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Ejercicios Propuestos de Investigacin de operaciones Resueltos

1. Con motivo del 5 centenario del nacimiento de un clebre pintor, un importante museo ha decidido restaurar cinco de sus obras, para lo cual ha contratado tres equipos de restauracin. Cada equipo ha presentado el presupuesto de restauracin para cada una de las obras, como se recoge en el siguiente cuadro, en miles de

euros.

O1

O2

O3

O4

O5

R1

60

--

90

--

120

R2

70

90

80

100

80

R3

--

70

120

90

100

(Donde -- significa que dicho equipo no restaurar en ningn caso la obra

correspondiente)

El primer equipo restaurador est compuesto por seis personas, el segundo por cuatro y el tercero por tres. En la restauracin de cada una de las obras son necesarias dos personas. Cada persona de un equipo slo restaura una obra.

a) A qu tabla se debe aplicar el Mtodo Hngaro para realizar las cinco restauraciones, con el menor coste posible, teniendo en cuenta que cada una de ellas debe ser realizada por un nico equipo restaurador, y que los tres equipos deben participar en dichas restauraciones?

b) Dado que el coste de restauracin de las cinco obras es muy elevado, la directiva del museo decide restaurar nicamente tres, asignando una nica obra a cada equipo. Determinar, aplicando el Mtodo Hngaro, todas las posibles asignaciones que minimicen el coste total.

Solucin:

a) Aplicaremos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla:

O1

O2

O3

O4

O5

F

R1

60

M

90

M

120

0

R1

60

M

90

M

120

0

R1

60

M

90

M

120

0

R2

70

90

80

100

80

0

R2

70

90

80

100

80

0

R3

M

70

120

90

100

M

Con M positivo suficientemente grande.

b) Aplicamos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla:

O1

O2

O3

O4

O5

R1

60

M

90

M

120

R2

70

90

80

100

80

R3

M

70

120

90

100

F1

0

0

0

0

0

F2

0

0

0

0

0


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Grupo HETUES

[email protected]

2. La compaa Ordenata S.A. desea planificar el ensamblaje de dos nuevos modelos de ordenador el Core Duo KS500 y el Core Duo KS600. Ambos modelos precisan del mismo tipo de carcasa y lector ptico. En el modelo KS500 se ensambla la carcasa con 2 lectores pticos. En el modelo KS600 se ensambla la carcasa con un lector ptico y adems se aade un lector de tarjetas. Se dispone semanalmente de 1000 lectores pticos, 500 lectores de tarjetas y de 600 carcasas. El ensamblaje de un KS500 lleva una 1 hora de trabajo y proporciona un beneficio

de 200 euros y el del KS600 lleva 1.5 horas de trabajo y su beneficio es de 500 euros.

Teniendo en cuenta las restricciones anteriores, el director de la compaa desea alcanzar las siguientes metas en orden de prioridad:

Prioridad 1. Producir semanalmente al menos 200 ordenadores KS500. Prioridad 2. Ensamblar al menos 500 ordenadores en total a la semana. Prioridad 3. Igualar el nmero de horas totales de trabajo dedicadas al ensamblaje de los dos tipos de ordenador.

Prioridad 4. Obtener un beneficio semanal de al menos 250000 euros.

Obtener e interpretar la solucin ptima del problema relajado, planteando y resolviendo grficamente cada una de las metas.

Solucin:

Definimos las variables de decisin siguientes:

x1 = unidades ensambladas semanalmente del ordenador Core Duo KS500

x2 = unidades ensambladas semanalmente del ordenador Core Duo KS600

La modelizacin queda como sigue:

Min

L( y1 , y2 , y3

y3 , y4 )

2 x1 x2 1000 (1)

x2 500 (2)

x1 x2 600 (3)

x1 y1

y1

200 (4)

s.a

x1 x2 y2

y2

500 (5)

x1 1.5x2 y3

y3

0 (6)

200 x1 500x2 y4

y4

250000 (7)

x1 0,

x2 0 y enteras

yi 0,

yi 0

i 1, 2, 3,4

3. Roperos S.AC produce dos tipos de roperos: roperos modelo A y, roperos modelo B.lo mximo a vender de escritorios modelo A son 600 unidades y modelo B son 400 unidades .Fabricar un escritorio modelo A requiere 1 hora y fabricar un escritorio modelo B requiere 2 horas. la capacidad de produccin es 1300 horas en total por los dos modelos, cabe resaltar que no es posible trabajar horas extras. Cada ropero modelo A entrega una utilidad de $15.Todo lo que se fabrica se vende.

La gerencia, adems, ha establecido las siguientes metas

Meta 1: Alcanzar una utilidad semanal por lo menos de $11000.

Meta 2: Que no exista capacidad de produccin ociosa.

Meta 3: Que se produzcan 600 de 2 cajones.

Meta 4: Que se produzcan 400 escritorios de 3 cajones.

La meta 1 es de primera prioridad; la meta 2, de segunda; la 3, de tercera y la meta 4 tiene la ltima prioridad de cumplimiento.

1) Defina las variables de decisin y formule el modelo de programacin lineal por metas correspondiente.

2) Presentar un informe administrativo de la solucin ptima, indicando que metas se cumplen o no, es necesario realizar la grfica.

Solucin:

Parte 1:

X: Numero de roperos Modelos A a producir

Y: Numero de roperos Modelos B a producir

Metas:

1)Min Z=P1(d1)

10X+15Y+d1-e1=11000(>=)

2) Min Z=P2(d2)

1X+2Y+d1=1300(=)

3) Min Z=P3(d3)

1X+d3=600(=)

4) Min Z=P4(d4)

Y+d4=400(=)

NO HAY RESTRICCIONES DURAS

Objetivo:

Min Z=P1d1+P2+d2+P3d3+P4d4

Parte 2:

Grfica:

Puntos de interseccion:

A(500,400)

B(600,350)

C(600,333.33)

Metas:

1) P1d1 =La Regin ABC Cumple

2) P2d2 =Recta AB

3) P3d3 =Punto B

4) P4d4 =No Cumple

Se Toma el punto B(600,350)

Metas

X=600 Y=350

Cumplen?

1

d1=0 e1=250

si

2

d2=0

si

3

d3=0

si

4

d4=50

NO

Se debe producir 600 roperos A y 350 roperos B Para que se llegue a una utilidad de

$ 11,250, Donde se cumplen las metas 1,2 y 3.

4. En un hospital comarcal se pueden realizar operaciones de rin, de corazn y de vescula. Por problemas de personal cada da se realizan operaciones como mucho de dos clases. Debido al gran nmero de operaciones pendientes se deben realizar al menos tantas operaciones de vescula como de rin. Por otra parte, no se pueden realizar ms de 50 operaciones de vescula diarias. Cada operacin de rin requiere la presencia de dos mdicos y se realiza en una hora. Las operaciones de corazn requieren 3 mdicos y se realizan en 5 horas. Cada operacin de vescula slo requiere un mdico y se realiza en una hora Para estos tipos de operaciones el hospital tiene asignados 20 mdicos y cuenta con 60 horas diarias de quirfano.

a) (6 puntos) Modelizar el problema como un problema de programacin lineal entera para maximizar el nmero de operaciones diarias.

b) (4 puntos) El hospital recibe una subvencin y se plantea o bien modernizar el hospital y, as, poder realizar tambin operaciones de cataratas, o bien contratar dos nuevos mdicos. Las operaciones de cataratas requieren un mdico y una hora de quirfano, adems, si se opera de cataratas se deben realizar como mnimo 5 operaciones al da y no ms de 10. Modelizar el problema como un problema de programacin lineal entera para maximizar el nmero de operaciones.

Solucin:

a) Definimos las variables de decisin siguientes:

x1 = nmero de operaciones de rin al da

x2 = nmero de operaciones de corazn al da

x3 = nmero de operaciones de vescula al da

1 si se realizan operaciones de rin

y1 0 en caso contrario

1 si se realizan operaciones de corazn


1 si se realizan operaciones de vescula



Max ( x1 x2 x3 )

2 x1 3x2 x3 20

s.a

x1 5x2 x3 60

y y y 2

1 2 3

x1 x3

x1 My1

x My

2 2

x3 50 y3

xi 0

i 1, 2, 3 y enteras

yi

0, 1

i 1, 2, 3


b) Sea definen adems de las variables del apartado anterior:

1 si se decide realizar operaciones de cataratas

z

0 en caso contrario

x4 = nmero de operaciones de cataratas al da


Max ( x1 x2 x3 x4 )

2x1 3x2 x3 x4 20 2(1 z)

s.a

x1 5x2 x3 x4 60

y y y z 2

1 2 3

x1 x3

x1 My1

x My

2 2

x 50 y

3 3

5z x4 10z

xi 0

i 1, 2, 3,4 y entera

z 0, 1


0, 1

i 1, 2

5. Un ayuntamiento tiene previsto construir cuatro instalaciones deportivas diferentes dentro del municipio. El ayuntamiento se compone de cuatro distritos A, B, C y D y quiere asegurar la construccin de un polideportivo en los distritos ms grandes: A y B. Adems, cabra la posibilidad de construir dos polideportivos en el distrito B. La siguiente tabla muestra el nmero de usuarios semanales (en centenas) que se estiman para cada tipo de instalacin deportiva

segn en el distrito en que se construya.

Polideportivo

Distrito

P1

P2

P3

P4

A

12

14

17

19

B

16

19

24

17

C

10

12

18

15

D

13

9

20

17

Resolver mediante el Mtodo Hngaro el problema de dnde se deben construir los

4 polideportivos si el ayuntamiento desea maximizar el nmero de usuarios semanales.

Solucin:

Aplicamos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla:

P1

P2

P3

P4

F1

A

-12

-14

-17

-19

M

B

-16

-19

-24

-17

M

B

-16

-19

-24

-17

0

C

-10

-12

-18

-15

0

D

-13

-9

-20

-17

0


P1

P2

P3

P4

F1

A

-12

-14

-17

-19

M

B

-16

-19

-24

-17

M

B

-16

-19

-24

-17

0

C

-10

-12

-18

-15

0

D

-13

-9

-20

-17

0

+16

+19

+24

+19


P1

P2

P3

P4

F1

A

4

5

7

0

M

B

0

0

0

2

M

B

0

0

0

2

0

C

6

7

6

4

0

D

3

10

4

2

0


P1

P2

P3

P4

F1

A

4

5

7

0

M

-3

B

0

0

0

2

M

B

0

0

0

2

0

C

6

7

6

4

0

-3

D

3

10

4

2

0

-3

[email protected]

Con

M positivo suficientemente grande.

+3 +3

P1

P2

P3

P4

F1

A

1

2

4

0

M

B

0

0

0

5

M

B

0

0

0

5

3

C

3

4

3

4

0

D

0

7

1

2

0


Se obtiene la siguiente asignacin ptima: A Polideportivo 4, B Polideportivos 2 y 3, D Polideportivo 1.

Valor ptimo, 7500 usuarios semanales.

6. Una empresa realiza dos tipos de bombones, de calidad excelente y de primera calidad. Para producirlos utiliza cacao y almendras, de los que dispone semanalmente de 48 kilos y 4.5 kilos respectivamente. Para realizar una caja de bombones de calidad excelente se necesita 600 gramos de cacao y 50 gramos de almendras mientras que para una caja de primera calidad se necesita 400 gramos de cacao y 50 gramos de almendras. Por cada caja de calidad excelente se obtiene un beneficio de 70 y por cada una de primera calidad de 40 y adems se vende sin problemas todo lo que se produce.

a) Determinar, resolviendo el problema relajado, las producciones semanales eficientes de cajas de bombones de modo que la empresa maximice sus beneficios y el volumen de ventas.

b) Si la empresa considera cada venta como 10 de beneficio, modelizar el problema relajado correspondiente.

c) Si la empresa necesita 7 horas de produccin para obtener una caja de calidad excelente y 4 horas para una caja de primera calidad, determinar al menos dos producciones semanales eficientes del problema relajado de modo que la empresa maximice sus beneficios, y el volumen de ventas y minimice las horas de produccin.

Solucin:

a) Definimos las variables de decisin siguientes:

x1 = cajas de bombones de calidad excelente producidas semanalmente

x2 = cajas de bombones de primera calidad producidas semanalmente


Max (70x1 40 x2 ,

x1 x2 )

s.a

600x1 400x2 48000

50 x1 50 x2 4500

x1 0,

x2 0 y enteras

Resolveremos el problema relajado:

Max (70x1 40 x2 ,

x1 x2 )

s.a

600x1 400x2 48000 (1)

50 x1 50 x2 4500 (2)

x1 0,

x2 0

VrticesX

Vrtices f( X )

(0, 0) (80, 0) (60, 30)

(0, 90)

(0, 0) (5600, 80) (5400, 90)

(3600, 90)

Soluciones eficientes: 80, 060, 30

b) La modelizacin queda como sigue:

[email protected]

Max

70x1

40x2

10 x1 x2

c) La modelizacin queda como sigue:

Max 70x1

40x2 , x1

x2 , 7 x1

4x2

s.a X

Por el teorema de Zadeh si damos pesos positivos a las funciones objetivo, la solucin ptima del problema ponderado ser una solucin eficiente del problema multiobjetivo

Asignando: l1 =1, l2 =1, l3 =10 el modelo lineal ponderado tiene como

Soluciones ptimas(0,90)(60,30) . Estas sern soluciones eficientes del modelo

multiobjetivo.

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