Integrales Con Polos en El Eje x

7/25/2019 Integrales Con Polos en El Eje x

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Facultad de Ingeniera UC

solo a los polos kz tales que 1kz < . Cabe recordar que el resultado de esta

integral debe ser un nmero real.

Ejemplo 1:

Calcular:2

20

1d

1 sen

+

Aplicando la frmula anterior:

2

2 20 2

1

1 1

111

2z

dzd

jzsenz

jz

=

=+

+

simplificando:

2

2 4 201

1 4

1 ( 6z

d dsen j z z

= 1)

z

=+ +

Ahora resolvemos la integral compleja aplicando el teorema de los residuos: Las

singularidades son:

1

2

3

4

1 2 1

1 2 1 ,polo simple

1 2 1 ,polo simple

1 2 1

z z

z z

z z

z z

= + +

3.-

+

2

02

2

21

)3(cos

aasen

d, (a, a1)

4.-2

20 1

dx

sen x

+

5.-0 3 2cos

dx

x

+

Pruebe que:

6.- ( )( )

2

220

2 !cos , 1,2,

2 !

n

n

nd n

n

= = (Frmula de Wallis)

7.-2

21 cos

d

=

+

8.-2

2 20

cos2, ( 1 1)

1 2 os 1

d aa

ac a a

=

= + =

Figura 2

Se observa que:1

( ) ( )r

rC

f z dz f x dx

=

6


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por lo que:

2Im( ) 0

( ) 2 Re ( ( ), ) ( )k

rk

rz C

f x dx j s f z z f z dz

>

=

haciendo que , nos queda:r

2Im( ) 0

( ) 2 Re ( ( ), ) lim ( )k

kr

z C

f x dx j s f z z f z dz

>

=

Ahora bien, si:

(4)2

lim ( ) 0r

C

f z dz

=

entonces:

Im( ) 0

( ) 2 Re ( ( ), )k

k

z

f x dx j s f z z

>

= (5)

La condicin 4ocurre cuando se cumple que:

lim . ( ( e ) ,0 ) 0jr

r Max f r

=

Debido a que de acuerdo con la desigualdad M.L., se tiene:

( )( )2

lim ( ) lim e . 0jr r

C

f z dz Max f r r

=

y en consecuencia:

2

lim ( ) 0r

C

f z dz

=

7


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Si consideramos la funcin racional ( ) ( ) ( )f z p z q z= , entonces podemos escribir:

11 0

1

1 0

( )( )

( )

n nn n

m m

m m

p z a z a z af z

q z b z b z b

+ + += =+ + +

donde suponemos que el grado del denominador es mayor al grado del

numerador. Si

m n

z tiende hacia infinito, los trminos de mayor grado predominan

sobre los dems, por lo que podemos intuir que:

( )

( )

n

n

m

m

l

p z a z k

q z b z z = , l m n=

As, sobre z r= , ( rgrande) podemos escribir:

( )

( ) lp z k

Mq z r

=

si , tenemos al menos:2l

2

2( )C

k kf z dz rr r =

con estas condiciones, nos queda:

2

lim ( ) 0r

C

f z dz

=

Como alternativa, podemos considerar como camino auxiliar para cerrar el

contorno y aplicar el teorema de los residuos a la trayectoria

2 : e , 2jBC z r=

, (figura 3), de tal manera que si se cumple que:

2

lim ( ) 0

B

rC

f z dz

=

8


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9

entonces:

Im( ) 0

( ) 2 Re ( ( ), )k

k

z

f x dx j s f z z

+ + +

=

Si consideramos a ( )f z tal que:

lim ( ) 0

A

rC

f z dz

=

entonces:

2C

C

rw

0Im( ) 00 0

lim ( ) lim ( ) 2 Re ( ( ), ) lim ( )r

rk

w r

kr wr r

z C

f z dz f z dz j s f z z f z dz

+ >

+ =

Figura 4

10


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parametrizando C:

: ,jrC z w e= +

0

El desarrollo en serie de Laurent en un entorno de (polo simple), tiene la

siguiente forma:r

w

( ) 10

( ) , 0( )

k

k r r

k r

bf z a z w z w

z w

=

= + <

<

Sustituyendo ( )f z por su desarrollo de Laurent dentro de la integral, y

sustituyendo a por (z jrw e+

), nos queda:

111

0 00 0

( ) k j j k ji ijk kC

b

0f z dz a e j e d j a e d jb d

e

+

= =

= + =

y tomando el lmite cuando 0 ,

1

10 00 0

0

lim ( ) lim k j

i

kC

f z dz j a e d jb d

+

=

=

1

10 00 0 0

0

lim ( ) lim limk jikC

f z dz j a e d jb d

+

=

=

( )10

lim ( ) Re ( , )RC

f z dz jb j s f z w

= =

finalmente se obtiene:

( ) ( )Im( ) 0

2 Re ( ( ), ) Re ( ,k

k R

z

)f x dx j s f z z j s f z w

>

= +

En general, si tenemos varios polos simples sobre el eje real tendremos:

( ) ( )Im( ) 0 Im( ) 0

2 Re ( ( ), ) Re ( ,k m

k m

z w


> =

= + (6)

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Si consideramos como camino auxiliar para cerrar el contorno a la

semicircunferencia2 : e , 2

j

BC z r= , en el semiplano inferior, y

: ,jB rC z w e= +

2 , como se muestra en la figura 5, se obtiene el

siguiente resultado:

( ) ( )Im( ) 0 Im( ) 0

2 Re ( ( ), ) Re ( ,k m

k m

z w


< =

= (7)

Figura 5

Ejemplo 3:

Calcular:( ) ( )

22

1

1 1

xdx

x x

+ +

En primer lugar, se verifican las condiciones establecidas para aplicar la frmula 6 y

como el grado del denominador es mayor al menos en 2 al grado del numerador,

entonces la integral de ( )f z sobre el contorno C es cuando r :2 0

Polos con Im( :) 0z >

(polo doble)1z j=

Polos simples en el eje real:

2 1z =

12


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Calculo de los residuos:

Residuo en z j= .

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 22

11 1Re , lim lim

1! 11 1z j z j

z z j zs f z j

z j zz z

= = = + ++ +

calculando previamente los trminos de la derivada del cociente:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2 2

1 1 , ( 1) 1 , 1 4

1 2 1 8 4

z j z jz j

z jz j

z j z z j z

z j z z j z z j j

= = =

==

= = + + =

+ + = + + + + = +

4j

queda:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( )2

1 4 4 1 8 4 8 8 1 1Re ,

32 4 44 4

j j j js f z j j

jj

+ += = = = +

Residuo en 1z= .

[ ]

( ) ( )2

2

1

1 1Re , 1

21 1

z

zs f z

z z=

= = =

+ +

finalmente:

( ) ( )[ ] [ ]2

2

12 Re , Re , 1

1 1

1 1 12 ( )4 4 2

xdx j s f j j s f

x x

j j j

= +

+ +

= +

y simplificando resulta:( ) ( )

22

1

21 1

xdx

x x

=

+ +

13


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Ejemplo 4:

Calculemos( )60

11

dxx

+

Esta integral no tiene lmites de integracin de - a , sin embargo, como el

integrando es una funcin par podemos calcular la integral original como:

( ) ( )126 60

1 1

1 1dx dx

x x

=

+ +

Las singularidades de la funcin integrando son las seis races sextas de -1.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

61 1

6 3

2 2

2

6 3

3 3

6

4 4

4

6 3

5 5

5

6 3

6 6

3 1, Im 0

2 2

, Im 0

3 1, Im 0

2 2

3 1 , Im 02 2

, Im 0

3 1, Im 0

2 2

j

j

j

j

j

j

z e j z

z e j z

z e j z

z e j z

z e j z

z e j z

+

+

+

+

+

= = + >

= = >

= = +

= = (8)

Demostracin:

Utilizando el valor principal de Cauchy para la integral impropia, y

transformndola a una integral compleja, se tiene:

( ) ( )limr

jax jaz

rr

f x e dx f z e dz

=

y segn el teorema de los residuos:

( ) ( ) ( )2

lim lim 2 Re ( , )

r

jaz jaz jaz

kr r

kr C

f z e dz f z e dz j s f z e z

+ =

donde es el contorno mostrado en la figura 2.2C

17


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Para demostrar el teorema basta con probar que:

( )2

lim 0jazr

C

f z e dz =

En efecto, aplicando la desigualdad ML al contorno :2C

( ) ( )2 2 2

jaz jaz jaz

C C C

f z e dz f z e dz M e dz

donde M es el ( )( )Max f z sobre , entonces:2C

( ) ( )2

(

0 0ejaz jt ja rcoost jrsent ar sent

C

f z e dz f r e r dt Me r dt+ = =

como:

, 02

tsen t t

y 0a>

entonces:

2 2

0 0 02 2

tar

ar sent ar sent Me r dt M e r dt M e r dt M

=

=

en conclusin:

( )A

jaz

C

f z e dz M

Si hacemos que yr

( )( )lim 0r

M Max f z

= =

18


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se obtiene:

( )2

lim 0jazr

C

f z e dz =

y entonces:

( ) ( )2 Re ( ,jax jaz kk

)f x e dx j s f z e z

= con ( )Im 0kz > (9)

Si ( )f z tiene polos simples en el eje real, tendremos que:

(10)( ) ( )

( )

( )( )

Im 0

Im 0

2 Re ( , )

Re ( , ) , 0

k

m

jax jaz

k

z

jaz

m

w

f x e dx j s f z e z

j s f z e w a

>

=

=

+ >

En el caso de , utilizamos como camino auxiliar a la semicircunferencia en el

semiplano inferior lo que nos conducir al siguiente resultado:

0a =

en virtud de las frmulas 10 y 11, y adems:

10dt

t

=

por ser1

tuna funcin impar, entonces:

( )

0 ,

,

0 ,

a

F a a

a

<

= >

Esta transformada de Fourier corresponde a un filtro pasa-bajo ideal confrecuencia de corte a= .

20


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Ejemplo 6:

Calcular la transformada de Fourier inversa de2 2

2a +

.

La transformada inversa viene dada por la integral:

2 2

1 2

2

jxe d

a

+

Para , y aplicando la frmula 9, se tiene:0x>

2 2 2 2

2 22 Re ,jx jxe d j s e aj

a a

= = + +

donde:

2 2

2Re ,

jxw axjx

w aj

e es e aj

w aa

=

= = =

+ j

por lo tanto:

2 2

1 2, 0

2

axjx e

e d xaa

= >

+

Para , y aplicando la frmula 11, se tiene:0xGrado P) , Q x) puede tener polos reales simples, y a >0

Como , entonces:cosj axe ax jsen= + ax

( )

( )

( )

( )Im( )

jaxP x P x

sen axdx e dxQ x Q x

=

( )

( )

( )

( )

cos Re( )jax

P x P xaxdx e dx

Q x Q x

=

Si el grado del polinomio P es menor que el grado del polinomio Q se cumple

que:

( )lim 0

( )r

P zMax

Q z

=

y entonces aplicando la frmula 10 se tiene:

( )( ) ( )( )

( )

( )

Im 0

Im 0

Im[2 Re ( , )( )

Re ( , )] , 0( )

k

m

jazk

z

jaz

m

w

P x P zsen axdx j s e z

Q x Q z

P zj s e w a

Q z

>

=

=

+ >

(12)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Im 0

Im 0

cos Re[2 Re ( , )( )

Re ( , )] , 0( )

k

m

jaz

k

z

jaz

m

w

P x P zaxdx j s e z

Q x Q z

P zj s e w a

Q z

>

=

=

+ >

(13)

En el caso en que a


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Otra alternativa es tomar la parte real e imaginaria en la frmula 11, que

corresponde a valores de a = + z

j

j

Los polos del integrando son:

, (polo simple) Im(z1 1 3z = + 1) >0

, (polo simple) Im(z2 1 3z = 2)


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11.-( )( )2 20 1 4

x sen xdx

x x

+

12.-( )( )

3

2 20 1 4

x sen xdx

x x

+ +

13.-( )

( )20 2 2

cos, 0,

axdx a b

x b

< +

15.- ( )2 20

, 0,2

masen mxsen nxdx e senh na a m n

a0

x a

= >+

16.- ( )2 20

cos, 0,

2

naxsen mx nxdx e senh ma a n m 0

x a

= > > +

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