IV Bimestre 2013

Capítulo Pág.

I. Geometría del espacio ...................................................................................................... 95

II. Ángulo diedro - Ángulo triedro ........................................................................................ 101

III. Poliedros ....................................................................................................................... 105

IV. Paralelepípedo - Prisma - Cilindro .................................................................................... 109

V. Pirámide - Cono - Esfera ................................................................................................ 113

VI. Semejanza de pirámides ................................................................................................ 117

VII. Repaso I ....................................................................................................................... 123

VIII. Repaso II ...................................................................................................................... 125

Geometría

ÍNDICE

B lackames

CIENCIAS - PAMER5

AÑOGEOMETRÌA

Geometría del espacio

Capítulo I

Definición de plano

Es una superficie ilimitada de puntos donde, toda rectaque pase por dos de sus puntos está íntegramente contenidaen el plano.

LA

B

"A" y "B" pertenecen al plano “P”

L está contenida en el plano “P”

Observación:

“Q” no es un plano, “Q” es una superficie curva

Postulado para la determinación de un plano

Un plano queda determinado por:

1. Tres puntos no colineales.2. Una recta y un punto exterior a ella.3. Dos rectas secantes.4. Dos rectas paralelas.

* Posiciones de dos planos en el espacio

1.

Recta común(Arista)

2.

Plano “P“ // Plano “Q”

* Posiciones de una recta y un plano en el espacio

1.

2.

L

L // Plano “P”

* Posiciones de dos rectas en el espacio

1.

a b

a y b son secantes y pertenecen al plano “P”

2.

mn

m y n son paralelas y pertenecen al plano “P”

3.

b

a

d

a P

b Q

“d”: distancia entre a y b

Recta perpendicular a un plano

L1L2

a

Si: a L1 y L2 a al plano “P”

Observación:

Si una recta es perpendicular a un plano, entonces seráperpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

Teorema de las tres perpendiculares

Si se cumple:

F

a

Eb

H

a plano “Q”

b está contenida en el plano “Q”

HE b“F” un punto cualquiera de a

EF b

P

T

O

Q

OP plano "Q"

Teorema de Thales en el espacio

A

B

C F

E

D

Si: P // Q // R

BCAB

=EFDE

Observaciones:

Planos perpendiculares

a L

Q

P

Si: a L

Entonces:

a plano "Q"

Ángulo entre rectas alabeadas

a

a y b rectasalabeadas

b

*

Problemas resueltos

Método:

ab

Se traza paralela auna de ellas por unpunto de la otra

medida del ángulo entre las rectas alabeadas

" "

*

1. Calcular el máximo número de planos que determinan10 puntos en el espacio.

Solución:

Equivale a la cantidad de grupos que se pueden formarcon 10 puntos agrupados de 3 en 3.

!3.!)3n(!n

Cn3 “n” : Número total de puntos

En el problema:

120321!7!78910

!3!7!10

C103

Número máximo de planos es 120

2. Se tiene un segmento PQ secante a un plano tal que lasdistancias de "P" y "Q" al plano miden 5 y 7 unidades,además la proyección de PQ sobre el plano es igual a5 u. Hallar "PQ".

Solución:Q

7

5

PAB : Proyección de PQ en el plano "M".

R

BA

M

Traze una paralela por "Q" formando el QRP:

12

5 Q

x

P

x = 5 + 12

x = 13

2 2 2

R

3. ABCD es un cuadrado y AQB un triángulo equilátero,ambos situados en planos perpendiculares. Si:AB = 12, calcular la distancia entre sus centros.

Q

A

B C

D

Solución:

Q

A

B C

D

2n

nG

K

12

m

12

Siendo "G" y "K" centros de cada una de las figuras.

a) m = 6b) En el AQB:

12

A

Q

B

30°

3n

60°

12

12

notable:

3n = 6 3

n = 2 3

*

Distancia: 22 nmGK

22 326GK

34GK

4. En el gráfico BP es perpendicular al plano del cuadradoABCD. Si: AB = BP = n, "Q" es punto medio de .CD Hallarel área de la región sombreada.

A D

P

B C

Q

Problemas para la clase

Solución:

A D

P

B C

Q

n/2

n/2

n 2

n

A

Por el teorema de las tres perpendicularesPC CD

P

B C

a

n

a = n 2

n

nn

A D

P

B C

Q

n/2

n/2

n 2

n

A

Por el teorema de las tres perpendiculares:PC CD

P

B C

a

n

a = n 2

n

nn

*

2)2n()2/n(

2)altura)(base(

A 4

2nA

2

1. Desde un punto exterior a una recta, ¿cuántasperpendiculares se pueden trazar a dicha recta?

a) 1 b) 2 c) 3d) infinitos e) 5

2. Señale verdadero (V) o falso (F), a las siguientesproposiciones:

* Dos rectas paralelas son coplanares.* Tres puntos cualesquiera determinan un plano.* La intersección de dos planos es una recta.

a) VVV b) VFV c) FFFd) FVV e) FFV

3. Calcular el máximo número de planos que se puedendeterminar con 12 puntos diferentes y no colineales.

a) 90 b) 220 c) 270d) 360 e) 110

4. Calcular el máximo número de planos que se puedenformar con cuatro rectas paralelas.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

5. Se tiene un segmento AB, la diferencia de las distanciasde “A” y “B” a un plano exterior es 7 u. Si la proyecciónde AB sobre el plano es igual a 24 u, hallar “AB”..

a) 26 u b) 30 c) 28d) 25 e) 32

6. Se tiene dos planos paralelos “P” y “Q” distantes 20 u.Calcular la proyección de AB sobre “Q”, si: AB = 25. “A””está en “P” y “B” está en “Q”.

a) 15 u b) 20 c) 25d) 17 e) 18

7. En la figura, OA es perpendicular al plano “P”. Si:OA = 4 u; OB = 3 u y AD = 29 u. Calcular “DB”..

O

A

B

D

a) 8 u b) 6 c) 7d) 4 e) 2

8. La distancia de un punto “P” a una recta contenida enun plano es de 13 cm, la distancia de la recta al pie dela perpendicular que va de “P” al plano es de 12 cm,¿cuál es la distancia del punto al plano?

a) 313 b) 134 c) 27d) 5 e) 6

9. Sean “M” y “N” dos planos paralelos que distan entre sí40 m. La proyección de AB (con “A” en “M” y “B” en“N”) sobre el plano “N” mide 30 m. Calcular “AB”.

a) 20 m b) 30 c) 40d) 45 e) 50

10.Por un punto “P” interior del plano triangular ABC, selevanta la perpendicular PQ de modo que “Q” equidistade “A”, “B“ y “C”. Calcular qué punto notable es “P” parael triángulo ABC.

a) baricentro b) incentroc) ortocentro d) circuncentroe) ninguno en especial

11.Hallar “MN” en la caja rectangular que se muestra siCD = 10 y FE = 24.

DA

F E

M

CB

N

a) 10 b) 12 c) 13

d) 34 e) 23

12.En el gráfico BP es perpendicular al plano del cuadradoABCD. Si: AB = BP = n; “Q” es punto medio de CD .Hallar el área de la región sombreada.

A

B C

Q

D

P

a)2

2n2

b)4

2n2

c) n2 2

d)3

2n2

e)2

3n2

13.En la figura, los planos “P”, “Q” y “R” son paralelos. Si:MB = 12 m; ND = 9 m, hallar “AB” sabiendo que excedea CD en 7 m.

A C

M N

B D

a) 16 m b) 12 c) 21d) 24 e) 28

14.Señalar verdadero (V) o falso (F):

* Dos rectas perpendiculares necesariamente sonsecantes.

* Dos rectas perpendiculares a un plano sonperpendiculares entre sí.

* Si una recta es perpendicular a un plano entonceses perpendicular a todas las rectas contenidas en elplano.

a) VFV b) FVV c) FVFd) VVF e) FFV

15.Si los planos rectangulares son perpendiculares, calcularla distancia del punto “A” a .EC

E

F

A D

B C

3

2

4

a)19

53b)

27

56c)

29

56

d)17

54e)

20

512

16.Desde el punto exterior “A” a un plano “H”, trazamos laperpendicular AO y dos oblicuas AM y AN. Calcule ladistancia de MN al punto “O”, si: AO = 4; AM = AN = 5;MN = 4.

a) 2 b) 5 c) 5d) 3 e) 3

17.Se tiene una circunferencia de diámetro AB igual a10 m. Por el punto “A” se levanta una perpendicular ADal plano de la circunferencia tal que AD = 6 m y en la cir-cunferencia se traza la cuerda BC = 6 m. Calcular elárea del triángulo DBC.

a) 28 m2 b) 15 c) 30d) 60 e) 35

18.En la figura, AH es perpendicular al plano “P”, AH = 12;HQ = 9; AD = 17. Calcular el área HDQ.

A

H D

Q

a) 8 b) 6 c) 18d) 7 e) 36

1. Averiguar el máximo número de planos que determinansiete puntos en el espacio.

a) 7 b) 21 c) 28d) 14 e) 35

Autoevaluación

2. ¿Cuántos planos determinan diez puntos y seis paralelas?

a) 130 b) 190 c) 195d) 170 e) 200

3. Con "n" rectas paralelas y seis puntos en el espacio sehan determinado como máximo 125 planos. Hallar "n".

a) 8 b) 10 c) 11d) 12 e) 15

4. Decir si es verdadero (V) o falso (F):

* Si dos planos son paralelos a la misma recta,entonces dichos planos son paralelos entre sí.

* Dadas dos rectas que se cruzan, entonces siempreexiste una recta perpendicular entre ambas.

* Todos los planos paralelos a un plano son paralelosentre sí.

* La intersección de tres planos es necesariamenteuna recta.

a) VVVF b) FFFV c) FVVFd) FFVV e) FVFV

5. Se tiene un plano "P" y un punto "A" exterior. En el planose encuentra una circunferencia de diámetro 10 m, si lamínima distancia entre la circunferencia y el punto "A"es 10 m. Calcular la distancia entre el punto "A" y lacircunferencia, sabiendo que "A" dista del plano 6 m.

a) m315 b) 210 c) 106

d) 75 e) N.A.

CIENCIAS - PAMER5

AÑOGEOMETRÌA

Ángulo diedroÁngulo triedro

Capítulo II

Ángulo diedro

Es la figura formada por dos semiplanos que tienen unarecta común llamada arista del ángulo diedro.

E

FA

H

B

E F

B

A

Elementos: Caras del diedro: "P" y "Q"

Arista: AB

Notación: Ángulo diedro AB mide “”:

d - AB =

“” es el ángulo plano o rectilíneo de la medida del diedro.

Ángulo triedro

Es aquel ángulo sólido que se determina por tres rayosconcurrentes entre sí dos a dos.

O

O

a c

bC A

B

b

a

Elementos: Vértice: OAristas: OA , OB , OCCaras: a, b, cÁngulos diedros: , ,

Notación: Ángulo triedro: O - ABC

Propiedades de un ángulo triedro

1. En todo ángulo triedro la suma de los valores de suscaras es mayor que 0° pero menor que 360°.

0° < a + b + c < 360°

2. En todo ángulo triedro el valor de una cara es menorque la suma de las otras dos pero mayor que la diferenciade ellas mismas.

b - c < a < b + ca - c < b < a + ca - b < c < a + b

3. En todo ángulo triedro la suma de sus ángulos diedroses mayor que 180° pero menor que 540°.

180° < + + < 540°

Clases de ángulos triedros

a. Unirectángulo: Una cara mide 90°.

b. Birectángulo: Dos caras miden 90°.

c. Trirectángulo: Las tres caras miden 90°.

d. Isósceles: Dos caras son de igual medida.

e. Equilátero: Las tres caras son de igual medida.

* Observación

área a proyectar(A)

área proyectada(Ap)

Ap = Acos

1. Dos caras de un triedro miden 60° y 130°, ¿entre quélímites varía la tercera cara?

Solución:

Propiedad:0 < x + 60° + 130° < 360°

130°

60°

x

130° - 60° < x < 130° + 60°

x < 170° ............. (a)

70° < x < 190° ..... (b)

Debe cumplir ambas condiciones:

70° 170° 190°intervalo solución

Problemas resueltos

2. Por el vértice "B" de un triángulo equilátero ABC selevanta la perpendicular BE al plano del triángulo. Hallarel ángulo diedro que forman los planos ABC y AEC, si:BC = 6, BE = .33

Solución:E

B

A

C

m

3 3

x

B

C

A

6

66

m

m = 3 3

En el ABC:*

E

B

A

C

m

3 3

x°

B

C

A

6

66

m

m = 3 3

En el ABC

3 3

m = 3 3x

notable

x = 45°

*

3. En la figura " C' " es la proyección de "C" sobre el plano“P”. Si el área de la región ABC es igual a 40 m2 y elángulo diedro que forman ABC y "P" mide 60°, hallar elárea de ABC'.

P

A

B

C'

C

Solución:

P

A

B

CA

áreaproyectada

(A )P

A = AcosP

A = 40 . cos60°A = 20 m

P

P2

reemplazando:Datos: A = 40 m2


P

A

B

CA

áreaproyectada

(A )P

A = AcosP

A = 40 . cos60°A = 20 m

P

P2

reemplazando datos (A = 40 m2):

4. Por el circuncentro "K" del triángulo PQR se levanta laperpendicular KE. Calcular "EP + EQ + ER", siendo:RE = m (KE al plano del triángulo).

Solución:

P

E

Q

R

K

K : circuncentro

PK = QK = RK

*

* Se observa que los PKE, EKQ, EKR soncongruentes:

PE = EQ = ER = m

EP + EQ + ER = 3m

1. En el interior de un ángulo diedro se ubica un punto “P”que dista 6 y 5 cm de las caras y 10 cm de la arista.Calcular la medida de dicho ángulo diedro.

a) 45° b) 60° c) 67°d) 53° e) 97°

2. Dos caras de un ángulo triedro miden 100° y 160°. Latercera cara puede medir:

a) 80° b) 110° c) 60°d) 40° e) 20°

3. Dos caras de un triedro miden 120° y 130°respectivamente, la tercera cara puede medir:

a) 10° b) 20° c) 110°d) 120° e) 130°

4. La figura muestra dos cuadrados que forman un diedroque mide 45°. Si el lado mide 6 dm, hallar la distanciaentre sus centros.

A

B C

D

R

Q

a) 6( 2 + 3 ) dm b) 6 2-2c) 3 2-2 d) 2( 2 - 1)e) N.A.

5. Un libro de dimensiones 4 y 8 se abre de la maneramostrada, la medida del ángulo diedro es 120°. Hallarla distancia entre “P” y “Q”.

4

P

8

Q

a) 73 b) 74 c) 75

d) 76 e) 78

6. En la figura: c = 140°; b = 120°. Hallar el intervalo de latercera cara “a”.

a b

c

a) 10° y 120° b) 30° y 100°c) 20° y 100° d) 40° y 115°e) 30° y 120°

7. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB(AO = OB = 2 ). Por “O” se levanta la perpendicularOF al plano del triángulo. Hallar “OF”, para que el diedroAB mida 30°.

a)31

b) 3 c) 3 3

d)33

e)23

8. Se tiene un triedro trirectángulo O - ABC de modo queOA = OB = =C = 8. Calcular el área de la regióntriangular que contiene a los puntos “A”, “B”, “C”.

a) 34 b) 224 c) 318

d) 32 e) 332

9. Se tiene un triángulo rectángulo ABC,AB = 6 u y BC = 8 u; por “B” se levanta la perpendicularBE al plano del triángulo rectángulo ABC, tal que el ángulodiedro que forman ABC y AEC sea igual a 45°. Hallar“BE”.

a) 4,8 2 u b) 2,4 3 c) 2,4 2d) 4,8 e) 2,4

10.¿Cuál es el máximo valor entero que puede asumir unacara de un triángulo equilátero?

a) 90° b) 105° c) 120°d) 135° e) 119°

11.Se tiene un triángulo rectángulo ABC: AB = 12;BC = 16. Por el vértice “B” se levanta la perpendicularBF al plano de ABC. Si: BF = 9,6. Hallar la medida delángulo diedro que forman ABC y AFC.

a) 30° b) 60° c) 37°d) 53° e) 45°

12.En el interior de un triedro trirectángulo se ubica unpunto “P” de tal manera que la distancia de “P” a lascaras del triedro miden 1; 2 y 3. Calcular la distancia de“P” hasta el vértice del triedro.

a) 14 b) 13 c) 3 2d) 4 e) 5

13.Dos caras de un triedro miden 115° y 125°. Determinarentre qué valores puede variar la tercera cara.

a) 30° y 150° b) 40° y 150°c) 60° y 200° d) 50° y 200°e) 10° y 120°

14.Dos caras de un triedro miden 45° y el diedrocomprendido mide 90°. Determinar el valor de la terceracara.

a) 30° b) 45° c) 60°d) 90° e) 120°

15.En el triángulo rectángulo ABC los catetos AB y BC miden15 y 20 m respectivamente. Por “B” se levanta BPperpendicular al plano del triángulo, luego se une “P”con “A” y “C”. Calcular la medida del diedro AC, si:BP = 16 m.

a) 53° b) 30° c) 60°d) 37° e) 45°

16.Sea ABC un triángulo equilátero de 18 u de lado cuyoortocentro es “M”. Si en “M” se levanta una perpendicular

Autoevaluación

MD = 27 u al plano que contiene al triángulo. Hallar elángulo diedro formado por el triángulo ADC y ABC.

a) 60° b) 75° c) 90°d) 45° e) 30°

17.Un ángulo diedro es de 114°. Calcular la medida delángulo formado por las semirectas perpendiculares asus caras trazadas desde un punto cualquiera del planobisector del diedro.

a) 114° b) 46° c) 66°d) 60° e) 90°

1. Un ángulo diedro mide 60°, ¿a qué distancia de la aristase encuentra un punto "P", si se halla a 20 u de cadacara?

a) 20 u b) 30 c) 40

d) 60 e) 340

2. Desde el centro "M" de un cuadrado ABCD de lado 1 u,se levanta la perpendicular MP al plano del cuadrado.Hallar la longitud de MP conociendo que la distancia de"P" a uno de los vértices del cuadrado es 3 u.

a) u534

b) 334

c) 34

d) 17 e)2

17

3. En un diedro AB que mide 30° se traza una esferatangente a las caras del diedro en "P" y "Q". Hallar "PQ",si la distancia del centro de la esfera a AB es 12.

a) 3 b) 4 c) 6d) 8 e) 9

4. El área de la proyección de un cuadrado sobre un planoque pasando por su diagonal forma 60° con el plano delcuadrado, es 18 cm2. Hallar el área del cuadrado.

a) 9 cm2 b) 39 c) 18

d) 318 e) 36

5. Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determinaun triángulo cuya área es la mitad del área del primero.El diedro que forman los planos de los dos triángulosmide:

a) 15° b) 45° c) 30°d) 60° e) 75°

CIENCIAS - PAMER5

AÑOGEOMETRÌA

Poliedros

Capítulo III

Un poliedro es un sólido formado por cuatro o más polígonosplanos, donde cada lado de un polígono pertenece a dos carasdel sólido.

Poliedros convexos

Poliedros no convexos

* Propiedad

En todo poliedro se cumple:

C + V = A + 2

Relación de EulerDonde:

C: Número de carasV: Número de vérticesA: Número de aristas

Poliedros regulares

Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares.Solamente existen cinco poliedros regulares y son:

1. Tetraedro regular: Poliedro formado por cuatrotriángulos equiláteros.

a

Forma de cara(Triángulo equilátero)

Número de caras"C"

Número de vértices"V"

Número de aristas"A"

a a

a

4

4

6

2. Hexaedro regular o cubo: Poliedro formado por seiscuadrados.

Forma de cara(Cuadrado)

Número de caras"C"



6

8

12

a

a

aa a

3. Octaedro regular: Polígono formado por ochotriángulos equiláteros.


Número de caras"C"



8

6

12

a

a a

a

a

4. Dodecaedro regular: Poliedro formado por docepentágonos regulares.

Forma de cara(Pentágono regular)

Número de caras"C"



12

20

30

a aa a

a

a a

5. Icosaedro regular: Poliedro formado por veintetriángulos equiláteros.


Número de caras"C"



12

20

30

aa

a

a a

* Propiedades de los poliedros regulares

Tetraedro regular

a a

aah

Baricentro de la base

h = a 63 A = a 32

V = a 212

3 h: alturaA: áreaV: volumen

Octaedro regular

d

a

aaa

d = a 2

V = a 23

3

A = 2a 32

d: diagonal del sólidoA: áreaV: volumen

a

Hexaedro regular

da

a

aa

a

d = a 3

A = 6a2

V = a3

d: diagonal del cuboA: áreaV: volumen

ObservaciónEn todo poliedro regular o no regular con esfera inscrita,se cumple:

Área total : At

Volumen =At . R

3R

1. Hallar el volumen del tetraedro regular cuya altura mide"h".

Solución:

a

h

122a

V3

tetraedro

* Se sabe que:

26h

6

h3a

36a

h

* Reemplazando:

122

26h

V3

tetraedro

83h

V3

tetraedro

2. Del gráfico, calcular el volumen del cubo, siendo:ED = x, AP = 3x y QE = 88 m.

P

QR

S

E

A

B

D

C

Problemas resueltos

Solución:

88

3x

x132x

3x

x

3x

* Aplicando el teorema de Pitágoras:

882 = (3x)2 + ( 13x )2

882 = 22x2 x = 224 Vcubo = (3x)3

Vcubo = ( 2212 )3

3. Calcular el volumen del sólido que se forma al unir loscentros de las caras de un cubo cuya arista es igual a

.cm2

2

Solución:

* El sólido resultante de unir los centros de todas las

caras es octaedro regular diagonal octaedro = 2

* Sea "x" : arista del octaedro:

22x x = 1

* Volumen octaedro =3

2x3

Voctaedro = 32

4. Se da un icosaedro regular de 1 m de arista, hallar su área.

Solución:

1 m

equilátero

1 m1 mS 1 m

* Área total icosaedro = 20 S

* Área total =

431

202

* Área total = 2m35

1. En un cubo la suma de las longitudes de todas sus aristases de 144 cm. Hallar la diagonal del cubo.

a) 10 2 cm b) 12 3 c) 15 2d) 12 5 e) 12

2. La suma de las aristas de un octaedro regular es igual a36 dm. Hallar el área de dicho sólido.

a) 18 3 dm2 b) 16 2c) 3 17 d) 19 2e) 18 2

3. Calcular el volumen de un tetraedro regular en el cualla altura de una cara es igual a 2 3 cm.

a)328

cm3 b)3

212

c)3

216d)

528

e)338

4. La diagonal de un cubo mide .m36 Hallar el área total

del cubo.

a) 216 m2 b) 218 c) 212d) 220 e) 215

5. El área total de un tetraedro regular es 9 3 m2.Calcular el volumen de dicho tetraedro.

a)229

m3 b)427

c)328

d)429

e) 4 2

6. En un tetraedro regular el segmento que une los puntosmedios de dos aristas concurrentes mide “a”. Hallar elárea de dicho tetraedro regular.

a) a2 3 b) 2a2 3 c) 3a2 3d) 4a2 3 e) 5a2 3


7. En un cubo de 24 m2 de área total, se unen los puntosmedios de todas las aristas. ¿Cuál es el área total delsólido formado?

a) 12 + 4 3 m2 b) 6 + 2 3c) 4 + 6 3 d) 2 + 3 3e) 12 + 3 3

8. El área total de un tetraedro regular es 120 m2. Hallarel área de la proyección de una cara sobre otra.

a) 10 m2 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

9. El área de una cara de un tetraedro regular es de40 cm2. ¿Cuál es el área del polígono que se obtiene alunir los puntos medios de tres aristas?

a) 20 cm2 b) 10 c) 5d) 2,5 e) 12

10.Calcular «x» si los volúmenes de los cubos mostradoses de 1/64.

x

a) 30° b) 15° c) 18°30’d) 45° e) 71°30’

11.Un cubo de madera de “x” centímetros de arista espintado totalmente, luego se corta en cubos de 9 cm dearista cada uno, si entonces hay exactamente 96 cubosdos de sus caras pintadas, la longitud de “x” es:

a) 80 cm b) 100 c) 72d) 90 e) 106

12.Calcular el área de la sección triangular determinada altrazar un plano que pasa por una de las aristas y por elpunto medio de la arista opuesta a ésta, en un tetraedroregular cuya arista mide 6 cm.

a) 9 2 cm2 b) 6 2 c) 36 2d) 18 2 e) 18

13.El plano bisector del diedro formado por dos caras deun tetraedro regular divide a la altura en dossegmentos, calcular la relación de ellos.

a)21

b)32

c) 1

d)31

e)41

Autoevaluación

14.Calcular la distancia entre los centros de dos caras deun tetraedro regular cuya arista mide “a”.

a)2a

b)6a

c)3a2

d)3a

e)5a2

15.Calcular la relación entre los volúmenes de un cubo yde un tetraedro regular inscrito en él.

a) 2 b) 4 c) 5

d)23

e) 3

1. Calcular el área total de un tetraedro regular, siendo lasuma de las longitudes de sus aristas 36 cm.

a) 36 cm2 b) 36 c) 24

d) 336 e) 324

2. Si la diagonal de un octaedro regular mide ,23calcular su volumen.

a) 25,4 b) 26 c) 63

d) 29 e) 12

3. Si las áreas totales de un tetraedro y un octaedro ambosregulares, son iguales, calcular la relación entre susvolúmenes.

a) 1 b)22

c)21

d)323

e)63

4. Si se unen los centros de las caras de un cubo cuyaarista mide 6, calcular el área total del poliedro formado.

a) 318 b) 336 c) 24

d) 327 e) 316

5. Calcular el volumen (en m3) de una esfera inscrita en uncubo, si el centro de la esfera dista de un vértice 3 m.

a) 32 b) 34 c)

d) 3 e) 3

CIENCIAS - PAMER5

AÑOGEOMETRÌA

ParalelepípedoPrisma - Cilindro

Capítulo IV

Paralelepípedo o rectoedro

d

a

b

c

A = 2(ab + ac + bc)

d = a + b + c2 2 2

V = abc

A: área total d: diagonal V: volumen

Prisma recto

hh

h

h: altura S: área de la base

Desarrollo de un prisma recto:

h

Perímetro de la base

AL = hPerímetrode la base

AT = S + ALBase

V = S . hBase

AL: área lateral AT: área total V: volumen

Cilindro recto de revolución

h = g

R

h: altura del cilindrog: generatriz o generador del cilindroR: radio de la base

h = g

2 R

AL = 2 Rh = 2 Rg AT = 2 R(g + R) V = R h2

AL: área lateral AT: área total V: volumen

1. Dado un prisma triangular regular, la diagonal de unacara forma un ángulo de 30° con la base. Si esta diagonalmide 4, hallar el volumen del prisma.

Solución:

Prisma triangular regular* Base : triángulo equilátero

H = 2

a = 2 3

V = B . Hprisma

4 H

R

Ba

C30°

H

R

P

A

B

C

4

Q

a30°

B

a 32

4. 2

V = (2 3)prisma2 3

4. 2 = 6 3

a a

=

Problemas resueltos

110

Geometría

“ESFORZÁNDONOS POR LOGRAR TUS SUEÑOS”

Prisma triangular regular* Base : triángulo equilátero

H = 2

a = 2 3

V = B . Hprisma

4 H

R

Ba

C30°

H

R

P

A

B

C

4

Q

a30°

B

a 32

4. 2

V = (2 3)prisma2 3

4. 2 = 6 3

a a

=

2. La base de un prisma recto es una región rectangularde 12 cm de largo y cuyo ancho es los 3/4 del largo. Sila altura del prisma mide 10 cm, hallar su área total.

Solución:

9 cm

ancho = (12)

10 cm

12 cm

ancho = 9 cm

34

área total = (2 Pbase) AL

AL : arista lateral

área total = (24 + 18) . 10

área total = 420 cm2

3. Calcular la relación entre los volúmenes de los cilindrosmostrados.

Solución:

A

Br

H

2r

Se sabe: Vcilindro = B.H B : área de la base ; H : altura

Vcilindro A = (2r)2HVcilindro B = r2H

HrHr4

VV

2

2

cilindroB

cilindroA

14

VV

cilindroB

cilindroA

4. La sección axial de un cilindro de revolución es unrectángulo en el cual el largo es el doble del ancho y superímetro es 60. Calcular su volumen.

Solución:

R R

2x

x

perímetro = 60

6x = 60 x = 102x

x

x

2x 10 = 2R R = 5

radio de la base

20 = g g = 20

volumen = R .g = 5002

Plano axial: es la seccióndeterminada en el sólidopor un plano que con-tiene al eje del cilindro ya los diámetros de lasbases respectivamente.

Paralelepípedo - Prisma - Cilindro

111Quinto año de secundaria


1. Hallar el área total de un cilindro circular recto cuyoradio de la base mide 2 cm y la altura 5 cm.

a) 7 1 , 5 c m

2 b) 75,6 c) 79,7d) 83,8 e) 88

2. Hallar el área total de un prisma recto de base triangularregular de 2 m de lado y altura igual a 12 m.

a) 72 m2 b) 85,5 c) 70,5d) 80 e) 75,5

3. La altura de un cilindro de revolución mide igual que eldiámetro de la base. Si el volumen del cilindro es250 dm3, hallar el radio de la base y la altura del cilindro.

a) 5 y 10 cm b) 6 y 12 c) 9 y 18d) 8 y 10 e) 4 y 8

4. Calcular el área total de un prisma cuadrangular regular,si la altura mide 20 dm y la diagonal de la base mide7 2 dm.

a) 567 dm2 b) 467 c) 667d) 658 e) 664

5. En un cilindro recto, el área lateral es igual al área de labase. Calcular su volumen, si el radio de la base mide16 cm.

a) 512 cm3 b) 2 048 c) 4 028d) 1 024 e) 4 032

6. Un prisma recto de 10 cm de altura, tiene por base uncuadrilátero inscriptible, que se descompone por unade sus diagonales en un triángulo equilátero de 12 cmde lado y otro isósceles. Calcular el volumen del prisma.

a) 230 2 cm3 b) 720 3 c) 480 3d) 360 e) 480 2

7. Un vaso cilíndrico de diámetro “d” y altura “h” está llenode agua. Si se vierte el contenido en otro vaso dediámetro “2d”, ¿hasta qué altura subirá el agua?

a)4h

b)3h

c)2h

d)8h

e) N.A.

8. La base de un prisma triangular regular está inscrita enuna circunferencia de 10 cm de radio. Si la altura delprisma mide el doble del lado de la base, hallar elvolumen.

a) 3 500 cm3 b) 4 500 c) 3 600d) 4 200 e) 4 000

9. Las longitudes de los lados del paralelepípedo mostradoestán en la relación de 1; 2 y 3 si su volumen es 48 m3.Calcular el área total.

a) 88 m2 b) 66 c) 77d) 81 e) 90

10.La base y el desarrollo de la superficie lateral de unprisma recto son regiones cuadradas. Sabiendo que ellado del cuadrado mayor mide 20 cm, calcular el volumendel prisma.

a) 300 cm3 b) 400 c) 200d) 600 e) 500

11.Un cilindro circular recto que acaba de ser pintadolateralmente gira como se muestra las 3/4 partes deuna vuelta, calcular el área manchada sobre el piso siR = 2 u, g = 8 u.

g

R

a) 3 2 u2 b) 16 c)5

24

d) 24 e) 20

12.Un vaso cilíndrico de 20 cm de diámetro y 40 cm dealtura está lleno de agua. Si se vierte dicha agua enotro vaso de 40 cm de diámetro, ¿hasta qué altura subiráel agua en este último vaso?

a) 5 cm b) 10 c) 12d) 8 e) 9

13.Si “s” es el área lateral de un cilindro y el radio de subase es “r”. Calcular su volumen.

a) 3rs b)3rs

c)2rs

d) 2rs e) rs

14.Un cilindro contiene las 3/4 de su volumen con agua. Sise inclina como se muestra, ¿cuánto debe medir “ ”para que el agua no se derrame?

112

Geometría

“ESFORZÁNDONOS POR LOGRAR TUS SUEÑOS”

2 R

R

a) 37° b) 45° c) 30°d) 53° e) 15°

15.El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro rectoes un cuadrado de área “S”. Hallar el volumen delcilindro.

a)2SS

b)3SS

c)4SS

d)5SS

e)6SS

16.En un estuche cilíndrico se guardan tres pelotas de radior = 1, que encajan exactamente. ¿Cuál es el volumendel aire dentro del estuche y circundante a las pelotas?

a) 2,5 b) 2 c) 3d) e) 1,5

17.Un cilindro recto tiene agua hasta un cierto nivel. Sesuelta un cubo metálico y el nivel del agua sube en(4/) unidades. Calcular la longitud de la arista del cubosi el diámetro de la base del cilindro mide 8 u.

a) 2 u b) 4 c) 6d) 1 e) 8

1. Calcular el diámetro de un cilindro de revolución cuyageneratriz mide 10 y su volumen es igual a 40 .

a) 3 b) 2 c) 6d) 4 e) 8

2. Calcular el volumen del prisma recto, si: AB = 6 u yBC = 8 u.

A

B

C

a) 192 u3 b) 136 c) 144d) 100 e) 120

3. Dos cilindros de revolución son equivalentes. Si en elprimer cilindro su generatriz mide 10 y su diámetro mide30, y en el segundo cilindro su diámetro mide 10, ¿cuántomide la altura del segundo cilindro?

a) 80 b) 100 c) 70d) 60 e) 90

4. Si los radios de los cilindros son iguales, calcular elvolumen del cilindro menor.

103a

2a

2

a) 16 b) 1 6 c) 20d) 20 e) 24

5. Si el volumen de uno de los cilindros pequeños es 1,calcular el volumen del cilindro mayor.

r rr

r

r

rr r

a) 4 b) 6 c) 223

d) 224 e) 23

Autoevaluación

CIENCIAS - PAMER5

AÑOGEOMETRÌA

Pirámide - Cono - Esfera

Capítulo V

Pirámide

AT = AL + SBase

AL: área lateral

AT: área total

V: volumen

Aphh

AL = .ApSemiperímetrode la base

V = S .hBase13

h: altura de la pirámide

Ap: apotema de la pirámide

S: área de la base

Cono recto de revolución

L

g

r

h

L

g

r

h

h: altura del conog: generatriz del conor: radio de la base del cono

g g

Área lateral

2 r

g

AT = r(g + r) V = r h3

2

Esfera

LL

S = 4 R 2

V = R 343

S: área de la superficie esféricaV: volumen de la esfera

1. El área lateral de un cono de revolución es igual a 65y el área de su base es 25 . Hallar el volumen delcono.

Solución:

Hg

R

Área lateral = 65Rg = 65 Rg = 65 ... (a)

Del dato:Área base = R = 25 R = 5Reemplazando en (a)5g = 65 g= 13

2

volumen cono = R H = (5 ) (12) 2 21

3

H13

5

H + 5 = 13

H = 12

2 2 2

V = 100cono

13

*

*

*

2. Una pirámide regular de base cuadrada es equivalentecon un cubo. Si la arista del cubo mide 6 y la aristabásica de la pirámide mide 9, calcular la altura de lapirámide.

Problemas resueltos

Solución:

V = Vpirámide cubo

9

H

equivalentes< >

6

8H6H)9(31 32

3. Determinar el volumen de una pirámide hexagonalregular, si su arista lateral mide 6 cm y que ésta formacon la base un ángulo que mide 30°.

Solución:

a = 6L

30°H

B

volumenpirámide = B.H.1

3

Analizando la base:

S3 3

triánguloequilátero

SS S

S

S

H 6

30°3 3

H = 3área base = 6 S

área base = 6

B = 3

(3 3) 32

4812

volumenpirámide= 1

36(3 3) 32

4

V = 3pirámide812

x 3

*

*

4. En la figura, los sólidos son equivalentes. Calcular "x".

x 23

Solución:

Por ser equivalentes sus volúmenes son igualesVesfera = Vsemi-esfera

333 )2(34

21

x34

x3 = 1 x = 1

1. Hallar el volumen de un cono circular recto cuya árealateral es 96 cm2, sabiendo que el ángulo que formala generatriz con su base es 60°.

a) 192 cm3 b) 364 c) 96

d) 396 e) 128

2. Si las caras de una pirámide cuadrangular regular estáninclinadas 60° respecto a su base y el área lateral mide8 m2. Hallar su volumen.

a) 3m235

b) 343

c) 234

d) 254

e) 334

3. La diagonal del cubo mostrado es .u36 Calcular el

volumen de la esfera inscrita en el cubo.

a) 27 u3 b) 36 c) 54d) 81 e) 288

4. En la pirámide regular, hallar el área total si: OM = 3 my OV = 4 m.

A

V

C

M

B

D

O

a) 94 m3 b) 96 c) 100d) 120 e) 125

5. Se tiene una pirámide regular cuadrangular cuyoapotema es igual a la arista de la base y su área lateral es128 m2. Calcular la altura de la pirámide.

a) 8 3 m b) 8 c) 4 3d) 6 2 e) 4

6. Se inscribe un cubo en una esfera de radio 3 m.Calcular su arista.


a) 6 m b) 3 3 c) 2d) 2 3 e) N.A.

7. Calcular la longitud del radio de una esfera, sabiendoque su área es numéricamente igual a su volumen.

a) 1 m b) 2 c) 3d) 4 e) 6

8. Se tienen dos esferas metálicas de radios “a” y “2a”;dichas esferas se funden y se construye un cilindro rectocuya altura es “3a”. Calcular el radio de la base delcilindro.

a) a b) 2a c) 3a

d)2a

e)2a3

9. El diámetro de una esfera mide 60 cm. ¿Cuál es eldiámetro de la base de un cono de igual volumen, cuyaaltura es 30 cm?

a) 0,6 m b) 1,2 c) 1,8d) 2,4 e) N.A.

10.Se tiene un alambre de 2 mm2 de sección, con el cualse forma un ovillo esférico de 30 mm de radio. Hallar lalongitud del alambre.

a) 15 m b) 16 c) 17d) 18 e) 20

11.¿A qué distancia del centro de una esfera de 17 m delongitud de radio, debe pasar un plano secante, paraque la intersección tenga un radio de 8 m de longitud?

a) 3 m b) 5 c) 10d) 15 e) 15

12.Una cuerda del círculo base de un cono recto de 4 m dealtura mide 8 m. Si la distancia de la cuerda al centrodel círculo base es 2 m, ¿cuánto mide la generatriz?

a) 4 m b) 5 c) 6d) 7 e) 8

13.Se tiene una pirámide regular cuyo apotema mide20 cm y la altura 16 cm. Calcular el apotema de la basede dicha pirámide.

a) 15 cm b) 18 c) 8d) 6 e) 12

14.Se tiene un cono recto en el cual la generatriz es eltriple del radio de la base. Calcular la medida del ángulocentral del desarrollo del área lateral del cono.

a) 90° b) 120° c) 60°d) 45° e) 30°

15.Se ha construido un cono recto con un sector circularcuyo ángulo central mide 120° y su radio mide “R”. Si “r”es la medida del radio de la base del cono, hallar “r/R”

a)21

b)31

c)32

d)43

e)52

16.Calcular el volumen del sólido generado cuando la regiónsombreada gire alrededor del eje “L”.

2 3

2 3 eje "L"

2

a) 8 3 b) 16 3

c) 338

d) 33

16

e) 16 2

17.Hallar el volumen del tetraedro mostrado.

7

6

85

5

6

a) 32 b) 24 c) 20d) 18 e) 16

18.En una pirámide de base triangular dos caras son

triángulos equiláteros con el lado “a” que mide 32 y las otras dos son triángulos rectángulos isósceles.Determine el radio de la esfera inscrita en la pirámide.

a)21

b)41

c) 2

d) 1 e) 4

1. Dado un cono circular recto cuyo radio de la base mide5 y la generatriz mide 13. Calcular el volumen.

a) 70 b) 80 c) 90 d) 100 e) 110

2. Se tiene un cono circular recto inscrito en un cubo dearista "a". Calcular el volumen del cono.

a)6a3

b)8a3

c)10a3

d)12a3

e)14a3

3. El desarrollo de la superficie lateral de un cono circularrecto es un semicírculo de radio 8. Calcular el volumendel cono.

Autoevaluacióna) 364 b) 3

364

c) 64

d) 364

e) 3332

4. Dado un cono circular recto; el radio de la base mide 4y la altura mide 3. Calcular el área lateral.

a) 11 b) 13 c) 20 d) 15 e) 16

5. Los radios de las esferas tangentes exteriores miden 1y 3. Calcular el volumen del cono circular recto.

a) 80 b) 81 c) 84 d) 91 e) 71

CIENCIAS - PAMER5

AÑOGEOMETRÌA

Semejanza de pirámides

Capítulo VI

Definición

Dos pirámides son semejantes si tienen sus ángulospoliedros y diedros respectivamente congruentes y limitadospor el mismo número de caras semejantes una a una ysemejantemente dispuestas.

A

O

C

B

H

O'

A' C'

B'

h

3

3

3

3

3

3

'C'B'A'O

ABCO

hH

.....'B'O

OB'A'O

OAVV

2

2

2

2

2

2

2

2

'C'B'A

ABC

hH

.....'C'O

OC'B'O

OB'A'O

OAAA

Las aristas homólogas son proporcionales:

hH

....'B'A

AB'C'O

OC'B'O

OB'A'O

OA

Teorema

Si se traza un plano secante a una pirámide y paraleloa su base se determina una segunda pirámide semejantea la primera.

A

O

C

B

H

hA'

B'

C'

La región A'B'C' se denomina sección transversal.El sólido A'B'C' - ABC se denomina pirámide truncada otronco de pirámide.

3

3

ABCO

'C'B'AO2

2

ABC

'C'B'A

Hh

VV

Hh

AA

Conos semejantes

A

A'

O

B'

B

rH

h

R

Así como en las pirámides semejantes también para losconos semejantes se cumplen las siguientes relaciones:

hH

rR

'OBOB

'OAOA

2

2

2

2

2

2

2

2

hH

rR

)'OB()OB(

)'OA()OA(

mayorconodelÁreamenorconodelÁrea

3

3

3

3

3

3

3

3

h

H

r

R

)'OB(

)OB(

)'OA(

)OA(mayorconodelVolumenmenorconodelVolumen

1. Se tiene una pirámide triangular cuya altura mide 2. ¿Aqué distancia del vértice se debe trazar un plano paraleloa la base tal que determine dos sólidos equivalentes?

Solución:

V

V

x

2

Problemas resueltos

3

totalpirámide

parcialpirámide

2x

V

V

Reemplazando:

3

2x

V2V

3

34

2

2x

2. Calcular el volumen de la pirámide menor, si ambaspirámides son semejantes.

9

4

44

Solución:

9

4

44

V1 V2

x

x x

x

* Por sólidos semejantes:

)b(.....4x

VV

;)a(....x9

VV 3

2

13

2

1

* (a) = (b)

6x4x

x9

33

V2 = Vpirámide menor = 6.4

3431 2

Vpirámide menor = 38

3. Calcular la relación de volúmenes, si las pirámides estánsemejantemente dispuestas.

A 3A

Solución:

A 3A

V1 V2ba

* Por propiedad de pirámides semejantes:

?VV

)I(....ba

VV

2

1

3

2

1

* Por estar semejantemente dispuestas:

3

1ba

ba

A3A

2

* Reemplazando en (I):

33

1VV

3

1ba

VV

2

133

2

1

4. Si: VO-ABC = 192, calcular VO-A'B'C' si la sección A'B'C'es paralela a la base ABC.

A'

A C

B

B'

C'

O

30°

Solución:

A'

A C

B

B'

C'

O

30°Vx

3a

a

30°

A

O

B2a

4a

a30°

* Por notable:

Por semejanza de pirámides:3

ABCO

x

a4a3

VV

Del dato:

VO-ABC = 192 81V6427

192V

xx

81V6427

192V

xx

1. Una plancha rectangular de 2 por 4 a 6 m del piso,proyecta una sombra de 32 m2 por un foco que estáencima y a "x" metros del piso. Calcular "x".

a) 8 b) 9 c) 12d) 15 e) 18

2. Calcular:ABCO

'C'B'AO

VV

; A'B'C' // ABC

A'

A C

B

B'

C'

O

4

2

a)81

b)161

c)321

d)641

e)181

3. Calcular "x", si: A'B'C' // ABC

A'

A

C

B

C'

B'

O

4V

3V

x

a) 3 4 b) 3 16 c) 3 2

d) 3 3 e) 2


4. Calcular la relación de volúmenes, si las pirámides estánsemejantemente dispuestas.

9 4

a)38

b)2764

c)827

d)49

e)1681

5. Calcular el volumen "Vx"; si: A'B'C' // ABC yVO-ABC = 24.

A'

A C

B

C'

B'

O

Vx

4m2

1m2

a) 4 b) 3 c) 6d) 8 e) 12

6. Calcular el área "S" de la sección paralela a la base.

V

12 m2

área "S"7 V

a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) 6

7. Calcular el área "S" de la región paralela a la base.

9 m2

19 m3

S8 m3

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 4

8. En la figura, calcular el volumen "Vx"

45°

aVx

a)3a3

b)6a3

c)12a3

d)9a3

e) a3

9. Se tiene una pirámide triangular de volumen 81 m3 ybase 9 m2. Calcular el volumen de la pirámide menorformada por un plano secante paralelo a la base y quedetermina una sección de 4 m2.

a) 24 m3 b) 18 c) 16d) 20 e) 27

10.En la figura, calcular el área "S" de la sección paralela ala base.

O

4 m2

V

7 Várea "S"

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5

11.Se tiene una pirámide triangular cuya altura mide 4 m.¿A qué distancia del vértice se debe trazar un planoparalelo a la base tal que determine dos sólidosequivalentes?

a) 3 42 m b) 3 4 c) 3 43

d) 3 44 e)3 4

12.Calcular la relación de volúmenes, si las pirámides estánsemejantemente dispuestas.

2A A

a) 2 b) 22 c) 24d) 3 e) 2

13.Dado un cono, se trazan dos planos paralelos a la base,los cuales determinan en una generatriz tres segmentoscongruentes. El volumen de la porción central es igual a7 m. Calcular el volumen total.

a) 20 m3 b) 27 c) 34d) 41 e) 49

14.Calcular el volumen del cono parcial, si el volumen totales igual a 125 m, además la región "R" es paralela a laregión "S".

R

S

2h

3h

a) 6 m3 b) 7 c) 8d) 16 e) 32

15.La altura de una pirámide es .m163 ¿A qué distanciadel vértice pasará un plano paralelo a la base de lapirámide de tal manera que los volúmenes obtenidospor ésta sean iguales?

a)2163

m b)21

c) 3

d) 2 e) 33

1. Se tiene una pirámide triangular cuya altura mide 2 m.¿A qué distancia del vértice se debe trazar un planoparalelo a la base tal que determine dos sólidosequivalentes?

a) 3 2 m b) 3 4 c) 3 3

d) 3 6 e) 1

2. Si el volumen total de una pirámide triangular es 8 m3,calcular el volumen del tronco de pirámide que se formaal trazar un plano paralelo a la base y que pasa por elpunto medio de la altura.

a) 4 m3 b) 3 c) 2d) 6 e) 7

3. Una plancha rectangular de 3 por 5 a 4 m del piso,proyecta una sombra de 60 m2, por un foco que estáencima y a "x" metros del piso. Calcular "x".

Autoevaluación

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

4. Se tiene una esfera de radio 3 m inscrita en una pirámidetriangular, luego se traza un plano tangente a la esferay paralelo a la base. Calcular la relación de volúmenesde la pirámide menor y la pirámide total, si el planodista 2 m del vértice.

a)81

b)321

c)161

d)641

e)41

5. En la figura: VO-ABC = 16 m3, calcular: VO-A'B'C'

O

A' C'

A

B

CB'

a) 2 m3 b) 4 c) 6

d) 3 e) 8

CIENCIAS - PAMER5

AÑOGEOMETRÌA

Repaso I

Capítulo VII

1. Calcular el volumen de un cono circular recto cuyageneratriz mide 18 u y su área es igual a la de un círculode 12 u de radio.

a) 136 3 u3 b) 136 2c) 144 3 d) 144 2e) 150 2

2. Se tiene un cono circunscrito a dos esferas cuyos radiosmiden 1 y 8 u. ¿Cuál es el volumen del cono?

a) 27 u3 b) 81 c) 36d) 45 e) 90

3. Se traza un plano paralelo a la base de un cono por elpunto medio de su altura. Hallar la razón entre losvolúmenes del cono total y el tronco del cono que resulta.

a)38

b)58

c)79

d)78

e)67

4. El volumen de un octaedro regular mide 1 u3. Hallar elvolumen de la esfera circunscrita al octaedro.

a) u3 b) c)3

d) 3 e)2

5. Si la generatriz de un cono circular y el diámetro de subase son iguales entre sí, luego la razón entre el árealateral del cono y la superficie de la esfera inscrita en elcono es:

a)45

b)34

c)23

d)56

e)35

6. La base de un prisma recto de 12 m de altura es untriángulo equilátero, ¿cuánto mide el lado de estetriángulo, si el área lateral del prisma es 108 m2?

a) 1 m b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Hallar el volumen y el área lateral del cono que se forma

al rotar alrededor de su lado de 4 m el triángulorectángulo de 3 y 5 m de lado.

a) 12 m3 y 15 m2 b) 16 y 20c) 20 y 24 d) 15 y 18e) N.A.

8. En un cubo de 4 cm de arista se une al punto medio deuna arista con los extremos de la arista diametralmenteopuesta. Hallar el perímetro del triángulo formado.

a) 16 cm b) 2 3 + 1 c) 4( 2 + 2)d) 5 6 + 1 e) N.A.

9. Calcular el volumen de un cubo, si el segmento queune los puntos medios de dos caras contiguas mide3 2 cm.

a) 27 cm3 b) 215 c) 51 2d) 54 3 e) N.A.

10.Calcular el volumen del sólido que se genera al girar lafigura sombreada.

4 m

a) 31m3 b) 33 c) 40d) 32 e) 36

11.Calcular el volumen de la figura, si es una semiesfera yun cono.

2R

R

a) 4 R3 b)34 R3 c)

52 R3

d)54 R3 e) 2 R3


12.¿Cuánto vale el volumen sombreado?

b

a

a)2

ba2b)

32a2b c)

32ab2

d)2

ab2e) ab2

13.Un vaso cilíndrico de 20 cm de diámetro en la base y40 cm de altura está lleno de agua. Si se vierte dichaagua en otro vaso de 40 cm de diámetro, ¿hasta quéaltura subirá el agua en este último vaso?

a) 5 cm b) 10 c) 12d) 8 e) 9

14.Las aristas de un cubo miden 15 cm cada una. Si unamosca puede desplazarse sólo sobre las aristas y partede uno de los vértices, el máximo recorrido que puedehacer para volver a su punto de partida, sin pasar dosveces por la misma arista es:

a) 1,8 m b) 0,6 c) 0,9d) 0,75 e) 1,2

15.Calcular la relación entre los volúmenes de un cubo yde un octaedro regular cuyas diagonales soncongruentes.

a) 236

b) 296

c) 456

d)36

e) 2 6

16.Un tetraedro regular y un hexaedro regular tienen comorelación de áreas 3 : 1 (en ese orden). Hallar larelación de las longitudes de sus aristas.

a) 3 : 2 b) 6 : 2 c) 6 : 1d) 5 : 3 e) 5 : 2

17.Hallar la razón entre los volúmenes de un cono y uncilindro que tienen la misma altura, si el radio del cilindroes igual a 2/3 del radio del cono.

a)94

b)92

c)32

d)43

e)31

18.Un triángulo equilátero cuyo lado mide "a" metros giraalrededor de uno de sus lados. Hallar el volumen delsólido generado.

a)3a3

b)4a3

c) a3

d)6a3

e)6a3

19.Dado un ángulo diedro, tal que las distancias de un puntoexterior a las caras de la arista miden: ;210 12 y 20 urespectivamente. Hallar la medida del ángulo diedro.

a) 72° b) 68° c) 98°d) 82° e) N.A.

20.Las caras de un triedro miden: 60°; 60° y 53°. Sobre laarista común a las caras iguales se ubica un punto quedista del vértice 4 u. Hallar la distancia de dicho puntohasta la cara opuesta.

a) u10 b) 3 c) 13

d) 11 e) 62

CIENCIAS - PAMER5

AÑOGEOMETRÌA

Repaso II

Capítulo VIII


1. La base de una pirámide regular es un cuadrado cuyaárea es 25cm2. Si el apotema de la pirámide mide 12cm,Hallar el área lateral.

a) 240cm2 b) 120 c) 100d) 60 e) 300

2. Hallar el volumen de una pirámide triangular regularcuya base tiene 6cm de lado y cuya altura de la pirámidemide .cm38

a) 72cm3 b) 108 c) 140d) 156 e) 204

3. La diferencia entre el área total y el área lateral de unapirámide hexagonal regular es .cm396 2 Calcular ellado de la base.

a) 2cm b) 4 c) 8d) 12 e) 16

4. Hallar el área lateral de un cono de revolución cuyageneratriz mide 6cm y el diámetro de su base 8cm.

a) 12cm2 b) 24 c) 18d) 48 e) 32

5. El área lateral de un cono de revolución es 60cm2 y sugeneratriz mide 12cm. Hallar la longitud de lacircunferencia de base.

a) 10 b) 8 c) 5d) 6 e) N.A.

6. El diámetro de una esfera mide 12cm, hallar el área dela superficie esférica y su volumen.

a) 72cm2 y 144cm3 b) 144 y 208c) 144 y 288 d) 208 y 288e) N.A.

7. El radio de una esfera mide 14cm y el radio de un círculomenor 8cm, ¿cuál es la distancia del círculo menor alcentro de la esfera?

a) 11 cm b) 33 c) 10

d) 12 e) 332

8. La altura de una pirámide es 316 , ¿a qué distancia delvértice pasará un plano paralelo a la base de la pirámidede tal manera que los volúmenes obtenidos por éstecorte sean iguales?

a) 1 b) 2 c) 4

d)2163 e) N.A.

9. Hallar el área de un bloque de concreto armado quetiene la forma de la figura mostrada cuyas medidasindicadas están todas en decímetros.

12

12

3

a) 120dm2 b) 107 c) 124d) 108 e) 117

10.Hallar el volumen de la pirámide regular mostrada.

60º

6u

A

B C

DH

O

a) 312 u3 b) 316 c) 621

d) 615 e) 318

11.La figura es un cono recto, calcule el área total.

18u

15u

a) 135 b) 156 c) 208d) 216 e) 252

12.En el problema anterior, el volumen del cono es:

a) 324u3 b) 512 c) 432d) 234 e) N.A.

13.La figura muestra una cajita de fósforos, calcule sudiagonal, si su volumen es 48cm3.

2k

k

3k

a) 7 cm b) 72 c) 14

d) 142 e) N.A.

14.Hallar el área de la superficie de un cubo si la distanciade un vértice al centro de la cara opuesta es .u66

a) 864u2 b) 288 c) 576d) 720 e) N.A.

15.Si el volumen del cilindro es 15u3, hallar el volumen dela esfera.

a) 5u3 b) 10 c) 12d) 15 e) 8

16.Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular sonproporcionales a 3; 4 y 5 y su área total es 282u2. Hallarel volumen del sólido.

a) 390 u3 b) 3180 c) 360

d) 3120 e) N.A.

17.Si "A" es el área lateral de un cilindro y el radio de subase es "r", calcular su volumen en función de "A" y "r".

a) rA b)3rA

c)3rA2

d)2rA

e) N.A.

18.¿Cuántos metros cuadrados de hierro se necesitan parahacer un tubo de 4,5m de largo y 20m de diámetro?(u s e : = 3,14)

a) 282,6m2 b) 196,4 c) 141,3d) 251,2 e) N.A.

19.Calcular el volumen de un cilindro recto inscrito en unprisma cuadrangular regular de 10m de alto, si ladiagonal de la base mide .m212

a) 150m3 b) 300 c) 120d) 180 e) 360

20.Un prisma recto tiene como base a un triángulo cuyoslados miden 9; 10 y 11cm. Si la arista lateral mide 12cm,hallar el área lateral y volumen del sólido.

a) 360cm2 y 2360 cm3

b) 180 y 2180

c) 90 y 290

d) 120 y 2120e) N.A.

IV Bimestre 2013

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