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Introducción al Álgebra Liineal
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
IntroducciónÁlgebra Lineal
Rubén Darío Lara Escobar1
1Unidad de Ciencias BásicasUniversidad Católica de Manizales
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 1/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Contenidos
1 IntroducciónSistemas de Ecuaciones LinealesSoluciones de una Ecuación Lineal
2 Matrices y Elimininación
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 2/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones LinealesUn Ecuación Lineal en n variables es x1,x2,x3, ...,xn es dela forma:
a1x1 +a2x2 +a3x3 + ...+anxn = b
Donde los ai′s y b son constantes; la constante a1 sedenomina coeficiente principal y la variable x1 es lavariable principal
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 3/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Las ecuaciones lineales no tienen productos de variables,ni raices; tampoco variables que aparezcan en funcionestrigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Lasvariables aparecen solamente elevadas a la primerapotencia.
Ejemplo
3x+2y = 7xy+ z = 2
12x+ y− z =
√2
ex−2y = 4
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 4/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Contenidos
1 IntroducciónSistemas de Ecuaciones LinealesSoluciones de una Ecuación Lineal
2 Matrices y Elimininación
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 5/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables esun conjunto de m ecuaciones, cada una de las cuales eslineal en las mismas n variables.
a11x1 +a12x2 +a13x3 + ...+a1nxn = b1a21x1 +a22x2 +a23x3 + ...+a2nxn = b2a31x1 +a32x2 +a33x3 + ...+a3nxn = b3
.
.
.am1x1 +am2x2 +am3x3 + ...+amnxn = bm
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 6/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Ejemplos
2x− y = 0
−x+2y = 3
x+ y = 3
x− y =−1
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 7/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Ejemplos
2x− y = 0
−x+2y = 3
x+ y = 3
x− y =−1
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 7/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
La forma general de una solución de un sistema deecuaciones lineales nxn es una sucesión de númeross1,s2, ...,sn que es una solución de cada una de lasecuaciones que forman el sistema.
Una Solución del sistema:
x1 + x2 = 10
−x1 + x2 = 0
Este sistema tiene una solución única en un punto
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 8/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
La forma general de una solución de un sistema deecuaciones lineales nxn es una sucesión de númeross1,s2, ...,sn que es una solución de cada una de lasecuaciones que forman el sistema.
Una Solución del sistema:
x1 + x2 = 10
−x1 + x2 = 0
Este sistema tiene una solución única en un punto
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 8/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
La forma general de una solución de un sistema deecuaciones lineales nxn es una sucesión de númeross1,s2, ...,sn que es una solución de cada una de lasecuaciones que forman el sistema.
Una Solución del sistema:
x1 + x2 = 10
−x1 + x2 = 0
Este sistema tiene una solución única en un punto
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 8/29
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Introducción
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IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Figura : Dos rectas que se cortan en un punto
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 9/29
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Introducción
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IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Ejemplos II
el sistemax1−2x2 =−3
2x1−4x2 = 8
el sistema no tiene solución
el sistemax1 + x2 = 3
−2x1−2x2 =−6
el sistema tiene infinitas soluciones
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 10/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Ejemplos II
el sistemax1−2x2 =−3
2x1−4x2 = 8
el sistema no tiene solución
el sistemax1 + x2 = 3
−2x1−2x2 =−6
el sistema tiene infinitas soluciones
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 10/29
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Introducción
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IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Ejemplos II
el sistemax1−2x2 =−3
2x1−4x2 = 8
el sistema no tiene solución
el sistemax1 + x2 = 3
−2x1−2x2 =−6
el sistema tiene infinitas soluciones
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 10/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Ejemplos II
el sistemax1−2x2 =−3
2x1−4x2 = 8
el sistema no tiene solución
el sistemax1 + x2 = 3
−2x1−2x2 =−6
el sistema tiene infinitas soluciones
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 10/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Sistema Única Solución
Figura : Sistema tiene única solución
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 11/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Sistema Infinitas Soluciones
Figura : una recta sobre la otra (son multiplos)Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 12/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Sistema que no tiene Solución
Figura : Dos rectas no se cortan (Paralelas)Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 13/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Contenidos
1 IntroducciónSistemas de Ecuaciones LinealesSoluciones de una Ecuación Lineal
2 Matrices y Elimininación
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 14/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Característica de la Solución
Un sistema de ecuaciones lineales solo puede tener unade las tres clases de soluciones
Sistema Consistente:Tiene exactamente unasolución; las rectas se cortan en un punto
Sistema Inconsistente:No tiene solución; las rectasson paralelas
Tiene infinitas soluciones; una recta es multiplo de laotra
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 15/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Característica de la Solución
Un sistema de ecuaciones lineales solo puede tener unade las tres clases de soluciones
Sistema Consistente:Tiene exactamente unasolución; las rectas se cortan en un punto
Sistema Inconsistente:No tiene solución; las rectasson paralelas
Tiene infinitas soluciones; una recta es multiplo de laotra
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 15/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Característica de la Solución
Un sistema de ecuaciones lineales solo puede tener unade las tres clases de soluciones
Sistema Consistente:Tiene exactamente unasolución; las rectas se cortan en un punto
Sistema Inconsistente:No tiene solución; las rectasson paralelas
Tiene infinitas soluciones; una recta es multiplo de laotra
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 15/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Estrategia de Solución
La estrategia general de solución de un sistema deecuaciones es reemplazar el sistema inicial por un sistemaequivalente mas fácil de resolver. Por ejemplo el sistema:
x1−2x2 =−1
−x1 +3x2 = 3
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 16/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Figura : Analogı’a de los tres tipos de soluciones Sistemas En3D
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 17/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Notación Matricial
Una forma usual, por su utilidad, de presentar un sistemade ecuaciones es la Forma Matricial.El sistema
x1−2x2 =−1
−x1 +3x2 = 3
se puede ver de la forma matricial:∣∣∣∣ 1 −2 −1−1 3 3
∣∣∣∣
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 18/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Matrices
El sistema puede generar la siguiente matriz equivalente∣∣∣∣ 1 −2 −10 1 2
∣∣∣∣Esto implica que nuestro sistema inicial se puede expresarde forma eqivalente así:
x1−2x2 =−1
x2 = 2
De donde es claro que x1 = 3. ¿ Cómo se paso de laprimera matriz a la segunda?
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 19/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Operaciones Elementales
Reemplazar Se puede reemplazar una fila por unmultiplo de otra fila.
Intercambio Intercambiar dos filas
Escalar Multiplicar todas las entradas en una fila poruna constante k 6= 0
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 20/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Matrices Equivalentes Por Filas
Definición
Dos matrices, una de las cuales se puede transformar enla otra mediante una secuencia de operacioneselementales por filas, se denominan que son:Equivalentes por filas.
Definición
Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales sonequivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen elmismo conjunto solución.
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 21/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Ejemplo
Ejemplo
Consideremos el siguiente sistema de ecuacioneslineales:
x+2y+ z = 23x+8y+ z = 12
4y+ z = 2
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 22/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Solución al Ejemplo
Matriz del Sistema
El sistema genera la siguiente matriz∣∣∣∣∣∣1 2 13 8 10 4 1
∣∣∣∣∣∣Observese que sólo tenemos en cuenta los coeficientesde las variables.
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 23/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Solución al Ejemplo
I Matriz Equivalente del Sistema
El sistema genera la siguiente matriz∣∣∣∣∣∣1 2 10 2 −20 4 1
∣∣∣∣∣∣El número que esta encerrado lo llamamos un pivot.La pregunta es ¿que operación sobre las filas transformoen esta matriz equivalente la primera matriz del sistema?
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 24/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Solución al Ejemplo
II Matriz Equivalente del Sistema
El sistema genera la siguiente matriz∣∣∣∣∣∣1 2 10 2 −20 0 5
∣∣∣∣∣∣El número que esta encerrado es el segundo pivot.De nuevo ¿que operación sobre las filas transformo enesta II matriz equivalente la I matriz equivalente delsistema?
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 25/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Matriz Triangular Superior
II Matriz Equivalente del Sistema
El sistema genera la siguiente matriz∣∣∣∣∣∣1 2 10 2 −20 0 5
∣∣∣∣∣∣Esta matriz lleva el nombre de Matriz Triangular Superior,dado que bajo la diagonal principal todas las entradas sonceros. Esta es la forma ideal para reoslver un sistema deecuaciones lineales.
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 26/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Matriz Triangular Superior
Sistema Equivalente
El sistema ahora tiene la forma matricial equivalente
Ux = C
Donde U es una matriz Matriz Triangular Superior, x es elvector de variables y C es el nuevo vector de constantes.¿que paso entonces con estas constantes? Para incluirlasgeneramos la siguiente matriz aumentada:
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 27/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
IntroducciónSistemas de EcuacionesLineales
Soluciones de una EcuaciónLineal
Matrices yElimininación
Matriz Aumentada
Matriz Aumentada del Sistema
El sistema genera la siguiente matriz aumentada∣∣∣∣∣∣1 2 1 23 8 1 120 4 1 2
∣∣∣∣∣∣Esta matriz lleva el nombre de Matriz Aumentada ya queincluye las constantes independientes.
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 28/29
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Introducción
Rubén Darío LaraEscobar
ApéndiceLecturas Recomendadas
Lecturas Recomendadas I
Apostol, Tom.Calculus.Reverté, 1980.
Larson, R.; Edwards, B.Introducción al Álgebra Lineal.Limusa, 2009.
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 29/29