UNIVERSIDAD DON VASCO A. C.

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

MATERIA: CALCULO INTEGRAL

TRABAJO:

INVESTIGACION: “INTEGRALES IMPROPIAS DISCONTINUAS”

INTEGRANTES:

CAMACHO VEGA SANDRA FABIOLA

RODRIGUEZ ROMAN JORGE RODRIGO

SANTOS HERNANDEZ CARLOS E.

PROFESOR:

ING. CARLOS ROCHA GHENO

2º SEMESTRE GRUPO: 2010

URUAPAN MICHOACÁN A 24 DE MARZO DE 2013.

INTRODUCCION

Este trabajo que se muestra a continuación explicara detalladamente el tema

“Integrales Impropias Tipo II” (definición, procedimiento, ejemplos, entre otros).

Pero antes de explicar, definiremos algunos conceptos previos del tema.

Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales

definidas, en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o

ambos presentan ciertas características. Las integrales impropias no son

realmente una nueva forma de integrales, sino un replanteamiento de nuestro

concepto de área bajo la curva.

Una Integral Definida, ∫a

b

f ( x )dx, se denomina Integral Impropia si:

a) El integrando f(x), tiene uno o más puntos de discontinuidad en el intervalo

a ≤ x ≤ b;

b) Por lo menos uno de los límites de integración es infinito

INTEGRALES IMPROPIAS TIPO II (O DISCONTINUAS)

Muchos autores llaman a este tipo de integrales como: integrales de segunda

especie, integrales impropias de tipo II, integrales discontinuas; pero eso depende

de cada quien la interpretación que le da.

Una Integral Impropia de segundo tipo es la que tiene una discontinuidad en 0

entre los límites de integración:

I. Si f es continuo en el intervalo [a,b) y tiene una discontinuidad infinita en b,

entonces:

∫a

b

f ( x )dx=¿¿ lim

c→b−¿∫a

c

f (x )dx¿

¿

II. Si f es continuo en el intervalo (a,b] y tiene una discontinuidad infinita en a,

entonces:

∫a

b

f ( x )dx=¿¿ limc→a

∫c

b

f ( x )dx

III. Si f es continuo en el intervalo [a,b], excepto para algún c en (a,b) en que f

tiene una discontinuidad infinita, entonces:

∫a

b

f ( x )dx=¿¿ ∫a

c

f ( x )dx+¿∫c

b

f ( x )dx ¿

Si los límites que se dan en la integral existen entonces la integral

corresponde a que converge o en caso contrario es convergente, o en otras

palabras la integral diverge o es divergente.

EJEMPLOS CON SU PROCEDIMIENTO

A continuación se resolverá un ejercicio de este tipo de integral impropia, (el

procedimiento es muy parecido al resolver una integral definida).

1) ∫0

31

√3−xdx

a) Ver la discontinuidad que se muestra en la integral para así mismo ver el

procedimiento a realizar.

b) Se identifica u y du;

c) Observar si la integral está completa, en caso contrario se completa de

acuerdo a su derivada.

d) Procedemos a integrar la función

e) Después de integrar, se realiza la formula : f(b) – f(a)

f) Se concluye si es convergente o divergente

g) Si se desea, graficar la función

∫0

31

√3−xdx = −∫ (3−x )

−12 dx ¿−

(3− x )12

12=−2√3−x ¿¿0

3

u= 3-x du= - dx

[−2√3−(3 ) ]−¿] = [−2√0 ] + [2√3 ]

= 2√3 = 3.464 → convergente

x

y

2) ∫−2

31x3dx

Esta integral no es continua y por lo tanto se tendrá que dividir hasta el

punto de x= 0.

∫−2

31x3dx=∫

−2

01x3dx+∫

0

31x3dx

Ahora se resuelve cada una de las integrales para ver si son divergentes o

convergentes.

∫−2

01x3dx=lim

b→0∫−2

b

x−3dx=limb→0 (−12x2 )¿−2

0 =[ −12b2 ]+[ 12(−2)2 ]

= −∞+ 18=−∞→ divergente

Para que la integral sea convergente se necesita que ambas partes sean convergentes. Si uno o ambos son divergentes entonces esta integral completa será divergente.

En este caso como la primera parte es divergente, concluimos que la integral completa es divergente y por lo tanto no se resuelve la segunda integral.

∫0

31

√3−xdx

x

y

x

yGrafica de la función del ejemplo 1

∫−2

31x3dx

Grafica de la función del ejemplo 2

APLICACIONES

Como se sabe cualquier ciencia ocupa de las demás y esta no es la excepción,

ya que ocupa de la Física, Biología, Economía, Matemáticas, entre otras; para

que se pueda comprender las aplicaciones que se le da y así mismo darle

seguimiento a la comprensión del tema.

Un ejemplo de aplicación de integrales impropias discontinuas en ingeniería civil

es para calcular la cantidad de hierro y cemento que se deben poner en una viga

tal o cual es la dimensión que se supone deberá soportar dicho peso sobre áreas,

volúmenes de los sólidos.

CONCLUSION

BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAPHYGranville, W. A. (s.f.). Calculo Diferencial e Integral. Limusa.

Jr., A. F. (1971). Teoria y Problemas de Calculo Diferencial e Inetgral . mexico: McGraw - Hill de Mexico S. A de C.V.

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LatinoAmerica, H. R. (1973). Calculo II Integral . Harla S.A de C.v.

Michael, M. A. (1985). Calculo con aplicacion a la Administracion, Economia y Biologia. Mexico,D.F: UTEHA.

Ron Larson, R. P. (1999). Calculo Con Geometria Analitica I. Mexico: McGraw-Hill Interamericana.

Wonnacott, T. (s.f.). Aplicaciones de Calculo Integral I. Limusa.