JAIRO TARAZONA MANTILLA CONSULTOR … ASESOR DOCENTE FINANCIERO Y PROYECTOS Bucaramanga, 2010...
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS JAIRO TARAZONA MANTILLA CONSULTOR ASESOR DOCENTE FINANCIERO Y PROYECTOS Bucaramanga, 2010
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
JAIRO TARAZONA MANTILLA
CONSULTOR ASESOR DOCENTE FINANCIERO Y PROYECTOS
Bucaramanga, 2010
INTRODUCCIÓN
El presente documento es una compilación de memorias de clase y lecturas de
libros varios de matemáticas financieras.
La matemáticas financieras como herramienta cuantitativa de análisis, es útil en el
sector empresarial en la toma de decisiones del manejo de recursos financieros,
con relación a alternativas de crédito o inversión; evalúa y compara
económicamente alternativas relativas a sistemas , productos, servicios, equipos
entre otros para lograr decisiones que relacionen la mejor o mejores posibilidades
entre las que debe seleccionar el inversionista, así mismo para la evaluación
económica y financiera de proyectos de inversión.
El desarrollo de esta competencia proporcionara al profesional herramientas para
evaluar el valor del dinero en el tiempo, para lo cual podrá tomar decisiones en
términos económicos sobre la mejor alternativa de préstamos o inversiones,
estando en capacidad de diagnosticar e indagar nuevas o actuales unidades
productivas para determinar su viabilidad económica.
El modulo se inicia con el estudio de los elementos fundamentales de las
matemáticas financieras, tales como el valor del dinero en el tiempo, pasando luego
al concepto de interés simple e interés compuesto, para luego introducir los
conceptos de tasa de interés nominal, efectiva, anticipada y vencida y sus
equivalencias.
Luego, se trabajará el concepto de anualidades, gradiente aritmético, geométrico, y
escalonado y se analizará luego las amortizaciones y saldos, con base a lo anterior
se introducirán los conceptos de los índices devaluación económica de proyectos,
para un proyecto y proyectos con igual y diferente vida útil.
1. INTERÉS
1.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
El valor de dinero se debe definir no solo en términos del cuánto, sino que también
del cuando, esto debido a que no es lo mismo el recibir un pago hoy por un valor
determinado, que esa misma cantidad al paso de cierto tiempo; lo anterior teniendo
en cuenta que el dinero pierde poder adquisitivo y al igual que una transacción
comercial, el uso del dinero debe generar unos ingresos extras para el dueño del
capital; es decir el propietario recibe unos intereses por el capital.
El concepto de equivalencia tiene relación con la postergación del uso del
dinero debido a que el valor de este varia con el tiempo; de acuerdo a una tasa de
interés, por lo cual se llega a la conclusión de que “no se pueden sumar” unidades
monetarias en diferente tiempo, por que no son iguales.
Para la representación del valor del dinero en el tiempo se utiliza el flujo de caja, el
cual consiste en la representación grafica de un problema financiero. Su importancia
radica en que permiten visualizar el problema, facilitando así su definición y análisis
correcto; este diagrama consta de lo siguiente:
� Una línea horizontal en la cual se representan todos los periodos en los cuales
se ha dividido el tiempo para efectos de la tasa de interés.
� Unas flechas hacia arriba y otras hacia abajo, con las cuales se representa el
flujo de caja (ingresos – egresos). Si se eligen las flechas hacia arriba como
ingresos, deben tomarse las flechas hacia abajo como egresos o viceversa. Lo
importante es no mezclarlos.
En el valor del dinero en el tiempo intervienen tres variables el monto de dinero o
capital el cual puede corresponder a un valor presente, futuro, anualidad o
gradiente; tasa de interés y el tiempo.
Para determinar la estructura o periodos del flujo de caja, cuando el monto de
dinero sea presente o futuro, puede ser definida de acuerdo al periodo de la tasa de
interés o al tiempo; por lo tanto se puede realizar conversión de cualquiera de estas
dos variables, en donde la estructura del flujo de caja o periodos de la operación
financiera debe coincidir con la tasa de interés.
1.2. INTERES. Es el valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del
tiempo. Precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo durante
un periodo determinado.
Es la compensación que reciben los individuos, firmas o personas naturales, por el
sacrifico en que incurren al ahorrar una suma, o el beneficio que se saca del dinero
prestado, este rendimiento económico que se paga o se recibe durante un
determinado tiempo corresponde al valor por la perdida del poder adquisitivo.
Componentes de la tasa de interés
Se puede considerar que la magnitud de la tasa de interés corriente; es decir la que
se encuentra en el mercado tiene tres componentes o causas:
� El efecto de la inflación, que corresponde a una medida del aumento general de
precios, su efecto se nota en la perdida del poder adquisitivo de la moneda.
� El efecto del riesgo que es intrínsico al negocio o inversión en que se utiliza el
dinero o capital; a mayor riesgo, mayor tasa de interés.
� El interés real o la productividad en su uso, que es un efecto intrínsico del
capital, independiente de la existencia de inflación o riesgo.
La relación de estos componentes, para determinar la tasa de interés corriente, no
es aditiva, sino multiplicativa producto de su combinación, se expresa así:
)1(*)1(*)1( TRifiRic +++=
Donde:
=ic Tasa corriente o comercial
=iR Tasa de interés real
=if Tasa de inflación
=TR Tasa de riesgo
1.3. Tasa de interés. Corresponde al valor porcentual del interés liquidado
P
Ii =
Donde:
i = tasa de interés
I = Interés
P = Valor Presente
1.4.1. TIPOS DE INTERESES
1.4.1 Interés Simple. El interés simple es cuando los intereses liquidados no se
suman periódicamente al capital, es decir los intereses no devengan intereses,
debido a que no se reinvierten. Esto implica que el capital inicial no varia durante el
tiempo de la operación financiera, la tasa de interés siempre se aplicara sobre el
capital inicial y los intereses serán siempre iguales en cada periodo.
El interés simple se identifica por que se denota como simple o pagadero al final del
periodo.
Cuando se quiera calcular el interés en $ conociendo el valor Presente, el tiempo de
la transacción y la tasa de interés se aplica la siguiente formula:
inPI **=
Cuando se quiera calcular el interés en $ conociendo el valor Futuro y Presente se
aplica la siguiente formula:
PFI −=
Cuando se quiera calcular la tasa interés conociendo el valor Presente, interés en $
y el tiempo de la transacción se aplica la siguiente formula:
nP
Ii
*=
Cuando se quiera calcular la tasa interés conociendo el valor Futuro , Presente y el
tiempo de la transacción se aplica la siguiente formula:
n*P
P-F=i
Cuando se quiera calcular el tiempo de la transacción conociendo el valor Presente,
interés en $ y tasa interés se aplica la siguiente formula:
=i*P
I=n
Cuando se quiera calcular el tiempo de la transacción conociendo el valor Futuro ,
Presente y la tasa interés se aplica la siguiente formula:
i*P
P-F=n
Cuando se quiera calcular el valor Futuro conociendo el valor Presente y el interés
en $ se aplica la siguiente formula:
IPF +=
Cuando se quiera calcular el Valor Futuro conociendo el Valor Presente , la tasa de
interés y el tiempo de la transacción se aplica la siguiente formula:
)*1( inPF +=
Cuando se quiera calcular el Valor Presente conociendo el Valor Futuro, la tasa de
interés y el tiempo de la transacción se aplica la siguiente formula:
)1( ni
FP
+=
Donde:
I = Interés
P = Valor del capital
F = Valor Futuro
n = periodos de tiempo
i = tasa de interés
1.4.2 Interés Compuesto. Es aquel en el cual los intereses del periodo anterior,
forman parte integral del capital del periodo siguiente, debido a que se liquida
interés sobre interés. Los intereses recibidos se reinvierten y pasan a convertirse en
un nuevo capital. Es la tasa de interés que al final de cada periodo se aplica tanto al
capital del periodo anterior como a los intereses devengados en ese periodo, es
decir aquí se suman periódicamente los intereses más el capital; esto equivale a
decir que es la operación en la cual los intereses ganan intereses y por esto se
llama sistema de capitalización y el periodo utilizado para liquidar los intereses se
llama periodo de capitalización.
1.4.2.1 Interés periódico o vencido. Es aquel rendimiento que cobra o paga su
liquidación al final del periodo, correspondiente a la tasa menor.
1.4.2.2. Interés anticipado. Es aquel rendimiento que cobra o paga su liquidación
al principio del periodo.
1.4.2.3. Interés efectivo. Es la tasa de interés real aplicado durante n periodos,
correspondiente a la tasa mayor.
1.4.2.4. Interés nominal. Es una especie de interés simple que muestra el período
de capitalización del dinero
1.4.2.5 Valor futuro. Es el valor obtenido de la suma del valor presente y el valor
obtenido por concepto de intereses, localizada en el periodo n.
1.4.2.6. Valor presente. Es el valor del dinero a pesos hoy, localizada en el
periodo cero.
Cuando se quiera calcular el interés en $ conociendo el valor Futuro y Presente se
aplica la siguiente formula:
PFI −=
Cuando se quiera calcular el interés en $ conociendo el valor Presente, el tiempo de
la transacción y la tasa de interés se aplica la siguiente formula:
)1)^1(( −+= niPI
Cuando se quiera calcular el Valor Futuro conociendo el Valor Presente , la tasa de
interés y el tiempo de la transacción se aplica la siguiente formula:
niPF )^1(* +=
Cuando se quiera calcular el Valor Presente conociendo el Valor Futuro, la tasa de
interés y el tiempo de la transacción se aplica la siguiente formula:
ni
Fp
)1( +=
Cuando se quiera calcular la tasa interés conociendo el valor Presente, interés en $
y el tiempo de la transacción se aplica la siguiente formula:
1
1
−
=n
P
Fi
Cuando se quiera calcular el tiempo de la transacción conociendo el valor Presente,
Futuro y tasa interés se aplica la siguiente formula:
i)+Log(1
Log(F/P)=n
Cuando se quiera calcular el tiempo de la transacción conociendo el valor presente
del préstamo, valor Presente de los ahorros para cubrirlo en el futuro, y las tasas
intereses respectivos, se aplica la siguiente formula:
)1()1( 12
2
1
iLogiLog
P
PLog
n+−+
=
Donde:
F= Valor Futuro
P = Valor presente
i = Tasa de interés (en decimales)
n = número de periodos de tiempo concordantes con la tasa de interés
1.5 EQUIVALENCIA DE TASAS INTERESES
Se consideran equivalentes aquellos tipos de Interés que referidos a distinta unidad
de tiempo, aplicados a un mismo capital durante un mismo periodo de tiempo,
producen igual capital final.
1.5.1 . Interés Simple
Para hacer la equivalencia para tasa interés simple, se debe tener en cuenta el
período y la cantidad de subperíodos contenidos en el primero y se debe hacer el
análisis si la tasa del interés que tenemos inicialmente es mayor o menor a la que
queremos hallar.
Para realizar conversiones en interés simple se utiliza operaciones como la
multiplicación o división.
Cuando se quiera calcular el interés mayor simple se multiplica el interés menor
simple por el tiempo de la transacción:
nsisi *<=>
Cuando se quiera calcular el interés menor simple se divide el interés menor simple
por el tiempo de la transacción:
n
sisi
>=<
Donde:
si < = Tasa de interés menor simple
si > = Tasa de interés mayor simple
n = Periodos de tiempo
1.5.2 Interés Compuesto. Los intereses compuestos pueden ser: interés vencido o
periódico (ip o iv); interés anticipado (ia), Interés efectivo (iE), interés nominal (in)
y tasas múltiples.
En las tasas de interés se debe tener en cuenta el interés (%), periodo de
aplicación, base de aplicación ($) y la forma de aplicación (vencido o anticipado).
Cuando me nombran el “SOLO PERIODO” ,el interés puede ser ip o iE
El interés periódico puede ser:
Diario ip o iv
Semanal
Quincenal
Mensual ip (interés menor o igual)
Bimestral
Trimestral iE (interés mayor)
Cuatrimestral
Semestral
Anual iE
Cuando se quiere calcular un interés periódico conociendo un interés efectivo se
procede a utilizar la siguiente formula:
1)1(1
−+= niEip
Cuando se quiere calcular un interés efectivo conociendo un interés periódico se
procede a utilizar la siguiente formula:
1)1( −+= nipiE
ip
ipia
+=1
1.5.3 Tasas de conversión de interés nominal. El interés nominal se puede
presentar vencido o anticipado, la palabra nominal puede reemplazarse por
términos tales como capitalizable, convertible, pagadero, liquidable, o compuesto.
Cuando se trate de períodos anticipados debe llevar sin falta la palabra anticipado.
INTERÉS NOMINAL
INTERÉS NOMINAL VENCIDO INTERÉS NOMINAL ANTICIPADO
Anual COMPUESTO trimestral Anual COMPUESTO trimestral ANTICIPADO
COMPUESTO semestral
Anual CAPITALIZABLE ...
CAPITALIZABLE ...
Anual CONVERTIBLE ...
CONVERTIBLE ...
Anual PAGADERO ...
PAGADERO ...
Anual LIQUIDABLE ...
LIQUIDABLE ...
Anual POR ...
POR ...
Anual NOMINAL ...
Anual MES vencido
MES vencido
+ LA PALABRA ANTICIPADO
1.6 TASAS MULTIPLES, COMPUESTAS, COMBINADAS O SUCESIVAS
Es el resultado de la aplicación simultánea dos o más tasas de interés compuesto,
si estas operan en forma diferente.
Cuando se requiera calcular el interés efectivo en pesos Colombianos conociendo
el interés en el exterior y la devaluación, se aplicara la siguiente formula:
1)1)(1($(%) −++= iextdeviE
Cuando se requiera calcular el interés efectivo en pesos Colombianos conociendo
el interés en UVR’S y la inflación, se aplicara la siguiente formula:
( )( ) 111$(%) −++= iuvrifiE
Cuando se requiera calcular el interés Neto en $ conociendo el interés en $ y la
retención en la fuente, se aplicara la siguiente formula:
)1( RFIIN −=
Cuando se requiera calcular el Futuro Neto conociendo el Presente y el interés
Neto en $, se aplicara la siguiente formula:
INetoPFNeto +=
Cuando se requiera calcular el interés Neto conociendo el Futuro Neto y el valor
Presente, se aplicara la siguiente formula:
1
1
−
=
n
P
FNetoiN
Cuando se requiera calcular el interés real conociendo el interés Neto y la inflación,
se aplicara la siguiente formula:
if
ifiNiR
+
−=1
Cuando se requiera calcular el interés Neto conociendo el interés real y la inflación,
se aplicara la siguiente formula:
ififiRiN ++= )1(
Cuando se requiera calcular el número de Dólares conociendo el valor de la
transacción y la tasa de cambio, se aplicara la siguiente formula:
TRM
accionValorTransDolares =#
Cuando se requiera calcular el número de UVR´S conociendo el valor de la
transacción y el valor del UVR´S, se aplicara la siguiente formula:
$#
UVR
accionValorTransUVR =
Donde:
Dev.= devaluación
IE$(%)= tasa % en $ Colombianos
iR= interés real
RF= Retención en la fuente
iUVR= Tasa de interés sobre UVR
iext= tasa de interés en el exterior
if= tasa de inflación
iN= tasa de interés Neto
TRM= Tasa representativa de mercado
2. SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES
Las anualidades son cuotas o pagos constantes y periódicas que se entregan o se
reciben al comienzo, al final o en forma diferida o en forma infinita, el término pago
hace referencia tanto a ingreso como a egreso; de la misma manera, el termino
anualidad se utiliza para indicar que los pagos son periódicos y no necesariamente
cada año; esto quiere decir que los periodos pueden ser el día, la semana, la
quincena, el mes, entre otros.
Las anualidades pueden ser vencidas, anticipadas, diferidas o infinitas. Cuando
estamos trabajando anualidades definimos a “n” como el número de cuotas o
pagos. Como plazo se define el tiempo límite para el cumplimiento de la última
cuota o pago.
Cuando se trabaja con anualidades n es igual al numero de cuotas, por lo tanto la
estructura del flujo de caja lo define los pagos, la cual determinara el periodo del
interés a utilizar; para estimar n se utiliza la siguiente formula:
1+−= INICIOFINn
Donde:
FIN: donde se ubica la ultima cuota
INICIO: donde se ubica la primera cuota
2.1 Anualidades vencidas. Son aquellos pagos donde la primera cuota se ubica
al final del primer periodo. Para las anualidades vencidas el plazo coincide con el
número de cuotas.
El valor presente de una anualidad vencida, se ubica un periodo antes del primer
pago y su valor futuro coincide con la última cuota.
Cuando se requiera estimar el valor Presente conociendo la anualidad vencida,
número de cuotas y el interés, se aplicara la siguiente formula:
+
−+= n
n
ii
iAP
)1(
1)1(
Cuando se requiera estimar el número de cuotas conociendo la anualidad vencida,
valor Presente y el interés, se aplicara la siguiente formula:
)1(
)*
1(
iLog
A
ipLog
n+
=-
-
Cuando se requiera estimar la anualidad vencida conociendo el valor Presente ,
numero de cuotas y el interés, se aplicara la siguiente formula:
−+
+=
1)1(
)1(n
n
i
iiPA
Cuando se requiera estimar el valor Futuro conociendo la anualidad vencida,
número de cuotas y el interés, se aplicara la siguiente formula:
−+=
i
iAF
n 1)1(
Cuando se requiera estimar el número de cuotas conociendo la anualidad vencida,
valor Futuro y el interés, se aplicara la siguiente formula:
i)+Log(1
1)+i*A
FLog(
=n
Cuando se requiera estimar la anualidad vencida conociendo el valor Futuro ,
numero de cuotas y el interés, se aplicara la siguiente formula:
−+=
1)1( ni
iFA
Cuando se requiera estimar el interés conociendo numero de cuotas, valor Presente
y la anualidad se utilizara el método de interpolación aplicando las siguientes
formulas:
n
os)to(DepositValorCredi
tos)ito(Deposi ValorCred-)(Re
)(tan
tirosValorPagos
i teo =
><
<<><
)VP(i-)VP(i
VP-)VP(i*)-i+(ii=iJ
Donde:
P=Valor Presente
F=Valor Futuro
A= Anualidad
i= tasa de interés
n= # de cuotas
i<= interés menor
i>= interés mayor
ij= interés de la transacción
VP i<=Valor presente calculado con el interés menor
VP i>= Valor presente calculado con el interés mayor
)12()18( PF ←
2.2 Anualidades anticipadas. Sucede cuando el primer pago u ahorro se realiza
hoy, es decir al inicio del primer período, el problema radica en que en la anualidad
anticipada las cuotas se desplazan un período hacia la izquierda, esto es, la primera
cuota está en el punto cero.
Para las anualidades anticipadas el plazo no coincide con el número de cuotas,
para calcularlo se aplica la siguiente formula:
1−+== nINICIOFINPLAZO
El valor presente de una anualidad anticipada, coincide con el primer pago ; para
hallar su valor futuro reutilizaremos la misma formula de vencida, por lo cual esta se
ubicara en la ultima cuota, así mismo para calcular el interés se aplicara la misma
formula y procedimiento de la anualidad vencida.
Cuando se requiera estimar el valor Presente conociendo la anualidad anticipada ,
numero de cuotas y el interés, se aplicara la siguiente formula:
( )iii
iAP
n
n
+
+
−+= 1
)1(
1)1(
Cuando se requiera estimar la anualidad anticipada conociendo el valor Presente ,
numero de cuotas y el interés, se aplicara la siguiente formula:
−+
+
+=
1)1(
)1(
)1( n
n
i
ii
i
PA
2.3 Anualidades diferidas. Se entiende por anualidad diferida aquella que inicia su
proceso de pago o recibo después de transcurrir uno o varios periodos de pago.
Estos periodos iniciales se conocen con el nombre de periodo de gracia o tiempo
muerto. Es decir el primer pago se realiza después del primer periodo.
En el periodo de gracia no se paga abono a capital, pero se puede generar
intereses. En las anualidades diferidas el plazo no coincide con el número de
cuotas, para calcularlo se aplica la siguiente formula:
1−+== nINICIOFINPLAZO
Para el manejo de anualidades diferidas, se reutilizaran las formulas de
anualidades vencidas o anticipadas según convenga de acuerdo con el punto focal
que se va a utilizar y una vez hallado el presente en ese punto focal, hallamos el
presente en cero.
2.4 Anualidades infinitas o perpetuas. Se denomina anualidad infinita donde
cuando no exista la última cuota, por lo tanto no existe valor futuro.
Cuando se requiera estimar el valor Presente conociendo la anualidad vencida y el
interés, se aplicara la siguiente formula:
i
AP =
Cuando se requiera estimar la anualidad vencida conociendo el valor Presente y el
interés, se aplicara la siguiente formula:
iPA *=
Cuando se requiera estimar el valor Presente conociendo la anualidad anticipada y
el interés, se aplicara la siguiente formula:
Cuando se requiera estimar la anualidad anticipada conociendo el valor Presente y
el interés, se aplicara la siguiente formula:
( )iiP
A+
=1
*
( )ii
AP += 1(*
3. SERIES VARIABLES O GRADIENTES
Es una forma de abonos o pagos periódicos, que se van incrementando o
disminuyendo periodo a periodo en un valor constante o variable. Los gradientes
pueden ser aritméticos o geométricos.
El valor presente de un gradiente vencido esta un periodo antes del primer pago y el
valor futuro coincide con el ultimo pago.
El valor presente de un gradiente anticipado coincide con el primer pago y para
hallar el valor futuro se utilizan las formulas de gradientes vencidos.
Para los gradientes diferidos se utilizan las formulas de gradientes vencidos cuando
la tasa de interés es constante o las formulas de gradientes vencido o anticipado
según corresponda cuando la tasa de interés sea variable.
3.1. Gradientes aritméticos. Es una serie de pagos periódicos en la cual cada
pago es igual al del periodo inmediatamente anterior, incrementado o disminuyendo
en una cantidad de dinero constante.
Al igual que las anualidades, los gradientes pueden presentarse: vencidos, es decir
cuando el primer pago coincide con el final del primer periodo; Anticipados cuando
se realiza hoy y el primer pago coincide con el valor presente. Los gradientes
diferidos son aquellos, que el primer pago se efectúa pasados dos o más periodos.
Gradientes infinitos son aquellos que no tienen un límite definido para el último
pago, por lo tanto no tienen valor Futuro.
Cuando se requiera estimar el valor de la Anualidad vencida conociendo el primer
pago, número de cuotas, gradiente y el interés, se aplicara la siguiente formula:
−+−±=
1)1(
1"
ni
n
iGAA
Cuando se requiera estimar el valor Presente de un gradiente vencido conociendo
el primer pago, número de cuotas, gradiente y el interés, se aplicara la siguiente
formula:
+−
+
−+±
+
−+=
nn
n
n
n
i
n
ii
i
i
G
ii
iAP
)1()1(
1)1(
)1(
1)1("
Cuando se requiera estimar el valor Futuro de un gradiente vencido conociendo el
primer pago, número de cuotas, gradiente y el interés, se aplicara la siguiente
formula:
−
−+±
−+= n
i
i
i
G
i
iAF
nn 1)1(1)1("
Cuando se requiera estimar el valor Presente de un gradiente anticipado
conociendo el primer pago, número de cuotas, gradiente y el interés, se aplicara la
siguiente formula:
)1(*)1()1(
1)1(
)1(
1)1(" i
i
n
ii
i
i
G
ii
iAP
nn
n
n
n
+
+−
+
−+±
+
−+=
Cuando se requiera calcular cualquier numero de cuota conociendo la primera
cuota, el numero de la cuota a estimar y el gradiente aritmético, se aplicara la
siguiente formula:
GnAAn *)1(1 −±=
)(
(
−
+
edecrecient
creciente )
Cuando se requiera estimar el valor Presente de un gradiente vencido infinito
conociendo el primer pago, gradiente y el interés, se aplicara la siguiente formula:
2
"
i
G
i
AVP ±=
)(
(
+edecrecient
creciente -)
Cuando se requiera estimar el valor Presente de un gradiente anticipado infinito
conociendo el primer pago, gradiente y el interés, se aplicara la siguiente formula:
( )ii
G
i
AVP +
±= 1"
2
)(
(
+edecrecient
creciente -)
3.2 Gradiente geométrico. Es una serie de pagos periódicos en los cuales, cada
pago es igual al del período inmediatamente anterior incrementado o disminuido en
un mismo porcentaje, es decir aumentan o disminuyen en un valor variable, pero
conservando el mismo porcentaje.
Los gradientes geométricos pueden presentarse crecientes (cuando el valor se
incrementa en igual porcentaje periodo a periodo) y decrecientes (cuando
disminuye, en igual porcentaje, el valor a pagar, a medida que se avanza en los
períodos).
Los gradientes geométricos igual que las anualidades y gradientes aritméticos
pueden ser: vencidos, anticipados o diferidos y su tratamiento es muy similar al de
los casos anteriores.
Cuando se trabaja con anualidades n es igual al número de cuotas, por lo tanto la
estructura del flujo de caja lo define los pagos, la cual determinara el periodo del
interés a utilizar; para estimar n se utiliza la siguiente formula:
1+−= INICIOFINn
Donde:
FIN: donde se ubica la ultima cuota
INICIO: donde se ubica la primera cuota
Para el calculo de los respectivos gradientes hay que definir en primer lugar si este
es creciente o decreciente y luego la relación entre el interés y el gradiente( ==== o
≠ )
3.2.1 Gradiente geométrico creciente. Cuando se requiera estimar el valor
Presente de un gradiente geométrico creciente vencido conociendo el primer pago,
numero de cuotas, gradiente y el interés, se aplicara la siguiente formula:
Ki ≠
+
+−
−=
n
i
K
Ki
AP
1
11
"
Ki =
i
nAP
+=1
"
Cuando se requiera estimar el valor Futuro de un gradiente geométrico creciente
vencido conociendo el primer pago, numero de cuotas, gradiente y el interés, se
aplicara la siguiente formula:
Ki ≠
{ }nn KiKi
AF )1()1(
"+−+
−=
Ki =
1)1(" −+= ninAF
Cuando se requiera estimar el valor Presente de un gradiente creciente anticipado
conociendo el primer pago, numero de cuotas, gradiente y el interés, se aplicara la
respectiva formula multiplicada por el factor ( )i+1
3.2.2 Gradiente geométrico decreciente. Cuando se requiera estimar el valor
Presente de un gradiente geométrico decreciente vencido conociendo el primer
pago, número de cuotas, gradiente y el interés, se aplicara la siguiente formula:
Ki ≠
+−
−+
=n
i
K
Ki
AP
1
11
"
Ki =
+−
−=n
i
i
i
AP
1
11
2
"
Cuando se requiera estimar el valor Futuro de un gradiente geométrico decreciente
vencido conociendo el primer pago, número de cuotas, gradiente y el interés, se
aplicara la siguiente formula:
Ki ≠
{ }nn KiKi
AF )1()1(
"−−+
+=
Ki =
{ }nn iii
AF )1()1(
2
"−−+=
Cuando se requiera calcular cualquier numero de cuota conociendo la primera
cuota, el numero de la cuota a estimar y el gradiente geométrico, se aplicara la
siguiente formula:
1)1"*( −±= n
n kAA
)(
(
−
+
edecrecient
creciente )
Cuando se requiera estimar el valor Presente de un gradiente geométrico vencido
infinito conociendo el primer pago, gradiente y el interés, se aplicara la siguiente
formula:
)"
Ki
AVP
±=
Cuando se requiera estimar el valor Presente de un gradiente geométrico
anticipado infinito conociendo el primer pago, gradiente y el interés, se aplicara la
siguiente formula:
( )iKi
AVPVP +
±
== 1"
)(
(
+edecrecient
creciente -)
3.3 GRADIENTE ESCALONADO
Son valores constantes durante los periodos de un año, pero que aumenta o
disminuye en cada escalón en una cantidad fija de dinero o en una tasa constante.
Para calcular el valor presente del gradiente escalonado cuando los incrementos
entre los escalones son constantes; primeros se halla el valor futuro de la primera
anualidad, convirtiéndose esta en el primer pago del gradiente aritmético; si se
calculara el valor futuro del segundo escalón y se restara del primero; este valor
será igual al gradiente aritmético.
Para calcular el valor presente del gradiente escalonado cuando los incrementos
entre los escalones son variables; primeros se halla el valor futuro de la primera
anualidad, convirtiéndose esta en el primer pago del gradiente geométrico; si se
calculara el valor futuro del segundo escalón y se restara del primero; este valor
será igual al gradiente geométrico.
3.4 AMORTIZACIÓN Y SALDOS
La amortización es s la forma como se paga una obligación o deuda en una serie
de cuotas, conformadas por capital y intereses, durante un determinado tiempo,
estén pagos con cuotas vencidas, anticipadas y diferidas, de valor constante o
variable según el pacto del negocio.
4. EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS
4.1. Evaluación de un proyecto. Los índices para evaluar un proyecto son:
Valor presente neto (V.P.N)
Costo anual uniforme (C.A.U.E)
Tasa interna de retorno (TIR)
Tasa verdadera de rentabilidad (TVR) “TIR modificado”
Periodo de pago
Relación beneficio costo (RBC)
Para la evaluación económica de proyectos se debe tener en cuenta la tasa de
interés de oportunidad (tasa atractiva de retorno TAR, tasa de interés de
oportunidad TIO, tasa mínima de rentabilidad, costo de oportunidad, tasa de
descuento) equivalente al mínimo rendimiento que espera el inversionista en un
proyecto de inversión.
El valor de la propiedad planta y equipo del proyecto al final de la vida útil se
denomina Valor de Salvamento (Valor residual, valor de recuperación, valor de
rescate)
4.1.1 Valor presente neto. Es la ganancia o pérdida generada por un proyecto por
encima del costo de oportunidad. Consiste en deflactar tanto ingresos como
egresos, proyectados, a pesos hoy; teniendo en cuenta la tasa de interés de
oportunidad TIO, con el fin de determinar la viabilidad del proyecto.
Para hallar el VPN debemos tener en cuenta:
a) el tiempo de duración del proyecto o alternativa conocido como la vida útil
b) El flujo de caja, es decir los ingresos y egresos en el tiempo.
c) La tasa de descuento (tasa o costo de oportunidad, tasa de interés de
oportunidad, tasa atractiva de retorno, tasa mínima de rendimiento del
inversionista), que puede ser constante o variable.
d) En algunos casos el valor de rescate, que corresponde al valor comercial de la
propiedad planta y equipo.
Criterios de Decisión
VPN mayor a la T.I.O RENTABLE
VPN menor a la
T.I.O
NO RENTABLE
VPN igual a la T.I.O INDIFERENTE PERO SIN TENER EN CUENTA
EL RIESGO
4.1.2. Tasa interna de retorno. Es la tasa que iguala el valor presente de los
ingresos por el valor presente de los egresos, equivalente al rendimiento del
proyecto sobre la inversión no recuperada durante la vida útil del proyecto.
Para hallar la TIR, se iguala a cero el valor presente de los ingresos menos el valor
presente de los egresos:
0=−= VPEVPIVPN
Para hallar un valor aproximado utilizamos la siguiente fórmula
100*.
..
)(tann
InicialInver
InicialInvernetosIngr
TIR teo
−
=
Calculo de la TIR por el método del tanteo
i VPN
50 X
i=? 0
55 -Y
El VPN disminuye cuando la tasa i aumenta, es decir son inversamente
proporcionales. Se interpola el valor de la TIR calculando un valor por encima de 0 y
otro por debajo.
( )
>−<−<
<−>+<=)()(
*iVPNiVPN
VPNVPNiiiiTIR j
Criterios de Decisión
TIR mayor a la
T.I.O
RENTABLE
TIR menor a la
T.I.O
NO RENTABLE
TIR igual a la
T.I.O
INDIFERENTE PERO SIN TENER EN CUENTA EL
RIESGO
4.1.3. Costo anual uniforme equivalente. Es la ganancia o pérdida promedio por
periodo generada por un proyecto por encima del costo de oportunidad.
( )( )
−+
+=
11
1n
n
i
iiVPNCAUE
Criterios de decisión
CAUE mayor a la
T.I.O
RENTABLE
CAUE menor a la
T.I.O
NO RENTABLE
CAUE igual a la
T.I.O
INDIFERENTE PERO SIN TENER EN CUENTA EL
RIESGO
4.1.4 Tasa verdadera de rentabilidad (TVR). Es la verdadera rentabilidad
generada por el proyecto, el cual consiste en llevar el flujo de caja neto de los
ingresos al final de la vida útil, utilizando la tasa de interés de oportunidad y
relacionándola con la inversión inicial, es equivalente a la TIR modificada.
Criterios de decisión
TVR mayor
a la T.I.O
RENTABLE
TVR menor
a la T.I.O
NO RENTABLE
TVR igual a
la T.I.O
INDIFERENTE PERO SIN TENER EN CUENTA EL
RIESGO
n
inversion iPF )1( +=
Utilizamos la fórmula y en ella utilizamos el valor futuro de la inversión
1..
...
1
−
=nFC
nicialInversionI
FVRVT
4.1.5 Periodo de pago. Mide el tiempo en el cual se recupera la inversión del
proyecto. Es decir que a partir de ese momento, las utilidades que se generan son
valor agregado, es decir es el punto de equilibrio financiero.
4.1.6. Relación beneficio costo. Es la Relación entre ingresos y egresos.
EPV
IPVCBR
..
.... =
Criterios de decisión
R.B.C
mayor 1
RENTABLE
R.B.C
menor a 1
NO RENTABLE
R.B.C
igual a 1
INDIFERENTE PERO SIN TENER EN CUENTA EL
RIESGO
4.2 Evaluación de dos o más proyecto. Para evaluar dos o más alternativas de
inversión, se debe tener en cuenta la vida útil del proyecto.
4.2.1 Proyectos con vida útil igual. Cuando la vida útil de cada proyecto es igual
se utiliza como índice de evaluación el valor presente neto VPN y del Costo Anual
Uniforme Equivalente CAUE.
5.2.2 Proyectos con vida útil diferente. En el caso de proyectos tengan vida útil
es diferente, se puede utilizar el CAUE y el valor presente neto, en cuyo caso se
debe buscar un horizonte de comparación, en estos casos se halla el mínimo
común múltiplo.
BIBLIOGRAFÍAS
Matemáticas Financiera Aplicada. Jhonny de Jesús Meza Orozco. Ecoe Ediciones Matemáticas Financiera. Jaime A. García. Pearson, Prentice Hall.
Matemáticas Financieras básicas aplicadas. Felipe Jaramillo Vallejo, Alfaomega. Finanzas con Excel Soba Hayat, Antonio San MiIIán. Mc Graw Hill Matemáticas Financiera. Alberto Álvarez. Mc Graw Hill Ingeniería Económica. Guillermo Baca Currea. Educativa WEBGRAFIA www.banrep.gov.co,www.dane.gov.co,www.superfinanciera.gov.co, www.larepublica.com.co www.portafolio.com.co,www.grupoaval.com www.jairotarazona.com
