Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas Integral TripleLa integral triple es una funcin de tres variables independientes extendida a una regin cerrada R de puntos (x, y, z) de volumen V, en la cual la funcin es uniforme y continua.

Para calcular la integral triple en coordenadas cilndricas se utiliza la siguiente frmula:

Para saber de dnde se obtiene la variable se puede calcular la integral triple sobre un cilindro considerando una subdivisin del mismo mediante coordenadas cilndricas.Siendo x= . cos ^ y= . sen ^ z= z. El jacobiano de la transformacin es:

Luego Otra manera de justificar la frmula es considerar el volumen del slido elemental para cualquier subdivisin de un cilindro S segn slidos dados en coordenadas cilndricas.

Volumen , como , entonces

Para calcular la integral triple en coordenadas esfricas se utiliza la siguiente frmula:

Para saber de dnde se obtiene se puede calcular utilizando el Jacobiano. Teniendo en cuenta las frmulas de pasaje sabemos que:

Luego

Otra forma de justificar la frmula seria considerar una subdivisin de la esfera S, mediante slidos elementales S dados en coordenadas esfricas.

El volumen del slido elemental puede darse aproximadamente como el producto de las longitudes de las aristas curvilneas AD, AC y la arista AB.

Geomtricamente es: Longitud AB= Longitud AD = Longitud AC =

Luego el volumen

Ejemplo:Ejercicio 201Hallar la integral triple de extendida a la regin R del primer octante, limitada por los conos , y la esfera .

Integro respecto a . Desde =0 hasta = Integro respecto a . Desde = hasta = arc tg 2 Integro respecto a . Desde =0 hasta =

== = = = 3 = -3