Integral Indefinida
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Working Adult Matemática 2: Ciclo 2011-5
1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
PRIMERA UNIDAD
ANTIDERIVADA, INTEGRAL INDEFINIDA, TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
ANTIDERIVADA Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual fuga el agua de un tanque
quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto tiempo. Un administrador
que conoce el costo marginal de una producción puede interesarse en deducir el costo
total de la producción. En cada caso, el problema es hallar una función cuya derivada
sea una función conocida. Si existe tal función F, se le denomina una ANTIDERIVADA
de f.
Definición:
Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I si:
( ) ( ); F x f x x I
Ejemplo:
Sea 2
( )f xx
una antiderivada es ( ) 4F x x porque 2
( ) ( )F x f xx
Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I es: ( )F x C ; donde C es una constante arbitraria.
Ejemplo:
- La antiderivada más general de ( )f x sen x es ( ) cosF x x C
- La antiderivada más general de ( ) 2f x x es 2
( ) 23
F x x x x C
Definición: Al conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se le llama INTEGRAL INDEFINIDA de
( )f x y se representa por:
( ) ( )f x dx F x C
Ejemplos: 1. cos xdx sen x C 2. Cxdxx
ln1
2 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
Sean gf , funciones derivables, además ck, constantes, entonces tenemos:
1. duufkduukf )()(
2. ( ) ( ) ( ) ( )f u g u du f u du g u du
3. 0du C
4. du u C
5. kdu ku C
6. n 1
n uu du C
n 1
7. du
ln | u | Cu
8. u ue du e C
9. u
u aa du C, a 0,a 1
ln a
10. Sen(u)du Cos(u) C
11. Cos(u)du Sen(u) C
12. cossenku
ku du ck
13. cuduusen cos
14. ck
ukdukusen
cos
15. Tan(u)du ln | Cos(u) | C
16. Ctg(u)du ln | Sen(u) | C
17. u
Sec(u)du ln | Sec(u) Tan(u) | C ln Tan C2 4
18. u
Csc(u)du ln | Csc(u) Ctg(u) | C ln Tan C2
19. 2Sec (u)du Tan(u) C
3 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
20. 2Csc (u)du Ctg(u) C
21. Sec(u)Tan(u)du Sec(u) C
22. Csc(u)Ctg(u)du Csc(u) C
23. 2 2
du 1 uacrtg C
a au a
24. 2 2
du 1 u aln C
2a u au a
25. 2 2
du 1 u aln C
2a u aa u
26. 2 2
du uarcSen C
aa u
27. 2 2
2 2
duln u u a C
u a
28. 2 2
2 2
duln u u a C
u a
29. 2
2 2 2 2u a ua u du a u arcSen C
2 2 a
30. 2
2 2 2 2 2 2u au a du u a ln u u a C
2 2
31. 2
2 2 2 2 2 2u au a du u a ln u u a C
2 2
32. 2 2
du 1 | u |arcSec C a 0
a au u a
4 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
1. INTEGRACIÓN DIRECTA
Se trata aquí de lograr las primitivas en forma inmediata cono el conocimiento de
derivadas y la aplicación de la tabla básica considerando algunos recursos
algebraicos y las propiedades señaladas.
Ejemplos:
1. cxx
dxxdxx 66
55
6.666
2. 4 3 2
3 23 5 3 4 3 5 3 44 3 2
x x xx x x dx x c
3. 2
3 ( 2 3 3) 2 3 3x dx x x dx x dx xdx dx
23 22 3
32 3 2
/
/
xx x c
4. 3/ 2 5/ 221 1 ( 1)
5x x x dx x dx x x c
5.
dxx
xdx
x
xdx
x
xdx
x
xxx3/2
6
3/2
2
3/2
5
3 2
625
2323
13/3 4/3 16/3
16/3 7/3 19/3
3 2
9 6 3
16 7 19
x dx x dx x dx
x x x c
6.
169
16
16
16
916
16
25
22
2
2
2
2
2
x
dxdx
x
xdx
x
xdx
x
x
16916
16
25
2
2
2
2
x
dxdxxdx
x
x
Luego:
cxxxxxxdxx
x
16ln916ln1616
2
1
16
25 222
2
2
5 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
2. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Si se tiene dxxf )( , una integral no inmediata; se trata de hacer el cambio:
( )x g t , entonces ' '( )x g t dt para llegar a
( ) ( ( )) ( )f x dx f g t g t dt
Ejemplos:
1. 21 2 y y dy
Solución
Sea 21u y , entonces 2du ydy
Luego en la integral se tiene: 3
22 1/21 2
3
2
uy ydy udu u du C 3/22
3u C
Reemplazando u por 21 y
3/2
2 221 2 1
3y ydy y
2. 5 2 5x x dx
Solución:
Haciendo 25 2u x du xdx ;
2
duxdx
Luego reemplazamos en la integral:
6/55 2 1/5 6/55 1 1 5
52 2 2 6 / 5 12
du ux x dx u u du C u C
6/5
255
12x C
6 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
3. dxxx 243 3.)1(
Solución:
Haciendo dxxduxu 23 31 ; luego reemplazamos en la integral
cu
duudxxx 53.)1(
54243
cx
dxxx
5
)1(3.)1(
53243
4. 6
9 7 1
xdx
x
Solución:
Haciendo 7 6 61 77
duu x du x dx x dx luego reemplazamos en la
integral
6 8/91/9 8/9
1/9 1/99 7
1 1 1 97
7 7 7 8 / 9 561
du
x du udx u du u C
u ux
6
8/97
9 7
91
561
xdx x C
x
5. dxxxsen cos.
Solución:
En primer lugar hacemos el siguiente cambio de variable
dxxdtsenxt .cos , luego reemplazamos en la integral obteniendo:
Ct
dttdxxxsen 2cos.
2
Finalmente tenemos que:
Cxsen
dxxxsen 2
)(cos.
2
7 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
6. cosdx
xx
Solución:
Haciendo 2
dxu x du
x
2 dx
dux
cos cos 2 2 cos 2 2dx
x u du u du senu C sen x Cx
7. 2 2cos ( )
xdx
x
Solución:
2 2
2 2sec ( )
cos ( )
xdxx x dx
x
Haciendo 2 2 u x du x dx
2
dux dx
Entonces 2 2 2 2 21 1 1sec ( ) sec sec
2 2 2 2
dux x dx u u du tgu C tg x C
8. sec x dx
Solución:
sec (sec tan )sec
sec tan
x x xx dx dx
x x
2sec sec tan
sec tan
x x xdx
x x
Haciendo 2sec tan sec tan secu x x du x x x dx
Por lo tanto
sec x dx 2(sec sec tan )
sec tan
x x xdx
x x
lndu
u Cu
ln sec tanx x C
8 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
9. x
dx
e
Solución:
Haciendo 2 x xu e u e
2 xu du e dx
22 u du u dx
2
du dxu
Reemplazando en la integral tenemos:
2 2
2 1 2 22
x x
dxdu du C C
u u ue e
10.
1
x dx
x
Solución:
Haciendo 2 21 1 1u x u x u x
Además 2 u du dx
Reemplazando en la integral tenemos:
2 3
2 3 1 22 2 1 2 2
3 31
x dx u uudu u du u C u u C
ux
32
1 2 13
x x C
11. 2cos
tg xdx
x
Solución
Haciendo 2
1
costg x u dx du
x , tenemos que
2
2
2
cos 2
( )
2
tg x udx u du C
x
tg xC
9 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
12.
cxxx
dx1)1(1ln
1)1(
2
2
13.
3
1
)1(3 2
xarcsen
x
dx
14. 2 2 22 1 ( 1) ( 2)x x dx x dx
2 21
( 1) 2. ln 1 ( 1) 22
xx x x c
15. Hallar3 ln x
dxx
Solución
Sea lnu x , entonces 1
du dxx
Luego en la integral se tiene:
1
2
1
3 ln 3 ln ln3ln
3ln 3ln2
x x xdx dx x C dx
x x x x
ux C udu x C
Reemplazando u por ln x , tenemos
23 ln (ln )3ln
2
x xdx x C
x
16. 2 6 25
dx
x x
Solución
Completando cuadrados: 2 2 2 2 26 25 ( 3) (3) 25 ( 3) (4)x x x x
c
x
x
dx
x
dx
xx
dx
4
3arctan
4
1
4)3(16)3(256 2222
17. 21 ln
dx
x x
Solución
2 2.....................(1)
1 ln 1 ln
dx
dx x
x x x
10 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
Sea ln ...............................(2)dx
u x dux
Reemplazando (2) en (1) se tiene
2 2( ) (ln )
1 ln 1
dx duarcsen u c arcsen x c
x x u
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encuentre la antiderivada G de f que satisfaga la condición dada:
1. 4 5f (x) 5x 2x , G(0) 2
2. 2 1f (x) 4 3(1 x ) , G(1) 0
3. f (x) 1 6x, G(0) 8
4. 3f (x) 8x 12x 3, G(1) 6
5. f (x) 3 x 1 x , G(1) 2
2. Calcular las siguientes integrales:
1. 23 5 2t t dt
2. 2 2( 5)x x dx
3. dxx
xx
5
24
2
1
4. 4(2 3 )x x dx
5. 3/2 5( 5)x x dx
6. dxxx )42( 4
7.
dxx
xexx x
3
23 3
8. 3
3
1x dx
x
9.
dxx
xx 3
2
23
10. x ln x
dxx
11. dx
2x
12. 216 x
dx
13. 3
4
1
4 1
xdx
x x
14. 24 ( 2)
dx
x
15. 2 2 13
dx
x x
16. sen 2xdx
17. cos(7 )x dx
18. sec3t tan3t dt
19. 3
( )5
xsen dx
20. 4
1 cossenx x dx
21.
dtt
2
6cos1
22. 2cos 1senx x sen x dx
23. dxxxx )cot.csc(csc2
1 2
24. dxxxx )sec2tan.sec4( 2
25. 2sec x dx
a btgx
11 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
26. d)tan2( 2
27. 2
1
cos 1dx
x tgx
28. 1 cos
sen xdx
x
29. x
dx
e
30. 4xe dx
31. 65 1 xx e dx
32. (1 ln )xe x x
dxx
33. x
x
edx
a be
34. dxxe x
2
33
35. 2ln x
dxx
36. 2
3 6
2 8 3
xdx
x x
37. 216 x
dx
38.
dxee xx
2
39. dxee xx
21
40. x
x
edx
a be
41. 3 23 2 11t t dt
42. d)cot1( 2
43.
dxee xx
2
44. 225 9
dx
x
45. 2 35 1 5 3 2 x x x dx
3. Encuentre la función de costo para cada una de las siguientes funciones de costo
marginal:
a) 2( ) 3 2dC
C x x xdx
; el costo fijo es de $10
b) 2( ) 110 2800dC
C x x xdx
; el costo fijo es de $5000
c) ( )dC
C x xdx
; 16 unidades cuestan $60
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12
4. Resolver los siguientes problemas:
1. La utilidad marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es 2( ) 4 6 3P x x x , y la utilidad cuando ningún artículo se vende es de -40
dólares. Encuentre la función de utilidad.
2. Si el ingreso marginal mensual por un producto es IM = –0,4x + 30, Encuentre la
función del ingreso total.
3. Si el ingreso marginal mensual por un producto es IM = –3x + 20, Encuentre la
función del ingreso total.
4. La función de costo marginal para un artículo particular está dada por 1/ 2( ) 3(5 4)C x x . Si el costo general es de $10, determine la función de costo total.
5. Se estima que dentro de t años, el valor V(x) de un acre de tierra cultivable
crecerá a una tasa de 3
4
0.4( )
0.2 8000
xV x
x
dólares por año. Actualmente la
tierra vale $500 por acre.
a) Determine V(x)
b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años?
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
13
3. INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de integración por partes es de mucha utilidad en la práctica, el cual nos
permite resolver un gran número de integrales no inmediatas, que se obtiene de la
fórmula para la derivada del producto de dos funciones. Si f y g son funciones
diferenciables, entonces
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d
f x g x g x f x f x g xdx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d
f x g x f x g x g x f xdx
Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d
f x g x dx f x g x dx g x f x dxdx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x g x f x dx ……………… (1)
La fórmula (1) recibe el nombre de fórmula de integración por partes. Para los
propósitos de cálculo, una forma más conveniente de esta fórmula se obtiene al
considerar ( )u f x y ( )v g x .
Entonces ( )du f x dx y ( )dv g x dx de modo que (1) se transforma en
OBSERVACIÓN:
El éxito en la integración por partes consiste en determinar adecuadamente la
función u. Se sugiere que la función u se tome la que mas se simplifica al
derivar.
dv debe ser integrable
-udv uv vdu
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14
Ejemplos:
1. Hallar xsenx dx
Solución:
Haciendo u x , du dx
dv senx dx
dv senx dx
cosv x
xsenx dx = ( cos ) ( cos )
dv v vu u du
x senx dx x x x dx
= cos cos x x x dx
cosx x senx c
2. Hallar ln x dx
Solución:
Haciendo lnu x , 1
du dxx
dv dx
dv dx
v x
Integrando por partes tenemos: ln x dx uv v du
Reemplazando: 1
ln lnx dx x x x dxx
lnx x dx
lnx x x
3. 2 ln x x dx
Solución:
Haciendo lnu x y 2dv x dx ; tenemos:
1
du dxx
2dv x dx
3
3
xv
Entonces 3 3
2 1ln ln
3 3
x xx x dx x dx
x
3 2
ln3 3
x xx dx
3 3
ln3 9
x xx C
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15
4. 2 2xI (x 3x 1)e dx
Solución:
Haciendo 2 3 1 (2 3)u x x du x dx Y 2
2
2
xx e
dv e dx v ;
Luego: 2 2
2 2 2
( 1 )
( 3 1) ( 3 1) (2 3)2 2
x xx e e
x x e dx x x x dx
Luego volveremos a aplicar integración por partes en (1) para encontrar la integral
dada. 2
1 (2 3)2
xeI x dx
Haciendo 2 3 2u x du dx Y 2 2
2 4
x xe edv dx v ;
Luego: 2 2 2 2
1 (2 3) .2 (2 3)4 4 4 4
x x x xe e e eI x dx x C
Ahora reemplazamos I1 en (1).
2 2 2
2 2 2( 3 1) ( 3 1) (2 3)2 4 4
x x xx e e e
x x e dx x x x C
5. 23 xx e dx
Solución:
Haciendo 2u x Y 2xdv xe dx ; entonces:
2 du x dx 2xdv xe dx
2xv xe dx
Para hallar 2xxe dx se tiene:
Por sustitución: 2 2 t x dt x dx 2
dtx dx
Luego 22 1 1 1
2 2 2 2
x t t t xdtxe dx e e dt e e
Por lo tanto
2
2
xev
Luego
2 2
23 2 2 2 2
x xx e e
x e dx x x dx
2
2 22
3 2
xx xx e
x e dx xe dx
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16
2 2
22
3
2 2
x xx x e e
x e dx C
2
23 2 12
xx e
x e dx x C
6. 1 x x dx
Solución:
Haciendo u x Y 1 dv x dx ; tenemos:
du dx 1 dv x dx
3/2 3/21 2 1
3 / 2 3
x xv
Entonces
3/2 3/22 1 2 1
1 3 3
x xx x dx x dx
3/2
3/22 1 21 1
3 3
x xx x dx x dx
3/2
5/22 1 2 21 1
3 3 5
x xx x dx x C
3/2 5/22 4
1 1 13 15
x x dx x x x C
7. 2ln( 2) x dx
Solución:
Haciendo 2ln( 2)u x Y dv dx ; tenemos:
2
2
2
xdu dx
x
v x
Tenemos: 2
2 2
2
2ln( 2) ln( 2)
2
xx dx x x dx
x
2 2
2
4ln( 2) ln( 2) 2
2x dx x x dx
x
2 2
2
4ln( 2) ln( 2) 2
2x dx x x dx dx
x
2 2 1ln( 2) ln( 2) 2 4
2 2
xx dx x x x arctg
2 2ln( 2) ln( 2) 2 2 2 2
xx dx x x x arctg C
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17
Integrales trigonométricas
Las identidades que se utilizan en la resolución de las integrales trigonométricas son las
siguientes.
1. sen2x + cos
2x = 1;
2. 1+ tan2x = sec
2x;
3. 2 21 cot cscx x
4. 2 2 cossen x senx x
5. 2 2cos2 cosx x sen x
6. 2 1 cos 2
2
xsen x
7. 2 1 cos 2cos
2
xx
8. 1
cos ( ) ( )2
senx y sen x y sen x y
9. 1
cos( ) cos( )2
senx seny x y x y
10. 1
cos cos cos( ) cos( )2
x y x y x y
Ejemplos:
1. Hallar 3cos x dx
Solución:
3 2 2cos cos . cos 1 . cos x dx x x dx sen x x dx
Haciendo cos u senx du x dx
En 3 2cos 1 . cos x dx sen x x dx
21 u du
2du u du
3
3
uu C
3
3
senxsenx C
2. Hallar 4 tg x dx
Solución:
4 2 2 2 2 . sec 1 tg x dx tg x tg x dx tg x x dx
4 2 2 2 sec tg x dx tg x x tg x dx
2 2 2.sec tg x x dx tg x dx
2 2 2
( )
.sec sec 1 d tgx
tg x x dx x dx
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18
2 2 sectg x d tgx dx dx
3
3
tg xtgx x C
3. Hallar 3 4 cos sen x x dx
Solución: 3 4 2 4 cos cos sen sen x x dx sen x x x dx
2 4 4 61 cos cos sen cos cos sen x x x dx x x x dx
4 6cos cos x senx x senx dx
4 6cos cos x senx dx x senx dx
Haciendo cos u x du senx 3 4 4 6 cos sen x x dx u du u du
5 7
5 7
u uC
5 7cos cos
5 7
x xC
4. Hallar 5 cos 4 sen x x dx
Solución:
5 4 +sen 5 45 cos 4
2
sen x x x xsen x x dx dx
1
5 cos 4 9 2
sen x x dx senx sen x dx
1 cos9
cos2 18
xx C
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19
EJERCICIOS PROPUESTOS
Usando el método de cambio de variable, calcular las siguientes integrales:
1. 1
3 4dx
x
2. 2
3 3 3
x dx
3. 4 3
dx
x x
4. (3 2ln )
dx
x x
5. 2
1
(ln )dx
xsen x
6. 2
cos
cos 2 4
senx xdx
x
7. 22 1 3 4 4
dx
x x x
8. 2ln 4 ln
dx
x x x
9. 2sec ( )ax b dx
10. 3 4 x x dx
11. 25 ( 1) x x dx
12. 2(1 ) xsen x dx
13. tgx dx
14. ctgx dx
15. x
ctg dxa b
16.
5
dx
xtg
17. dxtg x
x
18. 2( 1)xctg x dx
19. cos
dx
senx x
20. 3
3 cos3
sen xdx
x
21. 2 2
cos
cos
senx xdx
x sen x
22. 3 2tan sec3 3
x xdx
23. 2
tancos
dxx
x
24. 3
4
1
4 1
xdx
x x
25. 3
8 5
xdx
x
26. 2
2
3 2 3
2 3
xdx
x
27. 2
3 3 1
x dx
x
28. 3 1 ln x
dxx
29. tan 11
dxx
x
30. 24 ln
dx
x x
31. 2
sec .tan
sec 1
x xdx
x
32. 2 1
dx
x x
33. 2 cos 4 sen x x dx
34. 3 2 sen x sen x dx
35. 2
2
sec
tan 4 tan 1
xdx
x x
36. 2 1 x x dx
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA
20
Usando el método de integración por partes calcular:
1. 2 x senx dx
2. lnnx xdx
3. 3 2xx e dx
4. 2(1 )
xxedx
x
5. 3 3xx e dx
6. x dx
a bx
7. (ln ) sen x dx
8. 3 senx sen x dx
9. cos axe bx dx
10. axe senbx dx
11. 2 3 sec tg x x dx
12. ln 1
1
xdx
x
13. 2ln 1x x dx
14. 2ln 1x x dx
15.
2
ln
1
xdx
x
16. 2/3 ln 3x x dx
17. cos x senx x dx
18. 2 5 6 cos2 x x x dx
19. xe dx
20. 2 2 5 xx x e dx
21. xe senx dx
22. cos xe x dx
23. 2 cos3 xe x dx
24. 2 xe sen x dx
25. 9 56 3x x dx
26. 2cos 3
xdx
x
Resolver las siguientes integrales trigonométricas
1. 3(6 ).cos(6 ) sen x x dx
2. 3cos3
xdx
3. 4 sen x dx
4. 3 sen x dx
5. 2
cosx xdx
sen x