INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Se expresa como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales. Ejemplo:

Si )(xP y )(xQ son polinomios y 0)( xQ , entonces es posible escribir

)(

)(

xQ

xP como una suma

de fracciones racionales simples; es decir: nFFFxQ

xP ...

)(

)(21

La suma nFFF ...21

es la descomposición en fracciones parciales )(

)(

xQ

xP de y cada F se

llama fracción parcial.

Si )(

)(

xQ

xP es impropia expresar esta fracción como una división de polinomios, en otras palabras

expresar )(

)(

xQ

xPen la forma:

)(

)()(

)(

)(

xQ

xrxq

xQ

xP

Ejemplo: Calcular la integral 4

1310

)(

)(2

24

x

xxx

xQ

xP

Casos que se presentan .

1º. Cuando el denominador es un producto de factores lineales distintos. Se determinan las constantes reales únicas nAAA ,, 21 tal que:

nn

n

bxa

A

bxa

A

bxa

A

xQ

xP

...

)(

)(

2

2

1

1

Ejemplo 1:

dxxxx

xx

232

1223

2

Ejemplo 2:

dxxxx

x

2

123

2º. Cuando el denominador es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten. Se determinan las constantes reales únicas nAAA ,, 21 tal que:

nn

bax

A

bax

A

bax

A

xQ

xP

)(...

)()(

)(2

21

Ejemplo 1:

dxxx

xx32

3

)1(

1Ejemplo 2:

dx

xxx

xxx

1

14223

4 2

Ejemplo 3:

dxxx

xx2

2

)1)(32(

73

3º. Cuando el denominador contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite. Se determinan las constantes reales únicas nAAA ,, 21 tal que:

nnn

nn

cxbxa

BxA

cbxa

BxA

cxbxa

BxA

xQ

xP

2

222

2

22

112

1

11 ...)(

)(

Ejemplo 1:

dxxx

xx

4

423

2

Ejemplo 2:

dxxx

xx

2

3223

2

4º. Cuando el denominador contiene un factor cuadrático irreductible repetido. Se determinan las constantes reales únicas nAAA ,, 21 tal que:

nnnn

nn

cxbxa

BxA

cbxa

BxA

cxbxa

BxA

xQ

xP

)(...

)()(

)(22

222

2

22

112

1

11

Ejemplo:

dxxx

xxx22

32

)1(

21 Ejemplo:

dxxxx

x22 )54(

2

Evaluar las siguientes integrales descomponiendo en fracciones parciales .

1. dx

xx )1)(32(

3

2. dx

x

x

2

3.

25

9

xx

xdx

4.

dxxx

xx2

2

613

129

5.

dxxx

x2

2 1

6. dx

xx 15

12

7. dxxx

xxxx

3

234 1

8. 22 1xx

dx

9.

dxxx

xx23

2

2

235

10. dx

x

x3

2

1

11. dx

xx 36

1

12. dx

x 1

13

13.

dxxx

xx

11

5432

2

14. dxx

x 13

3

15.

dxxx

xxx

21

13222

23

16. dx

xx

dx24

17.

dxxx

xx

11

1222

2

18.

dxxx

xxx

21

13222

23

19.

dxxx

xxx

45

1224

23

20.

dx

xx

x22

4

1

1

Ejercicios de aplicación. Calcula las siguientes integrales utilizando el método de fracciones parciales.

1.

1)2(

12

xx

x

2. 21)2( xx

dx

3. 62

2

xx

dxx

4.

xx

xx3

2

4

126

5. dxxx

x

472

114

6.

xxx

dxx

2

)24(23

7.

dxxx

xx

253

52692

2

8. dxxx

x

3)1(

23

9. 23 3xx

dx

10.

dxxx

xx3

2 14

11. 22 )1(xx

dx

12. 23

2 13

xx

xx

13.

dxxx

xx2

2

)1)(32(

73

14. dx

xx )1()2(

12

15.

254

511523

2

xxx

xx

16.

dxxxx

xxxx

35

745323

234

17. dxxx

xx

45

4

2

122

18.

dxxxxx

xxx

441169

17523024234

23

19. dxxx 1816

124

20.

dxxxx

xxx

1

14223

24

21. dx

ee

exx

x

)4)(1(

22. dx

bxax ))((

1

23.

dxxx

xx22

2

)1()3(

965

24. dxxx

x

)4(

)4(2

25. dxx 116

14

26. dxxxx

xx

)842

)44(23

2

27. dxxx

xx

)1)(12(

)1(2

2

28. dxxx

xx

4

41333

3

29. dxxxx

xx

1

)(23

2

30. dxxx 249

1

31. xxx

dx23

32. dxxxx

x

234 44

)3(

33. dxxxx

xx

35

2

2

)22(

34. dxxxx

xx

)3)(32(

)92(22

3

35. dxxx

xxx

22

23

)52(

)10155(

36. dxxxx

xx

464

)232(23

2

37. dxxx

xxxx

)3)(8(

)3224946(23

234

38. dxx

x 14

4

39. dxxx 1

124

40. dxxxx )1)(1(

12

41. dxx

xx

16

454

3

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN EL CONTEXTO REAL

1. Según la asociación industrial de telecomunicaciones celulares, la razón de crecimiento del número de suscriptores de teléfonos celulares (en millones) desde que comenzó el servicio está dado por

donde x es el número de años desde 1985, cuando el servicio comenzó. Había 0,25 millones de suscriptores en 1985. Encuentre una función que dé el número de suscriptores en el año x.

2. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por . Encuentre el precio en

función de x.

3. La tasa a la que la población de México ha estado creciendo en años recientes está dada por , donde t = 0 corresponde a 1980 y f(t) está en millones por año. Suponga que la

población era de 68 millones en 1980 y que la razón de crecimiento sigue siendo la misma.a) Encuentre la regla de la función de población F)t) que da la población en el año t.b) ¿Cuál es la población en el año 2000?

4. La ganancia marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es y la “ganancia” cuando ningún artículo se vende es de -$40. Encuentre la función de ganancia.

5. El departamento de investigación de una cadena de ferreterías ha determinado que en una tienda el

precio marginal de x cajas de un tipo particular de clavos es . Encuentre la función

de demanda p(x) si la demanda semanal de este tipo de clavos es de 10 cajas cuando el precio de una caja de clavos es de $4.

6. En la ciudad de Lima, el uso de los cinturones de seguridad se ha incrementado desde que se aprobó una ley al respecto en 1986. La razón de cambio (en por ciento) de conductores que usan cinturones en el año x, donde 1985 corresponde a x = 0, se modela por . En 1985; el 0,26%de los conductores usaron cinturones de seguridad.

a) Encuentre la función que da el por ciento de conductores que usan cinturones en el año x.b) De acuerdo con esta función, ¿qué por ciento de conductores usaron cinturón en 1993?

7. La razón de cambio de las inversiones de Estados Unidos en el Perú (en miles de millones de dólares) desde 1987 está dada por donde x es el número de años desde 1987. En ese mismo año, las compañías estadounidenses invirtieron $13,8 mil millones en el Perú.

a) Encuentre una función que dé la cantidad invertida en el año x.b) A esta razón, ¿cuándo será la cantidad invertida en el Perú el doble de la inversión de 1987?

8. Una compañía actualmente produce 150 unidades por semana de producto. Por experiencia, saben que el costo de producir la unidad número x en una semana (esto es, el costo marginal) está dado por:

Determine el costo extra por semana al elevar la producción de 150 a 200

unidades por semana.

9. El ingreso marginal de una empresa está dado por:

10.

a) Determine la función de ingreso.

b) Encuentre la relación de demanda para el producto de la empresa.

10. El costo marginal de cierta empresa está dada por

.Si el costo de producir 200 unidades es de $22700. Encuentre:

a) La función de costo.

b) Los costos fijos de la empresa.

c) El costo de producir 500 unidades.

d) Si los artículos pueden venderse a $90 cada uno. Determine el nivel de producción que maximiza la

utilidad.

11. El costo marginal de los productos ABC es:

y el costo de fabricar 100 unidades es $1005. Los artículos se venden a $5 cada

uno. Determine el incremento en la utilidad si el volumen de venta es incrementado de 1000 a 2000.

12. La función de ingreso marginal de cierta empresa es:

a) Determine el ingreso obtenido por la venta de x unidades de ese producto.b) ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?

13. La función de utilidad marginal de una empresa es:

Si la empresa obtiene una utilidad de $310 al venderse 100 unidades. ¿Cuál es la función de utilidad de

la empresa?

14. La función de ingreso marginal de cierta empresa es:

a) Encuentre la función de ingreso.

b) ¿Cuál es el ingreso por la venta de 100 unidades?

c) ¿Cuál es la función de demanda del producto?

ECUACIONES DIFERENCIALES1. Definición de ecuación diferencial (ED) . Es una ecuación que contiene las derivadas o

diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

2. Clasificación de las ED . Se pueden clasificar según tres características: 2.1. Tipo. Pueden ser:

a) Ordinarias (EDO). Es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias; es decir, derivadas de una o más funciones de una sola variable independiente).

b) Parciales (EDP). Es aquella que contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o más variables independientes).

2.2. Orden. La determina la más alta derivada presente en ella.2.3. Linealidad. Una ecuación diferencial es lineal si presenta la siguiente forma:

Características de las ED lineales:a) La variable dependiente y todas sus derivadas sólo pueden tener exponente igual a uno.b) Los coeficientes sólo involucran la variable independiente x.

3. Solución de una ecuación diferencial . Una función f, definida en algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si al sustituirla en la ED la reduce a un a identidad. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser explícitas o implícitas.

Una ED tiene, generalmente, un número infinito de soluciones o una familia n-paramétrica de soluciones. El número de parámetros n, depende del orden de la ED.Cuando se asignan valores numéricos a los parámetros se obtiene una solución particular de la ED. En algunas ocasiones sed tiene una solución que no pertenece a la familia n-paramétrica, a tales soluciones se les llama singulares.

Ejercicios.I. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine el orden de la ED dada, diga si es lineal o no

lineal:

1. Tipo: ordinaria Orden: segundo Lineal

2. Tipo: ordinaria Orden: segundo No lineal

3. Tipo: ordinaria Orden: cuarto Lineal

4. Tipo: ordinaria Primer orden No lineal

5. Tipo: ordinaria Orden: segundo No lineal

II. En cada uno de los ejercicios, verifique que la función o funciones que se dan son una solución de la ecuación diferencial:

1.

2.

3.

4.

5.

Solución:

Sustituyendo:

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Son de la forma:

Para resolver una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, debemos conocer diversos métodos. El método que se emplee para resolverla depende de la forma particular que presente la ecuación:

1. Integración directa2. Ecuaciones separables3. Factor de integración

4. Sustitución apropiada5. Ecuaciones lineales6. Ecuaciones exactas7. Ecuación de Bernoulli8. Ecuaciones homogéneas

I. INTEGRACIÓN DIRECTA . La ecuación diferencial de primer orden toma una forma

particularmente simple si en la función no aparecen términos con :

En este caso, para halar la solución general basta con integrar ambos miembros de la igualdad, obteniéndose:

Ejercicios. Encuentre una función que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas:

1.

Solución: → separando variables

→ aplicando la integral

→ integrando → sustituyendo las variables con las condiciones iniciales

2.

Solución:

→ separando variables

→ aplicando la integral

→ Integración por sustitución

→ sustituyendo las variables con las condiciones iniciales

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Encuentre la función de posición de una partícula móvil con aceleración , posición inicial

y velocidad inicial

10.

Solución:

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. Una pelota se deja caer desde lo alto de un edificio de 400 metros de altura. ¿Cuánto tardará en

llegar al suelo? ¿Con qué velocidad golpeará el piso?

18. Los frenos de un carro son aplicados cundo éste se mueve a 100 Km/h y proporcionan una

desaceleración constante de 10 m/s en cada segundo ¿Cuánto avanzará el carro antes

de detenerse?

19. Una pelota se arroja hacia arriba desde el nivel del suelo. Su velocidad inicial es de 160

¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿Cuánto tiempo permanece en el

aire?

20. Una pelota es arrojada directamente hacia abajo desde lo alto de un elevado edificio. La

velocidad inicial de la pelota es de 10 m/s. Si cae al piso con una velocidad de 60 m/s. ¿Cuál es

la altura del edificio?

21. Una pelota de béisbol es arrojada directamente hacia abajp con una velocidad inicial de 40 m/s

desde lo alto de un monumento (555 metros de altura). ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al piso

y con qué velocidad lo hará?

22. Una bomba se deja caer desde un globo suspendido a una altitud de 800 metros. Un cañón esrá

emplazado en el suelo directamente abajo del globo. El cañón dispara un proyectil directamente

hacia arriba, hacia la bomba, exactamente 2 seg. después de que la bomba es soltada. ¿Con

qué velocidad inicial debe ser disparado el proyectil de modo que intercepte la bomba a una

altura de exactamente 400 metros?

II. ECUACIONES SEPARABLES . Es una ecuación diferencial de primer orden que puede ser

llevada a la forma: ; es decir, tiene variables separables.

Para resolver ecuaciones separables se integra en ambos miembros de la igualdad. La solución, por lo general, es una función implícita.

Ejercicios. Resuelva las ecuaciones diferenciales dadas:1.Solución:

→ separando variables

→ aplicando la integral

→ Integrando

2.

Solución:

→ separando variables

→ aplicando la integral

→ Integrando

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

Ejercicios de aplicación. I. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, sujetos a las condiciones iniciales :

1. donde 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. La pendiente de una familia de curvas en cualquier punto está dado por

. Halle la ecuación del

miembro de la familia que pase por el punto

14.

15.

16.

17. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de tal manera que su velocidad es proporcional al producto de su posición instantánea x (medida de x = 0) y el tiempo t (medida de t =0). Si la partícula está localizada en x = 54 cuando t = 0 y x = 36 cuando t = 1. ¿Dónde estará cuando t = 2?

II. Encuentre las soluciones generales (implícitas o explícitas) de las siguientes ecuaciones diferenciales.

1.

2.

3.

4.

5.

III. Encuentre las soluciones particulares explícitas con condiciones iniciales.

1.

2.

3.

4.

5. Cierta ciudad tenía una población de 25000 habitantes en 1960 y una población de 30000 habitantes en 1970. Suponiendo que su población continúe creciendo exponencialmente con un índice constante. ¿Qué población puede esperar los urbanistas que tenga la ciudad en el año 2000? ¿En el año 2012?

6. En cierto cultivo de bacterias, el número de éstas se ha sextuplicado en 10 horas. ¿Qué tiempo tardó la población en duplicar su número inicial?

7. El carbono extraído de un cráneo antiguo contenía solamente una sexta parte del carbono

extraído de un hueso de los tiempos reales. ¿Cuál es la antigüedad del cráneo? 8. El carbono extraído de una reliquia característica de los tiempos de Cristo contenía

átomos de por gramo. El carbono extraído de un espécimen actual de la misma sustancia contiene átomos de por gramo. Calcule la edad aproximada de la reliquia. ¿Cuál es su opinión sobre la autenticidad de la reliquia?

9. Cuando nació su primer hijo, una pareja depositó en una cuenta de ahorros $5000 bajo interés compuesto continuo al 8%. Se dejó que se acumularan los intereses devengados. ¿A cuánto ascenderá la cuenta en el decimoctavo cumpleaños del niño?

III. ECUACIONES LINEALES . Es de la forma:

Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, se procede de la siguiente manera:1°. Se divide la ecuación por el coeficiente de con el objeto de llevar la ED a la forma:

2°. Se identifica la función y se determina el factor integrante:

3°. Se multiplica la ecuación obtenida en 1° por el factor integrante.

4°. Como el lado izquierdo de la ecuación en 3° es la derivada del producto del factor integrante y la variable

dependiente y, se escribe:

5°. Se integra ambos miembros de la ecuación en 4°.

Ejercicios.I. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada:

1.Solución:1°. Tiene la forma

2°. Factor integrante:

3°. Multiplicando:

4°. Operando:

5°. Integrando:

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

II. Verifique por sustitución que cada función dada es una solución de la ecuación diferencial considerada.1.

Solución:

2.

Solución:

Sustituyendo:

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

III. Compruebe primero que y(x) satisface la ecuación diferencial dada. Entonces, determinar un valor de la

constante C de modo que y(x) satisfaga la condición inicial dada.1.

Solución:

Sustituyendo:

Por condición inicial:

2.

3.

4.

Solución:

Sustituyendo:

Por condición inicial:

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Encuentre soluciones generales de las ecuaciones diferenciales planteadas. Si se da una condición inicial, encuentre la solución particular correspondiente.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

MISCELÁNEAI. Hallar la ecuación diferencial a partir de la solución general dada:

1.

Solución:

→ 1

→ 2

Sustituyendo 2 en 1:

→ 3

→ 4

Sustituyendo 4 en 3:

2.

Solución:

→ 1

→ 2

Sustituyendo 2 en 1:

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

II. Demuestre que y es una solución de la ecuación diferencial dada:1.

2.

3.

III. Encuentre las constantes A, B y C tales que la función satisfaga la ED

IV. Resuelva la ecuación diferencial por el método de separación de variables.

1.

2.

3.

4.

V. Verificar que las siguientes funciones (explícitas o implícitas) son soluciones de las correspondientes

ecuaciones diferenciales.1.

2.

3.

4.

VI. Hallar la solución general de cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes:

1.

2.

3.

4.

VII. Para cada una de las ED siguientes, hallar la solución particular que satisface la condición inicial

dada:1.

2.

VIII. Hallar la solución general de cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes que pasa por el

punto dado:

1.

2.

3. Para la ecuación diferencial