CADENAS DE

MARKOVMAI. YARA NILSA BAUTISTA MENDEZ

Investigacion de Operaciones II

Integrantes:Dominguez Cruz EleanaMartinez Zuloaga Gloria Nohemi

I.- INTRODUCCION:Proceso de Markov

Es un sistema estocástico en el que la ocurrencia de un estado futuro depende del estado inmediatamente precedente y sólo de él. Así, si tₒ < t1 < … tn (n= 0,1,2,…) representan puntos en el tiempo, la familia de variables aleatorias {ξtn} es un proceso de Markov, si ésta posee la siguiente propiedad Markoviana:

P {ξtn = xn ǀ ξtn-1 = xn-1 }

Para todos los valores posibles de ξt0 , ξt1 , … , ξtn.

• La probabilidad

P xn, Xn+m = {ξtn = xn ǀ ξtn-1 = xn-1 } se llama probabilidad de transicion.

Representa la probabilidad condicional de que el sistema este en xn ó en tn, dado que estaba en xn-1 en tn-1.

• Un proceso Markoviano ésta formado por un conjunto de objetos y un conjunto de estados tales que:

i. En cualquier momento dado cada objeto debera encontrarse en uno de los estados.

ii. La probabilidad de que un objeto cambie de un estado a otro durante un periodo.

• El numero entero de periodos transcurridos desde el momento en que el proceso se inicia, representa las etapas del proceso, las cuales pueden ser finitas o infinitas. Si el numero de estados es finito o infinito contable, el proceso Markoviano es una Cadena de Markov.

• Una cadena finita de Markov es aquella que tiene numero finito de estados.

TEOREMA 1.-

• “Cada matriz estocástica tiene a 1 como un eigenvalor (posible multiplo) y ninguno de los eigenvalores excede a 1 en valor

absoluto”.

Ejemplo I.1.-

•  

• Formúlese como una cadena de Markov el siguiente proceso. El fabricante de dentífrico Brillo controla actualmente 60% del mercado de una ciudad. Datos del año anterior muestran que 88% de consumidores de Brillo continúan usándola, mientras que 12% de los usuarios de Brillo cam biaron a otras marcas. Además, 85% de los usuarios de la competencia permanecieron leales a estas otras marcas, mientras que 15% restante cambió a Brillo. Considerando que estas tenden cias continúan, determínese la parte del mercado que corresponde a Brillo: a) en 5 años, y b) a largo plazo

• Se considera como estado 1 al consumo de dentífrico Brillo y al estado 2 como el consumo de una marca de la competencia. Entonces, P11, probabilidad de que un consumidor de Brillo permanezca leal a Brillo, es 0.88; P12, la probabilidad de que un consumidor de Brillo cambie a otra marca, es 0.12; P21, probabilidad de que el consumidor de otra marca cambie a Brillo, es 0.5; P22, probabilidad de que un consumidor de otra marca permanezca leal a la competencia, es 0.85. La matriz estocástica definida por estas probabilidades de transición es:

Ejemplo I.2.-

• Sean E1, E2, . . . , Ej (j = 0, 1, 2, . . .) los estados exhaustivos y mutuamente excluyentes de un sistema en un tiempo cualquiera. Inicialmente, en el tiempo t0, el sistema puede estar en cualquiera de esos estados. Sean aj(0) (j = 0, 1, 2, . . .) las probabilidades absolutas de que el sistema se encuentre en el estado Ej en t0. Su ponga además que el sistema es Markoviano.

• Definimos

• como la probabilidad de transición de un paso, de pasar del estado i en tn-1 al es tado j en tn, y suponemos que esas probabilidades de transición del estado E¡ al es tado Ej se pueden arreglar más convenientemente en forma de matriz como sigue:

• La matriz P se denomina matriz estocástica o matriz de transición homogénea por que todas las probabilidades de transición pij son fijas e independientes del tiempo. Las probabilidades p¡j deben satisfacer las condiciones.

• Debemos definir ahora una cadena de Markov. Una matriz P de transición junto con las probabilidades iniciales {aj0}, asociados con los estados Ejt definen comple tamente una cadena de Markov. Se piensa por lo general que una cadena de Markov describe el comportamiento de transición de un sistema en intervalos de tiempo igual mente espaciados. Sin embargo, existen situaciones donde los espaciamientos tem porales dependen de las características del sistema y por ello, pueden no ser iguales entre sí. Estos casos se denominan cadenas de Markov incrustadas.

POTENCIAS DE MATRICES ESTOCASTICAS

• Denótese a la n-ésima potencia de la matriz P por Pⁿ = [pijⁿ]. Si P es estocástica, entonces representa la probabilidad de que un objeto cambie del estado i al estado j en n periodo. (Véase el problema 19.12). Se tiene que Pⁿ es tamben una matriz estocástica.

EJEMPLO 19.12• Hay dos formas para que una familia permanezca estable después de 20

años, como se muestra en la fi gura 19-2 (a): o permanece estable durante los primeros 10 años y durante los segundos 10 años o se vuelve deprimida después de 10 años y después regresa a la estabilidad después de 10 años. La probabilidad de que una familia estable siga siendo estable durante un periodo es de 0.92; la probabilidad de que permanezca es table durante dos periodos es (0.92)(0.92); la probabilidad de que una familia estable se vuelva deprimida en 10 años es de 0.08 y la probabilidad de que una familia deprimida se vuelva estable durante los próximos 10

MATRICES ERGODICAS

• Una matriz estocastica P es ergodica si existe lim Pn esto es si cada Pijⁿ tiene un limite conforme n→∞. Se denota la matriz limite, que es necesariamente una matriz estocastica, por L. Los componentes de X (∞) definimos por la ecuacion:

• son las distribuciones de estado límite y representan las proporciones aproximadas de objetos en los di ferentes estados de una cadena de Markov, después de un gran número de periodos.

EJEMPLO 19.6

MATRICES REGULARES

• Una matriz estocástica es regular si una de sus potencias contiene sólo elementos positivos.

• Si P es regular, con matriz límite L, entonces los renglones de L son idénticos unos a otros, siendo cada uno de ellos el único eigenvector izquierdo de P asociado con el eigenvalor X = 1 y siendo la suma de sus componentes igual a la unidad. (Véase el problema 19.13.) Denótese a este eigenvector por E,. Se tiene directamente a partir de (19.2) que si P es regular, entonces, independientemente de la distribución inicial X(0),

EJEMPLO 19.3

EJEMPLO GENERAL

• Supongamos que el clima de una determinada región sólo puede ser soleado (s1) o nublado (s2) y que las condiciones del clima en mañanas sucesivas forman una cadena de Markov con probabilidades de transición estacionarias. La matriz de transición está dada por:

• Si un día concreto está nublado, ¿cuál es la probabilidad de que esté nublado el día siguiente?

• Suponemos que la probabilidad de que el miércoles haga sol es 0.2 y la probabilidad de que esté nublado es 0.8.

• Calcular:• 1. Probabilidad de que esté nublado el

jueves.• 2. Probabilidad de que esté nublado el

viernes.• 3. Probabilidad de que esté nublado el

sábado.

SOLUCIÓN

CONCLUSION• De acuerdo a los datos obtenidos del día miércoles (si

estará soleado o nublado), se obtuvo la probabilidad de estar nublado el día jueves, y con la probabilidad del jueves se obtuvieron las del viernes, y con la del viernes se obtuvo la del sábado.

• Teniendo para• El jueves el 62% de probabilidad de que este soleado y el

38% de probabilidad de que este nublado.• El viernes el 66.2% de probabilidad de que este soleado y

el 33.8% de probabilidad de que este nublado.• El sabado el 66.62% de probabilidad de que este soleado

y el 33.38% de probabilidad de que este nublado.

MODELOS DE REDES

MAI. YARA NILSA BAUTISTA MENDEZ

Investigacion de Operaciones II

Integrantes:Dominguez Cruz EleanaMartinez Zuloaga Gloria Nohemi

• Una red es un conjunto de puntos, denominados nodos, y un conjunto de curvas, denominadas ra mas (o arcos o eslabones), que conectan ciertos pares de nodos. Aquí solamente se considerarán aquellas redes en las cuales un par dado de nodos está unido máximo por una rama. Los nodos se denotan con mayúsculas y las ramas por los nodos que conectan.

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MODELOS DE REDES

nodo o evento: representa un aspecto importante de un

problema

arco o flecha: línea que conecta dos nodos en un diagrama esquemático que representa una relación entre estos dos nodos (define el sentido de la relación).

• Gráficamente podemos observamos:

A

B

F

E

GD

C

H

J

I

RUTA 1

RUTA 2

• Se dice que una rama es orientada si tiene una dirección asociada. Esquemáticamente, las direc ciones se indican mediante flechas. La flecha en la rama AB en la figura 15-1, indica que esta rama está dirigida de A hacia B. Cualquier movimiento a lo largo de esta rama debe originarse en A y terminar en B\ no está permitido el movimiento de B hacia A.

• Dos ramas son conexas si tienen un nodo común. En la figura 15-1, las ramas AB y AC son cone xas, pero las ramas AB y CD no son conexas. Una ruta es una secuencia de ramas conexas tales que en la alternación de nodos y ramas no se repite ningún nodo. Una red es conexa si para cada par de nodos existe al menos una ruta que une al par. Si la ruta es única para cada par de nodos, a la red conexa se le denomina árbol. Equivalentemente, un árbol es una red conexa que tiene un nodo más que el número de ramas.

PROBLEMA DEL ARBOL DE EXTENCION MINIMA

Considere la situación donde se desea crear una red de caminos pavimentados para conectar un cierto número de poblaciones rurales. Debido a limitaciones presupués tales, el número de kilómetros de caminos por construirse debe ser el mínimo ab soluto que permita la conexión directa o indirecta del tráfico entre las diferentes poblaciones. .

•La situación anterior se puede representar por una red donde las poblaciones representan nodos y los caminos propuestos representan ramas.

• El modelo resultante es característico del problema del árbol de extensión mínima, donde se desea deter minar el árbol extenso que proporciona la suma mínima de ramas conectoras. De hecho, el problema del árbol extenso mínimo consiste en encontrar las conexiones más “eficientes” entre todos los nodos de la red, las que, por definición, no deben incluir ningún lazo.

PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA

• En el sentido evidente, el problema de la ruta más corta tiene que ver con la deter minación de las ramas conectadas en una red de transporte que constituyen, en con junto, la distancia más corta entre una fuente y un destino. En esta sección presen tamos otros tipos de aplicaciones que se pueden representar por medio de modelos y resolver como un problema de la ruta más corta. Las aplicaciones van seguidas de una presentación de los algoritmos de solución.

EJEMPLO•Una compañía arrendadora de automóviles está

desarrollando un plan de reem plazo de su flotilla para los próximos cinco años. Un automóvil debe estar en ser vicio cuando menos un año antes de que se considere ser reemplazado. La tabla 8-1 resume el costo de reemplazo por unidad (en miles de unidades monetarias) como función del tiempo y el número de años en operación. El costo incluye la compra, prima de seguro, operación y mantenimiento.

•Este problema se puede representar mediante una red como sigue. Cada año está representado por un nodo. La “longitud” de una rama que une dos nodos es igual al costo de reemplazo asociado que se da en la tabla 8-1. La figura 8-6 repre senta la red. El problema se reduce a determinar la “ruta” más corta del nodo 1 al 5.

ALGORITMOS DE LA RUTA MAS CORTA

• Esta sección presenta dos algoritmos para encontrar la ruta más corta en redes ací- clicas y cíclicas. Se dice que una red es acíclica si no contiene lazos; de otra manera, es cíclica. De los dos algoritmos presentados más adelante, el algoritmo cíclico es más general, ya que incluye el caso acíclico. El algoritmo acíclico es, sin embargo, más eficiente porque se necesitan hacer menos cálculos.

A. ALGORITMO ACICLICO

• El algoritmo acíclico se basa en el uso de cálculos recursivos, que son la base para los cálculos de la programación dinámica que se estudiará en el capítulo 10. Los pasos del algoritmo se explicarán por medio de un ejemplo numérico

EJEMPLO

B. ALGORITMO CICLICO (DE DIJKSTRA)

•El algoritmo acíclico no funcionará en forma correcta si la red contiene lazos di rigidos (circuitos). Para demostrar esto, consideremos la red en la figura 8-10, donde se forma un circuito con los nodos 2, 3 y 4. De acuerdo con las reglas del algoritmo acíclico es imposible evaluar cualesquiera de los nodos 2, 3 y 4 del lazo, porque el algoritmo necesita que se calcule la u¡ de todos los nodos que llegan al nodo j antes de que se pueda evaluar u¡.•El algoritmo cíclico difiere del algoritmo acíclico en el sentido

que permite tan tas oportunidades como sean necesarias para reevaluar un nodo. Cuando resulta evidente que se ha alcanzado la distancia más corta a un nodo, éste se excluye de cualquier consideración posterior. El proceso termina cuando se ha evaluado el nodo destino.

• El algoritmo cíclico (también conocido como algoritmo de Dijkstra) usa dos tipos de etiquetas: temporal y permanente. Ambas etiquetas utilizan el mismo for mato que en el algoritmo acíclico, esto es, [d, n], donde d es la distancia más corta, disponible hasta el momento, para un nodo corriente y n es el nodo inmediato precedente al cual la distancia es igual a d. El algoritmo comienza con el nodo fuente que lleva la etiqueta permanente [0, -]. Luego, consideramos todos los nodos que se pueden alcanzar directamente desde el nodo fuente y determinamos sus etiquetas asociadas.

• Las etiquetas recién creadas se designan como temporales. La siguiente etiqueta permanente se selecciona como aquella, de entre todas las etiquetas tem porales corrientes, que tenga la menor d en la etiqueta [d, n] (los empates se rompen arbitrariamente). El proceso se repite para el último nodo que se ha designado per manente. En tal caso, una etiqueta temporal de un nodo se puede cambiar sólo si la nueva etiqueta da una distancia d menor.

•Apliquemos el procedimiento a la red en la figura 8-10. Una hipótesis básica del algoritmo es que todas las distancias en la red son no negativas.

EJEMPLOCOSTO MINIMO

• Una empresa fabrica un compuesto químico básico que utilizan otros fabricantes para producir una variedad de productos para pinturas. La empresa tiene dos plantas y ha firmado contratos con dos proveedores de materia prima. Los contratos estipulan una entrega mínima de 500 y 750 toneladas de materia prima por mes, por parte de los proveedores 1 y 2, a los precios de $200 y $210 por tonelada, respectivamente.

• Se necesitan 1.2 toneladas de materia prima para fabricar una tonelada del compuesto químico básico. Los costos del transporte por tonelada desde la fábrica de los proveedores a las dos plantas se resume en la siguiente tabla:

• Las capacidades de producción y el costo por tonelada en las dos plantas se dan a continuación:

• Las demandas mensuales en las dos plantas son de 660 y 800 toneladas. Los costos de transporte por tonelada entre las plantas y los centros de distribución, se dan a continuación.

• La figura 8-22 muestra la red que representa al problema. El nodo fuente está dado por el nodo 1. Las ramas (1, 2) y (1, 3) representan los dos proveedores. Las capacidades mínimas de las ramas reflejan el envío mínimo garantizado para cada proveedor. Como estas ramas no tienen cotas superiores, sus capacidades se resumen como (500, °°) y (750, °°). Los precios de compra por tonelada para los dos proveedores son $200 y $210, respectivamente.

• Para determinar la capacidad de las plantas en el modelo, cada planta se representa con dos nodos, que pueden verse como los puntos de entrada y salida de la planta. Las ramas que conectan los nodos de entrada y salida tienen las siguientes capacidades (400, 800) y (450, 900). Los nodos de salida de las plantas (nodos 6 y 7) se conectan a los de distribución (nodos 8 y 9) a través de las ramas de transporte (6, 8), (6, 9), (7, 8) y (7, 9). Estas ramas son similares a las de transporte que llegan a las plantas en los nodos 4 y 5.

• Las demandas en los nodos de distribución 8 y 9 están representadas por [-660] y [-800], respectivamente. En forma correspondiente, la oferta en el nodo fuente 1 se especifica como [F]. Para que el problema dé una solución factible, la oferta debe ser igual a la demanda total. Sin embargo, debemos tomar en consideración el hecho que los proveedores están tratando con toneladas de materia prima, en tanto que los centros de distribución están tratando con toneladas del compuesto químico.

• Esta discrepancia se puede arreglar usando un factor de 1.2 para convertir la materia prima en compuesto químico equivalente. Por ejemplo, las capacidades de las ramas (1, 2) y (1, 3) deben reemplazarse por (500/1.2, °°) y (750/1.2, °°). En este caso los costos unitarios de compra de los dos proveedores deben ponerse a una escala de $200 x 1.2 y a $210 x 1.2. Una escala similar se aplica a los costos de transporte de los nodos 2 y 3 hacia los nodos 4 y 5. Con esta conversión podemos especificar la cantidad de oferta en el nodo fuente 1 como 660 + 800 = 1 460 toneladas (de compuesto químico).

CONCLUSION

• La solución de la red en la figura 8-22 debería dar la asignación óptima de oferta a las dos plantas, así como la asignación de la producción de cada planta a los dos centros de distribución. El objetivo es minimizar el costo neto de la operación total.