UNIVERSIDAD DE SONORAel estudio de las matem aticas y me enamor e de ellas. Indice Introducci on VII...

UNIVERSIDAD DE SONORA

Division de Ciencias Exactas y Naturales

Programa de Licenciatura en Matematicas

Operadores de Multiplicacion entre Espacios de

Variacion Acotada Generalizada

T E S I S

Que para obtener el tıtulo de:

Licenciada en Matematicas

Presenta:

Ximena Guadalupe Nevarez Rodrıguez

Directora de Tesis: Dra. Martha Guzman Partida

Hermosillo, Sonora, Mexico, Octubre de 2020

SINODALES

Dra. Martha Guzman Partida

Dr. Fernando Luque Vasquez

Dr. J. Adolfo Minjarez Sosa

Dra. Ma. Teresa Robles Alcaraz

A mis padres y a mi hermana.

i

Agradecimientos

Agradezco infinitamente a mis padres, Marina y Rodolfo, por siempre estar para mı incondi-

cionalmente en toda dificultad que se presenta en el camino. A mi hermana, Paloma, por ser mi

mejor amiga y alegrar mis dıas con su sentido del humor. A mis abuelos: Jose, Carmelita, Raul

y a la memoria de mi abuela Marıa Teresa, por siempre estar al pendiente de mı. En especial,

a mi abuelo Jose, por interesarse en mis conocimientos y admirar mis examenes y apuntes, lo

cual me llenaba de satisfaccion. A German, por ser mi mejor amigo y mi motor, por apoyarme

en cada paso de este camino.

A todos los profesores del Departamento de Matematicas por formarme en esta hermosa

ciencia. Especialmente, agradezco a los profesores Marco Antonio Valencia, Eduardo Tellechea,

Adolfo Minjarez, Martha Guzman, Carlos Robles y Fernando Luque, quienes me motivaron

constantemente y siempre estuvieron disponibles para aconsejarme y ayudarme en todo. Un

agradecimiento especial a los profesores Adolfo Minjarez y Eduardo Tellechea, ya que fue gra-

cias a ellos que me decidı a estudiar la licenciatura en matematicas, lo cual ha sido uno de los

regalos mas grandes que me ha dado la vida.

A mi directora de tesis, Martha Guzman, por guiarme en la elaboracion de este trabajo, por

creer en mı siempre y motivarme a cumplir todas mis metas, por todos los excelentes cursos que

me impartio y por ser un modelo a seguir para mı en todos los aspectos. De igual manera, agra-

dezco a mis sinodales: Fernando Luque, Adolfo Minjarez y Marıa Teresa Robles, por el tiempo

iii

iv

que dedicaron a la revision de este trabajo en medio de una contingencia.

A todos mis companeros de generacion. En especial a Marıa Fernanda, Martha Ines e Itzia.

Gracias por todas esas horas de estudio, risas, frustracion y terapia, sin ustedes nada hubiera

sido posible, todo valio la pena.

Por ultimo, agradezco a Dios porque sin darme cuenta y sin que yo lo planeara me guio hacia

el estudio de las matematicas y me enamore de ellas.

Indice

Introduccion VII

1 Espacio de Variacion Acotada Clasica 11.1 Funciones de Variacion Acotada Clasica 2

1.1.1 Principio de Seleccion de Helly 201.2 Variacion Acotada y Continuidad 26

2 Espacios de Variacion Acotada Generalizada 312.1 Espacio de Variacion de Wiener Acotada 322.2 Espacio de Variacion de Riesz Acotada 49

3 Variacion Acotada y Dualidad 633.1 Variacion Acotada Clasica y Dualidad 64

3.1.1 Teorema de Representacion para Funcionales en el Dual de C[a, b] 653.1.2 Relacion de Equivalencia en BV [a, b] 703.1.3 Funciones Normalizadas de Variacion Acotada 753.1.4 El Espacio Dual de C[a,b] 80

3.2 Variacion de Riesz Acotada y Dualidad 83

4 Operadores de Multiplicacion 914.1 Operadores de Multiplicacion en BV[0,1] 92

4.1.1 Operadores de Multiplicacion Acotados Inferiormente en BV [0, 1] 944.2 Operadores de Multiplicacion entre WBVp[0, 1] y WBVq[0, 1] 99

Conclusiones 109

Bibliografıa 110

v

vi Indice

Introduccion

El espacio de funciones de variacion acotada en un intervalo [a, b] es de gran importancia en

matematicas y se ha generalizado en diferentes direcciones a partir de su definicion clasica dada

en 1881 por Camille Jordan [9, 10]. Tanto este espacio como sus generalizaciones surgieron en la

busqueda de condiciones suficientes para la convergencia de la serie de Fourier de una funcion,

con el fin de extender el criterio obtenido por Johan Peter Gustave Lejeune Dirichlet en 1829,

que asegura la convergencia puntual de la serie de Fourier de una funcion monotona a trozos.

Una generalizacion del concepto de variacion acotada clasica es el de p-variacion de Wiener

acotada, introducido por Norbert Wiener en 1924 [17]. Mas tarde, este concepto fue generalizado

por Laurence C. Young en 1937. Otra nocion de p-variacion acotada que generaliza a la variacion

acotada clasica es la p-variacion de Riesz acotada introducida por Frigyes Riesz en 1910 [14, 15],

la cual a su vez fue generalizada en 1953 por Yurij T. Medvedev.

El objetivo principal de esta tesis es obtener una caracterizacion para los operadores de mul-

tiplicacion actuando entre espacios de variacion acotada clasica y generalizada, especıficamente

el espacio de variacion de Wiener acotada. Con el afan de conocer lo mejor posible a los espacios

de variacion acotada para poder adentrarnos en el estudio de operadores definidos entre ellos,

dedicamos gran parte de la tesis al estudio de propiedades importantes del espacio de variacion

acotada clasica, BV [a, b] y un par de generalizaciones importantes de este que nos seran de

utilidad.

vii

viii Indice

Dedicamos el primer capıtulo al estudio del espacio de variacion acotada clasica. Presentamos

algunas de sus propiedades mas importantes y probamos que es posible convertirlo en un espacio

de Banach con la definicion de una norma adecuada. Obtenemos una caracterizacion a partir de

funciones monotonas para las funciones en este espacio, lo cual no resulta extrano al tomar en

consideracion el proposito con el que fue definida originalmente la variacion acotada. Obtene-

mos adicionalemente, un resultado de compacidad para funciones en BV [a, b], conocido como el

Principio de Seleccion de Helly. Finalmente, estudiamos las relaciones que guarda este espacio

con otros espacios de funciones interesantes en analisis, como lo son el espacio de funciones abso-

lutamente continuas en un intervalo y el espacio de funciones Lipschitz continuas en un intervalo.

En el segundo capıtulo, estudiamos dos generalizaciones del espacio de variacion acotada

clasica: el espacio de variacion de Wiener acotada, WBVp[a, b] y el espacio de variacion de Riesz

acotada, RBVp[a, b]. Mostramos que en cada uno de estos espacios es posible generalizar algunas

propiedades y resultados agradables del espacio BV [a, b] .

En el caso del estudio del espacio WBVp[a, b], presentamos algunos resultados de funciones

convexas con la finalidad de obtener una relacion de contencion entre espacios WBVp[a, b] y

WBVq[a, b] para 1 ≤ p ≤ q <∞. Proporcionamos adicionalmente una familia muy particular de

funciones que nos permite mostrar una contencion propia entre ellos.

Por otro lado, en el estudio del espacio RBVp[a, b], presentamos un resultado muy interesante,

conocido como Lema de Riesz, el cual caracteriza por completo y de una manera conveniente a las

funciones en este espacio. De manera analoga a lo llevado a cabo en el espacio WBVp[a, b], esta-

blecemos una relacion de contencion entre espacios RBVp[a, b] y RBVq[a, b] para 1 ≤ p ≤ q <∞.

Dedicamos el tercer capıtulo a la obtencion de un resultado de representacion para los ele-

mentos en subespacios de BV [a, b] y RBVp[a, b] como elementos de espacios duales. Para ello,

Indice ix

construimos isomorfismos isometricos por medio de integrales de Riemann-Stieltjes.

Finalmente, dedicamos el cuarto capıtulo al estudio de operadores de multiplicacion en los

espacios de variacion acotada que estudiamos a fondo en los capıtulos previos. Obtenemos un

resultado de caracterizacion para operadores de multiplicacion actuando en el espacio BV [a, b],

ası como tambien para el caso particular de los operadores de multiplicacion inferiormente acota-

dos actuando en este espacio. Adicionalmente, caracterizamos a los operadores de multiplicacion

entre espacios de variacion de Wiener acotada WBVp[a, b] y WBVq[a, b] para 1 ≤ p ≤ q < ∞.

Todo esto haciendo uso de los resultados obtenidos a lo largo de la tesis.

x Indice

Capıtulo 1

Espacio de Variacion Acotada

Clasica

El estudio de las funciones de variacion acotada comienza en 1881 cuando Camille Jordan

[9, 10] buscaba una condicion suficiente para que una funcion f tuviera una serie de Fourier que

convergiera a f . En su busqueda, C. Jordan obtuvo un resultado conocido como Teorema de

Dirichlet-Jordan que muestra la convergencia de la serie de Fourier de una funcion f de variacion

acotada.

A partir de entonces, las funciones de variacion acotada han sido de gran importancia para el

estudio en areas como el analisis real, analisis funcional, teorıa de la medida, analisis de Fourier,

por mencionar algunas. En este primer capıtulo, llevaremos a cabo un analisis detallado del

espacio de funciones de variacion acotada clasica BV [a, b]. Presentaremos algunas propiedades

basicas de este espacio y estudiaremos la descomposicion de Jordan para funciones en BV [a, b],

ası como tambien, el principio de seleccion de Helly para sucesiones acotadas de funciones en

BV [a, b]. En la ultima seccion, consideraremos las relaciones que guarda BV [a, b] con otros

espacios de interes, como lo son el espacio de funciones absolutamente continuas y Lipschitz

continuas. Los resultados presentados en este capıtulo fueron tomados de [2], [5] y [12].

1

2 CAPITULO 1. ESPACIO DE VARIACION ACOTADA CLASICA

1.1. Funciones de Variacion Acotada Clasica

Iniciaremos con la definicion y algunas propiedades importantes del espacio de funciones de

variacion acotada clasica.

A lo largo de esta tesis, denotaremos como P[a, b] a la familia de todas las particiones

del intervalo [a, b], es decir todos los conjuntos finitos P = {t0, t1, ..., tm}, con m ∈ N y

a = t0 < t1 < ... < tm−1 < tm = b.

Definicion 1.1.1. Dada una particion P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[a, b] y una funcion f : [a, b]→ R,

el numero real no negativo

V ar(f, P ; [a, b]) :=m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|. (1.1.1)

se llama variacion de f en [a, b] con respecto a P.

El numero, posiblemente infinito

V ar(f ; [a, b]) := sup{V ar(f, P ; [a, b]) | P ∈P[a, b]}. (1.1.2)

donde tomamos el supremo sobre todas las posibles particiones del intervalo [a, b], se llama va-

riacion total de f en [a, b].

Si V ar(f ; [a, b]) <∞, decimos que f es una funcion de variacion acotada en [a, b]. Denota-

mos al conjunto de funciones de variacion acotada en [a, b] como BV [a, b].

Proposicion 1.1.1. La variacion y la variacion total de una funcion en un intervalo poseen las

siguientes propiedades:

1.1. FUNCIONES DE VARIACION ACOTADA CLASICA 3

(a) La variacion total es subaditiva con respecto a funciones, esto es,

V ar(f + g; [a, b]) ≤ V ar(f ; [a, b]) + V ar(g; [a, b]). (1.1.3)

para f, g : [a, b]→ R.

(b) La variacion total es homogenea respecto a funciones, es decir, para µ ∈ R

V ar(µf ; [a, b]) = |µ|V ar(f ; [a, b]). (1.1.4)

(c) Para toda x, y ∈ [a, b] con x < y

|f(x)− f(y)| ≤ V ar(f ; [x, y]). (1.1.5)

(d) Cada funcion f ∈ BV [a, b] es acotada y se cumple

‖f‖∞ := supx∈[a,b]

|f(x)| ≤ |f(a)|+ V ar(f ; [a, b]). (1.1.6)

(e) Toda funcion monotona f : [a, b]→ R pertenece a BV [a, b] y tiene variacion total

V ar(f ; [a, b]) = |f(a)− f(b)|. (1.1.7)

(f) La variacion es monotona respecto a particiones, es decir, para P,Q ∈P[a, b] y P ⊆ Q

V ar(f, P ; [a, b]) ≤ V ar(f,Q : [a, b]). (1.1.8)

(g) La variacion total es aditiva respecto a intervalos, es decir, para a < c < b

V ar(f ; [a, b]) = V ar(f ; [a, c]) + V ar(f ; [c, b]). (1.1.9)

Demostracion. (a) Sean f, g : [a, b] → R, y cualquier particion P = {to, ..., tm} ∈ P[a, b],

entonces

V ar(f + g, P ; [a, b]) =

m∑j=1

|(f + g)(tj)− (f + g)(tj−1)|

≤m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|+m∑j=1

|g(tj)− g(tj−1)|

= V ar(f, P ; [a, b]) + V ar(g, P ; [a, b])

≤ V ar(f ; [a, b]) + V ar(g; [a, b]).


De aquı que para toda P ∈P[a, b]

V ar(f + g, P ; [a, b]) ≤ V ar(f ; [a, b]) + V ar(g; [a, b]).

Lo cual implica

V ba (f + g) ≤ V b

a (f) + V ba (g).

(b) Sea µ ∈ R, entonces

V ar(µf, P ; [a, b]) =m∑j=1

|(µf)(tj)− (µf)(tj−1)|

= |µ|m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|

= |µ|V ar(f, P ; [a, b])

≤ |µ|V ar(f ; [a, b]).

De aquı que para toda P ∈P[a, b]

V ar(µf, P ; [a, b]) ≤ |µ|V ar(f ; [a, b]).

Por lo tanto

V ar(µf ; [a, b]) ≤ |µ|V ar(f ; [a, b]). (1.1.10)

Por otro lado, tenemos de igual manera que para toda P ∈P[a, b]:

|µ|V ar(f, P ; [a, b]) = V ar(µf, P ; [a, b]) ≤ V ar(µf ; [a, b]).

Por lo tanto

|µ|V ar(f ; [a, b]) ≤ V ar(µf ; [a, b]). (1.1.11)

De (1.1.10) y (1.1.11) obtenemos el resultado deseado.

(c) Consideremos la particion P = {x, y} ∈P[x, y], tenemos entonces

|f(x)− f(y)| = V ar(f, P ; [a, b]) ≤ V ar(f ; [a, b]).


(d) Sea x ∈ [a, b] fija, consideremos la particion Px = {a, x, b} ∈P[x, y]. Tenemos entonces

|f(x)| − |f(a)| ≤ |f(x)− f(a)|

≤ |f(b)− f(x)|+ |f(x)− f(a)|

= V ar(f, Px; [a, b]).

De aquı obtenemos que para toda x ∈ [a, b]

|f(x)| ≤ |f(a)|+ V ar(f ; [a, b]).

Por lo tanto

‖f‖∞ ≤ |f(a)|+ V ar(f ; [a, b]).

(e) Sea P = {t0, t1..., tm} ∈P[a, b] y f : [a, b]→ R creciente, entonces

V ar(f, P ; [a, b]) =m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|

=m∑j=1

[f(tj)− f(tj−1)]

= f(b)− f(a).

Como P es arbitraria y f(b)− f(a) no depende de P , entonces

V ar(f ; [a, b]) = f(b)− f(a).

Si f es decreciente, utilizando el mismo argumento obtenemos

V ar(f ; [a, b]) = |f(b)− f(a)|.

(f) Sean P,Q ∈P[a, b] tal que Q posee un punto mas que P , digamos,

P = {t0, t1, ..., tm} Q = {t0, t1, ..., tj−1, l, tj , ..., tm}.


Entonces

V ar(f,Q) =

j−1∑k=1

|f(tk)− f(tk−1)|+ |f(tj)− f(l)|

+ |f(l)− f(tj−1)|+m∑

k=j+1

|f(tk)− f(tk−1)|

≥j−1∑k=1

|f(tk)− f(tk−1)|+ |f(tj)− f(tj−1)|

+m∑

k=j+1

|f(tk)− f(tk−1)|

= V ar(f, P ).

Por tanto, si Q posee un punto mas que P

V ar(f, P ; [a, b]) ≤ V ar(f,Q; [a, b]).

Llevando a cabo un proceso inductivo, se sigue que si P ⊆ Q, entonces

V ar(f, P ; [a, b]) ≤ V ar(f,Q; [a, b]).

(g) Sea P1 ∈P[a, c] y P2 ∈P[c, b], digamos,

P1 = {t0, t1, ..., tm} P2 = {r0, r1, ..., rl}.

Notemos que P := P1 ∪ P2 ∈P[a, b] y ası

V ar(f, P1; [a, c]) + V ar(f, P2; [c, b]) =

m∑k=1

|f(tk)− f(tk−1)|+l∑

k=1

|f(rk)− f(rk−1)|

= V ar(f, P ; [a, b])

≤ V ar(f ; [a, b]).

Como P1 y P2 son particiones arbitrarias de [a, c] y [c, b] respectivamente, tomando supremo

sobre las particiones de [a, c] y [c, b], obtenemos

V ar(f ; [a, c]) + V ar(f ; [c, b]) ≤ V ar(f ; [a, b]). (1.1.12)


Ahora, sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P[a, b], existe k ∈ {1, ...,m} tal que tk−1 ≤ c ≤ tk.

Definimos la nueva particion P = {t0, t1, ..., tk−1, c, tk, ..., tm} ∈ P[a, b]. Notemos que P =

P1 ∪ P2, donde P1 = {t0, t1, ..., tk−1, c} ∈ P[a, c] y P1 = {c, tk, ..., tm} ∈ P[c, b]. Como

P ⊆ P , por (1.1.8)

V ar(f, P ; [a, b]) ≤ V ar(f, P ; [a, b])

= V ar(f, P1; [a, c]) + V ar(f, P2; [c, b])

≤ V ar(f ; [a, c]) + V ar(f ; [c, b]).

Tomando supremos sobre todas las particiones del intervalo [a, b], obtenemos

V ar(f ; [a, b]) ≤ V ar(f ; [a, c]) + V ar(f ; [c, b]). (1.1.13)

De (1.1.12) y (1.1.13) se sigue

V ar(f ; [a, b]) = V ar(f ; [a, c]) + V ar(f ; [c, b]).

Observacion 1.1.1. No toda funcion de variacion acotada es monotona. De hecho, existe una

funcion de variacion acotada que no es monotona en ningun intervalo.

Ejemplo 1.1.1. Ordenamos los numeros racionales en el intervalo [0, 1] en una sucesion, es

decir [0, 1] ∩Q = {r1, r2, ...} y definimos la funcion f : [0, 1]→ R por

f(t) :=

2−k t = rk,

0 o.c.

(1.1.14)

Claramente, f no es monotona en ningun intervalo, por la densidad de Q y Qc en R.

Afirmamos que V ar(f ; [0, 1]) = 2 y ası f ∈ BV [0, 1].


Demostracion. Introducimos la siguiente notacion que nos sera util en esta prueba. Para una

funcion acotada f : [a, b] → R y cualquier subconjunto A ⊆ [a, b], definimos la oscilacion de f

en A como

Osc(f ;A) := supt∈A

f(t)− ınft∈A

f(t).

Sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[0, 1] y j ∈ {1, 2, ...,m} fijo, definimos

kj := mın{i | ri ∈ [tj−1, tj ].}

Observemos que cada numero en la sucesion finita {k1, k2, ..., km} puede aparecer a lo mas dos

veces, esto ocurre cuando es el extremo derecho de un intervalo y el extremo izquierdo de su

intervalo adyacente. De esto se sigue que

V ar(f, P ; [0, 1]) =m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|

≤m∑j=1

Osc(f, [tj−1, tj ])

=

m∑j=1

2−kj ≤ 2

∞∑j=1

2−j = 2.

Por lo tanto, tenemos la desigualdad

V ar(f ; [0, 1]) ≤ 2. (1.1.15)

y ası f ∈ BV [0, 1].

Para probar la igualdad, construiremos una particion especial. Sea n ∈ N fijo, reordenamos

los primeros n racionales r1, r2, ..., rn en orden creciente, es decir, r1 < r2 < ... < rn. Luego,

hacemos:

s0 := 0 , s1 := r1 , s3 := r2 , s5 := r3 , ... , s2n−1 := rn , s2n := 1.

y escogemos irracionales de la siguiente manera:

s2 ∈ (s1, s3) , s4 ∈ (s3, s5) , s6 ∈ (s5, s7) , ... , s2n−2 ∈ (s2n−3 , s2n−1).


Ahora, consideremos la particion Pn = {s0, s1, ..., s2n} ∈P[0, 1]. Tenemos entonces

V ar(f, Pn; [0, 1]) =2n∑j=1

|f(sj)− f(sj−1)|

=

2n∑j=1

21−j = 2

2n∑j=1

2−j

= 2(1− 2−2n).

Notemos que esto implica

sup{V ar(f, Pn; [0, 1]) | n ∈ N} = 2.

Y ası

V ar(f ; [0, 1]) ≥ 2. (1.1.16)

De (1.1.15) y (1.1.16), concluimos

V ar(f ; [0, 1]) = 2.

En el ejemplo previo pudimos notar que las funciones de variacion acotada no poseen un

comportamiento de monotonıa, sin embargo hay una relacion especial entre las funciones de

variacion acotada y las funciones monotonas. Esta relacion fue presentada por C. Jordan y se

conoce como descomposicion de Jordan. A continuacion proporcionamos una prueba para este

resultado.

Teorema 1.1.2. (Descomposicion de Jordan) Una funcion f : [a, b]→ R es de variacion acotada

si y solamente si se puede representar en la forma

f = pf − nf ,

donde pf y nf son funciones monotonas crecientes.


Demostracion. El resultado de que la suma o diferencia de dos funciones monotonas tiene va-

riacion acotada se sigue de inmediato de (1.1.3) y (1.1.7).

Para la otra implicacion, dada f ∈ BV [a, b], consideremos la funcion Vf : [a, b]→ R definida

como

Vf (x) := V ar(f ; [a, x]). (1.1.17)

Esta funcion se llama funcion de variacion de f .

Tomamos pf := Vf . Claramente pf es creciente, ya que si a ≤ x < y ≤ b

Vf (y) = V ar(f, [a, y]) = V ar(f, [a, x]) + V ar(f, [x, y]).

Entonces

Vf (x) = V ar(f, [a, x]) ≤ Vf (y),

y ademas tenemos que

Vf (a) = 0 , Vf (b) = V ar(f, [a, b]).

Basta probar que nf := Vf − f es una funcion creciente.

Sea a ≤ x < y ≤ b, entonces

f(y)− f(x) ≤ V ar(f, [x, y]) = Vf (y)− Vf (x),

por (1.1.5) y (1.1.9). Se sigue entonces que

nf (y)− nf (x) = Vf (y)− f(y)− Vf (x) + f(x)

= (Vf (y)− Vf (x))− (f(y)− f(x)) ≥ 0.

Por lo tanto

f = pf − nf ,

donde, pf y nf definidas anteriormente son monotonas crecientes.


El siguiente resultado es una leve modificacion del teorema previo.

Teorema 1.1.3. Una funcion f : [a, b]→ R es de variacion acotada si y solamente si se puede

representar en la forma

f = pf − nf + f(a),

donde pf y nf son monotonas crecientes, no negativas.

Demostracion. Definimos pf , nf : [a, b]→ R como

pf (x) :=1

2(Vf (x) + f(x)− f(a)) , nf (x) :=

1

2(Vf (x)− f(x) + f(a)) ,

donde Vf es la funcion definida en (1.1.17).

Por construccion

f(x) = pf (x)− nf (x) + f(a) , Vf (x) = pf (x) + nf (x).

Para a ≤ x < y ≤ b, tenemos por (1.1.15)

pf (y)− pf (x) =1

2[Vf (y)− Vf (x) + f(y)− f(x)]

=1

2[(Vf (y)− Vf (x))− (f(x)− f(y))] ≥ 0.

Analogamente

nf (y)− nf (x) =1

2[Vf (y)− Vf (x)− f(y) + f(x)]

=1

2[(Vf (y)− Vf (x))− (f(y)− f(x))] ≥ 0.

Por tanto pf y nf son funciones crecientes, y como pf (a) = 0 y nf (a) = 0, concluimos que pf y

nf son no negativas.

La funcion de variacion, definida en (1.1.17), posee varias propiedades interesantes, e incluso,

veremos mas adelante que algunas propiedades de f ∈ BV [a, b] se “reflejan” en Vf y viceversa.

Tambien podemos utilizar la funcion de variacion para probar la siguiente proposicion.


Proposicion 1.1.4. Una funcion f : [a, b] → R pertenece a BV [a, b], si y solo si existe una

funcion creciente g : [a, b] → R tal que |f(x) − f(y)| ≤ g(y) − g(x) para cualquier intervalo

[x, y] ⊆ [a, b].

Demostracion. Supongamos que f ∈ BV [a, b]. Sea g := Vf , la funcion variacion (1.1.17).

Tenemos entonces por (1.1.5)

|f(x)− f(y)| ≤ V ar(f ; [x, y]) = g(y)− g(x).

Recıprocamente, si existe g : [a, b]→ R creciente tal que |f(x)−f(y)| ≤ g(y)−g(x) para cualquier

intervalo [x, y] ⊆ [a, b]. Entonces, dada una particion arbitraria P = {t0, ..., tm} ∈ P[a, b],

tenemos

V ar(f, P ; [a, b]) =m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)| ≤m∑j=1

g(tj)− g(tj−1)

= V ar(g, P ; [a, b]) ≤ V ar(g; [a, b])

= g(b)− g(a),

por ser g monotona creciente.

Como esto se cumple para toda P ∈P[a, b], entonces

V ar(f ; [a, b]) ≤ g(b)− g(a).

Por tanto f ∈ BV [a, b].

El siguiente resultado muestra como la continuidad de una funcion f ∈ BV [a, b] se refleja en

la funcion variacion Vf y viceversa.

Teorema 1.1.5. Si f ∈ BV [a, b] es continua en algun punto x0 ∈ [a, b], entonces la funcion Vf

es tambien continua en x0. El recıproco es tambien cierto.


Demostracion. Sea ε > 0 y f una funcion continua en x0 ∈ [a, b]. Sea x0 < x < b, consideremos

la diferencia Vf (x)− Vf (x0).

Para esto tomemos P = {t0, ..., tm} ∈P[x0, b] tal que

V ar(f, [x0, b]) < V ar(f, P ; [x0, b]) + ε.

Siempre podemos encontrar tal P ∈P[a, b] por la definicion de la variacion total.

Ahora, por la continuidad de f en x0, escogemos δ ∈ (0, t1 − x0) tal que

|f(x)− f(x0)| < ε para 0 < x− x0 < δ.

Entonces para x ∈ [a, b] tal que 0 < x− x0 < δ, tenemos

Vf (x)− Vf (x0) = V ar(f ; [x0, b])− V ar(f ; [x, b])

< V ar(f, P ; [x0, b]) + ε− V ar(f ; [x, b])

≤m∑j=2

|f(tj)− f(tj−1)|+ |f(x)− f(t1)|+ |f(x)− f(x0)| − V ar(f ; [x, b]) + ε

≤ V ar(f ; [t1, b])− V ar(f ; [x, b]) + |f(x)− f(t1)|+ |f(x)− f(x0)|+ ε

= −V ar(f ; [x, t1]) + |f(x)− f(t1)|+ |f(x)− f(x0)|+ ε

≤ |f(x)− f(x0)|+ ε ≤ 2ε.

Esto prueba que Vf es continua por la derecha. La continuidad de Vf por la izquierda es analoga.

Recıprocamente, supongamos que Vf es continua en un punto x0 ∈ [a, b].

Si x > x0

|f(x)− f(x0)| ≤ V ar(f ; [x0, x]) = Vf (x)− Vf (x0)→ 0 si x→ x+0 .

Si x < x0

|f(x)− f(x0)| ≤ V ar(f ; [x, x0]) = Vf (x0)− Vf (x)→ 0 si x→ x−0 .

Por lo tanto f es tambien continua en x0.


A partir de los Teoremas 1.1.3 y 1.1.5 podemos observar que algunas propiedades agradables

de las funciones monotonas, como lo son la Riemann integrabilidad y la diferenciabilidad, se

presentan tambien en las funciones de variacion acotada.

En particular, una funcion f ∈ BV [a, b], al ser la diferencia de dos funciones monotonas, tie-

ne a lo sumo una cantidad numerable de puntos de discontinuidad en [a, b], siendo todos puntos

de discontinuidad de salto o removible.

Por otro lado, el ejemplo que se presenta a continuacion muestra que existen funciones con-

tinuas en un intervalo que no son de variacion acotada ahı.

Ejemplo 1.1.2. Sea f : [a, b]→ R, definida como

f(x) :=

xsen

(1x

)0 < x ≤ 1,

0 x = 0.

(1.1.18)

Claramente f es continua en [0, 1], sin embargo f /∈ BV [a, b].

1

x

f(x)

Figura 1.1: Grafica de la funcion f .


Demostracion. Para m ∈ N, hacemos Pm = {t0, t1, ..., tm} ∈ P[0, 1] tal que tj−1 y tj sean el

maximo y el mınimo de f de manera alternante, esto es,

t0 := 0, t1 :=2

(2m− 1)π, t2 :=

2

(2m− 3)π, ... ,

... , tm−2 :=2

5π, tm−1 :=

2

3π, tm := 1.

De este modo para cualquier j ∈ {2, ...,m− 1} con m ∈ N

|f(tj)− f(tj−1)| =2

(2(m− j) + 1)π+

2

(2(m− j) + 3)π≥ 2tj−1.

Entonces, tenemos que

V ar(f, Pm, [0, 1]) =m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)| ≥m∑j=1

2tj−1.

A partir de la divergencia de la serie armonica, concluimos que la serie∑∞

j=1 2tj−1 diverge. Esto

implica que

sup{V ar(f, Pm; [0, 1]) | m ∈ N} =∞.

Por lo tanto, tenemos que

V ar(f ; [0, 1]) =∞,

de lo cual concluimos que f no es de variacion acotada en [0, 1].

A continuacion presentamos un resultado que nos permite afirmar, bajo ciertas condiciones,

que el lımite puntual de una sucesion de funciones en BV [a, b] pertenece a BV [a, b].

Proposicion 1.1.6. Sea (fn)∞n=1 ⊂ BV [a, b], tal que (fn)∞n=1 converge puntualmente en [a, b] a

una funcion f . Entonces

V ar(f ; [a, b]) ≤ lım infn→∞

V ar(fn; [a, b]). (1.1.19)

Por consecuencia, el lımite puntual de una sucesion de funciones con variaciones totales acotadas

uniformemente en [a, b] es una funcion de variacion acotada en [a, b].


Demostracion. Si el lado derecho de (1.1.19) es infinito, no hay nada que probar. Supongamos

entonces que lım infn→∞ V ar(fn; [a, b]) es finito.

Sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[a, b], entonces

V ar(f, P ; [a, b]) = lımn→∞

m∑j=1

|fn(tj)− fn(tj−1)|

= lımn→∞

V ar(fn, P ; [a, b]).

Ahora, notemos que para toda n ∈ N

V ar(fn, P ; [a, b]) ≤ V ar(fn; [a, b]).

Entonces:

lım infn→∞

V ar(fn, P ; [a, b]) ≤ lım infn→∞

V ar(fn; [a, b]),

y como

lım infn→∞

V ar(fn, P ; [a, b]) = lımn→∞

V ar(fn, P ; [a, b]) = V ar(f, P ; [a, b]),

entonces para P ∈P[a, b]

V ar(f, P ; [a, b]) ≤ lım infn→∞

V ar(fn; [a, b]).

Por lo tanto

V ar(f ; [a, b]) ≤ lım infn→∞

V ar(fn; [a, b]).

Nos interesa ahora describir la estructura del conjunto BV [a, b]. Para esto, notemos que

como consecuencia de (1.1.3) y (1.1.4), BV [a, b] es un espacio vectorial real con respecto a las

operaciones usuales de funciones. Para una funcion f ∈ BV [a, b], definimos

‖f‖BV := |f(a)|+ V ar(f ; [a, b]). (1.1.20)

Es sencillo ver que (1.1.20) define una norma en el espacio BV [a, b], por lo tanto tenemos que


(BV [a, b], ‖.‖BV ) es un espacio normado. La siguiente propiedad importante que nos interesa

para conocer la estructura de este espacio es la completez. En la siguiente proposicion aborda-

mos este punto.

Proposicion 1.1.7. El espacio (BV [a, b], ‖.‖BV ) es un espacio de Banach.

Demostracion. Sea (fn)∞n=1 una sucesion de Cauchy en el espacio (BV [a, b], ‖.‖BV ), entonces

dado ε > 0 existe N ∈ N tal que si n,m ≥ N1

‖fn − fm‖BV = |(fn − fm)(a)|+ V ar(fn − fm; [a, b]) ≤ ε

2.

Notemos que por (1.1.6) esto implica que si n,m ≥ N1

‖fn − fm‖∞ ≤ε

2.

Como el espacio (B[a, b], ‖.‖∞) de las funciones acotadas con la norma del supremo es un espacio

de Banach, y toda funcion de variacion acotada en un intervalo es acotada, entonces existe una

funcion acotada f : [a, b]→ R tal que (fn)∞n=1 converge uniformemente en [a, b] a f .

Probemos que fnBV−−→ f , es decir que (fn)∞n=1 converge a f en la norma (1.1.20).

Sea P = {t0, t1, ..., tr} ∈P[a, b], entonces tenemos que para m,n ≥ N1

‖fn − fm‖BV ≤ε

2.

Por definicion de la norma (1.1.20), esto implica que para m,n ≥ N1

V ar(fn − fm, P ; [a, b]) ≤ ε

2.

Entonces por ser f el lımite uniforme de (fn)∞n=1 , tenemos que para n ≥ N1

V ar(fn − f, P ; [a, b]) = lımm→∞

r∑k=1

|(fn − fm)(tk)− (fn − fm)(tk−1)| ≤ε

2.

Esto implica entonces que para n ≥ N1

V ar(fn − f ; [a, b]) ≤ ε

2.


Ahora, por ser f el lımite uniforme y consecuentemente puntual de (fn)∞n=1, para ε2 > 0 existe

N2 ∈ N tal que si n ≥ N2

|fn(a)− f(a)| ≤ ε

2.

Entonces para n ≥ N = max{N1, N2}

‖fn − f‖BV = |(fn − f)(a)|+ V ar(fn − f ; [a, b]) ≤ ε.

Por lo tanto fnBV−−→ f .

Resta probar que f ∈ BV [a, b]. Para esto, notemos que (fn)∞n=1 es una sucesion acotada en

(BV [a, b], ‖.‖BV ), ya que para m,n ≥ N

‖fn‖BV ≤ ε+ ‖fm‖BV .

Al tomar M = max{ε+ ‖fN‖BV , ‖f1‖BV , ..., ‖fN−1‖BV }, tenemos que para toda n ∈ N

‖fn‖BV ≤M,

de aquı que para toda n ∈ N

V ar(fn; [a, b]) ≤M.

Ası (fn)∞n=1es una sucesion de funciones con variaciones acotadas uniformemente en [a, b] y por

la Proposicion 1.1.6 su lımite puntual f es tal que f ∈ BV [a, b]. Por tanto (BV [a, b], ‖.‖BV ) es

un espacio de Banach.

Otra propiedad importante del espacio BV [a, b] es que el producto de dos funciones en

BV [a, b] es tambien una funcion en BV [a, b]. Aun mas, el espacio BV [a, b] con norma (1.1.20)

es un algebra de Banach. Presentamos una prueba de esto en la siguiente proposicion.

Proposicion 1.1.8. BV [a, b] es un algebra que satisface

V ar(fg; [a, b]) ≤ ‖f‖∞V ar(g; [a, b]) + ‖g‖∞V ar(f ; [a, b]), (1.1.21)


para toda f, g ∈ BV [a, b].

Ademas, tenemos la desigualdad

‖fg‖BV ≤ ‖f‖BV ‖g‖BV , (1.1.22)

para f, g ∈ BV [a, b], por lo cual BV [a, b] es un algebra normalizada.

Demostracion. Sean f, g ∈ BV [a, b] y P ∈P[a, b]. Por (1.1.6), f y g son acotadas y tenemos

V ar(fg, P ; [a, b]) =m∑j=1

|f(tj)g(tj)− f(tj−1)g(tj−1)|

=m∑j=1

|[f(tj)− f(tj−1)]g(tj) + [g(tj)− g(tj−1)]f(tj−1)|

≤m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)||g(tj)|+m∑j=1

|g(tj)− g(tj−1)||f(tj−1)|

≤ V ar(f ; [a, b])‖g‖∞ + V ar(g; [a, b])‖f‖∞.

Como esto se cumple para P ∈P[a, b] arbitraria, entonces

V ar(fg; [a, b]) ≤ V ar(f ; [a, b])‖g‖∞ + V ar(g; [a, b])‖f‖∞.

Probemos ahora (1.1.22). Escribimos a f y g en sus respectivas descomposiciones definidas en

el Teorema 1.1.3,

f = pf − nf + f(a) , g = pg − ng + g(a).

Notemos que por el Teorema 1.1.3 tenemos que

‖f‖BV = V ar(f ; [a, b]) + |f(a)| = pf + nf + |f(a)|,

‖g‖BV = V ar(g; [a, b]) + |g(a)| = pg + ng + |g(a)|.

Ahora usando las descomposiciones de f y g, obtenemos su producto

fg = pfpg + nfng + f(a)pg

+ g(a)pf − nfpg − ngpf

− f(a)ng − g(a)nf + f(a)g(a).


Notemos que cada termino, a excepcion del ultimo que es constante, es una funcion monotona,

y es igual a cero cuando se evalua en a.

Utilizando la observacion previa y aplicando la desigualdad del triangulo para la norma en

BV [a, b], tenemos

‖fg‖BV ≤ ‖pfpg‖BV + ‖nfng‖BV + ‖f(a)pg‖BV + ‖g(a)pf‖BV + ‖nfpg‖BV

+ ‖ngpf‖BV + ‖f(a)ng‖BV + ‖g(a)nf‖BV + |f(a)||g(a)|

= pf (b)pg(b) + nf (b)ng(b) + |f(a)|pg(b) + |g(a)|pf (b) + nf (b)pg(b)

+ ng(b)pf (b) + |f(a)|ng(b) + |g(a)|nf (b) + |f(a)||g(a)|

= [pf (b) + nf (b) + |f(a)|][pg(b) + ng(b) + |g(a)|]

= ‖f‖BV ‖g‖BV .

A partir de la proposicion previa concluimos que el espacio BV [a, b] con la norma que hemos

venido utilizando, esta incluido continuamente en el espacio B[a, b] con la norma del supremo.

La importancia de este resultado radica en el hecho de que la convergencia en un espacio implica

la convergencia en el otro, lo cual resulta muy util en el analisis.

Proposicion 1.1.9. (BV [a, b], ‖‖BV ) esta incluido continuamente en (B[a, b], ‖‖∞).

Demostracion. Se sigue de (1.1.6)

1.1.1. Principio de Seleccion de Helly

La Proposicion 1.1.6 muestra que la variacion finita se transmite de una sucesion de funciones

con variaciones totales acotadas uniformemente a su lımite puntual, en caso de que este lımite

exista.


En 1912, E. Helly [8] utilizo la descomposicion dada por Jordan para obtener un resultado

de compacidad para funciones de variacion acotada. Este resultado se conoce como principio de

seleccion de Helly y nos permite asegurar la existencia de los lımites puntuales en la Proposicion

1.1.6. En esta seccion nos dedicamos a dar una prueba del principio de seleccion de Helly, para

ello, presentamos algunos resultados auxiliares.

Lema 1.1.10. Sea H = (fi)i∈I una familia de funciones definidas en [a, b] con valores reales.

Supongamos que existe K > 0 tal que

|fi(x)| ≤ K ∀i ∈ I, ∀x ∈ [a, b]. (1.1.23)

Entonces para cualquier subconjunto numerable E ⊂ [a, b], es posible encontrar una sucesion

(fn)∞n=1 de la familia H que converja en cada punto de E.

Demostracion. Sea E = (xk)∞k=1, consideremos el conjunto

(fi(x1))i∈I ,

de valores reales que toman las funciones de H en el punto x1. Por (1.1.23), este conjunto esta

acotado, y por el Teorema de Bolzano Weierstrass, existe una subsucesion convergente, digamos,

f(1)1 (x1), f

(1)2 (x1), ... ; lım

n→∞f (1)n (x1) = A1. (1.1.24)

Ahora consideremos la sucesion

f(1)1 (x2), f

(1)2 (x2), ...

de valores reales que toman las funciones en (f(1)n )∞n=1 en el punto x2. Esta sucesion es acotada

tambien, aplicamos Bolzano Weierstrass y obtenemos una subsucesion convergente

f(2)1 (x2), f

(2)2 (x2), ... ; lım

n→∞f (2)n (x2) = A2. (1.1.25)

Es importante notar que el orden de dos funciones f(2)n y f

(2)m en (1.1.25) es el mismo que en

(1.1.24).


Continuando este proceso indefinidamente, construimos un conjunto numerable de sucesiones

convergentes:

f(1)1 (x1), f

(1)2 (x1), ... ; lım

n→∞f (1)n (x1) = A1,

f(2)1 (x2), f

(2)2 (x2), ... ; lım

n→∞f (2)n (x2) = A2,

. . .

f(k)1 (xk), f

(k)2 (xk), ... ; lım

n→∞f (k)n (xk) = Ak,

. . .

donde cada sucesion de numeros es subsucesion de la anterior. Ahora formamos la sucesion de

las funciones en la diagonal,

(f (n)n )∞n=1.

Esta sucesion de funciones converge en cada punto de E. De hecho, para cada k fijo, la sucesion

(f (n)n (xk))n≥k,

es subsucesion de

(f (k)n (xk))∞n=1,

y converge por tanto a Ak.

Lema 1.1.11. Sea F = (fi)i∈I una familia infinita de funciones crecientes, definidas en [a, b].

Si existe K > 0 tal que

|fi(x)| ≤ K ∀i ∈ I, ∀x ∈ [a, b], (1.1.26)

entonces existe una sucesion de funciones (fn)∞n=1 en la familia F que converge a una funcion

creciente ϕ(x) en todo punto de [a, b].

Demostracion. Aplicamos el Lema 1.1.10 a la familia F = (fi)i∈I , tomando como conjunto

numerable E = Q ∩ [a, b] ∪ {a}.

Encontramos entonces una sucesion de funciones de la familia F :

F0 = (f (n))∞n=1 ⊂ F .


tal que lımn→∞ f(n)(xk) existe y es finito en cada xk ∈ E.

Ahora, definimos una funcion ψ : [a, b]→ R tal que,

ψ(xk) := lımn→∞

f (n)(xk) ∀xk ∈ E.

Notemos que ψ es una funcion creciente en E, por ser lımite puntual de funciones crecientes en

E.

Ahora, para x ∈ [a, b] \ E, definimos

ψ(x) := supxk<x{ψ(xk)} xk ∈ E.

Claramente ψ es una funcion monotona creciente en [a, b] y por lo tanto el conjunto de puntos

Q donde ψ es discontinua es a lo sumo numerable.

Mostraremos a continuacion que

lımn→∞

f (n)(x0) = ψ(x0),

en cada x0 ∈ [a, b] donde la funcion ψ es continua.

Sea ε > 0, por continuidad de ψ en x0, existen xk, xl ∈ E tales que xk < x0 < xl y

ψ(xl)− ψ(xk) <ε

2. (1.1.27)

Como ψ(xl) := lımn→∞ f(n)(xl), entonces existe N ∈ N tal que para n ≥ N

|f (n)(xl)− ψ(xl)| ≤ε

2. (1.1.28)

Utilizando (1.1.27), (1.1.28) y la monotonıa de f (n) y de ψ obtenemos que para n ≥ N

f (n)(x0) ≤ f (n)(xl) ≤ ψ(xl) +ε

2

= ψ(xl)− ψ(xk) + ψ(xk) +ε

2

<ε

2+ε

2+ ψ(xk)

≤ ψ(x0) + ε. (1.1.29)


Analogamente, obtenemos que para n ≥ N

f (n)(x0) ≥ ψ(x0)− ε. (1.1.30)

De las desigualdades (1.2.7) y (1.1.30) tenemos para n ≥ N

|f (n)(x0)− ψ(x0)| ≤ ε.

Por lo tanto concluimos que

lımn→∞

f (n)(x) = ψ(x),

excepto quiza en un conjunto a lo sumo numerable Q donde ψ es discontinua.

Ahora, aplicamos el Lema 1.1.10 a la sucesion F0, tomando como conjunto numerable a Q.

Esto nos resulta en una subsucesion

(fn)∞n=1 ⊂ F0,

la cual converge en todo punto x ∈ [a, b].

Para finalizar, definimos para x ∈ [a, b]

ϕ(x) := lımn→∞

fn(x),

y obtenemos una funcion creciente.

Finalmente, contamos con las herramientas necesarias para probar el principio de seleccion

de Helly, el cual presentamos a continuacion.

Teorema 1.1.12. (Principio de seleccion de Helly) Sea F = (fi)i∈I una familia de funciones

definidas en [a, b]. Si todas las funciones de la familia y su variaciones totales estan acotadas

por alguna K > 0, es decir,

|fi(x)| ≤ K, V ar(fi; [a, b]) ≤ K ∀i ∈ I, ∀x ∈ [a, b], (1.1.31)

entonces existe una sucesion (fn)∞n=1 ⊂ F que converge en cada punto de [a, b] a una funcion ψ

de variacion acotada en [a, b].


Demostracion. Para cada fi con i ∈ I, definimos

Vfi(x) := V ar(fi; [a, x]), ϕi(x) := Vfi(x)− fi(x) ∀i ∈ I.

Por el Teorema 1.1.2, tanto Vfi como ϕi(x) son crecientes para toda i ∈ I y tenemos que

|Vfi(x)| ≤ K, |ϕi(x)| ≤ 2K ∀x ∈ [a, b], ∀i ∈ I.

Aplicamos entonces el Lema 1.1.11 a la familia (Vfi)i∈I y encontramos una sucesion (Vfk)∞k=1en

la familia que converge puntualmente a una funcion creciente α.

A cada funcion Vfk le corresponde una funcion ϕk, entonces aplicando el Lema 1.1.11 a la suce-

sion (ϕk)∞k=1, encontramos una subsucesion (ϕkl)

∞l=1 que converge puntualmente a una funcion

creciente β.

Por tanto, la sucesion de funciones

(fkl)∞l=1 = (Vfkl − ϕkl)

∞l=1 ⊂ F ,

converge puntualmente a la funcion

ψ = α− β,

donde ψ es una funcion de variacion acotada en [a, b], por ser la diferencia de dos funciones

crecientes en [a, b].

Notemos que las funciones monotonas en un intervalo fijo [a, b] no poseen la estructura de

un espacio vectorial. (Considerar por ejemplo, f(t) = t2 y g(t) = 1− t en el intervalo [0, 1]). Sin

embargo, el Teorema 1.1.2 y las relaciones, (1.1.3), (1.1.4) y (1.1.7) muestran que BV [a, b] es

el espacio vectorial generado por las funciones monotonas en [a, b], es decir el espacio vectorial

mas pequeno que contiene a todas las funciones monotonas en [a, b], siendo esta otra forma de

introducir a las funciones de variacion acotada.

Para cerrar esta seccion, presentamos un resultado de gran utilidad que muestra que si una

funcion no es de variacion acotada en un intervalo dado, entonces localmente tampoco lo es.


Proposicion 1.1.13. (Principio de localizacion) Supongamos que f /∈ BV [a, b]. Entonces existe

un punto x0 ∈ [a, b] tal que para cada intervalo [c, d] ⊆ [a, b] con c < x0 < d, f /∈ BV [c, d].

Demostracion. Supongamos que la proposicion es falsa, es decir, para cada x ∈ [a, b] existe un

intervalo abierto Ix tal que x ∈ Ix y f ∈ BV (Ix).

Como tenemos que

[a, b] ⊆⋃

a≤x≤bIx

y [a, b] es compacto, podemos encontrar puntos {x1, x2, ..., xn} ⊂ [a, b] tales que

[a, b] ⊆n⋃k=1

Ixk .

Entonces por (1.1.9)

V ar(f ; [a, b]) ≤n∑k=1

V ar(f ; Ixk) <∞,

lo cual es una contradiccion a la hipotesis f /∈ BV [a, b]. Por lo tanto la proposicion es verdadera.

1.2. Variacion Acotada y Continuidad

Hemos visto anteriormente que no existe una relacion de contencion entre los espacios

BV [a, b] y C[a, b]. Sin embargo, es de nuestro interes en esta seccion, estudiar las propiedades de

continuidad de las funciones de variacion acotada. Para ello, consideramos una clase importante

de funciones definidas en un intervalo [a, b] que esta contenida en el espacio BV [a, b] ∩ C[a, b].

Definicion 1.2.1. (a) Una funcion f : [a, b] → R se llama absolutamente continua si tiene la

propiedad de que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para cada coleccion {[a1, b1], ..., [an, bn]} ∈∑([a, b]), la condicion:

n∑k=1

(bk − ak) ≤ δ (1.2.1)

1.2. VARIACION ACOTADA Y CONTINUIDAD 27

implican∑k=1

|f(bk)− f(ak)| ≤ ε, (1.2.2)

donde∑

([a, b]) denota la familia de todas las colecciones finitas de subintervalos de [a, b]

que no se traslapan; es decir subintervalos mutuamente ajenos o que poseen a lo mas un

punto frontera en comun.

(b) Equivalentemente, podemos requerir que para todo ε > 0 exista δ > 0 tal que para cada

coleccion {[an, bn] | n ∈ N} ∈∑∞([a, b]), la condicion:

∞∑k=1

(bk − ak) ≤ δ (1.2.3)

implique∞∑k=1

|f(bk)− f(ak)| ≤ ε, (1.2.4)

donde∑∞([a, b]) denota la familia de todas las colecciones infinitas numerables de subin-

tervalos de [a, b] que no se traslapan; es decir subintervalos mutuamente ajenos o que poseen

a lo mas un punto frontera en comun.

Probemos que los incisos (a) y (b) en la Definicion 1.2.1 son realmente equivalentes. En

efecto, claramente la continuidad absoluta segun el inciso (b) implica la continuidad absoluta

segun el inciso (a).

Recıprocamente, supongamos continuidad absoluta de f : [a, b] → R segun el inciso (a) y

que {[an, bn] | n ∈ N} ∈∑∞([a, b]) satisface:

∞∑k=1

(bk − ak) ≤ δ.

Entonces para toda n ∈ Nn∑k=1

(bk − ak) ≤ δ.

Como f es absolutamente continua segun (a), entonces esto implica que para toda n ∈ Nn∑k=1

|f(bk)− f(ak)| ≤ ε.


Se sigue entonces que∞∑k=1

|f(bk)− f(ak)| ≤ ε.

Por lo tanto f es absolutamente continua segun el inciso (b).

Denotamos al conjunto de funciones absolutamente continuas en un intervalo [a, b] como

AC[a, b].

Es sencillo ver que continuidad absoluta implica continuidad uniforme en un intervalo [a, b].

Ademas, mostramos a continuacion que toda funcion absolutamente continua en [a, b] es de va-

riacion acotada en [a, b].

Proposicion 1.2.1. Toda funcion f ∈ AC[a, b] es tal que f ∈ BV [a, b].

Demostracion. Para ε = 1, elegimos δ > 0 tal que para cada coleccion {[a1, b1], ..., [an, bn]} ∈∑([a, b]) que verifique

n∑k=1

(bk − ak) ≤ δ,

se cumplen∑k=1

|f(bk)− f(ak)| ≤ 1.

Elegimos una particion equidistante Pn = {t0, t1, ..., tn} ∈P[a, b] tal que n > b−aδ .

Notemos que para cualquier intervalo [tj−1, tj ] de la particion Pn, tenemos que

V ar(f ; [tj−1, tj ]) ≤ 1,

ya que |tj−1 − tj | = b−an < δ .

Tenemos entonces por la observacion anterior y (1.1.9)

V ar(f ; [a, b]) =n∑j=1

V ar(f ; [tj−1, tj ]) ≤ n.

Por lo tanto f ∈ BV [a, b].

1.2. VARIACION ACOTADA Y CONTINUIDAD 29

Otra clase importante de funciones continuas relacionadas con el espacio BV [a, b] es el es-

pacio de funciones Lipschitz continuas, el cual presentamos a continuacion.

Definicion 1.2.2. Una funcion f : [a, b] → R se llama Lipschitz continua si existe L > 0 tal

que

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y| (a ≤ x, y ≤ b).

Denotamos al conjunto de todas las funciones Lipschitz continuas en [a, b] como Lip[a, b].

El conjunto Lip[a, b] es un espacio de Banach con la norma definida para f ∈ Lip[a, b] como

‖f‖Lip := |f(a)|+ lip(f), (1.2.5)

donde

lip(f) := supx6=y

|f(x)− f(y)||x− y|

(1.2.6)

En la proposicion siguiente establecemos una relacion entre el espacio de funciones Lipschitz

continuas y absolutamente continuas en un intervalo [a, b].

Proposicion 1.2.2. Toda funcion f ∈ Lip[a, b] es tal que f ∈ AC[a, b].

Demostracion. Sea f : [a, b] → R una funcion Lipschitz continua y ε > 0 . Elegimos δ = εlip(f) .

Supongamos que {[a1, b1], ..., [an, bn]} ∈∑

([a, b]) satisface:

n∑k=1

(bk − ak) ≤ε

lip(f).

Entonces como f ∈ Lip[a, b], tenemos que |f(x)− f(y)| ≤ lip(f)|x− y| para a ≤ x y y ≤ b. Por

tanto:n∑k=1

|f(bk)− f(ak)| ≤ lip(f)

n∑k=1

(bk − ak)

≤ lip(f)ε

lip(f)= ε.


Concluimos que f ∈ AC[a, b].

A partir de los resultados obtenidos anteriormente, tenemos la siguiente cadena de inclusio-

nes:

Lip[a, b] ⊆ AC[a, b] ⊆ C[a, b] ∩BV [a, b] ⊆ BV [a, b] (1.2.7)

Aun mas, podemos probar la inclusion continua del espacio Lip[a, b] con la norma definida

en (1.2.5) en el espacio BV [a, b] con la norma usual.

Proposicion 1.2.3. El espacio (Lip[a, b], ‖.‖Lip) esta incluido continuamente en el espacio

(BV [a, b], ‖.‖BV ).

Demostracion. Supongamos que f : [a, b]→ R satisface la condicion de Lipschitz:

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y| (a ≤ x, y ≤ b)

para alguna L > 0, y sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[a, b].

V ar(f, P ; [a, b]) =

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|

≤ Lm∑j=1

|tj − tj−1|

= L(b− a)

y entonces

‖f‖BV = |f(a)|+ V ar(f ; [a, b]) ≤ |f(a)|+ L(b− a).

Ası

‖f‖BV ≤ max{1, b− a}‖f‖Lip,

pues L puede ser tomada arbitrariamente cercana a lip(f).

Capıtulo 2

Espacios de Variacion Acotada

Generalizada

El trabajo de Jordan [9, 10] es considerado el punto de inicio del estudio de las funciones de

variacion acotada y desde su definicion en 1881 han surgido extensiones en diferentes direcciones

del espacio de variacion acotada clasica. Estas extensiones han llevado a generalizaciones de re-

sultados en el espacio clasico y en otros casos a nuevos resultados inesperados. En este capıtulo,

consideraremos dos extensiones importantes de este espacio.

En la primera seccion, estudiaremos el espacio de funciones de p-variacion acotada introdu-

cida por Norbert Wiener [17]. En 1924 N. Wiener probo que el Teorema de Dirichlet-Jordan se

podıa extender al espacio de funciones de variacion cuadratica acotada WBV2[a, b]. Fue hasta

1937 que Laurent Young mostro que el teorema podıa extenderse incluso al espacio de funciones

de p-variacion acotada introducido por Wiener WBVp[a, b], para p ≥ 1 [18].

En la segunda seccion, consideraremos otra extension del espacio de funciones de varia-

cion acotada, esta vez utilizando la nocion de p-variacion presentada por Frigyes Riesz en 1910

[14, 15]. La importancia de esta extension es que permite obtener una caracterizacion elegante

31

32 CAPITULO 2. ESPACIOS DE VARIACION ACOTADA GENERALIZADA

de las funciones absolutamente continuas cuya derivada posee ciertas propiedades, ademas de

ser de especial importancia en el estudio de espacios duales en analisis funcional.

Discutiremos a lo largo del capıtulo las relaciones que existen entre ambas extensiones y otros

espacios clasicos en analisis. Ilustraremos tales relaciones por medio de inclusiones, ejemplos y

contraejemplos.

Los resultados que presentamos en este capıtulo han sido tomados de [2], [6] y [11].

2.1. Espacio de Variacion de Wiener Acotada

N. Wiener cambio la medida de intervalos en la imagen de funciones utilizada por Jordan al

considerar p-potencias. En esta seccion estudiaremos el espacio de funciones de p-variacion de

Wiener acotada. Presentamos antes que nada su definicion y algunas de sus propiedades mas

importantes.

Definicion 2.1.1. Dado un numero real p ≥ 1, una particion P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P[a, b], y

una funcion f : [a, b]→ R, el numero real no negativo

V arWp (f, P ) = V arWp (f, P ; [a, b]) :=m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|p (2.1.1)

se llama variacion de Wiener de f en [a, b] con respecto a la particion P .

El numero posiblemente infinito

V arWp (f) = V arWp (f ; [a, b]) := sup{V arWp (f, P ; [a, b]) | P ∈P[a, b]} (2.1.2)

se llama variacion de Wiener total de f en [a, b].

Cuando V arWp (f) <∞, decimos que f tiene variacion de Wiener finita en [a, b] y lo denotamos

por f ∈WBVp[a, b].

2.1. ESPACIO DE VARIACION DE WIENER ACOTADA 33

Al comparar la Definicion 1.1.1 del espacio clasico BV [a, b] con la del espacio WBVp[a, b],

observamos que

V arW1 (f, P ; [a, b]) = V ar(f, P ; [a, b]), V arW1 (f ; [a, b]) = V ar(f ; [a, b]),

lo cual muestra que el espacio WBV1[a, b] = BV [a, b].

Enseguida presentamos una proposicion paralela a la Proposicion 1.1.1, en la cual reunimos

algunas propiedades de las cantidades (2.1.1) y (2.1.2).

Proposicion 2.1.1. Las cantidades V arWp (f) y V arWp (f, P ) poseen las siguientes propiedades:

(a) Para f, g : [a, b]→ R

V arWp (f + g; [a, b])1/p ≤ V arWp (f ; [a, b])1/p + V arWp (g; [a, b])1/p. (2.1.3)

(b) Para f : [a, b]→ R, µ ∈ R

V arWp (µf ; [a, b])1/p = |µ|V arWp (f ; [a, b])1/p. (2.1.4)

(c) Para a ≤ s < t ≤ b

|f(s)− f(t)| ≤ V arWp (f ; [s, t])1/p. (2.1.5)

(d) Cada f ∈WBV [a, b] es acotada y satisface

‖f‖∞ ≤ |f(a)|+ V arWp (f ; [a, b])1/p. (2.1.6)

(e) El espacio vectorial WBVp[a, b] con la norma definida para f ∈WBVp[a, b] como

‖f‖WBVp := |f(a)|+ V arWp (f ; [a, b])1/p, (2.1.7)

es un espacio de Banach.


(f) El espacio WBVp[a, b] es un algebra que satisface

V arWp (fg; [a, b])1/p ≤ ‖g‖∞V arWp (f ; [a, b])1/p + ‖f‖∞V arWp (g; [a, b])1/p, (2.1.8)

para f, g ∈WBVp[a, b].

Demostracion. (a) Sean f, g : [a, b] → R y P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P[a, b], utilizando la desigual-

dad de Minkowski obtenemos

V arWp (f + g, P )1/p =

m∑j=1

|(f + g)(tj)− (f + g)(tj−1)|p1/p

=

m∑j=1

|[f(tj)− f(tj−1)] + [g(tj)− g(tj−1)]|p1/p

≤

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|p1/p

+

m∑j=1

|g(tj)− g(tj−1)|p1/p

= V arWp (f, P )1/p + V arWp (g, P )1/p

≤ V arWp (f)1/p + V arWp (g)1/p.

Se sigue entonces que

V arWp (f + g)1/p ≤ V arWp (f)1/p + V arWp (g)1/p.

(b) Sean f : [a, b]→ R, µ ∈ R y P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[a, b], entonces

V arWp (µf, P )1/p =

m∑j=1

|µf(tj)− µf(tj−1)|p1/p

=

m∑j=1

|µ|p|f(tj)− f(tj−1)|p1/p

= |µ|

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|p1/p

= |µ|V arWp (f, P )1/p.



V arWp (µf)1/p = |µ|V arWp (f)1/p.

(c) Consideremos la particion P = {s, t} ∈P[s, t], en este caso tenemos que

V arWp (f, P ; [s, t])1/p = |f(t)− f(s)|,

y por definicion de la variacion total de Wiener, tenemos

|f(t)− f(s)| = V arWp (f, P ; [s, t])1/p

≤ V arWp (f ; [s, t])1/p.

(d) Para x ∈ [a, b] fija consideremos la particion Px = {a, x, b} ∈P[a, b]. Tenemos que

V arWp (f ; [a, b])1/p + |f(a)| ≥ V arWp (f, P ; [a, b])1/p + |f(a)|

= (|f(x)− f(a)|p + |f(b)− f(x)|p)1/p + |f(a)|

≥ |f(x)− f(a)|+ |f(a)|

≥ |f(x)|.

Tomando supremo sobre todas las x ∈ [a, b], obtenemos

‖f‖∞ = supx∈[a,b]

|f(x)| ≤ V arWp (f ; [a, b])1/p + |f(a)|.

(e) De (a) y (b) se sigue que WBVp[a, b] es un espacio lineal. Es sencillo ver que (2.1.7) define

una norma en WBVp[a, b].

Probemos que WBVp[a, b] es un espacio de Banach con la norma (2.1.7).

Sea (fn)∞n=1 una sucesion de Cauchy con respecto a la norma (2.1.7), es decir, dado ε > 0

existe N1 ∈ N tal que si n,m ≥ N1

‖fn − fm‖WBVp = |fn(a)− fm(a)|+ V arWp (fn − fm; [a, b])1/p ≤ ε

2.


Notemos que por el inciso (b), para n,m ≥ N1

‖fn − fm‖∞ ≤ ‖fn − fm‖WBVp ≤ε

2.

Como el espacio (B[a, b], ‖.‖∞) es un espacio de Banach, entonces existe una funcion acotada

f : [a, b]→ R tal que (fn)∞n=1 converge uniformemente en [a, b] a f .

Probemos que fnWBVp−−−−→ f , es decir que (fn)∞n=1 converge a f en la norma (2.1.7).

Por la definicion de la norma (2.1.7), tenemos que para m,n ≥ N1 y P = {t0, t1, ..., tr} ∈

P[a, b]

V arWp (fn − fm, P ; [a, b])1/p ≤ ε

2.

Entonces por ser f el lımite uniforme de(fn)∞n=1 , tenemos que para n ≥ N1

V ar(fn − f, P ; [a, b])Wp = lımm→∞

r∑k=1

|(fn − fm)(tk)− (fn − fm)(tk−1)|p ≤εp

2p.

De lo anterior se sigue que para n ≥ N1

V ar(fn − f ; [a, b])Wp ≤εp

2p.

Ahora, por ser f el lımite uniforme y por tanto puntual de (fn)∞n=1, para ε2 > 0 existe N2 ∈ N

tal que si n ≥ N2

|fn(a)− f(a)| ≤ ε

2.

Luego, para n ≥ N := max{N1, N2}

‖fn − f‖WBVp = |(fn − f)(a)|+ V arWp (fn − f ; [a, b])1/p ≤ ε,

y por lo tanto fnWBVp−−−−→ f .

Resta probar que f ∈WBVp[a, b]. Para esto, notemos que para n ≥ N

‖f‖WBVp ≤ ‖fn − f‖WBVp + ‖fn‖WBVp

≤ ε+ ‖fn‖WBVp .

Por lo tanto f ∈WBVp[a, b], y ası hemos probado que WBVp[a, b] es un espacio de Banach.


(f) Sean f, g ∈WBVp[a, b] y P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[a, b], entonces

V arWp (fg, P )1/p =

m∑j=1

|g(tj) (f(tj)− f(tj−1)) + f(tj−1) (g(tj)− g(tj−1))|p1/p

≤

m∑j=1

|g(tj)|p|f(tj)− f(tj−1)|p1/p

+

m∑j=1

|f(tj−1)|p|g(tj)− g(tj−1)|p1/p

≤ ‖g‖∞V arWp (f ; [a, b])1/p + ‖f‖∞V arWp (g; [a, b])1/p.

Por lo tanto

V arWp (fg; [a, b])1/p ≤ ‖g‖∞V arWp (f ; [a, b])1/p + ‖f‖∞V arWp (g; [a, b])1/p.

Podemos preguntarnos por que en la proposicion previa no se establecen analogos a las pro-

piedades (1.1.8) (monotonıa de la variacion respecto a particiones), y (1.1.9) (aditividad de la

variacion respecto a intervalos) de la Proposicion 1.1.1. La razon es que dichos analogos son

falsos, como muestra de ello, presentamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.1.1. Consideremos la funcion f : [0, 2]→ R, definida como

f(x) :=

0 0 ≤ x < 1,

1 x = 1,

2 1 < x ≤ 2.

(2.1.9)

Consideremos las particiones P := {0, 2} y Q := {0, 1, 2}. Tenemos que P ⊂ Q. Sin embargo

V arWp (f, P ; [0, 2]) = 2p y V arWp (f,Q; [0, 2]) = 2.


1 2

1

2

x

f(x)

Figura 2.1: Grafica de la funcion f .

Entonces para p > 1

V arWp (f, P ; [0, 2]) > V arWp (f,Q; [0, 2]).

Hemos mostrado ası que en el caso p > 1, P ⊂ Q no implica V arWp (f, P ) ≤ V arWp (f,Q).

Para mostrar que el analogo de (1.1.9) es falso, consideremos la misma funcion f y los

intervalos [0, 2], [0, 1] y [1, 2].

Sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[0, 1] arbitraria, entonces

V arWp (f, P, [0, 1]) =

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|p = 1p = 1.

Como tenemos esta igualdad para cualquier particion P ∈P[0, 1], entonces

V arWp (f, [0, 1]) = 1. (2.1.10)

Sea Q = {t0, t1, ..., tm} ∈P[1, 2] arbitraria, entonces

V arWp (f,Q, [1, 2]) =

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|p = 1p = 1.

Como tenemos esta igualdad para cualquier particion Q ∈P[1, 2], entonces

V arWp (f, [1, 2]) = 1. (2.1.11)


Ahora, sea P = {0, 2} ∈P[0, 2], tenemos que

V arWp (f, P, [0, 2]) = 2p,

lo cual implica

V arWp (f ; [0, 2]) ≥ 2p. (2.1.12)

Ahora, sea Q = {t0, t1, ..., tm} ∈P[0, 2], notemos que por la definicion de la funcion f ,

V arWp (f,Q; [0, 2]) =

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|p ≤ 2p.

Por lo tanto

V arWp (f ; [0, 2]) ≤ 2p. (2.1.13)

De (2.1.12) y (2.1.13) obtenemos la igualdad

V arWp (f ; [0, 2]) = 2p. (2.1.14)

Tenemos entonces, por (2.1.10), (2.1.11) y (2.1.14) que para el caso p > 1

V arWp (f ; [0, 2]) 6= V arWp (f ; [0, 1]) + V arWp (f ; [1, 2]),

mostrando ası que la variacion de Wiener no es aditiva respecto a intervalos si p > 1.

De hecho, para p ∈ [1,∞), tenemos el siguiente resultado.

Proposicion 2.1.2. La variacion de Wiener es superaditiva con respecto a intervalos, esto es,

V arWp (f ; [a, b]) ≥ V arWp (f ; [a, c]) + V arWp (f ; [c, b]),

para a < c < b.


Demostracion. Supongamos que V arWp (f ; [a, c]) y V arWp (f ; [c, b]) son finitas. Dado ε > 0, esco-

gemos particiones {t0, t1, ..., tk} ∈P[a, c], {tk, tk + 1, ..., tm} ∈P[c, b] tales que

V arWp (f ; [a, c])− ε ≤k∑i=1

|f(ti)− f(ti−1)|p,

V arWp (f ; [c, b])− ε ≤m∑

j=k+1

|f(tj)− f(tj−1)|p.

Entonces obtenemos

V arWp (f ; [a, c]) + V arWp (f ; [c, b])− 2ε ≤m∑k=1

|f(tk)− f(tk−1)|p

≤ V arWp (f ; [a, b]).

Como ε fue tomado arbitrariamente, se sigue que

V arWp (f ; [a, b]) ≥ V arWp (f ; [a, c]) + V arWp (f ; [c, b]).

El resultado de inclusion Lip[a, b] ⊆ BV [a, b], que mostramos anteriormente, tiene un analo-

go en el espacio WBVp[a, b]. Para obtenerlo, introducimos un espacio que generaliza al espacio

Lip[a, b].

Definicion 2.1.2. Decimos que una funcion f : [a, b] → R es Holder continua o α-Lipschitz

continua para 0 ≤ α ≤ 1 si existe L > 0 tal que

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|α (a ≤ x, y ≤ b).

Denotamos al conjunto de todas las funciones α-Lipschitz continuas en [a, b] como Lipα[a, b].

El conjunto Lipα[a, b] es un espacio de Banach con la norma definida para f ∈ Lipα[a, b]

como

‖f‖Lipα := |f(a)|+ lipα(f), (2.1.15)


donde

lipα(f) := supx 6=y

|f(x)− f(y)||x− y|α

. (2.1.16)

Proposicion 2.1.3. Para 1 ≤ p <∞, se cumple la inclusion

Lip1/p[a, b] ⊆WBVp[a, b].

Demostracion. Supongamos que f ∈ Lip1/p[a, b], esto es, existe L > 0 tal que |f(x) − f(y)| ≤

L|x− y|1/p para a ≤ x, y ≤ b. Sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[a, b], entonces

V arWp (f, P ; [a, b]) =

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|p

≤ Lpm∑j=1

|tj − tj−1|

= Lp(b− a).

Como Lp(b− a) no depende de la particion P , entonces tenemos que

V arWp (f ; [a, b]) ≤ Lp(b− a) <∞.

Por lo tanto f ∈WBVp[a, b].

Una prueba analoga a la de la Proposicion 1.2.3 muestra que el espacio de Banach (Lip1/p[a, b], ‖.‖Lip1/p)

esta continuamente incluido en el espacio de Banach (WBVp[a, b], ‖.‖WBVp), con constante de

inclusion max{1, (b− a)1/p}.

De manera natural, podemos preguntarnos si para ciertos valores de p y q, el espacio

WBVp[a, b] esta contenido en el espacio WBVq[a, b]. Nuestro siguiente resultado importante

establece que si p < q, entonces WBVp[a, b] ⊆ WBVq[a, b] y de hecho esta inclusion es estricta.


Para probarlo, necesitamos conocer antes una serie de resultados tecnicos acerca de funciones

convexas.

Lema 2.1.4. Sea φ : [0,∞) → R una funcion convexa tal que φ(0) ≤ 0, entonces la funcion

ψ : (0,∞)→ R definida como ψ(t) := φ(t)t es creciente.

Demostracion. Fijemos x1, x2 ∈ (0,∞) con x1 < x2. Como φ es convexa, entonces

φ(λs+ (1− λ)t) ≤ λφ(s) + (1− λ)φ(t),

para s, t ∈ [0,∞) y λ ∈ [0, 1].

Elegimos s = x2, t = 0 y λ = x1x2

. Tomando en cuenta que φ(0) ≤ 0, obtenemos

φ(x1) ≤ λφ(x2) + (1− λ)φ(0)

≤ λφ(x2)

=x1x2φ(x2).

Como consecuencia,

ψ(x1) =φ(x1)

x1≤ φ(x2)

x2= ψ(x2).

Por lo tanto ψ es una funcion creciente.

Introducimos a continuacion el concepto de funcion de Young que utilizaremos en el lema

siguiente.

Definicion 2.1.3. Decimos que una funcion φ : [0,∞)→ [0,∞) es una funcion de Young, si φ

es continua, convexa, satisface φ(0) = 0, φ(t) > 0 si t > 0 y φ(t)→∞ cuando t→∞.

Algunos ejemplos clasicos de funciones de Young son los siguientes:


φ(t) = tp para 1 ≤ p <∞.

φ(t) = et − 1.

φ(t) = (t+ 1)log(t+ 1).

Lema 2.1.5. Sea φ : [0,∞) → [0,∞) una funcion de Young. Entonces φ es creciente y super-

aditiva en [0,∞), esto es,

φ(α) + φ(β) ≤ φ(α+ β) (α, β ≥ 0). (2.1.17)

Demostracion. Supongamos que φ no es creciente, entonces existen x1, x2 ∈ [0,∞) tal que

x1 < x2 y φ(x1) > φ(x2).

Si x1 = 0, tenemos por definicion de funcion de Young que φ(x1) = φ(0) = 0 < φ(x2). Entonces,

tomamos 0 < x1 < x2, ası1

x1>

1

x2.

Combinando esto, con la suposicion φ(x1) > φ(x2) > 0, obtenemos

φ(x1)

x1>φ(x2)

x1>φ(x2)

x2.

Pero esto contradice que la funcion ψ definida en el Lema 2.1.4 es creciente. Por lo tanto φ debe

ser creciente.

Probemos ahora que φ es superaditiva en [0,∞). Fijamos α, β ∈ [0,∞). Si α = 0, entonces

φ(α) = 0, lo cual implica que

φ(α) + φ(β) = φ(α+ β).

La igualdad se da tambien si β = 0. Entonces, supongamos que α > 0, β > 0. Esto implica que

α < α+ β, β < α+ β.

Por el Lema 2.1.4, tenemos que

φ(α)

α≤ φ(α+ β)

α+ βy

φ(β)

β≤ φ(α+ β)

α+ β.


De esto se sigue que

φ(α) ≤ α

α+ βφ(α+ β) y φ(β) ≤ β

α+ βφ(α+ β).

Finalmente, obtenemos

φ(α) + φ(β) ≤ α

α+ βφ(α+ β) +

β

α+ βφ(α+ β) = φ(α+ β).

Por lo tanto, φ es superaditiva en [0,∞).

Ejemplo 2.1.2. El ejemplo mas simple de funcion de Young es φ(t) = tp para p ≥ 1. Entonces,

esta funcion es superaditiva por lo ya probado, esto es,

sp + tp ≤ (s+ t)p,

para s, t ≥ 0.

Ahora, estamos en condiciones para establecer una relacion entre los espacios WBVp[a, b] y

WBVq[a, b] para ciertos valores de p y q.

Proposicion 2.1.6. Sean 1 ≤ p ≤ q <∞, entonces se cumple la siguiente desigualdad

V arWq (f ; [a, b])1/q ≤ V arWp (f ; [a, b])1/p. (2.1.18)

Como consecuencia, para estos valores de p y q tenemos las siguientes inclusiones:

BV [a, b] = WBV1[a, b] ⊆WBVp[a, b] ⊆WBVq[a, b] ⊆ B[a, b]. (2.1.19)

Demostracion. Fijemos una particion arbitraria P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P[a, b]. Consideremos la


funcion de Young φ(t) := tq/p. Utilizando el Lema 2.1.5 y el Ejemplo 2.1, obtenemos

V arWq (f, P ; [a, b]) =

m∑j=1

(|f(tj)− f(tj−1|p)q/p

≤

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1|pq/p

= V arWp (f, P ; [a, b])q/p

≤ V arWp (f ; [a, b])q/p.

Por lo tanto, concluimos que

V arWq (f ; [a, b])1/q ≤ V arWp (f ; [a, b])1/p.

Notemos que por la proposicion previa BV [a, b] ⊆WBVq[a, b] para q ≥ 1. De hecho, tenemos

que

V arWq (f ; [a, b]) ≤ V ar(f ; [a, b])q.

Entonces si f ∈ BV [a, b], f ∈WBVq[a, b] para q ≥ 1 y

‖f‖WBVq := |f(a)|+ V arWq (f ; [a, b])1/q ≤ |f(a)|+ V ar(f ; [a, b]) = ‖f‖BV .

Por lo tanto, el espacio de Banach (BV [a, b], ‖.‖BV ) esta incluido continuamente en el espacio

de Banach (WBVq[a, b], ‖.‖WBVq) para q ≥ 1.

Probaremos a continuacion que la inclusion WBVp[a, b] ⊆ WBVq[a, b], que demostramos en

la proposicion previa, es estricta en el caso p < q. Para ello, consideramos las funciones zig zag

que se definen enseguida.

Definicion 2.1.4. Sean C = (cn)∞n=1 y D = (dn)∞n=1 dos sucesiones decrecientes de numeros

reales positivos que convergen a cero. Adicionalmente, sea (cn)∞n=1 tal que

∞∑n=1

cn = 1.


Construimos por medio de tales sucesiones la funcion ZC,D : [0, 1]→ R, definida como

ZC,D(x) :=

0 x = 0,∑n

k=1(−1)k+1dk para x =∑n

k=1 ck,

lineal o.c.

(2.1.20)

La funcion definida en (2.1.20) se llama funcion zig zag general determinada por (C,D).

Un caso particular es cuando

cn :=1

2n, dn :=

1

nθ.

para algun θ > 0. Esto es,

Zθ(x) :=

0 x = 0,

1− 12θ

+ 13θ−+...+ (−1)n+1

nθpara x = 1− 1

2n ,

lineal o.c.

(2.1.21)

En este caso, la funcion definida en (2.1.21) se llama funcion zig zag especial.

Se sigue de la construccion y continuidad de la funcion zig zag que

ZC,D(1) =

∞∑k=1

(−1)k+1dk y Zθ(1) =

∞∑k=1

(−1)k+1

kθ. (2.1.22)

Observacion 2.1.1. Se sigue de la construccion previa que la p-variacion de Wiener de la

funcion zig zag general es

V arWp (ZC,D; [0, 1]) =∞∑k=1

dkp (1 ≤ p <∞). (2.1.23)

Demostracion. Consideremos para n ∈ N las particiones:

Pn = {0, c1, c1 + c2, ..., c1 + c2 + ...+ cn, 1} ∈P[0, 1],


c1 c1 + c2 1

d1

d1 − d2

d1 − d2 + d3

d1 − d2 + d3 − d4

x

ZC,D(x)

Figura 2.2: Grafica de una funcion zig zag especial Zθ con θ = 1.

Pn = {0, c1, c1 + c2, ..., c1 + c2 + ...+ cn} ∈P[0, c1 + c2 + ...+ cn].

Notemos que por construccion de ZC,D, para toda n ∈ N

V arWp (ZC,D, Pn; [0, c1 + c2 + ...+ cn]) =n∑k=1

dkp.

Por otro lado, para toda n ∈ N

V arWp (ZC,D, Pn; [0, c1 + c2 + ...+ cn]) ≤ V arWp (ZC,D, Pn; [0, 1])

≤ V arWp (ZC,D; [0, 1]).

De aquı que, para toda n ∈ Nn∑k=1

dkp ≤ V arWp (ZC,D; [0, 1]).

Por lo tanto∞∑k=1

dkp ≤ V arWp (ZC,D; [0, 1]). (2.1.24)

Ahora, sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[0, 1], analicemos:

V arWp (ZC,D, P ; [0, 1]) =m∑j=1

|ZC,D(tj)− ZC,D(tj−1)|p.


Dado j ∈ {1, 2, ...,m} fijo, tj−1 ∈ [c1 + ... + ck−1, c1 + ... + ck] para alguna k ∈ N. Notemos,

haciendo uso de la Figura 2.2 que como tj ∈ [c1 + ...+ ck−1, 1] entonces

|ZC,D(tj)− ZC,D(tj−1)| ≤ dk.

Ahora, si tenemos que para algun i ∈ {1, 2, ...,m} y s ∈ {1, 2, ...,m − i}, {ti, ti+1, ..., ti+s} ∈

[c1 + ...+ ck, c1 + ...+ ck+1] para algun k ∈ N, entonces

i+m∑j=i+1

|ZC,D(tj)− ZC,D(tj−1)| ≤|ZC,D(c1 + ...+ ck)− ZC,D(c1 + ...+ ck+1)|

= dk+1 ≤ dk.

Haciendo uso del Lema 2.1.5, obtenemos

i+m∑j=i+1

|ZC,D(tj)− ZC,D(tj−1)|p ≤

i+m∑j=i+1

|ZC,D(tj)− ZC,D(tj−1)|

p

≤ dkp.

Por tanto, tenemos que para cualquier particion P ∈P[0, 1]

V arWp (ZC,D, P ; [0, 1]) =

m∑j=1

|ZC,D(tj)− ZC,D(tj−1)|p

≤∞∑k=1

dkp.

De esto ultimo se sigue que

V arWp (ZC,D; [0, 1]) ≤∞∑k=1

dkp. (2.1.25)

De (2.1.24) y (2.1.25) concluimos lo deseado

V arWp (ZC,D; [0, 1]) =

∞∑k=1

dkp.

Notemos que entonces, la variacion de Jordan o de Wiener de ZC,D es independiente de la

sucesion C = (cn)∞n=1.

2.2. ESPACIO DE VARIACION DE RIESZ ACOTADA 49

Para la funcion zigzag especial,

V arWp (Zθ; [0, 1]) =

∞∑k=1

1

kpθ(1 ≤ p <∞). (2.1.26)

Haremos uso de esta observacion para probar que WBVp[a, b] ⊂WBVq[a, b] para q > p, e incluso

mas que esto.

Ejemplo 2.1.3. Para p ≥ 1, consideremos la funcion f : [0, 1]→ R tal que f(x) := Z1/p(x).

De (2.1.26), tenemos que f ∈WBVq[0, 1] \WBVp[0, 1] para cualquier q > p. Esto se debe a

que la p-variacion de Wiener de f es igual a

V arWp (Z1/p; [0, 1]) =

∞∑k=1

1

k,

y esta serie diverge, sin embargo la q-variacion de Wiener de f es igual a

V arWp (Z1/p; [0, 1]) =∞∑k=1

1

kq/p,

y esta serie converge dado que q/p > 1.

Podemos concluir algo incluso mejor, f satisface lo siguiente:

f ∈⋂q>p

WBVq[0, 1] \WBVp[0, 1].

En particular, la funcion zigzag especial Z1 pertenece a WBVp[0, 1] para p > 1 pero no pertenece

a BV [0, 1].

2.2. Espacio de Variacion de Riesz Acotada

Estudiaremos ahora otro concepto de espacio de variacion acotada introducido por F. Riesz.

Como mencionamos al inicio del capıtulo este espacio tiene aplicaciones interesantes, las cuales


abordaremos al final de esta seccion y en el Capıtulo 3. Para comenzar, presentamos la definicion

de p-variacion desde la perspectiva de Riesz y algunas de sus propiedades.

Definicion 2.2.1. Dado un numero real p ≥ 1, una particion P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P[a, b] y

una funcion f : [a, b]→ R, el numero real no negativo

V arRp (f, P ) = V arRp (f, P ; [a, b]) :=m∑j=1


(tj − tj−1)p−1, (2.2.1)

se llama variacion de Riesz de f en [a, b] con respecto a la particion P . Mientras que el numero

posiblemente infinito

V arRp (f) = V arRp (f ; [a, b]) := sup{V arRp (f, P ; [a, b]) | P ∈P[a, b]

}, (2.2.2)

se llama variacion de Riesz total de f en [a, b].

Si tenemos que V arRp (f) < ∞, decimos que f tiene variacion de Riesz acotada en [a, b], lo

cual escribimos como f ∈ RBVp[a, b].

Proposicion 2.2.1. Para 1 ≤ p <∞ tenemos la siguiente inclusion:

RBVp[a, b] ⊆ BV [a, b].

Demostracion. Sea f ∈ RBVp[a, b] y P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P[a, b]}, sea p′ tal que 1p + 1

p′ = 1.

Entonces, haciendo uso de la desigualdad de Holder, obtenemos

V ar(f, P ; [a, b]) =

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|

=m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|(tj − tj−1)1/p′

(tj − tj−1)1/p′

≤

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1|p

(tj − tj−1)p−1

1/p m∑j=1

(tj − tj−1)

1/p′

≤ V arRp (f, P )1/p(b− a)1/p′.


Por lo tanto

V ar(f ; [a, b]) ≤ V arRp (f, P )1/p(b− a)1/p′<∞, (2.2.3)

lo cual implica que f ∈ BV [a, b].

Similarmente a lo hecho para el espacio BV [a, b] y el espacio WBVp[a, b], tenemos el siguiente

resultado para el espacio RBVp[a, b].

Proposicion 2.2.2. El conjunto RBVp[a, b], con la norma definida para f ∈ RBVp[a, b] como

‖f‖RBVp := |f(a)|+ V arRp (f ; [a, b])1/p, (2.2.4)

es un espacio de Banach, el cual para p > 1 esta incluido continuamente en el espacio de Banach

(C[a, b], ‖.‖∞). Tambien esta incluido continuamente en el espacio (BV [a, b], ‖.‖BV ).

Adicionalmente, RBVp[a, b] es un algebra que satisface

V arRp (fg)1/p ≤ ‖g‖∞V arRp (f)1/p + ‖f‖∞V arRp (g)1/p, (2.2.5)

para f, g ∈ RBVp[a, b].

Demostracion. Probemos primero que RBVp[a, b] es un espacio vectorial. Sean f, g ∈ RBVp[a, b]

y P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[a, b], entonces utilizando la desigualdad de Minkowski obtenemos

V arRp (f + g, P ; [a, b])1/p =

m∑j=1

|f(tj) + g(tj)− f(tj−1)− g(tj−1)|p

(tj − tj−1)p−1

1/p

≤

m∑j=1


(tj − tj−1)p−1

1/p

+

m∑j=1

|g(tj)− g(tj−1)|p

(tj − tj−1)p−1

1/p

= V arRp (f, P ; [a, b])1/p + V arRp (g, P ; [a, b])1/p

≤ V arRp (f ; [a, b])1/p + V arRp (g; [a, b])1/p.

De lo anterior se sigue que

V arRp (f + g, P ; [a, b])1/p ≤ V arRp (f ; [a, b])1/p + V arRp (g; [a, b])1/p.


Por lo tanto, f + g ∈ RBVp[a, b].

Sean α ∈ R, f ∈ RBVp[a, b] y P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[a, b], entonces

V arRp (αf, P ; [a, b])1/p =

m∑j=1

|αf(tj)− αf(tj−1)|p

(tj − tj−1)p−1

1/p

= |α|

m∑j=1


(tj − tj−1)p−1

1/p

= |α|V arRp (f, P ; [a, b])1/p.


V arRp (αf ; [a, b])1/p = |α|V arRp (f ; [a, b])1/p.

Por tanto, αf ∈ RBVp[a, b], probando ası que RBVp[a, b] es un espacio lineal.

Probemos ahora que RBVp[a, b] ⊂ C[a, b] para p > 1. Sean f ∈ RBVp[a, b] con p > 1,

ε > 0 y x0 ∈ [a, b] arbitraria pero fija. Para x ∈ [a, b] tal que x 6= x0, consideremos la particion

P = {x0, x} ∈P[x0, x] si x0 < x y la particion P = {x, x0} ∈P[x, x0] si x < x0. Tenemos que

V arRp (f, P ; [x, x0])1/p = V arRp (f, P ; [x0, x])1/p =

|f(x)− f(x0)||x− x0|1/p′

.

Entonces

|f(x)− f(x0)||x− x0|1/p′

≤ V arRp (f ; [x0, x])1/p y|f(x)− f(x0)||x− x0|1/p′

≤ V arRp (f ; [x, x0])1/p.

Tenemos entonces que si |x− x0| < δ donde

δ =εp′

V arRp (f ; [x0, x])p′−1

si x0 < x, y

δ =εp′

V arRp (f ; [x, x0])p′−1

si x < x0, entonces |f(x)−f(x0)| ≤ ε. Notemos que x0 ∈ [a, b] fue tomado arbitrariamente, por lo

tanto f es continua en todo el intervalo [a, b]. Como [a, b] es un conjunto compacto de R, entonces


f es de hecho uniformemente continua en [a, b]. Hemos probado ası que RBVp[a, b] ⊂ C[a, b].

Ahora, el espacio (RBVp[a, b], ‖.‖RBVp) esta continuamente incluido en el espacio (C[a, b], ‖.‖∞),

ya que por (2.2.3)

‖f‖RBVp : = |f(a)|+ V arRp (f ; [a, b])1/p

≥ |f(a)|+ V ar(f ; [a, b])

(b− a)1/p′

≥ K‖f‖∞,

donde K = mın{

1, 1(b−a)1/p′

}.

Analogamente, el espacio (RBVp[a, b], ‖.‖RBVp) esta continuamente incluido en el espacio

(BV [a, b], ‖.‖BV ), ya que por (2.2.3)

‖f‖RBVp : = |f(a)|+ V arRp (f ; [a, b])1/p

≥ |f(a)|+ V ar(f ; [a, b])

(b− a)1/p′

≥ K‖f‖BV .

Finalmente, probemos que (RBVp[a, b], ‖.‖RBVp) es un espacio de Banach.

Sea (fn)∞n=1 una sucesion de Cauchy en la norma ‖.‖RBVp . Entonces, dado ε > 0 existe N ∈ N

tal que para m,n ≥ N

‖fn − fm‖RBVp := |fn(a)− fm(a)|+ V arRp (fn − fm; [a, b])1/p ≤ ε.

Notemos que en particular, para m,n ≥ N

V arRp (fn − fm; [a, b])1/p ≤ ε.

Esto implica que para toda P = {t0, t1, ..., tk} ∈P[a, b] y m,n ≥ N

k∑j=1

|(fn(tj)− fm(tj))− (fn(tj−1)− fm(tj−1))|p

(tj − tj−1)p−1≤ εp. (2.2.6)


Como observamos anteriormente que (RBVp[a, b], ‖.‖RBVp) esta continuamente incluido en (C[a, b], ‖.‖∞),

entonces la sucesion (fn)∞n=1 es tambien una sucesion de Cauchy en el espacio (C[a, b], ‖.‖∞).

Por la completez de este ultimo espacio tenemos que existe una funcion f ∈ C[a, b] tal que

fn → f uniformemente. Tomando lımite cuando m → ∞ en (2.2.6), obtenemos que para toda

P = {t0, t1, ..., tk} ∈P[a, b] y n ≥ N

k∑j=1

|(fn(tj)− f(tj))− (fn(tj−1)− f(tj−1))|p

(tj − tj−1)p−1≤ εp.

Esto implica que para n ≥ N

V arRp (fn − f ; [a, b]) ≤ εp. (2.2.7)

Tenemos entonces que fN − f ∈ RBVp[a, b]. Como fN ∈ RBVp[a, b] y ya probamos que este es

un espacio vectorial, se sigue que f ∈ RBVp[a, b].

Ahora, como (fn)∞n=1 converge a f uniformemente y por lo tanto puntualmente, entonces existe

N ′ ∈ N tal que para n ≥ N ′

|fn(a)− f(a)| < ε. (2.2.8)

De (2.2.7) y (2.2.8) obtenemos que para n ≥ max{N,N ′}

‖fn − f‖RBVp ≤ 2ε.

Por lo tanto fnRBVp−−−→ f , probando ası que (RBVp[a, b], ‖.‖RBVp) es un espacio de Banach.

Para finalizar, probemos (2.2.5).

Sean f, g ∈ RBVp[a, b] y P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P[a, b], utilizando la desigualdad de Minkowski

obtenemos

V arRp (fg, P ; [a, b])1/p =

m∑j=1

|f(tj)g(tj)− f(tj−1)g(tj−1)|p

(tj − tj−1)p−1

1/p

≤

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|p|g(tj)|p

(tj − tj−1)p−1

1/p

+

m∑j=1

|g(tj)− g(tj−1)|p|f(tj−1)|p

(tj − tj−1)p−1

1/p

≤ ‖g‖∞V arRp (f ; [a, b])1/p + ‖f‖∞V arRp (g; [a, b])1/p.


Por lo tanto, tenemos la desigualdad deseada

V arRp (fg; [a, b])1/p ≤ ‖g‖∞V arRp (f ; [a, b])1/p + ‖f‖∞V arRp (g; [a, b])1/p.

Al comparar la Definicion 1.1.1 del espacio clasico BV [a, b] con la Definicion 2.2.1 del espacio

RBVp[a, b], observamos que

V arR1 (f, P ; [a, b]) = V ar(f, P ; [a, b]) y V arR1 (f ; [a, b]) = V ar(f ; [a, b]).

Por lo tanto RBV1[a, b] = BV [a, b].

Como conclusion, los dos espacios RV Bp[a, b] y WBVp[a, b] generalizan el espacio clasico BV [a, b]

desde dos perspectivas diferentes. Sin embargo, la definicion del espacio RBVp[a, b] es un poco

mas interesante ya que este posee propiedades importantes mencionadas anteriormente y que

veremos mas adelante.

A diferencia del espacio BV [a, b] o los espacios WBVp[a, b], todas las funciones en RBVp[a, b]

tienen la propiedad de ser continuas en el caso p > 1.

Podemos preguntarnos, como lo hicimos en el estudio de los espacios anteriores, si los es-

pacios RBVp[a, b] estan relacionados con el espacio Lipschitz Lip[a, b] o los espacios α-Lipschitz

Lipα[a, b]. El siguiente resultado es paralelo a la cadena de inclusiones (1.2.7). En particular,

muestra que RBVp es intermedio entre los espacios Lip[a, b] y AC[a, b].

Proposicion 2.2.3. Las siguientes inclusiones son validas para p > 1:

Lip[a, b] ⊆ RBVp[a, b] ⊆ AC[a, b] ⊆ BV [a, b]. (2.2.9)

Demostracion. Probemos la primera inclusion. Sea f ∈ Lip[a, b], entonces existe L > 0 tal que

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|,


para a ≤ x, y ≤ b.

Sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[a, b], entonces

V arRp (f, P ; [a, b]) =

m∑j=1


(tj − tj−1)p−1

≤m∑j=1

Lp|tj − tj−1|p

(tj − tj−1)p−1

=m∑j=1

Lp|tj − tj−1| = Lp(b− a).

Como esto es valido para P ∈P[a, b] arbitraria, y Lp(b− a) no depende de P , se sigue que

V arRp (f ; [a, b]) = Lp(b− a). (2.2.10)

Por lo tanto f ∈ RBVp[a, b].

Ahora, para la segunda inclusion, sea f ∈ RBVp[a, b], tal que f no sea la funcion identica-

mente cero, ε > 0 y {[a1, b1], [a2, b2], ..., [an, bn]} ∈∑

[a, b], entonces

n∑k=1

|f(bk)− f(ak)| =n∑k=1

|f(bk)− f(ak)||bk − ak|1/p′

|bk − ak|1/p′.

Aplicando la desigualdad de Holder a

αk :=|f(bk)− f(ak)||bk − ak|1/p′

, βk := |bk − ak|1/p′,

obtenemos

n∑k=1

|f(bk)− f(ak)||bk − ak|1/p′

|bk − ak|1/p′ ≤

(n∑k=1

|f(bk)− f(ak)|p

|bk − ak|p−1

)1/p( n∑k=1

|bk − ak|

)1/p′

≤ V arRp (f ; [a, b])1/p

(n∑k=1

|bk − ak|

)1/p′

≤ ‖f‖RBVp

(n∑k=1

|bk − ak|

)1/p′

.


De lo anterior, tenemos que sin∑k=1

(bk − ak) < δ,

donde

δ ≤ εp′

‖f‖p′

RBVp

,

entoncesn∑k=1

|f(bk)− f(ak)| ≤ ε.

Por lo tanto hemos probado que f ∈ AC[a, b].

La contencion AC[a, b] ⊆ BV [a, b] fue demostrada en la Proposicion 1.2.1.

A continuacion probaremos una propiedad importante del espacio RBVp[a, b]. Este espacio

permite una caracterizacion natural por medio de funciones absolutamente continuas.

Teorema 2.2.4. (Riesz) Sea 1 < p < ∞. Una funcion f : [a, b] → R es tal que f ∈ RBVp[a, b]

si y solamente si f ∈ AC[a, b] y f ′ ∈ Lp[a, b]. Ademas, en este caso, se cumple la siguiente

igualdad

V arRp (f ; [a, b]) = ‖f ′‖pLp =

∫ b

a|f ′(x)|pdx. (2.2.11)

Demostracion. Supongamos primero que f ∈ AC[a, b] y f ′ ∈ Lp[a, b].

Para x, y ∈ [a, b], x < y, tenemos por la desigualdad de Holder que

|f(y)− f(x)|p =

∣∣∣∣∫ y

xf ′(t)dt

∣∣∣∣p ≤ (∫ y

x|f ′(t)|dt

)p≤

[(∫ y

xdt

)1/p′ (∫ y

x|f ′(t)|pdt

)1/p]p

= (y − x)p−1∫ y

x|f ′(t)|pdt.

Consecuentemente|f(y)− f(x)|p

|y − x|p−1≤∫ y

x|f ′(t)|pdt.


Ahora, sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[a, b], entonces

V arRp (f, P ; [a, b]) =m∑j=1


|tj − tj−1|p−1

≤m∑j=1

∫ tj

tj−1

|f ′(t)|pdt

=

∫ b

a|f ′(t)|pdt = ‖f ′‖pLp .

Por lo tanto

V arRp (f ; [a, b]) ≤ ‖f ′‖pLp , (2.2.12)

mostrando ası que f ∈ RBVp[a, b].

Recıprocamente, sea f ∈ RBVp[a, b]. Notemos que por la Proposicion 2.2.3, RBVp ⊆ AC[a, b]

si p > 1. Esto implica que f ′ existe casi en todas partes en [a, b]. Por lo anterior, solamente de-

bemos probar que f ′ ∈ Lp[a, b].

Para esto, para cada n ∈ N, consideramos las particiones equidistantes Pn := {t0,n, t1,n, ..., tn,n} ∈

P[a, b] dadas por

t0,n := a, t1,n := a+1

n(b− a), ... , tn−1,n := a+

n− 1

n(b− a), tn,n := b. (2.2.13)

Definimos las funciones constantes a trozos gn : [a, b]→ R para n ∈ N y k = 0, 1, ..., n, como

gn(t) :=

f(tk+1,n)−f(tk,n)

tk+1,n−tk,n si tk,n ≤ t < tk+1,n,

0 si t = b.

(2.2.14)

Probaremos que gn(t) → f ′(t) en los puntos t ∈ [a, b] donde f es diferenciable y t 6= tj,n para

j ∈ {0, 1, ..., n}, esto es, en el conjunto

A ={t ∈ [a, b] | f ′(t) existe

}\ {tj,n | n ∈ N, j ∈ {0, 1, ..., n}} .


Sea t ∈ A, para cada n ∈ N existe k ∈ {0, 1, ..., n} tal que tk,n ≤ t ≤ tk+1,n. Entonces

gn(t) =f(tk+1,n)− f(tk,n)

tk+1,n − tk,n=f(tk+1,n)− f(t) + f(t)− f(tk,n)

tk+1,n − tk,n

=tk+1,n − ttk+1,n − tk,n

f(tk+1,n)− f(t)

tk+1,n − t+

t− tk,ntk+1,n − tk,n

f(t)− f(tk,n)

t− tk,n.

De aquı que gn(t) es una combinacion convexa de

f(tk+1,n)− f(t)

tk+1,n − ty

f(t)− f(tk,n)

t− tk,n.

Notemos que cuando n→∞, tk,n → t y tk+1,n → t y f es diferenciable en t. Entonces

f(tk+1,n)− f(t)

tk+1,n − tn→∞−−−→ f ′(t) y

f(t)− f(tk,n)

t− tk,nn→∞−−−→ f ′(t).

Por lo tanto para t ∈ A

lımn→∞

gn(t) = f ′(t).

Notemos que el conjunto Ac tiene medida de Lebesgue cero, entonces tenemos que gn(t)→ f ′(t)

casi en todas partes en [a, b]. Por el Lema de Fatou∫ b

a|f ′(t)|pdt ≤ lım inf

n→∞

∫ b

a|gn(t)|pdt

= lım infn→∞

n∑k=1

|f(tk+1,n)− f(tk,n)|p

|tk+1,n − tk,n|p|tk+1,n − tk,n|

≤ V arRp (f ; [a, b]) <∞. (2.2.15)

Por lo tanto f ∈ Lp[a, b].

De (2.2.12) y (2.2.15), obtenemos

V arRp (f ; [a, b]) = ‖f‖pLp =

∫ b

a|f ′(t)|pdt.

Notemos que por (2.2.4) y (2.2.10), tenemos que si f ∈ Lip[a, b] entonces

‖f‖RBVp := |f(a)|+ V arRp (f ; [a, b])1/p

≤ |f(a)|+ L(b− a)1/p.


Como podemos tomar L arbitrariamente cerca de la mınima constante de Lipschitz lip(f),

entonces

‖f‖RBVp ≤ |f(a)|+ lip(f)(b− a)1/p

≤ max{1, (b− a)1/p}‖f‖lip.

Por tanto concluimos que el espacio (Lip[a, b], ‖.‖lip) esta incluido continuamente en el espacio

(RBVp[a, b], ‖.‖RBVp).

De forma analoga, la estimacion obtenida anteriormente

V ar(f ; [a, b]) ≤ (b− a)1/p′V arRp (f ; [a, b])1/p,

implica

‖f‖BV ≤ max{1, (b− a)1/p′}‖f‖RBVp .

Lo cual muestra que el espacio (RBVp[a, b], ‖.‖RBVp) esta incluido continuamente en el espacio

(BV [a, b], ‖.‖BV )

Podemos preguntarnos si el resultado paralelo a la Proposicion 2.1.6 se cumple para los espa-

cios RBVp[a, b], esto es, si el espacio RBVp[a, b] esta contenido o no en algun espacio RBVq[a, b]

para ciertos valores de p y q. En efecto, existe dicho resultado paralelo y lo mostramos a conti-

nuacion.

Proposicion 2.2.5. Sean 1 ≤ p ≤ q <∞. Se cumple la inclusion

RBVq[a, b] ⊆ RBVp[a, b]. (2.2.16)

Demostracion. Sin perdida de generalidad, supongamos que 1 < p < q < ∞, ya que si p = 1,

obtuvimos previamente que RBVq ⊆ BV [a, b] para q > 1.

Sean

r :=q

ps :=

q

q − p1

r+

1

s= 1.


Sean f ∈ RBVq[a, b] y P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[a, b]. Utilizando la desigualdad de Holder para

αj :=|f(tj)− f(tj−1)|p

|tj − tj−1|p−1+1/sy βj := |tj − tj−1|1/s,

tenemos que

V arRp (f, P ; [a, b]) =

m∑j=1


|tj − tj−1|p−1

≤

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|pr

|tj − tj−1|(p−1+1/s)r

1/r m∑j=1

|tj − tj−1|

1/s

=

m∑j=1

|f(tj)− f(tj−1)|q

|tj − tj−1|q−1

p/q

(b− a)(q−p)/q

≤ V arRq (f ; [a, b])p/q(b− a)(q−p)/q.

Por lo tanto f ∈ RBVp[a, b].

Como en el caso de la inclusion en la Proposicion 2.1.6, la inclusion (2.2.16) es estricta si

p < q.

Capıtulo 3

Variacion Acotada y Dualidad

En este capıtulo trataremos un concepto basico del analisis funcional: la dualidad. El estu-

dio de los espacios duales es de gran utilidad en matematicas ya que propiedades importantes

de un espacio X se reflejan en su espacio dual X∗. Aunado a lo anterior, en ocasiones resulta

conveniente estudiar a los elementos de un espacio como elementos de algun espacio dual.

Nuestro objetivo en este capıtulo es obtener un resultado de representacion para los elementos

de los espacios de variacion acotada BV [a, b] y RBVp[a, b], como elementos de espacios duales.

Para ello, haremos uso del concepto de integral de Riemann-Stieltjes y sus propiedades. Estas

pueden ser consultadas en [1], [2] y [5]. Los resultados presentados en este capıtulo se obtuvieron

de [2] y [4].

Recordamos a continuacion la definicion del dual de un espacio.

Definicion 3.0.1. Una transformacion lineal Λ definida en un espacio normado X y que toma

valores en R se llama funcional lineal. Decimos que Λ es una funcional lineal acotada si ademas

existe una constante real K > 0, tal que para toda x ∈ X

|Λ(x)| ≤ K‖x‖X . (3.0.1)

63

64 CAPITULO 3. VARIACION ACOTADA Y DUALIDAD

El espacio dual de un espacio normado X, que denotaremos como X∗ esta definido como

X∗ := {Λ : X → R | Λ es funcional lineal acotada}.

Este espacio es un espacio normado con la norma

‖Λ‖X∗ := supx 6=0

|Λ(x)|‖x‖X

= sup‖x‖X≤1

|Λ(x)| = sup‖x‖X=1

|Λ(x)|. (3.0.2)

Un resultado basico de analisis funcional es que debido a la completez de R el espacio dual de

un espacio normado X es un espacio de Banach.

3.1. Variacion Acotada Clasica y Dualidad

En esta seccion, obtendremos una representacion por medio de funciones en el espacio clasico

BV [a, b] para funcionales lineales acotadas en C[a, b], el espacio de funciones continuas a valores

reales definidas en [a, b], con la norma usual

‖x‖∞ := maxa≤t≤b

|x(t)| para x ∈ C[a, b].

Mostraremos que para toda Λ ∈ C[a, b]∗, existe una funcion g ∈ BV [a, b] con la propiedad

de que para cada x ∈ C[a, b], el valor de Λ(x) esta dado por la integral de Riemann-Stieltjes

Λ(x) =

∫ b

ax(t)dg(t). (3.1.1)

De esta forma, habremos logrado representar a cualquier funcional lineal acotada en C[a, b] por

medio de una funcion en el espacio BV [a, b]. Sin embargo, nuestro objetivo principal sera de-

terminar un isomorfismo isometrico entre C[a, b]∗ y algun subespacio de BV [a, b]. Para lograrlo,

introduciremos una relacion de equivalencia entre funciones en BV [a, b] y mostraremos que cada

clase de equivalencia posee un representante de variacion acotada normalizada, permitiendo ası

que la correspondencia dada por (3.1.1) sea inyectiva.

3.1. VARIACION ACOTADA CLASICA Y DUALIDAD 65

3.1.1. Teorema de Representacion para Funcionales en el Dual de C[a, b]

El siguiente resultado establece una primera representacion a traves de funciones en el espa-

cio BV [a, b] para funcionales en el dual C[a, b]∗.

Teorema 3.1.1. Sea Λ ∈ C[a, b]∗, entonces existe una funcion g ∈ BV [a, b] tal que para toda

x ∈ C[a, b]

Λ(x) =

∫ b

ax(t)dg(t) (3.1.2)

y es tal que

‖Λ‖C[a,b]∗ = V ar(g; [a, b]). (3.1.3)

Demostracion. Por el Teorema de Hahn-Banach, si vemos a C[a, b] como subespacio de B[a, b],

entonces existe una funcional lineal acotada Λ ∈ B[a, b]∗, que extiende a Λ y es tal que

‖Λ‖B[a,b]∗ = ‖Λ‖C[a,b]∗ .

Ahora, para a < s < b, consideramos la funcion caracterıstica de [a, s]

X[a,s](t) :=

1 si t ∈ [a, s],

0 si t /∈ [a, s].

Claramente para cada s tal que a < s < b, X[a,s] ∈ B[a, b]. Definimos entonces la funcion

g : [a, b]→ R tal que

g(s) :=

Λ(X[a,s]

)si a < s ≤ b,

0 si s = a.

(3.1.4)

Ahora, sea P = {t0, t1, ..., tn} ∈P[a, b], definimos

αi := sgn [g(ti)− g(ti−1)] , (3.1.5)


donde para t ∈ R

sgn(t) :=

0 si t = 0,

t|t| si t 6= 0.

Definimos a continuacion y : [a, b]→ R tal que

y(t) :=

α1 si t0 ≤ t ≤ t1

αi si ti−1 < t ≤ ti, i ∈ {2, ..., n}.(3.1.6)

Notemos que y ∈ B[a, b], ya que si ti−1 < t ≤ ti para i ∈ {1, 2, ..., n}

|y(t)| = |αi| =

0 si g(ti−1) = g(ti),

1 si g(ti−1) 6= g(ti).

(3.1.7)

Ademas

‖y‖B[a,b] := supa≤t≤b

|y(t)| = 1. (3.1.8)

Afirmamos que y ∈ B[a, b] se puede escribir de la siguiente forma

y(t) =

n∑i=1

αi (yi(t)− yi−1(t)) , (3.1.9)

donde yi = X[a, ti] para i = 1, 2, ..., n y y0 = 0.

Probemos que (3.1.9) es valido cuando t0 ≤ t ≤ t1. El lado derecho de (3.1.9) en este caso es

n∑i=1

αi (yi(t)− yi−1(t)) = α1(1− 0) + α2(1− 1) + ...+ αn(1− 1) = α1,

y por definicion y(t) = α1.

Ahora si ti−1 < t ≤ ti para algun i = 2, ..., n el lado derecho de (3.1.9) es

n∑i=1

αi (yi(t)− yi−1(t)) = αi,


y por definicion y(t) = αi.

Ahora, aplicando la funcional Λ a la funcion y ∈ B[a, b], utilizando la representacion (3.1.9)

y la linealidad de la funcional, obtenemos

Λ(y) =n∑i=1

αi

(Λ(yi)− Λ(yi−1)

).

Podemos evaluar la funcional Λ en yi para i = 1, 2, ..., n, pues yi(t) = X[0,ti](t) para i = 1, 2, ..., n

y por lo tanto yi ∈ B[a, b] para i = 1, 2, ..., n.

Por (3.1.4)

Λ(y) =

n∑i=1

αi (g(ti)− g(ti−1)) .

Notemos que αsgn(α) = |α|, entonces por la definicion de αi = sgn [g(ti)− g(ti−1)] para i =

1, 2, ..., n, podemos escribir Λ(y) como

Λ(y) =n∑i=1

|g(ti)− g(ti−1)|,

lo cual implica, utilizando (3.1.8) y el hecho de que Λ es una funcional lineal acotada con la

misma norma que Λ, que

n∑i=1

|g(ti)− g(ti−1)| = |Λ(y)|

≤ ‖Λ‖B[a,b]∗‖y‖B[a,b]

= ‖Λ‖B[a,b]∗

= ‖Λ‖C[a,b]∗ . (3.1.10)

Es decir, para cualquier particion P = {t0, t1, ..., tn} ∈P[a, b]

V ar(g, P ; [a, b]) =

n∑i=1

|g(ti)− g(ti−1)| ≤ ‖Λ‖C[a,b]∗ .

Por lo tanto

V ar(g; [a, b]) ≤ ‖Λ‖C[a,b]∗ . (3.1.11)


De aquı que la funcion g : [a, b]→ R definida en (3.1.4) es tal que g ∈ BV [a, b].

Supongamos a continuacion que x ∈ C[a, b] arbitraria, y definimos z : [a, b]→ R como

z(t) :=n∑i=1

x(ti−1) (yi(t)− yi−1(t)) . (3.1.12)

Notemos que si t0 ≤ t ≤ t1, entonces

z(t) = x(t0).

Si ti−1 < t ≤ ti para i = 2, 3, ..., n, entonces

z(t) = x(ti−1).

Ahora, como observamos anteriormente, Λ(yj) = g(tj) para j = 0, 1, 2, ..., n. Entonces, evaluamos

Λ en z ∈ B[a, b] y utilizando la linealidad de Λ, obtenemos

Λ(z) =

n∑i=1

x(ti−1)(

Λ(yi)− Λ(yi−1))

=

n∑i=1

x(ti−1) (g(ti)− g(ti−1)) . (3.1.13)

Observemos que para t ∈ [a, b]

z(t)− x(t) =

x(t0)− x(t) si t0 ≤ t ≤ t1

x(ti−1)− x(t) si ti−1 < t ≤ ti

Sea µ(P ) la norma de la particion P ∈P[a, b], definida como

µ(P ) := maxi∈{1,...,n}

|ti − ti−1|,

probaremos que si µ(P )→ 0, entonces ‖z − x‖B[a,b] → 0.

Supongamos que µ(P )→ 0, esto es, para todo δ > 0 existe P ∈P[a, b] tal que

maxi|ti − ti−1| ≤ δ.


Como x ∈ C[a, b], entonces x es uniformemente continua en [a, b], entonces dado ε > 0 existe δ′

tal que si |tj−1 − tj | ≤ δ′ para cualquier j = 1, 2, ..., n, entonces |x(tj−1)− x(tj)| ≤ ε.

Observemos que como µ(P )→ 0, para δ′ existe P = {t0, t1, ..., tn} ∈P[a, b] tal que

maxi∈{1,...,n}

|ti − ti−1| ≤ δ′,

lo cual implica, por la continuidad uniforme de x ∈ C[a, b], que para toda i ∈ {1, ..., n}

|x(ti−1)− x(t)| ≤ ε.

De aquı que

‖z − t‖B[a,b] = supa≤t≤b

|z(t)− x(t)|

= supi∈{1,...,n}

|x(ti−1)− x(t)| ≤ ε.

Probando ası que si µ(P )→ 0, entonces

‖z − t‖B[a,b] → 0.

Ahora, como Λ es una funcional lineal acotada, es continua. Esto implica

lımµ(P )→0

Λ(z) = lımz→x

Λ(z) = Λ(x), (3.1.14)

donde con z → x, nos referimos a ‖z−t‖B[a,b] → 0, es decir z → x en el espacio (B[a, b], ‖.‖B[a,b]).

Por otro lado, por definicion de integral de Riemann-Stieltjes

lımµ(P )→0

Λ(z) = lımµ(P )→0

n∑i=1

x(ti−1) (g(ti)− g(ti−1))

=

∫ b

ax(t)dg(t). (3.1.15)

Podemos asegurar la existencia de esta integral, ya que x ∈ C[a, b] y g ∈ BV [a, b].

De (3.1.14) y (3.1.15) concluimos que

Λ(x) =

∫ b

ax(t)dg(t).


Ahora, como x ∈ C[a, b] y Λ coincide con Λ en C[a, b], entonces

Λ(x) =

∫ b

ax(t)dg(t).

Hemos probado la primera parte del Teorema.

Probemos a continuacion

‖Λ‖C[a,b]∗ = V ar(g; [a, b]).

Ya probamos en (3.1.11) que V ar(g; [a, b]) ≤ ‖Λ‖C[a,b]∗ , basta probar entonces que ‖Λ‖C[a,b]∗ ≤

V ar(g; [a, b]).

Por propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes, tenemos que

|Λ(x)| ≤ supa≤t≤b

|x(t)|V ar(g; [a, b]) = V ar(g; [a, b])‖x‖∞

para toda x ∈ C[a, b], ya que g ∈ BV [a, b].

Por tanto

‖Λ‖C[a,b]∗ ≤ V ar(g; [a, b]), (3.1.16)

y ası obtenemos la igualdad

‖Λ‖C[a,b]∗ = V ar(g; [a, b]).

3.1.2. Relacion de Equivalencia en BV [a, b]

En el Teorema 3.1.1 logramos una correspondencia entre funcionales en el dual C[a, b]∗ y

funciones en BV [a, b]. Sin embargo, esta correspondencia no es inyectiva, ya que si g ∈ BV [a, b]

satisface

Λ(x) =

∫ b

ax(t)dg(t) ∀x ∈ C[a, b],

entonces g + c, donde c ∈ R, verifica tambien

Λ(x) =

∫ b

ax(t)dg(t) =

∫ b

ax(t)d(g(t) + c) ∀x ∈ C[a, b].


Notemos que incluso si h ∈ BV [a, b] y es tal que h(a) = g(a), h(b) = g(b) y h(t) = g(t) en todos

los puntos t ∈ [a, b] donde g es continua, entonces

Λ(x) =

∫ b

ax(t)dg(t) =

∫ b

ax(t)dh(t) ∀x ∈ C[a, b], (3.1.17)

sin importar como este definida h en los puntos interiores de [a, b] donde g no es continua.

Para probar (3.1.17), recordemos que la funcion g es continua excepto a lo sumo en un

conjunto numerable C = {c1, c2, c3, ...}. Entonces dado ε > 0, siempre es posible encontrar una

particion P = {t0, t1, ..., tn} ∈P[a, b] tal que µ(P ) < ε y P ∩ C = ∅. Si τk ∈ [tk−1, tk], entonces

Sg(x, P ; [a, b]) :=m∑j=1

x(τj−1) (g(tj)− g(tj−1))

=m∑j=1

x(τj−1) (h(tj)− h(tj−1)) = Sh(x, P ; [a, b]).

De aquı, tenemos que∫ b

ax(t)dg(t) = lım

µ(P )→0Sg(x, P ; [a, b])

= lımµ(P )→0

Sh(x, P ; [a, b]) =

∫ b

ax(t)dh(t).

Notemos que esto es valido ya que podemos asegurar la existencia de las integrales por el hecho

de que x ∈ C[a, b] y g, h ∈ BV [a, b]. Hemos probado entonces (3.1.17).

Para mantener algo de la correspondencia establecida en el Teorema 3.1.1, introducimos una

relacion de equivalencia en BV [a, b].

Definicion 3.1.1. Para x1, x2 ∈ BV [a, b], definimos la relacion x1 ∼ x2 si y solamente si∫ b

ay(t)dx1(t) =

∫ b

ay(t)dx2(t) (3.1.18)

para toda y ∈ C[a, b].


Es facil ver que la relacion ∼ es efectivamente una relacion de equivalencia en BV [a, b]. No-

temos que si consideramos solo las clases de equivalencia determinadas por la relacion en lugar

de las funciones, la correspondencia establecida por el Teorema 3.1.1 tiene mayor posibilidad de

ser inyectiva.

Estableceremos a continuacion un criterio para que una funcion x ∈ BV [a, b] sea tal que

x ∼ 0. Este criterio nos sera muy util mas adelante.

Proposicion 3.1.2. Sea x ∈ BV [a, b], entonces x ∼ 0 si y solo si, para cualquier c ∈ (a, b)

x(a) = x(b) = lımt→c+

x(t) = lımt→c−

x(t). (3.1.19)

Demostracion. Notemos que (3.1.19) no implica que x sea continua en cada punto interior de

[a, b]. Como ejemplo presentamos la siguiente funcion:

x(t) :=

1 a ≤ t < c, c < t ≤ b,

2 t = c.

a c b

1

2

t

x(t)

Figura 3.1: Grafica de la funcion x.


La funcion x claramente no es continua en t = c, sin embargo cumple con el criterio (3.1.19).

Continuamos con la prueba de la proposicion. Supongamos que x ∼ 0, por (3.1.18), para la

funcion y(t) = 1 para toda t ∈ [a, b], tenemos

x(b)− x(a) =

∫ b

adx(t) =

∫ b

ad0(t) = 0. (3.1.20)

Por lo tanto x(b) = x(a).

Por otro lado, tenemos los siguientes hechos:

Para a ≤ c < b y h > 0

1

h

∫ c+h

cx(t)dt→ lım

t→c+x(t) cuando h→ 0. (3.1.21)

Para a < c ≤ b y h > 0

1

h

∫ c

c−hx(t)dt→ lım

t→c−x(t) cuando h→ 0. (3.1.22)

En efecto, como toda funcion x ∈ BV [a, b] es la diferencia de dos funciones crecientes, sera

suficiente suponer que x es creciente en [a, b].

Como en este caso lımt→c+ x(t) y lımt→c− x(t) siempre existen y de hecho

x(c+) := lımt→c+

x(t) = ınfc<t<c+h

x(t) a ≤ c < b, h > 0,

x(c−) := lımt→c−

x(t) = supc−h<t<c

x(t) a < c ≤ b, h > 0,

tenemos que

x(c+) =1

h

∫ c+h

cx(c+) ≤ 1

h

∫ c+h

cx(t) ≤ x(c+ h)

luego

x(c+) ≤ lımh→0

1

h

∫ c+h

cx(t) ≤ lım

h→0x(c+ h) = lım

t→c+x(t) = x(c+).

Por lo tanto, hemos demostrado (3.1.21). Una prueba analoga muestra la validez de (3.1.22).


Mostraremos ahora que x(a) = lımt→c+ x(t). El argumento para mostrar que x(a) = lımt→c− x(t)

es analogo.

Para esto, consideremos la funcion continua y : [a, b]→ R tal que

y(t) :=

1 a ≤ t ≤ c,

1− t−ch c < t ≤ c+ h,

0 c+ h < t ≤ b.

(3.1.23)

a c c+ h b

1

t

y(t)

Figura 3.2: Grafica de la funcion y.

Sea x ∈ BV [a, b] tal que x ∼ 0, entonces

0 =

∫ b

ay(t)dx(t) =

∫ c

adx(t) +

∫ c+h

cy(t)dx(t) = x(c)− x(a) +

∫ c+h

cy(t)dx(t). (3.1.24)

Por la formula de integracion por partes de la integral de Riemann-Stieltjes∫ c+h

cy(t)dx(t) = −x(c) +

1

h

∫ c+h

cx(t)dt. (3.1.25)

Entonces (3.1.24) y (3.1.25) implican

x(a) =1

h

∫ c+h

cx(t)dt.


Por lo tanto usando (3.1.21) obtenemos

x(a) = lımh→0

1

h

∫ c+h

cx(t)dt = lım

t→c+x(t).

Analogamente, se puede mostrar que x(b) = lımt→c− x(t) y hemos probado la primera implica-

cion.

Supongamos ahora que x ∈ BV [a, b] satisface que

x(a) = x(b) = lımt→c+

x(t) = lımt→c−

x(t)

para toda c ∈ (a, b).

Definimos x : [a, b] → R tal que x(t) := x(a) para toda t ∈ [a, b]. Entonces x(b) = x(b) y

x(t) = x(t) en todos los puntos del interior de [a, b] donde x es continua.

Por el mismo argumento que utilizamos para probar (3.1.17), podemos afirmar que para toda

y ∈ C[a, b] ∫ b

ay(t)dx(t) =

∫ b

ay(t)dx(t). (3.1.26)

Luego, como x es una funcion constante entonces para toda y ∈ C[a, b]∫ b

ay(t)dx(t) = 0,

lo cual implica por (3.1.26) que para toda y ∈ C[a, b]∫ b

ay(t)dx(t) = 0.

Por lo tanto x ∼ 0.

3.1.3. Funciones Normalizadas de Variacion Acotada

A continuacion definimos un subespacio de BV [a, b], el espacio de funciones normalizadas

de variacion acotada NBV [a, b]. A partir de este nuevo espacio podremos obtener la correspon-

dencia inyectiva que buscamos.


Definicion 3.1.2. Una funcion g ∈ BV [a, b] es normalizada, si g(a) = 0 y g es continua por la

derecha, esto es, para toda c ∈ (a, b) lımt→c+ g(t) = g(c). Al conjunto de funciones normalizadas

de variacion acotada en [a, b] lo denotamos por NBV [a, b]. Se puede verificar rapidamente que

NBV [a, b] es subespacio de BV [a, b].

El siguiente lema establece que si existe una funcion normalizada de variacion acotada en

alguna de las clases de equivalencia construidas anteriormente, entonces esta es unica.

Lema 3.1.3. Sean x1, x2 ∈ BV [a, b], tales que x1 ∼ x2 y x1, x2 ∈ NBV [a, b]. Entonces x1 = x2.

Demostracion. Para probar esto, notemos que x1 − x2 ∼ 0, lo cual implica que se cumple el

criterio de la Proposicion 3.1.2, es decir (x1 − x2)(a) = (x1 − x2)(b). Pero como x1, x2 son

normalizadas, entonces tenemos que

x1(b) = x2(b). (3.1.27)

Por el criterio de la Proposicion 3.1.2 tambien tenemos que para cualquier c ∈ (a, b)

0 = (x1 − x2)(a) = lımt→c+

(x1 − x2)(t) = lımt→c+

x1(t)− lımt→c+

x2(t).

Como x1, x2 son normalizadas, entonces son continuas por la derecha, por lo tanto tenemos que

para todo c ∈ (a, b)

x1(c) = x2(c). (3.1.28)

Hemos probado por (3.1.27) y (3.1.28) que

x1(t) = x2(t) ∀t ∈ [a, b].

Queremos ahora mostrar que para cada clase de equivalencia de BV [a, b] existe un represen-

tante normalizado. Ası, por el lema que acabamos de probar, sabremos que este representante


existe y es unico.

Entonces, dada una funcion x ∈ BV [a, b], debemos definir una funcion x ∈ NBV [a, b] tal

que x− x ∼ 0.

Proposicion 3.1.4. Sea x ∈ BV [a, b]. Consideremos la funcion x : [a, b]→ R, definida como

x(t) :=

0 si t = a,

x(t+)− x(a) si a < t < b,

x(b)− x(a) si t = b.

(3.1.29)

Entonces, tenemos que:

(a) V ar(x; [a, b]) ≤ V ar(x; [a, b]).

(b) x ∈ NBV [a, b].

(c) x ∼ x.

Demostracion. (a) Sea P = {t0, t1, ..., tn} ∈P[a, b].

Notemos que por definicion de lımite por la derecha, dado ε > 0, existen c1, c2, ..., cn−1, con

ti < ci para i = 1, ..., n− 1, tales que

|x(t+i )− x(ci)| <ε

2n. (3.1.30)

Ahora, por la definicion de la funcion x, podemos escribir para i = 2, ..., n− 1

x(ti)− x(ti−1) = x(t+i )− x(a)− x(t+i−1) + x(a)

= x(t+i )− x(t+i−1)

=(x(t+i )− x(ci)

)−(x(t+i−1)− x(ci−1)

)+ (x(ci)− x(ci−1)) .


Sea c0 = a y cn = b, utilizando (3.1.30) tenemos que

n∑i=1

|x(ti)− x(ti−1)| = |x(t1)− x(t0)|+n−1∑i=2

|x(ti)− x(ti−1)|+ |x(tn)− x(tn−1)|

≤ |x(t+1 )− x(c1)|+ |x(c1)− x(c0)|+n−1∑i=2

|x(t+i )− x(ci)|

+n−1∑i=2

|x(t+i−1)− x(ci−1)|+n−1∑i=2

|x(ci)− x(ci−1)|

+ |x(t+n−1)− x(cn−1)|+ |x(cn)− x(cn−1)|

=n−1∑i=1

|x(t+i )− x(ci)|+n∑i=2

|x(t+i−1)− x(ci−1)|

+n∑i=1

|x(ci)− x(ci−1)|

< nε

2n+ n

ε

2n+

n∑i=1

|x(ci)− x(ci−1)|

≤ ε+ V ar(x; [a, b]).


V ar(x; [a, b]) ≤ V ar(x; [a, b]) + ε.

Por lo tanto, como ε es arbitrario

V ar(x; [a, b]) ≤ V ar(x; [a, b]) <∞,

lo cual implica que x ∈ BV [a, b].


(b) Notemos que por definicion x(a) = 0 y para t ∈ (a, b)

x(t+) = lımh→0+

x(t+ h) = lımh→0+

[x((t+ h)+)− x(a)

]= lım

h→0+

[lımk→0+

x((t+ h) + k)

]− x(a)

= lımh→0+

lımk→0+

x((t+ h) + k)− x(a)

= lımδ→0+

x(t+ δ)− x(a)

= x(t+)− x(a) = x(t).

Por lo tanto x ∈ NBV [a, b].

(c) Probaremos que x− x ∼ 0, lo cual es equivalente a x ∼ x.

Notemos que

x(a)− x(a) = x(a), x(b)− x(b) = x(a),

de aquı que

x(a)− x(a) = x(b)− x(b).

Ahora, para t ∈ (a, b), usando (b) tenemos que

(x− x)(t+) = x(t+)− x(t+) = x(t+)− x(t)

= x(t+)− x(t+) + x(a)

= x(a).


Tambien tenemos

(x− x)(t−) = x(t+)− x(t−) = x(t−)− lımh→0+

x(t− h)

= x(t−)− lımh→0+

[x((t− h)+)− x(a)

]= x(a) + x(t−)− lım

h→0+x((t− h)+)

= x(a) + lımh→0+

[x(t− h)− lım

k→0+x(t− h+ k)

]= x(a) + lım

h→0+lımk→0+

[x(t− h)− x(t− h+ k)] .

Tomando k = h2 , obtenemos

x(a) + lımh→0+

lımk→0+

[x(t− h)− x(t− h+ k)] = x(a) + lımh→0+

[x(t− h)− x

(t− h

2

)]= x(a) + x(t−)− x(t−) = x(a).

Por lo tanto x− x ∼ 0.

Notemos que como x y x son funciones de variacion acotada en [a, b], entonces existen sus

lımites laterales, los cuales hemos utilizado en esta demostracion.

3.1.4. El Espacio Dual de C[a,b]

Finalmente, probaremos el resultado principal de esta seccion, haciendo uso de todo lo pro-

bado anteriormente.

Teorema 3.1.5. El espacio dual de C[a, b] es el espacio NBV [a, b], es decir que C[a, b]∗ y

NBV [a, b] son isometricamente isomorfos.

El isomorfismo esta dado por

ψ : NBV [a, b]→ C[a, b]∗,


tal que

ψ(g) = Λg,

donde

Λg(x) =

∫ b

ax(t)dg(t) ∀x ∈ C[a, b].

Demostracion. Probemos primero que ψ es una transformacion lineal.

Sean g1, g2 ∈ NBV [a, b], entonces

ψ(g1 + g2) = Λg1+g2 y ψ(g1) + ψ(g2) = Λg1 + Λg2 ,

donde para x ∈ C[a, b]

Λg1+g2(x) =

∫ b

ax(t)d (g1(t) + g2(t))

=

∫ b

ax(t)dg1(t) +

∫ b

ax(t)dg2(t)

= Λg1(x) + Λg2(x).

Por lo tanto

ψ(g1 + g2) = ψ(g1) + ψ(g2).

Sea α ∈ R y g ∈ NBV [a, b], entonces

ψ(αg) = Λαg y αψ(g) = αΛg,

donde para x ∈ C[a, b]

Λαg(x) =

∫ b

ax(t)d (αg(t))

= α

∫ b

ax(t)dg(t)

= αΛg(x).

Por lo tanto

ψ(αg) = αψ(g),


y ası ψ es una transformacion lineal.

Ahora, la funcional Λg : C[a, b]→ R definida para algun g ∈ NBV [a, b] como

Λg(x) =

∫ b

ax(t)dg(t),

es una funcional lineal, pues dadas x1, x2 ∈ C[a, b], α ∈ R, se tiene

Λg(x1 + αx2) =

∫ b

a[x1(t) + αx2(t)] dg(t)

=

∫ b

ax1(t)dg(t) + α

∫ b

ax2(t)dg(t)

= Λg(x1) + αΛg(x2).

Ademas Λg es una funcional lineal acotada para toda g ∈ NBV [a, b], ya que para x ∈ C[a, b]

|Λg(x)| =∣∣∣∣∫ b

ax(t)dg(t)

∣∣∣∣ ≤ ‖x‖∞V ar(g; [a, b]).

Por lo tanto ψ esta bien definida y ademas tenemos que

‖Λg‖C[a,b]∗ ≤ V ar(g; [a, b]) = ‖g‖NBV . (3.1.31)

Mostraremos ahora que ψ es un mapeo sobreyectivo.

Sea Λg ∈ C[a, b]∗, por el Teorema 3.1.1 existe h ∈ BV [a, b] tal que

Λg(x) =

∫ b

ax(t)dh(t) ∀x ∈ C[a, b],

por el Lema 3.1.3 y la Proposicion 3.1.4, existe una unica funcion g ∈ NBV [a, b] tal que∫ b

ax(t)dh(t) =

∫ b

ax(t)dg(t) ∀x ∈ C[a, b].

De aquı que existe una unica funcion g ∈ NBV [a, b] tal que

Λg(x) =

∫ b

ax(t)dg(t) ∀x ∈ C[a, b],

3.2. VARIACION DE RIESZ ACOTADA Y DUALIDAD 83

y claramente, por definicion de ψ, ψ(g) = Λg. Por lo tanto, concluimos que ψ es sobreyectiva.

Ahora, con Λg, g y h dadas anteriormente, el Teorema 3.1.1 muestra tambien que

‖Λg‖C[a,b]∗ = V ar(h; [a, b]).

Notemos que por la Proposicion 3.1.4

V ar(g; [a, b]) ≤ V ar(h; [a, b]).

Usando (3.1.31), obtenemos

‖Λg‖C[a,b]∗ ≤ V ar(g; [a, b]) ≤ V ar(h; [a, b]) = ‖Λg‖C[a,b]∗ .

Por lo tanto

‖Λg‖C[a,b]∗ = ‖g‖NBV [a,b],

y ası concluimos que ψ es un isomorfismo isometrico.

3.2. Variacion de Riesz Acotada y Dualidad

En esta seccion, probaremos un resultado de representacion paralelo al del capıtulo anterior,

reemplazando al espacio BV [a, b] por el espacio RBVp[a, b] definido anteriormente para 1 < p <

∞ y al dual C[a, b]∗ por el dual del espacio Lp[a, b] con la norma usual

‖f‖Lp =

(∫ b

a|f(t)|pdt

)1/p

∀f ∈ Lp.

Para el siguiente resultado, denotamos comoRBV 0p [a, b] al espacio de las funciones f ∈ RBVp[a, b]

tales que f(a) = 0.


Teorema 3.2.1. Para 1 < p <∞, el espacio dual de Lp[a, b] es el espacio RBV 0p′[a,b], es decir

que Lp[a, b]∗ es isometricamente isomorfo a RBV 0

p′ [a, b], donde 1p + 1

p′ = 1.

El isomorfismo esta dado por

Φ : RBV 0p′ [a, b]→ Lp[a, b]

∗

tal que

Φ(α) := Λα

donde para x ∈ Lp[a, b]

Λα(x) =

∫ b

ax(t)dα(t).

Demostracion. Una ventaja es que no tenemos que normalizar α, pues las funciones enRBVp′ [a, b]

son continuas para p′ > 1.

Notemos primero que Φ es lineal. En efecto, sean α1, α2 ∈ RBV 0p′ [a, b] y µ ∈ R, entonces

Φ(α1 + µα2) := Λα1+µα2 y Φ(α1) + µΦ(α2) := Λα1 + µΛα2 ,

donde para x ∈ Lp[a, b]

Λα1+µα2 =

∫ b

ax(t)d(α1 + µα2)(t)

=

∫ b

ax(t)dα1(t) + µ

∫ b

ax(t)dα2(t)

= Λα1(x) + µΛα2(x).

Por lo tanto

Φ(α1 + µα2) = Φ(α1) + µΦ(α2),

y ası Φ es una transformacion lineal.

Claramente, la funcional Λα : Lp[a, b]→ R definida para algun α ∈ RBV 0p′ como

Λα(x) =

∫ b

ax(t)dα(t)


es una funcional lineal.

Ahora, dadas x ∈ Lp[a, b], α ∈ RBV 0p′ [a, b] y una particion P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P[a, b],

obtenemos utilizando la desigualdad de Holder

|Sα(x, P ; [a, b])| :=

∣∣∣∣∣∣m∑j=1

x(tj)[α(tj)− α(tj−1)]

∣∣∣∣∣∣≤

m∑j=1

|x(tj)||α(tj)− α(tj−1)|

=m∑j=1

|x(tj)||α(tj)− α(tj−1)||tj − tj−1|1/p

|tj − tj−1|1/p

≤

m∑j=1

|α(tj)− α(tj−1)|p′

|tj − tj−1|p′−1

1/p′ m∑j=1

|x(tj)|p|tj − tj−1|

1/p

≤ V arRp′(α; [a, b])1/p′

m∑j=1


1/p

.

Si x ∈ C[a, b] entonces

lımµ(P )→0

|Sα(x, P ; [a, b])| =∣∣∣∣∫ b

ax(t)dα(t)

∣∣∣∣ . (3.2.1)

Podemos asegurar la existencia de este lımite y la igualdad dado que α ∈ RBV 0p′ [a, b] ⊂ BV [a, b].

Ademas, como x ∈ Lp[a, b], tenemos que

lımµ(P )→0

m∑j=1


1/p

=

(∫ b

a|x(t)|pdt

)1/p

. (3.2.2)

Por lo tanto si x ∈ C[a, b], por (3.2.1) y (3.2.2) y dado que α(a) = 0 tenemos que

∣∣∣∣∫ b

ax(t)dα(t)

∣∣∣∣ ≤ V arRp′(α; [a, b])1/p′(∫ b

a|x(t)|pdt

)1/p

= ‖α‖RBVp′‖x‖Lp . (3.2.3)

Entonces para x ∈ C[a, b]

|Λα(x)| ≤ ‖α‖RBVp′‖x‖Lp ,


mostrando ası que para α ∈ RBV 0p′ , Λα es efectivamente una funcional lineal acotada en C[a, b].

Ahora, como C[a, b] es denso en Lp[a, b] con respecto a la norma usual, entonces para α ∈

RBV 0p′ [a, b] existe una unica extension de la integral

∫ b

ax(t)dα(t)

al espacio Lp[a, b] y esta extension preserva la norma. Utilizamos la misma notacion para dicha

extension.

Por lo tanto, hemos probado que el mapeo Φ esta bien definido y satisface

‖Φ(α)‖Lp[a,b]∗ ≤ ‖α‖RBVp′ . (3.2.4)

Probemos ahora que Φ es sobreyectiva.

Sea Λ : Lp[a, b] → R una funcional lineal acotada, debemos encontrar α ∈ RBV 0p′ [a, b] tal

que

‖Λ‖Lp[a,b]∗ = V arRp′(α; [a, b])1/p′.

y para x ∈ Lp[a, b]

Λ(x) =

∫ b

ax(t)dα(t).

Para a < s ≤ b, definimos zs : [a, b]→ R tal que zs := X[a,s], es decir

zs(t) :=

1 a ≤ t ≤ s,

0 s < t ≤ b.

Tenemos entonces que zs ∈ Lp[a, b] y ‖zs‖Lp = (s− a)1/p.

Sea α : [a, b] → R tal que α(s) := Λ(zs). Fijamos una particion P = {t0, t1, ..., tm} ∈ P[a, b] y


obtenemos

|α(tj)− α(tj−1)| =∣∣Λ(ztj )− Λ(ztj−1)

∣∣≤ ‖Λ‖Lp[a,b]∗‖ztj − ztj−1‖Lp

= ‖Λ‖Lp[a,b]∗(∫ b

a|X[a,tj ](t)−X[a,tj−1](t)|

pdt

)1/p

= ‖Λ‖Lp[a,b]∗ |tj − tj−1|1/p.

Por lo tanto, debido a que p′/p− p′ + 1 = 0 tenemos

m∑j=1

|α(tj)− α(tj−1)|p′

|tj − tj−1|p′−1≤ ‖Λ‖p

′

Lp[a,b]∗

Esto muestra que α ∈ RBV 0p′ [a, b] y ademas satisface

‖α‖RBVp′ ≤ ‖Λ‖p′

Lp[a,b]∗. (3.2.5)

Ahora, notemos que

lımµ(P )→0

Sα (zs, P ; [a, b]) =

∫ b

azs(t)dα(t),

donde podemos considerar sin perdida de generalidad, solamente particiones que contengan al

punto s. Para tales particiones tenemos que

Sα (zs, P ; [a, b]) =m∑j=1

zs(tj−1) [α(tj)− α(tj−1)]

=

m∑j=1

[α(tj)− α(tj−1)] X[a,s](tj−1)

= (α(s)− α(a))

= α(s),

y ası, tomando lımite cuando µ(P )→ 0, tenemos∫ b

azs(t)dα(t) = α(s) = Λ(X[a,s]). (3.2.6)


Ahora, sea s : [a, b]→ R una funcion simple tal que

s(t) :=

m∑j=1

ξjX(tj−1,tj ](t) (ξj)mj=1 ⊂ R,

entonces s ∈ Lp[a, b] y por (3.2.6) y la linealidad de Λ

Λ(s) = Λ

m∑j=1

ξjX(tj−1,tj ](t)

=

m∑j=1

ξjΛ(X[a,tj ](t)−X[a,tj−1](t)

)=

m∑j=1

ξj

∫ b

a

[ztj (t)− ztj−1(t)

]dα(t)

=

∫ b

a

[ξjX[tj−1,tj)(t)

]dα(t)

=

∫ b

as(t)dα(t).

Enseguida sea x ∈ Lp[a, b] una funcion medible no negativa, entonces existe una sucesion cre-

ciente (sn)∞n=1 de funciones simples no negativas tal que converge a x en la norma del espacio

Lp[a, b]. Entonces, por continuidad de Λ tenemos que

Λ(x) = lımn→∞

Λ(sn),

y por lo probado anteriormente

Λ(sn) =

∫ b

asn(t)dα(t).

Aplicando el teorema de la convergencia monotona tenemos que

Λ(x) = lımn→∞

∫ b

asn(t)dα(t) =

∫ b

ax(t)dα(t).

Para finalizar, como toda funcion x ∈ Lp[a, b] es la diferencia de dos funciones no negativas en

Lp[a, b], podemos concluir que

Λ(x) =

∫ b

ax(t)dα(t) ∀x ∈ Lp[a, b],


por lo tanto Φ(α) = Λ, probando ası que Φ es un mapeo sobreyectivo.

Ahora, de (3.2.5) obtenemos

‖α‖RBVp′ ≤ ‖Φ(α)‖Lp[a,b]∗ . (3.2.7)

De esto y (3.2.4), concluimos

‖α‖RBVp′ = ‖Φ(α)‖Lp[a,b]∗ .

De este modo Φ es un isomorfismo isometrico entre los espacios RBV 0p′ y Lp[a, b].

Capıtulo 4

Operadores de Multiplicacion entre

Espacios de Variacion Acotada

Sean E y F espacios de funciones definidas en un conjunto X que toman valores reales.

Decimos que una funcion g definida en X que toma valores reales es un multiplicador de E a F

si el producto puntual de funciones fg pertenece a F para toda f ∈ E. Denotamos al conjunto

de todos los multiplicadores de E a F como M(E → F ).

Si E y F son espacios normados, consideramos de forma natural el operador Mg : E → F

definido como

Mg(f) := fg. (4.0.1)

Este operador se llama operador de multiplicacion inducido por g, y la funcion g se llama sımbolo

del operador de multiplicacion.

Es de interes en analisis caracterizar al conjunto M(E → F ) y obtener propiedades de Mg

en terminos del sımbolo g para espacios de funciones importantes. Un ejemplo de una carac-

terizacion de este tipo es la que obtuvieron Takagi y Yokouchi en 1999 [16] para el conjunto

M(Lp → Lq).

91

92 CAPITULO 4. OPERADORES DE MULTIPLICACION

Dedicamos este capıtulo a la caracterizacion de operadores de multiplicacion en espacios

de variacion acotada que hemos estudiado previamente. En la primera seccion de este capıtulo

caracterizaremos a los operadores de multiplicacion y operadores de multiplicacion acotados in-

feriormente actuando en el espacio BV [0, 1], el cual estudiamos en el Capıtulo 1. En la segunda

seccion, caracterizaremos a los operadores de multiplicacion del espacio WBVp[0, 1] al espacio

WBVq[0, 1], los cuales estudiamos en el Capıtulo 2. Los resultados presentados en este capıtulo

se obtuvieron de [3] y [7].

4.1. Operadores de Multiplicacion en BV[0,1]

Una propiedad importante del espacio BV [0, 1], que probamos en la Proposicion 1.1.8, es

el hecho de que el producto de dos funciones en BV [0, 1] pertenece a BV [0, 1]. Es decir que si

f, g ∈ BV [0, 1], entonces fg ∈ BV [0, 1] y tenemos la desigualdad

‖fg‖BV ≤ ‖f‖BV ‖g‖BV .

Lo anterior implica que BV [0, 1] es un algebra de Banach. Este hecho nos permite obtener el

siguiente resultado.

Proposicion 4.1.1. Sea u : [0, 1] → R. Entonces u ∈ M(BV [0, 1] → BV [0, 1]) si y solo si

u ∈ BV [0, 1]. En este caso tenemos que el operador de multiplicacion inducido por u, definido

en (4.0.1), tiene norma

‖Mu‖ = ‖u‖BV , (4.1.1)

y por lo tanto Mu es un operador continuo en BV [0, 1].

Demostracion. Supongamos primero que u ∈ BV [0, 1], entonces para cualquier f ∈ BV [0, 1]

tenemos que uf ∈ BV [0, 1] por (1.1.22). Por lo tanto u ∈M(BV [0, 1]→ BV [0, 1])

4.1. OPERADORES DE MULTIPLICACION EN BV[0,1] 93

Supongamos ahora que u ∈ M(BV [0, 1] → BV [0, 1]), esto es, para toda f ∈ BV [0, 1],

uf ∈ BV [0, 1]. En particular, la funcion h(t) := 1 para toda t ∈ [0, 1] es tal que h ∈ BV [0, 1],

tenemos entonces que uh ∈ BV [0, 1], es decir u ∈ BV [0, 1].

Por ultimo, probemos (4.1.1).

Si u ∈ BV [0, 1] entonces u ∈M(BV [0, 1]→ BV [0, 1]) y tenemos que

‖Mu‖ := sup‖f‖BV ≤1

‖Mu(f)‖BV = sup‖f‖BV ≤1

‖uf‖BV . (4.1.2)

Ahora, como por (1.1.22) tenemos que para toda f ∈ BV [0, 1]

‖uf‖BV ≤ ‖u‖BV ‖f‖BV ,

en particular para toda f ∈ BV [0, 1] tal que ‖f‖BV ≤ 1

‖uf‖BV ≤ ‖u‖BV .

Por lo tanto

sup‖f‖BV ≤1

‖uf‖BV ≤ ‖u‖BV . (4.1.3)

De (4.1.2) y (4.1.3) se sigue que

‖Mu‖ ≤ ‖u‖BV .

Ahora, si tomamos a la funcion constante h(t) = 1 para toda t ∈ [a, b], tenemos que

‖Mu(h)‖BV = ‖uh‖BV = ‖u‖BV = ‖u‖BV ‖h‖BV .

De lo anterior concluimos que

‖Mu‖ = ‖u‖BV .


4.1.1. Operadores de Multiplicacion Acotados Inferiormente en BV [0, 1]

Hemos caracterizado previamente al conjunto M(BV [0, 1]→ BV [0, 1]), y ademas obtuvimos

que los operadores de multiplicacion inducidos por los sımbolos en este conjunto son acotados.

Nuestro objetivo en esta subseccion es caracterizar a las sımbolos u ∈ BV [0, 1] que inducen

operadores de multiplicacion acotados inferiormente e invertibles. Para esto, introducimos un

par de conceptos.

Definicion 4.1.1. Decimos que un operador lineal Λ : X → X, donde X en un espacio de

Banach es acotado inferiormente si existe L > 0 tal que para toda x ∈ X

‖Λ(x)‖X ≥ L‖x‖X . (4.1.4)

Definicion 4.1.2. Sea u : [a, b]→ R, el conjunto definido como

supp(u) := {t ∈ [a, b] | |u(t)| > 0}

se llama soporte de la funcion u.

Presentamos a continuacion algunos resultados obtenidos a partir de estas definiciones y que

utilizaremos para la prueba de nuestro resultado principal de caracterizacion.

Proposicion 4.1.2. El operador de multiplicacion Mu inducido por una funcion u ∈M(BV [0, 1]→

BV [0, 1]) es inyectivo si y solo si el soporte de la funcion u es todo el intervalo [0, 1], esto es,

supp(u) = [0, 1].

Demostracion. Supongamos que supp(u) 6= [0, 1], entonces existe t0 ∈ [0, 1] tal que u(t0) = 0.

Definimos la funcion f : [0, 1]→ R tal que


f(t) :=

1 t = t0,

0 t 6= t0.

Claramente f ∈ BV [0, 1], ya que V ar(f ; [0, 1]) ≤ 2.

Notemos que f no es la funcion identicamente cero en [0, 1] y sin embargo

u(t)f(t) = 0 ∀t ∈ [0, 1].

De esto ultimo se sigue que f ∈ Ker(Mu), y ası Ker(Mu) 6= {0}, por lo que Mu no es inyectiva

en BV [0, 1].

Concluimos entonces que si el operadorMu : BV [0, 1]→ BV [0, 1] es inyectivo entonces supp(u) =

[0, 1].

Recıprocamente, supongamos que supp(u) = [0, 1] y tomemos f ∈ Ker(Mu), entonces

u(t)f(t) = 0 ∀t ∈ [0, 1],

y ası necesariamente f debe ser la funcion identicamente cero en [0, 1]. Por lo tanto Ker(Mu) =

{0} y Mu es un operador inyectivo en BV [0, 1].

Proposicion 4.1.3. Sea Mu el operador de multiplicacion inducido por una funcion u ∈

M(BV [0, 1]→ BV [0, 1]). Si Mu : BV [0, 1]→ BV [0, 1] es sobreyectivo entonces es inyectivo.

Demostracion. Supongamos que Mu : BV [0, 1]→ BV [0, 1] es un operador sobreyectivo pero no

inyectivo. Entonces por la Proposicion 4.1.2 esto implica que supp(u) 6= [0, 1], es decir que existe

t0 ∈ [0, 1] tal que u(t0) = 0.

La funcion f : [0, 1]→ R definida como

f(t) :=

1 t = t0,

0 t 6= t0


es tal que f ∈ BV [0, 1]. Como por hipotesis Mu : BV [0, 1]→ BV [0, 1] es un operador sobreyec-

tivo entonces existe h ∈ BV [0, 1] tal que

f(t) = u(t)h(t) ∀t ∈ [0, 1].

En particular, tenemos que para t = t0

1 = f(t0) = u(t0)h(t0) = 0,

lo cual es una contradiccion que provino de suponer que Mu no es inyectivo. Por lo tanto

Mu : BV [0, 1]→ BV [0, 1] es un operador inyectivo, y ası es biyectivo.

En la proposicion previa obtuvimos que Mu : BV [0, 1]→ BV [0, 1] es un operador biyectivo

si y solo si este operador es sobreyectivo. Sin embargo, podemos obtener un resultado aun mejor.

Teorema 4.1.4. Sea Mu el operador de multiplicacion inducido por una funcion u ∈M(BV [0, 1]→

BV [0, 1]). Entonces Mu : BV [0, 1] → BV [0, 1] es un operador biyectivo (con operador inverso

continuo) si y solo si existe δ > 0 tal que |u(t)| > δ para toda t ∈ [0, 1].

Demostracion. Supongamos primero que Mu : BV [0, 1] → BV [0, 1] es un operador biyectivo,

entonces existe un operador lineal T : BV [0, 1]→ BV [0, 1] tal que

Mu ◦ T = T ◦Mu = I,

donde I es el operador identidad en BV [0, 1].

Entonces para cada f ∈ BV [0, 1]

f = (Mu ◦ T )(f) = Mu(T (f)) = uT (f). (4.1.5)

Como Mu es biyectivo, entonces es inyectivo y por la Proposicion 4.1.2 u(t) 6= 0 para toda

t ∈ [0, 1]. Se sigue entonces de (4.1.5) que para toda f ∈ BV [0, 1]

T (f) =f

u= M 1

u(f).


Notemos que en particular, como la funcion constante 1 ∈ BV [0, 1] y T : BV [0, 1] → BV [0, 1]

entonces T (1) = 1u ∈ BV [0, 1]. Esto implica por la Proposicion 4.1.1 que T = M 1

ues un operador

continuo en BV [0, 1].

Adicionalmente, del hecho de que BV [0, 1] ⊂ B[0, 1] y 1u ∈ BV [0, 1] tenemos que existe M > 0

tal que ∣∣∣∣ 1

u(t)

∣∣∣∣ < M ∀t ∈ [0, 1].

Entonces tomando δ = 1M , tenemos que

|u(t)| > δ ∀t ∈ [0, 1].

Recıprocamente, supongamos que existe δ > 0 tal que

|u(t)| > δ ∀t ∈ [0, 1].

Como u ∈ BV [0, 1], afirmamos que 1u ∈ BV [0, 1].

En efecto, sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[0, 1], entonces

V ar(1/u, P ; [0, 1]) =m∑j=1

∣∣∣∣ 1

u(tj)− 1

u(tj−1)

∣∣∣∣ .Notemos que para toda j = 1, ...,m tenemos∣∣∣∣ 1

u(tj)− 1

u(tj−1)

∣∣∣∣ =|u(tj)− u(tj−1)||u(tj)||u(tj−1)|

<1

δ2|u(tj)− u(tj−1)|.

Entonces para toda P ∈P[0, 1]

V ar(1/u, P ; [0, 1]) <1

δ2V ar(u, P ; [0, 1]) ≤ 1

δ2V ar(u; [0, 1]),

de lo cual concluimos que 1u ∈ BV [0, 1].

Por la Proposicion 4.1.1 el operador M 1u

es continuo en BV [0, 1] y

Mu ◦M 1u

= M 1u◦Mu = I.

Por lo tanto el operador Mu : BV [0, 1]→ BV [0, 1] es biyectivo con inverso continuo.


Estamos listos para caracterizar a los sımbolos u ∈ BV [0, 1] que inducen operadores de mul-

tiplicacion acotados inferiormente e invertibles.

Teorema 4.1.5. Sea Mu el operador de multiplicacion inducido por una funcion u ∈M(BV [0, 1]→

BV [0, 1]). Los siguientes enunciados son equivalentes:

(a) Mu : BV [0, 1]→ BV [0, 1] es un operador biyectivo (con inverso continuo).

(b) Ran(Mu) = BV [0, 1].

(c) Mu : BV [0, 1]→ BV [0, 1] es un operador acotado inferiormente.

(d) ınft∈[0,1]|u(t)| > 0.

Demostracion. Es claro que (a) implica (b). Notemos que (b) implica (a), ya que por la Propo-

sicion 4.1.3 si Ran(Mu) = BV [0, 1] entonces Mu es un operador biyectivo y esto implica, como

vimos en la prueba del Teorema 4.1.4, que Mu tiene inverso continuo.

Ahora, probemos que (a) implica (c). Supongamos que Mu : BV [0, 1] → BV [0, 1] es un

operador biyectivo (con inverso continuo), entonces existe L > 0 tal que para toda f ∈ BV [0, 1]

‖f‖BV = ‖Mu−1(Mu(f))‖BV ≤ L‖Mu(f)‖BV .

De aquı que para toda f ∈ BV [0, 1]

‖Mu(f)‖BV ≥1

L‖f‖BV .

Por lo tanto Mu es un operador acotado inferiormente.

Observemos que la equivalencia de (d) y (a) se sigue del Teorema 4.1.4.

Resta probar entonces que (c) implica (d) para completar la demostracion. Supongamos que

ınft∈[0,1]

|u(t)| = 0.

4.2. OPERADORES DE MULTIPLICACION ENTRE WBVP [0, 1] Y WBVQ[0, 1] 99

entonces para cada n ∈ N, podemos encontrar tn ∈ [0, 1] tal que 0 ≤ |u(tn)| < 1n .

Definimos la sucesion de funciones (fn)∞n=1 ⊂ BV [0, 1] tal que para cada n ∈ N

fn(t) :=

1 t = tn,

0 t 6= tn.

Notemos que para toda n ∈ N

2 ≤ ‖fn‖BV ≤ 3. (4.1.6)

Por otro lado, para n ∈ N y P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[0, 1]

V ar(ufn, P ; [0, 1]) =

m∑j=1

|u(tj)fn(tj)− u(tj−1)fn(tj−1)|

≤ 2|u(tn)||fn(tn)| = 2|u(tn)|.

Entonces para toda n ∈ N

V ar(ufn; [0, 1]) ≤ 2|u(tn)|. (4.1.7)

Usando (4.1.6), (4.1.7) y la eleccion que hicimos de tn para n ∈ N obtenemos

‖u · fn‖BV = |u(0)fn(0)|+ V ar(u · fn; [0, 1])

≤ |u(tn)|+ 2|u(tn)| = 3|u(tn)|

<3

n≤ 3

2n‖fn‖BV .

De lo cual se sigue que Mu : BV [0, 1] → BV [0, 1] no puede ser acotado inferiormente. Por lo

tanto hemos probado que (c) implica (d).

4.2. Operadores de Multiplicacion entre WBVp[0, 1] y WBVq[0, 1]

En esta seccion caracterizaremos por completo al conjunto M(WBVp[0, 1] → WBVq[0, 1]),

es decir a los sımbolos u : [0, 1] → R que inducen operadores de multiplicacion Mu tales que


Mu(f) := uf ∈ WBVq[0, 1] para toda f ∈ WBVp[0, 1]. Para esto, dividimos nuestro estudio en

dos casos:

Caso 1: 1 ≤ q < p

Caso 2: 1 ≤ p ≤ q

Antes de proceder al estudio del caso 1, presentamos algunos resultados auxiliares que nos

seran de gran utilidad mas adelante.

En el Ejemplo 2.1.3, probamos que la inclusion WBVp[0, 1] ⊆ WBVq[0, 1] es estricta para

el caso q > p utilizando la funcion Z1/p definida en (2.1.21). A continuacion presentamos una

nueva funcion, similar a la funcion Z1/p, que muestra la inclusion estricta y adicionalmente posee

propiedades deseables para nuestro estudio.

Dada una sucesion creciente (cj)∞j=0 ⊂ [0, 1] y θ > 1, definimos la funcion fθ : [0, 1] → R

como sigue

fθ(t) :=

0 t < c0 o t ≥ C o t =

cj+cj+1

2 , j = 0, 1, 2, ..,

121/p(j+1)θ

t = cj , j = 0, 1, 2, ...,

lineal o.c.

(4.2.1)

donde C := lımj→∞ cj .

Observacion 4.2.1. Sean 1 ≤ q < p, entonces la funcion f1/q : [0, 1] → R definida en (4.2.1)

posee las siguientes propiedades:

(a) f1/q ∈WBVp[0, 1] \WBVq[0, 1] .

(b) supcj<t<cj+1f1/q(t) = f1/q(cj) para j = 0, 1, 2, ... .


1c0 c1 c2 c3

1

t

fθ(t)

Figura 4.1: Grafica de una funcion fθ con θ = 2, p = 2.

(c) ınfcj<t<cj+1 f1/q(t) = 0 para j = 0, 1, 2, ... .

Demostracion. Para n ∈ N consideremos las particiones:

Pn = {c0,c0 + c1

2, c1,

c1 + c22

, c2, ...,cn−1 + cn

2, cn} ∈P[c0, cn],

Pn = {0, c0,c0 + c1

2, c1,

c1 + c22

, c2, ...,cn−1 + cn

2, cn, 1} ∈P[0, 1].

Entonces para p > q ≥ 1 y para toda n ∈ N

V arWp (f1/q, Pn; [0, 1]) ≥ V arWp (f1/q, Pn; [c0, cn]) = 2n∑k=1

1

2kp/q.

De lo anterior obtenemos que para toda n ∈ N

V arWp (f1/q; [0, 1]) ≥n∑k=1

1

kp/q.

Por lo tanto

V arWp (f1/q; [0, 1]) ≥∞∑k=1

1

kp/q. (4.2.2)

Ahora, sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[0, 1], analicemos

V arWp (f1/q, P ; [0, 1]) =m∑j=1

|f1/q(tj)− f1/q(tj−1)|p.


Notemos que para j ∈ {1, 2, ...,m} fijo, tj−1 ∈ [ck−1, ck] para algun k ∈ N o tj−1 ∈ [0, c0]∪ [C, 1].

Podemos observar, haciendo uso de la Figura 4.1, que en cualquier caso tenemos

|f1/q(tj)− f1/q(tj−1)| ≤1

21/pk1/q.

Ahora, si para algun i ∈ {1, 2, ...,m} y s ∈ {1, 2, ...,m − i} tenemos que {ti, ti+1, ..., ti+s} ∈[ck−1,

ck−1+ck2

]para algun k ∈ N o {ti, ti+1, ..., ti+s} ∈

[ck−1+ck

2 , ck

]para algun k ∈ N, entonces

como la funcion f1/q es monotona en ambos casos, tenemos

i+m∑j=i+1

|f1/q(tj)− f1/q(tj−1)| ≤1

21/pk1/q.

Por el Lema 2.1.5, obtenemos

i+m∑j=i+1

|f1/q(tj)− f1/q(tj−1)|p ≤1

2kp/q.

Por tanto, tenemos que para cualquier particion P ∈P[0, 1]

V arWp (f1/q, P ; [0, 1]) ≤ 2

∞∑k=1

1

2kp/q=

∞∑k=1

1

kp/q.

Concluimos entonces que

V arWp (f1/q; [0, 1]) ≤∞∑k=1

1

kp/q. (4.2.3)

De (4.2.2) y (4.2.3) se sigue que

V arWp (f1/q; [0, 1]) =∞∑k=1

1

kp/q. (4.2.4)

Como 1 ≤ q < p, entonces f1/q ∈WBVp[0, 1]. Sin embargo f1/q /∈WBVq[0, 1] por la divergencia

de la serie armonica.

Es claro que la funcion f1/q tambien satisface las condiciones (b) y (c).


Para cualquier funcion f : [0, 1] → R y 1 ≤ p < ∞ definimos el numero real posiblemente

infinito,

vWp (f ; [0, 1]) := sup

{m∑k=1

Osc(f ; Ik)p | (Ik)mk=1 ∈

∑[0, 1]

}. (4.2.5)

En el siguiente lema mostramos la igualdad de los numeros vWp (f ; [0, 1]) y V arWp (f ; [0, 1]), ya

que, para la prueba de nuestro resultado principal en esta seccion, nos sera conveniente utilizar

la definicion de vWp (f ; [0, 1]) en lugar de la de V arWp (f ; [0, 1]).

Lema 4.2.1. Sea f ∈WBVp[0, 1], entonces

V arWp (f ; [0, 1]) = vWp (f ; [0, 1]).

Demostracion. Sea P = {t0, t1, ..., tm} ∈P[0, 1], definimos (Ik)mk=1 ∈

∑[0, 1] tal que

I1 := (t0, t1), I2 := (t1, t2), ... , Im := (tm−1, tm).

Notemos que para j = 1, 2, ...,m

|f(tj)− f(tj−1)| ≤ supt∈Ij

f(t)− ınft∈Ij

f(t) = Osc(f, Ij).

De aquı que para toda P ∈P[0, 1]

V arWp (f, P ; [0, 1]) =m∑j=1


≤m∑j=1

Osc(f, Ij)p ≤ vWp (f ; [0, 1]).

Entonces tenemos la desigualdad

V arWp (f ; [0, 1]) ≤ vWp (f ; [0, 1]). (4.2.6)

Ahora sea (Ik)mk=1 ∈

∑[0, 1]. Dado ε > 0 para j = 1, 2, ...,m existe tj ∈ Ij y tj−1 ∈ Ij tales que

f(tj) > supt∈Ij

f(t)− ε, f(tj−1) < ınft∈Ij

f(t) + ε.



|f(tj)− f(tj−1)| ≥ f(tj)− f(tj−1) > Osc(f, Ij)− 2ε

y ası obtenemos

V arWp (f ; [0, 1]) ≥m∑j=1


>

m∑j=1

(Osc(f, Ij)− 2ε)p.

Como ε fue tomado arbitrariamente, de la desigualdad previa concluimos que

V arWp (f ; [0, 1]) ≥ vWp (f ; [0, 1]). (4.2.7)

De las desigualdades (4.2.6) y (4.2.7) obtenemos la igualdad deseada.

Probamos anteriormente que para el caso 1 ≤ q < p existe una funcion u ∈ WBVp[0, 1] \

WBVq[0, 1]. Notemos que para una funcion de este tipo no es posible inducir un operador de

multiplicacion de WBVp[0, 1] a WBVq[0, 1]; esto se debe a que la funcion f : [0, 1]→ R tal que

f(t) := 1 para toda t ∈ [0, 1] es tal que f ∈WBVp[0, 1] y ası,

Mu(f) = uf = u /∈WBVq[0, 1].

Por lo tanto, nos restringiremos solamente a los sımbolos u ∈WBVq[0, 1].

Para cualquier subconjunto A ⊂ [0, 1], denotamos como #(A) a la medida de contar del

subconjunto A, es decir,

#(A) :=

numero de elementos en A si A es un conjunto finito,

∞ si A es un conjunto infinito.


Ahora, para una funcion u : [0, 1]→ R y r > 0, definimos el numero real positivo posiblemente

infinito

ρu(r) := #({t ∈ [0, 1] | |u(t)| ≥ r}). (4.2.8)

En el siguiente teorema, veremos que la funcion ρu nos permite caracterizar al conjuntoM(WBVp[0, 1]→

WBVq[0, 1]) para el caso 1 ≤ q < p.

Teorema 4.2.2. Sea 1 ≤ q < p y u ∈WBVq[0, 1]. Entonces u ∈M(WBVp[0, 1]→WBVq[0, 1])

si y solo si ρu(r) <∞ para toda r > 0.

Demostracion. Fijemos u ∈ WBVq[0, 1] y supongamos que ρu(r) <∞ para toda r > 0. Proba-

remos que uf ∈WBVq[0, 1] para toda f ∈WBVp[0, 1].

Sin perdida de generalidad, podemos suponer que u y f ∈ WBVp[0, 1] son funciones no

negativas ya que, de lo contrario, podemos descomponerlas como

u = u+ − u−, f = f+ − f−,

donde para cada t ∈ [0, 1]

f+(t) := max{f(t), 0}, f−(t) := max{−f(t), 0}.

De esta forma, tenemos que

uf = u+f+ − u+f− − u−f+ + u−f−

y por lo tanto

V arWq (uf ; [0, 1]) ≤ V arWq (u+f+; [0, 1]) + V arWq (u+f−; [0, 1])

+ V arWq (u−f+; [0, 1]) + V arWq (u−f−; [0, 1]).


De este modo es suficiente estimar cada termino de manera individual para probar uf ∈

WBVq[0, 1].

Ahora, como por hipotesis ρu(r) < ∞ para toda r > 0, entonces dada (Ik)mk=1 ∈

∑[0, 1],

para toda k ∈ {1, ...,m} existe tk ∈ Ik tal que u(tk) = 0.

Como las funciones u y f son positivas, tenemos que para k ∈ {1, ...,m}

ınft∈Ik

uf(t) = 0, ınft∈Ik

u(t) = 0. (4.2.9)

Notemos tambien que para k ∈ {1, ...,m}

supt∈Ik

uf(t) ≤ ‖f‖∞ supt∈Ik

u(t). (4.2.10)

De (4.2.9) y (4.2.10) concluimos que para k ∈ {1, ...,m}

Osc(uf, Ik) ≤ ‖f‖∞ supt∈Ik

u(t) = ‖f‖∞Osc(u, Ik).

De lo anterior tenemosm∑k=1

Osc(uf, Ik)q ≤ ‖f‖q∞

m∑k=1

Osc(u, Ik)

≤ ‖f‖q∞V arWq (u; [0, 1]).

Dado que (Ik)mk=1 ∈

∑[0, 1] es arbitraria, entonces

V arWq (uf ; [0, 1]) ≤ ‖f‖q∞V arWq (u; [0, 1]) <∞,

mostrando ası que uf ∈WBVq[0, 1].

Para mostrar la otra implicacion, supongamos que existe r0 > 0 tal que ρu(r0) =∞. Entonces

existe una sucesion creciente (cn)∞n=1 ⊂ [0, 1] tal que u(cn) ≥ r0 para toda n ∈ N. Consideremos la

funcion f1/q definida en (4.2.1) a partir de la sucesion (cn)∞n=1. Sabemos que vWp (f1/q; [0, 1]) <∞

y vWq (f1/q; [0, 1]) =∞.

Ademas, tenemos que para toda j ∈ N

ınfcj<t<cj+1

f1/q(t) = 0, ınfcj<t<cj+1

u(t)f1/q(t) = 0.


De lo anterior se sigue que para toda j ∈ N

Osc(uf1/q, (cj , cj+1)) = supcj<t<cj+1

u(t)f1/q(t) ≥ u(cj)f1/q(cj)

≥ r0f1/q(cj) = r0 supcj<t<cj+1

f1/q(t)

= r0Osc(f1/q, (cj , cj+1)).

Entonces para toda n ∈ N

V arWq (uf1/q; [0, 1]) ≥n∑j=1

Osc(uf1/q, (cj , cj+1))q

≥ r0n∑j=1

Osc(f1/q, (cj , cj+1))q.

Por lo tanto

V arWq (uf1/q; [0, 1]) ≥ r0∞∑j=1

Osc(f1/q, (cj , cj+1))q

= r0V arWq (f1/q; [0, 1]) =∞.

Concluimos que uf1/q /∈ WBVq[0, 1] y ası u /∈ M(WBVp[0, 1] → WBVq[0, 1]). Hemos probado

entonces que si ρu(r) <∞ para toda r > 0 esto implica que u ∈M(WBVp[0, 1]→WBVq[0, 1]).

Para finalizar esta seccion, procedemos al estudio del conjunto M(WBVp[0, 1]→WBVq[0, 1])

para el caso 1 ≤ p ≤ q.

Teorema 4.2.3. Sea 1 ≤ p ≤ q. Entonces u ∈ M(WBVp[0, 1] → WBVq[0, 1]) si y solo si

u ∈ WBVq[0, 1]. En este caso Mu : WBVp[0, 1] → WBVq[0, 1], el operador de multiplicacion

inducido por el sımbolo u es un operador lineal acotado con norma,

‖Mu‖ ≤ ‖u‖∞ + V arWq (u; [0, 1])1/q. (4.2.11)


Demostracion. Supongamos que u ∈WBVq[0, 1] y f ∈WBVp[0, 1], entonces por (2.1.8)

‖uf‖WBVq = |u(0)||f(0)|+ V arWq (uf ; [0, 1])1/q

≤ ‖u‖∞|f(0)|+ ‖u‖∞V arWq (f)1/q + ‖f‖∞V arWq (u)1/q

≤ ‖u‖∞|f(0)|+ ‖u‖∞V arWp (f)1/p + ‖f‖∞V arWq (u)1/q

≤ ‖u‖∞‖f‖WBVp + ‖f‖WBVpV arWq (u)1/q

=(‖u‖∞ + V arWq (u)1/q

)‖f‖WBVp . (4.2.12)

Esto implica que uf ∈ WBVq[0, 1] para toda f ∈ WBVp[0, 1], esto es, u ∈ M(WBVp[0, 1] →

WBVq[0, 1]).

Recıprocamente, supongamos que u ∈M(WBVp[0, 1]→WBVq[0, 1]). La funcion h : [0, 1]→

R tal que h(t) := 1 para toda t ∈ [0, 1] es tal que h ∈WBVp[0, 1], y entonces por hipotesis

u = uh ∈WBVq[0, 1].

Finalmente, de (4.2.12) concluimos (4.2.11).

Conclusiones

En esta tesis hemos estudiado a fondo la estructura y propiedades del espacio clasico de

variacion acotada y dos de sus generalizaciones mas importantes. Concluimos que cada uno de

estos espacios posee una estructura de algebra de Banach al dotarlos de una norma adecuada.

Para el espacio clasico BV [a, b], obtuvimos el Principio de Seleccion de Helly, el cual nos

permite asegurar que dada una sucesion de funciones con variaciones totales uniformemente aco-

tadas, existe una subsucesion que converge puntualmente a una funcion en el espacio BV [a, b].

Tambien concluimos que BV [a, b] no es mas que el espacio vectorial generado por las funciones

monotonas en el intervalo [a, b], obteniendo ası una forma alternativa de introducir el concepto

de variacion acotada.

Para el espacio de variacion de Wiener acotada, construimos la familia de funciones zig-

zag, a partir de las cuales nos fue posible probar la inclusion propia entre espacios de Wiener

WBVp[a, b] y WBVq[a, b] para 1 ≤ p < q.

Posteriormente, exhibimos el Lema de Riesz, el cual nos proporciono una caracterizacion de

las funciones en el espacio RBVp[a, b] como funciones absolutamente continuas cuya derivada

pertenece al espacio de Lebesgue Lp[a, b].

Para poder estudiar a los espacios de variacion acotada desde otra perspectiva, logramos ver

109


a los espacios NBV [a, b] y RBV 0p′ [a, b] como espacios duales conocidos en el analisis funcional.

Concluimos que el espacio NBV [a, b] es isometricamente isomorfo al dual del espacio de funcio-

nes continuas C[a, b] y por otro lado, el espacio RBV 0p′ es isometricamente isomorfo al dual del

espacio de Lebesgue Lp[a, b], donde 1p + 1

p′ = 1.

En el ultimo capıtulo de esta tesis, logramos caracterizar a los operadores de multiplicacion

Mu : BV [0, 1]→ BV [0, 1], como aquellos cuya funcion sımbolo u pertenece al espacio BV [0, 1].

De manera mas particular, utilizando el concepto de soporte de la funcion sımbolo, obtuvimos

condiciones necesarias y suficientes para que dichos operadores esten acotados inferiormente.

Finalmente, caracterizamos a los operadores de multiplicacion entre espacios de variacion de

Wiener acotada, Mu : WBVp[0, 1] → WBVq[0, 1] a partir de su funcion sımbolo u, utilizando

una generalizacion del concepto de soporte de una funcion empleado en el caso del espacio clasico.

Aunque en esta tesis trabajamos unicamente con el concepto de variacion acotada para fun-

ciones en un intervalo cerrado, es importante mencionar que existen definiciones de variacion

total para funciones definidas en conjuntos mas generales tanto en la recta real como en di-

mensiones mayores. Tambien es importante anadir que dentro del area del analisis no lineal

se continuan estudiando las propiedades que poseen operadores tanto lineales como no lineales

actuando en espacios de variacion acotada. Algunas de las propiedades de interes son la continui-

dad y la compacidad de este tipo de operadores. Esto se debe a que estos resultados son de gran

utilidad en el estudio de la existencia y las propiedades topologicas de soluciones a ecuaciones

no lineales en estos espacios.

Bibliografıa

[1] Apostol,T. Analisis Matematico. Reverte. 1981.

[2] Appell, J., Banas J., Merentes, N. Bounded Variation and Around. De Gruyter. 2014.

[3] Astudillo-Villalba, Ramos-Fernandez. Multiplication operators on the space of functions of

bounded variation. Demonstratio Mathematica 50, (2017), pp. 105-115.

[4] Bachman, G., Narici, L. Functional Analysis. Dover. 2000.

[5] Carothers, N. L. Real Analysis. Cambridge University Press. 2000.

[6] Castillo, R., Rafeiro, H., Trousselot, E. A Generalization for the Riesz p-variation. Revista

Colombiana de Matematicas 48, (2014), pp. 165-190.

[7] Chaparro, H. On multipliers between bounded variation spaces. Annals of Functional Analy-

sis 9, (2018), pp. 376-383.

[8] Helly, E. Uber lineare Funktionaloperationen. Sitzungsber. Kaiserl. Akad. Wiss. 121,

(1912), pp. 265-297.

[9] Jordan, C. Sur la serie de Fourier. C.R. Acad. Sci. Paris 2, (1881), pp. 228-230.

[10] Jordan, C. Cours d’Analyse. Gauthier-Villars. 1893.

[11] Kantrowitz, R. Submultiplicativity of norms for spaces of generalized BV-functions. Real

Analysis Exchange 36(1), (2010/2011), pp. 169-176.

111

112 BIBLIOGRAFIA

[12] Natanson. Theory of Functions of a Real Variable. Dover. 2016.

[13] Pierce, P.B., Velleman, D. J. Some Generalizations of the Notion of Bounded Variation.

The American Mathematical Monthly 113, (2006), pp. 897-904.

[14] Riesz, F. Untersuchungen uber Systeme integrierbarer Funktionen. Math. Annalen 69,

(1910), pp. 449-497.

[15] Riesz, F. Sur certains systemes singuliers d’equations integrales. Ann. Sci. Ecole Norm.

Sup. Paris 28, (1911), pp. 33-68.

[16] Takagi, H., Yokouchi, K. Multiplication and composition operators between two Lp-spaces.

Contemp. Math. 232, (1999), pp. 321-338.

[17] Wiener, N. The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients. J. Math. Phys.

MIT 3, (1924), pp. 73-94.

[18] Young, L. Sur une generalisation de la notion de variation de puissance pieme bornee au

sens de M. Wiener, et sur la convergence des series de Fourier. C.R. Acad. Sci. Paris 204,

(1937), pp. 470-472.

UNIVERSIDAD DE SONORAel estudio de las matem aticas y me enamor e de ellas. Indice Introducci on VII...

Documents

Transcript of UNIVERSIDAD DE SONORAel estudio de las matem aticas y me enamor e de ellas. Indice Introducci on VII...