8/15/2019 Introducción Resumen Del Tema 1-22123795

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MECÁNICA TEÓRICA 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 8

Bloque I. Formalismo hamiltoniano de la Mecánica.•  Tema 1.

Principios variacionales. Ecuaciones de Hamilton. Principio de Hamilton modificado.

Goldstein: Secciones 2.1 a 2.4, 2.6, Secciones 8.1 a 8.3, 8.5 a 8.6 •  Tema 2.

Corchetes de Poisson. Transformaciones canónicas. Tipos de transformaciones.

Goldstein: Secciones 9.1 a 9.6

•  Tema 3.

Invariantes integrales. Teorema de Liouville.

Goldstein: Secciones 9.4 y 9.8 

Introducción – Resumen Tema 1 

  En el principio variacional de Hamilton está contenida toda la Mecánica de sistemas

holónomos con fuerzas derivables de potenciales. El principio tiene además el mérito de que sólo

implica magnitudes físicas que se pueden definir sin hacer referencia a un sistema particular decoordenadas, de forma que la formulación es invariante respecto a la elección del sistema de

coordenadas. Además, esta posibilidad no está reservada sólo a la Mecánica; en casi todos los

campos de la Física se pueden utilizar principios variacionales para obtener las “ecuaciones de

movimiento” (ecuaciones de evolución en el tiempo), tanto si son las ecuaciones de Newton, de

Maxwell o de Schrödinger. Esta profunda analogía ha servido en numerosas ocasiones para

profundizar en el contenido físico de una nueva teoría, como en su día la Mecánica Cuántica, o la

Mecánica Estadística.

•  El principio de Hamilton es un principio integral que describe el movimiento de los sistemas

mecánicos para los cuales las fuerzas derivan de un potencial escalar. Cuando el sistema de

ligaduras sea holónomo, el principio de Hamilton es condición necesaria y suficiente para las

ecuaciones de Lagrange. Por tanto, podemos construir la Mecánica de estos sistemas tomandocomo base el principio variacional de Hamilton. Dado que la integral de Hamilton es invariante

frente a la transformación del sistema de coordenadas, las ecuaciones de movimiento deben

tener siempre la forma de Lagrange independientemente de cómo se transformen las

coordenadas generalizadas.

•  En la formulación de Lagrange no relativista, un sistema con n  grados de libertad tiene n 

ecuaciones de movimiento de segundo orden, de modo que el sistema queda totalmente

determinado cuando se especifiquen 2n valore iniciales, por ejemplo las posiciones y

velocidades generalizadas en un instante dado. El estado se representa por un punto en el

llamado espacio de configuraciones de n dimensiones cuyas coordenadas son las n coordenadas

generalizadas. Esto es, tenemos un conjunto de n coordenadas que dependen del tiempo, cuya

evolución temporal viene dada por el movimiento del punto representativo en el espacio deconfiguraciones.

  La formulación de Hamilton tiene una visión fundamental diferente. Describe la evolución

del sistema mediante 2n ecuaciones de movimiento de primer orden, en función de 2n variables

independientes, que recorren una trayectoria en el tiempo en el llamado espacio de fases. Para ello,

la formulación hamiltoniana introduce los momentos ( p) conjugados a las coordenadas

generalizadas q. Las cantidades (q, p) se denominan variables canónicas, y las ecuaciones de

evolución asociadas a ellas, son las llamadas ecuaciones canónicas de Hamilton.

•  El principio de Hamilton modificado lleva directamente a las ecuaciones de Hamilton, del

mismo modo el principio de Hamilton lleva a las ecuaciones de Lagrange. La primera

modificación en este sentido es que la integral debe calcularse para la trayectoria en el espacio

de fases, y no en el espacio de configuraciones, de forma que q  y  p  deben tratarse como

coordenadas independientes que tienen variaciones independientes. Así el principio modificado

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tiene exactamente la forma del problema variacional en el espacio de 2n dimensiones. Y bajo

ciertas condiciones, resulta ser una vía independiente para establecer las ecuaciones de

movimiento de Hamilton sin basarnos en la formulación previa lagrangiana. Esto será muy

importante cuando se examinen las transformaciones de variables en el espacio fásico que

conservan la forma hamiltoniana de las ecuaciones del movimiento.

Objetivos específicos del Tema 1. Parte teórica

-  O1t1: Enunciado del principio de Hamilton. Recordatorio de las ligaduras holónomas.

-  O1t2: Método del cálculo de variaciones.

-  O1t3: Deducción de las ecuaciones de Lagrange a partir del principio de Hamilton.

-  O1t4: Ligaduras para sistemas no holónomos y fuerzas generalizadas.

-  O1t5: Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación: momento lineal, momento angular

y energía.

-  O1t6: Ejercicios de Goldstein: capítulo 2: Problemas 9 y 10

-  O1t7: Definición de hamiltoniano, y cantidad de movimiento generalizada.

-  O1t8

: Ecuaciones de Hamilton.- 

O1t9: Construcción del hamiltoniano a través de la formulación de Lagrange.

-  O1t10: Integral de Jacobi: relación del hamiltoniano con la energía del sistema.

-  O1t11: Coordenadas ignorables. Método de Routh

-  O1t12: Principio de Hamilton modificado, y deducción de las ecuaciones de Hamilton.

-  O1t13: Ejercicios de Goldstein: capitulo 8: Problemas 19,20 y 21.

Objetivos específicos del Tema 1. Parte práctica

-  O1p1: Problema de la braquistócrona.

-  O1p2: Cilindro sobre plano inclinado con ligadura de rodadura.

-  O1p3: Conservación de energía para el lagrangiano (2.55), Goldstein, sección 2.6

- 

O1p4: Ejercicios de Goldstein: capítulo 2: Problemas 12,14,17 y 20.-  O1p5: Hamiltoniano para partícula bajo fuerza central y partícula en campo magnético

-  O1p6: Oscilador armónico fijo a un carro en movimiento uniforme.

-  O1p7: Método de Routh: partícula bajo fuerza central

-  O1p8: Deducción del principio de Mínima Acción a partir del principio de Hamilton

modificado.

-  O1p9: Ejercicios de Goldstein: capitulo 8: Problemas 4,5,6,11 y 16