Investigacion De

Integracion Numerica

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INTEGRACIÓN NUMÉRICA

La integración numérica es una herramienta de las matemáticas que proporciona formulas y técnicas para calcular

aproximaciones de integrales definidas. Gracias a ella se pueden calcular, aunque sea de forma aproximada,

valores de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente

El objetivo de esta sección es aproximar la integral definida de una función ƒ(x) en un intervalo [a, b] es decir

Los métodos de integración numérica se usan cuando ƒ(x) es difícil o imposible de integrar analíticamente, o

cuando ƒ(x) está dada como un conjunto de valores tabulados.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor

promedio al menos en un punto.

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que

F (c ) (b−a )=∫a

b

f ( x ) dx

Demostración:

Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.

Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el

intervalo. Dado que m ≤f (x ) ≤M ;∀ x∈ [a , b ]por el teorema de conservación de desigualdades.

Aplicando propiedades:

m(b−a)≤∫a

b

f ( X ) dx≤ M (b−a ) entoncesm ≤ 1(b−a)∫a

b

f ( X ) dx ≤ M

Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su

máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor.

1(b−a)∫a

b

f ( X ) dx

En algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe algún c tal que

f ( c )= 1(b−a)∫a

b

f ( X ) dx

Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:

El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c. Solamente garantiza la

existencia de algún número c en el intervalo. Permite una interpretación interesante para el caso en que f es no

negativa en [a, b]. En este caso 

∫a

b

f ( X ) dx

es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema asegura que existe un valor c del intervalo al que está asociado

f(c) que corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base (b - a) y su área coincide con la de la región.

A=∫a

b

f ( X ) dx=F (c )(b−a)

El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para integrales coincide con el valor promedio o medio

de una función por eso a

f ( c )= 1(b−a)∫a

b

f ( X ) dx

 Se lo llama valor medio de f en el intervalo [a, b].

METODO DE LOS TRAPECIOS

En matemática la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular

aproximadamente el valor de la integral definida

∫a

b

f ( X ) dx

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los

puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se

sigue que

∫a

b

f ( X ) dx≈ (b−a)¿¿

Regla Del Trapecio Compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando

n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b].

De tal modo la integral definida ∫a

b

f ( X ) dx

Representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x,

Desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho

∆ x ≈ (b−a)n

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

∫a

b

f ( X ) dx h2 [ f (a )+2 f (a+h )+2 f (a+2h )+……+f (b)]

Donde h=(b−a)

n

y n es el número de divisiones. La expresión anterior también se puede escribir como:

METODO DE SIMPSON

La regla de Simpson nos da una o otra aproximación de la integral. De nuevo, empezamos dividiendo [a, b] en

intervalos de la misma anchura, pero esta vez tenemos que utilizar un número par n de intervalos.

¿Por qué?

Como con la regla trapezoide, queremos aproximar las áreas en cada tira por algo más complicado que un

rectángulo. Esta vez tomamos las tiras en pares (por esta razón necesitamos un número par de ellos) y dibujar una

parábola a través de los tres puntos (xk − 1, f(xk − 1)), (xk, f(xk)), y (xk + 1, f(xk + 1)), como se muestra en la

Entonces no es demasiado difícil encontrar la ecuación de esta parábola (que tiene la fórmula y = Ax2 + Bx + C), 

 y de esto calcular el área por debajo a través de integración. La respuesta muy simple es entonces

 area de parabola=b−a

3n [ f (xk−1 )+4 f (xk )+f (xk +1) ]