UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN

CARRERA: PROCESOS INDUSTRIALES EN EL ÁREA DE MANUFACTURA

NOMBRE:KAREM LUCERO GARCIA VITELA

GRADO Y SECCIÓN: 2°B

INTERVALOS DE CONFIANZA

Se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.

1- Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15

estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534,

523, 452, 464, 562, 584, 507, 461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de

confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

Solución:

Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestral vale 505,35 y la desviación

típica 42,54.

Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad, obtenemos que el valor

que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12

Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la media tenemos:

(505,35 - 2,12 · 42,54 / 4 ,, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4)

operando

( 482,80 ,, 527,90 )

2.- Con los datos del problema 1, calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalo de

confianza para la varianza e indique cual sería el máximo error por exceso y por defecto que

podría cometerse utilizando el estimador insesgado de la varianza.

Solución:

Mediante cálculos básicos obtenemos que la varianza de la muestra vale 1809,29 y la

cuasivarianza 1922,37

En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajo una

probabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidad de 0,95.

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianza tenemos:

( 17 · 1809,29 / 26,30 ,, 17 · 1809,29 / 7,96 )

operando

( 1169,50 ,, 3864,06 )

Por tanto el error por defecto sería 1922,37 - 3864,06 = -1941,69

y el error por exceso 1922,37 – 1169,50 = 752,87

3.- En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asiste semanalmente al

cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de

universitarios que acude todas las semanas al cine.

Solución:

En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una

probabilidad de 0,975 es 1,96.

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para una proporción:

operando

( 0,755 ,, 0,845 )

4.- Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15

estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534,

523, 452, 464, 562, 584, 507, 461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de

confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

Solución:

Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestral vale 505,35 y la desviación

típica 42,54.

Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad, obtenemos que el valor

que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12

Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la media tenemos:

(505,35 - 2,12 · 42,54 / 4 ,, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4)

operando

( 482,80 ,, 527,90 )

5.- Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradas por su

entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81 42,18 41,72 42,26.

Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un 95% de

confianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica para este

nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación de la

media de este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas debería cronometrar?

SOLUCIÓN:

Para dar un intervalo de confianza de la media conocida la desviación típica, utilizamos es

estadístico pivote:

sustituyendo se obtiene el intervalo:

(41,924 – 0,186 , 41,924 + 0,186). El valor 0,186 se llama margen de error.

El intervalo para la media es (41,738 , 42, 11)

Esto es lo mismo que decir que la media es 41,924 ± 18,6 %. Es decir que la media se estima en

41,92 con un margen de error de ± 18,6 %

6.- La puntuación promedio de una muestra de 20 jueces de gimnasia rítmica, elegidos al azar,

para una misma prueba presentó una media de 9,8525 y una cuasi desviación típica muestral

de 0,0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la nota media.

(Se sobreentiende que la puntuación de la prueba sigue una distribución normal)

SOLUCIÓN:

Métodos estadísticos y numéricos Estimación por Intervalos de confianza 2

El valor correspondiente al radio del intervalo se llama margen de error y su valor es 0,0451.

El resultado puede ser expresado del siguiente modo:

La media poblacional se estima en 9,8525 con un margen de error de ± 4,5%

7.- En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de un Instituto a un total de 100 votantes

elegidos al azar en su Ayuntamiento, se indica que el 55% volvería a votar por el alcalde

actual. Calcular un intervalo de confianza al 99% e otro al 99,73% para la proporción de

votantes favorables al alcalde actual.

SOLUCIÓN:

8.- Para estimar el número de ranas que hay en un estanque procedemos a pescar cierta

cantidad, 30, y las marcamos con un anillo, devolviéndolas al estanque. Transcurridos unos

días volvemos a pescar otro montón y observamos qué proporción están marcadas con la

anilla. Es esta última pesca obtenemos 100 ranas de las que 7 están marcadas. Calcular un

intervalo al 99% de confianza para la proporción de ranas marcadas.

SOLUCIÓN:

Hay que averiguar un intervalo de confianza para estimar una proporción, donde resulta que el

valor del parámetro en la muestra elegida es p

)

= 0,07.

Para obtener un intervalo de confianza de una proporción, el pivote estadístico es: