parameter deviation PDE 1* 0.05 1.56 4.73 1.63 1.63Parameter deviation PDEC 1† 0.17 3.42 10.25 3.42 3.42 4.0 4.0 4.0 4.0Degraded More 48* 5.17 54.120 147.610 47.560 78.250

Darc 48† 28.39 162.930 388.550 116.220 164.310 4.1 1 4.5 17Insufficient heat transfer IHT 26* 10.49 35.10 71.50 19.24 42.39Insufficient heat transfer IHTD 26† 15.56 88.59 210.79 62.95 89.00 3.8 1.0 4.3 9.0Minor in-service problems SER 11* 1.16 14.56 41.10 13.45 17.93Minor in-service problems SERD 11† 6.64 37.58 89.28 26.63 37.65 3.0 1.0 3.0 6.0Other OTH 9* 1.08 12.24 33.90 11.00 14.67Other OTHD 9† 5.44 30.76 73.06 21.79 30.81 5.9 3.0 6.5 17.0Parameter deviation PDE 2* 0.41 3.09 7.88 2.45 3.26Parameter deviation PDED 2† 1.21 6.84 16.24 4.84 6.85 6.8 5.0 6.5 8.0Incipiente More 45* 5.43 51.530 137.530 43.800 73.360

Darc 45† 26.66 152.820 364.340 108.960 154.040 4 1 4.7 24Abnormal instrument reading AIR 10* 1.12 13.41 37.51 12.23 16.30Abnormal instrument reading AIRI 10† 6.04 34.17 81.17 24.21 34.23 3.5 1.0 4.9 24.0Insufficient heat transfer IHT 1* 0.05 1.56 4.73 1.63 1.63Insufficient heat transfer IHTI 1† 0.17 3.42 10.25 3.42 3.42 4.0 4.0 4.0Minor in-service problems SER 23* 12.38 32.51 60.39 14.97 37.50Minor in-service problems SERI 23† 13.79 78.41 186.51 55.69 78.73 3.7 1.0 3.8 14.0Other OTH 6* 0.88 8.56 22.96 7.34 9.78Other OTHI 6† 3.63 20.52 48.72 14.53 20.54 3.7 2.0 3.7 4.0Parameter deviation PDE 5* 0.79 7.26 19.26 6.11 8.15Parameter deviation PDEI 5† 3.03 17.10 40.60 12.11 17.12 6.4 5.0 10.2 14.0Todos los modos More 99* 1.59 98.210 308.950 110.520 161.400

Darc 99† 56.96 333.110 798.540 239.710 338.880 4.1 1 4.7 24

* +

Paso 2:

El segundo paso consiste en calcular la tasa de falla genérica equivalente considerando sólo los modos de falla que apliquen, usando la ecuación 2.233 que para el caso del ejercicio queda como sigue:

321OREDA

Es importante recordar que la tasa de falla en Oreda viene expresada a través de una distribución Gamma, por ello es necesario recurrir al uso de las ecuaciones 2.234 y 2.235 para calcular la media y la desviación estándar equivalente (Método de los Momentos).

Media Oreda 321OREDA

Desviación Estándar 23

22

21OREDA

Para el ejemplo.

)(fallas/hr 00001368.000000342.000000684.000000342.0OREDA

)(fallas/hr 00000684.0200000342.0200000484.0200000342.0OREDA

Paso 3:

Trabajar la evidencia calculando el No de fallas observadas en la población de equipos “r” y el tiempo acumulado en operación de la población de equipos “T”.


216

Analizando la Tabla 2.55, de la evidencia, se tiene:

r=6

hrs499800120000379800rN

1jtc j

r

1it iT

Calcular la media de la distribución posterior de la tasa de fallas a la que se llamará “tasa de falla actualizada” haciendo uso de la ecuación 2.243:

2OREDA

OREDArN

1jcjt

t

1iit

2OREDA

2OREDAr

mejorada

fallas/hr 0000126228.0

200000684.0

00001368.0499800

200000684.0

200001368.06

mejorada

Tasa de fallas actualizada: AACTUALIZAD = 0.0000126228 fallas/hr

Para calcular el tiempo promedio entre fallas, se utiliza la siguiente ecuación, asumiendo que el tiempo para la falla es representado a través de una distribución exponencial.

horas 792210000126228.0

1

mejorada

1TPEF

Esto indica que el equipo fallará en promedio cada 79221 horas.

La Figura 2.140 muestra la distribución previa g(λ) y la distribución actualizada f(λ /t). En la misma puede observarse que el conocimiento actualizado sobre la tasa de fallas f(l/t) es menos disperso que el conocimiento previo g(λ); y de los resultados puede notarse; que el valor esperado de la tasa de fallas se reduce de 1.36x10-5 fallas/hr a 1.26 x10-5 fallas/hr al mezclarse con la evidencia.

Failure Rate Bayes Updating

0.00000

0.00100

0.00200

0.00300

0.00400

0.00500

0.00600

0 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004

Failure Rate (hrs-1)

Pro

ba

bili

ty

Prior Distribution

Posterior Distribution

).T(

2

GENÉRICA

GENÉRICA

1r)r(

2

GENÉRICA

GENÉRICA

2GENÉRICA

GENÉRICA

2

GENÉRICA

GENÉRICA

2

GENÉRICA

GENÉRICA

e

r

T

)t/(f

.

2

GENÉRICA

GENÉRICA

2

GENÉRICA

GENÉRICA

2GENÉRICA

GENÉRICA

1

2

GENÉRICA

GENÉRICA

2

GENÉRICA

GENÉRICA

e)(g

Figura 2.140 Distribución Previa (Prior Distribution) y Distribución Posterior o Actualizada (Posterior Distribution) de la Tasa

de Fallas.


217

Ejemplo 2.26: Actualización de la Tasa de Fallas Mediante Solución Numérica del Teorema de Bayes.

Según la tabla 2.55, con excepción del primer caso tratado; todos los demás implican combinar mediante la ecuación 2.208 una distribución LOGNORMAL como distribución previa (ecuaciones 2.218 y 2.224); y una distribución POISSON (ecuación 2.241) como función de verosimilitud. La combinación de estas ecuaciones en la ecuación 2.208 no permite lograr soluciones analíticas, y se requieren métodos numéricos para obtener una solución. A continuación se describen los pasos requeridos:

Paso 1:

Construir la distribución previa “g(λ)” de la tasa de fallas (distribución Lognormal); a partir de la información suministrada por las bases de datos genéricas; [λ MIN , λ MEDIO , λ MAX]; siguiendo los pasos indicados en el punto 5.2.2.B-a.)

)(g

2

MEDIO

MAX

MAXMIN

695.1

ln

).ln()ln(

2

1

MEDIO

MAX

e

2..ln

695.1)(g

Figura 2.141 Distribución Previa (Prior Distribution) - Distribución Lognormal.

Paso 2:

Dividir la distribución previa “g(λ)” en “n” intervalos; tal como se muestra en la Figura 2.142. En la medida en que el número de divisiones “n” sea mayor; el resultado de los cálculos será más exacto.

1 2 3 1kk m

)(g

1 2 3 4 …….. i-1 i …………….…n-1 n

2

MEDIO

MAX

MAXMIN

695.1

ln

).ln()ln(

2

1

MEDIO

MAX

e

2..ln

695.1)(g

Figura 2.142 Distribución Previa (Prior Distribution) dividida en “n” intervalos.

Paso 3:

Para los “n” intervalos; calcular los puntos medios *i ; utilizando el concepto de “media geométrica”; con la siguiente

ecuación:


218

k*1k*i (2.245)

(“i” variando de 1 hasta “n” y “k” variando de 1 hasta m=n+1)

En la Figura 2.143 se muestra ya la distribución previa dividida en “n” intervalos y con los “n” valores medios *i

*1

*2

*3 …… *

1i*i …… *

1n *n

1 2 3 1kk 1m

m

)(g

2

MEDIO

MAX

MAXMIN

695.1

ln

).ln()ln(

2

1

MEDIO

MAX

e

2..ln

695.1)(g

Figura 2.143 Distribución Previa (Prior Distribution) dividida en “n” intervalos y con los puntos medios de intervalo

identificados.

Paso 4:

Para cada *i ; calcular la probabilidad “pi “(probabilidad previa); correspondiente a cada intervalo “i” utilizando la siguiente

ecuación.

1k

k)k(G)1k(Gd)(gip (2.46)


Donde:

)1k(G = Distribución Previa acumulada (Lognormal acumulada), evaluada en 1k

)k(G = Distribución Previa acumulada (Lognormal acumulada), evaluada en k

Paso 5:

Para cada *i ; calcular el valor de la función verosimilitud )*

i/t(L ; utilizando la siguiente ecuación:

er*

i

T)*

i/t(L

(2.247)

(“i” variando de 1 hasta “n” )

Paso 6:

Con base en los resultados obtenidos en los pasos anteriores, calcular el siguiente término:

n

1ie

r*i

T*i

x)k(G)1k(Gn

1i)*

i/t(xLipW

(2.248)



219

Paso 7:

Para cada *i ; calcular la probabilidad “ iPOSTp ” (probabilidad posterior); correspondiente a cada intervalo “i” utilizando la

siguiente ecuación:

n

1ie

r*i

T*i

x)k(G)1k(G

er*

i

T*i

xip

W

)*i/t(xLip

iPOSTp

(2.249)


Paso 8:

Graficar en el eje horizontal los “n” valores *i calculados en el paso 3; y en el eje vertical una serie con los “n” valores de

la probabilidad previa “ ip ” estimados en el paso 4 y otra serie con los “n” valores de probabilidad posterior o actualizada “ iPOSTp ” calculados en el paso 7. La Figura 2.144 muestra un ejemplo del mencionado gráfico y en el mismo pueden distinguirse claramente la distribución previa y la distribución posterior de la tasa de fallas.

0.00000

0.00100

0.00200

0.00300

0.00400

0.00500

0 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004

Failure Rate (hrs-1)

Pro

bab

ility

Prior Distribution


Figura 2.144 Distribución previa g(l) de la tasa de fallas para Bombas Electrosumergibles.

Paso 9:

Calcular el valor esperado o media de la tasa de fallas actualizada y la desviación estándar de la misma; utilizando las siguientes ecuaciones:

Valor Esperado de la Tasa de Fallas Actualizada:

n

1i

*ixiPOSTpAACTUALIZAD (2.250)

Desviación Estándar de la Tasa de Fallas Actualizada:

n

1i

2AACTUALIZAD

*ixiPOSTpAACTUALIZAD (2.251)


Ejemplo 2.27: Actualización de la Tasa de Fallas Mediante Solución Numérica del Teorema de Bayes.

La amplia experiencia de un veterano ingeniero de petróleo que ha trabajado produciendo crudo extraído mediante la utilización de bombas electrosumergibles, le permite asegurar que el mínimo valor esperado de la tasa de fallas para una población de bombas es de 0.005 años-1 y que el máximo valor es de 0.05 años-1.


220

Adicionalmente, de un campo nuevo de producción que tiene 2 años en operación hasta la fecha; y en el cual se están operando 25 Bombas electrosumergibles; ha permitido recolectar la siguiente información:

Dos de las bombas han fallado; la primera operó durante un año hasta la falla; y luego falló; cerrándose el pozo. La segunda operó 1.75 años y luego falló; cerrándose también el pozo.

Las otras 23 bombas han operado sin fallas hasta la fecha.

El análisis de la información anterior revela lo siguiente:

Información Previa: Se tiene la “opinión de un experto”; expresada en el siguiente rango.

005.0MIN años-1

05.0MAX años -1

Evidencia: Se tienen 2 fallas (dos datos de falla) y 23 bombas que no han fallado en 2 años, es decir; 23 datos censados.

75.48)2*23()75.11(rN

1jtc j

r

1it iT

años ; r= 2 fallas

Para hacer los cálculos de actualización de la tasa de fallas de las bombas; se siguen los pasos descritos en el anexo 3:

Paso 1:

Construir la distribución previa “g(λ)” de la tasa de fallas (distribución Lognormal).

)años( 1

.000

.052

.104

.157

.209

0.00 0.02 0.04 0.05 0.07

Pro

bab

ilid

ad

2

679.0

147.4)ln(

2

1

e2..679.0

1)(g

Figura 2.145 Distribución previa g(λ) de la tasa de falla para Bombas Electrosumergibles.

Paso 2 al Paso 7:

Los pasos del 2 al 7; se resumen a continuación:

En primer lugar; una vez definida la ecuación de la distribución lognormal en el paso anterior; se hallaron los percentiles extremos:

00182.0%1.0 13748.0%9.99

Tomando ambos percentiles como los extremos de la distribución; la misma se dividió en 50 intervalos iguales.

No Divisiones o intervalos: 50

Rango entre los extremos = 13566.000182.01379.01m

Ancho de cada División: 0.0027133

La Tabla 2.58; elaborada en Excel; resume las operaciones matemáticas indicadas en los pasos del 2 al 7.


221

Tabla 2.58 Solución Numérica Actualización Tasa de Fallas Bombas Electrosumergible.

Intervalos

0.0018184010 0.000118271 0.0045317015 0.002870619 0.03608918133 7.16431E-06 2.58554E-07 0.002186135 6.27556E-06 1.18957E-062 0.0072450020 0.005729938 0.09531789825 2.48306E-05 2.3668E-06 0.020011804 0.000114666 8.38336E-063 0.0099583024 0.008493993 0.12203324359 4.76859E-05 5.81927E-06 0.049203248 0.000417932 1.5421E-054 0.0126716029 0.011233328 0.12144878976 7.29771E-05 8.86298E-06 0.07493851 0.000841809 1.67807E-055 0.0153849034 0.013962499 0.10852837082 9.86994E-05 1.07117E-05 0.090569711 0.00126458 1.35578E-056 0.0180982038 0.016686495 0.09210671231 0.000123437 1.13694E-05 0.096130866 0.001604087 8.6959E-067 0.0208115043 0.019407495 0.07617096067 0.000146233 1.11387E-05 0.094180523 0.001827808 4.3421E-068 0.0235248048 0.022126603 0.06218866107 0.000166482 1.03533E-05 0.087539658 0.001936955 1.45072E-069 0.0262381052 0.024844442 0.05048400332 0.000183847 9.28131E-06 0.078475615 0.001949683 1.43668E-0710 0.0289514057 0.027561387 0.04091563992 0.000198188 8.10897E-06 0.068563213 0.001889697 1.27542E-0711 0.0316647061 0.030277677 0.03318653751 0.000209513 6.953E-06 0.058789238 0.001780002 9.78719E-0712 0.0343780066 0.032993476 0.02697708137 0.000217933 5.8792E-06 0.049709957 0.001640104 2.29588E-0613 0.0370913071 0.035708895 0.02199678911 0.00022363 4.91913E-06 0.041592395 0.001485218 3.76273E-0614 0.0398046075 0.038424015 0.01799988723 0.000226829 4.08289E-06 0.034521762 0.001326465 5.16059E-0615 0.0425179080 0.041138895 0.01478573057 0.000227782 3.36792E-06 0.028476504 0.001171492 6.35725E-0616 0.0452312085 0.043853579 0.01219358887 0.000226751 2.7649E-06 0.023377893 0.001025204 7.28777E-0617 0.0479445089 0.046568102 0.01009598191 0.000223998 2.26148E-06 0.019121321 0.000890444 7.93462E-0618 0.0506578094 0.04928249 0.00839228098 0.000219778 1.84444E-06 0.015595127 0.000768567 8.31091E-0619 0.0533711099 0.051996764 0.00700317894 0.000214331 1.501E-06 0.012691275 0.000659905 8.44735E-0620 0.0560844103 0.054710942 0.00586614692 0.000207882 1.21946E-06 0.010310851 0.000564116 8.3829E-0621 0.0587977108 0.057425038 0.00493180113 0.000200636 9.89495E-07 0.008366405 0.000480441 8.15858E-0622 0.0615110113 0.060139061 0.00416104096 0.000192778 8.02158E-07 0.006782427 0.000407889 7.81356E-0623 0.0642243117 0.062853022 0.00352281294 0.000184475 6.4987E-07 0.005494804 0.000345365 7.38297E-0624 0.0669376122 0.065566928 0.00299237083 0.000175872 5.26274E-07 0.004449763 0.000291757 6.89692E-0625 0.0696509127 0.068280786 0.00254992363 0.000167096 4.26082E-07 0.003602621 0.00024599 6.38026E-0626 0.0723642131 0.070994602 0.00217958467 0.000158257 3.44935E-07 0.002916502 0.000207056 5.85278E-0627 0.0750775136 0.073708379 0.00186855360 0.000149448 2.79252E-07 0.002361139 0.000174036 5.32976E-0628 0.0777908141 0.076422123 0.00160647819 0.000140747 2.26107E-07 0.00191179 0.000146103 4.82252E-0629 0.0805041145 0.079135836 0.00138495505 0.000132219 1.83117E-07 0.001548299 0.000122526 4.33906E-0630 0.0832174150 0.081849522 0.00119713787 0.000123916 1.48344E-07 0.001254283 0.000102662 3.8847E-0631 0.0859307155 0.084563184 0.00103742886 0.000115879 1.20216E-07 0.001016452 8.59544E-05 3.4626E-0632 0.0886440159 0.087276822 0.00090123513 0.00010814 9.74594E-08 0.000824041 7.19197E-05 3.07424E-0633 0.0913573164 0.089990441 0.00078477537 0.000100723 7.90448E-08 0.000668342 6.01444E-05 2.71985E-0634 0.0940706168 0.09270404 0.00068492613 9.36442E-05 6.41393E-08 0.000542313 5.02746E-05 2.39872E-0635 0.0967839173 0.095417623 0.00059909902 8.69139E-05 5.207E-08 0.000440264 4.20089E-05 2.10949E-0636 0.0994972178 0.09813119 0.00052514235 8.05369E-05 4.22933E-08 0.0003576 3.50917E-05 1.85038E-0637 0.1022105182 0.100844743 0.00046126200 7.45137E-05 3.43703E-08 0.000290609 2.93064E-05 1.61934E-0638 0.1049238187 0.103558283 0.00040595756 6.88412E-05 2.79466E-08 0.000236295 2.44703E-05 1.41415E-0639 0.1076371192 0.10627181 0.00035797071 6.35133E-05 2.27359E-08 0.000192237 2.04294E-05 1.23261E-0640 0.1103504196 0.108985326 0.00031624316 5.85214E-05 1.8507E-08 0.000156481 1.70541E-05 1.07249E-0641 0.1130637201 0.111698832 0.00027988251 5.3855E-05 1.50731E-08 0.000127446 1.42356E-05 9.31693E-0742 0.1157770206 0.114412327 0.00024813425 4.95022E-05 1.22832E-08 0.000103857 1.18825E-05 8.08202E-0743 0.1184903210 0.117125814 0.00022035888 4.54501E-05 1.00153E-08 8.46818E-05 9.91843E-06 7.00146E-0744 0.1212036215 0.119839292 0.00019601298 4.16848E-05 8.17077E-09 6.90857E-05 8.27919E-06 6.05798E-0745 0.1239169220 0.122552763 0.00017463374 3.81924E-05 6.66968E-09 5.63937E-05 6.9112E-06 5.23578E-0746 0.1266302224 0.125266226 0.00015582605 3.49582E-05 5.4474E-09 4.6059E-05 5.76964E-06 4.52052E-0747 0.1293435229 0.127979682 0.00013925187 3.19679E-05 4.4516E-09 3.76393E-05 4.81706E-06 3.89928E-0748 0.1320568234 0.130693132 0.00012462133 2.92072E-05 3.63984E-09 3.07756E-05 4.02217E-06 3.3605E-0749 0.1347701238 0.133406576 0.00011168534 2.66618E-05 2.97773E-09 2.51774E-05 3.35883E-06 2.89384E-0750 0.1374834243 0.136120014 0.00010022944 2.43182E-05 2.4374E-09 2.06087E-05 2.80526E-06 2.49015E-07

)/t(L *ik

*i )/t(xLp *

ii

n

1i

*ii )/t(xLp

iPOSTp *iPOST xp

i 2AACTUALIZAD

*iPOST xp

i ip

Paso 8: Graficar en el eje horizontal los 50 valores *i (columna 3) y en el eje vertical una serie con los 50 valores de la

probabilidad previa “ ip ” (columna 4) y otra serie con los 50 valores de probabilidad posterior o actualizada “iPOSTp ”

(columna 8). En la Figura 2.146 pueden observarse las distribuciones previas y posterior de la tasa de fallas de las bombas electrosumergibles.

Failure Rate Bayes Updating

0.00000

0.02000

0.04000

0.06000

0.08000

0.10000

0.12000

0.14000

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Failure Rate (años-1)

Pro

bab

ility

Prior Distribution


Figura 2.146 Distribución Previa y Distribución Posterior de la tasa de falla para Bombas Electrosumergibles.


222

Paso 9:

Con los valores calculados en las columnas 9 y 10 de la tabla 2.58; se puede calcular la media y la desviación estándar de la distribución actualizada de la tasa de fallas; utilizando las ecuaciones 2.250 y 2.251 respectivamente.

Valor Esperado de la Tasa de Fallas Actualizada:

50

1i02619.0*

ixiPOSTpAACTUALIZAD años -1

Desv. Estándar de la Tasa de Fallas Actualizada:

00021.050

1i

2AACTUALIZAD

*ixiPOSTpAACTUALIZAD

años-1

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