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INTERVENCIÓN PSICOPEDAGÓGICA EN MATEMÁTICA

UNIDAD I

1Instituto Profesional Iplacex

Clase N° 01

1. TENDENCIAS Y DESAFÍOS ACTUALES DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

A través de la reforma Educacional, se ha buscado realizar profundos cambios en el currículum escolar, obedeciendo a los nuevos requerimientos de la sociedad actual, centrada en la información y manejo del conocimiento, y marcada por la multiplicación exponencial de la información, la pérdida de fronteras, la globalización y la crisis de socialización y de sentidos.

Todo esto, ha traído un cambio de prioridades sobre la educación matemática ya que:

Hoy, no importa saber, sino también saber hacer, saber juzgar y valorar. El foco está en la habilidad de comunicación, de investigación y en la resolución de problemas, pensamiento crítico, pensamiento en sistemas y trabajo en equipo.

Hay una clara complejización de objetivos y de contenidos, que incluyen conocimientos, habilidades y disposiciones.

Se exige relevancia de objetivos y contenidos, concebidos como herramientas para la vida, que correspondan a necesidades sentidas, desempeños y juicios de la persona en su vida real.

La adquisición del conocimiento y la comprensión de la matemática que requiere la vida cotidiana, son una responsabilidad central de la escuela.

1.1. ¿Para qué Enseñar Matemática en la Escuela?

Los estudiantes deben ser capaces de darse cuenta de la importancia de su aplicabilidad y valor en la vida cotidiana, en especial en lo referente a la resolución de problemas. El punto de partida para NB3, debe pasar por entender con claridad las tendencias actuales de la educación matemática y los desafíos que le toca acometer.

La enseñanza a través de la resolución de problemas, es actualmente el corazón de la matemática; es el método más utilizado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo..

Se trata en lo posible, de trasmitir de una manera matemática los procesos de pensamiento eficaz en la resolución de problemas. Los textos de estudios y los ejemplares


que damos a nuestros alumnos, están llenos de ejercicios rudimentarios, con énfasis sólo en lo algorítmico.

Debemos proporcionar verdaderos problemas, desafíos atrayentes que conlleven a un pensamiento superior. Se trata de poner el énfasis en los procesos de pensamiento.

En este sentido, debemos considerar como lo más importante:

Que el alumno manipule los objetos matemáticos Que motive su propia capacidad mental Que ejercite su creatividad

Todos los niños, sin excepción, deben aprender a, “pensar matemáticamente”, es decir, en una forma más progresiva desarrollar la matemática, adquirir herramientas útiles que permitan analizar los aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad social y natural.

En definitiva se trata de que:

Reflexionen sobre el propio proceso de pensamiento Realicen transferencias de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental Adquieran confianza en sí mismo Se diviertan con su propia actividad mental Se preparen para otros problemas de la ciencia y posiblemente de su vida cotidiana Se preparen para los nuevos retos de la tecnología y la ciencia

Clase N° 02

1.2. Enfoques Propios del Programa de NB3

En la actualidad el mundo evoluciona muy rápidamente, lo que enseñamos ayer, hoy está obsoleto; por lo tanto, debemos centrar nuestro esfuerzo en que los jóvenes logren capacidades autónomas para resolver sus propios problemas.

Se trata de explorar fenómenos, buscar y descubrir regularidades y patrones. En este proceso se pone en duda, se especula, se plantean hipótesis, se comenta, se corrigen errores, se enuncia, se explica, se comunica, se reconocen casos particulares, se generaliza, se ponen en juego las intuiciones, se plantean y resuelven nuevos problemas.


Hoy sabemos, que los alumnos y alumnas aprenden matemática haciendo matemática y resolviendo problemas en contexto, es decir, significativos, complejos, y variados.

Significativos:Que den sentido a lo que aprenden y lo que han aprendido, ligados a sus experiencias y a su vida, a otros campos del saber o a cuestiones puramente matemáticas (por el placer del espíritu).

Complejos:Con intervención de múltiples variables (no sólo matemáticas) que les motiven a buscar y obtener respuestas a problemas, a poner en juego la intuición, la creatividad, la propia experiencia y los conocimientos previos.

Variados:Mirar los objetos, ideas y nociones matemáticas desde sus diferentes sentidos y significados (por ejemplo, las diferentes formas de hacer una adición), que faciliten descubrir la pertinencia de las ideas, nociones y herramientas matemáticas.

De esta forma el trabajo se hace atrayente, divertido, satisfactorio, autorrelizador y creativo, además de que muchos de los hábitos que aquí se consolidan, tienen un valor universal, no limitado al mundo de la matemática.

El rol del profesor es de mediador, facilitador y problematizador, corresponde al alumno un rol activo y participativo; se trata de colocar al alumno en situación de participar, sin aniquilar el placer de ir descubriendo por sí mismo lo que los grandes matemáticos han descubierto con tanto esfuerzo.

Las ventajas de un proceso llevado a cabo de esta forma, son claras:

Actividad contra pasividad. Motivación contra aburrimiento. Adquisición de procesos válidos contra rígidas rutinas, recetas o fórmulas que se

pierden en el olvido.

La matemática, constituye ya en nuestros días uno de los pilares básicos de la cultura humana. Es más, parece claro que, como afirma Witehead

“si la civilización continúa avanzando, en los próximos dos mil años, la novedad predominante en el funcionamiento

humano será el señorío de la intelección matemática”.


Clase N° 03

1.3. Ejes Temáticos NB1–NB2

En NB3, se toma como base lo adquirido por los alumnos en NB1 y NB2, a partir de los aprendizajes y de nuevas experiencias acumuladas en su interacción con el mundo natural y social y que van generando nuevos conocimientos, fortaleciendo y ampliando habilidades y destrezas que se vienen desarrollando desde el párvulo, tales como el mundo de los números, operaciones y formas.

En NB1, se trata de promover formas de pensamiento, valores y actitudes, a través de actividades en las que los alumnos y alumnas resuelven problemas. Es decir, asumen un rol activo en sus aprendizajes (rol que no debe olvidarse en NB3).

El programa para NB2 se divide en cuatro semestres, en cada uno de los cuales, se consideran aspectos relacionados con el tema que se ha elegido para hacer de hilo conductor entre los distintos subsectores. Se trata de establecer una articulación entre los distintos subsectores, que facilite y fortalezca el aprendizaje de los contenidos propios de cada área y que no sean vistos por los alumnos como entes separados.

Los objetivos fundamentales, contenidos mínimos, los objetivos transversales y aprendizajes esperados e indicadores, así como las actividades genéricas, aparecen en los programas de 3º y 4º básico.

Las actividades genéricas contemplan 4 ejes temáticos:

Números Operaciones aritméticas Formas y espacios Resolución de problemas

Dentro de estos 4 ejes temáticos, el eje resolución de problemas tiene un carácter transversal y se desarrolla a lo largo de los otros tres ejes.


1.3.1. Eje Número

Se amplía el rango numérico hasta el millón (teniendo sí la posibilidad de considerar situaciones reales). Se incorpora la recta numérica, lectura y representación de números y su nivel de aplicación en la lectura de escalas de instrumentos de medición.

Se acentúa el establecimiento de relaciones entre lo conocido y lo nuevo. En este nivel se incorpora el estudio de la familia de los miles (miles, diez miles, y cien miles), cuya formación sigue la misma estructura de los números de una, dos y tres cifras ya conocidas.

Se enfatiza fuertemente el cálculo mental y escrito, especialmente a través de la descomposición de números, en forma aditiva y multiplicativa, y que refuerza el carácter decimal de nuestro sistema de numeración.

Se establecen relaciones entre el sistema de numeración decimal y el sistema de numeración racional, y los sistemas decimales para medición de longitud, superficie, masa (peso) y volumen. Se contrastan con las medidas del tiempo, que no tienen carácter de decimal. Se introduce el trabajo con tablas y gráficos. Se introducen los números fraccionarios (se trata de que los alumnos puedan identificar, representar, leer, escribir y resolver situaciones problemáticas).

Al igual que en NB1, se promueve el desarrollo de habilidades tales como estimar, redondear y comparar.

Clase N° 04

1.3.2. Eje Operaciones Aritméticas

En este eje, se pretende insistir en las ideas propias de NB1, pero en la línea de profundizar, de ampliar y de realizar acciones variadas de la vida real (operaciones aritméticas) en forma natural y espontánea. Es fundamental que las orientaciones propuestas en NB2, se comprendan, de modo de ir progresando en ellas hasta llegar a NB6 y más. En este sentido, los énfasis propuestos para este nivel, implican ampliar la adición y sustracción a los nuevos rangos (ámbitos):

Se profundiza el cálculo mental y escrito. Se introduce el uso de la calculadora (números grandes).


Se incorpora la multiplicación y división asociadas a situaciones de proporcionalidad, reparto equitativo y por agrupamiento, se hace especial hincapié en la reversibilidad que existe entre ellas.

Se estudian las operaciones, sus relaciones y las propiedades de cada una.

Se debe insistir en las habilidades de redondear, estimar y comparar, y luego que los alumnos puedan establecer relaciones entre el estudio de las operaciones en el aula y sus aplicaciones prácticas sociales habituales.

1.3.3. Eje Formas y Espacios

En este eje se desarrolla el lenguaje geométrico y la imaginación espacial. A través de formas bi y tridimensionales, se realizan representaciones para analizarlas, además del inicio de transformaciones, tales como, reflexiones, traslaciones, rotaciones, ampliaciones y reducciones.

También se tratan las formas triangulares y cuadriláteros, sus características y clasificación; dichas formas se dibujan y construyen, empleando diversos medios.

1.3.4. Resolución de Problemas como Eje Transversal

En este eje transversal, se trata de poner a prueba los conocimientos adquiridos y se enfatiza la habilidad para resolver problemas.

Cuando se dice transversal, pareciera que se trata sólo de lo valórico y actitudinal. No se considera entre lo transversal, las habilidades cognitivas de orden superior que cruzan todo el currículo y que están explícitas en los objetivos fundamentales transversales de los programas de estudio.

Por el contrario, se apunta a que los alumnos desarrollen y profundicen habilidades intelectuales de orden superior relacionadas con la clasificación, evaluación y generalización de ideas, que progresen en experimentación, en el aprender a aprender, que sean capaces de predecir, estimar, ponderar, que ejerciten y aprecien la capacidad de concentración, de perseverancia y rigor en el trabajo.

Se trata de articular con el lenguaje y la comunicación, de captar la importancia de

una lectura eficaz, de analizar la información que se tiene y la que falta, de encontrar procedimientos (adaptar), que ojalá encuentren varias formas de resolución, verifiquen y


evalúen y puedan a partir del problema resuelto, plantearse y resolver nuevas preguntas o situaciones.

Clase N° 05

1.4. El Verdadero Punto de Partida: Estableciendo un Buen Diagnóstico

La idea fundamental, es definir el contexto donde se espera producir el cambio, detectando y estableciendo las necesidades y las posibilidades que existen para realizar dichos cambios.

Se ha generado la costumbre de realizar “pruebas de diagnóstico” solamente al inicio del año escolar, en razón de cumplir con las disposiciones del plan general, entendiendo esto, como un mero tramite administrativo.

La verdadera importancia del diagnóstico implica la obtención de información para la valoración, discriminación y clasificación de algún aspecto de la conducta del alumno frente al proceso educativo, se trata de determinar las conductas de entrada, que pudieran ser definidas como habilidades, destrezas o conocimiento que el alumno debiera tener como requisito previo para instruirlo en el estudio de NB3.

Lo anterior es fácil de lograr, ya que se puede utilizar desde la simple observación hasta la prueba para la ubicación y el diagnóstico. Se recomienda que sean pruebas sencillas, de fácil ejecución y que traten sobre aquellas materias, contenidos o tópicos elementales de NB1 y NB2, lo cual las convierte en simples y directas.

Al ser aplicado al inicio de NB3, se recomienda considerar conductas importantes, y significativas para los futuros aprendizajes. Siempre se debe considerar que los jóvenes regresan de un período de vacaciones y que en la mayoría de los casos, cambian de un proceso guiado por un profesor al de un profesor por asignatura.

Lo básico es recordar que:

Se debe ubicar a cada alumno en el punto adecuado para iniciar NB3 Establecer causas básicas de las reiteradas deficiencias en el aprendizaje

Por ejemplo: diseñar una prueba al egresado de NB2 y registrarla en términos de habilidades, destrezas y conocimientos.


Hoy los conocimientos son valiosos, pero importa además certificar que es capaz de manejar dichos conocimientos y de generar nuevos conocimientos. Necesita demostrar que es creativo, emprendedor, audaz, capaz de enfrentar situaciones de cambio, de incertidumbre, que es capaz de tomar decisiones y de imaginarse escenarios futuros.

En este sentido, son las habilidades y destrezas las que hacen, previa evaluación objetiva, dominar el conocimiento.

El siguiente cuadro es un ejemplo de cómo se podría registrar la información de un buen diagnóstico. Se presentan sólo determinados conocimientos, pero expresados en términos de habilidades (escribir números), destrezas (ordenar en forma ascendente, componer y descomponer); el resto es producto de cada profesor y curso. Se inserta también reconocimiento de formas y espacio que cada profesor puede desglosar en habilidades y destrezas (indicador de competencia). Finalmente, como gran habilidad aparece “resolver problemas de adición“. Lo ideal es que cada profesor, logre este desglose de conductas y que lo incluya en su evaluación diagnóstica, modificando si lo desea, el cuadro sugerido.

Habilidad – Destreza – Conocimiento

ALUMNOS

ÍTEMEscribir

cantidadesOrdenar

en sistema decimal

Componer y descomponer

(Cálculo mental y escrito)

Reconocimiento de formas y

espacio

Resolver problemas de adición

1-2-3-4 5-6-7-8 9-10-11-12 13-14-15 16-17Juan A-A-P-E P-P-P-EPedroRosaMaríaÍnésEtc

Referencia: A: Dominio totalP: Dominio parcialE: Dominio escaso o no dominio


El punto de partida lo establece el alumno, y el programa debe ser hecho a partir del diagnóstico real. El análisis debe ser hecho por conducta y sobre todo, por alumno/a.

Del cuadro anterior, es necesario destacar:

El curso consta de 10 alumnos y la prueba diagnóstica tiene 17 ítemes. El verdadero análisis debe considerar tanto los ítemes como los alumnos, importando:

Itemes más y menos logrados Alumnos destacados Alumnos descendidos

Evidentemente, contiene los elementos esenciales para planificar y programar los reforzamientos grupales e individuales que se precisan en la planificación curricular en NB3.

Clase N° 06

1.4.1. Proposiciones para la Adecuada Retroalimentación

El proceso se construye considerando los conocimientos previos y las experiencias de aprendizaje de los propios alumnos y alumnas. Constituye en sí un trabajo más decidido en términos de modelización, como forma de solución de problemas.

Enfatiza el rol protagonista del alumno y alumna, como actores de sus propios procesos de aprendizaje, en un enfoque globalizador que otorga la oportunidad de aplicar conocimientos y de resolver situaciones problemáticas en relación con su vida, sus intereses y los de su comunidad.

En fin, es una invitación y desafío a iniciarse en 5° básico, en forma articulada con las orientaciones y enfoques propios de los cursos anteriores, pero en un tratamiento de la matemática, que debe ser necesariamente más profundo, y por sobre todo en una línea más ordenada y sistémica de la educación matemática, que intencione la modelización en forma permanente.


Por ello, debemos habituarnos a tener una educación permanente, que no se finiquite al salir de las aulas, sino que sea continua y que se complemente a lo largo del trabajo y de la vida. La idea es aligerar los planes y programas, liberarlos de los enciclopedismos y reorganizar el cuerpo de los conocimientos fundamentales, pero con una visión integral, es decir, en todos los subsectores de aprendizaje.

En un mundo cambiante, es necesario habituarse a la vida de que no existe un saber definitivo, de que el hombre y la sociedad se reconstruyen y por ende, la cultura personal es una tarea siempre abierta e inconclusa.

Cuando las clases de matemáticas se desarrollan sobre la base de que no hay respuestas correctas y respuestas incorrectas, sino sobre la base de que hay respuestas del niño y niña que buscan, y que, a su modo progresan, entonces todas las respuestas tienen grados de validez y todo descubrimiento o intuición del educando puede dar pie para que el maestro derive los hallazgos de éstos, hacia un camino seguro y mejor orientado.

Que al final de un curso o ciclo, unos niños (as) sepan más y otros menos, es normal. Lo que realmente importa, es que ninguno tenga miedo, fobia a la asignatura; al contrario, todos tienen interés en volver a clases y aprender más. Importan niños felices, contentos de manejar un instrumento, un lenguaje que los acerca al mundo.

Al profesor le compete que todos sus alumnos, sin excepción, aprendan lo fundamental, que adquieran habilidades, conductas, destrezas más que conocimientos enciclopédicos.

El niño debe comprender las bases del conocimiento lógico matemático, alcanzar un pensar matemático, racional, lógico, ordenado, sistemático, etc., cuidando de no producir autoconvencimiento de la falta de capacidad para la matemática.

En resumen, al inicio del curso preocupémonos en el diagnóstico de lo que sea fundamental y no accidental. Es necesario saber el punto de partida de cada alumno/a y del curso en general, y recordemos que los contenidos disciplinares son un medio para objetivos mayores.

“Si el mundo cambia tan rápidamente, que es imposible prever con exactitud el género de la actividad que han de tener los hombres en años después de egresados de la escuela o universidad, es preciso convenir en que las preparaciones muy largas y especializadas llegan con

frecuencia a ser inútiles” (G. Berger).


Clase N° 07

1.5. Estructura del Marco Curricular para NB3

El marco curricular está conformado por los objetivos fundamentales y contenidos mínimos (Decreto 220/99). Los objetivos fundamentales corresponden a una explicitación ordenada de los propósitos formativos de la educación básica en tres ámbitos. Formación ética, crecimiento y afirmación personal, y persona y entorno.

El programa plantea objetivos, contenidos y actividades que buscan desarrollar en los alumnos y alumnas, las capacidades de explorar diferentes estrategias de resolución de problemas, sistematizar procedimientos, descubrir regularidades y patrones, organizar y analizar información cuantitativa, justificar y comunicar eficazmente, procedimientos y resultados en forma ordenada y metódica.

Trata, incluso, de acrecentar las capacidades de trabajo en equipo, de forma colaborativa, donde confluyan y dialoguen puntos de vista, enfoques y procedimientos permitidos, llegar incluso a emitir juicios en función de la aplicación de criterios morales a problemas del medio ambiente, económicos y sociales.

El programa se organiza en 7 unidades, señalándose en cada una, los aprendizajes esperados que en conjunto recogen los objetivos fundamentales y que orientan el trabajo de todo el año. También ofrece una secuencia que puede ser modificada por los profesores y profesoras de acuerdo a su carácter de flexibilidad.

Tal vez, las unidades 4 y 5 deben trabajarse una después de la otra, pues la multiplicación y múltiplos van como asociados con la división y divisores. Cada profesor deberá controlar las secuencias, los tiempos, los recursos didácticos, las metodologías, las actividades y la evaluación.

El programa es en sí, muy complejo, ordenado y secuenciado, trae aprendizajes esperados y contenidos mínimos, recomendaciones didácticas y objetivos fundamentales, sugerencias de actividades de aprendizaje, evaluación e indicadores.


Clase N° 08

2. ORIENTACIONES GENERALES DEL PROGRAMA NB3

El Ministerio de Educación ha establecido como principal orientación del marco curricular de Educación Básica, que el aprendizaje debe dar lugar a una nueva forma de trabajo pedagógico, que tenga por centro la actividad de los alumnos y alumnas, sus características y conocimientos previos.

Esto implica que el trabajo pedagógico se debe centrar en el aprendizaje, por lo tanto, deben desarrollar estrategias pedagógicas diferenciadas y adaptadas a los distintos ritmos y estilos de aprendizaje de un alumno heterogéneo, y reorientar el trabajo actual hacia una forma basada en actividades de exploración, búsqueda de información y construcción de nuevos conocimientos por parte de los alumnos y alumnas, tanto individual como colaborativamente.

Con este nuevo estilo de trabajo pedagógico, se espera que los alumnos y alumnas de Educación Básica, desarrollen destrezas y capacidades de orden superior (tales como: descripción, análisis, síntesis y capacidad de abstracción), las que deberán lograr a través del conocimiento y dominio de unos contenidos considerados esenciales del núcleo cultural común de las nuevas generaciones del país. Entre dichos contenidos, toman especial relevancia los que se estructuran en torno a los Sectores de Aprendizaje: “Lenguaje y Comunicación” y “Educación Matemática”.

En la Educación Básica, la matemática está orientada a consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los niños ya poseen, como resultado de su interacción con el medio y del trabajo realizado en el nivel de Educación Prebásica. Para ello, se espera que desarrollen formas de pensamiento que les posibiliten procesar información acerca de la realidad para: profundizar sus conocimientos acerca de ellas, tener una actitud positiva hacia el aprendizaje de la matemática y apropiarse de formas de razonar matemáticamente; además, que adquieran herramientas que les permitan reconocer, plantear y resolver problemas y, por último, que desarrollen confianza y seguridad en sí mismos mediante la toma de conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad.

2.1. Consideraciones Básicas del Aprendizaje Significativo

La organización de la práctica pedagógica de aula, requiere de los docentes la consideración activa de un conjunto de principios que han de facilitar el discernimiento de los


mejores cursos de acción para el logro de aprendizajes significativos en los alumnos. César Coll, hace referencia a ellos en los siguientes términos:

Sea cual sea la experiencia de aprendizaje que se busca propiciar en el alumno/a, éste está fuertemente condicionado, entre otros factores, por su nivel de desarrollo operatorio, o tipo de pensamiento predominante que el niño tiene al ingresar al NB3.

El quinto año es un período de transición, desde un pensamiento concreto a un pensamiento formal (Piaget, 1969).

El factor más importante que influye sobre el aprendizaje, es la cantidad, claridad y jerarquización de los conocimientos previos que ya tiene el alumno/a. Estos son hechos, relaciones, teorías y datos de origen no perceptivos, que constituyen su estructura cognoscitiva.

Señalar con claridad la diferencia, entre lo que es capaz de hacer y aprender por sí mismo y lo que es capaz de hacer y aprender con la ayuda de otras personas. Dicha distancia, Vigotsky, la llama Zona de Desarrollo Próximo y se sitúa en el nivel de desarrollo afectivo y el nivel de desarrollo potencial y delimita el impacto real que pudiese tener la acción pedagógica.

La distinción entre aprendizaje significativo y aprendizaje repetitivo, concierne al vínculo entre el nuevo material de aprendizaje y los conocimientos previos del alumno/a, es decir, si el nuevo material de aprendizaje se relaciona de forma sustantiva y no arbitraria con lo que el alumno ya sabe. Si realmente lo asimila a su estructura cognoscitiva, estaríamos en presencia de aprendizaje significativo.

Clase N° 09

2.1.1. Recomendaciones para un Aprendizaje Significativo

Su contenido debe ser potencialmente significativo, tanto desde el punto de vista de su estructura interna (significatividad lógica, no debe ser arbitrario, ni confuso), como desde el punto de vista de su posible asimilación (significatividad psicológica: que halla en la estructura cognoscitiva del alumno, elementos pertinentes y relacionables).

Se ha de tener una actitud favorable para aprender significativamente, es decir, el alumno/a debe estar motivado para relacionar lo que aprende con lo que ya sabe.


La significatividad del aprendizaje está directamente vinculada con su funcionalidad; cuanto más numerosa y compleja sean las relaciones establecidas entre el nuevo contenido y los elementos de la estructura cognoscitiva, es decir, cuanto más profunda su asimilación, tanto mayor será su funcionalidad. Se podrá relacionar con un abanico más amplio de situaciones y contenidos nuevos.

El proceso requiere sí, de una intensa actividad. No basta con la actividad de sólo manipulación o exploración de objetos y situaciones; se refiere a la actividad interna, es establecer relaciones, analizar, idear nuevas soluciones.

Distinguir memorización mecánica y repetitiva de la comprensiva. La memoria es la base de la cual se abordan nuevos aprendizajes, no es sólo el recuerdo de lo aprendido.

Aprender a aprender. Objetivo ambicioso y fundamental de la educación. Es necesario enseñar estrategias cognitivas de exploración y de descubrimiento, así como de planificación y de regulación de la propia actividad.

Todo nuevo aprendizaje se almacena en la memoria mediante la incorporación y asimilación, a uno o más esquemas o estructuras de datos, para representar conceptos genéricos almacenados y aplicables a objetivos, situaciones, sucesos, secuencias de sucesos, acciones y secuencia de acciones. Es evidente que el aprendizaje previo queda modificado por la construcción de nuevos esquemas; en este sentido, se debe comprender que la memoria es constructiva.

Si deseamos en verdad modificar los esquemas del conocimiento del alumno/a, debemos propiciar aprendizajes significativos, capaces de romper el equilibrio inicial de sus esquemas.

En este sentido, debemos procurar:

Que la nueva tarea no sea ajena o alejada en exceso, de sus esquemas. Que la tarea plantee situaciones desafiantes o bien, verdaderamente problemas que

exigen esfuerzo por parte del alumno/a.

Al respecto, una lectura que nos invita a reflexionar en torno a estas ideas es la siguiente:


Clase N° 10

2.2. Una Opción Pedagógica para Nuestra Clase de Matemática

Un alto porcentaje de nuestros alumnos/as no le encuentran sentido al aprendizaje de la matemática. La conciben como letras, números y símbolos diversos, que se copian de acuerdo a ciertas reglas que hay que aprender. ¿Cómo conducir nuestras clases para que los alumnos y alumnas se interesen por esta área del conocimiento y le encuentren sentido a su aprendizaje? ¿Con qué secuencia pedagógica podríamos lograr que en nuestras clases, los alumnos/as ejerciten sus capacidades intelectuales, y esto lo hagan con agrado?

A continuación, se propone una secuencia pedagógica, que busca establecer una relación amistosa de los alumnos/as con la matemática escolar.

a) El primer momento de esta secuencia, se refiere a la selección de propósitos, temas y habilidades que orientarán el trabajo pedagógico y el diseño de actividades asociadas a esa selección.

“... apenas había pasado mi 12º cumpleaños cuando entré en la poca hospitalaria región de los exámenes, que tendría que

recorrer durante los 7 años siguientes. Esos exámenes fueron una gran prueba para mí. Los temas más queridos por los

examinadores eran casi invariablemente los que menos me gustaban. Me hubiera gustado examinarme en historia, poesía y

ensayos críticos. Los examinadores en cambio, eran parciales con el latín y la Matemática y su voluntad predominaba. Además, las

preguntas que hacían sobre estos temas eran casi invariablemente aquéllas ante las que yo era incapaz de sugerir

una respuesta satisfactoria. Me hubiera gustado que me preguntaran lo que yo sabía y poder así decirlo. Ellos siempre

trataban de preguntar lo que yo no sabía. Cuando a mí me hubiera gustado mostrar mi conocimiento, ellos trataban de dejar al

descubierto mi ignorancia. Este tratamiento sólo tenía un resultado: no salía bien en los exámenes”.


b) En el segundo momento, el profesor propone un trabajo conducente a que los alumnos investiguen, discutan, argumenten, se equivoquen, refuten, pongan en juego y desarrollen sus habilidades intelectuales, piensen, razonen, mientras el profesor, observa cómo trabajan y está alerta a sus reacciones, aclara dudas, hace preguntas, etc.

c) Durante el tercer momento, el profesor ayuda a sistematizar, facilitar los procesos para ordenar, para jerarquizar. Los alumnos/as analizan el trabajo realizado, comparten los resultados, los procedimientos seguidos, confrontan, revisan, fundamentan, sacan conclusiones, ellos organizan y reorganizan sus aprendizajes.

d) En el cuarto momento, el profesor propone otras actividades para que los alumnos y alumnas ejerciten, afiancen y redondeen sus aprendizajes. En este nuevo trabajo, ellos aplican y ponen en juego sus nuevos aprendizajes, distinguen, aclaran dudas, analizan, sintetizan, concluyen, etc.

En esta nueva propuesta de actividades, el profesor podrá optar por simplificar o aumentar la complejidad del trabajo, o bien continuar con el mismo tipo de trabajo, considerando la forma en que se ha desarrollado el anterior.

En el desarrollo de esta secuencia, el profesor está haciendo una evaluación permanente, que le permite tomar decisiones y marcar el rumbo de la clase. Este último momento, se centra en obtener información sobre los aprendizajes de sus alumnos y alumnas, y el proceso realizado. Interesa saber qué aprendieron los educandos, retroinformarlos y juzgar lo realizado.

Este proceso, se puede observar en el siguiente cuadro sinóptico:

PROFESOR / A ALUMNOS / AS

Planificar y diseñar actividades de acuerdo a:

- Qué quiere lograr.- Qué tema. - Qué conocimientos previos tienen sus alumnos.

Cuáles son sus intereses, lo que saben


Organizar el curso y conduce la clase, observando en sus alumnos:

- Cómo trabajan.- Sus reacciones.- Sus preguntas.- Sus dudas.- Entre otras cosas.

Se organizan y hacen las actividades:

- Investigan.- Discuten.- Proponen.- Refutan.- Se equivocan y aceptan.

Ayudan a:

- Sistematizar.- Ordenar.- Jerarquizar.- Relacionar.- Cuestionar.- Tensionar.- Otros.

Analizan lo hecho, comparten resultados y procedimientos:

- Confrontan.- Revisan.- Sacan conclusiones.- Fundamentan.- Organizan.- Otros.

Diseñan otras actividades para que los alumnos:

- Ejerciten- Afiancen- Redondeen los aprendizajes.

(Complejidad, linealidad, diversidad).

Abordan las nuevas situaciones, incorporan nuevos repertorios:

- Aplican- Distinguen- Critican- Analizan- Fundamentan - Organizan.

Evalúan para saber:

- Qué aprendieron sus alumnos.- Juzgar lo realizado- Retroinformar a los alumnos/as.

Evalúan para:

- Saber qué aprendieron- Revisar su trabajo y su esfuerzo,- Percibir la diversidad, ...


2.3. Orientaciones para la Contextualización y Complementación

En cada escuela, es necesario y deseable que tanto los docentes directivos como los de aula, se planteen algunas preguntas fundamentales.

Para orientar la reflexión, dichas interrogantes se presentan en cuatro ámbitos que requieren de una permanente actualización. Se trata de cuestionar continuamente en el sentido y contenido de nuestra propuesta a los alumnos y alumnas.

Respecto de la función social de

la educación

Respecto de las teorías que orientan la

práctica

Respecto del alumno y de su medio social y

cultural

Respecto de las opciones del programa de

estudio

¿Qué dilemas enfrenta la sociedad actual?.

¿Qué estamos entendiendo por educación?.

¿Qué nos ofrece el medio familiar,

social y cultural del alumno/a como

recursos de enseñanza?.

¿Qué se está entendiendo por aprendizaje y que significa “enseñar en el programa de cada subsector”?.

¿Qué necesitan aprender para desenvolverse en esta sociedad?.

¿Cuáles son nuestras convicciones y opciones pedagógicas?.

¿Qué considerar de las características del medio para mejorar la educación?.

¿Cómo se organiza el programa y los procesos de práctica?.

¿Cuáles son las necesidades educativas de los alumnos y alumnas?.

¿Cuál es la teoría educativa que orienta la práctica pedagógica?.

Características y aportes de la realidad social y cultural de los alumnos y alumna.

Lectura y apropiación de las principales orientaciones didácticas de los programas del sector.


Clase N° 11

2.4. Presencia de los Objetivos Transversales en Educación Matemática

Los aprendizajes de los alumnos y alumnas se relacionan con el desarrollo de sus propias habilidades y capacidades. Lamentablemente, aún nos encontramos con que prima una visión parcial del proceso educativo; la mayoría de las personas privilegia el rendimiento, por sobre otros aspectos del propio desarrollo cognitivo, afectivo y social del educando, que sin duda juegan un papel central.

Sólo consideramos notas y conductas, pero no averiguamos si le gusta ir al colegio, si le motiva el aprendizaje, cuáles son sus propias estrategias de aprendizaje, cómo se relaciona con sus pares, etc.

El SIMCE actual se preocupa, también, de la medición del área afectiva y pretende entregar indicadores del desarrollo de las dimensiones psicológicas y de los aspectos ambientales, que constituyen pilares fundamentales en los que se apoya el proceso de mejoramiento de la calidad de la educación.

Un desarrollo afectivo de la escuela, conlleva a aumentar las posibilidades de aprendizaje de los estudiantes. Esto significa:

Estimulación de habilidades cognitivas, talentos y aptitudes Estimulación del desarrollo afectivo

En términos concretos, hay temas generales que siendo comunes a todos los sectores de aprendizaje, toman características específicas en matemática.

Desarrollo de habilidades intelectuales de nivel superior Actitudes positivas hacia el aprendizaje de matemática Actividades desafiantes para quien quiere aprender Metacognición Evaluación, parte del proceso de aprendizaje Uso y elaboración de materiales didácticos al alcance de las escuelas Utilización racional de programas computacionales e Internet

Pero también existen temas propios de la enseñanza de la matemática, entre los cuales podemos citar:


Incorporar la resolución de problemas.

Utilizar contextos propios de la realidad, del mundo de la fantasía y de la propia matemática para darle sentido a lo que se aprende.

Proporcionar el desarrollo de habilidades y estrategias asociadas al razonamiento matemático (conjeturar, formular hipótesis, argumentar, generalizar, particularizar, demostrar, jerarquizar, evaluar propiedades).

Explicar las relaciones internas de la matemática; no presentarla como conocimientos estáticos.

Propiciar el uso de representaciones gráficas de conceptos y propiedades, de modo que dichas representaciones se puedan utilizar como referentes y apoyos mentales para generar procedimientos y establecer relaciones.

Dar sentido a la responsabilidad del alumno y alumna en el proceso de aprendizaje; quien aprende debiera desarrollar hábitos que lo lleven a opinar, preguntar, plantear sus conclusiones y conjeturas, estar dispuesto a escuchar las opiniones de otro y pedir que las fundamente, estar dispuesto a reconocer y corregir errores, entre otros.

Algunos de los aspectos psicológicos y ambientales serían:

Infraestructura Creatividad Relaciones Humanas Familia Autoestima Estilos de dirección Opiniones Expectativas Trabajo en equipo Estado de ánimo Temores Motivación Capacidad de resolución de problemas

Se debe estimular el desarrollo de competencias para la vida y por lo tanto, no se pueden descuidar estos aspectos.


Resulta particularmente importante preocuparse por desarrollar:

Compromiso y disposición Alta autoestima Creatividad Confianza en sus propias capacidades Capacidad para expresar opiniones Desarrollar el pensamiento lógico Disposición para aceptar críticas Control de la ansiedad Motivación por aprender

No es extraño, ver alumnos descontentos que expresan:

Los adultos se preocupan sólo por las notas y poco por lo que aprendo Soy malo para estudiar Dictan las materias No les interesa lo que yo siento Me aburro en clases Nadie me escucha No tengo amigos No me consideran como persona No me pescan en casa ni en la escuela De qué me sirve lo que me enseñan

Los profesores debemos:

Atender todas las dimensiones del alumno, intelectual, afectiva, social y motora Valorar el desarrollo de todo lo que constituye su subjetividad

Los objetivos transversales deben impregnar el currículo escolar y ellos apuntan al desarrollo integral del alumno/a.

De acuerdo al Art. 2 de la Ley Orgánica Constitucional de Enseñanza y considerando lo propuesto por la Comisión Nacional de Modernización de la Educación, se estableció el siguiente Principio Orientador para formular Objetivos Fundamentales Transversales:


Lo anterior, implica una orientación: A la formación moral (valorar el aprendizaje, respeto, amor y protección al prójimo,

tolerancia y respeto étnico, religioso y político, amor y respeto por la verdad, justicia y belleza, valoración de la familia, solidaridad, generosidad, participación, lealtad, etc.).

A las competencias personales y sociales (autoestima, iniciativa, conciencia, hábitos responsables de consumo, de estudio y trabajo, además del desarrollo del sentido patrio, compromiso social, valoración de la productividad, eficiencia de los recursos naturales, del patrimonio artístico y cultural del país y de la humanidad, etc.).

A temas Emergentes y Relevantes (derechos humanos, revolución científica, tecnológica, afectividad y sexualidad humana, protección y defensa del medio ambiente, valoración crítica de lo cotidiano, en fin, aspectos en los que exista un alto grado de sensibilidad e inquietud publica).

Clase N° 12

De la siguiente lectura “EL ESPANTAPÁJAROS”, de autor desconocido, es posible extraer algunas de las ideas desarrolladas sobre los O.F.T. y su relación con la educación matemática:

“La educación chilena busca estimular el desarrollo pleno de todas las personas, promover su encuentro respetando su diversidad y, sobre esta base, formular tanto dentro de

valores que revistan de sentido ético a la existencia personal, como en la disposición para participar y aportar, conforme a su edad y madurez, en una convivencia regida

por la verdad, la justicia y la paz”.


“Un labrador muy avaro, que vivía en un lejano pueblo, se dio a conocer, precisamente, por su avaricia. Ésta era tal que, cuando un pájaro comía un grano de trigo encontrado en el suelo, se ponía tan furioso que se pasaba el día cuidando su huerto para que nadie lo tocara.

Tanto pensó en el daño de los pájaros, que al fin concibió una idea: construir un espantapájaros que le ayudara eficazmente en el cuidado del huerto.

Con tres cañas hizo los brazos y las piernas, con paja configuró el cuerpo, una calabaza le sirvió de cabeza, dos granos de maíz puso para los ojos, una fresca zanahoria conformaba su nariz, una hilera de granos de trigo componían su dentadura.

Cuando el cuerpo del espantapájaros estuvo a punto, le colocó ropaje poco atractivo y lo hincó en tierra, le echó una mirada escrutadora y se percató de que le faltaba un corazón. Cogió el más sazonado fruto del granado y se lo colocó en el pecho.

El espantapájaros quedó en el huerto, sometido al movimiento caprichoso del viento. Sin tardar mucho, un gorrión necesitado sobrevolaba muy bajito para buscar trigo en el huerto. El espantapájaros quiso cumplir con su oficio y trató de ahuyentarlo con sus descompasados movimientos, pero el pájaro se colocó en el árbol y dijo:

¡Qué buen trigo tienes. Dame algo para mis hijos! No es posible, dijo el espantapájaros. Sin embargo, buscó una solución y la

encontró: le ofreció sus dientes de trigo.

El gorrión contento y conmovido, recogió los granos de trigo. El espantapájaros quedó satisfecho de su acción, aunque sin dientes.

A los pocos días, entró en el huerto un nuevo visitante muy interesado. Esta vez se trataba de un conejo. ¡Con qué ojos miró la zanahoria! El espantapájaros quiso cumplir con su deber de ahuyentarlo, pero el conejo fijando su mirada dijo:

¡Quiero una zanahoria, tengo hambre!


El espantapájaros tuvo una corazonada y ofreció su zanahoria. Luego dio rienda suelta a su alegría y quiso entonar una canción, pero no tenía boca ni nariz para cantarla.

Una mañana apareció el gallo madrugador, lanzando al aire su alegre quiquiriquí. Acto seguido, le dijo:

¡Voy a prohibir a la gallina que alimente con sus huevos el estómago y la avaricia del amo! (pues él les daba poco de comer)

No le pareció bien al espantapájaros la decisión del gallo y le mandó que cogiera sus ojos formados por granos de maíz.

¡Bien!, dijo el gallo y se fue agradecido.

A la hora del crepúsculo, el espantapájaros escuchó una voz humana que le contaba cómo había sido despedido por el labrador.

Soy un vagabundo, le dice. Coge mi vestido, es lo único que puedo ofrecerte. ¡Oh, gracias, espantapájaros!

Ese mismo día, un poco más tarde, oyó llorar a un niño que buscaba comida para su madre. El dueño de la huerta lo había despedido, sin atender a su necesidad.

¡Hermano!, exclamó el espantapájaros; ¡te doy mi cabeza que es una hermosa calabaza!

Al amanecer, el labrador fue al huerto y, cuando vio el estado en que había quedado el espantapájaros, se enfadó tanto que le prendió fuego. Por fin cayó al suelo su corazón de granada. El labrador, riéndose, dijo: “Esto me lo como yo”. Pero al morder experimentó un cambio, su corazón de piedra se había convertido en corazón de carne.

En adelante, el huerto del labrador fue un vergel y una canción donde todos podían recrearse con la armoniosa nota del calor humano.


Luego de la lectura, el docente puede desarrollar las siguientes actividades:

Comentar la lectura, cada alumno dice qué le llamó la atención de este episodio.

En conjunto analizan, discuten y dan una respuesta a las siguientes interrogantes:

a) ¿Cuándo se han comportado como el labrador? Cada uno cuenta los casos en que así ha ocurrido y anotan las respuestas.

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b) ¿Cuándo se han comportado como el espantapájaros? Anotan sus respuestas.

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c) ¿Cómo era el labrador? ¿Cómo era el espantapájaros? Anotan las cualidades y defectos que tenían ¿Por qué se produjo el cambio del labrador?

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d) ¿A quiénes representan los otros participantes del cuento? Animales y personas.

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e) ¿Qué podemos hacer nosotros para parecernos más al espantapájaros que al labrador?

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Es la necesidad de unir, en una misma totalidad, el aprendizaje de los saberes y el crecimiento humano, la que exige que no se lleve a los niños, ni hacia un conocimiento de carácter enciclopédico ni hacia un aprendizaje que pueda ser conseguido a través de la sola memorización. Los saberes así propuestos, no respetan la altura de la dignidad humana.

En la escuela básica, la enseñanza de la matemática debiera orientarse en dos direcciones complementarias e inseparables. Por una parte, debiera ofrecer a todos los estudiantes la opción de ampliar y profundizar estudios que le son propios de este sector, sin perder de vista el papel que la matemática desempeña en la comprensión de aprendizajes propios de otros sectores. En este sentido, adquiere especial relevancia la dimensión formativa del sector, promoviendo el desarrollo del pensamiento lógico, del análisis, de la deducción, de la precisión, de la capacidad de problematizar la realidad, de formular y comprender modelos de tipo matemático.

Por otra parte, la enseñanza debiera contribuir a un mejor desempeño de la persona en la vida diaria, a través de la utilización de conceptos y destrezas matemáticas que le permitan reinterpretar la realidad y resolver problemas cotidianos del ámbito familiar, social y laboral, contribuyendo al mismo tiempo, a establecer un lenguaje para la comprensión de los fenómenos científicos y tecnológicos.


UNIDAD II


Clase Nº01

1. Orientaciones Didácticas

Hablar de orientaciones didácticas en general, es abstracto. Sin embargo, en un intento serio de proporcionar algunas ideas para que cada docente las contextualice en su propio ámbito, podemos apoyar el aprendizaje de la matemática, partiendo de las siguientes premisas aceptadas en educación matemática:

Se aprende y se enseña matemática haciendo matemática y entendiéndola como una actividad del hombre, que le permite explorar fenómenos, buscando y descubriendo regularidades y patrones. En este proceso el alumno es el constructor de sus aprendizajes y en consecuencia, es normal dudar, especular, plantear hipótesis, comentar, corregir errores, explicar, comunicar, generalizar, poner en juego las intuiciones, resolver, plantear y reconocer problemas.

Con un profesor (como apoyo) mediador, facilitador y problematizador que propicia contextos significativos, complejos y variados, que plantee preguntas que lleven más lejos al alumno, a descubrir nuevas interrogantes y dudas, que le ayuden a tomar conciencia de su capacidad, que le inciten a probar, reconstruir y corregir errores. El docente debe proporcionar el espacio necesario para la toma de decisiones, el análisis y la búsqueda de conclusiones. Debe ajustar los problemas a los alumnos; sus necesidades y nivel, regulando los procesos de contexualización matemática que signifiquen “quererla y reconocer su relevancia y pertinencia en el mundo actual”.

1.1. Orientaciones del Aprendizaje de las Matemáticas en el Mundo Actual

La enseñanza de la matemática involucra a una gran cantidad de personas y constituye una fuente de temores, producto de fracasos sucesivos, de rendimientos mediocres, de incomprensión del sentido de lo que se estudia.

Los problemas ligados al aprendizaje de la matemática, de esa matemática necesaria para la vida de todos los días, tanto como para el desarrollo del pensamiento matemático y el gusto por esta forma del pensamiento, tienen diversos orígenes y se sitúan en diferentes niveles.

En la práctica docente, se pueden identificar al menos cuatro estilos o modos de enseñanza: mecanicista, empirista, estructuralista y realista.


La enseñanza mecanicista ocurre, por ejemplo, cuando la actividad de la clase de matemática se centra en inculcar a los estudiantes cálculos rutinarios, sin situarlos en ningún contexto donde ésos puedan tener sentido, ni tampoco en la teoría que les da origen. Los estudiantes aprenden fórmulas misteriosas, aparecidas de la nada y que no sirven para nada.

La enseñanza puede ser calificada de empirista cuando se da mucho espacio a la manipulación y observación, a la resolución de problemas cotidianos, sin que ellos conduzcan necesariamente, a la construcción teórica de los conceptos, y sin dejar espacios a la demostración y al razonamiento.

La enseñanza es llamada estructuralista cuando el énfasis está puesto en la teoría axiomática, no relacionando los conceptos con sus aplicaciones significativas.

Finalmente, la enseñanza realista es aquella en que los dos aspectos que dan sentido a los conceptos matemáticos están presentes, es decir, el contexto natural y la teoría deductiva. La construcción teórica de los conceptos se articula en las situaciones familiares que constituyen las raíces intuitivas, y en las aplicaciones que permiten ver el funcionamiento del concepto y su poder de interpretación (aplicaciones que pueden ser propiamente matemáticas o sobre problemas que requieren de ellas para su solución). Un lugar importante es concedido al sentido común en matemática.

Las prácticas más comunes desarrolladas en la sala de clases, se acercan a formas de tipo estructuralista y mecanicista. Se mueven entre la abstracción sin sentido y las prácticas rutinarias (listas de innumerables ejercicios para aplicar ciertos algoritmos mecánicos cuyos orígenes son desconocidos por los estudiantes) también desprovistos de sentido.

Al mismo tiempo, los profesores, en general, han recibido o “heredado” desde sus años de estudio la idea de que la matemática consiste en hacer cálculos exactos, y sólo eso. Muchos creen que saber calcular sin errores, es un prerrequisito de matemáticas más avanzadas.

Los cambios en la enseñanza de las matemáticas en las escuelas y liceos, apuntan a la idea que se tiene de lo que es aprender matemática y al tipo de matemática que se enseñe. Ambas cuestiones determinan, en menor o mayor medida, lo que tanto estudiantes como profesores hacen en las clases de matemáticas y la calidad de los aprendizajes de aquéllas.

Concebir el aprendizaje de las matemáticas como una actividad del alumno/a, es una de las primeras ideas de que es necesario apropiarse; es decir, el foco está en quién aprende y no en quién enseña. Es el profesor quien debe facilitar y crear condiciones para que los estudiantes construyan su saber matemático.


La utilización sistemática de problemas en el aprendizaje de las matemáticas, es actualmente recomendada casi en todas partes del mundo y se basa en la siguiente observación:

De este modo, no se trata sólo de que los profesores desarrollen competencias para “inventar” problemas, considerando la vida cotidiana, la realidad cultural de sus alumnos y alumnas, sino también, deben ser capaces de estructurar los problemas de acuerdo a su nivel de dificultad, posibilitando que los estudiantes desarrollen procesos de aprendizaje en los conocimientos, que a medida que son necesarios, se van estructurando y dando sentido a la construcción del conocimiento matemático.

Esto se relaciona con lo que se ha llamado aprendizaje en espiral, en el cual los niños y niñas construyen su saber progresivamente, donde los conceptos se elaboran a partir de nociones cotidianas, por ajustes sucesivos, sirviendo en situaciones problemas cada vez más complejas o difíciles. Aquí surgen las siguientes interrogantes:

a) ¿Qué son las matemáticas?

- Productos culturales/sociales dinámicos; una forma de pensamiento.

b) ¿Qué es aprender matemática?

- Pensar, buscar, descubrir regularidades (con números y figuras).

c) ¿Para qué aprender matemáticas?

- Para desarrollar una forma de pensamiento, para pensar matemáticamente, es decir, enfrentar, plantear y resolver problemas matemáticos (de la vida o no). Para desarrollar la actitud y la capacidad de aprender progresivamente matemática, para adquirir herramientas útiles que permitan analizar los aspectos cuantitativos de la realidad social y natural. Para el placer del espíritu.

“Para enseñar a los estudiantes matemática, es más eficaz hacerlos trabajar primero sobre preguntas de dificultad media y que apelan a una teoría, que inculcarles de

repente conocimientos construídos previamente. Es importante considerar que para aprender a resolver problemas, cada vez más difíciles, es necesario tener más

conocimiento y mejor estructurados”.

“Los aprendizajes son procesos; las ideas son conceptos, nociones, técnicas y evolucionan”.


d) ¿Qué es pensar matemáticamente?

- Es dar libre curso a la curiosidad, explorar un campo de fenómenos (no un sólo fenómeno). Observar regularidades, simetrías, modelos, analogías, esforzarse por explorar todos los casos, mirar a las situaciones extremas, descubrir, sorprenderse, etc.

- Es convencerse inductivamente con la ayuda de ejemplos, construir una convicción buscando más ejemplos, dudar, argumentar las dudas, buscar contra-ejemplos, equivocarse, inferir, confirmar, darse cuenta que los ejemplos por sí solos no son una prueba, preguntarse: ¿siempre es así? (el “siempre” envía a menudo al infinito), sentir la necesidad de una prueba, preguntarse: ¿por qué es de esta manera?

- Enunciar, explicar, probar, buscar la figura paradigmática (aquella que permite “ver” una cantidad infinita de casos), razonar sobre una fórmula, particularizar, generalizar, iniciar nuevas exploraciones.

- Buscar, acortar los métodos (economía de pensamiento), indagar en los recuerdos, no temer, pensar “al lado”, apropiarse de ideas luminosas, desconfiar de las apariencias y de los juicios ingenuos, aumentar la experiencia, la desconfianza crítica, la vigilancia intelectual.

- Sentir la fuerza de las intuiciones geométricas, la concreción y la generalidad de los símbolos, es estar contento y a veces lleno de júbilo, sentir el poder del espíritu, aumentar la confianza en sí mismo.

- Mejorar la higiene intelectual, no empecinarse en buscar una respuesta cuando ya no se puede más; ir a dormir a tiempo, dejar madurar una pregunta.

Todo este proceso es complejo y difícil de explicar. No se puede hacer de esta lista un repertorio de competencias que es necesario adquirir una a una. Ninguna exposición teórica puede hacer ver lo que es este proceso, ya que se aprende de manera natural a hacer matemáticas, haciéndolas. Por lo que es necesario, hacer matemáticas uno mismo para hacer que otros aprendan, es decir, para que otros hagan matemática. Esta es una condición necesaria aunque insuficiente.

e) ¿Cómo se aprende mejor matemática?

- Planteando a los niños y niñas problemas: en contextos que den sentido a lo que están aprendiendo y a lo que han aprendido, dentro o fuera de la escuela.

- Ligados a las experiencias de los niños y niñas: en su vida diaria familiar, de juegos, televisión, etc.


- Ligados a otros campos del saber: astronomía, ciencias naturales, sociales, música, artes, etc.

- Ligados a cuestiones propiamente matemáticas: particularmente en la sistematización de regularidades, de propiedades particulares, etc.

- Resolviendo y planteando: muchos problemas.

Que tengan que ver: Con su vida e intereses, experiencias, fantasías, juegos. Con su matematización, aritmética, geometría, con la búsqueda de patrones y regularidades.

Planteados oralmente: Cuentos, historias; y resueltos con materiales concretos, y gráficos.

Planteados mentalmente: tanto en el proceso de resolución como en la estimación y cálculo de resultados.

Recurriendo a: instituciones, experiencias, procedimientos aún no formalizados.

Tan variados como sea posible para:Mirar los objetivos, ideas y nociones desde sus diferentes sentidos (por ejemplo, la adición no sólo tiene sentido en situaciones que implican “agregar”, también lo tiene en otras, como “poner juntos”, “avanzar”, “ganar”, “poner a continuación de”): descubrir la pertinencia de ideas, nociones y herramientas matemáticas en la solución de ciertos problemas y su falta de pertinencia en otros (por ejemplo, no en todos los problemas en los que intervienen números tiene sentido sumar).

¿Cómo apoyar los procesos de aprendizaje de los estudiantes, además de lo anteriormente expuesto?

� Promoviendo preguntas que los lleven a:

Ver más lejos Hacer conjeturas Plantearse interrogantes y dudas Tomar conciencia de sus capacidades, de sus intuiciones De su creatividad o de sus procedimientos De sus errores y corregirlos

� Dando espacio a:

Discusiones, análisis y conclusiones grupales


Ajustando los problemas a las necesidades de los niños y niñas y a sus diferencias Regulando los procesos de Contextualización matemática

Clase Nº02

1.2. El Currículo en Matemática y Ciencia para Niños y Niñas de 5 - 13 Años

Se trata de:

Lo anterior implica el logro de competencias básicas; que se pueden categorizar como referidas a:

a) Capacidades fundamentales o competencias duras (lenguaje, comunicación, cálculo), deben ser tratadas Interdisciplinariamente y son del campo de competencias del total de profesores.

b) Disposiciones personales y sociales (desarrollo personal, autoestima, solidaridad, trabajo en equipo, autocontrol, integralidad, iniciativa, espíritu emprendedor, entre otros).

Desarrollar una mente indagadora y una

aproximación científica a los problemas

Desarrollar conceptos básicos

y un procedimiento

lógico-matemático

Comunicar y manejar lenguaje

matemático-simbólico

Apreciar patrones y regularidades

Plantear problemas, diseñar

experimentos o investigaciones para

hallar soluciones

Adquirir conocimientos y capacidades de

aprendizaje (aprender a aprender)

Interpretar con sentido crítico

Desarrollar intereses, actitudes

y sensibilidades científicas Observar, explorar

y ordenar observaciones


c) Aptitudes cognitivas (abstracción, innovación, creatividad, resumir, extrapolar, etc.).

d) Conocimientos básicos (medio natural y social, de las artes, de la trascendencia y de sí mismo).

En síntesis:

1.3. Algunas Consideraciones Didácticas en Torno al Programa NB3

- El objetivo de la enseñanza–aprendizaje de la matemática, es que los alumnos y alumnas aprendan a razonar y a resolver problemas.

- Antes de todo estudio de las operaciones aritméticas, aún muy elementales, es necesario que el niño y niña hayan tormado conciencia, sobre un plano concreto (plano de su experiencia formal y motriz) de las operaciones básicas en conjunto como: unión, separación, reagrupamiento, etc.

- Debe trabajar con objetos tanto de igual como de distinta naturaleza, de este modo entenderá, por ejemplo, cómo se resuelve un problema en el que se plantea encontrar la unión de un conjunto de dos manzanas y cinco peras.

- La traducción simbólica de las operaciones se introducirá cuando el alumno/a haya realizado muchas operaciones concretas (a la altura ya de NB2-NB3).

- La operación escrita, como mecanismo o algoritmo puro, no conduce al desarrollo sino más bien, limita.

- Debe ser una traducción simbólica de un proceso mental, y debe ser preparada por una serie de pasos que le permitan pasar de uno a otro, en forma progresiva y armónica.

Es decir:

a) Primero la acción; que manipule y se introduzca en una primera traducción verbal, que relate lo que hace. La acción y el lenguaje están muy entrelazados y se complementan.

“Una persona educada integralmente debe ser hábil en el uso del lenguaje, símbolos, gestos, bien informado de los hechos, capaz de crear y de apreciar los objetos de

significado estético, poseído de una rica y disciplinada vida de relación consigo mismo y los demás, hábil para tomar decisiones inteligentes, capaz de jugar entre lo correcto e

incorrecto, y poseer una visión integral de mundo”.(Phenix, P)


b) Luego que cuente lo que hace sin apoyo en la acción; se controla su memoria y se provoca la interiorización indispensable.

c) Se introduce la expresión gráfica simbólica por el dibujo y el signo, pero cuando el alumno/a sea capaz de evocar verbalmente de una manera concreta la operación respectiva.

d) Proceso guiado, con un profesor mediador y de modo que el niño y niña vayan de lo concreto a lo abstracto, pero exigiendo que frente a lo abstracto también sean capaces de volver a encontrar las etapas hasta descender a la operación concreta.

e) La idea es que tenga muchos recursos para el aprendizaje de las operaciones, que encuentre variados caminos, de modo que capte sentido y significado en lo que hace, aplicándola siempre a situaciones nuevas.

f) Es claro que la resolución de problemas concretos contextualizados, logra aprendizajes significativos, clases agradables, clima de relación y cooperación, en fin, desarrollo y crecimiento.

g) La propuesta es de problematizar, abrir los problemas, desafiar a los niños y niñas a resolver con sus propios recursos y a través de la práctica, del análisis y discusión ir creando nuevas formas de abordarlos, más económicas y efectivas. La idea es que cuando el alumno/a resuelve un problema, demos un paso para abrir otro mayor. La solución de un problema es pedagógicamente buena si ella genera nuevas interrogantes y nuevos desafíos a enfrentar.

h) La idea es innovar, es atreverse, es problematizar siempre, es formar alumnos/as críticos, democráticos, libres, emprendedores, capaces de resolver problemas y de insertarse en la sociedad.

i) Hoy en día la tecnología ha invadido todos los espacios; frente al analfabetismo digital, es fundamental introducir el uso del computador como recurso metodológico para mejorar aprendizajes. Se abre así, una posibilidad real de comunicación con los alumnos/as, al introducirnos en los códigos de la modernidad, del lenguaje computacional. Sólo pensemos en el uso de Internet, en el manejo actualizado de la información, en los innumerables programas existentes, en las incontables experiencias e investigaciones frente a problemas pedagógicos y didácticos resueltos por investigadores; en listados ricos y variados de ejercitación, en software matemáticos interactivos, en los más insospechables temas y considerando niveles y ciclos. En fin, el desafío es atrayente, pero ineludible para un profesor.


Son muchas las recomendaciones didácticas que se pueden dar, y la verdad es que la más importante es atreverse a innovar y reflexionar constantemente en torno a nuestra práctica:

1.4. Ejes Temáticos Propuestos para NB3

Es posible reunir el programa de NB3, en los siguientes temas que dan cuenta de los ejes propuestos:

- Calendario y mapas- Grandes números- Factores y productos- Propiedades de la división- Cuerpos y figuras geométricas- El mundo de las fracciones

Frente a cada eje del programa se presentan sugerencias metodológicas que facilitan el aprendizaje, por parte de los alumnos y alumnas.

a) Calendario y Mapas:

Es recomendable que mostremos la utilidad que prestan los calendarios y relojes en la organización de nuestra vida y del uso cotidiano que todos hacemos de ellos. Podemos invitar a ordenar rutinas, nuestros horarios de trabajo, de clases, de recreación, etc., de modo que hagamos eficientes los tiempos reales. Nos brinda la oportunidad de relacionarnos con las ciencias sociales y establecer líneas de tiempo, momentos históricos, duración de acontecimientos importantes, tiempo que falta para cumplir objetivos, etc.

Por su parte, los mapas y planos nos permiten ubicarnos en el espacio, calcular distancias que separan lugares, discriminar en términos de rutas, etc. Ubicarnos en el tiempo y espacio, es fundamental para todo ser humano.

“Desarrollando en nuestros alumnos y alumnas, formas de pensamiento que les posibilite procesar información acerca de la realidad para: profundizar sus conocimientos

acerca de ella, tener una actitud positiva hacia el aprendizaje de las matemáticas y apropiarse de formas de razonar matemáticamente; además, que adquieran

herramientas que les permitan reconocer, plantear y resolver problemas y, por último, que desarrollen confianza y seguridad en sí mismos, mediante la toma de conciencia de

sus capacidades, intuiciones y creatividad.”


Frente a este tema, es importante plantear a los alumnos y alumnas, desafíos que den respuesta a situaciones tales como unidades de tiempo, a lo menos en días, semanas y años. Se pueden plantear desafíos en relación con:

- ¿Qué significan: el año bisiesto, duración entre fases de la luna y su ubicación con la semana y el mes?

- ¿Qué explicación existe en el hecho de tener meses cortos y meses largos?

- ¿Cuáles son las equivalencias en el año matemático?

Todo ello, enriquecido con preguntas acerca de la realidad de los propios alumnos y alumnas y de su contexto. Por ejemplo, plantear problemas que digan relación con:

- Sus fechas de nacimiento, sus edades actuales, la edad que tendrían al término de ciertas etapas de su vida.

- Describir regularidades en las hojas de calendario; cómo se organiza, que cantidad de días existen en las filas y columnas, cómo aumentar por columna, etc. Es el alumno y alumna quien debe descubrir y comentar sus deducciones. Del mismo modo, detectar sumas curiosas.

Curiosidades numéricas del calendario:

- En un calendario tradicional aparecen los números del 1 al 30 ó al 31 ordenados en filas y columnas.

- En cada columna vertical se ubican las fechas correspondientes a un determinado día de la semana.

- En cada fila horizontal se ubican las fechas correspondientes a una determinada semana.

- Cada fila es una secuencia de números que siguen el orden de los números naturales.

- Sin embargo, ésta no es la única regularidad que muestran los números en una hoja de calendario.


Discuta con sus alumnos y alumnas:

1. Cada fila en una hoja de calendario contiene 7 números ordenados de menor a mayor, siguiendo el orden natural. Esto no es ninguna sorpresa. Pero observa una columna. ¿qué regularidades encuentras?

2. ¿Observas alguna regularidades en los números que ocupan una diagonal?, la regularidad observada, ¿depende de la orientación de la diagonal?

3. ¿Cómo podrías determinar, sin necesidad de mirar el calendario, qué fecha será dentro de una semana? Discute el procedimiento que propones con el que proponen tus compañeras y compañeros.

4. ¿Qué día de la semana fue hace 8 días?, ¿qué día de la semana será dentro de 6 días?

5. Rocío afirma que puede decir, en menos de 5 segundos, qué día de la semana será dentro de 700 días. ¿podrías tú igualar esta habilidad de Rocío?

6. ¿Podrías ir incluso más allá de Rocío y decir qué día de la semana será dentro de exactamente 6.999 días?

7. 14 multiplicado por 7 es igual a 98, por lo tanto, en 100 días caben 14 semanas y sobran dos días. Esta información es suficiente para establecer rápidamente qué día de la semana será dentro de 100 días. Hazlo.

8. Si dividimos el número de días del año por el número de días que tiene una semana, obtenemos la siguiente división: 365: 7 = 52 ¿podría usar esta información para determinar qué día de la semana será dentro de exactamente un año?

9. Volvamos a las hojas de un calendario. ¿Tienen todas las filas la misma cantidad de números?, ¿cuál es el máximo de números que puede tener una fila?, ¿cuál es el mínimo?

10.¿Tienen todas las columnas la misma cantidad de números?, ¿cuál es el máximo de números que puede tener una columna?, ¿cuál es el mínimo?

11.Revisando papeles viejos, Álvaro encontró un calendario del año en que él nació. Se fijó en la hoja correspondiente al mes en que nació y pudo ver que ese mes tenía una columna con 5 números y seis columnas de 4 números. Observó además, con sorpresa, que su fecha de nacimiento estaba justamente en el centro de la columna más larga. De acuerdo con esta información, ¿qué se podría afirmar acerca de la fecha de nacimiento de Álvaro?


Tal vez sería interesante incluir biografías y aportes de grandes matemáticos. También corresponde explicar a los alumnos y alumnas, la realidad de incorporar unidades menores al día, por ejemplo, para estimar duración de una clase, del tiempo para desplazarnos de la casa a la escuela, etc. Debe aparecer entonces, la hora, los minutos y los segundos. En este momento, se debe incorporar abundantes ejemplos de acontecimientos específicos en relación con la vida de los estudiantes, con fechas importantes, etc.

Ejemplo:

o A las 24 horas del 31 de diciembre de 1999, se celebró en todo el mundo la llegada de un nuevo siglo y de un nuevo “milenio”.

o Cuando se instauró nuestro actual calendario, se decidió que se empezaría a contar desde el año en que nació Cristo. Ese año fue designado como año 1; y de ahí se cuenta hacia delante. Nuestro calendario empieza entonces, el 1 de enero del año 1. De acuerdo con esto, ¿cuándo se completan 10 años? ¿Cuándo se completan 20 años? ¿Cuándo se completan 100 años?

o Sabemos que un siglo equivale a 100 años. Pensemos en el siglo I. Ese siglo empieza el 1 de enero del año 1. Si somos estrictos, el siglo I debería terminar el 31 de diciembre del año 100, de modo que el siglo I empezaría el 1 de enero del año 101. Pero se ha impuesto la costumbre de celebrar el comienzo de un nuevo siglo en el momento en que se cambia la centena. Es decir, el comienzo del siglo I se celebra el 1 de enero del año 200, y así sucesivamente.

De acuerdo con esto, ¿de qué fecha hasta qué fecha se extiende el siglo I? ¿Y el siglo II? ¿Y el siglo X? ¿Y el siglo XX?

Resulta particularmente importante averiguar sobre la duración estimada de vida de ciertos animalitos, cantidad de latidos del corazón por minuto, por hora, actividades posibles de realizar por el alumno y alumna en 10 segundos, en 10 minutos, etc.

También es posible relacionar el tema con las celebraciones importantes a nivel de país, comuna, escuela, curso, etc., todo lo que puede graficarse en bonitas líneas de tiempo. Es muy factible incorporar fechas en el futuro y que estén en directa relación con metas, objetivos que los alumnos y alumnas esperan lograr en su vida.

En relación con la ubicación espacial, interesa establecer semejanzas con relojes y calendarios. Los puntos cardinales y su utilidad práctica, el uso de brújulas y su utilidad para la ubicación de los puntos cardinales en diferentes lugares en esta sección, genera una conexión muy valiosa con ciencias, por ejemplo, ubicar en el mapa el lugar en que ocurren


ciertos fenómenos importantes a nivel mundial, incorporar vocabulario técnico como Chile austral, boreal, levante, poniente y otras.

La confección de maquetas, planos y su utilidad para las personas, en relación con el turismo, con la ubicación de lugares típicos de la región, comuna o país.

Debe construir mapas, siguiendo los pasos normales de delimitación del área, interpretación de fuentes, edición y dibujo de elementos propios del territorio e impresión para luego hacer e interpretar diferentes mapas de su zona o país.

Clase Nº03

b) Grandes Números:

Se espera que los alumnos y alumnas puedan:

Leer y escribir números de más de 6 cifras Descomponer aditivamente números grandes Analizar la información cuantitativamente con dichos números Comparar, ordenar, secuenciar, y ubicar en la recta numérica, sumas y restas Efectuar redondeos y cálculos aproximados Construir e interpretar tablas y gráficos de barras

Lo esencial es que los alumnos y alumnas se den cuenta de la presencia de números grandes en su entorno.

En este tema, es necesario que los alumnos y alumnas puedan cuantificar situaciones reales, niveles de ventas de productos, rendimiento, datos poblacionales, alturas, etc., además debe quedar muy clara la idea de sistema de numeración decimal y en esa dirección, el valor posicional de las cifras.

Recordar que:

� El valor de un dígito depende de su posición en el número.

� Mientras más a la izquierda, mayor es el valor representado.

“Según estimaciones de Naciones Unidas, la población mundial alcanzó los 6 mil millones de habitantes alrededor del 12 de octubre de 1999.”


Objetivo que se logra con abundante ejercitación, y sobre todo presentando desafíos, como por ejemplo:

“¿Cuántos números diferentes de 3 cifras es posible formar con los dígitos 5,4, y 6?”

“De ellos, ¿Cuál es el menor? ¿Cuál es el mayor?

La ejercitación contextualizada es absolutamente necesaria, la posibilidad de plantear problemas en relación con su vida e intereses, es muy fácil y factible. Interesa aclarar las diferencias entre las familias de los miles, de los millones y de los miles de millones. En este sentido, los alumnos y alumnas pueden dar ejemplos de situaciones reales en que aparecen dichas familias. Un recurso valioso en esta dirección, lo constituyen las unidades de tiempo, la lectura y escritura de números, su ubicación en una gráfica, las equivalencias entre números, etc.

Actividades de este tipo existen en los textos, pero el verdadero desafío es que los docentes planteen junto con los alumnos y alumnas, situaciones en contextos reales y propios de la vida.

En términos de descomposición aditiva de números grandes, se debe continuar con lo iniciado en NB1 y NB2. En este sentido, debemos preparar el terreno para el cálculo aproximado, por ejemplo:

254.251= 200.000+50.000+4.000+200+50+1

Incluso los estudiantes pueden descomponer en términos de:

254.251 = 250.000+4.200+50+1 y que en ocasiones podría servir para efectos de redondeo

En el manejo de grandes números y de la descomposición, interesa conectarse con otras asignaturas. Son ejemplos interesantes, los censos poblacionales, la comparación de números, su ordenamiento de forma ascendente o descendente, etc. Tenemos los prerrequisitos esenciales para retomar el objetivo de sumar y restar, pero ahora con números mayores.

Ejemplos: 25.300 + 32.500 = 20.000 + 5.000 + 300 30.000 + 2.000 + 500 50.000 + 7.000 + 800 = 57.800

28.500 – 14.200 = 20.000 + 8.000 + 500 10.000 + 4.000 + 200 10.000 + 4.000 + 300 = 14.300


En este punto debemos insistir en el redondeo de números, por ejemplo: el número de los alumnos de una escuela es 8.523, número que se puede redondear de la siguiente forma:

A la decena ——— 8.520A la centena ——— 8.500A la unidad de mil ——— 9.000

También se debe incluir el uso de tablas y gráficos. Es de gran importancia manejar datos objetivos que aproximen a un mayor conocimiento de la realidad. Datos censales, índices de natalidad, mortalidad, contaminación y otros, información de encuestas e información de diarios y revistas, en las cuales aparezcan datos ordenados en tablas; con gráficos de cada caso.

Es de suma importancia que los alumnos y alumnas sepan recolectar información, ordenarla en tablas, calcular sus frecuencias y graficarla. Los estudiantes deben incluso descubrir la ventaja del gráfico y en ese sentido, comprender el por qué del dicho popular: “un gráfico vale por mil palabras”.

La lectura, análisis y discusión socializada de tablas y gráficos, nos permite una real oportunidad de introducir de verdad lo transversal en la matemática y valorar el cómo la matemática nos permite situarnos en la sociedad con sentido crítico y responsable.

Hay temas precisos que cada región, comuna, localidad, presentan a diario en informaciones ordenadas, un ejemplo de ello son los visitantes que repletan los centros turísticos.

Crecimiento de la Población

Así como aumentan y se renuevan los recursos vegetales y las poblaciones de animales, también crece la población humana.

Interesa mostrar a los estudiantes situaciones como:

De acuerdo a datos del Instituto Nacional de Estadísticas, la población de Chile al 30 de junio del año 2000 se estimaba en 15.211.308 habitantes. Este es un número de ocho cifras. Para poder entenderlo, procedemos a separar sus cifras en grupos de tres:

15.2 11.308 habitantes

El primer grupo de cifras indica de cuántos millones estamos hablando; en este caso, se trata de 15 millones. Los otros dos grupos indican cuántos habitantes tendría Chile por sobre esos 15 millones.


De modo que:15.211.308 = 15.000.000 + 211 308

Ahora, la lectura es simple: “quince millones doscientos once mil trescientos ocho”

Chile población estimada en el período 2000–2050

AÑO TOTAL

2000 15.211.3082010 17.010.2892020 18.774.0772030 20.239.7942040 21.367.9132050 22.215.171

La tabla muestra los valores estimados para la población de Chile entre los años 2000 y 2050. De acuerdo con estas proyecciones:

¿La población va aumentando o va a disminuir en ese período? ¿La diferencia de población entre el año 2000 y el año 2010 va a ser mayor o menor

que 1 millón de habitantes? ¿Y la diferencia entre el año 2040 y el año 2050? ¿Cuándo esperarías que el país llegue a tener 20 millones de habitantes?

Según la tabla, la población de Chile el 30 de junio del año 2010 será de 17.010.289 habitantes.

¿Cómo se lee este número? ¿Cuántos habitantes por sobre los 17 millones se espera que tenga el país ese año? ¿Ese año faltará más o faltará menos de medio millón de habitantes para completar

los 18 millones?

Por ejemplo, la comunidad donde tú vives ¿ha crecido con el tiempo?

Pregunten a sus padres o familiares si ha variado el número de habitantes en su localidad desde que ellos viven allí.

¿Ha disminuido o aumentado?, ¿por qué? ¿Hay más familias ahora que hace unos años? ¿Hay más niños ahora que cuando tus padres eran pequeños?


Cuando tengas las respuestas, escríbelas en tus apuntes y comenta con otraspersonas o el grupo que te entregó la información. ¿Cuánto ha variado (crecido o disminuido) la población en su comunidad a través de los años?

Investiga en libros o a través de Internet los siguientes cuestionamientos:

¿Qué son las migraciones? ¿Qué es la mortalidad? ¿Qué es la natalidad?

La población de nuestro país crece y cambia, igual que la población de sus comunidades. Al respecto debemos comentar con nuestros estudiantes hechos y situaciones, tales como:

Cuando los españoles llegaron a Chile en 1536, el país estaba habitado por diversos pueblos indígenas que, con el tiempo, fueron disminuyendo su población.

Sin embargo, con todas las personas que han nacido en Chile a lo largo del tiempo, en 1993 existían más de 13.000.000 habitantes y el 30 de junio de 1995, ya habían 14.253.000.

Para saber cuántos son los habitantes de un país y cuánto ha crecido el número de habitantes, se hacen los Censos de Población.

Uno de los primeros censos que se conoce en el mundo, fue el que se hizo en el Imperio Romano, por orden de un Emperador que deseaba saber cuántas personas vivían en su territorio.

En la época de los romanos, cuando nació Jesús, la gente tenía que ir a la ciudad donde había nacido para ser censada.

José y María iban a registrarse en la ciudad donde habían nacido, pero antes de llegar a su territorio, nació el niño Jesús en Belén.

Actualmente, se prepara una encuesta que consiste en un cuestionario con preguntas sobre cuántas personas viven en la casa, el estado de la vivienda y muchas otras cosas.

Cada vez que hacemos una lista de preguntas para saber algo de la comunidad, esta lista se llama encuesta.

En general, para entregar datos referidos a población, producción, superficies de países o continentes, es necesario el empleo de números más grandes que los que ustedes han conocido.

Es decir, esos números grandes tienen más cifras o dígitos que los números que ustedes conocían. Para facilitar la comprensión de números muy grandes, se acostumbra a entregar la información en miles o en millones, como se muestra en este cuadro.


Nº de habitantes por Continente, años 1989 y 1990

Población en millones de habitantesContinente

Año 1989 Año 1990África 628 648

América 713 724Asia 3122 3178

Europa 713 716Oceanía 26 26

Total mundial 5202 5292

Así por ejemplo, en África había 628 millones de habitantes en 1989 y 648 millones en 1990.

Comenten en grupo los datos de la población por continente:

¿Qué sucedió, en general, en la población en los distintos continentes entre los años 1989 y 1990?

¿En todos los continentes creció? ¿En qué continente se produjo el mayor crecimiento?

¿En cuántos continentes se distribuye la población del mundo? Escriban sus nombres en el cuaderno.

¿Dónde están situados estos continentes? Ubíquenlos en un atlas.

¿En qué continente se ubica Chile?

¿De qué otros países, aparte de Chile, han escuchado hablar? Escríbanlos en el cuaderno.

¿En qué continente están esos países? Ubíquenlos en un atlas.

¿Cuáles son los países vecinos de Chile? Anótenlos en el cuaderno.

¿Qué población tenía América en 1989?

¿Cuántos habitantes tenía el continente americano en 1990?

Si en 1989 la población en América era de 713 millones, ¿en cuántos millones de habitantes aumentó en 1990?


¿Cómo pueden calcularlo?

¿Cuál era el continente más poblado en el año 1989?, ¿y en el año 1990?

¿En 1989 Europa tenía más, tenía menos o igual cantidad de habitantes que América?

El siguiente cuadro, muestra la población de algunos países en 1989 y su proyección para el año 2000.

Proyección del Crecimiento Poblacional entre 1989 y 2000

PaísPoblación en millones de habitantes

Año 1989 Año 2000Argentina 32 36Bolivia 7 10Brasil 147 178Chile 13 15China 1119 1275España 39 41Estados Unidos 250 270Francia 56 59Italia 57 58Perú 22 26Reino Unido 57 59

Comenten en el grupo de alumnos los datos de población de los países del cuadro:

¿Cuántos habitantes tenía Chile, en 1989?

¿Cómo se lee ese número? ¿Cuántos millones son?

¿Qué población tiene Chile en el año 2000?

¿Según ustedes la proyección está de acuerdo con la realidad?

¿En cuánto creció la población chilena entre el año 1989 y 2000?

La proyección de la población, es el número de habitantes que se espera tenga una región o país, a partir de los datos conocidos del crecimiento poblacional.

¿En cuál de los países mencionados en el cuadro, la población era mayor en 1989?


Considerando la proyección para el año 2000, ¿la población de ese país aumentó, decreció o se mantuvo?

¿En cuántos millones de habitantes aumentó la población de China?

¿En qué continente está China? Ubíquenlo en un mapa.

¿Qué país del continente americano tenía la mayor población en 1989?

¿Cuál de los países del continente americano alcanzó la mayor población en el año 2000?

Copien en el cuaderno el cuadro 2 de población y anoten el número de millones en que creció la población en cada uno de ellos.

Considerando sólo los países señalados en el cuadro, agrupen los del continente americano y anótenlos en un cuadro ordenado desde el que tiene la mayor población hasta el que tiene la menor población.

Hagan un cuadro similar con los países del continente europeo.

Busquen en un atlas, datos de la población de países de los otros continentes.

Clase Nº04c) Factores y Productos:

Interesa que los alumnos y alumnas puedan:

Encontrar diversas formas de descomponer multiplicativamente un número Determinar múltiplos de un número y múltiplos comunes de 2 ó 3 números Resolver problemas en que intervienen magnitudes proporcionales entre sí Resolver problemas relativos a la formación de parejas y combinaciones Aplicar procedimientos de cálculo escrito y mental Manejar adecuadamente la calculadora en determinadas situaciones

El tema dice relación directa con problemas que se relacionan con la multiplicación y con la proporcionalidad directa.

Se trata de mostrar, cómo la multiplicación nos permite resolver en forma más efectiva determinados problemas y de obtener algunos artificios de cálculo que nos otorguen una visión más global de esta operación.


La idea es presentar a nuestros alumnos y alumnas, distintas situaciones que se repitan sin variación, como por ejemplo:

Gasto diario en pan Gastó en locomoción, etc.

Luego de ello, que los alumnos puedan ubicar los datos de forma que distingan:

X =

X =

Queda así, el camino libre para introducir los términos de:

FACTOR x FACTOR = PRODUCTO

MULTIPLICANDO x MULTIPLICADOR = PRODUCTO

El resto es imaginación del docente y de los estudiantes para plantear situaciones problemáticas reiteradas, tales como:

Plantear problemas de distancia en función de velocidad y tiempo, de precios, de ofertas, de compras, de textos en la biblioteca que se ordenan por filas, por estante, etc.

Resulta importante en situaciones reiteradas, plantear la proporcionalidad directa: “a mayor número de entradas al cine, mayor valor a pagar…” y tantas otras que se pueden traer a colación.

Lo anterior, es posible mostrarlo a través de tablas y gráficos, facilitando de esta forma la anticipación y la deducción. La proporcionalidad permite además la discriminación socializada cuando las situaciones no se comportan en forma regular. Por ejemplo:

“El número de goles no necesariamente aumenta proporcionalmente en relación con el número de partidos”, temas de esta envergadura son apropiados para la discusión grupal.

Otra forma de justificar la multiplicación, es a través del concepto de combinaciones:

Cantidad que se repite

Pasaje $500, al día

7 Días $ 3.500

Cantidad total acumulada

Número de veces que se repite


“Isabel tiene 2 tipos de faldas y 3 tipos de blusas; en consecuencia, tiene 6 tenidas de ropa diferentes para elegir”.

Ejercicios de combinaciones son frecuentes en, parejas, tenidas, equipos deportivos, selecciones y otras. Al igual que en el caso de situaciones proporcionales, éstas pueden graficarse en tablas de doble entrada.

Tenidas de Ropa

Blusa 1 Blusa 2 Blusa 3

Falda 1

Falda 2

Los problemas a plantear con los estudiantes, son realmente numerosos e interesantes, por ejemplo, las patentes de vehículos, números de rut de las personas, combinaciones de letras y números en general.

Ya a esta altura, se debe iniciar el reconocimiento de las propiedades de la multiplicación, de manera de mejorar los procedimientos de cálculo.

Dentro de las propiedades aparecen:

� Múltiplos de un número que al inicio se pueden presentar como saltos en la recta numérica, como seriación, como tablas que ordenan números en una forma específica, etc.

� Múltiplos comunes entre 2 y 3 números.

Ejemplos:

M (2) = {2, 4, 6, 8, 10,12...}

M (3) = {3, 6, 9, 12, 15,18...}

Vale la pena plantear situaciones problemáticas en relación con el concepto de múltiplos comunes: celebración de fiestas, puntos de encuentro, recetas con medicamento, etc.


La descomposición aditiva y multiplicativa, consiste en expresar cómo los sumandos o bien, los factores, determinan una cantidad:

10 = 6 + 410 = 3+4+320 = 2 x 1020 = 2 x 2 x 5

Evidentemente, se debe distinguir entre descomposición completa o parcial. Es completa cuando los factores son números primos solamente.

50 = 2 x 25 (Factorización parcial)50 = 2 x 5 x 5 (Factorización completa)

También se suele representar como árbol de factores.

50 = 2 x 5 x 5

= 2 x 52

50

2 25

5 5

La descomposición tiene sentido si se facilitan los procedimientos de cálculo.

20 x 500 = 2 x 10 x 5 x100 10 x 1.000 10.000

Un desafío mayor, pero que realmente trabaja las propiedades aditivas y multiplicativas, es el desarrollo del cálculo rápido.

El cálculo rápido, mental o escrito, debe ejercitarse a través de problemas reales. No es lo mismo dictar 40 x 5.000 que plantear que 40 personas aportan $ 5.000 cada una. Existen innumerables páginas en Internet mediante las cuales se pueden bajar problemas entretenidísimos. Son variados los casos de multiplicaciones notables; ilustramos las siguientes:


56 x 24 = 56 (20 + 4)= 56 x 20 + 56 x 4= (50 +6) 20 + (50 +6)4= 50 x 20 + 6 x 20 + (50 x 4) + (6 x 4)= 1.000 + 120 + 200 + 24= 1344

Obviamente, es posible ofrecer más de un camino y sería conveniente que los alumnos fueran mostrando todas y cada una de las propiedades que hacen posible dicho cálculo. A manera de propuesta de trabajo para los alumnos y alumnas, se les pueden presentar conjuntos de múltiplos:

M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12,14,...}

M (3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,24,...}

M (5) = {5, 10, 15, 20, 25,30,...}

Luego, detectar en ellos curiosidades numéricas que en definitiva, serán las famosas reglas de divisibilidad. Se espera que los alumnos y alumnas señalen:

Que los múltiplos de 2 (o números divisibles por 2) terminan en cifra par.

Que los múltiplos de 3, al sumar sus cifras componentes dan un múltiplo de 3.

Que los múltiplos de 5, terminan en 0 ó en 5, etc.

El concepto de mínimo común es fácil de comprender al trabajarlo de esta forma. Hallar el M.C.M. de 2 y 3:

M (2) = {2, 4, 6, 8, 10,…}

M (3) = {3, 6, 9, 12, 15,…} Múltiplos común de 2 y 3 son :{6, 12, 18, 24,…}

Luego el menor de los múltiplos comunes es el 6.

Un tema no menor es de las Operaciones Combinadas en Naturales, pues la verdad es que los verdaderos problemas de la vida real casi siempre se presentan de esa forma.


�Operaciones combinadas en Naturales

Siempre es aconsejable que los alumnos y alumnas comprendan el orden de las operaciones aritméticas, de modo que puedan resolver ejercicios combinados.

En este sentido, la prioridad que se debe establecer es:

Potencias Paréntesis Multiplicación y división Suma y resta

Ejemplo 1 (Potencias)

5 + (2 x 3)

“Resolver primeramente la multiplicación”

5 + 2 x 35 + 6= 11

Ejemplo 2 (Paréntesis)

(8 : 2) + (10 : 5)

“Resolver primero los paréntesis”

8 : 2 + 10 : 5 4 + 2 = 6

Ejemplo 3 (Multiplicación y División)

4 + 4 x 4 – 4

“Resolver primeramente el producto”

4 + 4 x 4 – 44 + 16 - 4


“Entre la adición y sustracción resuelven de izquierda a derecha”

4 + 16 – 420 – 4= 16

Ejemplo 4

(524 + 76): 100

“Resuelven primero el paréntesis”

(524 + 76): 100 600 : 100 = 6

Ejemplo 5

(100 – 20) : (18 + 22) 80 : 40 = 2

Al respecto, se sugiere resolver variados ejercicios y contextualizarlos en problemas en los cuales el alumno y alumna deban seguir un modelo preestablecido (modelización).

Ejemplo:

Si 3 personas deciden ir al cine bajo las siguientes condiciones:

Entrada general $1.800 Bebida $ 500 ¿Cuál es el costo total en estas condiciones?

Modelización:

3 x 1.800 + 3 x 5005.400 + 1.5006.900


Clase Nº05

d) Divisiones y sus Propiedades:

Se espera que los alumnos aprendan a:

Analizar y resolver problemas de repartición equitativa Resolver problemas que requieran comparar valores de la misma magnitud Aplicar procedimientos de cálculo (escrito y mental) Encontrar los divisores de un número (máximo común divisor y mínimo común divisor) Reconocer los números primos y realizar factorización completa de sus números

Ya desde NB2, los alumnos y alumnas han conocido problemas de división en el conjunto de los números naturales, aquí se trata de profundizar tanto en su significado como en sus aplicaciones. Lo fundamental es plantear y resolver problemas de reparto equitativo y poder aplicar procedimientos de cálculo que faciliten la operación.

En este tema, se debe trabajar con situaciones exactas e inexactas de reparto que dan origen a divisiones con cero o bien, distintas de cero.

Los estudiantes deben interiorizarse del significado de la operación, ya que no se trata de pedirle 26: 4, si no, en términos del problema, expresarles que por ejemplo veinte jóvenes van de paseo y deben atravesar un río en bote. El único bote disponible tiene capacidad para 4 personas ¿cuántos viajes deberá hacer el bote?

El niño o niña modeliza la situación y concluye que 26: 4 = 6 viajes.

Todo lo anterior es posible de realizar y graficar con fichas, cajas y otros recursos. Luego de la etapa de significación, debemos introducir los conceptos.

Elementos intervinientes en la división:

Ejemplos:

26: 4 = 6 2

dividendo

cuociente

resto

divisor


En este momento, es muy importante que el alumno y alumna distingan qué representa cada término y que incluso puedan verificar su resultado.

26: 4 = 6 6 x 4 + 2 = 262

26 = dividendo = cantidad disponible para el reparto equitativo.

4 = divisor = número de elementos de cada grupo.

6 = cuociente = número de grupos resultantes.

2 = resto = número de elementos que sobran.

Los problemas a resolver son múltiples, lo ideal es presentar ejemplos contextualizados que motiven a los estudiantes, lo que importa es que se interesen en el tema y despierten el apetito por aprender más.

Reparto de flores, objetos, premios, etc. Confección de diagramas (canastos, cajas, gráficos, etc.) Juegos de azar (premios en juego, etc.)

La división debe ser analizada como una forma de comparación entre valores numéricos. Al respecto existen 2 tipos de comparación:

Juan tiene 30 años v/s Luis que tiene 10 años.

Comparación por diferencia:

Juan tiene 20 años más que Luis Luis es 20 años menor que Juan

Se obtiene por sustracción

Existe otro tipo de comparación y ella es la:

Comparación por cuociente:

Juan tiene el triple de la edad de Luis Luis tiene la tercera parte de la edad de Juan

Se obtiene por división


Existe una gran variedad de situaciones en la que es posible aplicar la división, lo que cuenta es plantear problemas en contextos variados, complejos y significativos, y a través de ellos provocar el análisis y discusión de temas que digan relación con la inserción social y los valores en general.

En necesario también, introducir el concepto de operaciones inversas tanto para la adición como para la multiplicación.

Ejemplos:

a) 5 + 3 = 88 – 3 = 58 – 5 = 3

b) 10: 2 = 55 x 2 = 10

Los alumnos y alumnas deben comprender que la sustracción es la operación inversa de la adición y que la división lo es de la multiplicación. La relación de las divisiones con la multiplicación, resulta particularmente útil para el cálculo de las divisiones.

El redondeo de números debe trabajarse en este punto, ya que es una conducta que se debe mantener a través de todo el sistema escolar y que debe ser utilizada siempre en la vida real.

Ejemplo:

Repartir $ 9.800 entre 48 sujetos. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

9.800: 48

Se redondea el 9.800 a la unidad de mil, es decir, 10.000. Se redondea 48 a la decena 50. El valor aproximado es 200, pues 10.000: 50 = 200

Es un valor aproximado, de cálculo rápido y es conveniente verificarlo con la calculadora. En el cálculo escrito de divisiones, es fundamental el redondeo de las cifras:


La siguiente secuencia presenta el procedimiento a seguir en el cálculo escrito.

Ejemplo1:

2005 : 49

Paso 1 : se redondea 2005 en 2000 ( a la unidad de mil)

Paso 2 : se redondea 49 a 50 (a la decena)

Paso 3 : 2000 : 50 = 40

Ejemplo 2:

Tradicional y Redondeo

452 : 23 =

Paso 1 : separo dos cifras

Paso 2 : 452 : 23 = 1 (con 2 sobrepaso al 45)

Paso 3 : 452 : 23 = 19 23 222 en 222 : 23 se puede redondear 207 200 : 20 = 10 (cabe entre 9 y 10) 15

Una idea latente en este tema, son los divisores de un número y el concepto de número primo.

Sabemos que 4 x 9 = 36

factores

36: 9 = 4

9 y 4 son divisores de 36.

Obviamente los divisores se encuentran en las divisiones exactas.

Con divisores se deben buscar divisores comunes:


D (24) = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

D (36) = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,36}

Luego, los divisores comunes entre 24 y 36 son {2, 3, 6,12} y de ellos existe un mínimo común divisor (M.C.D.) y un máximo común divisor (M.C.D.)

En este caso, el mínimo común divisor es 2 y el máximo común divisor es el 12.

Al respecto, es necesario que los alumnos realicen ejercicios variados.

1. Hallar los divisores comunes de 18 y 24

2. Pintar el mínimo y el máximo común divisor.

3. Encontrar 2 números mayores de 20 que no tengan divisores comunes, con excepción del 1.

A continuación, es necesario trabajar el concepto de número primo, como un número que no tiene divisores, a excepción de 1 y sí mismo. Aclarar que por convención de matemática se ha establecido que el 1 no es primo. Con los números primos, realizar la llamada factorización completa y para ello, es conveniente seguir el esquema:

Ejemplo 1:20

4 5

2 2

Luego 20 = 2 x 2 x 5 (los factores deben ser sólo números primos)

120

10 12

2 5 3 4

2 2

Luego 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5Otro eje de NB3 lo constituyen las fracciones.


Clase Nº06

e) Fracciones

Es fundamental que los estudiantes aprendan a:

- Leer y escribir fracciones- Interpretar en relación con la unidad- Determinar el valor de fracciones de un número o de un conjunto de elementos- Ubicar fracciones en la recta numérica- Comparar fracciones y establecer relaciones de orden entre ellas- Amplificar y simplificar- Establecer familias de fracciones equivalentes- Sumar y restar fracciones de igual y distinto denominador- Resolver problemas en contextos cotidianos

Lo que realmente interesa, es que los alumnos y alumnas se den cuenta que no todo se cuantifica con números naturales, que muchas veces necesitamos fracciones, (compartir, dividir un todo, una cantidad en partes, en trozos); que para cuantificar trozos, pedacitos, empleamos números fraccionarios o números decimales.

Además, deben comprender que las fracciones ocupan un lugar en nuestra vida cotidiana y que su aprendizaje nos permitirá resolver problemas de compartir en partes, de ser equitativos, en fin, de comunicarnos mejor y lograr una poderosa herramienta para resolver más y mejores problemas cotidianos.

En el tema de las fracciones, es conveniente solicitar a los alumnos y alumnas, términos o frases que ilustren su presencia en la vida real.

Ejemplos:

Vivo a media cuadra del estadio

Quiero medio vaso de leche Dame un pedazo de tu naranja Divide el queque en 4 partes Vierta 1/8 de litro de aceite en la olla Paguemos la cuenta a medias, etc.


Luego introducir el concepto de fraccionamiento de un entero, de una unidad.

1/2

1/4

1/8

Lo mismo se puede realizar con fracciones de 1 litro, para lo cual es aconsejable jugar con diferentes envases de ½, ¼, , litro (Botellitas distintas). También es posible estimar la capacidad de copas, tazas y otras, en función de las medidas anteriores.

El papel lustre es un material que se adapta al trabajo de las fracciones y con él, usted puede inventar diferentes situaciones problemáticas interesantes. Luego se introducen las partes de una fracción y su significado:

1 numerador2 denominador

El denominador indica el número de partes iguales en que se fracciona el entero o unidad. El numerador señala el número de partes que se toman del entero. Es claro que el nombre de una fracción depende principalmente de su denominador:


- 1/2 = Un medio

- 1/3 = Un tercio

- 1/4 = Un cuarto

- 1/5 = Un quinto

- 1/6 = Un sexto

- 1/7 = Un séptimo

- 1/8 = Un octavo

- 1/9 = Un noveno

- 1/10 = Un décimo

- A partir del 10, se leen 11 avo, 12 avo, 13 avo, etc., y tienen nombres especiales, por ejemplo:

- 1/20 = Un vigésimo

- 1/50 = Un quincuagésimo

- 1/100 = Un centésimo

- 1/1.000 = Un milésimo

- 1/10.000 = Un diez milésimo

A esta altura, se deben presentar fracciones con numerador distinto a 1

Ejemplo:

2/4


3/4

Es clave que los estudiantes lean e interpreten fracciones:

2 se entiende como que el entero se fracciona en 5 partes iguales y se toman dos de ellas.5

Lo importante es situar las fracciones en el curso, en la escuela, en la familia, en la comunidad. Constituyen ejemplos de ello:

� Fracciones en el curso (alianzas, equipos, etc.)� En la familia (fraccionamiento de una torta, de dinero, etc.)� En la comunidad (fracción de países de Sudamérica que tienen fronteras comunes con

Chile, etc.)� Fracciones que representen las:

Horas de sueño en relación al día Horas de estudio en el hogar Horas de clases dentro del día Lectura de censos comunales y nacionales Unidades de tiempo: qué fracción corresponde un mes del año, una semana del mes y

otros.

Ya el camino está abonado para trabajar las fracciones equivalentes:

2/4


1/2

Fácilmente el alumno y alumna deduce que 1/2 = 2/4

1/3

2/6

Aquí se espera que los alumnos y alumnas concluyan que 1/ 3 = 2/ 6 y que puedan definir que éstas, son fracciones equivalentes.

“Fracciones equivalentes son las que representan el mismo valor, la misma porción del entero, etc.”


Los alumnos podrán dar ejemplos de fracciones equivalentes a:

1 /2 = {2/4, 3 /6, 4 /8, 5 /10, 6 /12,…}

1 /3 = {2 /6, 3 /9, 4 /12, 5 /15, 6 /18,…}

Así de esta forma, introducir el concepto de familias de fracciones equivalentes y además, descubrir algunas regularidades:

i. 1 /2 = del entero tomo la mitadii. 2 /4 = 2 es la mitad de 4iii. 3 /6 = 3 es la mitad de 6

En consecuencia, 25/50 es equivalente a 1/2, es posible esperar que sean los propios alumnos y alumnas quienes enuncien los teoremas relativos a amplificación y simplificación de fracciones.

Amplificar: el valor de una fracción no se altera si se multiplica su numerador y denominador por un mismo número.

Simplificar: una fracción no altera su valor si se divide el numerador y denominador por un mismo número.

Ejemplos:

Si se simplifica la fracción 3 /6, se tiene 3/6: 3/3 = 1 /2

Antes de simplificar:1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6


Después de simplificar:1/2 1/2 1/2

El estudiante recurre al ejemplo concreto para afianzar el concepto. Una fracción se puede simplificar sólo si el numerador y denominador son divisibles por un mismo número.

Si se quiere amplificar la fracción 1 /2 por 3, se tiene:

1 x 3 = 32 x 3 = 6

Antes de amplificar1/2 1/2 1/2


Después de amplificar1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

Al amplificar o simplificar una fracción, se obtiene un conjunto de fracciones equivalentes. Por ejemplo, si la fracción 24/18 se simplifica, se tiene:

24: 2 = 1218: 2 = 9

24: 3 = 818: 3 = 6

Si se amplifica se obtiene:24 x 2 = 4818 x 2 = 36

24 x 3 = 7218 x 3 = 54

24 x 4 = 9618 x 4 = 72

Luego: {4 /3, 8 /6, 12/9, 24/18, 48/36, 72/54, 96/72} es un conjunto de fracciones equivalentes. Conviene también presentar desafíos en términos de ordenar en forma descendente y ascendente, por ejemplo:

Ordene las siguientes fracciones 1/ 3, 1/ 4, 5/ 6, 1/2

1/3 = 4/121/4 = 3/125/6 = 10/12


Luego el orden descendente sería: (se usó simplemente la amplificación)

{3 /12, 4/12, 6/12, 10/12.}

Es decir: 1/4, 1/3, 1/2, 5/6

El concepto de fracciones equivalentes nos va a permitir sumar y restar fracciones de igual y distinto denominador.

a) 1/4 + 2/4 = 3/4

Sólo se suman los numeradores, se puede apoyar gráficamente.

b) 1/2 + 1/4 + = 2/4 + 1/4 = 3/4

1/2 es equivalente a 2/4

c) 3/4 + 1/8 = 6/8 + 1/8 = 7/8

Se amplifica 3/4 por 2

Clase Nº07

Si queremos una comprensión más global del tema de las fracciones, es conveniente además, graficar fracciones de:

� Numerador igual al denominador

4/4


3/4

2/4

1/4

� Numerador igual al denominador

5/4


Presentando situaciones reales que así lo requieran:

3 vasos de 1/2 litro 6 tazones de 1/4 litro

Otorgando también dominio del tema, al ubicar fracciones en la recta numérica y ordenar fracciones en forma ascendente y descendente.

Ejemplo:

Ubicar en la recta numérica 1, 1/2, 2, 2/4, 1/3, 5/2.

Ordenar de mayor a menor 1 /2, 1 /3, 1 /4, 5 /6 (una forma es transformarlas a fracciones de igual denominador)

Actividades con los alumnos

1) Comenten en el grupo

En la fracción ¾ ¿qué indica el denominador 4?, ¿qué indica el numerador 3? Para comprobar lo que han concluido, piensen en la fracción ¾ en distintas

situaciones como por ejemplo:

¾ de kilo, ¾ de litro, ¾ de hectárea, ¾ de una herencia, ¾ de 20 sacos, etc.

2) Discutan en grupos

¿Es posible vender ¾ de 20 sacos de porotos? ¿Cuántos sacos venderá el campesino? ¿Cuántos sacos dejará sin vender? ¿Qué indica en este caso el 4 en ¾?, ¿y el 3 en ¾?

3) Comenten con sus compañeras y compañeros de grupo

¿3 cuartos de 1 hora, es menos, es más o es lo mismo que una hora? ¿Cuántos minutos tiene 1 hora? ¿Cuántos minutos tiene ¼ de hora? ¿Cuántos minutos tiene ½ hora? Entonces, ¿cuántos minutos hay en ¾ de hora? ¿Qué indica el denominador y el numerador en ¼ de hora, en ¾ de hora, en ½ hora?

Verifiquen sus resultados, completando en el cuaderno el siguiente cuadro. No olviden que una hora tiene 60 minutos.


HORAS MINUTOS1/4 de Hora2/4 de Hora3/4 de Hora4/4 de Hora

1.5. Importancia del Lenguaje Simbólico Matemático en la Resolución de Problemas

La relevancia que tiene el hecho de que los alumnos desarrollen un adecuado lenguaje simbólico en la Educación Matemática, se puede palpar en las siguientes expresiones:

1) ¿Qué número sumado con 3 es igual a cinco?

Y + 3 = 5

2) 5 veces un número disminuido en 2, equivale a 7.

5Y – 2 = 7

3) El perímetro de un rectángulo

2 a + 2b

4) El área de un rectángulo

a x b

5) El área de un triángulo

b x h 2

Los símbolos matemáticos facilitan el hacer cálculos, también la expresión de relaciones cuantitativas que de otro modo requerirían una infinidad de tiempo. No es exageración decir que los símbolos matemáticos ocupan el segundo puesto, después del alfabeto, como un instrumento para el progreso humano. Si pedimos a un alumno o alumna, calcular el perímetro de un rectángulo, él podrá proceder así:

4

2 4+2+4+2=12


En un segundo momento podrá decir: es 2 x 4 + 2x 2 = 12

Pero luego de sucesivas prácticas y cálculos de perímetro, deberá generalizar diciendo: “el perímetro de un rectángulo es la suma de sus 4 lados”.

P = a + b + c + d, o bienP = 2 a + 2 b

Leer matemática puede ser una aventura excitante; tan excitante como leer un cuento de misterio o explorar una caverna. La matemática está llena de trucos, estigmas, sorpresas e ideas interesentes.

Una de las cosas más difíciles de lograr en el razonamiento, es exactamente que generemos significado. También es difícil saber lo que el otro me quiere decir, especialmente cuando no estamos seguros de si está utilizando un lenguaje preciso. La matemática en este sentido, puede expresar ideas con precisión y luego proporcionar modos de decidir si el enunciado es cierto.

Pero esto es progresivo, lo que realmente importa es que el alumno y alumna lea, hable, afine, discuta, participe de debates, en fin que se comunique.

Clase Nº08

2. ELEMENTOS DE PLANIFICACIÓN CURRICULAR EN MATEMÁTICA, NB3

La planificación es y ha sido siempre, un instrumento necesario en toda organización y/o empresa humana, ya que permite lograr objetivos y metas, además de elegir los medios y recursos para alcanzarlos.

La planificación con base científica es una exigencia de modernidad, así le sucede al docente que pretende alcanzar objetivos y que debe, en consecuencia, orientar sus mejores esfuerzos, recursos técnicos y materiales para alcanzar los propósitos esperados.

Se hace planificación escolar, cuando se interpretan antecedentes, cuando hay formulación precisa de finalidades, se preparan planes de acción y se determinan las formas de usarlas en forma coherente.

“La luz camina rápidamente y el espacio es inmenso, pero los símbolos pueden dejarlo atrás en ese recorrido.” (Stephen Leacock)


Un buen planeamiento permite al profesor, seleccionar, organizar y adecuar situaciones de aprendizaje, atender la diversidad, la interdisciplinariedad, la integrabilidad, la transversalidad y la articulación, de modo que aplique las mejores técnicas del saber pedagógico, para hacer más eficiente y eficaz la formación de los educandos y producir una autentica interrelación escuela–comunidad.

2.1. Presentación del Programa

El programa, es una continuación de los procesos de construcción y adquisición de conocimientos matemáticos y de modos de pensar, que los estudiantes deben hacer propios, utilizar y seguir durante toda su vida, de modo de poder enfrentar los crecientes desafíos del avance científico y tecnológico del mundo moderno y del futuro.

El programa está orientado, de tal forma, que se consideren los conocimientos previos, sus experiencias de vida, sus intereses reales y la necesidad de una creciente inserción social, política y económica.

Se hace hincapié en la lectura, análisis y discusión, en la búsqueda de diversas estrategias de resolución de problemas reales, de ir gradualmente incorporando un lenguaje simbólico que nos permita una mejor comunicación con los demás.

La concepción de número, de la ampliación hasta 999.999, lograda en forma gradual y armónica en un sistema decimal que otorga valor posicional a las cifras, se amplia en este nivel hasta los millones, pero proporcionando al alumno/a sentidos del porqué de la ampliación.

Se construye de esta manera, el conjunto de los naturales, como conjunto numérico infinito, ordenado y dotado de una estructura algebraica que permite ampliar el significado de las operaciones, del cálculo mental y escrito, del redondeo y estimación.

Se promueve el uso de la calculadora de modo de fijar la atención en los aspectos centrales de los problemas a resolver, facilitando así el descubrimiento de regularidades numéricas y geométricas.

Se desarrollan en mayor profundidad, operaciones de adición y sustracción, como también de multiplicación y de división (divisor hasta de 2 cifras); se profundiza en las nociones de fracciones, su concepción, graficación, comparación a través del concepto de equivalencia y las operaciones de adición y sustracción.

Un tema importante, ya iniciado en los años anteriores, es el de la Geometría. Se acentúa el estudio de figuras geométricas y luego a partir de ello, se tienen los elementos necesarios para estudiar Cuerpos Geométricos.


Se insiste en el estudio de propiedades, de relaciones que se pueden observar en situaciones reales y al alcance de los estudiantes, en la construcción y en la manipulación de cuerpos geométricos. Se propone también, el tema de medición de ángulos, de longitudes, de cálculo de áreas y perímetros.

Una característica central que continúa desde el 1º Ciclo, es la necesidad de resolver problemas, en los cuales los contenidos de aprendizaje adquieren sentido y pertinencia. Es en este sentido que el Programa de NB3, se propone como medio fundamental la resolución de problemas para el verdadero aprendizaje en matemática, lo que combinado de manera pertinente con otros subsectores y con otro tipo de actividades como juegos, desafíos, ejercitaciones y debates, contribuyen a generar aprendizajes significativos, al desarrollo de la autoestima, del autoconcepto y a la valoración de las matemáticas en la vida actual.

El programa presenta un conjunto de actividades, que es necesario que los alumnos y alumnas enfrenten, seguido de ejemplos concretos que deben ser adaptados al contexto de la escuela y de los estudiantes.

En este sentido, es fundamental que el conjunto de actividades den oportunidad para:

- Explorar y probar estrategias diversas.- Desarrollar procesos ordenados y sistemáticos.- Sistematizar y simplificar procedimientos y resultados.- Comunicar procesos, resultados y conclusiones, incorporando progresivamente el

lenguaje matemático.- Justificar, argumentar y fundamentar.- Trabajar con material concreto, manipulable.- Problematizar, proponer nuevas preguntas y problemas.- Detectar y corregir errores.

Finalmente y respecto de la evaluación, ésta debe ser concebida como formadora y de proceso, al servicio de la enseñanza–aprendizaje. Se propicia en consecuencia, la animación permanente, el acompañamiento y observación de desempeños durante y al término del proceso. Las actividades de aprendizaje deben abrir espacios a la autoevaluación y coevaluación, donde se compartan procedimientos y resultados.

En el programa, dentro de cada unidad, se entregan ejemplos de actividades y de problemas de evaluación que tienen el propósito de observar la consecución de los aprendizajes esperados (indicadores).

2.2. Marco Curricular, Propuesta para NB3


El marco curricular propuesto para 5º año de Educación General Básica NB3, define una base común del aprendizaje que los alumnos/as deben alcanzar como resultado de su experiencia escolar.

Estos aprendizajes se refieren al dominio del saber, del saber hacer y valorar, expresado en términos genéricos, para todos los alumnos/as. En la propuesta se consideran Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos que atienden a los principios de actualización y relevancia social.

Lo anterior, en el marco de la ley, señala que las escuelas tienen la opción de elaborar sus propios planes y programas, teniendo sólo como exigencia cumplir a cabalidad con los objetivo fundamentales y contenidos mínimos obligatorios.

La invitación, es a superar estos contenidos mínimos, asumiendo los desafíos que ello conlleva en términos de la implementación de una propuesta curricular general, en la que presenten opciones pedagógicas y didácticas acordes a la Orientación de la Reforma Educacional y que consideren las exigencias propias de la sociedad global.

La propuesta curricular no es en absoluto un libro cerrado, sin margen a la importante labor de planificación del profesor. Contrariamente a lo expuesto por muchos docentes, cabe a cada institución y a cada profesor que asume estos Planes y Programas (ya sea mínimos o mejorados), contextualizar y complementar con otros subsectores, de manera de dar a los contenidos y experiencias, la proyección pedagógica, la relevancia individual y la pertinencia cultural, necesaria para el logro de los fines de la educación y del perfil del alumno/a que se desea formar.

Es en este sentido, un modelo curricular y de planificación abierto y flexible, que permite recoger la preocupación de dar al país una base cultural común, proporcionando grados de libertad al docente y escuela para contextualizar y complementar los contenidos, con vista a la creación de espacios que propicien el logro de aprendizajes significativos y pertinentes, junto con una formación integral que asegure el logro de ciudadanos responsables y comprometidos con el desarrollo, bienestar y construcción de una sociedad más justa y equitativa. Al colegio y profesor competen la adecuada atención y respeto por la diversidad, de modo que, todos sin excepción, aprendan los saberes fundamentales. - Corresponde a cada escuela, abordar la tarea de analizar e interpretar los programas.

- Adecuarlos a su realidad específica.

- Definir las orientaciones que permitan contextualizar y completar los programas.- Considerar en sus orientaciones el Proyecto Educativo y los requerimientos específicos

de la propia realidad educativa; social y cultural de los alumnos/as y sus familias.


Unidades, contenidos y distribución temporalCuadro sinóptico

Unidades1.Tiempo y programación

2.Grandes números

3.Multiplicación y múltiplos

4.División y divisores

ContenidosNúmero en la vida diaria:

Utilizar el calendario para determinar fechas y calcular duraciones, establecer equivalencias entre días, semanas, meses, años.

Establecer duraciones superiores, décadas y siglos, en una línea de tiempo y expresar equivalencias.

Programar actividades teniendo en cuenta duración de ellas y el tiempo disponible.

Expansión de los números naturales a la clase de los millones.

Leer, escribir y ordenar números.

Descomponer en forma aditiva.

En la vida diaria:

Leer y escribir números utilizando como referente unitario los miles, los millones o los miles de millones.

Tratamiento de información:

Recopilar información en fuentes diversas.

Presentar información en tablas de frecuencias absolutas y gráficos de barras simples y dobles (comparaciones).

Cálculo escrito:

Cálculo por escrito de adiciones y sustracciones con números de hasta cinco cifras.

Cálculo oral:

Redondear números, como estrategia para el cálculo oral aproximado de sumas y letras.

Cálculo con apoyo de calculadora:

Utilizar la calculadora para determinar sumas y restas en la resolución de problemas.

Con números naturales hasta 1000:

Descomponer números en forma multiplicativa identificando sus factores.

identificar múltiplos de un número.

Determinar mínimo común múltiplo en situaciones problema.

Multiplicación:

Determinar resultados en situaciones correspondientes a otros significados (relación proporcinal más compleja).

Determinar resultados en situaciones correspondientes a producto cartesiano y combinaciones.

Cálculo Oral:

Redondear números como estrategia para el cálculo aproximado de productos.

Cálculo escrito:

Utilizar algoritmos de cálculo de productos con factores menores de 100.


Utilizar calculadora para determinar productos en la resolución de problemas.

Números naturales hasta 1000:

Interpretar los factores de un número como sus divisores.

Determinar máximo común divisor en situaciones problema.

Descomponer números en sus factores primos.

División:

determinar resultados en situaciones correspondientes a otros significados (comparación).

Cálculo oral:

Redondear números como estrategia para el cálculo aproximado de cuocientes.

Cálculo escrito:

Utilizar algoritmos de cálculo de cuociente y restos, con divisores de una o dos cifras.


Utilizar calculadora para determinar el cuociente entero y el resto, en divisiones no exactas.

Distribución temporal

2 - 3 semanas 4 - 6 semanas 5 - 7 semanas 5 - 7 semanas


5.

Geometría

6.

Fracciones

7.

Espacio

Cuerpos geométricos (cubos, prismas, pirámides):

Amar cuerpos a partir de caras.

Construir redes para armar cubos.

Identificar y contar el número de caras, aristas y vértices de un cuerpo y describir sus caras y aristas.

Figura geométrica:

Diferenciar cuadrado, rombo, rectángulo y romboide a partir de modelos hechos con varillas articuladas.

Identificar lados, vértices y ángulos en figuras poligonales.

Distinguir tipos de ángulos con referencia al ángulo recto.

Perímetro y área:

Utilizar centímetros para medir longitudes y centímetros cuadrados para medir superficies.

Calcular perímetros y áreas en cuadrados, rectángulos y triángulos rectángulos y en figuras que puedan descomponerse en las anteriores.

Reconocer las fórmulas para el cálculo del perímetro y del área del cuadrado, rectángulo, como un recurso para abreviar el proceso de cálculo.

Distinguir perímetro y área a partir de transformaciones de una figura en la que una de esas medidas permanece constante.

Fracciones en situaciones correspondientes a diversos significados (partición, reparto, medida...).

Lectura y escritura.

Comparar y establecer equivalencias.

Ubicar una fracción entre los naturales, utilizando la recta numérica.

Ordenar e intercalar fracciones, con referencia a la recta numérica.

Encontrar familias de fracciones equivalentes.

- Con material concreto.- Utilizando unidades del

sistema numérico decimal (longitud, peso, capacidad).

- Amplificando y simplificando.

Calcular numéricamente valor de fracciones en colecciones.

Adición y sustracción:

Realizar cálculos, sustituyendo

Orientación en el espacio:

Interpretar planos urbanos y de caminos, utilizando los puntos cardinales como referencia.

Identificar y crear códigos para comunicar diversos tipos de información

6 - 8 semanas 5 - 7 semanas 1 - 2 semanas


Se trata básicamente del desarrollo del sentido numérico; en consecuencia, involucra además de las operaciones aritméticas y sus respectivos algoritmos, la toma de decisiones razonadas sobre la validez de las soluciones obtenidas en la resolución de problemas.

Tradicionalmente, la enseñanza de las cuatro operaciones, adición, sustracción, multiplicación y división pone énfasis en el aprendizaje de algoritmos respectivos, pero no enel significado, no en el efecto que tienen las operaciones sobre los números que operen, ni en los cambios de significado de las operaciones cuando cambia el dominio numérico. En el caso de NB3, el dominio son los números naturales y las fracciones positivas. En este nivel es importante que los alumnos/as comprendan las relaciones entre las operaciones y por consiguiente, las diferencias entre sus efectos.

Cabe mencionar que los patrones numéricos, regularidades, ocupan un papel importante en el desarrollo del procesamiento lógico. En el fondo, se debe presentar la secuencia del número, al sistema numérico de los naturales, de manera que el proceso sea gradual y con sentido para los estudiantes.

Clase Nº09

2.3. Numeración

Es necesario conocer un poco de historia, para poder comprender que la matemática se escribe y se lee y que en este sentido, es fundamental que incluso los alumnos y alumnas conozcan su evolución.

2.3.1. Sistema de Símbolos o Signos Utilizados para Expresar los Números

Las primeras formas de notaciones numéricas consistían simplemente en líneas rectas, verticales u horizontales; cada una de ellas representando el número 1, por lo que este sistema era extremadamente engorroso para manejar grandes números y para hacer operaciones. Ya en el año 3400 A.C. en Egipto y Mesopotamia se comenzó a utilizar un símbolo específico para el número 10.

En el período cuneiforme de Babilonia el símbolo utilizado para el 1, era el mismo para el 60 y sus potencias; el valor del símbolo venía dado por su contexto. En la antigua Grecia coexistieron dos sistemas de numeración paralelos. El primero de ellos estaba basado en las iniciales de los números, el número 5 se iniciaba con la letra (PI); el 10 con la letra (Delta) el 100 con la letra (Eta); el 1000 con la letra (Mu). En el segundo sistema, eran usadas todas las letras del alfabeto griego más otras tres tomadas del alfabeto Fenicio como guarismos. La ventaja de este sistema era que con poca cantidad de números se podían expresar grandes cifras, pero había que saberse de memoria un total de 27 símbolos.


2.3.2. Numeración Romana

Este sistema (tan bien conocido por nosotros) tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al 1.000.000 con siete símbolos: I para el 1, V para el 5, X para el 10, L para el 50, C para el 100, D para el 500 y M para el 1000. Es importante acotar que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil. En la actualidad, los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez.

2.3.3. Numeración Arábiga

El sistema corriente de notación numérica que se utiliza hoy y en casi todo el mundo, es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes que introdujeron la innovación de la notación posicional, en la que los números cambian su valor según su posición. La notación posicional sólo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales. Además, todos los números se pueden expresar con sólo diez guarismos, del 1 al 9 más el 0. La notación posicional ha facilitado muchísimo todos los tipos de cálculos numéricos por escrito.

Obviamente, esta información puede ser enriquecida a través de Internet y de trabajos de investigación de los propios estudiantes.

2.4. Sistemas Numéricos

En matemática, varios sistemas de notación que se han usado o se usan, representan cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza; la base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de lo infinito posible en el sistema numérico. A lo largo de la historia, se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes.

a) Valores Posicionales

La posición de la cifra indica su valor en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 depende de la posición del número completo. Para convertir un número “n” en base diez a un número en base “b”, se divide (en el sistema decimal) “n” por “b”, el cuociente se divide de nuevo por “b”, y así sucesivamente, hasta obtener un cuociente cero.


b) Sistema Binario

El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de la informática. Los números se pueden representar en el sistema binario como la suma de varias potencias de dos. Ya que sólo se necesitan dos dígitos, el sistema binario se utiliza en ordenadores y computadoras.

c) Números

Los números son palabras o símbolos utilizados para designar cantidades o entidades. Son la expresión de la relación existente entre una cantidad y otra magnitud que sirve de unidad. Se puede considerar números a todos aquellos conceptos matemáticos para los cuales se definen dos operaciones, de adición y multiplicación, cada una de las cuales obedece a las propiedades conmutativa y asociativa.

Evidentemente, el profesor y los estudiantes tienen un amplio campo de ejercitación en estos temas.

2.5. Conjuntos Numéricos

Números Naturales

Dicho en términos muy simples, los números naturales son los que sirven para contar. El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades:

- Al conjunto de los números naturales pertenecen el 0 y el 1- Si se suma a un natural el número 1, el resultado es otro número natural- Por lo tanto el conjunto de los naturales es un conjunto infinito- Estas propiedades constituyen el Axioma de Inducción Completa

Subconjuntos notables de los números naturales

Existen varios subconjuntos notables de los números naturales y que es necesario citar, a lo menos, para conocer su relevancia en este nivel.

Una clasificación importante es:

Pares positivos: {2, 4,6, 8, 10,12,......} Impares positivos: {1, 3, 5, 7, 9,11,.....} Conjuntos infinitos, con los cuales es posible que los propios alumnos descubran

algunos teoremas.


+ Par Impar

Par Par ImparImpar Impar Par

X Par ImparPar Par ParImpar Par Imar

Esta es una situación que debe ser descubierta por ellos y fruto de abundante ejercitación.

También es posible dividirlos en conjuntos de múltiplos de un número.

Múltiplos de un número:“son todos los productos que se obtienen al multiplicar un número natural por otro, excluido el cero”.

Ejemplos:

Múltiplos de dos: {2-4-6-8-10-.....} Múltiplos de tres: {3-6-9-12-....} Múltiplos de siete: {7-14-21-28-35-.....}

Con los múltiplos, se pueden plantear una serie de desafíos a los alumnos, como por ejemplo:

Complete 10 múltiplos de 2 de 3 y de 6, sucesivos y luego conteste:

M de 2M de 3M de 6

¿A qué secuencia de números pertenece el 18? ¿Los múltiplos de un número son infinitos? ¿Cuáles son los múltiplos comunes de 4 y 6, de 2 y 3, etc.?

En función del concepto de múltiplos comunes, introducir el concepto de Mínimo Común Múltiplo (MCM), como el menor de los múltiplos comunes, distinto de cero. Citar al respecto abundantes ejemplos de búsqueda del mínimo común múltiplo; también es sugerente plantear ejercicios como:


1. En una empresa, los buses A salen cada 10 minutos y los buses B, cada 15 minutos. Si son puntuales y salen juntos a las 8.00 horas, ¿a qué hora vuelven a juntarse? Con ejercicios de este tipo, los alumnos entenderán el concepto y aplicaciones del MCM.

2. Hallar los impares entre 57 y 99, que sean múltiplos de 3.

3. Hallar 3 impares consecutivos que sumen 30, etc.

Existen otros subconjuntos importantes de los naturales, entre los cuales se deben mencionar:

Números primos: “son números divisibles sólo por uno y por sí mismos”. Ej. 2-3-5-7, etc.

Números compuestos: si un natural mayor que uno, no es primo, se le denomina número compuesto. Ej. 4- 9-15-20, etc.

Números primos entre si: “dos números que sólo admiten al uno como divisor en común Ej. 3 y 4; 15 y 16; 21 y 29, etc.

También en este nivel, es necesario dominar las reglas de divisibilidad, en especial las de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 (todas ellas las podemos encontrar en variados textos de aritmética). Existe otra serie de números interesantes, que perfectamente pueden ser planteados como trabajo de investigación:

Números perfectos Números capicúas Números amigables- Números triángulares- Números hexagonales, etc.

En general, se trata aquí de ampliar el conocimiento de los números, pero insertos en el sistema de numeración decimal, de base 10 y del valor posicional de las cifras. Se trata de la construcción de la recta numérica, en la cual las ideas estén claras en términos de caracterizar el conjunto de los naturales como un sistema ordenado, es decir:

Que cada natural tiene sucesor y antecesor único (con excepción del uno) Que su primer elemento es el uno Que no tiene último elemento Que es un conjunto infinito

Es recomendable que los alumnos lean y escriban naturales, además que los ordenen de mayor a menor (o viceversa), pero sobre todo, que se den cuenta de la necesidad de usar números grandes en la vida real. Es sorprendente ver como están presentes en nuestra vida


los grandes números y la tremenda necesidad que tenemos en términos de usar y dominar este tema. Corresponde mostrar los diferentes usos que tienen, entre los cuales se puede citar:

Distancia entre planetas y tamaño de cuerpos celestes Cantidad de glóbulos rojos que hay en el cuerpo Cantidad de granos de polen que hay en una flor

En este sentido, y para mayor comprensión del uso y manejo de números grandes, se debe preguntar a los alumnos, por ejemplo:

¿Cuál es el Rut de sus padres? ¿Representa dicho número alguna cantidad? ¿Para qué sirve? Para llamar a larga distancia, los países y ciudades reciben los números que les

identifican. En este sentido, ¿qué número se le asignó a Chile, a Talca ; Santiago, etc.? ¿Qué número debería marcar usted si desea llamar a un amigo que vive en Santiago?

Que busquen en revistas o medios de información general, ejemplos cotidianos de uso de números grandes.

Que anoten de entre ellos, los de más de 6 cifras y tomen nota de la fuente, refiriéndose a lo que representa dicho número.

A propósito de los números naturales, el docente deberá presentarlos como conjunto.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6…}

Y también en la recta numérica, aplicar que se puede clasificar en:

Pares positivos = {2 n, n � N} e Impares positivos = {2 n 1, n � N}

Con respecto a los teoremas: hacer notar que estos números satisfacen lo siguiente:

+ Par Impar x Par Impar

Par Par Impar Par Par Par

Impar Impar Par Impar Par Impar


Extraer de textos variados, los conceptos de divisibilidad y de divisiones. En este sentido, comprender que:

Clase Nº10

� Reglas elementales de divisibilidad

- Un natural es divisible por 2, si y sólo si es un número par, es decir terminar en 0, 2, 4, 6, 8. Ejemplo: 184, 568, 3.796.

- Un natural es divisible por 3, si y sólo si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Ejemplo: 84, 267, 5.781.

- Un natural es divisible por 5, si y sólo si su último dígito es 0, o bien, 5. Ejemplo: 75, 490, 1.845.

Mayor información al respecto, podemos extraerla de internet o bien, textos de aritmética.

� Máximo común divisor (M. C. D.)

Dados dos o más números naturales, al número mayor entre sus divisores comunes se le denomina máximo común divisor. Ejemplo: dados los números 12 y 18, su máximo común divisor es 6. Los otros divisores comunes son 1, 2 y 3.

� Números Naturales con el cero (N 0 )

- Es recomendable que el profesor domine los sistemas numéricos siguientes al conjunto de los naturales y que en lo posible, sepa su funcionamiento y relación con los otros sistemas.

- Sólo con una amplia mirada podrá articular su trabajo con NB4 y NB6.

Los conjuntos que siguen en dichos cursos son:

“Sean a y b números naturales, entonces a es divisor de b si y sólo si existe al menos un número natural c, tal que se satisface: a x c = b. Esto equivale a afirmar que b es

múltiplo de a, o bien, b es divisible por a”.


1) Números Cardinales: N 0

N 0 = N � {0}

2) NUMEROS ENTEROS ( Z ) = {….., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,.....}.

Entre sus subconjuntos se distinguen:

{Enteros positivos} = Z + = N y

{Enteros negativos} = Z – = { n, n � N}

Teorema: estos números satisfacen lo siguiente:

x Positivo Negativo

Positivo Positivo Negativo

Negativo Negativo Positivo

� Antecesor y sucesor

Sea n un entero, entonces su antecesor es n 1 y su sucesor es n + 1.

� Relaciones de orden

Sean a y b números enteros, entonces:

a > b si y sólo si a b > 0 a < b si y sólo si a b < 0 a � b si y sólo si a > b � a = b a � b si y sólo si a < b � a = b


En síntesis:

La resta de naturales no es posible cuando a < b, para realizarla se inventan los enteros.

… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …

La división de enteros tampoco es posible en naturales y enteros, ello obliga al estudio de los Racionales.

� Números racionales (Q)

Un número es racional si y sólo si puede expresarse como división de dos números enteros, cuyo divisor es distinto de cero. Esta división se representa como fracción, donde el dividendo recibe el nombre de numerador y el divisor de denominador.

Q =

0bZbZa:

b

a

Relación de igualdad en Q

cbdad

c

b

a

Observación: al amplificar o simplificar una fracción, se obtiene otra que es igual a la anterior.

Relación de orden en Q+

cbdad

c

b

a

Nota:

Si bien no constituyen contenidos de NB3, se recomienda investigar estos conjuntos y sus propiedades para establecer la línea de continuo y progreso, necesaria al término de la enseñanza básica.


� Números reales (R)

Un número es real si y sólo si tiene representación decimal.

Teorema: todo número racional tiene representación decimal. Ejemplo: = 3 ÷ 4 = 0,75Por lo tanto: Q R

Teorema: todo número real cuya representación decimal es finita o presenta un período, tiene representación fraccionaria.

Ejemplo:

0,625 = 625 = 51000 8

0,2727… = 0,27 = 27 = 399 11

O,5833… = 0,583 = 583-58 = 7 900 12

Teorema: todo número real cuya representación decimal no cumpla con lo anterior, no es racional.

Ejemplos: π = 3,1415926535897932384626433832795... √2 = 1,4142135623730950488016887242097...

� Números irracionales (I)Un número es irracional si y sólo si es un número real no racional.

Ejemplos: √2, , etc


Teorema: los números racionales no nulos y los irracionales satisfacen lo siguiente:

+ Racional Irracional

Racional Racional Irracional

Irracional Irracional Real

a) Diagrama lineal de los b) Diagrama de Venn de los conjuntosconjuntos numéricos numéricos

Potencias de 10:

10 3 = 1.000

10 2 = 100

10 1 = 10

10 0 = 1

10 1 = 0,1

10 2 = 0,01

10 3 = 0,001

N

N

Z

Q

0

R

Q I

Z

N

π

1 r


Teorema: todo número real puede desarrollarse en potencias de 10.

Ejemplo: 3.484,75 = 3 × 10 3 + 4 × 10 2 + 8 × 10 1 + 4 × 10 0 + 7 × 10 1 + 5 × 10 2

Notación científica

Se utiliza para representar en forma más abreviada a un número real.

Ejemplos:

3.500.000.000 = 3,5 × 10 9

0,000008 = 8 × 10 6

Obviamente, lo anterior tiene aplicación directa en sistemas de medida.

� Sistemas de medida

Longitud - 1 km = 1.000 m - 1 hm = 100 m- 1 dám = 10 m- 1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm - 1 dm = 10 cm = 100 mm- 1 cm = 10 mm

Área

- 1 km2 = 1 × 106 m2

- 1 m2 = 1 × 102 dm2 = 1 × 104 cm2 = 1 × 106 mm2

- 1 dm2 = 1 × 102 cm2 = 1 × 104 mm2

- 1 cm2 = 1 × 102 mm2

Volúmen

- 1 km3 = 1 × 109 m3

- 1 m3 = 1 × 103 dm3 = 1 × 106 cm3 = 1 × 109 mm3

- 1 dm3 = 1 × 103 cm3 = 1 × 106 mm3

- 1 cm3 = 1 × 103 mm3

Capacidad - 1l = 1.000 ml ( ≈ 1.000 c.c.)


Masa - 1 kg = 1.000 g - 1 g = 1.000 mg

Tiempo - 1 día = 24 hr- 1 hr = 60 min - 1 min = 60 seg

Clase Nº11

2.6. Número y Operaciones

Los contenidos mínimos a tratar, tienen que ver con los números naturales y sus operaciones binarias. Es conveniente insistir en ideas que ya se trabajaron en NB1 y NB2, tales como relaciones de orden, secuencias numéricas, redondeo de un número, etc., como conductas indispensables para trabajar las operaciones en ámbitos cada vez mayores.

En las operaciones aritméticas con naturales se deberán establecer sus propiedades, es decir, reconocer que:

La adición de naturales es:

a) Cerrada b) Asociativa c) Conmutativa

La multiplicación de naturales es:

a) Cerrada b) Asociativac) Posee elemento neutro multiplicativo d) Conmutativa

Conviene además, que los alumnos se den cuenta de que la sustracción y división no siempre es posible de realizar en números naturales (por ello se dice que son operaciones abiertas). Se pueden dar variados ejemplos de las propiedades de las operaciones en números naturales, dando a entender que de no hacerlo, no tiene sentido enseñarlas o llenar de fórmulas a los alumnos.

� Dar ejemplos de la vida real, como por ejemplo:


Si se siembran 4 filas de 10 cebollas o bien 10 filas de 4 cebollas cada una, ¿qué diferencia existe entre las dos formas?

� Plantear preguntas tales como: ¿cuál es el nombre de la propiedad que se ilustra en cada ejercicio:

4 + 5 = 5+ 4 .....................................3 x 5 = 5x 3 .....................................(2 + 4) +6 = 2 + (4 + 6) .................................etc.

� Citar situaciones de la vida real que den una idea aproximada de cada propiedad:

¿Serían conmutativas las siguientes situaciones?

1. Ponerse los zapatos y luego los calcetines2. Ponerse el saco y luego los pantalones

� Plantear situaciones reales y consultas:

¿Cuál es la propiedad que más se aproxima a las siguientes situaciones?

1. Rol del árbitro en un partido de fútbol ...............................................2. El límite entre dos casas, etc. ...............................................

En la adición y sustracción de naturales, se debe insistir en el tema de las estimaciones y en el redondeo previo de cada número. Ej.: 753 + 347, se puede redondear a 800 + 300 y de ese modo se estima la suma en 1300.

Conviene además mostrar la relación entre adición y sustracción y en este sentido, mostrar diferentes problemas que la reflejen. Ej.: Blanca lleva en su bolsa $1500. La suma de dinero que lleva con su amiga Eugenia es de $3500 ¿Cuánto dinero lleva Eugenia?

1500 +......... = 35003500 – 1500 = ____

El alumno(a) debe comprender que la sustracción nos permite calcular el sumando que falta en una adición de dos sumandos. Se continúa con la composición y descomposición multiplicativa identificando sus factores.


Ejemplos:

10 = 2 x 5 tanto 2 como 5 son factores 20 = 10 x 2 el 20 es múltiplo del 2 y del 10. Los múltiplos de 2 = M (2) = {2, 4, 6, 8,10,...} Los múltiplos de 3 = M (3) = {3, 6, 9, 12,15,...} Calcular M (2) interceptados con M (3) = {6, 12,19,...} Descomponer en forma simple: 100 = 10 x 10 Descomponer en forma total: 100 = 2 x 5 x 2 x 5 (sólo en factores primos) Reconocer primos (dividir sólo por uno y por sí mismo)

A manera de sugerencia para trabajar con los alumnos, se plantean las siguientes actividades:

1. Para reconocer números primos, presentar la Criba de Erastóstones. Este es un procedimiento para obtener los primeros números primos, que consiste en anotar todos los números del 1 al 100 en filas y columnas, como se indica en el cuadrosiguiente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Luego se debe tachar los múltiplos de los números primos, tal como se indica a continuación:

- A partir del 2, se tachan todos los múltiplos de 2- A partir del 3, se tachan los múltiplos de 3- A partir del 5, se tachan todos los múltiplos de 5- A partir del 7, se tachan todos los múltiplos de 7

Quedan y en consecuencia son primos: { 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37...}


2. Para afianzar la lectura y escritura de números naturales y su valor posicional, se les puede presentar a los estudiantes la siguiente actividad:

Los naturales hasta el mil, se extienden a la clase de millones.

MILLÓN MIL UNIDADES

Cen

tena

de

MI

Dec

ena

de M

I

Uni

dad

de M

I

Cen

tena

de

M

Dec

ena

de M

Uni

dad

de M

Cen

tena

Dec

ena

Uni

dad

7 2 5

5 2 3 4 2

5 4 2 0 5 4

1 5 2 3 5 1 4 0

� Se trata de leer y escribir números, pero por sobre todo identificarlos en la realidad y entorno cotidiano.

� Comentar sobre sueldos de las personas, habitantes de las comunas, países, producción de ciertos cereales, etc.

3. Para trabajar el cálculo oral y escrito, se sugiere insistir en la composición y descomposición de números.

Ejemplos:223 + 321 + 235

200 20 3300 20 1200 30 5700 + 70 + 9 = 779

22 x 18 = (20 + 2) (20 - 2)= 400 - 4= 396

25 x 100 = 2500 (basta agregar 2 ceros)

1540/10 = 154 (quitar 1 cero)

24 x 25 = (24 x 100)/4= 2400/4 =600


4. Insistir en el dictado y escritura (gradual y progresivo) de números.

5. Para ejercicios de ordenamiento, se sugiere entre otros :

� Ordena de mayor a menor:

27.500 275.000 2750 ....................................................................990 909 9.099 ....................................................................40.500 4.555 400.005 ....................................................................

� Sitúa en la recta numérica, los números de menor a mayor.

400 1.000 200 600 1.400 100

I———————————————————————————————————

� Coloca el signo mayor o menor según corresponda.

99.999 1.000.000 909 9991.000.000 99.999 10.000 9.099 9.099 9.999

� Une con una flecha lo que corresponda.

Cuatrocientos sesenta y ocho 4.600.080Cuarenta millones sesenta mil ocho 468Tres mil cincuenta y uno 40.060.008Cuatro millones seiscientos mil ochenta 3.051

6. Sugerencias del uso de número en la vida diaria.

� Utilizar el calendario para determinar fechas, calcular observaciones estableciendo equivalencias entre días, semanas, meses y años.

Registrar fechas de nacimientos de cada alumno del curso Estimar y calcular en edad actual


� Establecer las equivalencias entre: años, meses, semanas, días.

1 año = 365 días 1 año = 12 meses 1 mes = 4 semanas 1 semana = 7 días

� Fechas importantes con los propios alumnos.

Averiguar fechas importantes en la historia (año de fundación de la ciudad de Talca)

Estimar la cantidad de años, meses y días. etc.

Clase Nº12

2.7. Multiplicación y División

Determinar resultados en sistemas correspondientes a otros significados (relación proporcional). Se deben entregar abundantes ejemplos de uso y significado de la división, en diferentes contextos, antes de proceder a la división algorítmica propiamente tal.

Los siguientes ejemplos, son sugerencias de un trabajo preparatorio con los alumnos:

1. Para el razonamiento aritmético y manejo de operatoria:

Repartir $ 200.000 entre 4 personas en partes iguales

Los dulces se venden en bolsitas de 34 unidades. Cada bolsa vale $ 200. ¿Qué preguntas debe formarse si desea comprar 490 dulces? (anote sus respuestas)

En el recuadro siguiente se pide Coloree con verde, los números que son divisibles por 5.Coloree con rojo, los divisibles por 5 y dan resto 2.Coloree con amarillo, los números que al dividirse por 5 dan resto 1.


32 15 31 42

25 46 30 47

20 37 51 35

17 40 41 16

2. Para el manejo conceptual y del lenguaje simbólico, se les pueden plantear desafíos como:

- Si el dividendo es 20 y el divisor es 4. ¿Cuál es su cuociente?- Si el cuociente de dos números es 8 y el divisor es 40. ¿Cuál es su dividendo?

3. En relación con el cálculo oral se les puede pedir:

La mitad de 100 es...... La mitad de 1000 es.... La mitad de 500 es.... La mitad de 250 es....

� Al dividirse entre 4 (se recomienda obtener la mitad de la mitad)

500 se obtiene..... 1000 se obtiene..... 2000 se obtiene..... 5000 se obtiene.....

� Dividir por 10 (se quita 1 cero)

100/10 = 120/10 = 5000/10 =

� Dividir por 100 (se quitan 2 ceros)

2.500/100 = 45.000/100 =


� Divisiones con divisor de 2 cifras

120/20=60 (se estima 2 en 12) 120 0

1.250/31=40 (se estima 3 en 12) 124

10

Incluir abundantes ejercicios de cálculo oral.

2.8. Fracciones

Se trata de mostrar el maravilloso e inmenso mundo de las fracciones y de cómo ellas, se insertan en la vida real. Una cantidad grande de problemas de la vida real, necesitan del concepto y luego de las operaciones en fracciones, por lo que su estudio es indispensable en la comprensión del mundo circundante y en la resolución de problemas, además de constituir parte importante del lenguaje y comunicación diaria entre las personas.

En este sentido se deben mostrar:

- Diferentes usos de la fracción en la vida cotidiana - El concepto de fracción, sus componentes y significado- Gráficos diferentes de fracciones - Fracciones equivalentes (gráficamente y luego, que los alumnos reconozcan a través de

la simplificación y amplificación)- Comparación de fracciones y orden en ellas - Adición y sustracción de fracciones homogéneas - Adición y sustracción de fracciones de distinto denominador

Recomendaciones:

“Introducir la calculadora, en especial en multiplicaciones y divisiones grandes; lo que realmente importa, es que el alumno/a decodifique el problema y ordene en la

calculadora las funciones que se deben ejecutar”.


Es evidente que el tema de las fracciones da para escribir páginas y páginas; aquí sólo nos limitaremos a presentar sugerencias prácticas que faciliten su aprendizaje, por parte de los alumnos y en función de los marcos teóricos ya descritos. En este sentido, son sugerencias para el tema de las fracciones con los alumnos:

- Presentar variadas formas de reparto, partición, medida- Lectura y escritura de fracciones- Comparar y establecer equivalencias- Fraccionar el entero en partes iguales 2 partes iguales 4 partes iguales

12

12

14

14

14

14

1 = Numerador ____ número de partes que se consideran2 = denominador ____ indicar las partes en que se divide un entero

Recordar que si el denominador es:

2 se dice medio 3 se dice tercio 4 se dice cuarto 5 se dice quinto

Debe quedar claro que:

� A mayor denominador, más pequeña es la fracción (deducir con dibujo)� A mayor numerador, más grande es la fracción

La equivalencia, de fracción, puede ser vista desde el gráfico (lo ideal es que sean los propios alumnos quienes descubran y establezcan las reglas de la equivalencia de fracciones, a partir de simples análisis de sus gráficas).

1 2 1 2 1 4 2 4 4 8 2 8


Todo lo anterior permite ordenar, intercalar, ubicar fracciones entre naturales, etc.

Lo importante es que los alumnos deduzcan el concepto de fracciones equivalentes a partir de sus gráficos, y luego descubran su regularidad o bien, la generalidad de ellos, siempre comenzando con material concreto.

½ = {2/4, 3/6, 4/8, 5/10,...}

Lo anterior permite la adición y sustracción de fracciones de igual y distinto denominador.

Ejemplo:

A manera de sugerencia se les puede plantear a los alumnos, ejercicios o problemas como los siguientes:

1. Represente la fracción: 3

4

2. Coloree la fracción 5/8.


3. Grafique y ordene de mayor a menor: ¼, ½, ¾ .

4. Traer envases de 1 litro, ½ litro, ¾ litros, ¼ litros litros y mediante el sistema de vaciado, completar la tabla.

Contenido Nº Botellas de ½ litro Nº Botellas de ¼ litro

2 Litro

1 Litro

½ Litro

5. ¿Qué fracción de la figura está pintada?

El siguiente ejercicio ya no es tan tradicional, y el alumno debe hacer un esfuerzo por dividir el todo en función de la unidad más pequeña.

6. Para discriminar fracciones equivalentes.

El curso de José tiene 36 alumnos. Si su curso se divide en grupos iguales según las fracciones indicadas en la Tabla ¿Cuántos alumnos y alumnas quedarían por grupo?


Total de alumnas y alumnos

Fracción Alumnos por Grupos

1/3 121/2 181/42/64/63/94/126/12

7. Luego de estos ejercicios y de otros más, el alumno estará en condiciones de realizar fracciones equivalentes a 1 , 1 , etc.

2 3 - ¿Qué otras fracciones, serían equivalentes a ½?- Pedirle una lista de fracciones equivalentes a ¼.- Podría pedírsele que enuncie en general, cómo se sabe cuando dos fracciones son

equivalentes.

En líneas generales, se sugiere:

- Utilizar el calendario y establecer equivalencias- Trabajar con décadas y siglos, construir líneas de tiempo- Leer y escribir números grandes- Comentar el uso de los grandes números en la vida real- Continuar con la composición y descomposición aditiva- Recopilar información- Construir tablas de frecuencias simples y construir gráficos- Leer gráficos (interpretación y análisis)- Redondear, estimular, aproximar- Utilizar la calculadora- Realizar factorización simple y compuesta- Trabajar conceptos de números primos y primos relativos- Incorporar las reglas de divisibilidad- Trabajar conceptos de mínimo común múltiplo y denominador- Distinguir mínimo común divisor y máximo común divisor- Usa leer algoritmos- Leer y gráficos de fracciones- Ordenar fracciones en la recta numérica- Simplificar y amplificar fracciones (establecer equivalencias)- Ejercita adición y sustracción de fracciones de igual y distinto denominador


UNIDAD III


“Un viejo poema dedicado a Euclides decía que éste, ya anciano, se iba a la orilla del mar y con un estilete iba marcando

círculos y rectas sobre la arena. Las olas borraban las figuras y Euclides volvía a trazarlas,

siempre sumido en sus meditaciones. Añade el poema que un niño lo miraba divertido desde detrás de una roca,

fascinado de ver cómo aquel anciano trazaba, sin parar imágenes redondas de la luna”.

Clase Nº 01 1. Geometría

En nuestro entorno ambiental estamos rodeados de objetos, de formas, diseños y de transformaciones. Las propiedades geométricas son cada vez más accesibles y presentes en la vida cotidiana de nuestros días. Desde la más temprana infancia se experimenta directamente con las formas de objetos, ya sean juguetes o utensilios cotidianos. Así, paulatinamente el niño(a) va tomando posesión del espacio, orientándose, buscando formas espaciales y contemplando su entorno. El conocimiento del entorno espacial del cual el niño(a) se apropia, sin razonamiento lógico, es lo que constituye la intuición geométrica. Esta es la primera invitación a la geometría.

Etimológicamente, la palabra geometría significa “medida de la tierra”, y se define

como “parte de la matemática que trata de las propiedades del espacio”. Así, su objeto de estudio es el espacio, relaciones y transformaciones.

También existe otra definición que dice: “parte de la matemática que estudia el conjunto de puntos ubicados en el espacio de una, dos o tres dimensiones y las relaciones métricas, posicionales y de transformación existentes entre ellos”. Para entender aún más el concepto de geometría, debemos remontarnos a la civilización egipcia quienes tuvieron como base la agricultura, siendo ésta la causa de que se diera a esta parte de la matemática el nombre de geometría, ya que los egipcios dividían sus tierras a causa de las crecidas del río Nilo para así cobrar impuestos a los agricultores.

“La geometría como conocimiento, es la ciencia que tiene como objeto analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. En este sentido amplio se puede considerar a la geometría como la matemática del espacio”.


Se debe considerar además, que la geometría es la primera ciencia que logra organizar todo el saber acumulado, codificado, elaborando un sistema axiomático y mecanismos de racionamiento que controlan y verifican la imaginación creadora.

La geometría se caracteriza por usar el método deductivo, que consiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos de manera tal que se obtienen nuevos conocimientos, es decir, se obtienen nuevas proposiciones como consecuencia lógica de otras anteriores. Sin embargo, no todas las propiedades son consecuencia de otras. Hay algunas que se aceptan como ciertas por sí mismas, éstos son los llamados Axiomas o Postulados. 1.1. Importancia de la Geometría

Babilonios y egipcios poseían grandes conocimientos matemáticos que les servían tanto para la medición de las tierras, los cálculos comerciales, fijación de impuesto como para la determinación del calendario.

Los conocimientos matemáticos y en especial de la geometría, fueron de gran utilidad en la elaboración de los mapas geográficos, en los progresos de la navegación marítima y en la comprensión de movimientos de los astros, esto gracias a la necesidad de medir, evaluar, analizar, describir, comprender y predecir; sin embargo, rebasando los límites marcados por las necesidades de la vida ordinaria, el desarrollo de esta ciencia terminó convirtiéndose en una necesidad por sí misma.

Nuestro mundo está lleno de formas geométricas, sólo debemos usar nuestros sentidos y nos encontramos con una infinidad de formas geométricas, algunas naturales y otras creadas por el hombre, en definitiva, estamos inmersos en un mundo geométrico.

Las experiencias de tipo geométrico se presentan tempranamente en los niños, a través de la exploración de objetos y del espacio físico, volviéndose así la geometría en una realidad. De esta manera, cuando el niño ingresa a la educación formal, ya trae consigo un potencial de aprendizaje constructivo, que será la base que le brindará al niño(a) la oportunidad de descubrir nuevas ideas geométricas.

La geometría ayuda al niño(a) en la creación de un hábito de razonamiento fundamental en la conformación de estructuras de pensamiento.

La matemática en general y la geometría en particular, ofrecen al igual que otras disciplinas del currículum, una vía para la comprensión y valoración apreciativa del entorno; una gran parte de tal apreciación, será fruto de la comprensión de lo espacial, por la evidente razón de que nuestro ambiente físico lo es.


1.2. El Aprendizaje de la Geometría

En todos los niveles de enseñanza se persigue que los estudiantes realmente aprendan conceptos geométricos. Para tal efecto, deberíamos tener presente que esos contenidos forman parte del cuerpo teórico de una disciplina deductiva y por lo tanto, pueden ser enseñados desde la experiencia, la intuición o el razonamiento.

• La Enseñanza de los Contenidos desde la Experiencia

Cuando los saberes compartidos en las salas de clases provienen de la práctica, de la acción, de los sentidos, cuando se obtienen como casos particulares de alguna relación o por comparación con un modelo, se está trabajando desde la experiencia. Trabajar con modelos supone simular una situación matemática, a través del uso de algún dispositivo más o menos conocido y actuar sobre él para buscar propiedades, características que luego se trasladarán a la situación inicial que les dio origen.

Así, un modelo puede ser definido como una esquematización construida, con una multiplicidad de datos de la realidad o de la experiencia y proporciona una abstracción satisfactoria sobre cómo funcionan las cosas.

El modelo ofrece a los alumnos y alumnas una situación problemática, adaptada al

nivel de razonamiento que el estudiante tiene respecto del contenido en cuestión.

Se suele pensar la respuesta a una situación matemática de diversas maneras; algunas veces, es más fácil utilizar “algo perceptible, manipulable”; otras, es más cómodo hacerlo con “algo familiar”, ya sea algo material concreto, una fórmula o una técnica, no necesariamente algorítmica, asociado a una tecnología de resolución de problemas.

La utilización de modelos para resolver situaciones matemáticas conlleva la invalorable aceptación de la heurística, es decir, la invención de un procedimiento estratégico para hallar la respuesta buscada. Cuando esto sucede, el problema se traduce en los términos específicos de un modelo y a través de éste se encuentra la solución, usando sólo sus propias reglas y elementos.

De esta manera, el problema se resuelve en términos del modelo y se reinterpretan las soluciones encontradas, en relación al original que les dio nacimiento.

Se apela a un trabajo diferente en las salas de clases, con los estudiantes reunidos en lo que podríamos llamar “una comunidad científica, en el laboratorio de Matemáticas”, creando instancias en las cuales los contenidos se traduzcan y se plasmen en actividades, en donde se haga realidad el aprendizaje significativo a través de la experiencia.


• La Enseñanza de los Contenidos desde la Intuición

Etimológicamente, intuir significa ver dentro, de ahí que se confunda con imaginación, con capacidad de representación mental.

Los objetos matemáticos no son simples copias de los objetos reales, sino que pueden interpretarse como los objetos físicos del mismo nombre, pero lo primero que debe hacerse es una nítida diferencia entre los dos tipos de objetos, dado que los matemáticos tienen más propiedades que los sensibles correspondientes. La noción de esfera, quizás la más inmediata, no lo es, dado que nadie puede ver al mismo tiempo toda la superficie esférica.

• La Enseñanza de los Contenidos desde el Razonamiento Basado en la Axiomatización

Hasta hace poco tiempo se creía que la geometría se aprendía en forma axiomática o

no se aprendía. Ahora deberíamos pensar que no hay ninguna necesidad de aprender deductivamente a la fuerza y que es mucho más importante el conocimiento experimental o intuitivo, dejando de lado el puramente formal para los especialistas. Hay una especie de proceso dual entre lo real y lo posible; es por este proceso, que las acciones en el mundo de los objetos son esquematizadas y representadas mentalmente.

Lo posible se construye según la siguiente cadena: las nuevas tendencias en educación matemática sostienen que los estudiantes deberían ser puestos en situaciones de aprendizaje que les permitan hacer, examinar, predecir, comprobar, generalizar, preguntarse “por qué sucede alguna cosa”, debiendo ser complementado con “que ocurriría si...”.

Por lo tanto, se debiera enseñar primero una geometría tri y bidimensional basada en describir, modelar, dibujar, investigar y predecir el resultado de combinar, subdividir y cambiar figuras; desarrollar la percepción espacial, relacionar ideas geométricas con ideas numéricas y de medidas, para pasar luego a una geometría que agregue la unidimensionalidad; también se debería visualizar y representar figuras geométricas con especial atención al desarrollo del sentido espacial, explorar transformaciones, resolver y representar problemas mediante modelos geométricos, entender y aplicar propiedades y relaciones geométricas.


Cualquiera sea nuestra elección, no puede obviarse algo específico en la resolución

de problemas y que el docente debe enseñar: la técnica, la forma de abordaje de la situación, los procesos de validación de las estrategias, las formas de comunicación de los resultados, así como tener presente que la resolución de problemas puede convertirse en una forma de aprender, en el método que el docente debe seguir para que el alumno aprenda. Desde esta concepción, el proceso de visualización es el referente teórico que nos permitirá el diseño de situaciones eficaces de aprendizaje. 1.3. Visualización en Geometría

La didáctica educacional actual sostiene una noción constructivista de la matemática, es decir, considera la matemática como una ciencia que representa conceptos en las formas de espacio y tiempo; formas que todos los sujetos poseen a priori para percibir el mundo. Así el espacio da origen a la geometría y el tiempo, con una sucesión de instantes, al número y la aritmética.

El hecho de adquirir conocimientos del espacio real, a través de la intuición

geométrica, es lo que se llama la percepción espacial. La percepción espacial, es el resultado de series de fases de procesamientos que ocurren entre la recepción de un estímulo visual y el logro de un precepto. Las bases de las percepciones ocurren a través de las operaciones cognitivas que se efectúan sobre la información contenida. La percepción espacial juega un papel importante en el estudio de la geometría, reconociendo formas, propiedades geométricas, transformaciones y relaciones espaciales.

Cuando entramos en un lugar desconocido percibimos con la vista diversos elementos: mesas, sillas, etc., en una segunda fase, integramos estas primeras imágenes a una estructura más compleja y percibimos las habitaciones, las puertas, los pasillos, las escaleras que separan las plantas, etc. Obtenemos así, de forma gradual, una imagen visual

Sin duda, “la propuesta didáctica que el docente planifique en forma de situaciones de enseñanza para que el alumno aprenda Geometría, deberá tener como base fundamental, de acuerdo con lo dicho, la resolución de problemas”.4 En este caso, “deberemos hacer la diferencia entre exponer el concepto primero y usar el problema como control del aprendizaje de los alumnos o proponer el problema como medio para que el alumno llegue a comprender significativamente el concepto en cuestión, significados que acerquen al concepto (según Charnay y Ausubel)”.

Se entiende el proceso de visualización como “saber ver el espacio, en el cual la intuición es el motor que hace arrancar y avanzar la comprensión de las distintas relaciones espaciales, se concreta en dos direcciones: por un lado, en la interpretación y la comprensión de modelos visuales y, por otro, en la habilidad para traducir la imagen visual de una información recibida, en simbólica”.6


del lugar que podemos reconocer en una próxima visita. Este proceso de formación de una imagen mental, es lo que se llama proceso visual.

En el desarrollo del proceso visual, interviene nuestra experiencia previa, haciendo asociaciones con otras imágenes mentales almacenadas en la memoria. El desarrollo completo del proceso visual es necesario para lograr una adecuada percepción espacial.

La percepción visual es un tema de la educación geométrica, al igual que otros tantos del currículum. El estudiante debe aprender a ver y a interpretar. Las adquisiciones de técnicas y habilidades de percepción visual, pueden ser aprendidas simultáneamente al estudio de la geometría, ya que ésta requiere que el alumno(a) identifique y reconozca figuras, formas, relaciones y propiedades, tanto en dos como en tres dimensiones.

“Existen programas de entrenamiento de percepción visual. Uno de los más conocidos es el programa de Frostig, en el que se diseñan actividades para desarrollar habilidades clasificadas en siete categorías”:

- La coordinación visual-motora - Percepción de fondo y formas - La constancia en la percepción - La posición del espacio - Las relaciones espaciales - La discriminación visual - La memoria visual

El espacio es una construcción, a la que se llega después de algunas operaciones. La

percepción espacial no es una simple actividad de copia de la realidad, sino que es el resultado de actividades de organización y de codificación de informaciones sensoriales.

La construcción del espacio, puede ser entendida como un proceso cognitivo de interacciones desde un espacio intuitivo o sensorio motor, que se manifiesta a través de la posibilidad de actuar, accionar en el espacio manipulando objetos, etc., hacia un espacio conceptual, relacionado con la capacidad de representar internamente el espacio, reflexionando y razonando sobre propiedades geométricas abstractas mediante sistemas de referencia, predicciones y manipulaciones mentales.

Esta construcción sigue un proceso tendiente a la comprensión de conceptos y el perfeccionamiento de las formas de razonamiento, por lo que, el significado de enseñar, adquiere una dimensión distinta de la tradicional: se refiere a la enseñanza de nuevas formas de razonamiento, provenientes de unas estructuras mentales nuevas, más complejas que las anteriores, que no pueden ser construidas más que por los propios alumnos y alumnas a partir de su experiencia.


Considerando la gran cantidad de antecedentes que respaldan la necesidad de que los alumnos(a) participen activamente, e interactúen con los contenidos que se desea que aprendan, presentaremos a continuación, dos ejemplos de teorías pedagógicas que permitirán fundamentar una propuesta constructivista del aprendizaje de la geometría, la teoría de Van Hiele y el constructivismo centrado en los planteamientos de Vigotsky.

Clase Nº 02

1.4. Modelo de Pensamiento Geométrico de Van Hiele

Los educadores Holandeses, Dina y Pierre van Hiele, sugirieron que los niños(a) pueden aprender geometría a lo largo de una línea de estructuras de razonamiento, que desarrollaron en los años 50. En los años 60, educadores de la antigua Unión Soviética, aprendieron de los estudios de Van Hiele y cambiaron su currículum de geometría. Durante los 80 hubo interés en los EE.UU. en las contribuciones de Van Hiele. Esto se notó en el aumento de la importancia del aprendizaje secuenciado y el enfoque de las actividades.

El fundamento del modelo Van Hiele es la “teoría de los niveles de razonamiento”, que explica cómo se produce el desarrollo en la calidad de razonamiento geométrico de los estudiantes cuando éstos estudian geometría, y las “fases de aprendizaje”, que constituye su propuesta didáctica para la secuenciación de actividades de enseñanza-aprendizaje en el aula. Los niveles de razonamientos se caracterizan, según estos profesores, por describir el pensamiento geométrico de los estudiantes en sus procesos de instrucción matemática, a partir del razonamiento intuitivo de los niños(as), de preescolar, hasta el formal y abstracto.

Las fases de aprendizaje, a diferencia de los niveles de razonamiento, nos orientan a

favorecer el desplazamiento del alumno(a) de un nivel al inmediatamente superior mediante la organización de las actividades de enseñanza-aprendizaje, lo que ha permitido que el modelo tuviera una influencia real en la elaboración de currículos de geometría en distintos países como es el caso de la Unión Soviética, EE.UU., Países Bajos, etc.

• Propiedades del Modelo

Además de proporcionar nociones sobre las ideas que corresponden específicamente a cada nivel de pensamiento geométrico, el matrimonio Van Hiele identificó algunas generalidades que caracterizan al modelo. Estas propiedades son particularmente significativas para los educadores, pues los orientan al tomar decisiones instruccionales.

a. Secuencial o Recursiva. Como en la mayoría de las teorías sobre el desarrollo, una

persona debe avanzar en orden a lo largo de los niveles. Para desempeñarse con éxito en un nivel particular, un alumno debe haber asimilado las estrategias de los niveles anteriores.


b. Ascenso. Pasar o no de un nivel a otro, depende más del contenido y los métodos de

instrucción recibidos, que de la edad. Ningún método de instrucción lleva a un estudiante a brincar un nivel, algunos incrementan los progresos, mientras que otros retardan o incluso previenen un movimiento entre niveles. Van Hiele indica que es posible enseñar “a un alumno(a) aventajado, habilidades arriba de su nivel actual; del mismo modo que se puede entrenar a niños en aritmética de fracciones sin decirles lo que significan, se puede entrenar a niños(as) más grandes en diferenciación e integración, aunque no sepan lo que es un cociente diferencial o integral”. En el caso de la geometría, los ejemplos incluyen la memorización de una fórmula para obtener un área o relaciones como “un cuadrado es un rectángulo”. En situaciones como ésas, lo que realmente sucede es que el objeto de conocimiento se reduce a un nivel básico más bajo y la comprensión no ha ocurrido.

c. Intrínseco y extrínseco. Los objetos inherentes a un nivel, se convierten en objetos de

estudio en el siguiente. Por ejemplo, en el nivel 0 sólo la forma de una figura es percibida. Está, por supuesto, determinada por sus propiedades, pero sólo hasta que se alcanza el nivel 1 la figura es analizada y sus componentes y sus propiedades son descubiertos.

d. Lingüístico. “Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios sistemas

de relaciones para conectar esos símbolos”. Así, una relación que es “correcta” en un nivel puede ser modificada en otro. (La inclusión de un grupo, por ejemplo, un cuadrado es también un rectángulo, y un paralelógramo). Un estudiante en el nivel 1 no concibe que esta clase de relación pueda darse realmente. Este tipo de nociones y su lenguaje correspondiente, sin embargo, son fundamentales para el nivel 2.

e. Falta de Concordancia. Si un estudiante está en un nivel y la instrucción que recibe en

otro, el aprendizaje y el progreso deseado pueden no ocurrir. En particular si el maestro/a, materiales instruccionales, contenido, vocabulario y demás, están en un nivel más alto, al estudiante no le será posible seguir el proceso de pensamiento empleado.

A partir de este modelo, se señala que si al niño(a) se le entregan las experiencias

instruccionales adecuadas, avanza a través de los cuatro niveles de razonamiento, empezando con el reconocimiento de figuras como todos (nivel 1), progresando hacia el descubrimiento de las propiedades de las figuras y hacia el razonamiento informal acerca de estas figuras y sus propiedades (niveles 2 y 3), y culminando con un estudio riguroso de geometría axiomática (nivel 4).


1.4.1. Los Niveles de Pensamiento Nivel 0: Visualización El estudiante identifica, nombra, compara y opera en figuras geométricas, de acuerdo a su apariencia. Reconoce las figuras como entidades totales, pero no reconoce sus características y propiedades. Nivel 1: Análisis En nivel 1 comienza un análisis de los conceptos geométricos. Por ejemplo, a través de la observación y la experimentación los estudiantes empiezan a discernir las características de las figuras. Estas propiedades que surgen se usan para conceptualizar clases de formas; es notorio que las figuras tienen partes y son reconocidas mediante ellas. Después de usar varios ejemplos, los estudiantes pueden hacer generalizaciones para la clase de paralelógramos. Las relaciones entre propiedades, sin embargo, aún no pueden ser explicadas por los estudiantes en este nivel, en el cual todavía no se ven las interrelaciones entre las figuras, ni se entienden las definiciones. Nivel 2: Deducción Informal Aquí, los estudiantes pueden establecer las interrelaciones en las figuras (por ejemplo: en un cuadrilátero, para que los lados opuestos sean paralelos, es necesario que los ángulos opuestos sean iguales) y entre figuras (un cuadrado es un rectángulo porque tiene todas sus propiedades). Así, se pueden deducir propiedades de una figura y reconocer clases de figuras. Se entiende la inclusión de clases. Las definiciones adquieren significado, sin embargo, el estudiante en este nivel, no comprende el significado de la deducción como un todo, ni el rol de los axiomas. Algunos resultados obtenidos de manera empírica, se usan a menudo conjuntamente con técnicas de deducción. Se pueden seguir pruebas formales; pero los estudiantes no ven cómo el orden lógico podía ser alterado, ni perciben tampoco cómo articular una demostración a partir de premisas diferentes o no familiares. Nivel 3: Deducción Formal En este nivel se entiende el significado de la deducción, como una manera de establecer una teoría geométrica con un sistema de axiomas, postulados, definiciones, teoremas y demostraciones son captadas. Una persona puede construir, y no sólo memorizar; percibir la posibilidad del desarrollo de una prueba de varias maneras, entender la interacción de condiciones necesarias y suficientes, y distinguir entre una afirmación y su recíproca.


Nivel 4: Rigor En esta etapa los alumnos pueden trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos. Pueden estudiar geometría no euclidiana y comparar diferentes sistemas. La geometría se capta en forma abstracta. Este es el nivel final que se desarrolla en los trabajos originales y ha recibido poca atención por parte de los investigadores. Pierre Marie Van Hiele ha confesado que está interesado en los primeros tres niveles en particular. Como la mayoría de los cursos de geometría del nivel medio son planeados en el tercero, no es sorprendente que la mayoría de los investigadores estén también concentrados en los niveles inferiores. Quizás, como el modelo Van Hiele se ha extendido a otras áreas (está siendo aplicado a la economía y la química en Holanda), el último nivel adquirirá posteriormente, mayor notoriedad. Van Hiele, estableció que los niveles “se caracterizan por diferencias en los objetos de pensamiento”8. Por ejemplo, en el nivel 0, los objetos del pensamiento son las figuras geométricas (los cuadrados van juntos porque son iguales). En el nivel 1 el estudiante opera sobre ciertos objetos, es decir, clases de figuras, (que fueron producto de las actividades del nivel 0), y descubre propiedades de esas clases (un cuadrado tiene cuatro lados, todos sus ángulos rectos, todos sus lados congruentes, los lados opuestos paralelos, etc.). En el nivel 2, estas propiedades se convierten en los objetos sobre los que operan los estudiantes, estableciendo el orden lógico de aquellas propiedades. En el nivel 3, las relaciones de orden son los objetos sobre los que los estudiantes operan, y en el nivel 4 el objeto de pensamiento es el establecimiento de dichas relaciones de orden. 1.4.2. Fases de Aprendizaje de Instrucción para Profesores - Información: en esta escena inicial, el estudiante y el profesor/a enganchan en

conversaciones y actividades acerca de los objetos de estudio, propios del nivel. Se hacen observaciones, se realizan preguntas, y se introduce el vocabulario específico del nivel.

- Orientación guiada: los estudiantes realizan tareas que involucren diferentes relaciones

de las redes que deben formar. Por medio de actividades y materiales, que el profesor ha secuenciado cuidadosamente, se les entregan las estructuras propias del nivel.

- Explicitación: el estudiante toma conciencia de las relaciones, trata de expresarlas con

palabras y aprende el lenguaje técnico que acompaña a los contenidos (expresa ideas acerca de propiedades de una figura). El rol del profesor/a en esta fase se limita a ayudar a los alumnos/as a adquirir y usar apropiadamente este lenguaje.

- Orientación libre: el estudiante aprende por medio de la realización de tareas más

complejas, para encontrar su propio camino en la red relacional. Tareas con muchos pasos, tareas que pueden ser completadas en más de una manera, y tareas de final


abierto. Ganan experiencia en resolución de problemas por sí mismos y explicitan muchas relaciones entre los objetos de las estructuras que están siendo estudiadas.

- Integración: el estudiante resume todo lo que ha aprendido acerca de la materia de

estudio y obtiene una visión general de la nueva red de relaciones de que dispone.

Aunque la teoría de Van Hiele ha sido ampliamente reconocida por su papel en la explicación de niveles de pensamiento asociado al aprendizaje de la geometría, ésta fue desarrollada como una teoría de educación matemática. Naciendo del interés de los profesores, no se detiene en una descripción de “niveles de pensamiento”, sino que busca entregar una base para entender el movimiento entre esos niveles y el rol que corresponde al profesor en tal desarrollo, yendo más allá de la teoría de Piaget, quien deliberadamente se distanció de la cuestión de cómo los estudiantes pueden ser ayudados en el progreso de nivel en nivel. La suya era una teoría del desarrollo y afirmaba que tal desarrollo se encontraba bastante separado de la influencia de la instrucción, y se refirió a tal interés despectivamente como “la Cuestión Americana”, pero de hecho, fue este holandés quien parece haber progresado significativamente en establecerla.

En sus trabajos en los años 80, Pierre Van Hiele describe una teoría de educación matemática que surge de dos conceptos fundamentales, “Estructura” e “Insight”. Aunque reacio a especificar una definición para la primera, Van Hiele admite que ésta puede ser entendida en una forma muy amplia como una “red de relaciones” en la que las generalizaciones se reconocen por medio de todo tipo de eventos y percepciones. En este sentido, el “Insight” es saber qué hacer con las estructuras a las que se va accediendo en la vida diaria, tanto en el hogar como en la escuela.

Para Van Hiele, el aprendizaje verdadero es aquel que los estudiantes logran por su propio esfuerzo, esfuerzo que los envuelve en una experiencia que él denomina “Crisis de Pensamiento” muy cercano a la noción piagetana de “Desequilibrio”, Van Hiele ve esta crisis como necesaria para que los estudiantes logren niveles de pensamiento más altos. Si bien, se pueden obtener respuestas “mímicas” de niveles superiores, a menos que el niño se haya enfrentado personalmente con los materiales, no hay progreso de tipo cognitivo.

La teoría de Van Hiele sostiene también, que sólo podemos hablar de aprendizaje significativo, cuando involucra la transición a un nivel más alto de pensamiento que sólo será posible yendo más allá del estado presente. En esto se ve una clara relación con la idea de Zona de Desarrollo Próximo descrita por Vigotsky, en donde el aprendizaje es valioso e importante en la medida que permite y favorece el desarrollo del niño(a).

Normas dirigidas al profesor con respecto a las actitudes necesarias para su trabajo en la aplicación del modelo:


- El profesor partirá del hecho de que los estudiantes poseen un almacén significativo de concepciones y propiedades de los objetos materiales.

- El profesor procurará, a partir de la experiencia previa de los alumnos/as, es decir, de la

observación de figuras concretas, que formen estructuras geométricas, y pondrá en relación estas observaciones con una forma “geométrica” de verlas.

- El profesor diseñará actividades de enseñanza-aprendizaje en el aula, teniendo en

cuenta el nivel lingüístico y de razonamiento de los alumnos. - El profesor procurará conocer cómo es estructurado el espacio de forma espontánea

por los alumnos, partiendo de esa percepción, diseñará actividades que permitan al estudiante construir estructuras visuales geométricas y un razonamiento abstracto. Para ello, el profesor modificará progresivamente el contexto en el que aparecen los objetos en una dirección matemática alejándose del empirismo.

- El profesor estará atento a la adquisición de “insight” por parte de los alumnos, para lo

que es necesario que el diálogo sea la pieza clave de la enseñanza. - El profesor animará a los alumnos a hablar acerca de los conceptos geométricos y a

desarrollar un lenguaje expresivo, respetando en un primer momento sus propias expresiones y lenguaje, para ir introduciendo progresivamente el lenguaje geométrico.

- El profesor procurará conocer el correlato mental de las palabras y conceptos que

utilizan los alumnos y que él necesita, por medio de actividades diseñadas a tal fin y por medio del uso continuo del diálogo en el aula.

- El profesor diseñará actividades de clarificación y complementación de dicho correlato

mental, que permitan que éste coincida con el significado de la palabra en la disciplina. - El profesor fomentará el trabajo consciente e intencional de los alumnos con la ayuda de

materiales manejables. El material ha de poseer el fundamento del desarrollo lógico de la geometría. El material ha de ser auto correctivo.

- El profesor permitirá a los alumnos trabajar con material concreto, sólo cuando sea

necesario para construir la teoría. El período de acumulación de hechos de forma inductiva no debe ser demasiado prolongado. El alumno debe y puede usar la deducción.


Clase Nº 03 1.5. La Geometría Hoy

La geometría es hoy, un elemento importante en el Currículum de matemática de educación básica, porque el conocimiento y el manejo del espacio y de las relaciones espaciales resultan útiles en situaciones cotidianas y porque esta disciplina tiene conexión con otros temas matemáticos y otra materias escolares.

Los conceptos espaciales se necesitan para interpretar, entender y apreciar el mundo. Aspectos importantes del sentido espacial son: las ideas e intuiciones sobre figuras bi y tridimensionales y sus características; la relación entre las figuras y el efecto que ejercen los cambios sobre éstas. Los alumnos y alumnas que logran establecer relaciones espaciales y que dominan los conceptos y el lenguaje de la geometría, están mejor preparados para trabajar con ideas numéricas y de medición, así como otros temas matemáticos más avanzados. Geometría realista

Además del estudio del número, las matemáticas también se refieren al estudio del

espacio; la instrucción en geometría debe empezar y relacionarse con el fenómeno real del espacio que nos rodea. Los alumnos entre 4 y 12 años, también tienen derecho a la geometría. El método para la introducción a la geometría debe tener un carácter intuitivo. La formalización debe constituir el punto final de un currículo planificado verticalmente. Entre los distintos aspectos de la geometría realista se destacan: � La Visualización y Proyección

En este aspecto, el espacio debe ser explorado desde la experiencia cotidiana y con experimentos simples. Las actividades deben tener un carácter informal. Esto implica empezar desde el mundo real. Se proponen actividades como: mirar (observar), percibir, representar y explicar los objetos espaciales y el fenómeno espacial. Incorporar algunos conceptos derivados, tales como: el punto, la dirección, el ángulo, la distancia, el paralelismo, la intersección y la no intersección de líneas en el espacio, los planos, entre otros, y las relaciones elementales entre otros aspectos.

� La Visualización y Ubicación

En este aspecto, la ubicación es la definición de la posición (relativa) y a veces del tiempo de un objeto en un espacio dado; por ejemplo, al planear un problema en que se tiene que describir por teléfono un objeto en forma exacta. Los niveles de descripción pueden


variar desde las descripciones del pensamiento auto referido, hasta niveles que pueden resultar del uso de coordenadas.

� El Razonamiento Espacial

El razonamiento espacial era uno de los temas de la geometría Euclidiana. Sin embargo, es posible razonar lógicamente sin el uso explícito del conocimiento de la lógica formal. Así los niños tienen la posibilidad de utilizar un método matemático típico (científico) en el nivel que le corresponde. Es decir, planteando hipótesis, probándolas, refutándolas o demostrándolas. En términos más específicos, se puede hablar de actividades matemáticas como: razonamiento inductivo, de analogías, deductivo, de generalización, de reconocimiento y uso de isomorfismos, de ordenamiento y trabajo sistemático, de desarrollo y aplicación de métodos de visualización.

� Las Transformaciones

Aquí hablamos de las transformaciones congruentes, ya que el elemento tamaño se mantiene inalterado, de otras llamadas de similitud (las que cambian, pero tiene su forma). En la vida cotidiana las llamamos reducciones y agrandamientos.

� La Construcción y el Dibujo

La construcción es hacer calzar figuras bi y tridimensionales bajo ciertas condiciones. En las actividades concretas construimos con bloques, tangramas y tableros chinos; papel plegado, confeccionando modelos, etc.

� La Medición y el Cálculo

La medición de longitudes, áreas y volúmenes ha sido la base de la geometría original. A través de las actividades de medición, se establece una relación entre geometría y cálculo. Aquí son importantes las habilidades que dicen relación con:

- Habilidad para reestructurar figuras, de tal modo que se entienda la idea de

conservación de áreas. - Habilidad para reemplazar una figura de cierta área con otra que sea 2 veces, 3

veces,...su área. - Habilidad para completar figuras planas hasta formar un rectángulo.


1.6. La Geometría en el Currículum

La interpretación realista de la geometría, entendida como la investigación del espacio en el cual vivimos y de los fenómenos que ocurren en él, hace posible ensanchar nuestra visión de la geometría comparada con la perspectiva formalista tradicional.

La geometría realista no se asemeja al trabajo individual con papel y lápiz, tampoco se

trata del profesor explicando a los alumnos y alumnas, mostrando la actividad. La enseñanza en la geometría realista llama al trabajo grupal, donde la investigación, la experimentación, la discusión y la reflexión, son la base del proceso de enseñanza-aprendizaje. La justificación de la geometría se basa en la aplicación, en el valor preparatorio, el valor específico de la materia y el valor personal.

Las aplicaciones no son sólo el resultado final del proceso de aprendizaje, sino que la realidad es usada como la fuente primera de explicación del fenómeno geométrico y del desarrollo de conceptos geométricos.

En relación al valor preparatorio, los niños/as de los niveles más elementales, trabajan desde las nociones intuitivas, desarrollan un sistema de conceptos compresibles que le permiten realizar un ordenamiento de la realidad geométrica. Empiezan a desarrollar las relaciones y ser capaces de hacer racionamiento simple.

Los problemas geométricos, aún los simples, tienen un carácter motivacional. Mientras se resuelven se emplea una mezcla de intuición, adivinación; dibujo y razonamiento. Al realizar los problemas, nuestros razonamientos se apoyan en elementos de ayuda visual.

Los patrones geométricos, no sólo son una rica fuente de exploración, sino que al

trabajar con ellos, los niños/as, también pueden ser atraídos por el aspecto estético de la geometría.

El carácter orientador hacia el mundo de la geometría para la escuela básica crea, en principio, posibilidades de considerar seriamente a cada niño/a y desafiarlo continuamente a hacer buen uso de sus propias habilidades para el desarrollo personal posterior.

Los aprendizajes que los niños y niñas adquieren en la escuela básica se centran en la construcción de nociones y relaciones espaciales, generadas a partir del análisis de los objetos en la vida real y de la ubicación del sujeto en el espacio. Este logro servirá de base para el posterior conocimiento formal de esta disciplina, porque le permitirá irse familiarizando, en forma paulatina, con el razonamiento propio del quehacer geométrico y contribuirá, además, al desarrollo de aspectos de carácter formativo, tales como:

- La valoración estética de regularidades, proposiciones y simetrías - La capacidad de verbalizar ideas y relaciones espaciales


- Intuición geométrica y del método inductivo - La creatividad en el campo espacial - La capacidad de modelizar o idealizar formas de los objetos reales y sus relaciones en

el espacio 1.6.1. La Geometría en NB3

En este punto se tratan aspectos interesantes de los cuerpos geométricos y de elementos de geometría plana que facilitan su análisis y estudio más en profundidad. Desde la prehistoria, la humanidad ha sentido curiosidad e inquietud ante las curiosas y hermosas formas geométricas que rodean nuestro entorno.

Los contenidos mínimos y objetivos fundamentales de este nivel, intentan mostrar en su real dimensión, esta visión. Una visión realista de la geometría, como herramienta para intentar comprender y valorar tanto nuestra realidad como al mismo tiempo, su potencial comunicativo. La pretensión es revisar y analizar los contenidos y objetivos en relación con la construcción de la geometría como una organización coherente, armónica y por sobre todo, lógica. La idea es seguir reflexionando sobre los fundamentos filosóficos y didácticos de la geometría, su contribución en el desarrollo integral de los estudiantes y de la necesidad de su estudio y tratamiento en la escuela. Los contenidos Mínimos de NB3 dicen relación con: - Armar cuerpos a partir de caras. - Construir redes para armar cuerpos. - Identificar y contar el número de caras, aristas, y vértice, de un cuerpo y construir sus

caras y aristas. - Diferenciar cuadrado, rombo, rectángulo y romboide, a partir de modelos hechos con

varillas articuladas. - Identificar lados, vértices y ángulos en figuras poligonales. - Distinguir tipos de ángulos con referencia al ángulo recto. - Utilizar centímetros para medir longitudes y centímetros cuadrados para medir

superficies.


- Calcular centímetros y áreas de cuadrados, rectángulos y triángulos rectángulos y en figuras que puedan descomponerse de las anteriores.

- Reconocer las fórmulas para el cálculo del perímetro y del área del cuadrado, triángulo y

triángulo rectángulo. - Distinguir perímetro y área a partir de transformaciones de una figura en la que esas

medidas permanecen constantes.

El logro de lo anterior, supone previamente distinguir la concepción de Figura Geométrica de Cuerpo Geométrico. Entender que lo único que tiene existencia real son los cuerpos geométricos y que la geometría bidimensional me permite y facilita el estudio y análisis. Tal vez sea aconsejable partir de conceptos preconcebidos de: - Ángulos. - Polígonos (cuadrado, rombo, romboide y rectángulo). - Elementos de dichos polígonos. - Diferencias perímetros de área. - Calcular perímetro y área de dichos polígonos. - Determinar perímetros y áreas de figuras combinadas. - Medición y construcción de las figuras y de sus ángulos. - Diferenciar entre Poliedros y Cuerpos Redondos. - Armar roles para construir: cubos, prisma rectangular, pirámides. - Señalar forma y número de sus caras, número de vértices, aristas y ángulos diedros en

cada caso. Son también Contenidos Mínimos los referidos a espacio: - Interpretar planos urbanos y de caminos, utilizando los puntos cardinales de referencia.


- Identificar y crear códigos para comunicar diversos tipos de información al interior de un plano.

En concreto se deben planificar actividades en relación con: - Efectuar recorridos orientados por los puntos cardinales. Imaginan y siguen recorridos

de planos no presentes. - Utilizan planos de ciudades y mapas de caminos para determinar recorridos y desplazar

de un lugar a otro. - Dibujar mapas esquemáticos usando como referente los puntos cardinales y creando

códigos para comunicar la información. 1.7. Estrategia de Enseñanza

En el proceso de aprendizaje geométrico, los alumnos deben explorar y experimentar con objetos de uso cotidiano y otros materiales físicos. Para desarrollar la percepción espacial, son de gran ayuda los ejercicios que llevan al alumno y alumna a visualizar, dibujar y comparar figuras en posiciones diversas. El lenguaje geométrico debe surgir de modo natural a partir de la exploración de la experiencia.

Este enfoque de la enseñanza de la geometría, demanda que los educadores

propongan a los alumnos y alumnas actividades con materiales concretos, que impliquen interacción con los objetos, movimientos y reflexión sobre las acciones ejecutadas, que precisen ciertas ideas para relacionar con ellas el vocabulario específico. Estas actividades deberán estar inspiradas en situaciones tomadas de la realidad familiar de los alumnos y alumnas, y responder a sus intereses.

Con el propósito de visualizar la variedad de acciones que es posible considerar para

las clases de geometría, se enuncia un conjunto de técnicas que se pueden emplear y que suelen ser utilizadas en diversas asignaturas: modelar, plegar, recortar, dibujar, colorear, decorar, calcar, (con y sin papel calco), reproducir, ampliar, reducir, cubrir o tapizar, armar en el plano o en el espacio tridimensional, descubrir, comparar, clasificar, etc.

Los materiales que se requieren para un aprendizaje activo de la geometría también

son variados y, al mismo tiempo, fáciles de obtener o de recolectar: lápices, plumones, masa, gredas o plasticina, papeles lustre, de diario o revista, cuadriculado, calco, kraft, etc.; cartulina, cartones, elásticos, hilos, cuerdas, cuerdas para hilar, fichas planas de distinta forma y colores, tapas de envases, cubos y bloques de juegos, envases de formas y tamaños diversos, palos de distinto grosor, pajita de bebida, trazos de alambre, plumavit, vidrios, espejos, rompecabezas, cintas de regalo, reglas, escuadras, etc.


Tanto las técnicas como los materiales consignados, responden a la estrategia

constructiva del aprendizaje y permite a los alumnos “hacer geometría”. Del documento de trabajo “La proximación realista de la enseñanza de la geometría en Holanda de E. De Moor”. Son variados los recursos existentes, pero lo que realmente importa es atreverse a ser innovador y presentar actividades que resulten atractivas para los alumnos y que realmente sirvan para afianzar los conceptos requeridos.

Un tema no menor es visualizar la geometría como una construcción ordenada, un cuerpo de conocimiento bien elaborado en base a definiciones, axiomas, teoremas que le dan sentido y significación.

Es lógico, en consecuencia, exigir al profesor un dominio de su construcción y para dichos fines, se presenta la siguiente descripción. La geometría se fundamenta en los siguientes elementos: a. Se eligen, en forma adecuada, ciertos conceptos primitivos sin definición. Todos los

restantes se definen en función de los primitivos. b. Se admiten, sin probar, ciertas propiedades que relacionan los conceptos primitivos, que

se denominan axiomas o postulados. c. Se escoge una lógica, es decir, un conjunto de leyes con las cuales se pueden deducir

nuevas propiedades, a partir de las iniciales. d. Se deducen lógicamente las propiedades señaladas, dando origen a los teoremas.

Clase Nº 04 1.8. Conceptos Geométricos Fundamentales a. Punto: noción abstracta que no tiene cualidad, sólo tiene posición. b. Espacio: conjunto (infinito) de todos los puntos existentes (E). c. Figura Geométrica: es cualquier conjunto no vacío de puntos de E (líneas, superficies, y

sólidos o cuerpos geométricos). d. Línea: idea geométrica abstracta, que tiene diversos tipos de representaciones.


- Línea recta: es la línea más simple y la más importante (hilo tenso) - Línea Curva: es toda línea que no sea recta

e. Superficie: es también una idea geométrica abstracta (una frontera que separa los

cuerpos materiales del resto del espacio).

- Superficie Plana: es el caso especial más simple de superficie (cubierta del pizarrón).

- Superficie Curva: es toda superficie que no sea plana

Observación: si A es un punto común para una recta R y un plano P, se dice que R y P pasan por A o que son incidentes.

f. Axiomas de incidencia o existencia: los puntos, rectas y planos se enlazan por las

relaciones de posición dadas por los siguientes axiomas, definiciones y teoremas.

Ax. I-1: por un punto A del espacio pasan infinitas rectas (tantas como se quiera). Ax. I-2: por dos puntos distintos dados A y B del espacio, pasa exactamente una sola recta que los contiene.

- Definición 1: dados tres puntos A, B y C del espacio, son colineales si y sólo si existe una recta que pasa por ellos.

Ax. I-3: dados los puntos A y B, existen a lo menos un punto C que no es colineal con A y con B. Ax. I-4: dados tres puntos distintos y no colineales, existe un único plano determinado por ellos.

- Definición 2: dados cuatro puntos distintos, se dice que son coplanarios si existe un único plano que pasa por ellos.

Ax. I-5: si dos puntos A y B de una recta R están en un plano P, entonces la recta R está totalmente contenida en el plano. Ax. I-6: existen por lo menos cuatro puntos que no están en un mismo plano.

- Teorema 1: dos rectas diferentes tienen a lo más un punto en común.

Ax. I-7: todo punto O en una recta R la separa en dos semirectas (abiertas), que son subconjuntos disjuntos de R.


Observación: el punto O, llamado punto frontera, no pertenece a ninguna de las dos semirectas, llamadas semirectas opuestas de origen O (OA y OB). Definición 3: diremos que un punto Q está entre A y B, si las semirectas QA y QB son opuestas y Q es el punto frontera. Definición 4: llamaremos segmento de recta AB o trazo AB al conjunto formado por los dos puntos dados A, B y por todos los puntos que están entre A y B, que se denominan puntos frontera. Diremos que un segmento AB es abierto cuando no contiene a sus puntos frontera. Definición 5: llamaremos rayo AB a la unión de una semirecta AB con su punto frontera. Definición: diremos que una figura geométrica F es convexa, cuando al considerar cualquier par de puntos en ella, se tiene que el segmento determinado por dichos puntos queda totalmente contenido en la figura F.

A las figuras no convexas se les denomina Cóncavas Teorema 2: la intersección de dos figuras convexas es una figura convexa. Ángulos en el Plano Definición 7: ángulo (Rectilíneo) es la figura geométrica formada por dos rayos (lados) no colineales y que tienen un mismo origen (vértice). El ángulo formado por dos rayos dados BA y BC lo designaremos por ABC.

CÓNCAVO CONVEXO


Es decir, ABC = BA U BC OBSERVACIONES: a) Una línea recta separa un plano en dos conjuntos convexos no vacíos, llamados

semiplanos, de los cuales es su frontera. b) El interior de un ángulo ABC es la intersección de los semiplanos generados por las

rectas BA y BC. c) El exterior de un ángulo es el conjunto de puntos que no están en el ángulo ni en su

interior. d) El conjunto formado por el ángulo ABC y su interior, recibe el nombre de sector o región

angular. e) Todo ángulo es una frontera que separa el plano en dos regiones o sectores angulares:

una es convexa y la otra es cóncava. Definición 8: ángulo extendido (o llano) es aquel cuyos lados determinan semirectas opuestas de origen o punto frontera en el vértice de éste. Definición 9: dos ángulos con el mismo vértice son adyacentes si tienen un lado común y la intersección de sus interiores es vacío.

A

B

C

A B C

D

B A

C


Definición 10: ángulos opuestos por el vértice son aquellos de vértice común, tales que sus lados forman pares de rayos opuestos. Medición de ángulos: Las medidas de los ángulos, que se consideran en sentido levógiro (contrario a los punteros de un reloj análogo), las designaremos por letras griegas minúsculas. Sin embargo, por abuso de lenguaje, generalmente suele confundirse un ángulo con su medida, esto es: m( ABC). Ahora, si al girar C en torno a B, se completa una vuelta y C coincide con A, se dice que ángulo ABC es un ángulo completo. Al dividir el sector angular correspondiente a un ángulo completo en 360 partes, se obtiene la unidad de medida del sistema sexagesimal, llamada grado sexagesimal, es decir, la medida del ángulo completo es de 360 grados sexagesimales, que denotaremos por 360°. Además, para medir en forma aproximada un ángulo cualquiera, usamos un instrumento llamado transportador. Observaciones: la medida de un ángulo extendido es igual a la mitad de la medida de un ángulo completo, esto es, 180°.

D

A B

E

C

C

B A


Definición 11: llamaremos ángulo recto a todo aquel cuya medida es 90°, que equivale a la mitad de un ángulo extendido. Dos rectas R1 y R2 son perpendiculares si y sólo si forman un ángulo recto. Definición 12: diremos que dos ángulos que tienen igual medida son congruentes. Definición 13: diremos que dos ángulos son suplementarios, si y sólo si la suma de sus medidas equivale a un ángulo extendido (o dos rectos) y se dice que uno de ellos es el suplemento del otro.

C

B A

90°

B D

A

C

30° 30°

25° 155°

A

Y Z

X


Definición 14: diremos que dos ángulos son complementarios, si y sólo si la suma de sus medidas equivale a un ángulo recto y se dice que uno de ellos es el complemento del otro. Definición 15: llamaremos ángulo agudo a todo ángulo cuya medida sea menor que la de un ángulo recto. Además, todo ángulo cuya medida sea mayor que la de un ángulo recto, pero mayor que la de un ángulo extendido, recibe el nombre de ángulo obtuso. � Ejemplos de ejercicios para trabajar con los alumnos: 1. ¿Por qué una mesa de tres patas no cojea? Explique la situación. 2. Un plano P contiene a los puntos A y B, ¿qué puede concluirse acerca de la recta AB?

Justifique. 3. Si se sabe que los puntos A, B y C están en un plano P1 y que los puntos A, B y C

también están en un plano P2, ¿se podrá concluir que P1 y P2 son un mismo plano? Justifique.

4. Si A, B y C son tres puntos de una línea recta, ¿cuáles de los siguientes enunciados

pueden ser verdaderos?

a) C está entre A y B; y B entre A y C

C D

A

62° 28°

B

X

Z

Y 25°


b) B está entre A y C; y B entre C y A c) A está entre B y C; y B está entre A y C d) A está entre B y C; y A está entre C y B

5. Si la semirecta AB es opuesta a la semirecta AC, ¿cuál de los puntos, A, B y C está entre

los otros dos? 6. Determine si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso y justifique su

respuesta:

a) El espacio contiene por lo menos cuatro puntos b) Todo semiplano contiene la línea que separa al plano c) Todo rayo separa un plano en dos semiplanos d) Dos semiplanos cualesquiera son coplanares

7. Dibuje tres figuras convexas y tres cóncavas. Justifique su respuesta. 8. Determine si es verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones y justifique su

respuesta:

a) La unión de figuras convexas es una figura convexa b) La intersección de figuras cóncavas es una figura cóncava c) La unión de figuras cóncavas es una figura cóncava d) La unión de una figura cóncava con una figura convexa es una figura convexa

9. Determine si los puntos de la figura están en:

a) El interior del ángulo ABC b) El exterior del ángulo ABC c) El interior del ángulo ABD d) El exterior del ángulo ABC


10. Verifique:

a) Que todo ángulo es una figura cóncava b) Que el exterior de todo ángulo es cóncavo

11. Si la medida de un ángulo es 75°, determine la medida de su ángulo:

a) Complementario b) Suplementario

12. Determine la medida de un ángulo que es congruente con su complemento. 13. Si a es la medida de un ángulo y equivale al doble de la medida de su suplemento,

determine el valor de a. 14. Si en la figura se tiene que MS es perpendicular a MT. Justificando su respuesta,

identifique si existe:

a) Un par de ángulos complementarios b) Un par de ángulos suplementarios c) Un par de ángulos congruentes

D

B

*H

*F

*E A

I

C

*G

A

T S

M

αβ


Clase Nº 05 Triángulos Actividad 1: construcción de triángulos y clasificación. 1. Elegir tres segmentos cualesquiera e intentar formar un triángulo. Completar una tabla

con las longitudes de los segmentos considerados y con una observación respecto de si es posible o no construir un triángulo con ello.

MEDIDAS DE LOS SEGMENTOS ES POSIBLE CONTRUIR UN

TRIÁNGULO

� Analizar los datos de la tabla para determinar por qué en algunos casos no se puede

construir un triángulo y en qué casos es posible construir un triángulo con tres segmentos. Buscar una relación entre las longitudes de los tres trazos.

� Concluir sobre las condiciones que deben cumplir tres segmentos para formar un triángulo. Justificar.

2. Elegir las piezas que representan ángulos e intentar formar un triángulo con ellas.

Completar una tabla con las medidas de estos ángulos y con una observación respecto a si fue o no posible construir un triángulo con esos ángulos.

MEDIDAS DE LOS SEGMENTOS ES POSIBLE CONTRUIR UN

TRIÁNGULO


� Establecer conclusiones a partir de preguntas como las siguientes:

- ¿Pudieron construir un triángulo ubicando adecuadamente dos ángulos rectos, o con dos ángulos obtusos o con dos agudos? ¿por qué?

- ¿Lograron construir un triángulo con dos ángulos no rectos (obtusos o agudos)? ¿En que casos es posible?, ¿por qué?

� Analizar los datos de la tabla para determinar por qué en algunos casos no se puede

construir un triángulo y caracterizar las medidas de los ángulos de manera que sea posible formar un triángulo. Buscar relacionar las medidas de los tres ángulos y la suma de ellos en cada caso.

� Concluir sobre las condiciones que deben cumplir los ángulos para formar un

triángulo. 3. Sin medir con transportador, calcular las medidas de los ángulos que faltan en los

siguientes triángulos. Explique y justifique sus procedimientos y respuestas.

X = _____________________________ La figura es un rectángulo. ¿Cuánto mide y? En la figura. ¿Cuánto mide el ángulo CAB?

X

45°

60°

y

60° 60° 60°

60°

D

A B

C


Actividad 2: desarrollar actividades de construcción de triángulos, a partir de ciertos datos, para establecer clasificaciones de ellos considerando tanto las características de sus lados y de sus ángulos, como las relaciones entre lados y ángulos. Construir diferentes triángulos según condiciones como las siguientes:

� Triángulo ABC, donde a = 3 cm, y = 60º, b = 3 cm. � Triángulo ABC, donde a = 5 cm, b = 5 cm, c = 5 cm. � Triángulo ABC, donde a = 60º, c = 7 cm, b = 60º.

Interpretar la información siguiendo las nominaciones habituales de lados y ángulos, como se muestra en la siguiente figura:

Clasificar los triángulos, de acuerdo a un criterio que considere las características de los triángulos. Por ejemplo, según la longitud de sus lados, o la medida de sus ángulos, o combinaciones de ellas. Exponer sus clasificaciones y concluir el o los criterios que permiten clasificar los triángulos. Elementos de un triángulo: altura, bisectriz, mediana, transversales de gravedad. � Dibujar tres tipos de triángulos: acutángulo, rectángulo, obtusángulo. � Trazar las alturas. Establecer conclusiones. � Determinar y caracterizar el punto de intersección de las alturas en cada triángulo.

Asociar la ubicación de dicho punto y el tipo de triángulo de que se trata.

- Altura: segmento que une un vértice perpendicularmente con el lado opuesto. - Bisectriz de un ángulo: es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los

lados del ángulo. - Transversales de gravedad: son los trazos que unen el punto medio de un lado con

el vértice opuesto en un triángulo. - Medianas: son los trazos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo.

C

y

A

a

B

b

ca b


- El ortocentro, el inscentro y el centro de gravedad: se llaman puntos del triángulo. Usando los mismos triángulos anteriores, trazar con regla y compás las bisectrices de sus ángulos interiores:

� Caracterizar las bisectrices. Comparar las alturas y las bisectrices en cada triángulo. Determinar en cuáles casos coinciden. Escribir sus observaciones y conclusiones.

� Determinar las medidas. � Determinar las transversales de gravedad. � Definir características de altura, bisectriz, medianas y transversales. � Resolver la siguiente situación:

“Si sólo puede desplazar los vértices ¿qué movimientos realizaría en este triángulo si desea que la altura y la bisectriz señaladas coincidan?”

� Determinar y caracterizar el punto de intersección de las bisectrices en diferentes tipos de triángulo.

Completar la tabla siguiente con el resumen de las observaciones, agregando comentarios y conclusiones.

BISECTRICES EN UN TRIÁNGULO

ALTURAS EN UN TRIÁNGULO

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Acutángulo Rectángulo ObtusánguloComentarios sobre la construcción

Lugar en el que se ubica la intersección

Coincidencia entre las alturas y bisectris

Comentarios y conclusiones

C

A


Actividad 3: problemas Aplicar las características de diferentes tipos de triángulos, de sus alturas y bisectrices para resolver problemas geométricos.

� ABDE es un cuadrado. BCD es triángulo equilátero. Sin medir, ¿podría encontrar el valor del ángulo CAB?, explique por qué llegó a ese resultado.

� ABC y DEF son triángulos rectángulos en B y en E, respectivamente; ángulo BEF = 30º. Sin medir los ángulos, encuentre el valor del ángulo A y explique por qué llegó a ese resultado.

D

C

B A

E

D

A

F

E

B

C


� ABC es un triángulo equilátero y BPD es un triángulo rectángulo–isósceles. Sin medir los ángulos, encuentre el valor del ángulo CBD y explique cómo llegó a ese resultado.

Clase Nº 06 Cálculo de Áreas y Perímetros Actividad 4: resolver situaciones problemas que involucran cálculo de área de triángulos rectángulos y otros. Identificar altura y base correspondiente, para establecer relaciones entre estas medidas y el área. Varios campesinos desean vender sus terrenos colindantes, que tienen formas muy curiosas, y quieren averiguar cuál de las parcelas puede tener el mayor precio, considerando que han acordado cobrar el mismo precio por metro cuadrado. Si este es un plano esquemático del terreno con cada una de las parcelas, ¿cuál es la conclusión a la que llegan los campesinos?

B

C P A D

1400m 1500m

700m 800m 1400m

1500m 500m

500m

500m

500m


� Analizar la situación:

En el caso de los triángulos ¿qué datos son los que ayudan a calcular su área? ¿Qué tipo de triángulos son los presentes en los terrenos?

� Concluir un procedimiento general para calcular el área de cualquier triángulo. � Investigar y comentar sobre la forma de calcular el área de terrenos irregulares y el

cómo se usa habitualmente, la expresión “cuadrar un terreno”. Actividad 5:

� En el rectángulo ABCD de la figura, AD = 6 cm. y DC = 8 cm.

P, Q, R y S son los puntos medios de los lados. Las diagonales del rectángulo ABCD se cortan en el punto o y las diagonales del rectángulo APOS se cortan en el punto M, como se muestra en la figura. Calcular el área del cuadrilátero PMOQ.

� Calcular el perímetro del pentágono ABCDE. El triángulo ACE es equilátero y su perímetro es igual a 18 cm. Los triángulos ABC y CDE son isósceles congruentes, de 14 cm. de perímetro.

AB = BC y CD = DE

M

R

O

D

S

A B P

C

Q


¿Cuántos metros de alambre se necesitan para cercar esta superficie? TEOREMAS de: Thales, Euclides y Pitágoras THALES 1. Rectas paralelas determinan segmentos proporcionales.

a) OA: AC = OB: BD b) OC: OA = OD: OB c) OC: AC = OD: BD

2. Si un haz de rectas es cortado por dos o más paralelas, los trazos paralelos intersectados

están en la misma razón que los respectivos segmentos por ellos determinados sobre una misma recta del haz.

a) AB: CD = OB: OD b) AB: CD = OA: OC

C

E A

B D

O

C

A B

D


PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. EUCLIDES La altura de la hipotenusa en un triángulo rectángulo, es la media proporcional geométrica entre los dos segmentos que determina en ella.

A

b2

b a2

a

B c

C

c2

c2 =a2 + b2

C

BAp

c

q

hb

a


Todo lo anterior, no constituyen contenidos mínimos de NB3, pero es necesario que el docente los estudie como temas que muestran la construcción lógica de la geometría.

Clase Nº 07 1.10. Cuerpos Geométricos y Figuras Geométricas En NB3 interesa que los alumnos aprendan a: � Identificar caras de prismas y pirámides y relacionarlas con figuras geométricas

conocidas. � Identificas las redes que permiten construir un cubo. � Desarmar y analizar envases de formas geométricas simples. � Distinguir y caracterizar paralelogramos (cuadrado, rectángulo, rombo, romboide) � Calcular el área de cuadrados, rectángulos y triángulos rectángulos.

La geometría existe en todas partes, pero es preciso querer verla y apreciarla, tener inteligencia para comprenderla y espíritu para admirarla. Aquí le presentaremos algunas sugerencias de cómo tratarla con los alumnos; se trata de conocer propiedades tanto de los cuerpos como de las figuras geométricas.

En primer lugar, es preciso que todo docente pueda comprender y dominar la construcción axiomática de la geometría, con la única intención de apreciar realmente el carácter de cuerpo ordenado y lógico del conocimiento.

Toda la información que recibimos del mundo que nos rodea, todo lo que vemos o tocamos, lo procesamos en primera instancia en términos geométricos. Al contrario que las leyes físicas, las leyes de la geometría nos son dadas a priori. En cuanto que ninguna experiencia puede confirmar o refutar ninguna de ella. Por ejemplo, podemos asegurar que es imposible percibir dos rectas distintas que pasen por dos puntos distintos dados.

Una de ellas no seria recta. Podemos asegurar también, que en un plano hay tres puntos no colineales.

Lo contrario significa que un plano se enrolla sobre una recta. Esto contradice la intuición que tenemos sobre la forma de un plano y además es imposible, a menos que el plano se reduzca efectivamente a una recta.


Incluso es poco frecuente que al hacer las afirmaciones anteriores, alguien repare en la existencia de los puntos en cuestión. Esta existencia no es demostrable y no refutable. Es simplemente una ley geométrica, sobre la cual se desarrolla toda geometría.

Sobre la base de la experiencia de entes geométricos primitivos, se es capaz deducir, mediante razonamiento lógico, un cuerpo de teoremas que garantizan la existencia de otros objetos geométricos y describen sus propiedades. Estas; son propiedades objetivas, que se pueden percibir mediante los sentidos y son constructibles o demostrables.

Un plano de simetría que existe a priori, es parte de nuestra percepción inmediata. Este plano no tiene espesor, no puede definirse. Sólo percibimos su existencia a través de nuestros sentidos y pasa a ser parte de nuestra intuición geométrica. Observemos para comenzar, la naturaleza con una mirada geométrica: Las Torres del Paine presentan caprichosos colores y formas geométricas, que en su conjunto muestran las maravillas de la creación.

Descubrimos en ella formas geométricas elementales como conos, cilindros, pirámides, y otras no tan elementales como elipsoides, paraboloides. Una mirada más minuciosa al mundo que nos rodea, nos llevaría a descubrir más formas. En efecto, si miramos cuerpos pequeños descubrimos formas como las pequeñas caracolas que encontramos al caminar por la orilla del mar.

Todos hemos apreciado pequeñas conchas y nos hemos cautivado con sus formas, así como esta estructura que representa la constitución molecular del diamante, sólo es posible apreciarla al microscopio. En ella están presentes cubos y pirámides de base triangular.


Ya apreciamos objetos y seres vivos del mundo natural que nos llaman la atención por

la belleza de sus líneas, por sus colores y por sus formas. Estudiar estas figuras es a veces un tanto complicado, existen formas muy complejas que exigen descomponerlas para poder realmente caracterizarlas o estudiarlas.

Obviamente, debe iniciarse el estudio con formas simples y paulatinamente se tratan formas más complicadas.

Ya en NB2 se conocieron la esfera, el cubo, el cilindro, la pirámide, el cono. Los alumnos y alumnas distinguen cuerpos de caras planas y curvas. En NB3 se estudian un poco más en profundidad, algunos de los cuerpos ya conocidos por los alumnos y alumnas.

En primer lugar, se deben presentar los PRISMAS, como una porción del espacio, como un cuerpo geométrico limitado sólo por regiones poligonales, con 2 bases que son polígonos iguales, y caras laterales que son paralelógramos. La forma de la base se usa para nombrar el prisma. En consecuencia, hay muchos tipos de prismas, según sea el polígono de las bases. Prisma triangular Prisma cuadrangular


Prisma pentagonal

Se sugiere dibujar varios prismas para que los alumnos y alumnas los clasifiquen, determinen el número de caras, la forma del polígono basal y ejemplos de ellos en la vida real. Pueden además buscar en diarios y revistas construcciones donde se puedan distinguir prismas. � Es un prisma cuadrangular � Tiene 2 bases que son rectangulares � 4 caras laterales � 2 caras basales � 8 vértices � 12 aristas

En el programa de NB3 se trabaja también la pirámide. Para este efecto, es conveniente citar las pirámides de Egipto, su historia, su data y curiosidades de su construcción.

La pirámide es un poliedro que tiene como base cualquier polígono y cuyas caras

laterales son triángulos. Al igual que en los prismas, hay tantas pirámides como sea el polígono de su base.

Vértice

Arista

Cara Lateral


Pirámide triangular Pirámide cuadrada

Pirámide pentagonal


Pirámide octagonal

Claro que existen muchos tipos de pirámides, y su nombre depende del polígono de su base, por ello, conviene plantear situaciones de reconocimiento a los alumnos y alumnas como las siguientes: � Presentar dibujos de diferentes Pirámides � Que los copien en sus cuadernos � Que completen el cuadro siguiente a) b)


a b c d Polígono Basal

Nombre de la Pirámide

Una de las formas clásicas e importantes dentro de los cuerpos geométricos, es el Cubo. Su presencia en la vida real es frecuente y corresponde que los alumnos y alumnas lo reconozcan, lo armen y desarmen, lo caractericen, etc. � Presentar el cubo como un poliedro de 6 caras iguales.

5

1

2 3 4

6


Clase Nº 08 � Distinguir en el cubo sus elementos distintivos. Al igual que en los casos anteriores, ellos deben deducir que el cubo tiene: - 6 caras (cada cara es un cuadrado) - 8 vértices - 12 aristas

Es absolutamente recomendable que los alumnos y alumnas construyan cada uno de estos cuerpos, que conozcan sus redes de modo de armar y desarmar identificando caras basales, laterales, vértices, aristas.

Se pueden presentar algunas curiosidades de los cuerpos, de modo que los alumnos y alumnas descubran regularidades o propiedades en ellos, como por ejemplo:

� Que observen un dado y una caja de fósforos y que respondan:

- El nombre real de cada uno - ¿Tienen ambos el mismo número de caras? - ¿Tienes el mismo número de aristas y de vértices? - ¿Qué semejanzas y diferencias encuentran entre las caras de uno y otro? - ¿Qué semejanzas y diferencias observan entre sus aristas? - ¿Qué otras diferencias o semejanzas pueden encontrar entre estos 2 cuerpos?

Vértice

Cara

Arista

Base


� Presentar redes de cuerpos simples, como por ejemplo:

Es una posibilidad de red, lo básico es tener 6 cuadrados.

A los alumnos y alumnas se les puede solicitar la construcción de un cubo con medidas específicas. Por ejemplo de aristas de 10 centímetros. Interesante resultaría que los propios alumnos y alumnas determinen cuales de las siguientes son redes para formar cubos.


Red para una Pirámide de Base Triangular Una posible red, puede ser con 4 triángulos equiláteros unidos: Red para Pirámide de Base Cuadrada Consta de 1 cuadrado (base) y de 4 triángulos isósceles.


Lo recomendable es reproducir en cartulina y dar medidas precisas. Por ejemplo: con triángulos equiláteros de 10 centímetros y que al armar pueden dar el número de caras, aristas, vértices.

Si realmente se desea comprender bien lo correspondiente a los cuerpos geométricos, debemos insistir en el aprendizaje de conceptos básicos de la Geometría Plana. Los alumnos deben dominar lo concerniente a ángulos y tipos de ángulos, a polígonos y dentro de ello, al triángulo y cuadrilátero.

En los cuadriláteros deben distinguir los paralelogramos, trapecios y trapezoides; sólo después es recomendable introducir los conceptos de perímetro y área de figuras planas.

Ya vimos el concepto de ángulo, ahora interesa que los alumnos y alumnas puedan identificar ángulos dentro de la sala de clases, en la escuela, destacando en especial el ángulo recto.

Es preciso solicitar a los alumnos y alumnas que identifiquen la presencia de ángulos rectos y tal vez, formas de construcción; en este sentido, hay que destacar la sabiduría de los maestros carpinteros y por último, mostrar instrumentos que permiten su construcción.

Símbolo de ángulo recto


A partir del ángulo recto, considerando al ángulo como la unión de 2 rayos con vértice común, presentar los otros tipos. Agudo (menor de 90°) Obtuso (entre 90° y 180°) Extendido o Llano (180°) Completo (360°)

Resulta particularmente importante, presentar diferentes ángulos y solicitar a los

alumnos y alumnas que a través del transportador midan sus aberturas y clasifiquen dichos ángulos.

A

A

aB

C

C

AC B

A CB


También es posible pedirles construir ángulos de medidas específicas. � De 90° � De 45° � De 30° � De 270°, etc. A continuación de los ángulos, tratar los polígonos. Polígono � Poli = Varios � Gonos = Lados

Clase Nº 09

Definirlos como figuras de variados lados. Es evidente que el polígono más simple es el triángulo. Triángulo = polígono de sólo 3 lados.

Para efectos del triángulo, interesa construir diferentes triángulos solicitando a los alumnos y alumnas clasificarlos de acuerdo a lados y ángulos. Se presenta para ello, el Geoplano como recurso de gran potencial en la construcción. Los alumnos y alumnas deben clasificarlos según: Lados: � Equiláteros: de 3 lados iguales � Isósceles: sólo 2 lados iguales � Escaleno: sus 3 lados diferentes Ángulos: � Rectángulo: de 1 ángulo recto � Acutángulo: sus 3 ángulos agudos (menores de 90°) � Obtusángulo: con 1 ángulo obtuso Solicite a sus estudiantes la construcción de triángulos específicos.


� Un equilátero de 10 cm. por lado. � Un isósceles de 10 cm. de base y lados de 8 por 8 cm. Que discutan la forma de construirlos.

Lo importante es que siempre se debe caracterizar al triángulo en función tanto de sus lados, como de sus ángulos. Ejemplos: Corresponde a un equilátero – acutángulo. Corresponde a un isósceles – rectángulo. Corresponde a un escaleno y obtusángulo. A continuación, presentar los polígonos, de 4 lados, es decir, los cuadriláteros. Clasificarlos en: Cuadriláteros:

10

10 10

10

10


a) Paralelógramos (2 pares de lados paralelos)

� Cuadrado � Rectángulo � Rombo � Romboide

b) Trapecios (1 par de lados paralelos)

� Rectángulo � Isósceles � Escaleno

c) Trapezoide (sin lados paralelos) De todos ellos, presentar dibujos y principales características. � Cuadrado

- 4 lados iguales - 4 ángulos rectos

� Rectángulo

- Lados opuestos iguales - 4 ángulos rectos

� Rombo

- 4 lados iguales - 2 ángulos agudos y 2 obtusos


� Romboide

- Lados opuestos iguales - 2 ángulos agudos y 2 obtusos

� Trapecio Rectángulo

- 1 par de lados paralelos - 1 ángulo recto

� Trapecio Isósceles

- 1 par de lados paralelos - 2 lados iguales (los no paralelos)

� Trapecio Escaleno

- 1 par de lados paralelos - Los 4 lados diferentes


Se requiere dibujar y reconocer las figuras en la vida real. Un ejemplo de esto es el caso del trapezoide, que sin lados paralelos es: Se le denomina deltoide, pero es más conocido como cometa. Sólo después de ello, son posibles los conceptos de perímetro u área. Es frecuente la confusión de los alumnos y alumnas entre dichos conceptos, al respecto es recomendable presentar: Negro: perímetro Achurado: área

Como actividad se les puede pedir a los estudiantes que distingan perímetro como contorno, cerca, reja, demarcación, etc., por ejemplo, citar un cuadro y dentro de él el marco o perímetro y la fotografía o dibujo como área. Un potrero donde la cerca es el perímetro o longitud y el césped el área o superficie. En este sentido, presentar situaciones gráficas como:

2cm

2cm


Perímetro: contorno: 2 + 2 + 2 + 2 = 8 cms. Área: número de cuadritos de 1 cm. por lado que se forman: 2 * 2 = 4 cm. (cuadraditos). También presentar desafíos mayores, por ejemplo área y perímetro de figuras combinadas.

Perímetro: 60cm. Área: 120 + 48 = 168 centímetros cuadrados. De este modo, presentar también área y perímetro de: � Triángulos:

- Perímetro: a + b + c - Área: (base * altura)/2

Explicar el área del triángulo a partir de un rectángulo, en el cual una de sus diagonales lo divide en 2 triángulos.

20cm

10cm

12cm

6 cm

b

h


Luego:

- Área rectángulo = b * h - Área triángulo = (b * h)/2

Presentar desafíos a los alumnos como: � ¿Qué figuras geométricas se encuentran presentes en nuestro emblema nacional? � ¿Qué relación existe entre el número de vértices con el número de lados de estos

polígonos? � ¿Qué características hay entre el rombo y cuadrado y cuáles son sus diferencias? � ¿Qué pueden decir de los ángulos de un cuadrado, rombo, romboide y rectángulo? � Que dibujen triángulos, midan lados y calculen perímetros de cada uno � Dar diferentes situaciones en que el área es necesaria para resolver situaciones

- Embaldosar - Pintar una muralla - Sembrar

� Presentar situaciones en que es necesario estimar o calcular perímetro

- Alambre para cercar en terreno - Metros de guardapolvos para una pieza

También es posible dictar problemas como: 1. Los automóviles tienen distinto tamaño, pero en promedio se puede pensar que para

estacionar necesitan un espacio de 4 metros de largo y 2 metros de ancho. Utilizando estos datos, determinar cuántos autos se pueden estacionar en un terreno de 50 metros por 80 metros de largo.

2. Medir diferentes baldosas del patio de la escuela o sala, y calcular su área y perímetro. 3. Estimar perímetro y área de:

- Patio - Cancha - Sala - Escuela - Casa - Cubierta de la mesa - Tapa del cuaderno, etc. - Comparar sus respuestas


Es importante ejercitar la estimación como conducta transversal en toda la enseñanza básica. En este sentido, estimar y luego verificar los siguientes aspectos:

Longitudes: - Largo de la sala - Largo del brazo - Largo del patio - Ancho de la mesa - Altura de la ventana - Altura del estante Perímetro y área de: - La sala de clases - Del patio de la escuela - Del pupitre del profesor Es claro que luego se debe medir y verificar sus respuestas.

Los alumnos y alumnas podrán, con los elementos de la geometría plana, estudiar con más precisión los cuerpos geométricos, caracterizarlos con más detalle y entender de mejor forma su construcción.

Ahora, si hablamos en términos más precisos de un cubo de 4 cm. de arista, podríamos inferir que: - Está formado de 6 caras y cada una de ellas es un cuadrado - Cada cara tiene 16 centímetros cuadrados de área - Las 6 caras en total tienen un área de 6 * 16 = 96 centímetros cuadrados - Los ángulos formados por la intersección de las aristas son rectos - El área de las bases (superior = tapa e inferior = fondo, mide 32 centímetros cuadrados)


Clase Nº 10 2. APRENDAMOS MATEMÁTICAS JUGANDO

El papel del juego en la actividad matemática ha tenido siempre un componente lúdico, que ha dado lugar a un sin números de creaciones interesantes y de gran valor en las matemáticas.

El juego según J. Merizinga en su obra Homo Ludens, presenta varias características

muy peculiares:

· Es una actividad libre, es decir, que se ejercita por sí misma y no por el provecho que de ella se pueda sacar. En consecuencia es espontánea, no coercitiva, voluntaria, atrayente, etc.

· Tiene una función básica en el desarrollo del hombre, en tanto que juega y se prepara con ella para la vida, aprende sobre el surgimiento y acatamiento de reglas y de roles sociales.

· El juego como obra de arte, produce placer a través de su contemplación y ejecución. Se ejercita separando de la vida ordinaria en el tiempo y espacio.

· Fomenta desde su inicio hasta un término la creatividad y la inventiva. · Da origen a lazos afectivos entre los que lo practican.

Los profesores deben tomar en cuenta que la educación en general, y por lo tanto, la

enseñanza de la matemática, debe considerar el entorno del alumno y alumna, sus preferencias, sus actividades y en este sentido, que el juego es trascendental para ellos.

La motivación, el interés por aprender, la curiosidad, la creatividad, la solidaridad, el

trabajo en equipo, los roles sociales, etc., serían posibles de lograr si lo hacemos jugando, participando y haciendo.

2.1. El Papel del Juego en la Educación Matemática

Un breve análisis de lo que representa la actividad matemática, basta para permitirnos

comprobar que muchos de estos rasgos están bien presentes en ella. La matemática, por su naturaleza misma, es también juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el científico, instrumental, filosófico, que juntos hacen de la actividad matemática uno de los verdaderos ejes de nuestra cultura.

“La alegría de jugar y participar es fundamental en el crecimiento humano.”


Si el juego y la matemática, en su propia naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que también participan de las mismas características, en lo que respecta a su propia práctica. Esto es especialmente interesante, cuando nos preguntamos por los métodos más adecuados para transmitir a nuestros alumnos el profundo interés y el entusiasmo que las matemáticas pueden generar, proporcionándoles una primera familiarización con los procesos usuales de la actividad matemática.

Un juego comienza con la introducción de una serie de reglas, un cierto número de

objetos o piezas, cuya función, en el juego, viene definida por tales reglas, exactamente de la misma forma en que se puede proceder en el establecimiento de una teoría matemática, por definición implícita. Quien se introduce en la práctica de un juego debe adquirir una cierta familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con otras al modo como el alumno en matemáticas, compara y hace interactuar los primeros elementos de la teoría unos con otros. Estos son los ejercicios elementales de un juego o de una teoría matemática.

Quien desea avanzar en el dominio del juego va adquiriendo unas pocas técnicas

simples que, en circunstancias que aparecen repetidas a menudo, conducen al éxito. Estos son los hechos y lemas básicos de la teoría que se hacen fácilmente accesibles en una primera familiarización con los problemas sencillos del campo.

Una exploración más profunda de un juego con una larga historia, proporciona el

conocimiento de los caminos peculiares de proceder de los que han sido los grandes maestros en el campo. Estas son las estrategias de un nivel más profundo y complejo que han requerido una intuición especial, puesto que se encuentran a veces, bien alejadas de los elementos iniciales del juego. Esto corresponde en matemática a la fase en la que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos los grandes teoremas y métodos que han sido creados a través de la historia. Son los procesos de las mentes más creativas que están ahora a su disposición, para que él haga uso de ellas en las situaciones más confusas y delicadas.

Más tarde, en los juegos más sofisticados, donde la reserva de problemas nunca se

agota, el jugador experto trata de resolver de forma original situaciones del juego que nunca antes han sido exploradas. Esto corresponde al enfrentamiento en matemáticas con los problemas abiertos de la teoría.

Finalmente, hay unos pocos que son capaces de crear nuevos juegos, ricos en ideas

interesantes y en situaciones capaces de motivar estrategias y formas innovadoras de jugar. Esto es paralelo a la creación de nuevas teorías matemáticas, fértiles en ideas y problemas, posiblemente con aplicaciones para resolver otros problemas abiertos en matemática y para revelar niveles de la realidad más profundos que hasta ahora habían permanecido en la penumbra.


La matemática y los juegos han entremezclado sus caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente, en la historia de la matemática, la aparición de una observación ingeniosa, hecha de forma lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. En la antigüedad se puede citar el I Ching como origen del pensamiento combinatorio, y de tiempos más modernos se puede citar en este contexto, a Fibonacci, Cardano, Fermat, Pascal, Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli.

Del valor de los juegos para despertar el interés de los estudiantes se ha expresado

muy certeramente Martín Gardner, el gran experto de nuestro tiempo en la presentación lúcida, interesante y profunda de multitud de juegos por muchos años en sus columnas de la revista americana Scientific American:

El matemático experto comienza su aproximación a cualquier cuestión de su campo,

con el mismo espíritu explorador con el que un niño comienza a investigar un juguete recién estrenado, abierto a la sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco a poco espera iluminar, con el placentero esfuerzo del descubrimiento ¿Por qué no usar este mismo espíritu en nuestra aproximación pedagógica a las matemáticas?

El gran beneficio de este acercamiento lúdico, consiste en su potencia para transmitir

al estudiante la forma correcta de colocarse en su enfrentamiento con problemas matemáticos.

La matemática es un gran y sofisticado juego que, además, resulta ser al mismo

tiempo una obra de arte intelectual, que proporciona una intensa luz en la exploración del universo y tiene grandes repercusiones prácticas. En su aprendizaje se puede utilizar con gran provecho, como hemos visto anteriormente, sus aplicaciones, su historia, las biografías de los matemáticos más interesantes, sus relaciones con la filosofía o con otros aspectos de la mente humana, pero posiblemente ningún otro camino puede transmitir cuál es el espíritu correcto para hacer matemáticas como un juego bien escogido. 2.2. Importancia Actual de la Motivación y Presentación

Nuestros alumnos se encuentran intensamente bombardeados por técnicas de comunicación muy poderosas y atrayentes. Es una fuerte competencia con la que nos enfrentamos en la enseñanza cuando tratamos de captar una parte sustancial de su atención. Es necesario que lo tengamos en cuenta constantemente y que nuestro sistema educativo trate de aprovechar a fondo tales herramientas como el video, la televisión, la radio, el periódico, el cómic, la viñeta, la participación directa, etc.

“Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de mata, chiste, paradoja, pareado de naturaleza

matemática o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frívolas” (Carnaval Matemático, Prólogo).


Estamos aún muy lejos de saber aprovechar para nuestra enseñanza las posibilidades

abiertas a través de los medios técnicos de los que ya disponemos actualmente. Una pequeña sugerencia práctica puede servir de ejemplo. En nuestro entorno tenemos profesores excelentemente preparados para servir de ejemplos, sobre cómo realizar con eficacia la enseñanza de diversas materias que resultan para la mayoría un verdadero rompecabezas, por ejemplo, la probabilidad, o sobre cómo introducir y motivar adecuadamente temas específicos del cálculo o de la geometría a diferentes niveles. Estos profesores se encuentran a menudo llamados a muchos lugares diferentes para que repitan las mismas ideas sobre el tema. ¿No sería mucho más efectivo y menos costoso que algún organismo que no tuviera que ir en busca del provecho económico produjera una serie de videos con estas experiencias y las hiciera asequibles a un mayor número de personas?

En algunas regiones de nuestro país, los profesores de los diferentes niveles se han

percatado de la importancia que puede tener un cambio efectivo, que se puede realizar paulatinamente en la sociedad a través de los medios de comunicación actuales, en la percepción de lo que la matemática es en realidad. Las experiencias son altamente satisfactorias, consiguiéndose en muchos casos a través de interesantes problemas, mediante la difusión de parcelas de la historia de la matemática o de sus aplicaciones, la involucración de familias y poblaciones enteras en actividades que en principio, tal, vez fueron planeadas para los estudiantes.……………………………………………………………………..

2.3. Fomento del Gusto por la Matemática

La actividad física es un placer para una persona sana. La actividad intelectual también lo es. De hecho, una gran parte de los niños más jóvenes, pueden ser introducidos de forma agradable en actividades y manipulaciones que constituyen el inicio razonable de un conocimiento matemático. Lo que suele suceder es que un poco más adelante, nuestro sistema no ha sabido mantener este interés y se ahoga en abstracciones inmotivadas y a destiempo el desarrollo matemático del niño. El gusto por el descubrimiento en matemática es posible y fuertemente motivador para superar otros aspectos rutinarios necesarios de su aprendizaje, por los que por supuesto hay que pasar. La apreciación de las posibles aplicaciones del pensamiento matemático en las ciencias y en las tecnologías actuales, puede llenar de asombro y placer a muchas personas más orientadas hacia la práctica. Otros se sentirán más movidos ante la contemplación de los impactos que la matemática ha ejercido sobre la historia y filosofía del hombre, o ante la biografía de tal o cual matemático famoso.

Es necesario romper, por todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente

arraigada en nuestra sociedad, proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la niñez de muchos, de que la matemática es necesariamente aburrida, abstrusa, inútil, inhumana y muy difícil.


Lea el siguiente texto y luego desarrolle algunos de los juegos presentados.

2.4. Juegos

Son muchos los textos que traen interesantes juegos didácticos para el tratamiento de

diferentes temas y frente a ellos, debemos solamente plantearnos algunas interrogantes: ¿Qué aprendimos respecto a nuestra conducta, nuestros sentimientos, nuestra

realidad, nuestros conocimientos? y ¿qué particularidades señala nuestra conducta, enfrentada a similares situaciones de la vida diaria? Podemos encontrar diferentes juegos, pero lo básico es buscar siempre aquellos que permitan:

· Crear lo más posible · Crear en libertad · Crear con autonomía

Una propuesta de algunos juegos factibles de contextualizar a la realidad de cada curso, es la que se presenta a continuación. Son simplemente sugerencias de juegos a realizar con los alumnos. a) La Orquesta Escondida: Nombres Ocultos

¿Qué podemos hacer para que los niños disfruten con la matemática y ejerciten las habilidades de pensamiento? Los niños entran al mundo de la matemática a través de las necesidades que surgen en su propia vida: aprenden a razonar, a desarrollar su pensamiento lógico, cuando tienen oportunidad de plantearse y resolver un problema, en que es necesario relacionar, contar, estimar cantidades, hacer cálculos mentales; mientras están jugando, están manipulando objetos, ubicándolos en un espacio, comparándolos, clasificándolos, eligiendo alternativas de uso, etc. ¿Por qué no probar jugar con ellos, y en el mismo juego, de manera espontánea y natural, desarrollar aquellas competencias necesarias para la vida: planteamientos resolución de problemas, cálculo mental, estimaciones; considerando normas, actitudes y valores, integración grupal, etc.? Experimentemos qué sucede con nosotros mismos al jugar, reflexionemos sobre ello.


Encuentre los nombres de 12 instrumentos que se hallan ocultos en las siguientes

frases; uno en cada una. No debe dar pistas, simplemente pedir concentración y lectura comprensiva y atenta.

Ejemplo:

· Si esta copia no queda muy clara, repítala de manera más ordenada · Vamos a tener que citar a María Luisa para el domingo próximo · Ayer en la tarde noté en tu balcón, que habías cambiado tus cortinas · Alberto mandó linaza fina para los cuadros que iba a pintar Camilo en la capilla · A mi hermana le recomendó el médico no salir a la calle porque estaba con gripe · Voy a comprar pantuflas y medias en la tienda de departamentos · El robo estaba planeado con un año de anticipación · El auditor habló a todos los socios para informarnos de un peligroso desfalco · Herlinda vio lindos paisajes por el sureste de México · Con trabajos pude terminar el artículo que pidieron para el boletín de la empresa · Marta hizo los vestidos de una seda italiana · Nicanor ganó una medalla por ser él más honrado del pueblo

Clase Nº 11 b) Preguntando a las Figuras Geométricas: Naipes

Sencillo juego que tiene múltiples beneficios, desde el afianzar conocimientos de figuras geométricas, hasta el desarrollo de objetivos fundamentales transversales. El alumno interactúa con material concreto, manipula, arma, desarma, analiza, discute, etc. Se inicia incluso en el tema de sencillas demostraciones geométricas y tiene un enorme potencial en términos de lo que el profesor quisiera alcanzar con sus alumnos.

Material: un tablero de juegos, dados, fichas, sobre con figuras geométricas y naipes con preguntas (juego fácil de adaptar con preguntas de mayor complejidad).

Se recortan en cartulina las figuras que aparecen en la hoja adjunta y se colocan sobre la mesa, con su letra distintiva a la vista. Cada una de las interrogantes o instrucciones que siguen, están escritas en naipes, que se ponen en un mazo con la escritura hacia abajo. Se coloca el tablero de juego y las fichas de cada jugador en la partida. Por lo tanto, cada jugador da vueltas un naipe y con las fichas geométricas a la vista, debe responder y demostrar lo que dice. Si la respuesta es correcta (si el grupo está de acuerdo), tira el dado y avanza los lugares que éste indique. El grupo será quien regule el juego. Quién llega primero a la meta es el ganador.


Reflexione con sus alumnos en torno a las siguientes preguntas:

· ¿Qué OFT relacionados con la autoafirmación y crecimiento personal, con las personas y su entorno y con la formación ética, están presentes en este juego?

· ¿Qué habilidades de pensamiento se desarrollan a través de él? ¿En qué se parece la figura “F” a la figura “E”?

¿Por qué con dos triángulos no siempre se puede formar un cuadrado? Demuéstrelo.

¿Se puede formar un rectángulo con dos triángulos? Demuéstrelo.

Demuestra cinco formas en que puedes formar un cuadrado, usando las figuras geométricas.

¿Cuántas figuras “E” necesitas para formar “A”? Demuéstrelo.

¿Con cuántas figuras “E” puedes formar “B”? Demuéstrelo.

¿Qué figuras puedes formar con dos “C” más una “B”? Compruébelo.

Haz un cuadrado con dos “E”, más una “C”, más una “D”.

Forma un triángulo con 9 figuras “F”.

Forma un rectángulo con 6 figuras “E”.

Forma un rectángulo con 2 figuras “B”.

Inventa una figura usando sólo triángulos.

¿En qué se parece una figura “C” a una “E” y a una “F”?

¿En qué se parece una figura “A” a una “D”?

¿En qué se parece una figura “A” a una “B”?

¿Se puede formar un triángulo con dos figuras “C”? Demuéstrelo.

Inventa un dibujo usando una figura de cada letra.¿Qué nombre le pondrías?

¿Con cuáles figuras puedes armar un volantín? Demuéstrelo.


c) El Ludo Matemático

Es un juego entretenido, que sigue las reglas normales de un juego de ludo, pero que a diferencia del tradicional tiene objetivos en relación a temas de la geometría o bien, de la aritmética.

Facilita el descubrimiento de regularidades, la deducción, el análisis de situaciones,

etc. En general, es muy recomendable para el desarrollo del pensamiento lógico matemático. Con el ludo, es posible armar variados juegos. A modo de ilustración se presentan algunas variantes o simples sugerencias. El ludo es una clara invitación a la creatividad de cada profesor, en términos de modificar o transformar los contenidos. Posibles Juegos con el ludo: 1. Juego libre de ludo en pareja. 2. Juego de siguiendo las reglas del ludo, pero formando un cuadrado perfecto (cuidado en

las esquinas). 3. Jugando ludo (respetando sus reglas), formar el cuadrado más grande y el más

pequeño. 4. Respetando sus reglas, se trata de formar un cuadrado donde los 4 lados sumen igual

cantidad.

Nota: Es posible formar otras figuras con las mismas u otras exigencias. d) Juego: Busca la Salida de la Casa

Juego lógico que permite al alumno analizar diversas situaciones, en función de

obtener resultados preconcebidos. Es una clara invitación a la búsqueda de posibilidades, a las formas de combinar adecuadamente y de calcular en función de ellas.

Instrucciones: Entrar a la casa por donde indica la flecha y salir de ella por donde está la otra flecha. En cada habitación hay dinero, 100, 200 pesos. No es necesario pasar por todas las habitaciones, pero no se puede entrar 2 veces en la misma ¿Cuál es la cantidad de dinero que se puede recoger? ¿Cuál es la cantidad máxima?

100

200

300

400

500

600

700

800


e) Sustituir Letras por Números

Otro juego interesante, es sustituir letras por números de modo que cumplan con ciertos requisitos. Se trata de que los alumnos entiendan que a letras iguales corresponde valores iguales. En este sentido, algunos ejemplos de juegos de este tipo son:

• Sustituir las letras por números

Ejemplo: A D + D U D U D Con paciencia, reflexión, un mínimo de conocimiento de las cuatro operaciones, tienes una visión global. f) Los Cuadrados Mágicos

Existen variados cuadrados mágicos y se denominan de esa forma por el hecho de que deben sumar lo mismo, tanto en forma vertical como horizontal. Permiten no sólo la ejercitación en cálculo mental y escrito sino también deducir, analizar comparar, relacionar, descubrir patrones y regularidades, etc. - SUMA 15. Construya un cuadrado mágico de 3x3. (Suma=15), de modo que deba colocar los números del 1 al 9, sin repetir.

- SUMA 24. Coloque nueve números consecutivos en un cuadrado de 3x3, de manera que la suma de las filas y la de las columnas sea 24.

Solución: A = 9, D = 1, U = 0.


- DEL 10 AL 18. Encuentre el número K, sabiendo que el cuadrado en el cual está inscrito es mágico y se compone de los números de 10 a 18.

K

- A COMPLETAR. Complete el siguiente cuadrado para que sea mágico.

67

43

73

- SUMA 65. Complete los casilleros que faltan para que resulte mágico el siguiente cuadrado:

11

7

3

12

8

17

13

9

18

14

23

19

15

- RELLENE 5x5. Complete los casilleros que faltan para que resulte mágico el siguiente cuadrado:

1

20

23

24

2

10

17

25

14

15

4

7

21

22

11

19


- CON LOS PARES. Construya un cuadrado mágico con los 9 primeros números pares de modo que las filas, columnas y diagonales sumen 30. - CON LOS IMPARES. Construya un cuadrado mágico con los 9 primeros números impares de modo que las filas, columnas y diagonales sumen 27. g) Juego de los Cultivos de Flores

Resulta muy apropiado en la línea de la interdisciplinariedad y dentro del tema del

aprender haciendo, experimentando y sintiendo. Es una buena estrategia para trabajar en equipo y estimular el intercambio de opiniones.

Instrucciones:

Lea con atención, luego comente y conteste con su grupo las preguntas que se le formulan.

“Muchas de las familias del sector rural de Talca, se dedican al cultivo y venta de flores. Las niñas y niños de una escuela rural del sector, han decidido hermosear el jardín de su escuela y aprovechar de practicar la técnica de reproducción de plantas por patillas. El terreno tiene forma rectangular y hay que aprovecharlo al máximo, cuentan con 18 patillas”.

1. Comenten en grupo:

· Si han acordado plantarlas en filas e hileras, ¿de qué manera pueden distribuir las 18 patillas en la tierra?

· Ayude a los niños y las niñas a encontrar las diferentes formas de plantar las patillas de rosas.

· Dibuje en su cuaderno las soluciones que va encontrando.

2. Comente en grupo:

· ¿Cuántas patillas de rosas hay en 2 filas y 9 hileras? ¿Cómo lo saben? · Si las 18 patillas de rosa se distribuyen en 3 filas y en cada fila se planta la

misma cantidad de patillas, ¿cuántas hileras hay? · ¿Es cierto que también se podrían plantar las 18 patillas en 6 filas y 3 hileras?

¿Por qué? · Al momento de plantar las patillas, qué cuidados cree usted que deben recibir,

para que se desarrollen y se conviertan en hermosas rosas. · Anoten en el cuaderno sus conclusiones.


h) Juego de la Reproducción de las Moscas También en la línea de la experimentación y la interdisciplinariedad. Es un recurso bastante utilizado y tal vez el valor de incluirlo en esta sección de juegos, es más bien, presentar en forma ordenada y estructurada y con la posibilidad real de articular un trabajo interesante con otros subsectores.

Es obviamente una sugerencia de trabajo con los alumnos, que tiene la pretensión de

mostrar los diferentes campos de aplicación de la matemática.

Instrucciones:

Realice el siguiente experimento para que pueda observar la reproducción de las moscas y las etapas por las que pasan para llegar a ser moscas. Materiales:

Un frasco transparente, fruta madura o restos de alimentos, embudo de papel. Tapón de algodón. Procedimiento:

1. Coloque el alimento en el frasco y forme un embudo de papel con un orificio en el centro; ajústelo a la boca del frasco. Deje el frasco al aire libre.

2. Cuando hayan penetrado seis u ocho moscas, vivas, retire el embudo y cierre con

un tapón de algodón suelto. En esa cantidad de moscas deberán encontrarse machos y hembras.

Pronto encontrará puesta de huevos y en dos o tres días nacerán las larvas.

Observe día a día el frasco y basándose en lo que observó, complete en el cuaderno el siguiente cuadro.

Describir Etapa de la vida Fecha de aparición Forma Tamaño

Huevo Larva Pulpa Insecto adulto


· Pida a su profesor que muestre láminas con todas las etapas anteriores.

- Una mosca puede producir 120 huevecillos, de los cuales la mitad, es decir 1 medio, son hembras.

· Comente en grupo:

- ¿Cuántos huevecillos son hembras? - ¿Cómo pueden calcular la mitad de 120?

· Cada mosca hembra en 20 días crece lo suficiente para depositar otros 120

huevecillos. Analice la reproducción de las moscas en la siguiente situación:

- El 15 de diciembre una mosca hembra deposita 120 huevos. - El 5 de enero, aproximadamente, nacen 120 moscas de las cuales 60 son

hembras. - ¿Cuántos huevos depositará cada una de las 60 moscas a fines de enero? - ¿Cuántas moscas nacerán después de 20 días? - ¿Cuántas serán moscas hembras?

· Verifique sus resultados, completando en el cuaderno el siguiente cuadro.

Número de moscas hembras

Números de huevos capaz de depositar

Número de moscas hembras que nacerán

1 120 6 10 1200 600 20 30 40 50 60 · Pregunte a su profesora o profesor.

- ¿Cuáles son los depredadores de las moscas? - ¿Qué importancia tienen los depredadores de las moscas? - ¿Qué ocurriría si todas las moscas pudieran sobrevivir y continuaran

reproduciéndose?


Clase Nº 12 i) Adivinanzas

Interesantes para los alumnos resultan las adivinanzas. Constituyen desafíos a su imaginación, que incluso, muchas veces son oportunidades de mayor diálogo a nivel familiar y grupal. El propósito es evidentemente, desarrollar la imaginación, la creatividad de los alumnos y su agrado por las matemáticas.

Como se trata de una actividad para los alumnos, se entregan las respuestas para el profesor, dejando muy en claro que quienes deben descubrirlas son los alumnos, correspondiendo al docente sólo estimular, orientar y facilitar la discusión socializada. 1. En las manos de las damas a veces estoy metido, unas veces estirado y otras veces

encogido. El abanico. 2. ¿Qué es lo que es algo y a la vez nada? Un pez. 3. Cuatro patas tiene y no puede andar. También cabecera sin saber hablar. La cama. 4. Todos pasan por mí y yo no paso por nadie, todos preguntan por mí y yo no pregunto por

nadie. La calle. 5. Una mujer discutía con su amiga: anteayer mi hijo tenía ocho años, el año que viene

tendrá once, ¿Cómo es posible? Conversan el 1 de Enero y el cumpleaños es el 31 de diciembre.

6. ¿Cuándo la siguiente operación es correcta?: 11 + 3 = 2. Cuando se trabaja con horas. 7. Quien lo fabrica lo vende, quien lo tiene no lo utiliza y quien lo utiliza no lo ve. El ataúd. 8. Si te lo digo lo sabes, si no te lo digo también, ¿Qué es? El Té. 9. Ponla sobre la mesa, la partes y la repartes, pero nadie se la come”. La baraja. 10. Dos niñas asomaditas cada una a su ventana; lo ven y lo cuentan todo, sin decir una

palabra. Los ojos. 11. Adivina quién soy: cuanto más lavo, más sucia voy. El agua. 12. No soy nada y tengo nombre, siempre iré pegada a ti, así seas mujer u hombre nunca te

escaparás de mí, ¿Quién soy? La sombra.


13. Tiene hojas y no es árbol. Tiene lomo, y no es caballo. ¿Qué es? Un libro. 14. Dos hermanos son, el uno va a misa y el otro no. El vino blanco y el tinto. 15. Un canario muy amarillo que no canta porque no es pajarillo. El plátano. j) Lotería Matemática

Un juego bastante conocido y practicado por los estudiantes y sus familias. Aquí se

trata sólo de darle un carácter de juego matemático y aprovechar su enorme potencial para la práctica del cálculo oral y escrito. Brinda la oportunidad de que los alumnos se familiaricen con números, operaciones y propiedades de cada una.

En qué consiste:

· Se juega con los cartones normales de la lotería. · Cada número a dictar, tiene al adverso el número y al reverso la operación o problema. · El profesor canta por ejemplo, 3 x 5, el alumno realiza el cálculo y si tiene en su cartón el

15, lo anota. · Se puede perfectamente adecuar a cualquier curso y luego de cierto tiempo, graduar en

dificultad los ejercicios. · Es un juego interesante y muy adecuado para el cálculo mental. · Se debe adecuar a la realidad de cada curso, a sus contenidos y objetivos

fundamentales. · El profesor puede incluso incluir ciertos estímulos, en términos de aciertos, de

participación, de convivencia y otros. k) Completar la Serie

Las series constituyen hoy en día, contenidos de muchas pruebas de selección y de

ingenio. Aparecen explícitamente en los programas de estudio y la idea es que esta habilidad se desarrolle desde NB1, en grados crecientes de complejidad. Algunos ejemplos de ellas son:

En los recuadros vacíos, coloca los mismos números que completan cada serie:

3

7

11

15

19

23

2

8

9

15

16

22


69

34

59

44

39

34

5

13

11

19

17

25

25

19

22

16

19

10

5

15

8

21

14

24

También se pueden plantear en términos de ¿Cuál sigue en la serie? 1 – 2 – 4 – 8 – 16 – ....... 1 – 3 – 7 – 15 – 31 – ....... 1 – 3 – 9 – 27 – 81 – ....... 1 – 2 – 5 – 14 – 41 – ....... l) Pensamiento Lógico

Por último, se presentan una serie de ejercicios de desarrollo del pensamiento lógico, bajo la modalidad de talleres de discusión y bajo el título de “Por el Placer del Espíritu y del Desarrollo del Pensamiento Lógico”. Taller 1

· Un señor va al cine de su barrio y siempre ocupa el mismo asiento: el primero al lado derecho del pasillo central en la décima fila contada desde el escenario o, lo que es lo mismo, la quinta fila contada desde atrás. Cada fila tiene 10 asientos a cada lado del pasillo ¿Cuántos asientos tiene el cine en total?

· Margot, Alba y Elsa tienen como profesiones, maestra, secretaria y cajera. Sabemos que Margot, quien es la esposa del hermano de Elsa, es mayor que la cajera. La maestra, quien es hija única, es la menor de las 3 ¿Cuál es la profesión de Alba?


· Entre Ana y su hermano tienen 8 juguetes. Si Ana tiene 2 juguetes más que su hermano, ¿cuántos juguetes tiene cada uno?

· A Eduardo le gusta decir que pesa 50 kilos, más la mitad de su peso. ¿Cuánto pesa? · Caminan juntos 2 arrieros que han comprado 8 litros de vino a un buen tabernero.

Tienen una disputa a mitad de camino y acuerdan separarse repartiéndose antes el vino por la mitad. No tienen otra medida para hacerlo que el barril de 8 litros donde lo transportan y una vasija de 5 y otra de 3 litros ¿Cómo lo hacen?

· Luis se ha dado cuenta de que sus amigos, que son todos aficionados al fútbol, se reparten así entre los equipos: todos son de la Chile menos dos, todos son del Colo Colo, menos dos; y todos son de la Católica, menos dos ¿Puedes decir cuantos amigos tiene Luis?

· ¿Puedes escribir el número 1000 utilizando 8 cifras iguales? · También es sencillo escribir el número 30 utilizando tres cincos. Inténtalo. · En el hotel ecológico quieren plantar 10 árboles en los alrededores de la piscina que

tiene forma rectangular. Quieren que queden tres de ellos a cada lado de la piscina ¿Cómo deben colocarlos?

· Un caracol cae en un pozo de 17 metros. Cada día sube por el borde 5 metros y por la noche resbala 2 hacia abajo, mientras descansa ¿Cuánto tardará en salir?

· ¿Cuántas varillas hacen falta para construir 10 cuadrados en fila, con una varilla en cada lado, sin espacios entre ellos?

· ¿De cuántas maneras puedes cambiar una moneda de 100 pesos, utilizando monedas de 5,10 y 50?

· En la clase de la profesora María han hecho una votación para conocer cuál es el valor humano mejor considerado entre 4 valores dados: respeto a los demás; cuidado de los bienes personales y de los demás; compartir con los demás; atención a la propia salud. Los votos de respeto han sido iguales a los de cuidado y compartir juntos. Tanto compartir como salud han tenido menos votos que cuidado. Compartir no ha sido el menos votado ¿En qué orden han salido los 4 valores, de más a menos votado?

Taller 2. Piense y resuelva:

· Empleando sólo 4 líneas rectas, unir los nueve puntos sin levantar el lápiz del papel.

. . . . . . . . .

· Unir 6 cerillas de modo que formen cuatro triángulos equiláteros tangentes cuyos lados sean iguales a la longitud de una cerilla.

· Si Pedrito convierte 2 goles en 4 partidos y Joselito 9 en 22 partidos ¿Cuál es mejor convertidor?


· Un hombre tenía $20 y quería comprar 20 animales ¿Cuántos de cada clase podría comprar si los patos cuestan $2, los pollos 0,50 y las palomas $0,25?

· Si me das una naranja tendré el doble de las tuyas. Si te doy una de las mías tendremos igual cantidad ¿Cuántas naranjas tenemos los dos?

· Uno de los números de esta serie está equivocado. Escriba en el paréntesis el número que debería figurar en su lugar.

2 3 4 3 2 3 4 3 2 4 ( )

· Uno de los números de esta serie está equivocado. Escriba en el paréntesis el número que debería figurar en su lugar.

1 2 4 8 12 32 64 ( )

· Si estas palabras estuvieran convenientemente ordenadas para formar una frase, ¿por qué letra empezaría la tercera palabra?

Con dime eres quién diré andas y te quién.................

· Esta frase tiene las palabras desordenadas; haga lo que se le ordena en ella.

Frase la letra escriba primera esta de................

· Uno de los números de esta serie está equivocado. Escribe en el paréntesis el número que debería figurar en su lugar.

2 4 6 8 10 13 14 16 18 ( )

· Haga lo que se le ordena en esta frase si estuviera ordenada;

Y suma cuatro escriba tres la uno de.............

· En un idioma extranjero. Beco Prac quiere decir un poco de pan. Klup Prac quiere decir un poco de leche. Beco Otoh Klup Prac, quiere decir un poco de pan y leche.

¿Por qué letra empieza la palabra que significa Y en dicho idioma?......................

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