Jordi Villanueva - UPC Universitat Politècnica de Catalunya€¦ · an M an M ˙ per a tot n 2N....

Series

Jordi Villanueva

Departament de MatematiquesUniversitat Politecnica de Catalunya

10 de desembre de 2019

Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 1 / 67

Induccio IEl metode d’induccio serveix per a demostrar que una propietat P(n),que depen d’un nombre natural n, es certa a tot valor de n ≥ n0.Tıpicament, es te n0 = 1 (si be en alguns casos pot ser n0 = 0, etc.).ExempleProvarem per induccio la seguent propietat, per a tot n ≥ n0 = 1:

P(n) : 13 + 23 + · · ·+ n3 =

(n(n + 1)

2

)2

.

Aixo es: P(n) afirma que la suma dels cubs dels n primers nombresnaturals es un quadrat perfecte: el quadrat del nombre natural n(n+1)

2 .

El metode d’induccio consta de dos passos.Pas 1 Si es vol demostrar que P(n) es certa per a tot n ≥ n0 el primer es

demostrar que P(n) es certa si n = n0.Pas 2 Suposarem P(n) certa per a un valor de n ∈ N arbitrari. Usarem

aquesta suposicio (anomenada la hipotesis d’induccio) perdemostrar que llavors P(n + 1) tambe es certa.


Induccio II

Exemple

P(n) : 13 + 23 + · · ·+ n3 =

(n(n + 1)

2

)2

, n ≥ n0 = 1.

Pas 1 P(1) certa ⇐⇒ 13?︷︸︸︷=

(1 · (1 + 1)

2

)2

⇐⇒ 1?︷︸︸︷=

(1 · 2

2

)2

= 1.

Pas 2 Suposem P(n) certa per algun valor de n ≥ 1. Concretamentestem suposant que per aquest n es compleix:

P(n) : 13 + 23 + · · ·+ n3 =

(n(n + 1)

2

)2

. (Hipotesis d’induccio)

Ara hem de deduır d’aquesta suposicio que P(n + 1) tambe escerta. Concretament volem veure que llavors:

P(n + 1) : 13 + 23 + · · ·+ n3 + (n + 1)3?︷︸︸︷=

((n + 1)(n + 2)

2

)2

.


Induccio III

En efecte:

13 + 23 + · · ·+ n3︸︷︷︸Hip. Ind.=

(n(n+1)

2

)2

+(n + 1)3 =

(n(n + 1)

2

)2

+ (n + 1)3

= (n + 1)2(

n2

4+ (n + 1)

)=

(n + 1)2

4

(n2 + 4n + 4)

)=

(n + 1)2

4(n + 2)2 =

((n + 1)(n + 2)

2

)2

.

Consequentment, si P(n) certa llavors P(n + 1) tambe es certa.

Per tant: El Principi d’Induccio ens diu que P(n) es certa ∀n ≥ n0 = 1.(Analogmanet, tambe podeu provar:

1+ 2+ · · ·+ n =n(n + 1)

2, 12 + 22 + · · ·+ n2 =

n(n + 1)(2n + 1)6

.)


Successions I

Definicio (Successions a la recta real)Una successio en R es una llista ordenada i infinita de numeros reals:a1, a2, a3, . . . , an, . . .. Denotarem aquesta successio mitjancant elsımbol (an)n i direm que an es el seu terme general.

Les dues formes mes comuns de presentar una successio (an)n sensehaver d’escriure els seus “infinits” termes son:

(i) Donar explıcitament el seu terme general. P.ex.: El terme generalde la successio 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . es an = 1/n.

(ii) Definir-la mitjancant recurrencies. P.ex.: Si a1 = 0, llavors larecurrencia an+1 = a2

n + 1 defineix una successio (an)n que te perprimers termes 0, 1, 2, 5, 26, . . ..(En el cas d’una successio definida recurrentment en general noes facil donar una formula pel seu terme general.)


Successions II

Exemple (Successio Geometrica, Aritmetica i de Fibonacci)Una successio amb terme general an = arn (resp., an = a + bn )s’anomena geometrica (resp., aritmetica). La recurrencia que ladefineix es an = ran−1 (resp., an = an−1 + b ), mentre que a0 = aes el seu primer terme.La successio de Fibonacci esta definida mitjancant la recurrencia:a1 = 1, a2 = 1, an+1 = an−1 + an, ∀n ≥ 2 .Els seus primers termes son:a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5, a6 = 8, a7 = 13, . . ..Se sap que el seu terme general es:

an =1√5

[(1 +√

52

)n

−

(1−√

52

)n],

fet que podem demostrar per induccio.


Lımit d’una successio I

DefinicioDirem que el lımit de la successio (an)n es L ∈ R si:

limn→∞

an = L ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N = Nε ∈ N t.q. si n > Nε ⇒ |an − L| < ε.

Aixo es: (an)n tendeix a L quan n tendeix a infinit si tots elstermes de la successio son tan propers a L com volguem d’un enendavant. Concretament, an es a distancia menor que ε de L sin es mes gran que Nε , on Nε es un nombre natural que dependel valor de ε triat i que tendeix a ∞ quan ε→ 0+ .Si una successio (an)n te lımit L ∈ R direm que es convergent.En cas contrari, direm que la successio es divergent. “Divergent”inclou quan limn→∞ an = ±∞ (casos que no estan contemplatsen la defincio de lımit anterior i els hauriem de definir per separat).


Lımit d’una successio II

ExempleLa successio de terme genral an = 1/n te limn→∞ 1/n = 0.La successio de terme general an = (−1)n es divergent, ja queels seus termes son de la forma: −1, 1,−1, 1, −1, 1, . . . .La successio geometrica an = arn nomes es convergent quan:

r = 1 , i en aquest cas an = a per a tot n i limn→∞ a = a .|r | < 1 i en aquest cas limn→∞ arn = 0 .

Altres casos:Si r > 1 llavors limn→∞ arn = ±∞ (el signe es el de a ).Si r = −1 es com l’exemple an = (−1)n : ara an = a(−1)n .Si r < −1 llavors limn→∞ |arn| = +∞ , pero sense el valor absolutels termes de an = arn creixen en tamany pero van canviant designe com els de an = (−1)n .


Teorema (Calcul de lımits per pas a variable contınua)Sigui f (x)una funcio (de variable contınua x ∈ R ), definida almenysper x ≥ 1 , i sigui (an)n la successio de terme general an = f (n) .Llavors, si existeix L := limx→+∞ f (x) es te limn→∞ an = L .

Exemple (I)

• limn→∞(1 + z

n

)n=︸︷︷︸

f (x)=(1+ zx )

x

limx→+∞ f (x) = ez . Cal fer el calcul:

limx→+∞ f (x) = limx→+∞ ex ln(1+z/x) = elimx→+∞ x ln(1+z/x) ,on en la expressio anterior hem permutant lımit i exponencial. Ara:

limx→+∞

x ln(1 + z/x) =∞ · 0 = limx→+∞

ln(1 + z/x)1/x

=00

=︸︷︷︸L’. Hop.

limx→+∞

−z/x2

1+z/x

−1/x2 = limx→+∞

z1 + z/x

= z.


Exemple (II)

• limn→∞

n2

2n − 1= lim

x→+∞

x2

2x − 1=∞∞

= limx→+∞

2x2x ln 2

=∞∞

= limx→+∞

22x ln2 2

= 0.

Teorema (de l’entrepa per successions)Si (an)n , (bn)n , (cn)n son tals que an ≤ cn ≤ bn per a tot n prou grani limn→∞ an = limn→∞ bn = L ∈ R , aleshores limn→∞ cn = L .

Observacio: Tambe val el “teorema de la torrada”. P. ex.: si an ≤ bnper a tot n prou gran i limn→∞ an = +∞ =⇒ limn→∞ bn = +∞ .


Definicio (Successions monotones i acotades)

• (an)n es{

monotona creixentmonotona decreixent

}quan

{a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · ·a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · ·

}(aixo es, cada terme es

{major o igualmenor o igual

}que l’anterior).

• (an)n es{

acotada superiormentacotada inferiorment

}quan ∃M ∈ R t.q.

{an ≤ Man ≥ M

}per a tot n ∈ N.

Teorema

Si (an)n es{

monotona creixent i acotada superiormentmonotona decreixent i acotada inferiorment

}llavors

(an)n es convergent i L = limn→∞ an compleix{

L ≤ ML ≥ M

}.


Exemple successio monotonoa decreixent i acotadainferiorment

Considereu la successio (an)n definida per recurrentment per:a0 = 2, an =

√an−1.

Podem demostrar per induccio que es compleix:1 ≤ · · · < an < an−1 < · · · < a2 < a1 < a0 = 2.

Per tant, (an)n es monotonoa decreixent i acotada inferiormentper M = 1 =⇒ (an)n successio convergent i ∃L = limn→∞ an .A priori, podem dir que 1 = M ≤ L . Pero aquesta desigualtat noimplica necessariament que sigui cert que L = 1 !!!Pero, si prenem lımit quan n→∞ en la recurrencia an =

√an−1

que defineix la successio, i usem L = limn→∞ an = limn→∞ an−1,es te:

L =√

L =⇒ L2 = L =⇒ L ∈ {0,1}.Com que sabem que L ≥ 1 , el lımit ha de ser L = 1 .


Criteris per a successions I

Mitjana aritmetica: Si limn→∞

an = L , llavors

limn→∞

a1 + a2 + · · ·+ an

n= L .

Mitjana geometrica: Si an > 0 per tot n i limn→∞

an = L , llavors

limn→∞

n√

a1 · a2 · · · an = L .

Quocient-arrel: Si an > 0 per tot n i limn→∞

an+1

an= L , llavors

limn→∞

n√

an = L .

Criteri de Stolz: Si (bn)n es creixent, limn→∞

bn = +∞ i

limn→∞

an+1 − an

bn+1 − bn= L , llavors lim

n→∞

an

bn= L .


Exemple Criteri de Stolz

Volem calcular:

L = limn→∞

13 + 23 + · · ·+ n3

n4 = limn→∞

an

bn.

Clarament, bn = n4 es creixent i tendeix a +∞ . Per Stolz:

L = limn→∞

an

bn= lim

n→∞

an+1 − an

bn+1 − bn

= limn→∞

[12 + 23 + · · ·+ n3 + (n + 1)3]− [13 + 23 + · · ·+ n3]

(n + 1)4 − n4

= limn→∞

(n + 1)3

(n + 1)4 − n4 = limn→∞

n3 + 3n2 + 3n + 14n3 + 6n2 + 4n + 1

=14.

Exercici: L = limn→∞1k + 2k + · · ·+ nk

nk+1 =1

k + 1.


Series numeriques

De forma informal, una serie numerica es una suma infinita.

Definicio (Serie numerica)Donada una successio (an)n construım una nova successio (Sn)ndefinida per les sumes parcials de (an)n :

S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, . . .

El terme general de (Sn)n es SN = a1 + a2 + · · ·+ aN =N∑

n=1

an.

Aleshores, si ∃S = limn→∞

Sn , direm que la serie∞∑

n=1

an es convergent i

escriurem∞∑

n=1

an = S com la suma de la serie.

Si (Sn)n es divergent, direm que la serie∑∞

n=1 an es divergent.


Observacio (Fonamental)

Es condicio necessaria per tal que la serie∞∑

n=1

an pugui ser

convergent que limn→∞

an = 0 .

Si limn→∞

an 6= 0 llavors es segur que la serie∞∑

n=1

an es divergent.

P. ex.:∞∑

n=1

1 i∞∑

n=1

(−1)n son series divergents.

Hi ha pero exemples en els quals limn→∞

an = 0 pero la serie∞∑

n=1

an

es divergent. L’exemple basic es la serie harmonica an =1n

:

limn→∞

1n= 0 (lımit zero)

∞∑n=1

1n= +∞ (serie divergent)


Divergencia de la serie harmonica

La serie harmonica∞∑

n=1

1n

es divergent, tot i que el seu terme

general an =1n

tendeix a zero:

∞∑n=1

1n= 1 +

12+

13+

14︸︷︷︸

≥1/2

+15+

16+

17+

18︸︷︷︸

≥1/2

+

19+ · · ·+ 1

16︸︷︷︸≥1/2

+ · · · ≥ 1 +12+

12+

12+ · · · = +∞.

Malgrat sumar infinit, la serie harmonica divergeix molt lentament.Per exemple, els seus 1043 primers termes sumen menys decent. L’ordinador mes rapid existent avui en dia trigaria mes delque ha durat l’univers en sumar aquests 1043 termes.


Exemple (Serie geometrica de rao r : an = r n )

Si volem que∞∑

n=0

rn sigui convergent cal que |r | < 1 ja que

altrament limn→∞

rn 6= 0 .

Les sumes parcials de la successio an = rn son:

SN =N∑

n=0

rn = 1 + r + r2 + · · ·+ rN =1− rN+1

1− r, si r 6= 1.

Si fem N →∞ en SN obtenim:

∞∑n=0

rn =

1

1− r, si |r | < 1

divergent, si |r | ≥ 1

P. ex.: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · ·+ 1/2n + · · · = 11− (1/2)

= 2.


Exemple (Series telescopiques)Son aquelles en que an = bn − bn+1 . Llavors:

SN =N∑

n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ aN−1 + aN

= (b1 −��b2) + (��b2 −��b3) + (��b3 −��b4) + · · ·+ (��bN − bN+1)

= b1 − bN+1.

Per tant, si ∃b = limn→∞

bn , llavors la serie telescopica es convergent i∞∑

n=1

an =∞∑

n=1

(bn − bn+1) = b1 − b.

• Exemple: Si an =1

n(n + 1)=

1n− 1

n + 1= bn − bn+1 on bn = 1

n te

b = limn→∞ bn = 0 i podem sumar∑∞

n=1 an com a serie telescopica:∞∑

n=1

1n(n + 1)

=

(11− 1

2

)+

(12− 1

3

)+

(13− 1

4

)+ · · · = b1 − b = 1.


Criteris de convergencia per series

Rarament podem donar el valor de la suma d’una serie. En general,ens conformem en dir si la serie es convergent o divergent. La majoriade criteris son per a series de termes positius. Per aixo, el primer quefem es introduır el concepte de serie absolutament convergent.

Definicio (Series absolutament convergents)∑∞n=1 an es absolutament convergent si

∑∞n=1 |an| es convergent.

ProposicioTota serie absolutament convergent es convergent. Aixo es:∑∞

n=1 |an| convergent =⇒∑∞

n=1 an convergent.

Atencio: Hi ha series convergents que no son absolut. convergents.

Exemple (Serie convergent no absolutament convergent)∑∞n=1

(−1)n

n es convergent pero∑∞

n=1

∣∣∣ (−1)n

n

∣∣∣ =∑∞n=11n es divergent.


Criteri (integral per series)Sigui an = f (n) on f (x) es una funcio contınua, positiva i decreixentper a tot x ≥ 1 . Aleshores:

S =∞∑

n=1

an es convergent ⇐⇒ I =∫ ∞

1f (x)dx es convergent (∗)

A mes, es compleix I ≤ S ≤ a1 + I . (∗∗)Aixı, la convergencia de la serie equival a la d’una integral impropia.(L’equivalencia (∗) tambe val si f (x) decreix d’un x en endavant,pero no pas la desigualtat (∗∗) .)

Exemple (Series p-harmoniques)

La serie p-harmonica S(p) =∑∞

n=11np convergeix ⇐⇒ p > 1 .

En efete, an = 1np = f (n) on f (x) =

1xp contınua, positiva i decreixent.

Llavors, sabem que la integral impropia I(p) =∫∞

1dxxp es convergent

sıı p > 1 i val I(p) = 1p−1 . Aixı, 1

p−1 ≤ S(p) ≤ 1 + 1p−1 = p

p−1 .


Exemples criteri integral per series positives∞∑

n=2

1n ln n

divergent; S =∞∑

n=2

1n ln2 n

convergent i1

ln 2≤ S ≤ 1

2 ln2 2+

1ln 2

• Considerem f (x) =1

x ln xi g(x) =

1x ln2 x

funcions tals que f (n) i

g(n) defineixen el terme general de cadascuna de les series.• f (x) i g(x) son positives i decreixents per x ≥ 2.• Les seves integrals impropies donen:∫ +∞

2f (x)dx =

∫ +∞

2

dxx ln x

=[

ln(ln x)]x=+∞

x=2 = ln(+∞)− ln(ln 2) = +∞.∫ +∞

2g(x)dx =

∫ +∞

2

dxx ln2 x

=

[− 1

ln x

]x=+∞

x=2=

1ln 2− 1

ln(+∞)=

1ln 2

.

• Pel criteri integral per series es te que∑∞

n=21

n ln n es divergent i queS =

∑∞n=2

1n ln2 n

es convergent. A mes, si I :=∫ +∞

2 g(x)dx = 1ln 2 ,

llavors I ≤ S ≤ f (2) + I (ja que f (2) es el primer terme de la serie).Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 22 / 67

Criteri (de comparacio directa)Siguin (an)n i (bn)n dues successions tals que 0 ≤ an ≤ bn. Llavors:

(i)∑∞

n=1 an divergent =⇒∑∞

n=1 bn divergent.

(ii)∑∞

n=1 bn convergent =⇒∑∞

n=1 an convergent.

Exemple (Criteri de comparacio directa)∑∞n=1

1n+2n es convergent ja que

∑∞n=1

1n+2n ≤

∑∞n=1

12n i la serie

geometrica de rao 12 es convergent.∑∞

n=11

n+√

n es divergent ja que∑∞

n=11

n+√

n ≥∑∞

n=11

2n i la serie

harmonica∑∞

n=11n es divergent.

Aquı usem que:

√n ≤ n =⇒ n +

√n ≤ 2n =⇒ 1

n +√

n≥ 1

2n


Criteri (de comparacio per pas al lımit)Siguin (an)n i (bn)n dues successions tals que an, bn > 0 . Llavors:

(i) Si limn→∞

an

bn= L ∈ R \ {0} aleshores:∑∞

n=1 an convergent ⇐⇒∑∞

n=1 bn convergent.

(ii) Si limn→∞

an

bn= 0 aleshores:∑∞

n=1 bn convergent =⇒∑∞

n=1 an convergent

(iii) Si limn→∞

an

bn= +∞ aleshores:∑∞

n=1 bn divergent =⇒∑∞

n=1 an divergent.

La idea practica d’aquest criteri de comparacio es discutir laconvergencia o no de la serie

∑∞n=1 an a partir d’una serie

∑∞n=1 bn

“semblant” pero de la que sabem a priori si es convergent o no.Cas (i) an i bn son “comparables”.Cas (ii) bn es “mes gran” que an .Cas (iii) bn es “mes petita” que an .


Exemple (Criteri de comparacio per pas al lımit)∑∞n=1

√n+ 3√nn+n2 es comparable a

∑∞n=1

√n

n2 =∑∞

n=11

n3/2 que es

convergent ja que 3/2 > 1 =⇒∑∞

n=1

√n+ 3√nn+n2 es convergent.∑∞

n=1n2n

4n3+1 es comparable a∑∞

n=1n2n

4n3 =∑∞

n=12n

4n2 =∑∞

n=1 bnque es divergent ja que la successio (bn)n no te lımit zero:

limn→∞

bn = limn→∞

2n

4n2 = limx→+∞

2x

4x2 = +∞ (useu L’Hopital 2 cops)

Per tant,∑∞

n=1n2n

4n3+1 es divergent.∑∞n=1

n3

n+2n es comparable a∑∞

n=1n3

2n =∑∞

n=1 bn on aralimn→∞ bn = 0 . . . i que podem dir de

∑∞n=1 bn ?


Criteri (del quocient)Suposem que (an)n compleix an 6= 0 per a tot n (pero no cal que ansigui positiva). Llavors:

(i) limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ < 1 =⇒∑∞

n=1 an absolutament convergent i per

tant convergent.

(ii) limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ > 1 =⇒∑∞

n=1 an divergent.

(iii) Si limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = 1 llavors no podem dir res. (Hem d’usar un altre

metode.)

En el criteri del quocient no comparem (an)n amb cap successio.Nomes mirem el lımit del quocient de dos termes consecutius.


Exemple (Criteri del quocient)∑∞n=1

n3

2n =∑∞

n=1 an es convergent ja que

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

(n+1)3

2n+1

n3

2n

= limn→∞

12

(n + 1

n

)3

=12< 1

∑∞n=1

n!2n =

∑∞n=1 an es divergent ja que

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

(n+1)!2n+1

n!2n

= limn→∞

n + 12

= +∞ > 1

No podem aplicar el criteri del quocient a∑∞

n=11np =

∑∞n=1 an :

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

1(n+1)p

1np

= limn→∞

(n

n + 1

)p

= 1

Pero hem vist “integrant” que es convergent sıı p > 1 .


Criteri (de l’arrel)

(i) limn→∞

n√|an| < 1 =⇒

∑∞n=1 an absolutament convergent i per

tant convergent.

(ii) limn→∞

n√|an| > 1 =⇒

∑∞n=1 an divergent.

(iii) limn→∞

n√|an| = 1 llavors no podem dir res.

Exemple (Criteri de l’arrel)∑∞n=1

2n

nn =∑∞

n=1 an es convergent ja que

limn→∞

n√|an| = lim

n→∞

2n= 0 < 1


Definicio (Series alternades)Son aquelles en que el terme general “alterna” el seu signe:

∞∑n=1

(−1)nan o be∞∑

n=1

(−1)n+1an on an ≥ 0.

Teorema (Criteri de Leibnitz)

Si la serie alternada∑∞

n=1(−1)nan (o be∑∞

n=1(−1)n+1an ) compleix:

limn→∞

an = 0 (lımit zero) i an+1 ≤ an (es decreixent)

llavors es convergent (pero potser no absolutament convergent).A mes, si nomes sumem els seus primers termes, l’error que fem esmes petit que el primer terme que no sumem:

S =∞∑

n=1

(−1)nan =⇒

∣∣∣∣∣S −N∑

n=1

(−1)nan

∣∣∣∣∣ ≤ aN+1.


Exemple (Criteri de Leibnitz)∑∞n=1

(−1)n+1

n =∑∞

n=1(−1)n+1an , on an = 1n , es convergent pel

criteri de Leibnitz, ja que an es decreixent i te lımit zero.

En canvi,∑∞

n=1(−1)n+1

n no es absolutament convergent ja que∑∞n=1

1n es divergent.

Denotem per S =∑∞

n=1(−1)n+1

n el valor de la suma de la serie.Llavors, si sumem els seus 6 primers termes:

S6 =6∑

n=1

(−1)n+1

n=

11− 1

2+

13− 1

4+

15− 1

6' 0.6167,

l’error que fem es mes petit que a7 : |S − S6| ≤ a7 = 17 ' 0.143 .

De fet, es sap que S = ln(2) ' 0.6931 i per tant l’error real quefem si sumem 6 termes es: |S − S6| ' 0.0764 .


Comentari (Criteri de Leibnitz)El criteri de Leibnitz no val si la serie te termes positius i negatiuspero no es alternada. P. ex. la serie seguent no es alternada:

∞∑n=1

sin(n)n' 0.8415

1+

0.90932

+01411

3− 0.7567

4− 0.9589

5+ · · ·

El criteri de Leibnitz tampoc val si la serie es alternada pero an noes una successio decreixent. P. ex., la serie seguent es divergent:

11− 1

2+

12− 1

4+

13− 1

8+ · · ·+ 1

n− 1

2n + · · ·

ja que la seva “part positiva” es una serie divergent i la seva “partnegativa” es una serie convergent:

∞∑n=1

1n= +∞,

∞∑n=1

12n = 1


Series de potencies

De forma informal, una serie de potencies es una suma infinita depotencies de x o de x − c , depenent de si el punt on esta centradaes c = 0 o c 6= 0 .

Definicio (Serie de potencies)Una serie de potencies centrada en c ∈ R es una serie de la forma

∞∑n=0

an(x − c)n = a0 + a1(x − c) + a2(x − c)2 + · · ·+ an(x − c)n + · · ·

on els coeficients {a0,a1, . . . ,an, . . .} son nombres reals.En el cas particular en que c = 0 tenim

∞∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn + · · ·


Teorema (Convergencia d’una serie de potencies)Donada la serie de potencies

∑∞n=0 an(x − c)n llavors existeix un valor

R ∈ [0,+∞] , anomenat radi de convergencia de la serie, tal que:1 La serie es absolutament convergent (i per tant convergent) sıı|x − c| < R ⇐⇒ x ∈ (c − R, c + R) .

2 La serie es divergent si |x − c| > R ⇐⇒ x /∈ [c − R, c + R] .

Comentari (Radi de convergencia)Si R = 0 llavors la serie de potencies nomes convergeix si x = c .Si R = +∞ llavors la serie de potencies convergeix ∀x ∈ R .Si R 6= 0 es finit, la serie de potencies convergeix absolutamenten l’interval obert (c − R,C + R) . El que succeeix en els extremsde l’interval, quan x = c − R o x = c + R , depen de cada cas.En alguns casos la serie convergeix en els dos extrems; end’altres nomes en un extrem; en d’altres en cap dels dos extrems.Per tant, el seu interval de convergecia es [c − R, c + R] ,[c − R, c + R) , (c − R, c + R] o (c − R, c + R) , segons el cas.


Exemple interval convergencia serie de potencies I

∞∑n=1

2n

n(x − 2)n︸︷︷︸

un

serie de potencies en c = 2 .

• Calculem el seu radi de convergencia R via el criteri del quocient:

limn→+∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = limn→+∞

∣∣∣∣∣ 2n+1

n+1 (x − 2)n+1

2n

n (x − 2)n

∣∣∣∣∣ = limn→+∞

2nn + 1

|x−2| = 2|x−2|.

• El lımit anterior es < 1 ⇐⇒ 2|x − 2| < 1 ⇐⇒ |x − 2| < 12

.

• Per tant, el seu radi de convergencia es R =12

i la serie convergeixabsolutament en l’interval obert:

(c − R, c + R) =

(2− 1

2,2 +

12

)=

(32,52

).

• Per trobar el seu interval de convergencia falta veure que succeeix

en els extrems de l’interval: x = c − R =32

i x = c + R =52

.


Exemple interval convergencia serie de potencies II

• Si fem x = c + R =52

en∞∑

n=1

2n

n(x − 2)n obtenim la serie

harmonica, que es divergent:∞∑

n=1

2n

n

(12

)n

=∞∑

n=1

1n

.

• Si fem x = c−R =32

en∞∑

n=0

2n

n(x − 2)n obtenim la serie harmonica

alternada que, pel criteri de Leibniz, ja hem vist que es convergent:∞∑

n=1

2n

n

(−1

2

)n

=∞∑

n=1

(−1)n 1n

.

• Finalment doncs, l’interval de convergencia de la serie es[

32,52

).


Teorema (Propietats de les series de potencies)Sigui f (x) =

∑∞n=0 an(x − c)n una funcio definida per la suma d’una

serie de potencies de radi R ∈ (0,+∞] . Llavors, f (x) es infinits copsderivable ∀x ∈ (c − R, c + R) (i per tant tambe contınua i integrable).Les derivades i integrals de f (x) es poden calcular derivant i integrantla serie terme a terme:

f ′(x) =∞∑

n=1

n · an(x − c)n−1 =∞∑

n=0

(n + 1) · an+1(x − c)n,

∫f (x)dx = C +

∞∑n=0

an

n + 1(x − c)n+1 = C +

∞∑n=1

an−1

n(x − c)n.

Les series resultants tenen el mateix radi de convergencia R .Si f (x) convergeix en algun dels extrems de l’interval deconvergencia, x = c − R o x = c + R , llavors

∫f (x)dx tambe

convergeix pero pot ser que f ′(x) no convergeixi (depen del cas).


Exemple derivacio i integracio series de potencies

Useu la suma de la serie de potencies f (x) :=∞∑

n=0

xn =1

1− x(via la

suma d’una progressio geometrica) per sumar∞∑

n=1

nxn i∞∑

n=1

xn

n.

• f (x) =∑∞

n=0 xn = 11−x es convergent si x ∈ (−1,1) .

• Si derivem f (x) terme a terme: f ′(x) =∑∞

n=1 nxn−1 = 1(1−x)2 .

Multiplicant per x :∑∞

n=1 nxn = x(1−x)2 , convergent si x ∈ (−1,1) .

• Integrant f (x) terme a terme:∑∞

n=0xn+1

n+1 = − ln(1− x) + c , per unacerta constant c ∈ R . Fent x = 0 =⇒ 0 = − ln(1) + c =⇒ c = 0 .• Per tant: − ln(1− x) =

∑∞n=0

xn+1

n+1 =∑∞

n=1xn

n ja que en les duessumes donen la mateixa serie de potencies: x + x2/2 + x3/3 + · · · .• La convergencia de

∑∞n=1

xn

n = − ln(1− x) es per x ∈ [−1,1) .• En particular, fent x = −1 :

∑∞n=1

(−1)n

n = − ln(2) .


Series de Taylor

Una serie de potencies defineix una funcio. Donada una funcio, enspodem plantejar quina es la serie de potencies que la defineix.

Definicio (Series de Taylor i de MacLaurin)Sigui f (x) una funcio infints cops derivable en x = c . Llavors, la sevaserie de Taylor en el punt x = c es:

∞∑n=0

f (n)(c)n!

(x − c)n = f (c) +f ′(c)

1!(x − c) +

f′′(c)2!

(x − c)2 + · · ·

Si c = 0 la serie de Taylor s’anomena serie de MacLaurin.

La serie de Taylor es una serie de potencies on an = f (n)(c)n! .

Recordem que n! = n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1 es “ n factorial”.


Comentari (Relacio entre f (x) i la seva serie de Taylor)Si R > 0 es el radi de convergencia de la serie de Taylor de f (x)en x = c llavors

∑∞n=0

f (n)(c)n! (x − c)n es absolutament convergent

si |x − c| < R ⇐⇒ x ∈ (c −R, c + R) i defineix una certa funcio:

g(x) =∞∑

n=0

f (n)(c)n!

(x − c)n ∀x ∈ (c − R, c + R).

No es sempre necessariament cert que la funcio g(x) definidaper la suma de la serie de Taylor coincideixi amb f (x) .Ara be, si f (x) es una funcio elemental, llavors sı que es cert que

f (x) =∞∑

n=0

f (n)(c)n!

(x − c)n ∀x ∈ (c − R, c + R).

(Aquesta igualtat s’exten a x = c ± R si la serie de potencies esconvergent en els extrems de l’interval.)


Teorema (Exemples basics de series de MacLaurin)

ex =∞∑

n=0

xn

n!= 1 +

x1!

+x2

2!+

x3

3!+ · · · , ∀x ∈ R

ln(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n−1 xn

n= x − x2

2+

x3

3− · · · , ∀x ∈ (−1,1]

sin x =∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!= x − x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · · , ∀x ∈ R

cos x =∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!= 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ · · · , ∀x ∈ R

11− x

=∞∑

n=0

xn = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · , ∀x ∈ (−1,1)

arctan(x) =∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

2n + 1= x − x3

3+

x5

5+ · · · , ∀x ∈ [−1,1]


Teorema (La serie binomial)Si α ∈ R llavors:

(1 + x)α =∞∑

n=0

(α

n

)xn = 1 + αx +

α(α− 1)2!

x2 + · · · , ∀x ∈ (−1,1).

on els “nombres combinatoris generalitzats” es defineixen per

(α

n

)=

n termes︷︸︸︷α · (α− 1) · (α− 2) · · · (α− n + 1)

n!.

En el cas α = m ∈ N obtenim la formula del binomi de Newton:

(1 + x)m = 1 +

(m1

)x +

(m2

)x2 +

(m3

)x3 + · · ·+

(mm

)xm,

on els nombre combinatoris son ara els usuals.


Preliminars series de Fourier (I)

PreliminarsNombres parells n = 2k i senars n = 2k − 1, amb k = 1,2,3, . . ..Alguns valors de sin / cos: sin(nπ) = 0, cos(nπ) = (−1)n,

sin(nπ2)=

{0, si n = 2k (parell)(−1)k+1, si n = 2k − 1 (senar)

cos(nπ2)=

{(−1)k , si n = 2k (parell)0, si n = 2k − 1 (senar)

Algunes relacions trigonometriques basiques:sin(a± b) = sin(a) cos(b)± cos(a) sin(b),cos(a± b) = cos(a) cos(b)∓ sin(a) sin(b),cos(a) cos(b) = 1

2(cos(a + b) + cos(a− b)),cos2(a) = 1

2(1 + cos(2a)),sin(a) sin(b) = 1

2(cos(a− b)− cos(a + b)),sin2(a) = 1

2(1− cos(2a)),sin(a) cos(b) = 1

2(sin(a + b) + sin(a− b)).


Preliminars series de Fourier (II)

Algunes primitives utils per calcular series de Fourier∫x cos (a x)dx =

a x sin(a x) + cos(a x)a2 + C,∫

x sin (a x)dx =sin(a x)− a x cos(a x)

a2 + C,∫x2 cos (a x)dx =

2 a x cos(a x) + (a2 x2 − 2) sin(a x)a3 + C,∫

x2 sin (a x)dx =2 a x sin(a x)− (a2 x2 − 2) cos(a x)

a3 + C.


Definicio (Funcions periodiques de perıode p)Direm que f : R→ R es una funcio periodica de perıode p > 0 sıı.:

f (x + p) = f (x) , ∀x ∈ R.

Si coneixem els valors d’una funcio periodica de perıode p en uninterval de longitud p (interval basic), llavors coneixem els seusvalors en tot R per extensio periodica.Escriurem p = 2T i considerarem l’interval basic [−T ,T ] .El cas mes usual es que el perıode sigui p = 2π . Llavors, T = πi l’interval basic sera [−π, π] (de longitud 2π).(Tambe podriem triar l’interval basic [0,2π] , pero no ho farem.)Les funcions periodiques que considerem no tenen perque sercontınues arreu, pero tampoc poden ser massa discontınues.Considerarem funcions periodiques tals que en el seu intervalbasic [−T ,T ] siguin contınues a trossos, amb un nombre finitde discontinuıtats evitables o de salt (mai assimptotiques!).Usarem la notacio CT ([−T ,T ]) per indicar aquestes funcionscontınues a trossos.


Les funcions periodiques de perıode p = 2π basiques son:

1, sin(πx

T

), cos

(πxT

), sin

(2πxT

), cos

(2πxT

), . . .

Series de Fourier vol dir expressar una funcio periodica f donadacom a suma infinita de funcions periodiques basiques:

f (x) ∼ F [f ](x) = a0

2+∑n>0

(an cos

(nπxT

)+ bn sin

(nπxT

)),

per uns certs coeficients a0,a1,b1,a2,b2, . . . .El calcul de la serie de Fourier d’una funcio esta fortamentrelacionat amb les propietats d’ortogonalitat/perpendicularitatde les funcions periodiques basiques en l’interval [−T ,T ] .


Definim el seguent producte escalar en CT ([−T ,T ])

〈f ,g〉 =∫ T

−Tf (x)g(x)dx , f ,g ∈ CT ([−T ,T ]),

i la norma (mesura el tamany de la funcio) i distancia associades:

‖f‖ =√〈f , f 〉, d(f ,g) = ‖f − g‖.

Les funcions periodiques basiques son perpendiculars dos a dosrespecte d’aquest producte escalar i totes tenen norma

√T

excepte la funcio 1 que te per norma√

2T . Aixo vol dir:⟨sin(nπx

T

), sin

(mπxT

)⟩= 0, n 6= m,

∥∥∥sin(nπx

T

)∥∥∥ =√

T ,⟨cos

(nπxT

), cos

(mπxT

)⟩= 0, n 6= m,

∥∥∥cos(nπx

T

)∥∥∥ =√

T ,⟨sin(nπx

T

), cos

(mπxT

)⟩= 0, ∀n,m, ‖1‖ =

√2T .


Definicio de les series de Fourier

Sigui f (x) funcio periodica de perıode p = 2π tal que f ∈ CT ([−T ,T ]).Llavors, la seva serie de Fourier es:

f (x) ∼ F [f ](x) = a0

2+∑n>0

(an cos

(nπxT

)+ bn sin

(nπxT

)),

on els coeficients de Fourier venen donats per les integrals seguents:

a0 =1T

∫ T

−Tf (x)dx ,

an =1T

∫ T

−Tf (x) cos

(nπxT

)dx , n > 0,

bn =1T

∫ T

−Tf (x) sin

(nπxT

)dx , n > 0.

Observacio: La notacio f (x) ∼ F [f ](x) indica que assignem a f (x) laseva serie de Fourier. Mes endavant discutirem quan i on es cert quef (x) = F [f ](x).


Observacio: En el cas concret en que p = 2π i T = π, llavors es te:f (x) ∼ F [f ](x) = a0

2+∑

n>0 (an cos (nx) + bn sin (nx)),

on: a0 =1π

∫ π−π f (x)dx , an =

1π

∫ π−π f (x) cos (nx) dx ,

bn =1π

∫ π−π f (x) sin (nx) dx .

Exemple (La funcio esglao unitaria o de Heaviside)Sigui f (x) la funcio esglao unitaria en l’interval [−π, π] que extenem deforma p = 2π periodica a tot R (per tant T = π). Concretament:

f (x) = U(x) =

{1, si x ∈ [0, π],0, si x ∈ [−π,0)

(El valor concret de U(0) no importa en de calcul de F [f ](x).)La seva serie de Fourier es:

f (x) ∼ F [f ](x) = 12+

2π

∞∑k=1

12k − 1

sin ((2k − 1)x).

(Els unics coeficients no nuls son a0 i bn quan n = 2k − 1 es senar.)Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 48 / 67

• Detalls calcul serie Fourier funcio esglao f (x) =

{1, x ∈ [0, π],0, x ∈ [−π,0)

a0 =1π

∫ π

−πf (x)dx =

1π

(∫ 0

−π0 dx +

∫ π

01 dx

)= 1,

an =1π

∫ π

−πf (x) cos (nx) dx =

1π

∫ π

01 · cos (nx) dx =

1π

[sin(nx)

n

]π0= 0,

bn =1π

∫ π

−πf (x) sin (nx) dx =

1π

∫ π

01 · sin (nx) dx = −1

π

[cos(nx)

n

]π0

=1

nπ(1− cos(nπ)) =

1nπ(1− (−1)n) = {0, si n = 2k parell

2nπ , si n = 2k − 1 senar

Per tant:

f (x) ∼ F [f ](x) = 12+

2π

∞∑k=1

12k − 1

sin ((2k − 1)x).


Comentari (Series de Fourier de funcions parells i senars)Si f (x) es una funcio parell f (−x) = f (x) =⇒ bn = 0 . A mes:

F [f ](x) = a0

2+∑n>0

an cos(nπx

T

),

on: a0 =2T∫ T

0 f (x)dx , an =2T∫ T

0 f (x) cos(nπx

T

)dx , n > 0.

Si f (x) es una funcio senar f (−x) = −f (x) =⇒ an = 0 . A mes:

F [f ](x) =∑n>0

bn sin(nπx

T

),

on: bn =2T∫ T

0 f (x) sin(nπx

T

)dx , n > 0.


Exemple (La funcio signe)Sigui g(x) la funcio signe en l’interval [−π, π] que extenem de formap = 2π periodica a tot R. Concretament (g(0) no importa en de calcul):

g(x) = sgn(x) =

{1, si x ∈ (0, π],−1, si x ∈ [−π,0)

La funcio g(x) es senar i la seva serie de fourier es de la forma

F [g](x) =∑n>0

bn sin (nx) =4π

∞∑k=1

12k − 1

sin ((2k − 1)x),

on:

bn =2π

∫ π

0g(x) sin (nx) dx =

2π

∫ π

01 · sin (nx) dx =

{0, si n = 2k4

nπ , si n = 2k − 1

De fet: g(x) = sgn(x) = 2U(x)− 1 i podem deduır la serie deFourier de g(x) a partir de la de la de f (x) = U(x) ja calculada.


Teorema de Dirichlet (convergencia serie de Fourier)

f (x) periodica de perıode p = 2T i suposem que f , f ′ ∈ CT ([−T ,T ]).Aleshores:

1 Si xc ∈ (−T ,T ) es un punt de continuıtat de f , es verifica que

F [f ](xc) = f (xc). (Valor serie Fourier i funcio son el mateix.)

2 Si xd ∈ (−T ,T ) es un punt de discontinuitat de f , es verifica

F [f ](xd) =12(f (x+

d ) + f (x−d )).

on f (x+d ) i f (x−d ) son els lımits per la dreta i per l’esquerra de f

en xd , respectivament. (Valor serie Fourier es punt mig del salt.)3 En els extrems de l’interval x0 = T o x0 = −T es satisfa

F [f ](T ) = F [f ](−T ) =12(f (−T+) + f (T−)

)(Valor serie Fourier es el punt mig del salt en T per la funcio queobtenim fent l’extensio periodica de f .)


Exemple Teorema Dirichlet per la funcio esglaounitaria

f (x) =

{1, si x ∈ [0, π],0, si x ∈ [−π,0)

la funcio esglao unitaria en l’interval [−π, π]

que extenem de forma 2π-periodica a tot R te serie de Fourier

f (x) ∼ F [f ](x) = 12+

2π

∞∑k=1

12k − 1

sin ((2k − 1)x).

xc = π/2 punt de continuıtat de f =⇒ F [f ](π/2) = f (π/2) = 1:

1 = F [f ](π2) =

12+

2π

∞∑k=1

12k − 1

sin((2k − 1)

π

2

)=

12+

2π

∞∑k=1

(−1)k+1

2k − 1=⇒

∞∑k=1

(−1)k+1

2k − 1=π

4.


f (x) ∼ F [f ](x) = 12+

2π

∞∑k=1

12k − 1

sin ((2k − 1)x).

xd = 0 punt de discontinuıtat de f . Pel teorema de Dirichlet:

F [f ](0) = U(0+) + U(0−)

2=

1 + 02

=12.

En aquest cas aixo es obvi via la serie de Fourier, ja que

F [f ](0) = 12+

2π

∞∑k=1

12k − 1

sin ((2k − 1) · 0) = 12.

x0 = π extrem de l’interval basic. Pel teorema de Dirichlet:

F [f ](π) = U(−π+) + U(π−)

2=

0 + 12

=12.

De nou el resultat es obvi via la serie de Fourier, ja que:

F [f ](π) = 12+

2π

∞∑k=1

12k − 1

sin ((2k − 1)π)︸︷︷︸=0

=12.


Exemple (Serie de Fourier d’una funcio lineal)Trobeu la serie de Fourier de la funcio f (x) , 2π-periodica i tal quef (x) = x + π, x ∈ [−π, π]. Useu el resultat per sumar la serie numerica:

S :=∞∑

k=1

(−1)k+1

2k − 1= 1− 1

3+

15− 1

7+ · · · .

Es clar que en aquest cas T = π .f (x) no es ni parell ni senar, pero l’extensio periodica de g(x) = xsı que es senar (la seva serie de Fourier es en sinus). Tenim:

F [f ](x) = π+F [g](x) = π+∞∑

n=1

bn sin(nx), bn =2π

∫ π

0g(x) sin nx dx .

Per tant (recordem sin(nπ) = 0 i cos(nπ) = (−1)n ):

bn =2π

∫ π

0x sin nx dx =

2π

[sin(nx)− nx cos(nx)

n2

]π0= 2

(−1)n+1

n.


La serie de Fourier de la funcio f (x) resulta ser doncs:

F [f ](x) = π + 2∞∑

n=1

(−1)n+1

nsin(nx).

Si volem avaluar F [f ](x) en un valor de x tal que sin(nx) = 0quan n es parell, podem triar x = π/2 . Llavors:

sin(nπ2)=

{0, si n = 2k (parell)(−1)k+1, si n = 2k − 1 (senar)

xc = π/2 es un punt de continuitat de f (x) i pel teorema deDirichlet F [f ](π/2) = f (π/2) = π/2 + π = 3π/2 . Per tant:

32π = F [f ]

(π2

)= π + 2

∞∑n=1

(−1)n+1

nsin(

nπ

2

)= π + 2

∞∑k=1

(−1)(2k−1)+1

2k − 1(−1)k+1 = π + 2

∞∑k=1

(−1)k+1

2k − 1.

Igualant la darrera expressio a 32π :

∞∑k=1

(−1)k+1

2k − 1=π

4.


Exemple (Serie de Fourier d’una funcio quadratica)Trobeu la serie de Fourier de la funcio f (x) , 2π-periodica i tal quef (x) = x2 U(x), x ∈ [−π, π].

a0 =1π

∫ π

−πf (x)dx =

1π

∫ π

0x2 dx =

1π

[x3

3

]π0=π2

3.

an =1π

∫ π

−πf (x) cos (nx) dx =

1π

∫ π

0x2 cos (nx) dx

=1π

[2nx cos(nx) + (n2x2 − 2) sin(nx)

n3

]π0=

2n2 (−1)n.

bn =1π

∫ T

−Tf (x) sin (nx) dx =

1π

∫ π

0x2 sin (nx) dx

=1π

[2nx sin(nx)− (n2x2 − 2) cos(nx)

n3

]π0

=1πn3 [(n

2π2 − 2)(−1)n+1 − 2].


Per tant, la serie de Fourier F [f ](x) de f dona:

π2

6+∞∑

n=1

(2n2 (−1)n cos(nx) +

1πn3 [(n

2π2 − 2)(−1)n+1 − 2] sin(nx)).

xc = 0 es un punt de continuıtat de f i pel Teorema de Dirichlet:

0 = f (0) = F [f ](0) = π2

6+∞∑

n=1

2n2 (−1)n =⇒

∞∑n=1

(−1)n+1

n2 =π2

12.

En x0 = π (extrem interval basic) el Teorema de Dirichlet diu que

F [f ](π) = f (−π+) + f (π−)2

=0 + π2

2=π2

2. Per tant, aixo ens diu:

π2

2=π2

6+∞∑

n=1

2n2 (−1)n cos(nπ)︸︷︷︸

=(−1)n

=π2

6+∞∑

n=1

2n2 .

D’aquı deduım:∞∑

n=1

1n2 =

12

(π2

2− π2

6

)=π2

6.


Integracio i derivacio de series de Fourier If (x) periodica de perıode p = 2T i suposem que f ∈ CT ([−T ,T ]) .

Considerem f ∼ F [f ](x) = a0

2+∑n>0

(an cos

(nπxT

)+ bn sin

(nπxT

)).

(I) La integral definida de f en un interval [α, β] ⊂ R es pot obtenir“integrant terme a terme” la serie de Fourier de f :∫ β

αf (x)dx =

a0(β − α)2

+∑n>0

Tnπ

[an sin

(nπxT

)− bn cos

(nπxT

)]x=β

x=α

(II) En particular, si a0 = 0 llavors la funcio integral F (x) =∫ x

0 f (x)dxtambe es perıodica i la seva serie de Fourier F (x) ∼ F [F ](x) es:

F [F ](x) =Tπ

∑n>0

bn

n︸︷︷︸=

a02

+∑n>0

−Tπ

bn

n︸︷︷︸=an

cos(nπx

T

)+

Tπ

an

n︸︷︷︸=bn

sin(nπx

T

) ,

on ao, a1, b1, a2, b2, . . . son els coeficients de Fourier de F .Jordi Villanueva (MA1) Series 10 de desembre de 2019 59 / 67

Integracio i derivacio de series de Fourier II

(III) Si, a mes, f es contınua en TOT R i f ′ ∈ CT ([−T ,T ]), aleshoresla serie de Fourier de f ′ pot obtenir-se derivant “terme a terme”:

F [f ′](x) = 0︸︷︷︸=

a02

+∑n>0

nπT

bn︸︷︷︸=an

cos(nπx

T

)−nπ

Tan︸︷︷︸

=bn

sin(nπx

T

) ,

on ao = 0, a1, b1, a2, b2, . . . son ara els coeficients de Fourier de f ′ .

En el cas en que f NO es contınua en TOT R , llavors la serie deFourier de f ′ NO pot obtenir-se derivant la de f terme a terme.ATENCIO: Continuıtat de f en TOT R vol dir que ha de sercontınua dins de l’interval basic [−T ,T ], pero tambe que elsvalors en els extrems de l’interval han d’enganxar be per talque la seva extensio periodica sigui contınua. Cal: f (−T ) = f (T ) .


Exemple: La funcio signe revisitada If (x) la funcio signe en l’interval [−π, π] que extenem de forma

2π -periodica a tot R : f (x) = sgn(x) =

{1, si x ∈ (0, π],−1, si x ∈ [−π,0)

.

La seva serie de Fourier es: F [f ](x) = 4π

∞∑k=1

12k − 1

sin ((2k − 1)x).

f (x) no es contınua en R , pero la seva derivada es f ′(x) = 0 entots els punts on f ′(x) esta definida.La serie de Fourier de f ′(x) es F [f ′](x) = 0 i la que s’obtederivant la serie de Fourier de f (x) terme a teme es (diferent):

0 = F [f ′](x) 6= (F [f ])′(x) = 4π

∞∑k=1

cos ((2k − 1)x).

El coeficient a0 = 1π

∫ π−π sgn(x)dx de la serie de Fourier de f (x)

val a0 = 0 . Per tant, la funcio integral F (x) =∫ x

0 f (x)dx tambees periodica de perıode 2π .


Exemple: La funcio signe revisitada IILa serie de Fourier de F (x) s’obte integrant la serie de Fourier def (x) terme a terme:

F [F ](x) =∫ x

0F [f ](x)dx =

4π

∞∑k=1

12k − 1

∫ x

0sin ((2k − 1)x)dx

=4π

∞∑k=1

12k − 1

[− cos((2k − 1)x)

2k − 1

]x

0

=4π

∞∑k=1

1(2k − 1)2︸︷︷︸=

a02

−4π

∞∑k=1

1(2k − 1)2 cos((2k − 1)x).

Per tant, “el coefiecient a0” de la serie de Fourier de F (x) , que

denotem per a0 , val: a0 =8π

∞∑k=1

1(2k − 1)2 .


Exemple: La funcio signe revisitada IIISi trobem l’expressio explıcita per F (x) , aquest coeficient tambeel podem calcular com a0 = 1

π

∫ π−π F (x)dx i per tant donar el

valor de la suma de la serie numerica que ara defineix a0 .Tenim:

F (x) =∫ x

0f (x)dx =

{ ∫ x0 (1)dx = x , si x ∈ (0, π],∫ x

0 (−1)dx = −x , si x ∈ [−π,0)

Per tant, F (x) = |x | (valor absolut) en [−π, π] .

Llavors: a0 = 1π

∫ π−π |x |dx = 2

π

∫ π0 x dx = 2

π

[x2

2

]π0= π .

Finalment:

8π

∞∑k=1

1(2k − 1)2 = a0 = π =⇒

∞∑k=1

1(2k − 1)2 =

π2

8.

(Aixo es: 112 + 1

32 + 152 + 1

72 + · · · = π2

8 . )


Teorema (Identitat de Parseval)f (x) periodica de perıode 2T , f ∈ CT ([−T ,T ]) i considerem la sevaserie de Fourier F [f ](x) = a0

2 +∑

n>0(an cos

(nπxT

)+ bn sin

(nπxT

)).

Si be F [f ](x) no sempre convergeix a f (x) en tots els punts, sique ho fa la seva mitjana quadratica:∫ T

−T(f (x)−F [f ](x))2 dx = 0.

Si expressem l’igualtat anterior en termes dels coeficients deFourier de f (x) , obtenim la Identitat de Parseval:

1T

∫ T

−T(f (x))2 dx =

a20

2+∑n>0

(a2

n + b2n

).

En particular, aixo ens permet concloure que:

limn→∞

an = limn→∞

bn = 0.


Exemple: La funcio valor absolut I

F (x) la funcio valor absolut en l’interval [−π, π] que extenem de

forma 2π -periodica a tot R : F (x) = |x | =

{x , si x ∈ (0, π],−x , si x ∈ [−π,0)

.

A partir dels calculs de l’exemple anterior amb la funcio signe,hem deduıt que la seva serie de Fourier es:

F [F ](x) =π

2− 4π

∞∑k=1

1(2k − 1)2 cos((2k − 1)x).

Els coeficients de Fourier de F (x) son a0 = π , a2k = 0 (parells),

a2k−1 = − 4π(2k − 1)2 (senars) i bn = 0 (tots).∫ π

−π(F (x))2 dx =

∫ π

−π|x |2 dx = 2

∫ π

0x2 dx =

23π3 .


Exemple: La funcio valor absolut II

La identitat de Parseval per F (x) diu:

1π

∫ π

−π(F (x))2 dx =

a20

2+∑n>0

(a2

n + b2n

).

Si substituım les dades anteriors i observem que en el sumatorinomes cal considerar els termes b2

n quan n = 2k − 1 es senar:

1π

(23π3)

=π2

2+∞∑

k=1

(− 4π(2k − 1)2

)2

.

Per tant:

16π2

∞∑k=1

1(2k − 1)4 =

23π2 − π2

2=π2

6=⇒

∞∑k=1

1(2k − 1)4 =

π4

96.


Series de Fourier en forma exponencial complexa

f (x) funcio p = 2T -periodica que te serie de Fourier:

f ∼ F [f ](x) = a0

2+∑

n>0(an cos

(nπxT

)+ bn sin

(nπxT

)).

Recordem que la identitat d’Euler diu:

ei nπxT = cos

(nπxT

)+ i sin

(nπxT

).

Llavors, podem usar-la per escriure la serie de Fourier com:

f ∼ F [f ] =+∞∑

n=−∞cn ei nπx

T .

Els coeficients de Fourier complexos cn es poden calcular com:

cn =1

2T

∫ T

−Tf (x)e−i nπx

T dx =

a0

2, si n = 0,

an − i · bn

2, si n > 0,

a−n + i · b−n

2, si n < 0.


Jordi Villanueva - UPC Universitat Politècnica de Catalunya€¦ · an M an M ˙ per a tot n 2N....

Documents

Transcript of Jordi Villanueva - UPC Universitat Politècnica de Catalunya€¦ · an M an M ˙ per a tot n 2N....